BÀI TOÁN GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.98 MB, 37 trang )
MỤC LỤC
!
"#$%&'
()*+, /0123456'
784903:01-/0123456;<=-4>?@9-+'
(A6B0-4.0A3:C;<=-4>D9<E'
!F-4BGH4IJDIK64@4)-L
'0M0@4NO 3:P-4DI/Q3@4NO 3:P-4BG0RS;<=-4RH<D>T
L84903:01-34I-4642U0;<=-4R>:0>RT
TF-43V ;<=-4R2JW
$ "XW
Y3MJ93:Z-W
7A6@4[@3HA-3:\-J93:Z-W
]&^%]_`
4NO 3:P-4D0@4)-=-4+RH<D>`
74NO 3:P-4BGH4IJ:0a-=-4@+>RH<D>
]]bBc34C4IJRS;
IJJd3/0e-fBc34C7g;=-4@<H3
7IJ490/0e-fBc34Cg;<=-4@<H3+'
]bhe@32*e-;<=-4R4Hi39 >-3T
!]bBc34CjkJ/012Bc;<=-4:0.43/H?f<>l/H?fJ0++<>/H?W
]$ "mn;o
PJ6,63:C4IJRS;IJJ9?0J0p>DIJ0-0J0p>o
7PJ6,63:C34>H:I /2d6q4NO A-3S0N2r7`
];7`
Q23:s6B0a2j401-7`
IJDI34t3u6;7
]v "8& "vw;7
(v "&]v^%x]vyz7L
Trang
I03HA-.0M0DI/0=-<2Z-@4NO 3:P-4/Z6-4Q3Jd3{-;7L
7I03HA-.0M0DI/0=-<2Z-@4NO 3:P-4/Z6490Jd3{-;7T
0|0340=26A6<=-4R}+u 3:H 64NO 3:P-4;7T
!4NO 3:P-4;`
']F+uJ0-44~9;'
(8•L
(v8& T
Trang 7
LỜI MỞ ĐẦU
Cải tiến công nghệ phục vụ cho cuộc sống là phương châm, động lực phát triển
cho xã hội loài người trong thời gian qua.Từ khi con người có ý thức thì sự tìm tòi học
hỏi và khả năng tư duy chính là đặc điểm đưa loài người ra khỏi lớp động vật. Đặc
điểm nổi bật nhất của sự tìm tòi học hỏi hay khả năng tư duy là sự sáng tạo, tiềm lời
giải cho những vần đề được đặt ra. Vì vậy càng ngày càng nhiều phần mềm ra đời
phục vụ tin học hoá nhu cầu xã hội và phục vụ tất cả các lĩnh vực trong học tập và
nghiên cứu khoa học. Maple được ra đời, dưới đây giới thiệu cách sử dụng Maple và
một số ứng dụng của phần mềm để phân tích giải bài toán khảo sát hàm số, giải và
biện luận phương trình bậc nhất , phương trình bậc hai một ẩn.
Xin chân thành cảm ơn đến Thầy PGS. TS Đỗ Văn Nhơn đã nhiệt tình giảng dạy
và hướng dẫn em hoàn thành chuyên đề này.
Học viên : Lê Văn Đào
Trang
I. GIỚI THIỆU MAPPLE – CÔNG CỤ LẬP TRÌNH SYMBOLIC
Maple là một
hệ
thống tính toán trên các
biểu thức đại
số và minh
hoạ
toán học
m
ạ
nh
mẽ
của công ty Warterloo Maple Inc. (http :
/ /ww w .
m a
p l
e s
o f
t .c
om). Maple ra
đời năm
1991
đến nay đã phát
triển
đến phiên
bản
16. Maple có cách cài
đặt
đơn
giản, chạy được
trên
nhiều hệ điều
hành, có
cấu
trúc linh
hoạt để sử
dụng tối
ưu cấu
hình máy và có trình
tr
ợ
giúp (help)
rất dễ sử
dụng.
Từ
phiên
bản
7, Maple cung
cấp
ngày càng
nhiều
các công cụ
trực
quan, các gói
lệnh tự
học
gắn liền với
toán học phổ
thông và
đại
học. Ưu
điểm
đó
làm
cho
nhiều người
trên
thế giới lựa
chọn
sử
dụng
Maple cùng các
phần mềm
toán học
khác áp dụng
trong
dạy
học toán và các công
việc tính toán
đòi hỏi của
thực tiễn
và
sự
phát
triển
của giáo dục.
