skkn hướng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn thcs ba đình

Phòng giáo dục và đào tạo bỉm sơn
Trờng thcs ba đình
Hớng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán
về phơng trình bậc hai một ẩn



Tác giả : Trần Thị Hà
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị : Trờng THCS Ba Đình - Bỉm Sơn
Môn: Toán
Năm học: 2011 2012
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011 - 2012
ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 LÀM MỘT SỐ
DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A – ĐẶT VẤN ĐỀ
I – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình bậc hai một ẩn số là một phần kiến thức quan trọng
trong chương trình đại số lớp 9, nó tiếp tục được củng cố ở các lớp bậc
Phổ thông trung học. Trong sách giáo khoa đại số lớp 9, mảng kiến
thức về phương trình bậc hai một ẩn bao gồm: Định nghĩa phương trình
bậc hai một ẩn ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0);
Công thức nghiệm; Định lý Vi ét thuận và đảo; Tính chất và đặc điểm
nghiệm (nếu có); các phương trình qui về bậc hai; Giải bài toán bằng
cách lập phương trình bậc hai.
Vị trí của phương trình bậc hai quan trọng như vậy, đặc biệt là định
lý Vi ét có nhiều ứng dụng rộng rãi, trong các kỳ thi tốt nghiệp Trung

học cơ sở và kỳ thi chuyển cấp các bài toán về phương trình bậc hai
một ẩn chiếm một vị trí không nhỏ, chủ đề về phương trình bậc hai có
thể nói là “người bạn đồng hành”.
Nhưng qua thực tế giảng dạy Tôi thấy học sinh chỉ biết cách giải
phương trình bậc hai, sử dụng định lý Vi ét để nhẩm nghiệm, giải bài
toán bằng cách lập phương trình bậc hai, còn các bài toán đòi hỏi phải
có sự linh hoạt sáng tạo khi vận dụng các kiến thức trên thì nhiều em
còn lúng túng không biết đường lối giải.
Để giúp học sinh có kiến thức tương đối sâu sắc về phương trình bậc
2
hai, có kỹ năng thành thạo khi giải các dạng toán có liên quan, Tôi đã
quan tâm nghiên cứu và lựu chọn thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh
lớp 9 giải một số bài toán về phương trình bậc hai một ẩn”.
II – THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1/. Thực trạng:
*Thực trạng chung:
Dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn nằm rải rác trong toàn
chương IV đại số 9, Sau một thời gian học sinh thường quên các bài
đã học ở phần trước đó. Dạng toán này tuy không phải là dạng khó
lắm xong để làm tốt học sinh cần phải chăm chỉ, nắm chắc lý thuyết,
luyện tập thường xuyên.
*Thực trạng đối với giáo viên:
Do thời gian của chương trình nên để HS hiểu được sâu hơn thì
GV phải tự tổng hợp kiến thức để dạy lồng ghép vào các buổi học.
*Thực trạng đối với học sinh:
- Nhìn chung các em chỉ làm những bài tập trong từng bài học mà
chưa biết cách hệ thống các dạng bài tập để luyện tập, củng cố kiến
thức.
- Một số học sinh chưa chịu khó tìm tòi những bài tập đòi hỏi tính
sáng tạo, những bài toán liên quan đến nhau trong chương trình đã

học.
2/.Khảo sát thực tế:
3
Qua đợt kiểm tra khi HS chưa học đề tài về một số bài toán về
phương trình bậc hai một ẩn ở hai lớp 9A; 9D trường trung học cơ
sở Ba Đình thu được kết quả như sau:
Lớp Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu
9A 6,8% 11,2% 42,5% 39,5%
9D 5,7% 9,3% 38,6% 46,4%

Từ thực tế trên, để giúp các em có kết quả học tập tốt hơn, năm học
này tôi đã thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm một số
dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn” .
B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I . CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
1. Đối tượng thực hiện:
+ Đối tượng giúp tôi nghiên cứu và áp dụng đề tài này là lớp
9A; 9D trường trung học cơ sở Ba Đình- Bỉm Sơn – Thanh Hoá.
+ Thời gian thực hiện : Trong năm học 2011- 2012 .
2. Phương pháp thực hiện:
- Đề tài được thực hiện thông qua chương trình dạy học trên lớp và
lồng ghép vào các buổi học tự chọn, các buổi học bồi dưỡng.
- Các vấn đề nâng cao và phát triển trong đề tài được lựa chọn, diễn
đạt một cách đơn giản, dễ hiểu để học sinh lớp 9 có thể tiếp thu
được.
4
- Tham khảo các tài liệu liên quan đến chương trình đại số 9 và đặc
biệt là tham khảo ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp trong tổ toán
của trường.
II – TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

