Sáng kiến kinh nghiệm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Tìm cực trị toán học Đại số 8- Đại số 9

A-ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lý luận:
Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là Đại số 8- Đại số 9. Các dạng
toán tìm GTLN- GTNN luôn được đề cập đến, nhưng do quỹ thời gian không cho phép
nên các nhà viết sách không đưa ra được các phương pháp giải hoặc các ví dụ minh họa.
Chính vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong làm bài, thậm chí nhiều em còn
không hiểu rõ thế nào là GTLN- GTNN chứ chưa nói đến việc tìm ra giá trị đó. Toán học
nâng cao sẽ giúp các em có hiểu biết sâu hơn, rộng hơn về toán. Các phương pháp giải
toán cực trị là một trong các chuyên đề đó.
Sử dụng các phương pháp “Tìm cực trị toán học” có tác dụng góp phần phát triển
năng lực, trí tuệ: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Rèn luyện đức tính :
cẩn thận, chính xác, khoa học, tính kỉ luật, tự giác cao trong học tập. Bồi dưỡng tính sáng
tạo cho các em
2.Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình dạy Toán 8- Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy sách giáo
khoa hầu như chưa đề cập đến dạng toán “ Tìm cực trị”. Song khi thi tuyển vào THPT
hay thi chọn đội tuyển HSG cấp huyện- tỉnh các thầy cô ra đề thường chọn đây là mảng
kiến thức hay và khó nhằm chọn được học sinh có trí tuệ, có tư duy, có kỹ năng.
Sử dụng “ Một số phương pháp tìm cực trị ở bậc THCS” sẽ giúp cho nhiều học
sinh hiểu và nắm vững cực trị toán học. Giúp các em có kiến thức vững vàng khi tham
gia các kỳ thi lớn. Chính vì thế tôi xin được hệ thống các dạng toán và các phương pháp
giải thích hợp nhằm cùng thầy cô có cái tổng quan hơn về dạng toán “ tìm cực trị”. Đồng
thời tạo điều kiện cho các em học sinh có bộ tài liệu tham khảo về mảng kiến thức khó
này.
II. MỤC TIÊU – PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Mục tiêu
- Giúp học sinh làm quen và có hướng giải quyết các bài toán liên quân đến “ Tìm
giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất” gọi chung “ tìm cực trị” trong toán học phổ
thông cơ sở. Củng cố được kiến thức toán học còn hổng cho học sinh
-Rèn tính sáng tạo, tư duy linh hoạt, khả năng giải quyết các vấn đề mới, các vấn

đề khó trong cuộc sống.
2. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu SGK, tài liệu tham khảo sau đó vận dụng và hướng dẫn học sinh
giải quyết vấn đề.
- Trao đổi nhóm chuyên môn, xây dựng và đúng kết kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
- Sử dụng các tài liệu:
Toán nâng cao và phát triển Toán 8-9
Toán học và tuổi trẻ
Các diễn đàn toán học trên Internet
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.Các định nghĩa.
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất( GTLN) .Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên D. Ta nói M
là GTLN của f(x,y ) trên D, kí hiệu M= maxf(x,y ), nếu hai điều kiện sau xảy ra
- Với mọi x, y thuộc D thì f(x,y )
≤
M , với M là hằng số.
- Tồn tại x
0
, y
0
thuộc D sao cho f(x
0
,y
0 )
=M
2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) .Cho biểu thức f(x,y )xác định trên D.Ta nói m là
GTNN của f(x,y ) trên D, kí hiệu m= minf(x,y ), nếu hai điều kiện sau xảy ra
- Với mọi x, y thuộc D thì f(x,y )
≥

m , với m là hằng số.
- Tồn tại x
0
, y
0
thuộc D sao cho f(x
0
,y
0 )
=m
II. Các kiến thức thường dùng.
1. Lũy thừa: Ta có (x
k
)
2
=x
2k
≥
0 với mọi x
∈
R và k
∈
Z
=> - x
2k
≤
0 với mọi x
∈
R và k
∈

Z
Tổng quát :
[ ]
2
( ) 0
k
f x ≥
với mọi x
∈
R và k
∈
Z
-
[ ]
2
( ) 0
k
f x ≤
với mọi x
∈
R và k
∈
Z
Áp dụng :
[ ]
2
( )
k
f x m m± ≥ ±
với mọi x

∈
R và k
∈
Z
-
[ ]
2
( )
k
f x m m± ≤ ±
với mọi x
∈
R và k
∈
Z
2. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
( ) 0f x ≥
với mọi x
∈
R
x y x y+ ≤ +
dấu “=” xảy ra khi x.y
≥
0
x y x y− ≥ −
dấu “=” xảy ra khi x.y
≥
0 và
x y≥
3. Bất đẳng thức Cosi:

Với hai số a, b không âm thì a+b
≥
2 .a b

Dấu “=” xảy ra khi a=b
Tổng quát: Với mọi a
i

≥
0 và n
∈
N
*
ta có
1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
Dấu “=” xảy ra khi a
1
=a
2

=….=a
n

4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Với hai cặp số (a,b) và (c,d) ta có ( a.b+c.d)
2

≤
(a
2
+c
2
)(b
2
+d
2
)
Dấu “=” xảy ra khi
a c
b d
=
Tổng quát: Với n cặp số a
1
;a
2
;….;a
n
và b
1
; b

