Bài giảng Cơ học lý thuyết (cập nhật 2015 )

1
MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG SÁCH


Ký hiệu

Tên tiếng Anh
Tên tiếng Việt
A, F Area Diện tích tiết diện
a, b, c Dimensions, distances Khoảng cách
C, G Centroid Tâm
c Distance from neutral axis to outer
surface of a beam
Khoảng cách từ trục trung hòa đến bề mặt
ngoài của dầm
D Diameter Đường kính
d Diameter, dimension, distance Đường kính, khoảng cách
e Coefficient of restitution Hệ số phục hồi
F, P Force Lực
g Acceleration of gravity Gia tốc trọng trường
H Height, distance, horizontal force or
reaction, horsepower, Angular
momentum
Chiều cao, khoảng cách, lực ngang, công
suất ngựa, mô men động lượng
h Height, dimensions Chiều cao, khoảng cách
I Moment of inertia (or second
moment) of a plane area
Mô men quán tính tiết diện
Ix,Iy,Iz Moments of inertia with respect to

x, y, and z axes
Mô men quán tính đối với các trục x,y,z
Ix
1
, Iy
1
Moments of inertia with respect to
x
1
and y
1
axes (rotated axes)
Mô men quán tính đối với các trục x
1
,y
1

I
O
, J
P
Polar moment of inertia Mô men quán tính cực (điểm)
k Spring constant, stiffness Hằng số đàn hồi, độ cứng lò xo
k
O

Radius of gyration Bán kính quán tính
L Length, distance, linear impulse Chiều dài, khoảng cách, động lượng
M Bending moment, couple, mass Mô men uốn, ngẫu lực, khối lượng
m Moment per unit length, mass per

unit length
Mô men trên một đơn vị chiều dài, khối
lượng trên một đơn vị chiều dài
N Axial force Lực dọc
n Factor of safety, integer, revolutions
per minute (rpm)
Hệ số an toàn, số nguyên, vòng quay
O Origin of coordinates Gốc tọa độ
P Force, concentrated load, power Lực, tải trọng tập trung, công suất
p Pressure (force per unit area) Áp suất
Q Force, concentrated load, first
moment of a plane area
Lực, lực tập trung, mô men tĩnh
q, w Intensity of distributed load (force
per unit distance)
Cường độ lực phân bố
R Reaction, radius Phản lực, bán kính
r, k
O
Radius, radius of gyration Bán kính, bán kính quán tính
s Distance Khoảng cách
T Tensile force, twisting couple or
torque, temperature, kinetics
Lực căng, mô men xoắn, nhiệt độ, động
năng
t Thickness, time, intensity of torque
(torque per unit distance)
Chiều dày, thời gian, cường độ mô men
xoắn phân bố
v Deflection of a beam, velocity Độ võng của dầm, vận tốc

2
W Force, weight, work Lực, trọng lượng, công
w, q Load per unit of area (force per unit
area)
Cường độ lực trên một đơn vị diện tích


Angle, coefficient of thermal
expansion, angular acceleration
Góc, hệ số giãn nở nhiệt, gia tốc góc