Giáo viên cùng học sinh hệ thống kiến thức bằng những câu hỏi gợi
mở, đưa ra các bài tập, định hướng cách làm sau đó giao các bài tập
tương tự, có kiểm tra ,đánh giá, cho điểm.GV cho HS chốt lại vấn
đề sau mỗi phần học.
1. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT.
1.1 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số.
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax
2
+ bx
+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho, a
≠
0 .
Nếu x = t là nghiệm của phương trình thì ta luôn có at
2
+ bt + c =
0
1.2 Giải phương trình.
a) Phương trình bậc hai khuyết b và c ( b =0; c = 0 )
ax
2
= 0 : Phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= 0
b) Phương trình bậc hai khuyết b ( b = 0 )
ax
2
+ c = 0
⇔

x
2
=
a
c
−
+ Nếu a và c cùng dấu hay
a
c
> 0 : Phương trình vô nghiệm
+ Nếu a và c trái dấu hay
a
c
< 0 : Phương trình có 2 nghiệm
x
1
= -
a
c−
; x
2 =

a
c−
5
c) Phương trình bậc hai khuyết c ( c = 0): ax
2
+ bx = 0
⇔
x(ax +

b) = 0 :
Phương trình có 2 nghiệm là : x = x
1
= 0 ; x = x
2
=
a
b
−
d) Phương trình bậc hai đủ: ax
2
+ bx + c = 0 ( 1) (a, b, c
≠
0)
Công thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn

∆
= b
2
– 4ac
∆
< 0 : (1) Vô nghiệm
∆
= 0: (1)Có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
b

2
−
∆
> 0 : (1) Có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
∆+−
; x
2
=
a
b
2
∆−−
∆
′
= b
’ 2
– ac
∆
′
< 0 : (1) Vô nghiệm
∆
′
= 0 : (1) Có nghiệm kép x
1

= x
2
=
b
a
′
−
∆
′
> 0 : (1) Có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
b
a
′ ′
− + ∆
; x
2
=
b
a
′ ′
− − ∆
1.3 Định lý Vi ét
a) Định lý thuận:
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1

; x
2
thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:
S = x
1
+ x
2
=
a
b−
; P = x
1
. x
2
=
a
c
b) Định lý đảo:
Nếu có hai số x
1
; x
2
mà x
1
+ x
2
= S ; x
1
. x
2

= P
S
2
- 4P
≥
0 thì hai số đó là nghiệm của phương trình X
2
- SX
+ P = 0
Chú ý: Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1
; x
2
thì
ta có thể phân tích:
ax
2
+ bx + c = a(x - x
1
)(x - x
2
) = 0 với x
1
=
a
b
2
∆+−

; x
2
=
a
b
2
∆−−

2. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.

2.1 Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.
6




>∆
≠
0
0a
* Bài toán:
Cho phương trình mx
2
- 2(m - 1)x + m + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -2
b) Tìm điều kiện m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Định hướng giải:
Học sinh thường mắc sai lầm cho rằng phương trình (1) có
nghiệm phân biệt chỉ cần

∆
′
> 0. Chỉ được xét
∆
′
khi phương trình
là bậc hai, tức là khi m
≠
0. Rõ ràng m = 0 thì phương trình (1) là
phương trình bậc nhất một ẩn không thể có hai nghiệm phân biệt.
vậy bài toán giải như sau:
a) m = 2 ta có 2x
2
- 6x + 1 = 0
∆
′
= (-3)
2
- 1.2 = 9 - 2 = 7
Phương trình có 2 nghiệm: x
1
=
2
73
+
; x
2
=
2
73

−
b) Điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là:




>∆
′
≠
0
0a

⇒




>+
≠
0 1)m(m - 1) (m
0
2
m

⇒







<
≠
3
1
0
m
m

⇒
0
≠
m <
3
1

* Bài toán vận dụng:
Cho phương trình ẩn x : x
2
- 2(m - 1)x + m
2
= 0. Với giá trị nào
của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2.2 Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép.




=∆
≠

0
0a
* Bài toán:
Cho phương trình (a + 1)x
2
- a
3
x + a
2
(a - 1) = 0
Tìm a để phương trình có nghiệm kép
Định hướng:
GV: Để phương trình đã cho có nghiệp kép thì phải có điều
gì ?
HS:



=+=∆
≠+
01)-(a1).a4(a-a
01
26
a
Đáp số a = 0 hoặc a = -
2
hoặc a =
2
7
* Bài toán vận dụng:

Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép:
a) x
2
- 18x + m = 0 c) mx
2
- 12x + 4 = 0
b) x
2
+ mx + 1 = 0 d) m
2
x
2
- mx - 2 = 0
2.3. Điều kiện để phương trình bậc hai vô nghiệm.
Xét a
≠
0 ;
∆
< 0 hoặc a = 0; b = 0; c
≠
0
Bài toán: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: mx
2
+ 2m
2
x +
1 = 0 (1)
Định hướng giải:
Xét m = 0 ; Phương trình (1) có dạng 0x + 1 = 0 : Vô nghiệm
Xét m

