Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
QUA CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN

HÀ NỘI - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN TUẤN PHƯƠNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
QUA CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TỐN

CHUN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TOÁN)
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành, sâu sắc tới PGS. TS Nguyễn Minh Tuấn, người thầy không chỉ hướng dẫn
và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu
khoa học mà còn ln quan tâm, động viên, khích lệ và tận tình hướng dẫn để
tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong q trình hồn
thành luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường
Đại học Giáo dục-Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Lý luận và phương pháp
dạy học bộ mơn Tốn đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập
và nghiên cứu.
Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, người thân đã
động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà nội, ngày 10 tháng 09 năm 2013
Học viên:

Nguyễn Tuấn Phương

i


DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

ii

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ..............................................................................................................
i
Danh mục các kí hiệu viết tắt ..................................................................................
ii
Mục lục .....................................................................................................................
iii
Danh mục các bảng .................................................................................................
vi
Danh mục các hình ..................................................................................................
vii
1
MỞ ĐẦU .................................................................................................................
5
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................
1.1. Tư duy ...............................................................................................................
5
1.2. Tư duy sáng tạo .................................................................................................
6
1.3. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo ....................................................
9
1.3.1. Tính mềm dẻo ................................................................................................
9
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn .........................................................................................
11
1.3.3. Tính độc đáo ...................................................................................................
21
1.3.4. Tính hồn thiện ..............................................................................................

22
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề ....................................................................................
25
1.3.6. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh................
28
1.4. Tiềm năng của các bài tốn về phương trình và hệ phương trình trong
việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh ...........................................................
30
1.5. Kết luận chương 1 .............................................................................................
32
Chƣơng 2: MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƢƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƢỚNG RÈN LUYỆN TƢ
33
DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH ...................................................................
2.1. Giới thiệu hệ thống kiến thức về phương trình và hệ phương trình .................
33
2.2. Sơ lược các dạng bài tập và phương pháp giải phương trình và hệ
phương trình .............................................................................................................
36
2.2.1. Phương trình đa thức, phân thức ....................................................................
36
2.2.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối..........................................................
37
2.2.3. Phương trình vơ tỷ..........................................................................................
38
2.2.4. phương trình mũ và logarit.............................................................................
39
2.2.5. Phương trình lượng giác .................................................................................
40
2.2.6. Hệ phương trình .............................................................................................

40
2.3. Vận dụng một số quan điểm triết học duy vật biện chứng vào việc

iii


tìm tịi lời giải tốn phương trình và hệ phương trình ..............................................
40
2.3.1. Khai thác mối quan hệ nguyên nhân và kết quả để định hướng tìm
lời giải ......................................................................................................................
41
2.3.2. Khai thác mối quan hệ cái chung và cái riêng trong việc tìm tịi lời
giải lời giải bài tốn và sáng tạo bài toán mới .........................................................
44
2.3.3. Khai thác mối quan hệ giữa nội dung và hình thức để quy các bài
tốn lạ về quen .........................................................................................................
47
2.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài tốn về phương
trình và hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giấ giá trị hai vế .................
49
2.4.1. Nội dung của phương pháp đánh giá giá trị hai vế ........................................
49
2.4.2. Ví dụ minh hoạ ...............................................................................................
49
2.5. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một phương trình,
hệ phương trình ........................................................................................................
54
2.6. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc hướng dẫn học sinh xây
dựng phương trình và hệ phương trình mới .............................................................
66