2
;…b
n

Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 1 1

n n n n
a b a b a b a a b b+ + + ≤ + + + +
Dấu “=” xảy ra khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
5. Bất đẳng thức Bernoully:
Với mọi số a
≥
0 thì (1+a)
n

≥
1+n.a với n
∈

N
Dấu ‘=’ xảy ra khi a=0
6. Một số bất đẳng thức khác.
a, x
2
+y
2

≥
2xy
b, (x+y)
2

≥
4xy
c, 2(x
2
+y
2
)
≥
(x+y)
2
d,
2
x y
y x
+ ≥
với x.y>0
e,

1 1 4
x y x y
+ ≥
+
*) Chú ý: Sau khi tìm được GTLN- GTNN của biểu thức đại số f(x,y…) cần thử lại xem
f(x,y…) có đạt GTLN- GTNN tại đúng giá trị đó không và giá trị của biến cso thỏa mãn
các điều kiện của bài toán không ?
PHẦN II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
I. PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng phép biến đổi đồng nhất.
Bằng cách nhóm , thêm, bớt, tách các hạng tử một cách thích hợp, ta có biểu thức về
tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và một hằng số. Từ đó tìm GTLN-
GTNN của biểu thức ban đầu.
1. Ví dụ minh họa:
1.1 Tam thức bậc hai:
Ví dụ 1: a, Tìm GTNN của biểu thức A =2x
2
-8x+1
b, Tìm GTLN của biểu thức B= -5x
2
-4x+1
Giải
a, A =2x
2
-8x+1 =2 (x
2
-4x) +1
= 2(x
2
-4x+4-4)+1
= 2(x-2)

2
-7
≥
-7 với mọi x
Vậy minA=-7 khi và chỉ khi x=2
b,B=-5x
2
-4x+1 =-5(x
2
+
4
5
x)+1 = -5(x
2
-2x.
2 4 4
5 25 25
+ −
) +1
=-5
2
2 9
5 5
x
 
− +
 ÷
 
≤
9

5
Vậy maxB=
9
5
khi và chỉ khi
2
5
x =
Tổng quát: Học sinh có thể giải bài toán tổng quát
Cho biểu thức : P=ax
2
+bx+c
- Tìm GTNN của P khi a>0
- Tìm GTLN của P khi a<0
Chú ý: Một tam thức bậc hai P=ax
2
+bx+c có GTNN khi a>0 và GTLN khi a<0
1.2: Đa thức bậc cao hơn hai:
Ví dụ 2.1: Tìm GTNN của biểu thức A =x(x-3)(x-4)(x-7)
Giải
Ta có A= x(x-7)(x-3)(x-4) = (x
2
-7x)(x
2
-7x+12)
Đặt y=x
2
-7x thì A= y(y+12) =y
2
+12y

= y
2
+12y+36-36
=(y+6)
2
-36
≥
-36
Vậy minA=-36 khi và chỉ khi y=-6 thì x
{ }
1;6∈
Ví dụ 2.2: Tìm GT LNcủa biểu thức B=- (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+1976
Giải
Ta có B= -(x
2
-9x+8)(x
2
-9x+20)+1976
Đặt y= x
2
-9x+14 thì B = -(y-6)(y+6)+1976
B= -(y
2
-36) +1976
B= -y
2
+2012
≤
2012
Vậy maxB =2012 khi và chỉ khi y= 0 thì x

{ }
2;7∈
1.3: Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức.
Ví dụ 3.1: Tìm GTLN của biểu thức
A=
2
2
2 10 1
2 1
x x
x x
− −
− +
Giải
Ta có A =
2
2
2 10 1
2 1
x x
x x
− −
− +
=
2
2
2( 2 1) 6( 1) 9
( 1)
x x x
x

− + − − −
−
A=
( )
2
6 9
2
1
1
x
x
− −
−
−
=
2
3
1 3 3
1x
 
− + + ≤
 ÷
−
 
Vậy maxA=3 khi và chỉ khi x=-2
Ví dụ 3.2: Tìm GTNN của biểu thức B =
2
2
3 8 6
2 1

x x
x x
− +
− +
Giải
Ta có B=
2 2
2
2( 2 1) ( 4 4)
( 1)
x x x x
x
− + + − +
−
B= 2+
2
2
1
x
x
−
 
 ÷
−
 
≥
2
Vậy minB=2 khi và chỉ khi x=2
Chú ý: Lời giải tuy ngắn gọn, song cách viết biểu thức A dưới dạng trên có phần thiếu tự
nhiên, tính chặt chẽ chưa cao. Trong trường hợp này ta có một phương pháp nghiên cứu

khác là dùng “Miền giá trị để giải” . Ta có thể xét sau
1.4: Biểu thức có chứa từ hai biến trở lên.
Ví dụ 4:(chuyên Hà Nội Amsterdam 2001-2002)
Tìm GTLN của biểu thức A=-x
2
-y
2
+xy+2x+2y
Giải
Ta có A=-x
2
-y
2
+xy+2x+2y
 -2A= 2x
2
+2y
2
-2xy-4x-4y
= (x
2
-2xy+y
2
)+(x
2
-4x+4)+(y
2
-4y+4) -8
= (x-y)
2