≠
0 ; Phương trình (1) là phương trình bậc hai, Vô nghiệm
nếu
∆
′
< 0

⇔
m(m - 1)(m
2
+ m + 1) < 0

⇔
m(m - 1) < 0 (do m
2
+ m + 1 > 0)
⇔
0 < m
< 1
Vậy phương trình vô nghiệm khi 0
≤
m < 1
Bài tập áp dụng:
Tìm giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm:
a) 5x
2
+ 10x + m = 0
b) 3x
2
+ mx + 1 = 0

c) m
2
x
2
+ mx + 4 = 0
Đáp số:
a) m > 5 ; b) - 2
3
< m < 2
3
; c) m
≠
0
2.4 Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.
* Cách giải:
Cách 1: Cho
∆

≥
0 sau đó xét
∆
…
Cách 2: Cho ac < 0 sau đó xét tích ac …
Bài toán : Cho phương trình 4x
2
- 2(a + b)x + ab = 0 (1)
a) Giải phương trình với a = 1 ; b =
2
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với
mọi a,b

Định hướng giải:
a) Với a = 1 ; b =
2
ta có 4x
2
- 2(1 +
2
)x +
2
= 0
∆
′
= (
2
- 1)
2
8
Phương trình có 2 nghiệm x
1
=
2
1
; x
2
=
2
2

b) Ta có
∆

′
= (a - b)
2

≥
0 với
Rba
∈∀
,
Vậy phương trình (1) có nghiệm với mọi a,b .
Bài toán vận dụng:
Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m:
x
2
- (3m
2
- 5m + 1)x - (m
2
- 4m + 5) = 0
2.5 Điều kiện để một phương trình bậc hai có một nghiệm bằng
một số cho trước, tìm nghiệm còn lại.
Bài toán:
Cho phương trình mx
2
- 2(m - 2)x + m - 3 = 0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3, tìm
nghiệm còn lại.
Hướng dẫn giải:
Để PT đã cho là PT bậc hai có nghiệm thì




≥∆
′
≠
0
0a

⇒
0
≠
m <
4
x = 3 là nghiệm của phương trình (1)
⇒
m = -
4
9
(Thoả mãn)
Chú ý: Để tìm nghiệm thứ hai ta có 3 cách làm:
Cách 1: Thay m = -
4
9
vào phương trình đã cho và giải
phương trình ta được x
2
=
9
7
Cách 2: Thay m = -

4
9
vào công thức tính tổng 2
nghiệm:
x
1
+ x
2
=
9
34

⇒
x
2
=
9
34
- 3 =
9
7
cách 3: Thay m = -
4
9
vào công thức tính tích 2 nghiệm:
x
1
.x
2
=

9
21

⇒
x
2
=
9
21
: 3 =
9
7
Bài toán áp dụng:
Một trong các nghiệm của phương trình 5x
2
+ mx + 1 = 0 là x =
1.
Tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại.
Đáp số: * m = - 6
9
* Nghiệm còn lại:
5
1
2.6 Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai.
Bài toán 1:
Tìm a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ ax + 8 = 0 (1)
x

2
+ x + a = 0 (2)
Giải
Giả sử x
0
là 1 nghiệm chung của hai phương trình, thế thì:






=++
=++
0
08
0
2
0
0
2
0
axx
axx

⇒
(a - 1)x
0
= a - 8
Nếu a

≠
1 thì x
0
=
1
8
−
−
a
a
;
ta có a
3
- 24a + 72 = 0
⇔
(a + 6)(a
2
- 6a + 12 = 0
⇔
a
= - 6
Với a = - 6 thì (1) là x
2
- 6x + 8 = 0 có nghiệm x
1
= 2 ; x
2
=
4
(2) là x

2
+ x - 6 = 0 có nghiệm x
1
= 2 ; x
2
= -
3
Nếu a = 1 thì (1) là x
2
+ x + 8 = 0 và (2) là x
2
+ x +1 = 0 , cả
hai phương trình này vô nghiệm.
Kết luận: a = - 6 thì (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung.
Bài toán 2:
Tìm m để một nghiệm của phương trình 2x
2
- 13x + 2m = 0
(1) gấp đôi một nghiệm của phương trình x
2
- 4x + m = 0 (2)
Hướng dẫn giải:
Giả sử (2) có nghiệm x = a , (1) có nghiệm x = 2a ; Thay
vào 2 phương trình ta có:







=+−
=+−
04
02268
2
2
maa
maa

⇒
6a
2
- 18a = 0 hay 6a(a - 3) = 0
- Với a = 0 thì m = 0
(1) là 2x
2
- 13x = 0 có nghiệm x
1
= 0 ; x
2
=
2
13
(2) là x
2
- 4x = 0 có nghiệm x
1
= 0 ; x
2
= 4

10

- Với a = 3 thì m = 3
(1) là 2x
2
- 13x + 6 = 0 có nghiệm x
1
= 6 ; x
2
=
2
1
(2) là x
2
- 4x + 3 = 0 có nghiệm x
1
= 3 ; x
2
= 1
Bài tập áp dụng:
Tìm giá trị của m để hai phương trình sau ít nhất có 1 nghiệm
chung
x
2
+ (m - 2)x + 3 = 0 (1)
2x
2
+ mx + m + 2 = 0 (2)
Hướng dẫn giải:
Giả sử x

0
là nghiệm chung của hai phương trình, thế thì:






=+++
=+−+
022
06)2(22
0
2
0
0
2
0
mmxx
xmx

⇒
(m - 4)x
0
= m - 4
Nếu m
≠
4 thì x
0
= 1. Thay vào (1) ta có 1

2
+ (m - 2).1 + 3 = 0
⇔
m = - 2
m = -2 thì (1) là x
2
- 4x + 3 = 0 có nghiệm x
1
= 1 ; x
2
= 3
(2) là 2x
2
- 2x = 0 có nghiệm x
1
= 1 ; x
2
= 0
Nếu m = 4 thì (1) là x
2
+ 2x + 3 = 0
(2) là 2x
2
+ 4x + 6 = 0 cả hai phương trình này
vô nghiệm.
Vậy với m = - 2 thì (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung.
2.7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:
Cách giải :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A trong khoảng (a ; b):
- Chứng tỏ rằng A

≥
k với
x
∀

∈
(a ; b)
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A trong khoảng (a ; b):
- Chứng tỏ rằng A
≤
k với
x
∀

∈
(a ; b)
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Bài toán 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = 3x
2
- 6x + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
B = - 2x
2
- 4x + 1
Hướng dẫn giải:
a) A = 3(x - 1)
2
- 2

≥
- 2 ; min A = - 2
⇔
x = 1
b) B = -2(x + 1)
2
+3
≤
3 ; max B = 3
⇔
x = - 1
11
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A =
2
12
2
−
+
x
x
(1)
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
2
12
2
−
+
x

x
= m
⇔
mx
2
- 2x + (2m - 1) = 0 (2)
Nếu m = 0 , (1)
⇒
x =
2
1
−
Nếu m
≠
0, với những giá trị khác nhau của x, A có thể có những
giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, vì thế khi gọi m là giá trị của A thì
phải có x để
2
12
2
−
+
x
x
= m tức là mx
2
- 2x + (2m - 1) = 0 có
nghiệm

⇒

∆
′
≥
0
⇔
(2m + 1)(m - 1)
≤
0
⇔
-
2
1
≤
m
≤
1
Kết hợp cả 2 trường hợp ta có: -
2
1
≤
m
≤
1
m = -
2
1
thì (2)
⇒
x
2

+ 4x + 4 = 0
⇔
x = - 2
m = 1 thì (2)
⇒
x
2
- 2x + 1 = 0
⇔
x = 1
Vậy min A = -
2
1

⇔
x = - 2
max A = 1
⇔
x = 1
Cách 2:
A = 1 -
2
)1(
2
2
+
−
x
x
≤

1 max A = 1
⇔
x = 1
A =
2
)1(
2
2
+
−
x
x
-
2
1
≥
-
2
1
min A = -
2
1

⇔
x = - 2
* Bài tập áp dụng:
Tìm giá trị nhỏ nhất của: a) A = 3x
2
– 6x + 1 ; b) x
2

– x + 1 ; c)
2
2
2 3
2
x x
x
+ +
+
* Kết quả khảo sát (Qua một bài kiểm tra 30 phút) sau khi học phần
trên ở lớp 9A (43 HS) như sau:
+ Số học sinh làm tốt: 30 em
+ Số HS làm được xong còn trình bày chưa gãy gọn: 13 em
+ Số HS không làm được: 0
* Với những HS làm tốt Tôi đã cho các em làm thêm những bài
toán nâng cao của dạng đó, với những em còn trình bày chưa tốt
Tôi đã nhắc nhở, phân tích lỗi sai để các em rút kinh nghiệm làm
tốt hơn.
12
3. HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.
3.1 Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
- Nếu ta tính nhẩm được hai giá trị x
1
, x

2
thoả mãn:








=
−=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
·
Thì ta kết luận được x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình đã cho
- Nếu phương trình ax
2
+bx + c = 0 (a

≠
0) có:
a + b + c = 0 thì x
1
= 1 ; x
2
=
a
c

a - b + c = 0 thì x
1
= - 1 ; x
2
= -
a
c

* Bài toán: Tính nhẩm nghiệm
a) 3x
2
+(3-2m)x - 2m = 0 ; b) mx
2
+(1-m)x - 1 = 0
Đáp số: a) x
1
= - 1 , x
2
=
3

2m
b) Nếu m
≠
0 thì x
1
= 1 ; x
2
= -
m
1
Nếu m = 0 thì x = 1
* Bài tập vận dụng: Tính nhẩm nghiệm
a) x
2
- 49x - 50 = 0 ; b) x
2
- (1 +
5
)x +
5
= 0
Đáp số: a) x
1
= -1; x
2
= 50 ; b) x
1
= 1 ; x
2
=

5
3.2 Xét dấu các nghiệm của phương trình:
Cho phương trình ax
2
+bx + c = 0 (a
≠
0) ; gọi S = -
a
b
; P =
a
c
Điều kiện để phương trình:
a) Có 2 nghiệm trái dấu: P < 0
b) Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu:
∆
> 0 ; P > 0
c) Có 2 nghiệm dương phân biệt:
∆
> 0 ; P > 0 ; S > 0
d) Có 2 nghiệm âm phân biệt:
∆
> 0 ; P > 0 ; S < 0
e) Phương trình có nghiêm kép âm (dương):
∆
= 0 ; S < 0 ;
(S > 0)
* Bài toán:
Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình
sau:

13
a) 7x
2
- 13x + 2 = 0
b) 4x
2
+
2
.x - 1 = 0
c) 9x
2
- 12x + 1 = 0
Hướng dẫn giải:
a)
∆
= 113 > 0 ; P =
7
2
> 0 ; S =
7
13
> 0
⇒
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
b) P < 0 ; S < 0
⇒
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị
tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
c)
∆

= 0 ; S =
9
12
> 0
⇒
Phương trình có nghiệm kép dương.
* Bài toán áp dụng: Cho PT: x
2
– 2(m – 1)x + m + 1 = 0
Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu
b)Có hai nghiệm dương phân biệt; c) Có đúng một nghiệm dương.
3.3 Xác định hệ số của phương trình theo điều kiện về dấu các
nghiệm:
Bài toán:
Cho phương trình x
2
- 3x + k - 1 = 0, Xác định k để phương trình:
a) Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
b) Có 2 nghiệm trái dấu
Hướng dẫn giải:
a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu thì:



>−=
>−=∆
01
010
kP
k

⇔




>
<
1
10
k
k

⇔
1 < k < 10
b) P < 0
⇔
k - 1 < 0
⇔
k < 1
Bài toán áp dụng:
Xác định m để phương trình:
(m - 1)x
2
+ 2(m + 1)x + m = 0 có hai nghiệm dương
Đáp số: -
3
1
< m < 0 .
3.4 Tính giá trị của một hệ thức giữa các nghiệm:

Bài toán: Cho phương trình
a) x
2
+ 3x - 8 = 0
b) 5x
2
+ 4x + 1 = 0
Tính tổng các nghịch đảo các nghiệm, tổng các bình phương các
nghiệm.
14
Hướng dẫn giải:
a) x
2
+ 3x - 8 = 0 ; ac = - 8 < 0
⇒
∆
> 0

1
1
x
+
2
1
x
=
21
21
xx
xx

+
=
8
3
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 3
2
- 2.(-8) = 25
b) 5x
2
+ 4x + 1 = 0 có
∆
′
= 2
2

- 5 = 4 - 5 = - 1 < 0
⇒
Phương
trình vô nghiệm.
Chú ý: Không thể nói phương 5x
2
+ 4x + 1 = 0 có tổng các
nghiệm bằng -
5
4
, tích các nghiệm bằng
5
1
. Như vậy phải kiểm tra
điều kiện có nghiệm của phương trình trước khi tính hệ thức giữa
các nghiệm.
3.5 Xác định hệ số của phương trình biết hệ thức giữa các
nghiệm:
Phương pháp:
- Xét điều kiện có nghiệm của phương trình (nếu cần)
- áp dụng định lý Vi ét để tính tổng và tích hai nghiệm
- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ (thường dùng):
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1

+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
(x
1
- x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 4x
1
x
2
x
1
2
- x
2
2

= (x
1
+ x
2
) (x
1
- x
2
)
* Bài toán: Cho phương trình x
2
- 3x + (k - 1) = 0 ; Xác định k để
phương trình thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) 2x
1
- 3x
2
= 1; b) x
1
2
- x
2
2
= 6 ; c) x
1
2
+ x
2
2
= 3 ;

d) x
1
=
2
1
x
Hướng dẫn giải:
a) Giải hệ:



=−
=+
132
3
21
21
xx
xx

⇔




=
=
1
2
2

1
x
x
ta có k - 1 = x
1
.x
2
= 2
⇒
k = 3
b) Giải hệ:
15



=−
=+
6
3
2
2
2
1
21
xx
xx

⇔









=
=
2
1
2
5
2
1
x
x
k - 1 = x
1
.x
2
=
4
5

⇒
k =
4
9
c)
∆

≥
0
⇔
k
≤

4
13
x
1
2
+ x
2
2
= 3
⇔
(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 3
⇔
9 - 2(k - 1) = 3

⇔
k
= 4
k = 4 >
4
13
(không thoả mãn)
d) x
1
.x
2
= 1
⇔
k - 1 = 1
⇔
k = 2 <
4
13
(thoả mãn)
Chú ý:
Ở câu a), b) các nghiệm của phương trình bậc hai đã biết cụ
thể trước khi tính k nên không cần kiểm tra điều kiện có nghiệm.
Ở câu c) phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình
nếu không sẽ mắc sai lầm, đó là kết luận k = 4 là giá trị phải tìm.
* Bài tập vận dụng:
Xác định m để pt: x
2
+ 2x + m = 0 có hai nghiệm x
1
; x

2
thoả mãn:
a) 3x
1
+ 2x
2
= 1 ; b) x
1
2
- x
2
2
= 12 ; c) x
1
2
+ x
2
2
= 1 ; d) x
1
=
2x
2 .