2.6.1. Xây dựng phương trình giải được bằng cách đưa về hệ phương trình ...................
66
2.6.2. Xây dựng phương trình mới từ phương trình bậc hai cho trước ....................
72
2.6.3. Xây dựng phương trình và hệ phương trình đại số bằng số phức ..................
73
2.6.4. Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng thức lượng giác
đặc biệt .....................................................................................................................
77
2.7. Chuyển việc tìm tịi lời giải phương trình và hệ phương trình về các
bài tốn hình học ......................................................................................................
79
2.7.1. Phương pháp đồ thị ........................................................................................
79
2.7.2. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng toạ độ
vectơ trong mặt phẳng ..............................................................................................
84
2.7.3. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng toạ độ
vectơ trong khơng gian .............................................................................................
89
2.8. Rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề và tư duy biện chứng cho học
sinh thơng qua hoạt động tìm tịi cái mới khi giải phương trình và hệ
phương trình .............................................................................................................
95
2.9. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc tập cho học sinh làm quen
dần với nghiên cứu toán học ....................................................................................
100
2.10. Kết luận chương 2 ...........................................................................................
105
106

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................

iv


3.1. Mục đích thực nghiệm ......................................................................................
106
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm .....................................................................
106
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm......................................................................................
106
3.2.2. Nội dung thực nghiệm ....................................................................................
107
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ..........................................................................
109
3.3.1. Đánh giá định tính ..........................................................................................
109
3.3.2. Đánh giá định lượng .......................................................................................
110
3.3.3. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm .......................................................
112
113
KẾT LUẬN .............................................................................................................
114
TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................

v


DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU

Bảng 2.1:
Các hệ thức về độ dài vectơ………………………………………... 85
Thống kê kết quả kiểm tra sau thực nghiệm……………………….. 111
Bảng 3.1:
Biểu đồ 3.1: Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm ………………………………… 111

vi


DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1:
Hình 1.2:
Hình 2.1:
Hình 2.2:
Hình 2.3:

Sơ đồ mối quan hệ các cấp độ của tư duy....................................... 8
Bảng biến thiên của hàm số f (t )  t  9  7  t , t  [ 9;7] ........ 16
Biểu diễn trên hệ trục tọa độ đường tròn u 2  v 2  9 và đường
thẳng u  v  3 …………………………………………………….. 56
Bảng biến thiên hàm số f (t )  t 2  2t  9 trên 3;3 2  ………… 57


2
2
Biểu diễn trên hệ trục tọa độ đường tròn u  v  9 và đường
thẳng u  v  1  1  2m ……………………………………….. 58

Hình 2.4:

Hình 2.5:

Bảng biến thiên của hàm số f ( x)  2 x  x 2 với 0  x  2 ……… 63
Miền mặt phẳng tọa độ chia bởi đường thẳng x  2 y  4  0 …….. 80

Hình 2.6:

Đồ thị hàm số y  2 | x |  x 2 …………………………………….

Hình 2.7:

Đường thẳng x  y  k và nửa đường tròn x 2  y 2  1 …………… 82
Minh họa ví dụ 2.7.3……………………………………………….. 83
Qui trình sử dụng tọa độ vectơ để giải phương trình dạng thứ nhất.. 85
Qui trình sử dụng tọa độ vectơ để giải phương trình dạng thứ hai… 86

Hình 2.8:
Hình 2.9:
Hình 2.10:

vii

81


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết trung ương Đảng khoá VII đã nhận định rằng: “Con người được
đào tạo thường thiếu năng động, chậm thích nghi với nền kinh tế xã hội đang đổi

mới”, từ đó chỉ đạo chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương
pháp giáo dục. Điều 24.2 trong Luật Giáo dục ghi rõ: “Phương pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với
đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện
kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, hứng thú học tập cho học sinh ...”.
Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII đã khẳng định: “Phải đổi mới phương
pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp
tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.
Những qui định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục hiện
nay nhằm đào tạo những con người có đủ trình độ và kĩ năng tham gia q trình
cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước. Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc
độ chóng mặt, lượng thơng tin bùng nổ. Cùng với đó, nó địi hỏi con người phải
có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về
mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống . . . Như vậy rèn luyện khả năng sáng tạo
cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết của nhà trường phổ thơng.
Mặt khác, Tốn học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên
cứu các mơn học khác. Tốn học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các
1


