Ứng dụng maple trong bài toán khảo sát hàm số

Đại Học Công Nghệ Thông Tin
Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh
TP. HCM 1/2013
GVHD : PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn
Học viên: Trương Lê Hưng
MS: CH1101089
Lớp: Cao Học khóa 6
Môn học: Lập trình symbolic
Lời mở đầu
Hiện nay khoa học công nghệ thông tin ngày càng phát triển, trang thiết bị
ngày càng hiện đại. Để đáp ứng nhu cầu dạy và học thì ngành giáo dục cũng phải
tận dụng nguồn tài nguyên vô cùng to lớn này.
Áp dụng khoa học công nghệ thông tin vào giáo dục là việc mà ngày nay
nhiều trường lớp đã và đang áp dụng rộng rãi. Việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ
dạy và học ngày càng phổ biến hơn.
Trong nội dung bài thu hoạch này em xin được trình bày phương pháp ứng
dụng Maple trong việc giải bài toán khảo sát hàm số, một dạng bài toán thường
xuyên xuất hiện trong đề thi đại học hằng năm.
Nội dung bài thu hoạch bao gồm :
Phần 1 : Tổng quan về Maple
Phần 2 : Ứng dụng Maple trong việc giải bài toán khảo sát hàm số
Phần 3 : Bài tập vận dụng.
Phần 4 : Tài liệu tham khảo
Môn học: Lập trình symbolic Trang 2
Mục lục
Môn học: Lập trình symbolic Trang 3
Phần I . Tổng quan về Maple
1. Giới thiệu về maple
a. Giới thiệu
Maple là một gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều
mục đích. Nó phát triển lần đầu tiên vào năm 1980 bởi Nhóm Tính toán

Hình thức tại Đại học Waterloo ở Waterloo, Ontario, Canada.
Từ năm 1988, nó đã được phát triển và thương mại hóa bởi Waterloo
Maple Inc. (còn được biết đến với tên gọi Maplesoft), một công ty
Canada cũng có trụ sở tại Waterloo, Ontario. Phiên bản hiện tại là Maple
13 được phát hành vào tháng 5 năm 2009. Đối thủ cạnh tranh chính của
nó là Mathematica.
b. Chức năng cốt lõi
Người dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán học
truyền thống. Có thể dễ dàng tạo ra những giao diện người dùng tùy
chọn. Maple hỗ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như
hiển thị. Nhiều phép tính số học được thực hiện dựa trên thư viện số học
NAG. Trong Maple, các chương trình con NAG đã được mở rộng để cho
phép độ chính xác ngẫu nhiên lớn.
Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ. Cũng có giao
diện cho những ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLab, và Visual
Basic). Cũng có một giao diện dành cho Excel.
c. Kiến trúc
Phần lớn chức năng toán học của Maple được viết bằng ngôn ngữ
Maple, và được thông dịch bởi nhân Maple. Nhân Maple được viết bằng
C. Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành chính.
Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn ngữ kiểu động. Cũng giống
như các hệ thống đại số máy tính, các biểu thức hình thức được lưu trữ
Môn học: Lập trình symbolic Trang 4
trong bộ nhớ theo đồ thị không chu trình có hướng (DAG). Ngôn ngữ cho
phép các biến có phạm vi nhất định (lexical scoping). Ngôn ngữ có hình
thức lập trình hàm, nhưng cũng có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền
thống, theo kiểu mệnh lệnh.
Một điều lạ đối với chương trình thương mại, đa số mã nguồn đều có
thể xem tự do.
d. Lịch sử