+(x-2)
2
+(y-2)
2
-8
8≥ −
 A
≤
-4
Vậy GTLN của A =-4 khi và chỉ khi (x; y)=(2; 2)
2. Các bài toán áp dụng.
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A= x
2
-4x -6
2 1x − −
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B=
2 2
2 4x x+ −
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức C= x
2
+5y
2
+2x-20y+2002
Bài 4: Tìm GTLN cảu biểu thức D= 2-5x
2
-y
2
-4xy+2x
Bài 5: Tìm GTLN của biểu thức M=
2

2
7 74 196
10 25
x x
x x
− + −
− +
II. PHƯƠNG PHÁP 2:Vận dụng các bất đẳng thức đã biết.
Trong quá trình giải các bài toán cực trị ta có thể dùng các bất đẳng thức đã biết
hoặc đã được chứng minh trong các sách bài tập toán 8, toán 9. Như bất đẳng thức Cosi,
bất đẳng thức Bunhiacopxki…hoặc các bất đẳng thức đề cập trong phần kiến thức thường
dùng. Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa đơn giản.
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức A =
1 2x y− + −
biết x+y =4
Giải
Ta có hai vế của biểu thức A không âm nên
A
2
=
( 1) ( 2) 2 ( 1)( 2)x y x y− + − + − −
= 1+
2 ( 1)( 2)x y− −
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số(x-1) và (y-2) không âm ta có
2 ( 1)( 2)x y− −

≤
x-1+y-2=1 (do x+y=4)
 A

2

≤
2 mà A >0 theo nhận xét trên
 A
≤

2
Vậy maxA =
2
khi (x; y) =(1,5 ; 2,5)
Ví dụ 2: Tìm GTLN của
2
1
y
x
B
x y
−
−
= +
Giải:
Bất đẳng thức Cosi cho phép ta có công thức tích trội
.
2
a b
a b
+
≤
Ta xét biểu thức

1 1
1 1.( 1)
2 2
x x
x x
+ −
− = − ≤ =
=>
1 1 1 1
2 2
x x
x x
− + −
≤ =
Tương tự
2
2 2 2
4
2 2
y
y
y
y
−
+ −
≤ =
Vậy B
1 2 2 2
2 4 4
+

≤ + =
Khi đó maxB=
2 2
4
+
khi và chỉ khi (x ;y) =(2: 4)
Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức f(x) =3-2x +
2
5 4x x− +
Giải
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki được
f(x) = -1 +(-2)(x-2) +
2
1(5 4 )x x− +
≤
-1 +
( ) ( )
2 2
4 1. 4 4 5 4x x x x+ − + − +
= -1+
45 3 5 1= −
Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi
( )
2
2 5 4 2x x x− − + = −

2
6 5
2 ( )
5

6 5
2 ( )
5
x
x ktm
x tm
≤





= +






= −





6 5
2
5
x = −
Vậy maxf(x) =

3 5 1−
khi và chỉ khi
6 5
2
5
x = −
Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức A=
2 4 2 2 5 2 4 6 2 5x x x x− + − + + + −
Giải
Ta có A=
( ) ( )
2 2
2 5 1 2 5 3x x− + + − −
A=
2 5 1 3 2 5 2 5 1 3 2 5x x x x− + + − − ≥ − + + − −
=4
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối
Vậy min A= 4 khi và chỉ khi
( ) ( )
5
2 5 1 3 2 5 0 2
2
x x x− + − − ≥ ⇔ ≤ ≤
Nhận xét: Rõ ràng khi vận dụng các BĐT cơ bản vào việc giải toán cực trị có phần nhanh
hơn. Song việc vận dụng BĐT nào thuận lợi thì còn tùy thuộc vào giả thiết của bài toán và
sự vận dụng linh hoạt các BĐT đó. Hai phương pháp nêu trên chưa thể giải quyết vấn đề
về toán cực trị ở THCS. Chính vì lẽ đó yêu cầu ta phải có các phương pháp tối ưu khác.
Trước khi nghiên cứu phương pháp thứ 3 ta cần xét một số bài tập minh họa cho phương
pháp 2.
2. Các bài toán áp dụng:

Bài 1:Cho a,b,c >0 và a+b+c =1. Tìm GTNN của
1 1 1
1 1 1A
a b c
   
= + + +
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 2: Cho
, , 0a b c ≥
và a+b+c=1 .Tìm GTLN của
B a b a c b c= + + + + +
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A=
2
2
2
1
a
a
+
+
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức B=
2 2
1 1x x x x− + + + +
Bài 5: Cho x,y>0 và x+y
≤
1 . Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 2
4A xy

x y xy
= + +
+
III. PHƯƠNG PHÁP 3: Giải toán cực trị dựa vào phương trình bậc hai.
( Phương pháp miền giá trị)
Trong phương pháp này tôi xin được đề cập đến bài toán tìm cực trị dựa vào dấu
hiệu có nghiệm của phương trình bậc hai. Phương pháp này được thầy Hoàng Hải Dương
(THCS Chu Mạnh Trinh – Hưng Yên) đề cập trong tạp trí toán học và tuổi trẻ.
1. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức phân A=
2
2
2 4 5
1
x x
x
+ +
+
Giải
Biểu thức nhận giá tri a  phương trình ẩn a=
2
2
2 4 5
1
x x
x
+ +
+
(1) có nghiệm
Do x