ngành khoa học kĩ thuật. Nó liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khoa học, cơng nghệ, kĩ thuật và đời sống.
Vì thế, dạy học mơn Tốn ở nhà trường phổ thơng giữ vai trò quan trọng
trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến vấn
đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong cuốn "Sáng tạo toán học”,
Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của q trình giải tốn , q trình sáng tạo

tốn học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân. Krutecxki đã
trình bày các nghiên cứu của ơng về cấu trúc năng lực tốn học của học sinh
và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực tốn học cho học sinh trong
cuốn “Tâm lí năng lực toán học của học sinh”.
Ở nước ta cũng có nhiều cơng trình của các giáo sư Hồng Chúng, Nguyễn
Cảnh Tồn. . . nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh.
Có thể thấy rằng vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong giảng
dạy bộ mơn Tốn đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu.
Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu khai thác vào nghiên cứu cụ thể việc
phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học phương trình và hệ phương trình
trong chương trình phổ thơng .
Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là:
"Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài tốn về phương trình
và hệ phương trình ở trường trung học phổ thơng."
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài
Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện và bồi
dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài giảng về phương trình và hệ
phương trình trong chương trình tốn trung học phổ thơng.
3. Phương pháp nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học mơn

2


Toán.
- Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài.
3.2. Điều tra, quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá

trình khai thác các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và hệ thống bài tập
chọn lọc.
3.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp học thực nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một đối tượng.
4. Phạm vi đề tài
Nghiên cứu các bài tập về phương trình và hệ phương trình trong chương
trình tốn trung học phổ thơng.
Thời gian: Năm học 2012 – 2013.
5. Đối tượng khảo sát
Học sinh các lớp 11A1, 11A2 trường trung học phổ thông Xuân Đỉnh, Hà
Nội.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học phương trình và hệ phương trình trong chương trình tốn trung
học phổ thơng theo các biện pháp đề xuất trong sáng kiến kinh nghiệm này thì
sẽ rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
7. Điểm mới của đề tài
- Trình bày cơ sở lí luận về tư duy sáng tạo.
- Thực trạng dạy học mơn Tốn phần phương trình và hệ phương trình ở nhà
trường phổ thơng.
- Đề xuất được các biện pháp dạy học giải phương trình và hệ phương trình
theo định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh .
- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả.

3


- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng nghiệp
và cho những ai quan tâm đến dạy học rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho
học sinh.

8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo và
mục lục, luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số nội dung dạy học phương trình và hệ phương trình theo
định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1.

Tư duy
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của

cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn địi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa
biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản
chất và những quy luật tác động của chúng. Q trình nhận thức đó gọi là tư duy.
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên
hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực
khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương - Nguyễn Quang
Cẩn)
Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức
một cách đặc biệt là bộ não, là q trình phản ánh tích cực thế giới khách quan
trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt
động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián

tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên
hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu
biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong
mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong
ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những q trình như trừu tượng hố, phân
tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết
chung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy

5


bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó".
Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy.
• Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một q trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan.
• Kết quả của q trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện
qua ngơn ngữ.
• Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng
được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của
con người nhằm phản ánh đối tượng.
• Tư duy là q trình phát triển năng động và sáng tạo.
• Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.
1.2.

Tư duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết

vấn đề mới khơng bị gị bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo
gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn

cái cũ). Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài
người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá
trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một
năng lực của con người.
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.
Theo Nguyễn Bá Kim trong [14]: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán
là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những
mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở
khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết
quả mới. Nhấn mạnh cái mới khơng có nghĩa là coi nhẹ cái cũ".
Trong [20], Tôn Thân cho rằng: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập
tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo tác
6


giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó khơng bị gị bó phụ thuộc vào cái
đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm
giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi
cá nhân đã tạo ra nó.
Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạt nhân
của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục" Theo ông,
tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ
như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác. Trong khi đó,
J. DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những
ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí
tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm
những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh,
sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm".
Trong [9], G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó
dẫn đến lời giải một bài tốn cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy

đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận
dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng mn màu
mn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng
của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán
khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn
lúc ta để lại một bài tốn tuy khơng giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người
khác những suy nghĩ có hiệu quả".
Trong [24], Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Tốn:
"Đối với người học Tốn, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương
đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng
biết. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các
thao tác giải nó khơng bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hồn
tồn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành
tìm hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thơng có thể chuẩn bị
cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Theo định nghĩa thơng thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là
tư duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới
7


về thế giới về các phương thức hoạt động. Trong [15], Lene đã chỉ ra các thuộc
tính sau đây của tư duy sáng tạo:
• Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo.
• Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"
• Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
• Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu.
• Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời
giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một
phương thức mới).
• Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng phương

thức khác.
• Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng khơng phải
trong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độc
lập đều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái
niệm dưới dạng vịng trong đồng tâm

Hình 1.1: Sơ đồ mối quan hệ các cấp độ của tư duy

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh
mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo
giải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở
tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
8


Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
1.3.

Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, . . . về cấu trúc của

tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:
• Tính mềm dẻo
• Tính nhuần nhuyễn
• Tính độc đáo
• Tính hồn thiện
• Tính nhạy cảm vấn đề
1.3.1.

Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác,
vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hố,
khái qt hóa, cụ thể hố và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn,
tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp
thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Ví dụ 1.3.1. Giải phương trình
1+

1 − x2

(1 − x)2 −

(1 + x)3

= 2+

1 − x2 .

Phân tích, tìm tòi lời giải:
Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1.
Khi giải bài tốn này, vì có căn bậc hai nên học sinh thường nghĩ ngay đến
phương pháp dùng phép biến đổi tương đương (bình phương hai vế). Q trình
đó vơ cùng phức tạp vì trong phương trình có nhiều căn thức.
9


Đến đây sẽ đưa các em vào một tình huống có vấn đề: phải tìm một phương

pháp khác tối ưu hơn để có thể giải được bài tốn.
Do đặc thù của bài tốn nên ta chỉ cịn trơng cậy vào khả năng hữu tỷ hóa
bằng cách đưa vào các ẩn phụ để chuyển phương trình vơ tỷ một ẩn khó giải về
hệ phương trình hữu tỷ.
Ở đây có thể chọn hai ẩn phụ
u=

√
1 − x ≥ 0,

v=

√
1 + x ≥ 0.

Ta có mối liên hệ giữa hai ẩn mới như sau
u2 + v2 = 2.
Khi đó phương trình đã cho được biến đổi về dạng
√
1 + uv u3 − v3 = 2 + uv
⇔
⇔

√
1 + uv (u − v) u2 + v2 + uv = 2 + uv
u2 + v2
+ uv (u − v) (2 + uv) = 2 + uv
2
√
u2 − v2 = 2.

Như vậy, việc giải phương trình đã cho chuyển về việc giải hệ phương trình hữu
tỷ đơn giản

√
2
√
u2 − v2 = 2.
√
√
2
2
hay x = −
.
Từ đây, ta có u2 = 1 − x = 1 +
2
2
√
2
Vậy nghiệm của phương trình là x = −
.
2
Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng
u2 − v2 =

trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan
niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và
xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới,
10

hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đốn. Suy nghĩ
khơng rập khn, khơng áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có
sẵn vào hồn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có
khả năng thốt khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương
pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều
kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng
tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải
các bài tập mà thơng qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hồn cảnh, đưa ra
giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng
sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất
định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất
hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn cịn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:
Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải tốn, khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn
để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất
được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu.
Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một
cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ khơng phải cái
nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
Ví dụ 1.3.2. Giải hệ phương trình
√
√
x+9+ 7−y = 4

√
√
y + 9 + 7 − x = 4.

11


Lời giải. Cách 1: Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra
√
x+9+

⇔
Xét hàm số f (t) =
Ta có

7−y =

√
√
x+9− 7−x =

√
y+9+ 7−x

y+9−

7−y

√
√

t + 9 − 7 − t (−9 ≤ t ≤ 7).