Angle Góc

Temperature differential Độ chênh nhiệt độ

Angle, angle of rotation of beam
axis
Góc, góc xoay


Radius, radius of curvature Bán kính, bán kính của đường cong


Angle, angle of twist of a bar in
torsion
Góc, góc xoắn của thanh


Angular velocity Vận tốc góc


k
Kinematic coefficient of friction Hệ số ma sát động

s
Static coefficient of friction Hệ số ma sát tĩnh

3
Chủ đề 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG TĨNH HỌC
PHẦN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1 Chất điểm, hệ chất điểm, vật rắn tuyệt đối, vật rắn cân bằng, hệ quy chiếu và hệ
đơn vị
a. Chất điểm:
Là điểm vật chất vô cùng bé sao cho sự sai khác về chuyển động của các phần tử thuộc
chất điểm là vô cùng nhỏ, có thể bỏ qua.
b. Hệ chất điểm:
Là hệ thống nhiều chất điểm, có sự ràng buộc (liên kết) lẫn nhau sao cho chuyển động
của mỗi chất điểm không thể không ảnh hưởng đến các chất điểm khác.
c. Vật rắn tuyệt đối:
Là vật thể có hình dạng bất biến nghĩa là khoảng cách hai phần tử bất kỳ trên nó luôn
luôn không đổi.
d. Vật rắn cân bằng:
Là vật rắn đang ở trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng và đều so với hệ quy chiếu.
e. Hệ quy chiếu:
Là một vật rắn được chọn làm chuẩn để quan sát, đánh giá vị trí của vật khảo sát.
f. Hệ đơn vị:
Trong cơ học, chúng ta sử dụng 4 đại lượng cơ bản đó là: chiều dài, khối lượng, lực và
thời gian. Những đại lượng này liên hệ với nhau bởi định luật 2 Newton. Có hai hệ đơn vị mà
hiện nay người ta hay dùng đó là hệ SI và hệ US.
Hệ đơn vị SI: Là hệ thống đơn vị đo lường quốc tế viết tắt của International System of
Units. Đây là hệ đơn vị được sử dụng phổ biến nhất.
Hệ đơn vị US: Là hệ thống đơn vị Anh Mỹ (United States) thường được sử dụng cho

những nước nói tiếng Anh. Nó còn ký hiệu là FPS, viết tắt của foot-pound-second.
Bảng 1.1. Bảng ký hiệu đơn vị các đại lượng cơ bản
Đại lượng cơ bản
Hệ đơn vị SI Hệ đơn vị US
Đơn vị Ký hiệu Đơn vị Ký hiệu
Chiều dài Mét m Foot ft
Khối lượng Kilogram kg Slug slug
Lực Newton N Pound lb
Thời gian Giây s Second sec



4
Bảng 1.2. Một số tiền tố
Tên gọi Ký hiệu Quy đổi
Tera T 10
12

Giga G 10
9

Mega M 10
6

Kilo k 10
3

Hecto h 10
2

Deka da 10
1

Deci d 10
-
1

Centi c 10
-
2

Milli m 10
-
3

Micro µ 10
-
6

Nano n 10
-
9

Pico p 10
-
12

Femto f 10
-
15

Atto a 10
-
18

Bảng 1.3. Một số đơn vị được sử dụng trong cơ học
Đại lượng Đơn vị cơ bản Ký hiệu SI
Chiều dài Mét m
Khối lượng Kilogram kg
Lực Newton N (kg.m/s
2
)
Thời gian Giây s
Góc Radian rad
Vận tốc Mét/giây m/s
Gia tốc Mét/giây
2

m/s
2

Vận tốc góc Radian/giây rad/s
Gia tốc góc Radian/giây
2
rad/s
2

Diện tích Mét
2
m

2

Mô men lực Newton.mét N.m
Mô men quán tính tiết diện Mét
4
m
4

Mô men quán tính khối Kilogram.mét
2
kg.m
2

Động lượng Kilogram.mét/giây kg.m/s
Xung lượng Newton.giây N.s
Mô men động lượng Kilogram.mét/giây
2

kg.m/s
2

Công, Năng lượng Jun J (= N.m)
Công suất Wat W (= J/s)
Áp suất, Ứng suất Pascal Pa (= N/m
2
)
Tầng số Hertz Hz (= s
-
1
)

Thể tích Mét
3

m
3

Khối lượng riêng Kilogram.mét
3

kg/m
3





5
1.1.2

Lực, hệ lực, hệ lực cân bằng
a. Lực:
Là thước đo tác dụng tương hỗ về cơ học giữa
các vật thể mà kết quả của nó là làm thay đổi hình
dáng và kích thước (biến dạng) hoặc trạng thái
chuyển động của các vật thể.