3.6 Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với các tham số: (không
phụ thuộc vào các tham số)
Muốn tìm 1 hệ thức giữa các nghiệm x
1
; x
2

và độc lập với
tham số m, ta làm như sau:
- Tính S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2

- Khử m ,tìm hệ thức liên hệ giữa S và P
→
Đó là hệ thức độc lập
với m.
• Bài toán: Cho phương trình x
2
- (k - 1)x + k + 1 = 0 . Giả sử
phương trình có các nghiệm x
1
; x
2
.
a) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập với k
b) Biểu thị x
2

theo x
1
Hướng dẫn giải:
a) Ta có S = x
1
+ x
2
= k – 1
⇒
k = S + 1
P = P = x
1
. x
2
= k + 1
16

⇒
P = S + 1 + 1
⇔
P = S + 2 hay x
1
.x
2
= x
1
+ x
2
+
2

b) (x
1
- 1)x
2
= x
1
+ 2

⇒
x
2
=
1
2
1
1
−
+
x
x
(x
≠
1)
• Bài toán áp dụng:
Tìm hệ thức độc lập với m giữa những nghiệm số của phương
trình:
x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0
Đáp số: x

1
+ x
2
- x
1
.x
2
+ 1 = 0 .
3.7 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó:
- Trường hợp cho từng nghiệm x
1
, x
2
Ta có phương trình ẩn số x là (x - x
1
)(x - x
2
) = 0
- Trường hợp không có x
1
, x
2
riêng
Ta tìm S = x
1
+ x
2
; P = x
1
.x

2
Phương trình có ẩn số x là x
2
- Sx + P = 0 (Định lý Vi ét đảo),
Phương trình trên chỉ có nghiệm khi S
2

≥
4P tức
∆

≥
0
* Bài toán: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó bằng:
a)
2
1
và
4
1
; b) 2 +
3
và 2 -
3
Hướng dẫn giải:
a)










>=−
==
=+=
0
16
1
4
8
1
4
1
.
2
1
4
3
4
1
2
1
2
PS
P
S

⇒
Phương trình phải lập là: 8x
2
– 6x +
1 = 0
b) 2 +
3
và 2 -
3





>=−
==
0124
1;4
2
PS
PS

⇒
Phương trình phải lập là: x
2
- 4x + 1
= 0

17
* Nghiệm

α
,
β
; S =
α
+
β
; P =
α
.
β

⇒
x
2
- Sx + P = 0 hoặc (x -
α
)(x -
β
) = 0
* Bài toán áp dụng:
Bài 1: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó bằng:
a) 7 và 3 ; b) 1 +
2
và 1 -
2
Bài 2: Cho phương trình x
2
- 2kx + 1 = 0 có nghiệm x
1

; x
2
. Lập
phương trình bậc hai có nghiệm y
1
; y
2
gấp 3 lần các nghiệm của
phương trình trên.
Hướng dẫn giải:
x
1
+ x
2
= 2k ; x
1
. x
2
= 1




==
=+=+
99.
6)(3
2121
2121
xxyy

kxxyy

⇒
Phương trình phải lập là: y
2
- 6ky + 9 =
0
3.8 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của hệ thức giữa các
nghiệm:
* Bài toán: Cho phương trình x
2
- mx +m - 1 = 0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
1
2
+ x
2
2
- 6x
1
x
2
Hướng dẫn giải:
a) a = 1
≠
0

∆
= (m - 2)

2

≥
0 ;
m
∀

∈
R nên phương trình luôn có nghiệm.
b) x
1
+ x
2
= m , x
1
. x
2
= m - 1
P = x
1
2
+ x
2
2
- 6x
1
x
2
= (x
1

+ x
2
)
2
- 8x
1
x
2
= m
2
- 8(m - 1) =(m -
4)
2
- 8
≥
-8
Vậy min P = - 8
⇔
m = 4
* Bài toán vận dụng: Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10
= 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
; x
2

b) Tìm m để P = x
1

2
+ x
2
2
+ 10x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
a) a = 1
≠
0
∆
′
= (m + 1)
2
- (2m + 10) = m
2
- 9
≥
0
⇔

m
≥
3
b) x
1
+ x

2
= 2m + 2 ; x
1
. x
2
= 2m + 10
P = x
1
2
+ x
2
2
+ 10x
1
x
2
= (x
1
+ x
2
)
2
+ 8x
1
x
2
= (2m + 2)
2
+ 8(2m
+10) =

18
= 4(m
2
+ 6m + 9) + 48 = 4(m + 3)
2
+ 48
≥
48
min P = 48
⇔
m = - 3
3.9 Tìm hai số biết tổng S và tích P của chúng:
Hai số phải tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x
2
- Sx + P =
0 với điều kiện S
2
- 4P
≥
0.
S
2
- 4P
≥
0
⇒
S
2