1
1
f (t) = √
+ √
> 0, ∀t ∈ (−9; 7).
2 t +9 2 7−t

Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên [−9; 7]. Từ (1.1) ta có
f (x) = f (y) ⇔ x = y.
Thế vào phương trình đầu của hệ ta được
√
√
x+9+ 7−x = 4
√
√
⇔ x + 9 + 7 − x + 2 x + 9 7 − x = 16
⇔

−x2 − 2x + 63 = 0

⇔ −x2 − 2x + 63 = 0
⇔

x=7⇒y=7
x = −9 ⇒ y = −9.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (−9; −9) và (7; 7).
Cách 2: Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau đây

√
√
x+9+ 7−y
√
√
y+9+ 7−x

2
2

= 16
= 16

√
√
x+y+2 x+9 7−y = 0
⇔
√
√
x+y+2 y+9 7−x = 0
√
√
⇔ 2 x+9 7−y = 2 y+9 7−x
⇔ 7x − xy + 63 − 9y = 7y − xy + 63 − 9x
12

(1.1)


⇔ 16x = 16y ⇔ x = y.

Thế vào phương trình đầu của hệ ta thu được phương trình
√
√
x+9+ 7−x = 4
√
√
x + 9 + 7 − x + 2 x + 9 7 − x = 16
⇔

−x2 − 2x + 63 = 0

⇔ −x2 − 2x + 63 = 0 ⇔

x=7⇒y=7
x = −9 ⇒ y = −9.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (−9; −9) và (7; 7).
Cách 3: Xét các trường hợp sau đây
√
√
√
√
TH1: Nếu x > y thì ta có x + 9 > y + 9 và 7 − y > 7 − x suy ra
√
x+9+
Mà

7−y >

√

y + 9 + 7 − x.

√
√
x+9+ 7−y = 4
√
√
y + 9 + 7 − x = 4,

nên 4 > 4 (Vơ lý).
TH1: Nếu x < y thì ta có

√
√
√
√
x + 9 < y + 9 và 7 − y < 7 − x suy ra

√
x+9+
Mà

7−y <

√
y + 9 + 7 − x.

√
√
x+9+ 7−y = 4

√
√
y + 9 + 7 − x = 4,

nên 4 < 4 (Vô lý).
TH1: Nếu x = y, thế vào phương trình đầu của hệ ta được
√
√
√
√
x + 9 + 7 − x = 4 ⇔ x + 9 + 7 − x + 2 x + 9 7 − x = 16
⇔ −x2 − 2x + 63 = 0 ⇔

13

x=7⇒y=7
x = −9 ⇒ y = −9.


Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (−9; −9) và (7; 7).
Cách 4: Từ hệ phương trình đã cho ta có
√
√
x+9+ 7−x +
Ta có

√
√
x+9+ 7−x

2

7−y+

y + 9 = 8.

(1.2)

√
√
= 16 + 2 x + 9 7 − x ≥ 16.

suy ra
√
√
x + 9 + 7 − x ≥ 4.

y+9+

7−y

(1.3)

2

= 16 + 2

y+9

7 − y ≥ 16

suy ra
7 − y ≥ 4.

y+9+

(1.4)

Từ (1.3) và (1.4) ta có
√
√
x+9+ 7−x +

7−y+

y + 9 ≥ 8.

Vậy để (1.2) xảy ra thì ở (1.3) và (1.4) phải xảy ra dấu bằng, tức là


x = −9


√
√


x+9 7−x = 0
(x + 9) (7 − x) = 0
x=7

⇔
⇔
√
√

y+9 7−y = 0
(y + 9) (7 − y) = 0
y = −9




y = 7.
Thay (x; y) bởi (−9; −9); (−9; 7); (7; 7); (7; −9) vào hệ phương trình đã cho ta
có nghiệm của hệ phương trình là (−9; −9); (7; 7).
√
√
√
√
Cách 5: Đặt u = x + 9 ≥ 0; v = 7 − y ≥ 0; z = y + 9 ≥ 0;t = 7 − x ≥ 0.
Ta thu được hệ phương trình

 u+v = 4



 z+t = 4
 u2 + t 2 = 16



 2

z + v2 = 16
14

(1)
(2)
(3)
(4).