2
+1>0 với mọi x nên phương trình(1)  x
2
(a-2)-4x+a-5=0 (2) có nghiệm
Nếu a=2 thì (2) có nghiệm x=
3
4
−
Nếu
2a
≠
Phương trình (2) có nghiệm khi
'
4 ( 2)( 5) 0a a∆ = − − − ≥
 a
2
-7a+6
≤
0

1 6( 2)a a≤ ≤ ≠
Với a= 1 thì x=-2
Với a=6 thì x=
1
2
Vậy maxA= 6 khi và chỉ khi x=
1
2
minA =1 khi và chỉ khi x=-2
Ví dụ 2: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức B = 2x

2
+4xy+5y
2
biết rằng x
2
+y
2
=5
Giải
Vì 5>1 nên ta có
2 2 2 2
2 2
2 4 5 2 4 5
5 5
b x xy y x xy y
x y
+ + + +
= =
+
*) Nếu y=0 =>
2 10
5
b
b= => =
*) Nếu y
0≠
đặt
x
t
y

=
thì
2
2
2 4 5
5 1
b t t
t
+ +
=
+
Theo Ví dụ 1 điều kiện để PT ẩn t có nghiệm khi
1 6 5 30
5
b
b≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Từ đó có :
maxb=30 khi
1
2
x
y
=
=> y=2x hay (x:y) nhận các giá trị(1; 2)và(-1;-2)
minb= 5 khi
2
x
y
= −
=> x=-2y hay (x:y) nhận các giá trị (2; -1)và(-2;1)

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN cuả biểu thức c=
3 7
2 1
2 2
x x+ − +
Giải
Điều kiện để c tồn tại
0 1x≤ ≤
. Đặt
z x=
,
1y x= −
thì y
2
+z
2
=1 (1)
Như vậy ta cần tìm GTLN- GTNN cuả biểu thức d= 4z+3y >0 với 2c =d+7
Điều kiện
0 1z
≤ ≤
0 1y≤ ≤
0 7d
< <
Thay 9y
2
=(d-4z)
2
vào (1) ta có 25z
2

-8dz+d
2
-9 =0
Để phương trình có nghiệm z thì
2
0 25 5d d∆ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤
(do d>0)
*)GTLN của d là 5  maxc=6 khi
2
4 4 16
( )
25 5 25
d
z x z tm= = ⇒ = =
*) Từ d=4z+3y
2 12yz≥
( bất đẳng thức Cosi) . Dấu “=” xảy ra khi 4z=3y
Thay vào (1) ta cso
3 1 9
, ;
20 5 400
z y x= = =
Lúc đó GTNN của d là
9 6
2
25 5
=
Vậy min c=
41
10

khi
9
400
x =
Với cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, các bạn làm tiếp
một số bài toán dưới đây
2. Các bài toán áp dụng.
Bài 1: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức
1 2 2 3
1 2 2 3
x x
A
x x
− − − +
=
− + − +
Bài 2: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức
2
2
1
B x x
x
= + +
với x>0
Bài 3: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức f(x)=
2
2
4 6
2 3
x x

x x
+ +
+ +
Bài 4: Tìm GTLN- GTNN của biểu thức g(x) =
2
2 2
8 6x xy
x y
+
+
IV.PHƯƠNG PHÁP 4: Đổi biến và tìm cực trị theo biến mới (đặt ẩn phụ)
Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đổi tương đương. Sử dụng các
bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biểu thức đã cho về các biểu thức đơn giản trong
việc tìm cực trị. Dưới đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa
1. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 1
a b
A
a b
= +
− −
với a>1 ;b>1
Giải
Đặt x=a-1 >0 , y=b-1> 0 khi đó ta có
( )
2
2
1

( 1)
y
x
A
x y
+
+
= +
=>
2 2
2 1 2 1 1 1
4
x x y y
A x y
x y x y
 
+ + + +
 
= + = + + + +
 ÷
 ÷
 
 
Áp dụng BĐT Cosi ta có
1 1
2 . 2 . 4 8A x y
x y
≥ + + =
Vậy min A =8 khi và chỉ khi x=y=1 hay a=b=2
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B=

2 2
2 2
2. 5 6
x y x y
y x y x
 
 
+ − + +
 ÷
 ÷
 
 
với x, y>0
Giải
Đặt
x y
a
y x
= +
theo Cosi thì
2a
≥
=>
2 2
2
2 2
2
x y
a
y x

+ = −
Khi đó B =2(a
2
-2) -5a+6 = 2a
2
-5a+2 Ta thấy
2a ≥
=> B
≥
0
Vậy minB=2 khi và chỉ khi a=2 hay x=y>0
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C=
3 3 2012
x y x y
y x y x
+ − − +
với x.y>0
Giải
Đặt
x y
a
y x
= +
theo Cosi thì
2a ≥
thì
2
2
x y
a

y x
+ = −
Khi đó C=(a
2
-2) -3a+2012 =(a-1)(a-2)+2010
Do
2a ≥
=> a-1>0 và
2 0a − ≥
=> (a-1)(a-2)
≥
0
 C
≥
2010
Vậy minC= 2010 khi và chỉ khi a=2 hay x=y và x. y>0
Ví dụ 4: Cho x,y,z >0 .Tìm GTNN của biểu thức D=
y
x z
y z x z y x
+ +
+ + +
Giải
Đặt a=
y z+
, b=
x z+
,c=
y x+
=>