C ó t hể
nhận thấy rằng
ngoài
các
tính
năng
tính toán và minh
hoạ rất mạnh
mẽ bằng
các câu
lệnh
riêng
biệt (thường
chỉ
cho
ta
kết quả
cuối cùng), Maple còn là
một ngôn
ngữ lập
trình
hướng
thủ tục
(procedure).
Thủ tục là một dãy các
lệnh
của
Maple theo
thứ tự
mà
người lập
trình định
sẵn để xử
lí một công
việc
nào đó, khi
thực
hiện
thủ tục này Maple
sẽ tự
động
thực hiện
các
lệnh
có
trong
thủ tục đó một cách
tuần tự
và sau đó
trả lại kết quả
cuối
cùng.
Mapple có các chức năng cơ bản sau:
• Là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số.
• Có thể thực hiện được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán đại
học và sau đại học.
• Cung cấp các công cụ minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị động và tĩnh
của các đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý và trong các hệ tọa độ khác nhau.
• Là một ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các
ngôn ngữ lập trình khác.
• Cho phép trích xuất ra các định dạng khác nhau như word, HTML…
Trang !
• Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các lớp học
tương tác trực tiếp.
• Một trợ giáo hữu ích cho học sinh sinh viên trong việc tự học.
II. CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN
1. Xây dựng biểu thức
1) # Xây dựng biểu thức
2) # 1) Các phép toán : +, -, *, /
# 2) Các hàm sơ cấp
# Sin(x), cos(x), tan(x), cotan(x),
# exp(x),
# ln(x), log[a](x),
#abs(x),
#max(x1, x2, ), min(x1, x2, ),
#sqrt(x),
#GAMMA(x), Beta(x,y)
3) Các hằng số : Pi, infinity, true, false,…
4) Lệnh gán T:=biểu thức
2. Khai triển biểu thức: lệnh expand
>
3. Xác đinh giá trị : lệnh evalf
>
Trang '
4. Tính đạo hàm và tích phân
a. Tính đạo hàm: lệnh diff
>
b. Tính nguyên hàm và tích phân: lệnh int
>
Trang L
5. Giải phương trình và bất phương trình đại số: lệnh solve
# Giải phương trình:
#ví dụ 2: Giải hệ phương trình
# Ví dụ: Giải bất phương trình
6.Khai triển thành chuỗi: lệnh series
>
Trang T
7.Tính tổng: lệnh sum
>
III. TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN
1. Mô tả ma trận
Cách 1 : Lệnh matrix : A :=matrix(m,n, [dãy phần tử ]) ;
>
Cách 2 : A=array([[Dòng 1], [Dòng 2 ],…, [Dòng n]]) ;
2. Các phép toán trên ma trận
a. Phép cộng, trừ ma trận : lệnh evalm
>
Trang W
b. Tính định thức : lệnh det
>
C. Tính giá trị riêng : lệnh eigenvals
>
d. Tính vector riêng: Lệnh eigenvects
v:=eigenvectors(A);
v :=[1, 3, {[0, 1, 0]}]
v[1][1] : Giá trị riêng
v[1][2] : Bội
v[1][3] : vector riêng
Trang o
e. Tính ma trận chuyển vị: lệnh transpose
f. Tính ma trận nghịch đảo : lệnh inverse
>
IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Phương trình vi phân. Lệnh dsolve
a. Tìm nghiệm tổng quát
>
b. Tìm nghiệm bài toán Côsi
c. Giải phương trình vi phân
Trang `
>
2. Phương trình đạo hàm riền. Lệnh pdesolve
>
V. Vẽ đồ thị hàm số:
1. Hàm một biến, đồ thị 2D: Lệnh plot
>
Trang
Trang 7
# Khi không chỉ ra miền xác định, Maple sẽ lấy miền mặc định là [-10,10])
Trang
# ( chỉ ra cả miền xác định & miền giá trị)
Trang !