Hình 1.1: Cách biểu diễn lực
Hay nói một cách vắn tắt: Lực là nguyên nhân gây ra sự biến đổi chuyển động và biến
dạng của các vật thể. Lực có các đặc trưng sau:
 Điểm đặt: Là điểm mà vật nhận được sự tác dụng tương hỗ từ vật khác.

Hình 1.2: Cách biểu diễn điểm đặt lực
 Phương, chiều: Biểu thị phương hướng chuyển động hay khuynh hướng chuyển động
của vật thể khi bị lực tác dụng.
 Độ lớn: Là thước đo sự tác dụng mạnh yếu của lực và được biểu thị là bội số của lực
lấy làm đơn vị.
Do đó có thể dùng véctơ để biểu diễn các đặc trưng của lực, ví dụ như:
, ,
F P
 
hay F,
P… (chữ in đậm)
b. Hệ lực:
Hệ thống nhiều lực cùng tác dụng lên một vật
thể (chất điểm, vật rắn, hệ vật rắn). Ký hiệu:
1 2 3
( , , , , )
n
F F F F
   
(1.1)
c. Hệ lực cân bằng:

Hình 1.3: Hệ lực tác dụng lên vật rắn
Là hệ lực khi tác dụng lên một vật rắn cân bằng mà không làm mất trạng thái cân bằng
của nó. Ký hiệu:
1 2 3
( , , , , ) 0
n
F F F F


   
(1.2)
d. Hệ lực tương đương:
Hai hệ lực được coi là tương đương với nhau khi thay thế hệ lực này bằng hệ lực khác
thì kết quả tác dụng lên vật thể không thay đổi. Ký hiệu:
1 2 3 1 2 3
( , , , , ) ( , , , , )
n n
F F F F P P P P

       
(1.3)
e. Hợp lực của hệ lực:
Là lực duy nhất tương đương với hệ lực đã cho. Ký hiệu:
1 2 3
( , , , , )
n
F F F F R

    
(1.4)
1.2 MÔ MEN CỦA LỰC
Mô men của một lực được quy ước là đại lượng véctơ, đặc trưng cho tác dụng cơ học
làm vật thể quay hoặc bị biến dạng quanh một điểm hay một trục nào đó.
F
1
F
2
A

F
n
B

F
3
C

D

Hư
ớng

Đ
ộ lớn

Phươ
ng

6

1.2.1 Mô men của lực đối với một điểm
a. Định nghĩa:
Mô men của lực
F

(đặt tại A) đối với một điểm (O) là
một véctơ, ký hiệu
( )

O
m F


(hoặc M
O
), có các đặc trưng sau
đây:
- Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa lực
F

và
điểm O.
- Chiều: Nếu nhìn từ điểm ngọn của véctơ thấy lực có
xu hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ và xác
định nó theo quy tắc vặn nút chai hoặc đinh vít.

Hình 1.5: Cách biểu diễn mô men
- Độ lớn: Bằng tích độ lớn của lực (F) nhân với khoảng cách từ lực tới điểm O (d).
( ) .
O
m F d F


(1.5)
- Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft…
- Quy ước: Mô men mang dấu dương khi thấy chiều quay của nó quay ngược chiều kim
đồng hồ còn mô men mang dấu âm thì ngược lại.
Từ định nghĩa có thể biểu diễn mô men của lực đối với điểm O:
( ) ( ) ( ) ( )

O
x y z y z z y z x x z x y y x
x y z
i j k
m F r F r r r r F r F i r F r F j r F r F k
F F F
        

 
    


(1.6)
Trong đó: -
, ,
i j k

 
là các véc tơ đơn vị
- F
x
, F
y
, F
z
là hình chiếu của lực
F

lên các trục
- r

x
, r
y
, r
z
là hình chiếu của
r

(là véc tơ vị trí điểm đặt của lực) lên các trục
Hình chiếu véctơ mô men trên các trục tọa độ khi đó có thể xác định:
z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
O y z y
x
O z x x z
y
O x y y x
z
m F r F r F
m F r F r F
m F r F r F
 
 
 
 
 
 
 

 
 