2
a b c
x y z
+ +
+ + =
=>
2
a b c
x
− + +
=
;
2
a b c
y
− +
=
;
2
a b c
z
+ −
=
Khi đó ta có D=
2 2 2
a b c a b c a b c− + + − + + −
+ +
D=
1 3
3

2 2
a b b c a c
b a c b c a
 
     
+ + + + + − ≥
 ÷  ÷  ÷
 
     
 

Theo BĐT Cosi ta có
2; 2; 2
a b a c c b
b a c a b c
+ ≥ + ≥ + ≥
Vậy minD=
3
2
khi a=b=c hay x=y=z
2. Các bài toán áp dụng
Bài 1: Tìm GTNN của
2
2
1
4
1
A x x
x x
= + − +

− +
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B=
2 1 2 3 50 3a a a+ + − + −
với
3 50
;
2 3
a
 
∈
 
 
Bài 3: Cho
1 1 1
; ; ; 1
2 2 2
a b c a b c≥ − ≥ − ≥ − + + =
.
Tìm GTLN của biểu thức C=
2 1 2 1 2 1a b c+ + + + +
Bài 4: Cho x, y>0. Tìm GTNN của biểu thức D=
2 2
2 2
3 4
x y x y
y x y x
 
 
+ − + +
 ÷

 ÷
 
 
Bài 5: Cho a,b,c>0 và a+b+c=12 . Tìm GTLN của
E=
3 2 1 3 2 1 3 2 1a a b b c c+ + + + + + + +
Bài 6: Tìm GTNN và GTLN của F=
x x y y+
biết
y x+
=1
V. PHƯƠNG PHÁP 5: Sử dụng biểu thức phụ.
Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của một biểu
thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn. Sau
đây tôi đưa ra một số ví dụ minh họa.
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm GTLN cảu biểu thức A=
2
4 2
1
x
x x+ +
Giải
a, Xét x=0 => A =0 giá trị này không phải GTLN của A vì với
0x ≠
thì A>0
b, Xét
0x ≠
Đặt
1

P
A
=
Khi đó maxA =minP
Với cách đặt trên ta có P=
4 2
2
1x x
x
+ +
=
2
2
1
1 2 1 3x
x
+ + ≥ + =
(Áp dụng BĐT Cosi thì
2
2
1
2x
x
+ ≥
)
Vậy minP= 3 => maxA=
1
3
khi và chỉ khi x=
1±

Nhận xét: Như vậy để tìm GTLN của biểu thức A ta sử dụng biểu thức phụ
1
P
A
=
Việc tìm GTNN của
1
P
A
=
đơn giản hơn nhiều so với tìm GTLN của A
Ví dụ 2: Cho ba số dương a,b,c và a+b+c=3 .
Tìm GTLN của B=
5 4 5 4 5 4a b b c c a+ + + + +
Giải
Do a,b,c>0 => B>0 Đặt P= B
2
khi đó max C =max
P
Ta có P =
( )
2
5 4 5 4 5 4a b b c c a+ + + + +
áp dụng BĐT bunhiacppxki
 P
( )
( )
2 2 2
1 1 1 5 4 5 4 5 4a b b c c a≤ + + + + + + +
 P

( )
3.9 a b c≤ + +
=81
 maxP=81 khi và chỉ khi a=b=c=1
 maxB
2
=81 khi và chỉ khi a=b=c=1(Do B>0)
 maxB= 9 khi và chỉ khi a=b=c=1
Ví dụ 3: Cho x, y, t là các số dương .
Tìm GTNN của C=
x y t y x t t y x
y t x x t y y x t
+ + +
+ + + + +
+ + +
Giải
Đặt P =2C ta có P=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
y t x t y x
x y t
y t x x t y y x t
+ + +
+ + + + +
+ + +
 P=
2 2 2 3
2 2 2 2
x y t y x t t y x y t x t x y

y t x x t y y x t x y t
       
+ + + + + +
+ + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ + +
       
 P=
2 2 2 3
2 2 2 2
x y t y x t t y x y t x t x y
y t x x t y y x t x x y y t t
       
+ + +
+ + + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ + +
       
Áp dụng Cosi đôi một ta có
3
2 2 2 .6 15
2
P ≥ + + + =
 minP=15 khi và chỉ khi x=y=t >0
Vậy minC =
15
2
khi và chỉ khi x=y=t >0
Ví dụ 4: Cho x
2

+y
2
=52. Tìm GTLN của biểu thức F=2x+3y
Giải
Đặt P =
2 3F x y= +

 P
1
=P
2
=(2x+3y)
2

( ) ( )
2 2 2 2 2
2 3 13 .4x y≤ + + =
( theo BĐT bunhiacopxki)
 maxP
1
=13
2
.4
 maxP= 13.2=26 do
F F P≤ =
 maxF=26 khi và chỉ khi (x;y) =(4;6)
Ví dụ 5: Cho x, y>0 . Tìm GTNN của biểu thức G=
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y

y x y x y x
+ − − + +
Giải
Đặt P= G-2 ta có P=
4 4 2 2
4 4 2 2
2
x y x y x y
y x y x y x
+ − − + + −
P=
4 2 4 2 2 2
4 2 4 2 2 2
2 1 2 1 2. . 2
x x y y x x y y x y
y y x x y y x x y x
     