≥

4P
⇒

2
2






S
≥
P Nếu P
≥
0 thì
2
S

≥

P
Nếu x
≥
0 , y
≥
0 thì
2
yx
+

≥

xy
* Bài toán: Tìm hai số x , y trong các trường hợp sau:
a) x + y = 11 ; xy = 28
b) x - y = 5 ; xy = 66
Hướng dẫn giải:
a) x + y = 11 , xy = 28
Thì x, y là nghiệm của phương trình
X
2
- SX + P = 0
⇔
X
2
- 11X + 28 = 0 (Định lý Vi ét)
Ta có S = X
1
+ X
2
= 7 + 4 = 11
X
1
. X
2
= 7.4 = 28
⇒
X
1

= 7 , X
2
= 4
Vậy



=
=
4
7
y
x
Hoặc



=
=
7
4
y
x
b)



=
=−
66

5
xy
yx
(1)
Đặt - y = y
’
(1)
⇔






=−
=+
66)(
5
'
'
yx
yx

⇔





−=

=+
66
5
'
'
xy
yx


Theo định lý Vi ét ta có: x, y
’
là nghiệm phương trình
X
2
- 5X - 66 = 0
⇒
x, y
’
là nghiệm phương trình trên.
⇒
(X
1
= 11 , Y
1
= - 6) hoặc (X
1
= - 6 , Y
1
= 11)
⇒

(x = 11 , y = 6) hoặc (x = - 6 , y = - 11)
* Bài toán vận dụng:
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 32; uv = 231 ; b) u – v = 5 ; uv = 24 ; c) u + v =
-42; uv = - 400
19
3.10. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho
trước:
a) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠

0) có ít nhất một nghiệm không âm:
Cách 1: Xét P =
a
c
, nếu
- Có P < 0 (một nghiệm âm, một nghiệm dương)
- Có P = 0 (một nghiệm bằng 0)
- Có P > 0 ,
∆

≥
0 , S > 0 (hai nghiệm dương)
Cách 2: Xét S = -
a
b
, nếu
- Có S > 0 (có một nghiệm dương)

- Hoặc S = 0 (có một nghiệm không âm)
- Hoặc S < 0 , P
≤
0 (có một nghiệm không âm, một nghiệm
âm)
* Bài toán:
Tìm m để phương trình (m + 1)x
2
- 2x + (m - 1) = 0 (1) có ít
nhất một nghiệm x
≥
0.
Xét m = - 1 thì (1)
⇔
-2x =2
⇔
x = - 1 (loại)
Xét m
≠
-1 , thì (1) là phương trình bậc hai
∆
′
= 2 - m
2

≥
0
⇔

m

≤

2
S = x
1
+ x
2
=
1
2
+
m
có hai trường hợp
Nếu m > -1 thì S > 0
⇒
(1) có ít nhất một nghiệm dương
Nếu m < -1 thì S > 0. Khi đó: P = x
1
.x
2
=
1
1
+
−
m
m
> 0
⇒

(1) có 2
nghiệm âm
Vậy giá trị của m phải tìm là





−>
≤
1
2
m
m

⇔
- 1 < m
≤

2
Chú ý: Tuỳ theo bài mà xét P hay S trước.
* Bài toán vận dụng:
Cho pt: x
2
- 2(m - 1)x + m
2
– 3m = 0
a) Xác định m để PT có hai nghiệm trái dấu.
b) Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm âm .
b) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số

α
:
* Bài toán :
20
Tìm m để phương trình (m + 1)x
2
- 2(m + 2)x + 2m + 2 = 0
có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1.
Hướng dẫn giải:
Đặt X = x - 1 (1)
⇒
(m + 1)X
2
- 2X + m - 1 = 0 (2)
Tìm m để (2) có ít nhất một nghiệm X > 0 ta có - 1 < m
≤

2
Bài toán vận dụng: Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai
nghiệm phân biệt lớn hơn 2: 3x
2
- 14x + 2m = 0 (1)
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 ta
phải có:






>−
>−
>∆
′
02
02
0
2
1
x
x
Đáp số: 8 < m <
6
49
Cách 2: Đặt x – 2 = y, phương trình trở thành:
3(y + 2)
2
- 14(y + 2) + 2m = 0
⇔
3y
2
- 2y + 2m - 16 = 0
Cần tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Ta phải có:





>

>
>∆
′
0
0
0
S
P

⇔
8< m <
6
49
c) Xét số nghiệm của phương trình bằng cách so sánh nghiệm
của phương trình bậc hai với một số:
* Bài toán: Tìm m để phương trình:
x -
2
1 x−
= m (1) có một nghiệm duy nhất
Hướng dẫn giải: (1)
⇔
x - m =
1
2
−x

⇔





−=−
≥
1)(
22
xmx
mx
(2)
(1)
⇔
2x
2
- 2mx + m
2
- 1 = 0
(1) có nghiệm duy nhất khi có 1 nghiệm của (2) thoả mãn x
≥
m.Đặt
x - m = y
(2)
⇔
2y
2
+ 2my + m
2
- 1 = 0 (3)
Tìm m để (3) có 1 nghiệm thoả mãn y
≥
0 ; có 3 trường hợp:

- Nếu (3) có nghiệm kép không âm.