# Vẽ đồ thị nhiều hàm số. Danh sách các hàm số để trong cặp ngoặc vuông, tham số color chỉ ra thứ
tự màu sắc cho từng đồ thị, tham số style
# chỉ ra kiểu nét vẽ theo thứ tự cho các đồ thị ).
2. Hàm hai biến, đồ thị 3D: lệnh plot3d
Trang '
>
Trang L
# Vẽ nhiều mặt cong cùng nhau: {c1, c2, c3}, ở đây c1, c2, c3 được mô tả dưới dạng tham số {u,v})
3. Vẽ tiếp tuyến : lệnh showtangent
>
Trang T
4. Vẽ đồ thị kèm biểu đồ: lệnh rightbox, leftbox, middlebox
>
Trang W
VI. TÍNH TOÁN CỰC TRỊ:
1. Tìm cực trị hàm số : Hàm maximize và minimize
Cú pháp:
Minimize(expr)
Minimize(expr, vars)
Minimize(expr, vars, ranges)
Maximize(expr)
Maximize(expr, vars)
Maximize(expr, vars, ranges)
>
Trang o
2. Tìm cực trị theo ràng buộc ( Phương án tối ưu)
>
VII. LẬP TRÌNH:
1. Cấu trúc điều khiển
A. rẽ nhánh
if <conditional expression> then <statement sequence>
| elif <conditional expression> then <statement sequence> |
| else <statement sequence> |
end if
ví dụ :
>
b.Lặp xác định
for <name> from <expr> to <expr> do <statement sequence> end
do;
hay
for <name> in <expr> do <statement sequence> end do;
>
Trang 7`
3. Hàm và thủ tục:
>
VIII. BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
Bài toán khảo sát hàm số là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình
toán ở THPT, luôn có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh ĐH-CĐ
C á c b ư ớc khảo s á t h à m số y = f ( x ):
(1) Tìm tập xác định của hàm số
(2) Xét sự biến thiên của hàm số
(a) Chiều biến thiên : Tính đạo hàm y’, xét dấu y’ để suy ra chiều biến thiên của
đồ thị hàm số
(b)Cực trị: Dựa vào chiều biến thiên tìm các điểm cực trị ( nếu có) của đồ thị
hàm số.
(c) Tính lòi, lõm và điểm uốn: Tính đạo hàm y’’ và xét dấu y’’ để tìm điểm uốn
của đồ thị hàm số ( nếu có).
(d)Giới hạn: Tính các giới hạn của hàm số. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
( nếu có)
3) Vẽ đồ thị hàm số:
- vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( nếu có).
- Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số : cực trị, các giao điểm của đồ thị với
các trục toạ độ ( nếu có)
Dựa vào các bước để khải sát hàm số trên, bằng cách sử dụng các lệnh cho sẵn của
Maple chúng ta lập được thủ tục giải bài toán khảo sát hàm số đối với các hàm số:
Trang 7
?€/
?€+
Y = ax
3
+ bx
2
cx + d; y = ax
4
+ bx
2
+ c ; y =
Và một số bài toán liên quan như : biện luận số nghiệp của phương trình : f(x)=km + h ( m
tham số, k và h cho trước), viết phương tình tiếp tuyến, tìm giao của đồ thị và đường thẳng ,
…
Sau đây là đoạn chương trình trong Maple thể hiện thủ tục khảo sát hàm số bậc ba :
Y = ax
3
+ bx
2
+ cx +d
########### Khảo sát hàm số bậc 3 ###########################
# Hàm số bậc ba : y =a^3+bx^2+cx+d#
# Nhập các giá trị a,b,c,d#
> ('Khảo sát hàm số: '); y:=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
(‘1) Tập xác định : R’) ;
(‘2) sự biến thiên :’0 ; dh1 :=diff(y,x) :
Print(‘a) chiều biến thiên : y’ ‘=dh1) ;
If({fsolve(diff(y,x)=0)}={}and a>0) then (‘y>0 với mọi x’.) ; (‘ hàm số luôn đồng biến.’);
end if;