 
− + + − + + − + + + −
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 
     
P=
( )
2 2
2
2
2 2
2 2

1 1 0
x y
x y x y
y x y x xy
−
   
 
− + − + − + ≥
 ÷  ÷
 ÷
 
   
=> minP= 0 khi và chỉ khi x=y=0
Vậy minG =2 khi x=y=0
2. Các bài toán áp dụng.
Bài 1: Cho x,y,z >0 và x
2
+y
2
+z
2
=1 . Tìm GTNN của biểu thức A=
xy yz zx
z x y
+ +
Bài 2: Cho x
≠
0 . Tìm GTNN của biểu thức B=
8 4
4

1x x
x
+ +
Bài 3: Cho x
≠
0 . Tìm GTLN của biểu thức C=
8
16 8
1
x
x x+ +
Bài 4: Cho a
2
+b
2
+c
2
=1. Tìm GTLN của biểu thức D=a+2b+3c
Bài 5: Cho a, b>0 và a+b=2. Tìm GTNN của E=
2 2
4 4
1 1
a b
  
− −
 ÷ ÷
  
Bài 6: Cho a, b,c,d là các số dương.
Tìm GTNN của F=
a b b c c d a d

b c d c d a d b a b c a
+ + + +
+ + +
+ + + + + + + +
Bài 7: Cho a, b thuộc số thực.
Tìm GTNN của biểu thức G=
( ) ( )
2 2
2 2
1 1a b b a+ − + + −
VI: PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng tham biến để tìm cực trị.
Giả sử cần tìm cực trị của một biểu thức Q(x). Để đơn giản ta chỉ xét biểu thức
Q(x) luôn xác định trên tập hợp số thực, nghĩa là có mẫu thì mẫu số luôn dương. Ta đưa
thêm tham biến t để xét biểu thức f(x)=Q(x)-t. Nếu f(x)
≥
0 (hoặc f(x)
≤
0) với mọi x
thuộc TXĐ của Q(x) và tồn tại t
0
sao cho f(x) =0( tức là Q(x) =t
0
) thì t
0
chính là GTNN
hoặc GTLN của Q(x). Xin minh họa một số ví dụ sau.
1. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức Q=
2
2

8 7
1
x x
x
+ +
+
Giải
Xét f(x)=Q(x)-t =
( )
2 2
2
8 7 1
1
x x t x
x
+ + − +
+
Vì x
2
+1>0 với mọi x nên dấu của f(x) phụ thuộc và dấu của
g(x) =
( )
2 2 2
8 7 ( 1) 1 8 7x x t x t x x t+ + − + = − + + −
(1)
Xét tam thức g(x)
( )
2
1 8 7t x x t= − + + −
2

' 16 (1 )(7 ) 8 9 (1 )( 9)t t t t t t∆ = − − − = − + + = − +
*) Khi
'
∆
=0 thì t=-1 hoặc t=9
-Nếu t=-1 thì 1-t=2>0 nên g(x)
≥
0=> f(x)
≥
0.
Suy ra minQ(x)=-1 khi và chỉ khi x=-2
- Nếu t=9 thì 1-t<0 => g(x)
≤
0 => f(x)
≤
0
Suy ra maxQ(x)= 9 khi và chỉ khi
1
2
x =
Nhận xét: Như vậy phương pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị
của một biểu thức Q(x), tức là xét một bất phương trình Q(x)
≤
t hoặc Q(x)
≥
t về việc xét
một phương trình
∆
=0 . Nên có thể nói phương pháp tham biến là chiếc cầu nối giữa bất
phương trình và phương trình

Ví dụ 2:Tìm GTNN- GTLN của biểu thức Q=
2
2 2
3 4y xy
x y
−
+
với (x;y) khác (0;0)
Giải
Đặt f(x,y)=Q(x,y)-t =
( )
2 2 2
2 2
4y xy t x y
x y
− − +
+
Vì x
2
+y
2
>0 trì giá trị x=y=0 nên dấu của f(x,y) chính là dấu của
g(x, y)=3y
2
-4xy-t(x
2
+y
2
) =(3-t)y
2

-4xy+tx
2
(2)
Nếu t=3 thì g(x,y) =-3x
2
-4xy . Vì
' 2
4 0
x
y∆ = ≥
nên g(x,y)=0  x=y=0(ktm)
Xét (2) theo biến y có
' 2 2 2 2
4 (3 0 (4 3 )
y
x t x t t x∆ = + − = + −
do x khác 0
Để
'
y
∆
=0 thì t
{ }
1;4∈ −
*) Khi t=-1 thì 3-t=4 nên g(x,y)
≥
0=> f(x,y)
≥
0
Suy ra minQ=-1 khi và chỉ khi f(x,y)=0  x=2y

*) Khi t=4 thì 3-t=-1<0 nên g(x,y)
≤
0=> f(x,y)
≤
0
Suy ra maxQ=4 khi và chỉ khi f(x,y)=0  y=-2x
Ví dụ 3: Tìm u,v để biểu thức Q=
2
ux+v
1x +
đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
Giải
Đặt f(x)=Q(x)-t=
2
2 2
ux+v ux+v-t( 1)
1 1
x
t
x x
+
− =
+ +
vì x
2
+1>0 với mọi x nên dấu cảu f(x) phụ
thuộc vào dấu của g(x)=ux+v-t(x
2
+1) =-tx
2