(1.7)
b. Các tính chất của mô men:
- Mô men của một lực với một điểm nằm trên đường tác dụng của nó thì bằng 0.
Hình 1.4: Minh họa mô men

7
- Mô men của hai lực trực đối nhau thì triệt tiêu.
- Hợp mô men của nhiều lực đối với cùng một điểm được thực hiện bằng phương pháp
cộng véctơ.
Ví dụ 1:
Hãy xác định mô men của các lực tác dụng lên điểm O trong các trường hợp cho ở các
hình 1.6.
Giải:
a. . 100(2) 200
O
M F d     
N.m

b. . 50(0.75) 37.5
O
M F d     
N.m

c.
0
. 40(4 2cos30 ) 229
O
M F d      
lb.ft

d.
0
. 60(1sin 45 ) 42.4
O
M F d  
lb.ft

e. . 7(4 1) 21.0
O
M F d   
kN.m




Hình 1.6: Minh họa ví dụ 1
Ví dụ 2:
Hãy xác định tổng mô men tác dụng lên điểm P bởi lực W
1
và đối trọng W
2
.

Giải:
- Phân tích các lực tác dụng lên hệ như hình vẽ.
- Hai lực gây mô men tại điểm P đó là:
1
W

và
2
W

.
- Lấy mô men tại P ta được:


M
P
= D
1
W
1
– D
2
W
2

8

Hình 1.7: Minh họa ví dụ 2
Ví dụ 3:
Một lực F = 400 N tác dụng vào một mã gia cường

với một góc hợp với phương thẳng đứng 1 góc

= 30
0

như hình vẽ. Hãy xác định mô men của lực F gây ra tại
điểm O.
Giải:
- Phân tích lực F thành 2 thành phần F
x
và F
y
với:
0
0
400sin30
400cos30
x
y
F
F


N
N

Ta có:
( ) ( ) ( )
O O x O y
M F M F M F

 
     

- Bỏ dấu véctơ mô men ta được:
0 0
400sin30 (0.2) 400cos30 (0.4)
-98.6 N.m
O
M  




Hình 1.8: Minh họa ví dụ 3
Ví dụ 4:
Hãy xác định mô men của lực F = 600 N gây ra tại
điểm O (hình 1.9) bằng những cách khác nhau.
Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức M = F.d trong đó:
0 0
4 cos40 2 sin 40 4.35
600
d
F

  



m

N


Ta có: 600(4.35) 2610
O
M
   
N.m

Cách 2: Phân tích lực F làm 2 thành phần là F
x
và F
y
với:
0
0
600 cos40 460
600 sin 40 386
x
y
F
F

 


 


N

N

Lúc này ta có:
4(460) 2(386) 2610
O
M     
N.m




9
Cách 3: Sử dụng biểu thức véc tơ mô men:
O OA
M r F
 



Trong đó:




0 0
2. 4. 0. 2. 4.
(600cos40 . 600sin 40 . 0. ) (460. 386. )
OA
r i j k i j
F i j k i j


    



    


   



   

Lúc này ta có:
2 4 0
460 386 0
O
i j k
M
 
 

 
 

 

 

Hình 1.9: Minh họa ví dụ 4
     
4(0) 0( 386) . 0(460) 2(0) . 2( 386) 4(460) . 2610.i j k k
 
         
 
 
 
N.m

Dấu “-“ chứng tỏ M
O
có chiều ngược với trục z hay quay cùng chiều kim đồng hồ và có
trị số là: 2610
O
M 
N.m
.
1.2.2 Mô men của lực đối với một trục
a. Định nghĩa:
Mômen của lực
F

đối với trục

ký hiệu là
( )
m F




là đại lượng đại số có giá trị bằng mômen của lực
F'