Khái niệm đầu tiên về Maple xuất phát từ một cuộc họp vào tháng 11
năm 1980 tại Đại học Waterloo. Những nhà nghiên cứu tại đại học muốn
mua một máy tính đủ mạnh để chạy Macsyma. Thay vào đó, người ta
quyết định họ sẽ phát triển hệ thống đại số máy tính riêng để có thể chạy
được những máy tính có giá thành hợp lý hơn. Do đó, dự án bắt đầu với
mục tiêu là tạo ra một hệ thống đại số hình thức mà các nhà nghiên cứu
và sinh viên có thể truy cập được.
Sự phát triển đầu tiên của Maple được tiến hành rất nhanh, với phiên
bản hạn chế đầu tiên xuất hiện vào tháng 12 năm 1980. Những nhà
nghiên cứu đã thử nghiệm và loại bỏ nhiều ý tưởng khác nhau để tạo ra
một hệ thống liên tục cải tiến. Maple được trình diễn đầu tiên tại những
hội nghị bắt đầu vào năm 1982.
Đến cuối năm 1983, trên 50 trường đại học đã cài Maple trên máy của
họ. Do số lượng hỗ trợ và yêu cầu giấy phép lớn, vào năm 1984, nhóm
nghiên cứu đã sắp xếp với WATCOM Products Inc để cấp phép và phân
phối Maple.
Vào năm 1988, do số lượng hỗ trợ ngày càng tăng, Waterloo Maple
Inc. được thành lập. Mục tiêu đầu tiên của công ty là quản lý những bản
phân phối phần mềm. Cuối cùng, công ty cũng phải mở ra phòng R&D ở
đó khá nhiều sự phát triển cho Maple được thực hiện đến ngày nay. Sự
phát triển đáng kể của Maple tiếp tục diễn rại những phòng thí nghiệm
Môn học: Lập trình symbolic Trang 5
trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính toán hình thức tại Đại
học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính toán hình thức Ontario tại Đại
học Tây Ontario; và những phòng thí nghiệm khắp nơi trên thế giới.
Vào năm 1989, giao diện đồ họa người dùng đầu tiên của Maple được
phát triển và bao gồm trong bản 4.3 dành cho Macintosh. Những phiên
bản trước của Maple chỉ gồm giao diện dòng lệnh với ngõ ra hai chiều.
Bản X11 và Windows với giao diện mới tiếp bước vào năm 1980 với
Maple V.

Vào năm 1999, với việc phát hành Maple 6, Maple đã đưa vào một số
Thư viện Số học NAG, được mở rộng độ chính xác ngẫu nhiên.
Vào năm 2003, giao diện "chuẩn" hiện nay được giới thiệu trong
Maple 9. Giao diện này được viết chủ yếu bằng Java (mặc dù có nhiều
phần, nhưng luật cho việc gõ công thức toán học, được viết bằng ngôn
ngữ Maple). Giao diện Java bị phê phán là chậm, những sự phát triển
được thực hiện trong các bản sau, mặc dù tài liệu Maple 11
documentation khuyến cáo giao diện (“cổ điển”) trước đây dành cho
người với bộ nhớ vật lý ít hơn 500 MB. Giao diện cổ điển này không còn
được bảo trì.
Giữa 1995 và 2005 Maple đã mất khá nhiều thị phần vào tay đối thủ
do có giao diện người dùng yếu hơn. Nhưng vào năm 2005, Maple 10
giới thiệu một “chế độ văn bản” mới, như một phần của giao diện chuẩn.
Tính năng chính của chế độ này là phép toán được đưa vào bằng ngõ
nhập hai chiều, do đó nó xuất hiện tương tự như công thức trong sách.
Vào năm 2008, Maple 12 đã thêm những tính năn giao diện người dùng
giống như Mathematica, gồm có những kiểu trình bày theo mục đích đặc
biệt, quản lý phần đầu và cuối trang, so trùng mở đóng ngoặc, vùng thực
hiện tự động, mẫu hoàn thành lệnh, kiểm tra cú pháp và vùng tự động
Môn học: Lập trình symbolic Trang 6
khởi tạo. Những tính năng khác được thêm để làm cho Maple dễ dùng
hơn như một hộp công cụ Maple.
2. Cấu trúc giao diện và tài nguyên Maple
Trong nội dung bài thu hoạch này chủ yếu đề cập đến phiên bản
Maple 13.
Giao diện chính của Maple 13:
Cột bên trái thể hiện các cú pháp toán học cũng như các cách biểu
diễn toán học.
Môi trường soạn thảo được chia ra làm text, math, drawing, plot và
animation.

Các lệnh của Maple được gõ sau dấu nhắc lệnh > , kết thúc lệnh bằng
dấu chấm phẩy (;) nếu muốn Maple hiển thị kết quả của việc tính toán,
hoặc dấu hai chấm(:) nếu chỉ yêu cầu Maple tính toán mà không hiển thị
kết quả. Các bạn dùng phím Enter để yêu cầu Maple bắt đầu thực hiện
tính toán.
Ví dụ tính giá trị biểu thức sau:
Môn học: Lập trình symbolic Trang 7
>
Maple cho ra kết quả -7
Để tra cứu thông tin và trợ giúp sử dụng các hàm trong Maple, ta có
thể vào Help -> Maple Help rồi search từ khóa cần tìm để ra thông tin
cần tra cứu.
Ví dụ: tra cứu thông tin về hàm factor
3. Lưu trữ và trích xuất dữ liệu
Để lưu môi trường làm việc hiện tại, vào File -> Save (Hoặc sử dụng
phím tắt Ctrl + S) để lưu phiên làm việc. Maple lưu văn bản dưới định
dạng .mw.
Ngoài ra Maple còn hỗ trợ export ra các định dạng khác như html,
latex, pdf v.v
Môn học: Lập trình symbolic Trang 8
Môn học: Lập trình symbolic Trang 9
Phần II. Ứng dụng Maple trong bài toán khảo sát hàm số
1. Các hàm Maple thường sử dụng.
a. Tính toán số học thông dụng
Các phép toán số học: +, -, *, /
Các phép toán logic: not, or, xor và các hằng true, false …
Các phép so sánh: >, <, >=, <=, <>
Phép lũy thừa ^, giai thừa !
Tính logarit: ln(x),
Các hàm lượng giác: sin(x), cos(x), tan(x), v.v…