Từ (1) và (2) suy ra u + v = z + t (5);
Từ (3) và (4) ⇒ u2 + t 2 = z2 + v2 ⇔ u2 − v2 = z2 − t 2
⇔ (u − v)(u + v) = (z − t)(z + t) (6).
Từ (5) và (6) ta được
u+v = z+t
(u − v)(u + v) = (z − t)(z + t)

⇒ (u − v)(u + v) = (z − t)(u + v)

⇔ (u + v)[(u − v) − (z − t)] = 0 ⇔ (u − v) − (z − t) = 0( vì u + v = 4 > 0)
⇔ u − z = v − t (7).
Mặt khác, từ (5) ⇒ u + v = z + t ⇔ u − z = t − v (8).
Từ (7) và (8) ⇒ u − z = v − t = t − v ⇒ v = t và u = z.
⇒

√
√
x+9 = y+9
⇔ x = y.

√
√
7−x = 7−y

Thế x = y vào phương trình đầu của hệ ta được
√
√
√
√
x + 9 + 7 − x = 4 ⇔ x + 9 + 7 − x + 2 x + 9 7 − x = 16
⇔

−x2 − 2x + 63 = 0

⇔ −x2 − 2x + 63 = 0 ⇔

x=7⇒y=7
x = −9 ⇒ y = −9.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (−9; −9) và (7; 7).
Cách 6: Từ hệ phương trình đã cho ta có
√
√
( x + 9 + 7 − x) + ( 7 − y +

y + 9) = 8

(1.5)

√

√
t + 9 + 7 − x,t ∈ [−9; 7]. Ta có
√
√
1
1
1 7−t − t +9
√
f (t) = √
= √
− √
,t ∈ (−9; 7);
2 t + 9. 7 − t
2 t +9 2 7−t
√
√
√
√
f (t) = 0 ⇒ 7 − t − t + 9 = 0 ⇔ 7 − t = t + 9 ⇔ t = −1 ∈ (−9; 7) .

Xét hàm số f (t) =

15


Ta có

√
f (−9) = 4; f (7) = 4; f (−1) = 4 2
⇒ min f (t) = f (−9) = f (7) = 4 ⇒ f (x) + f (y) ≥ 4 + 4 = 8.

[−9;7]

Do đó (1.5) xảy ra khi ta có
f (x) = 4
f (y) = 4

⇒ (x; y) ∈ {(−9; −9); (7; 7); (−9; 7); (7; −9)}

Thay (x; y) bởi (−9; −9); (7; 7); (−9; 7); (7; −9) vào hệ phương trình đã cho ta
có nghiệm của hệ phương trình là (−9; −9); (7; 7).
Cách 7: Từ hệ phương trình đã cho ta có
√
√
( x + 9 + 7 − x) + ( 7 − y +
Xét hàm số
f (t) =

y + 9) = 8.

(1.6)

√
√
t + 9 + 7 − x,t ∈ [−9; 7].

Ta có
√
√
1 7−t − t +9
1

1
√
= √
f (t) = √
− √
,t ∈ (−9; 7);
2 t + 9. 7 − t
2 t +9 2 7−t
√
√
√
√
f (t) = 0 ⇒ 7 − t − t + 9 = 0 ⇔ 7 − t = t + 9 ⇔ t = −1 ∈ (−9; 7.)
Bảng biến thiên

Hình 1.2: Bảng biến thiên hàm số f (t) =

√
√
t + 9 + 7 − x,t ∈ [−9; 7].

Từ bảng biến thiên ta suy ra
min f (t) = f (−9) = f (7) = 4

[−9;7]

16