+ux+v-t (1)
Để GTLN của Q(x) =4 thì t=4( lúc đó hệ số a
1
=-4<0 của phương trình bậc hai (1))
Và GTNN của Q(x)=-1 thì t=-1( lúc đó hệ số a
2
=1>0 của phương trình bậc hai(1))
Xảy ra đồng thời thì
0
0
∆ =


∆ =

hay
2
2
16( 4) 0 3
4
4( 1) 0
u v v
u
u v

+ − = =


⇔
 

= ±
− + =



Vậy với (u,v)=(4;3) hoặc (u;v)=(-4;3) thì bài toán thỏa mãn
2. Các bài toán áp dụng
Bài 1: Tìm GTLN – GTNN của các biểu thức sau
A =
2
2
4 2 3
1
x x
x
+ +
+
B= (x-2y+1)
2
+(2x+ay+5)
2
C=
2 2
2 2
x xy y
x xy y
− +
+ +
D=
2 2

2 1
7
x y
x y
+ +
+ +
Bài 2: Tìm m để biểu thức Q=
2
1
x m
x x
+
+ +
chỉ nhận giá trị thuộc
[ ]
1;1−

PHẦN III: MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
1. Nếu không chỉ ra được bộ giá trị (x
0
;y
0
;z
0
) để f(x
0
;y
0
;z
0

) =M thì không khẳng
định được maxf =M (hoặc minf=M) mặc dù ta vẫn chứng minh được f(x
0
;y
0
;z
0
)
≤
M (hoặcf(x
0
;y
0
;z
0
)
≥
M ) với mọi x,y,z thuộc TXĐ. Khi đó ta phải tìm một
cách giải khác
2. Bộ giá trị (x
0
;y
0
;z
0
) để f(x
0
;y
0
;z

0
) =M thường được tìm bằng cách áp dụng điều
kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng: Chẳng hạn
a, Với mọi a
i

≥
0 và n
∈
N
*
ta có
1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
(BĐT Cosi)
Dấu “=” xảy ra khi a
1
=a
2
=….=a

n

b, Với n cặp số a
1
;a
2
;….;a
n
và b
1
; b
2
;…b
n

Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 1 1

n n n n
a b a b a b a a b b+ + + ≤ + + + +
(BĐT Bunhialcopxki)
Dấu “=” xảy ra khi
1 2
1 2

n
n
a

a a
b b b
= = =
c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
x y x y+ ≤ +
dấu “=” xảy ra khi x.y
≥
0
x y x y− ≥ −
dấu “=” xảy ra khi x.y
≥
0 và
x y≥
3. Trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều kiện xảy ra
dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng, mà không kết hợp điều kiện ràng buộc
của bài toán thì dễ mắc sai lầm.
4. Trong định nghĩa về GTLN- GTNN , M phải là hằng số
5. Khi sử dụng nhiều lần các bất đẳng thức thì điều kiện xảy ra dấu bằng phải thỏa
mãn tất cả các BĐT đã dùng
6. Đối với trường hợp khi f(x)= g(x)+h(x) và g(x)
≥
A, h(x)
≤
B
(hoặc g(x)
≤
A, h(x)
≥
B) thì cần chỉ ra trực tiếp giá tri x
0

để f(x
0
)=A+B là đủ điều
kiện kết luận maxf =A+B (hoặc minf=A+B)
PHẦN IV: KẾT QUẢ
1. Trước khi áp dụng đề tài
-Học sinh thường lúng túng trong việc tìm hướng giải cho một bài toán cực trị
-Học sinh thường khó khăn trong việc chọn cách giải quyết một bài toán cực trị
-Học sinh tìm được cực trị của bài toán nhưng không tự kiểm tra được kết quả đó
có chính xác không
- Khả năng tư duy của học sinh còn hạn chế, học sinh thường thụ động trong việc
tiếp thu kiến thức khi giải các bài toán cực trị
-Chất lượng bài kiểm tra có bài toán liên quan đến tìm GTLN- GTNN ở khối 8,
khối 9 trường tôi rất thấp, nhiều học sinh không thể làm được
2. Sau khi dạy thực nghiệm 2 năm
Sau khi hoàn thiện đề tài, thông qua nhóm chuyên môn của trường và qua
việc thực hiện giảng dạy trong hai năm học 2009-2010 và 2010-2011, trong quá
trình bồi dưỡng HSG khối 8, 9 và ôn thi cho học sinh Khối 9 vào THPT. Kết quả
cho thấy:
- Từ một dạng toán khó, học sinh đã tự tin và hứng thú học tập hơn, nhiều
em có lời giải hay, gọn, trình bày khoa học.
- Kỹ năng giải toán cực trị đã dần được hình thành và là một đề tài được
học sinh bàn tán, trao đổi nhiều trong các buổi ngoại khóa, các tiết tự chọn hoặc
trong giờ truy bài.
- Với học sinh khá, nhiều em đã bước đầu định hình lời giải, có khả năng tự
chọn được phương pháp để giải quyết vấn đề.
- Đối với học sinh Giỏi 100 %,học sinh trong đội tuyển các em đã giải thành thạo
dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức”. Đã có HSG huyện
- Qua nghiên cứu và dạy thực nghiệm trong 2 năm học tôi có thống kế kết quả cụ
thể (tỷ lệ % học sinh đạt yêu cầu khi giải các bài toán cực trị) như sau