b. Các hàm thư viện
asb hàm trị tuyệt đối
exp hàm số mũ cơ số e
root[n] hàm căn bậc n
sqrt hàm căn bậc hai
evalf(e,n) cho sắp sỉ đại lượng e cần tính với độ chính xác n.
simplify (e) đơn giản biểu thức e.
power(e) đưa biểu thức e về dạng lũy thừa.
combine (biểu thức) kết hợp và rút gọn biểu thức.
convert (biểu thức, dạng) chuyển đổi các dạng hàm.
expand (biểu thức) khai triển biểu thức.
factor (đa thức) phân tích đa thức ra thừa số.
normal (phân thức) giản ước phân thức.
collect (biểu thức) nhóm các số hạng của đa thức.
solve (phương trình) giải phương trình.
solve (phương trình, tên các ẩn) giải phương trình theo ẩn xác định trước.
solve (phương trình, tên các ẩn) giải phương trình theo ẩn xác định trước.
solve (bất phương trình, tên ẩn) giải bất phương trình theo ẩn xác định
trước.
solve (hệ phương trình, tên các ẩn) giải hệ phương trình theo ẩn xác định
trước.
solve (hệ bất phương trình, tên các ẩn) giải hệ bất phương trình theo ẩn
xác định trước.
Envallsolution:=true: Phương trình lượng giác
Subs (x=a,biểu thức) thay x bởi giá trị hay biểu thức a vào biểu thức chứa
x
piecewise (dk1,bt1,dk2,bt2…dkn,btn) xây dựng hàm trên từng khúc.
limit (f(x),x=a) tính giới hạn hàm một biến.
Môn học: Lập trình symbolic Trang 10
diff (f(x),x) đạo hàm bậc nhất của hàm f(x) theo biến x.

diff (f(x),x$n) đạo hàm bậc n của hàm f(x) theo biến x.
int (f(x),x) tính tích phân bất định hàm một biến.
with (plots): vẽ đồ thị hàm một biến.
Plot ([bt1,bt2,t=a b]) vẽ đồ thị cho đường cong tham số hệ tọa độ
đecaster.
implicitplot (F(x,y)=0,x=a b,y=c d) vẽ đồ thị hàm ẩn.
animate (F,x=a b,t=c d) vẽ đồ thị đường cong chuyển động.
int (f(x),x=a b) tính tích phân xác định hàm một biến.
int (f(x),x=0 infinity) tính tích phân suy rộng với cận vô hạn.
Plot3d (hàm, x=a b,y=c d, yêu cầu tự chọn) đồ thị hàm hai biến
2. Dạng hàm số bậc 3
a. Cơ sở lý thuyết
Hàm số bậc 3 có dạng:
Tập xác định: R
Ta có:
Đạo hàm bậc 1:
Tính denta phương trình y’= 0 ta có:
Đạo hàm bậc 2:
Nếu a > 0 thì
+ Với , y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn đồng biến.
+ Với , phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1
< x2 và y’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2].
Hàm số tăng trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) giảm trên (x1, x2).
Điểm cực đại là (x1, f(x1)) và điểm cực tiểu là (x2, f(x2)).
Nếu a < 0 thì
+ Với , y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn nghịch biến.
+ Với , phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1
< x2 và y’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2].
Hàm số giảm trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) và tăng trên (x1, x2).
Điểm cực tiểu là (x1, f(x1)) và điểm cực đại là (x2, f(x2)).