if({fsolve(diff(y,x)=0)}={}and a<0) then (‘y<0 với mọi x.’); (‘Hàm số luôn nghịch biến.’);
end if;
if({fsolve(diff(y,x)=0)}=0<>{}and a>0 and
max(solve(diff(y,x)=0))=min(solve(diff(y,x)=0))) then
(‘ Đạo hàm y’=0 tại x’=min(solve(diff(y,x)=0)))
(y’>=0 với mọi x.’); (‘Hàm số luôn đồng biến.’);
end if;
if({fsolve(diff(y,x)=0)}<>{}and a<0 and
max(solve(diff(y,x)=0)=min(solve(diff(y,x)=0))) then
(‘Đạo hàm y’=0 tại x’=min(solve(dif(y,x)=0)));
Trang 77
(‘y<=0 với mọi x.’); (‘Hàm số luôn nghịch biến.’);
end if;
if({fsolve(diff(y,x)=0}<>{}and a>0 and max(solve(diff(y,x)=0))
<> min(solve(diff(y,x)=0))) then
dh1=factor(dh1);
(‘Đạo hàm y’=0 tại x’=solve(diff(y,x)=0));
(‘Hàm số đồng biến trong các khoảng:’)(- infinity,
min(solve(diff(y,x)=0)))(‘và’)(max(solve(diff(y,x)=0)),infinity);
(‘Hàm số nghịch biến trong khoảng:’);
(min(solve(diff(y,x)=0)),max(solve(diff(y,x)=0)));
end if;
if({fsolve(diff(y,x)=0)}<>{}and a<0 and
max(solve(diff(y,x)=0))<>min(solve(diff(y,x)=0))) then
dh1=factor(dh1);
(‘Đạo hàm y’=0 tại x’=solve(dif(y,x)=0)); (‘Hàm số nghich biến
trong các khoảng:’(-infinity, min(solve(diff(y,x)=0)))(‘và’)
(max(solve(diff(y,x)=0)),infinity);
(‘Hàm số đồng biến trong khoảng:’)
(min(solve(dif(y,x)=0)),max(solve(dif(y,x)=0)));
end if;
(‘b) Cực trị:’);
Trang 7
if({fsolve(diff(y,x)=0)}={} then {]Hàm số không có cực trị.’); end
if;
if({fsolve(diff(y,x)=0)}<>{} and max(solve(diff(y,x)=0))=
min(solve(diff(y,x)=0))) then (‘Hàm số không có cực trị.’); end if;
if({fsolve(diff(y,x)=0)}<>{} and max(solve(diff(y,x)=0))=
min(solve(diff(y,x)=0))) then
(‘Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu:’);
(‘Điểm cực đại:’) (min(solve(diff(y,x)=0)),
simplify(eval(y,x=min(solve(diff(y,x)=0)))));
(‘Điểm cực tiểu:’)(max(solve(diff(y,x)=0)),
simplify(eval(y,x)=max(solve(diff(y,x)=0))));
end if;
if({fsolve(diff(y,x)=0)}<>{} and max(solve(diff(y,x)=0))=
min(solve(diff(y,x)=0))) then
(‘Hàm số có một điểm cực tiêu và một điểm cực đại:’);
(‘Điểm cực tiểu:’)(max(solve(diff(y,x)=0)),
simplify(eval(y,x)=max(solve(diff(y,x)=0)))
(‘Điểm cực đại:’) (min(solve(diff(y,x)=0)),
simplify(eval(y,x=min(solve(diff(y,x)=0)))));
end if;
(‘c) Giới hạn:’);
>
Trang 7!
(‘d) Tính lồi, lõm và điểm uống :’) ;
(‘y’’=diff(diff(y,x),x));
(‘Điểm uốn: U’) (solve(diff(diff(y,x(,x)),simplify(eval(y,x=solve(diff(diff(y,x),x)))));
If(a>0) then (‘Hàm số lồi trong khoảng:’)(-infinity,solve(diff(diff(y,x),x)));
(‘Hàm số lõm trong khoảng:’)(solve(diff(diff(y,x),x)),infinity);
Else (‘Hàm lồi lõm trong khoảng:’)(-infinity,solve(diff(diff(y,x),x)));
(‘Hàm số lồi trong khoảng:’)(solve(diff(y,x),x)),infinity)
end if;
(‘3) Đồ thị: Đồ thị cso tâm đối xứng là điểm uồn.’);
(‘Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ: ‘(fsolve(y=0)));
(‘Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ‘(0,d));
>
Warning, expecting only range variable x in expression y to be
plotted but found name y
Khi thực hiện ta chỉ cần nhập các giá trị a,b,c,d và ra lệnh, Maple sẽ thực hiện thủ tục trên và
cho kết quả:
Dưới đây ta sử dụng các hàm số đã nhập ở trên:
Khảo sát hàm số :
Y:=-x
3
= 3x
2
+4
Trang 7'