2007-2008 2008-2009 2009-20010 2010-2011
Học sinh khá 0 8,7% 15,5% 32,3%
Học sinh giỏi 12% 18,5% 57,8% 89,3%
PHẦN V: ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG – BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1- Điều kiện áp dụng:
Cách làm như trên của tôi chỉ có thể áp dụng cho đối tượng học sinh Khá – Giỏi
với hai khối lớp 8 và khối 9. Đặc biệt rất phù hợp cho việc phát triển tư duy, sáng
tạo của học sinh, rèn khả năng sáng tạo, phát triển trí thông minh với học sinh.
Góp phần tích cực vào việc hoàn thiện kỹ năng giải bài toán cho học sinh THCS.
2- Bài học kinh nghiệm:
Việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy có hiệu quả thì người giáo viên cần lưu ý:
- Dành nhiều thời gian để tìm hiểu kiến thức về “Các phương pháp giải toán cực
trị” trên sách nâng cao Toán 8- Toán 9 -10, trên các tạp trí như : Toán học và
tuổi trẻ. Từng bước phân dạng các bài toán theo chương trình học của học sinh .
- Chọn các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh, bài dễ với học sinh Khá, khó
dần với học sinh Giỏi- học sinh đội tuyển.
- Phải thường xuyên cộng tác cùng đồng nghiệp trong nhóm, các đồng nghiệp ở
trường khác dạy thực nghiệm cho các đối tượng học sinh.
- Trước khi giải một dạng toán nào, giáo viên phải thiết lập phương pháp giải cho
bài toán đó, giúp học sinh nhận dạng chính xác bài tập.
- Cần hướng dẫn học sinh đọc, tìm hiểu các tài liệu tham khảo: sách nâng cao và
các chuyên đề, chuyên đề về bất đẳng thức- cực trị thcs, toán học và tuổi trẻ, các
diễn đàn Toán học trên Internet…
PHẦN VI: ĐIỂM HẠN CHẾ - HƯỚNG ĐỀ XUẤT
1- Điểm còn hạn chế:
Tuy vậy, bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số ít học sinh Khá-Gỏi,
ngại khó, chưa tự tìm tòi, khai thác các bài tập về cực trị toán học
Một yếu tố khác cũng ảnh hưởng đến chất lượng học của các em có lẽ là phương
pháp dạy và khả năng truyền đạt, khơi dậy tính sáng tạo của học sinh, của bản thân
tôi còn hạn chế.

- Trong sáng kiến này số lượng ví dụ mẫu đưa ra còn hạn chế và nội dung chưa
phong phú. Các phương pháp giải đưa ra còn ít chưa có ví dụ về “cực trị hình học”,
chưa khai thác được tới phương pháp “ Hình học trong cực trị”
- Đề tài chủ yếu áp dụng đối với học sinh Giỏi, học sinh ôn đội tuyển thi HSG
2- Hướng đề xuất:
Trong quá trình giảng dạy, chắc ai cũng mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất
lượng mũi nhọn được nâng cao. Vì vậy nó đòi hỏi mỗi giáo viên chúng ta cần phải:
- Có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng đối
tượng học sinh.
- Giáo viên cần sưu tầm nhiều dạng bài, nhiều phương pháp để lấy ví dụ minh họa.
- Cần áp dụng tối đa phương pháp đổi mới dạy học toán theo hướng phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh.
- Nhà trường cũng như các cấp, ngành có chức năng cần tạo điều kiện giúp đỡ về
thời gian cũng như tài liệu, tạo điều kiện về phương pháp dạy học hiện đại để giáo
viên khai thác được nhiều phương pháp dạy học.
C- KẾT LUẬN
Sau thời gian tìm tòi nghiên cứu, kết hợp với tư liệu tham khảo, kiến thức tích lũy.
Đồng thời qua quá trình giảng dạy cùng với sự tham gia góp ý của đồng nghiệp trong và
ngòai nhà trường đề tài đã được hoàn thành nhằm đóng góp một mảng nhỏ kiến thức
trong vô vàn kiến thức toán học của giáo viên tham gia BD học sinh giỏi THCS. Những
vấn đề được trình bày trong sáng kiến này tuy chưa thật toàn diện song thực sự có ích đối
với quý thầy cô tham gia BDHSG. Với việc cố gắng chọn và quát thành một phương
pháp giải quen thuộc cùng hệ thống các bài tập minh họa có thể giúp học sinh tiếp thu bài
một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu…
Tôi nghĩ rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp
nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở, tài liệu cũng như của thầy cô
đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của thầy
cô giáo, tiếp tục giúp đỡ tôi hoàn thiện sáng kiến, từng bước hoàn thiện phương pháp dạy
học của mình. Từ đó, bản thân tôi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa trí lực cho sự
nghiệp giáo dục mà Bác Hồ kính yêu của chúng ta hằng mong ước.

Tôi xin chân thành cảm ơn!