≥
=∆
′
0
0
S

⇔
m = -
2
- Nếu (3) có 2 nghiệm trái dấu P < 0
⇔
- 1 < m < 1
- Nếu (3) có 1 nghiệm bằng 0 ; nghiệm còn lại âm P = 0 , S < 0
⇔
m = 1
21
Vậy m = -
2
hoặc - 1 < m
≤
1
* Bài toán áp dụng: Tìm m để phương trình x(x + 2)(x + 4)(x –
2) = m (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Đáp án để GV đối chiếu với bài làm của học sinh:

(1)
⇔
(x
2
+ 2x)(x
2
+ 2x – 8) = m Đặt x
2
+ 2x + 1 = y
Ta có: (y - 1)(y - 9) = m
⇔
y
2
- 10y + 9 - m = 0 (2)
(1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt .
⇔





>
>
>∆
′
0
0
0

S
P
⇔






>
>−
>+
010
09
016
m
m

⇔
-16 < m < 9 .
* Kết quả kiểm nghiệm (Qua một bài kiểm tra 30 phút) sau khi học
phần trên ở lớp 9D (34 HS) như sau:
+ Số học sinh làm tốt: 30 em
+ Số HS làm được xong còn trình bày chưa gãy gọn: 4 em
+ Số HS không làm được: 0
* Với những HS làm tốt, ở cả hai lớp 9A,D Tôi đã cho các em làm
thêm những bài toán nâng cao của dạng này, với những em làm
được xong trình bày còn chưa tốt lắm tôi đã nhắc nhở, phân tích lỗi
sai để các em rút kinh nghiệm làm tốt hơn.
C - KẾT LUẬN

Sau một thời gian thực hiện đề tài“Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm
một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn” sự tiến bộ và
lòng say mê học toán của các em học sinh đã thể hiện rõ, kết quả đạt
được như sau:
1. VỀ MẶT KIẾN THỨC:
Nhìn chung các em học sinh đã biết làm các bài toán về
phương trình bậc hai một ẩn, đã biết vận dụng rất linh hoạt những
kiến thức về phương trình bậc hai đã học trong Chương IV - Sách
giáo khoa đại số lớp 9 để làm một số bài toán có liên quan.
22
Lớp 9A là lớp học khá nên các em tiếp thu rất nhanh, một số
em đã mở rộng để có những bài tập rất phong phú. Riêng lớp 9D là
lớp học ở mức trung bình so với toàn khối 9 thì các em rất thích thú
khi học, 100% các em đã biết cách làm bài. Qua việc giải một số
dạng toán trên các em được củng cố kiến thức về phương trình bậc
hai một cách cơ bản, sâu sắc, đặc biệt là nắm vững ứng dụng của
định lý Vi ét để vận dụng thành thạo khi làm bài tập, đó chính là
một yêu cầu quan trọng khi các em học phân môn đại số 9, là cơ sở
để các em ôn tập tốt cho kỳ thi vào phổ thông trung học sắp tới.
2. VỀ THÁI ĐỘ:
Rèn cho học sinh tính cẩn thận, kiên trì, trình bày khoa học, có
căn cứ và lập luận chặt chẽ. Biết nhìn nhận vấn đề một cách linh
hoạt, sáng tạo.Vận dụng toán học vào thực tế và các môn khoa
học khác.
3. VỀ CHẤT LƯỢNG:
Qua kiểm tra ở hai lớp 9A, 9D trường THCS Ba Đình sau khi đã
được học đề tài trên như sau:( Kết quả của một bài kiểm tra 60 phút)
Lớp 9A:
Điểm
giỏi

Điểm
khá
Điểm TB Điểm yếu
23
Trước khi áp dụng đề
tài
6,8% 11,2% 42,5% 39,5%
Sau khi áp dụng đề tài 47,5% 31,5% 21% 0 %
Lớp 9D:
Điểm
giỏi
Điểm
khá
Điểm TB Điểm yếu
Trước khi áp dụng đề
tài
5,7% 9,3% 38,6% 46,4%
Sau khi áp dụng đề tài 45,6% 32,6% 21,8% 0 %
Với khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm, trên đây tôi
chỉ trình bày một số ví dụ mẫu điển hình, cố gắng lựa chọn sắp xếp
từ dễ đến khó để học sinh tiếp thu bài một cách nhẹ nhàng, gây
động cơ và hứng thú học tập bước đầu đã có một số thành công nhất
định.
Song việc phân dạng như trên cũng chỉ là tương đối, còn nhiều
bài tập hay và khó mà bài viết chưa đề cập đến (để phù hợp với sự
tiếp thu của đa số học sinh lớp 9), nhưng điều quan trọng hơn cả mà
bản thân tôi nhận thấy ở đây là sự nghiên cứu khoa học, việc tích
luỹ kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy là việc làm cần thiết của
mỗi giáo viên. Trong quá trình thực hiện đề tài mặc dù đã rất cố
gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được

sự đóng góp ý kiến của các Thầy cô giáo để đề tài được hoàn chỉnh
hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Xin trân trọng cảm ơn
!
24
Ba Đình, ngày 10 tháng 4 năm
2012
NGƯỜI VIẾT
(Đã ký)
Trần Thị Hà
25