− Điểm uốn: y” = 0 ⇔ x = − b/3a, điểm uốn là (−b/3a, f(−b/3a)).
− Tâm đối xứng (−b/3a, f(−b/3a)) cũng là điểm uốn.
b. Giải quyết bài toán
Môn học: Lập trình symbolic Trang 11
Khai báo hàm và các biến:
Tập xác định: R
Để tính đạo hàm bậc 1 và bậc 2 ta sử dụng hàm diff
Ta có delta của phương trình dh1 = 0
Xét các trường hợp:
• Delta > 0 và a > 0 : Hàm số luôn đồng biến và không có điểm
cực trị.
• Delta > 0 và a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến và không có điểm
cực trị.
• Delta = 0 và a > 0 : Hàm số luôn đồng biến và không có điểm
cực trị.
• Delta = 0 và a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến và không có điểm
cực trị.
• Delta < 0 và a > 0 : giải phương trình dh1 = 0 bằng hàm solve
để có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Hàm số luôn nghịch biến
trong khoảng (x1,x2), đồng biến trong khoảng (âm vô cùng, x1)
và (x2, dương vô cùng).
Hàm số đạt cực tiểu tại (x2, f(x2))
Hàm số đạt cực đại tại (x1,f(x1))
• Delta < 0 và a < 0 : giải phương trình dh1 = 0 bằng hàm solve
để có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Hàm số luôn đồng biến trong
khoảng (x1,x2), nghịch biến trong khoảng (âm vô cùng, x1) và
(x2, dương vô cùng).
Môn học: Lập trình symbolic Trang 12
Hàm số đạt cực đại tại (x2, f(x2))
• Hàm số đạt cực tiểu tại (x1,f(x1))

Vẽ đồ thị bằng hàm plot:
3. Dạng hàm số trùng phương
a. Cơ sở lý thuyết
Phương trình trùng phương có dạng:
Tập xác định: R
Đạo hàm bậc 1:
Giải phương trình y’=0 có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = -b/2a
Xét dấu y’ để suy ra được chiều biến thiên.
Tìm cực trị
Tìm các giới hạn tại vô cực, tại các điểm vô cực tìm các tiệm cận.
Vẽ đồ thị từ các điểm đặt biệt.
b. Giải bài toán
Tập xác định: D = R
Định nghĩa hàm:
Khai báo các biến:
Đạo hàm bậc 1:
Đạo hàm bậc 2:
Xét các trường hợp đặc biệt
• Trường hợp a.b < 0 và a > 0:
Tìm nghiệm y’ :
Môn học: Lập trình symbolic Trang 13
Tìm nghiệm phương trình y’’ = 0
Trường hợp a.b < 0 và a < 0
Tìm nghiệm phương trình y’ = 0:
Tìm nghiệm phương trình y’’ = 0:
Vẽ đồ thị bằng hàm plot:
Môn học: Lập trình symbolic Trang 14
4. Dạng hàm số phân thức
a. Cơ sở lý thuyết
Hàm số có dạng y =

Điều kiện
Tập xác định R\{-d/c}
Ta có:
Nếu bc-ad = 0 thì y = a/c,
Nếu thì đồ thị hàm số được suy ra từ
trong đó
Đồ thị có 2 tiệm cận x = -d/c và y = a/c
b. Giải bài toán
Khai báo hàm:
Khai báo các biến
Tính đạo hàm bậc 1 và bậc 2
Đặt
Nếu tu > 0 hàm số luôn đồng biến trong tập xác định
Nếu tu < 0 hàm số luôn nghịch biến trong tập xác định
Xác định tiệm cận ngang và tiệm cận đứng:
Môn học: Lập trình symbolic Trang 15
Vẽ đồ thị bằng hàm plots:
Phần III Bài tập vận dụng
1. Kết quả đạt được
Đã xây dựng được gói Maple khảo sát và vẽ đồ thị hàm số các hàm số bậc
3, hàm số trùng phương và hàm số phân thức.
2. Bài tập vận dụng
Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = - x
3
+ 3x
>
Môn học: Lập trình symbolic Trang 16
Bài tập:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Môn học: Lập trình symbolic Trang 17
Bài tập: Khảo sát và vẽ hàm số
Môn học: Lập trình symbolic Trang 18
Môn học: Lập trình symbolic Trang 19
Tài liệu tham khảo
[1] PGS.TS Đỗ Văn Nhơn, bộ slide bài giảng lập trình symbolic, Đại học Công Nghệ
Thông Tin.
[2] Võ Tiến, Giới thiệu phần mềm toán học, Đại học Đà Lạt, 2008.
[3] Nguyễn Chánh Tú, Sử dụng Maple để dạy – học toán trong môi trường tương tác, Đại
học sư phạm Huế
[4] Hoàng Ngọc Quang, chuyên đề khảo sát hàm số, 2010

Môn học: Lập trình symbolic Trang 20