đối
với điểm O, với
F'

là hình chiếu của lực
F

lên mặt phẳng

vuông góc trục

. O là giao điểm giữa trục

và mặt
phẳng

.
( ) ( ')
O
m F m F


 
(1.8)
Mô men của lực đối với một trục có giá trị dương

khi làm cho vật có xu hướng quay ngược chiều kim đồng
hồ nếu nhìn đầu mút của trục và ngược lại có giá trị âm
hay có thể xác định theo quy tắc bàn tay phải.
Có thể sử dụng công thức sau để xác định mô men:
( )
( ) ( ) ( )
ax ay az
a a x y z
x y z
y z z y ax z x x z ay x y y x az
u u u
M u r F r r r
F F F
r F r F u r F r F u r F r F u
  
     

 
(1.9)
Trong đó:
-
, ,
ax ay az
u u u
là hình chiếu của véctơ chỉ phương
của trục u
a
- F
x
, F

y
, F
z
là hình chiếu của
F

lên các trục
- r
x
, r
y
, r
z
là hình chiếu của
r

(là véctơ được xác
định bằng cách nối từ một điểm bất kỳ trên trục


Hình 1.10: Mô men của lực đối với
một trục
đến một điểm bất kỳ trên phương của lực F) lên các trục.
b. Tính chất:
Mô men của lực đối với trục bằng không khi lực song song hoặc cắt trục.
O

10
Ví dụ 5:
Xác định mô men của ba lực quanh các trục

x, y và z.
Giải:
Vì các lực đều song song với các trục nên
ta
xác định mô men đối với các trục một cách dễ dàng:

60(2) 50(2) 0 220
0 50(3) 40(2) 230
0 0 40(2) 80
x
y
z
M
M
M
   
    
    
lb.ft
lb.ft
lb.ft

M
y
và M
z
mang dấu âm chứng tỏ rằng véc t
ơ
mô men có chiều ngược với trục tọa độ.
Ví dụ 6:

Hình 1.11: Minh họa ví dụ 5
Xác định mô men của lực F đối với trục AB.

Hình 1.12: Minh họa ví dụ 6
Giải:
Mô men đối với trục AB được xác định theo công thức:
( )
AB B
M u r F
 

 

Trong đó:
2 2
0.4 0.2
0.89 0.45
0.4 0.2
B
B
B
r i j
u i j
r

   

 


 


Véc tơ
r

được xác định bằng cách nối từ một điểm bất kỳ trên trục AB đến một điểm
bất kỳ trên phương của lực F. Như vậy ta có thể lấy
, , ,
AC AD BC BD
r r r r
   
. Để đơn giản ta chọn
AD
r


hay viết tắt là
D
r

. Với:
0.6
D
r i



.
Véc tơ lực

F

sẽ là:
300
F k
 


Thay vào công thức ta được:
11
0.89 0.45 0
( ) 0.6 0 0
0 0 300
[0( 300) 0(0)]0.89 [0(0) 0.6( 300)]0.45 [0.6(0) 0(0)]0 80.5
Bx By Bz
AB B D Dx Dy Dz
x y z
u u u
M u r F r r r
F F F
   

        

 
N.m

M
AB
mang dấu dương chứng tỏ nó cùng chiều với u

B
.
Véc tơ
AB
M

được biểu diễn trong hệ tọa độ Cartesian như sau:


80.5(0.89 0.45 ) 72 36 N.m
AB AB B
M M u i j i j    

   


1.3 NGẪU LỰC
1.3.1 Khái niệm về ngẫu lực
Ngẫu lực là cặp lực song song trái chiều và có
cùng cường độ. Trong hệ lực không gian ngẫu lực
được quy ước như một đại lượng véctơ và có các
đặc trưng như sau:
- Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa các
lực.
- Chiều: Đứng từ đầu ngọn thấy ngẫu làm vật
quay ngược chiều kim đồng hồ (theo quy tắc bàn
tay phải).

Hình 1.13: Minh họa ngẫu lực
- Cường độ: M = d.F (1.10)

Với: d là khoảng cách giữa hai đường tác dụng của hai lực ngẫu và F là giá trị của lực.
- Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft, kip.ft.
1.3.2 Các tính chất của ngẫu lực
a. Tính chất 1:
Mô men đối với điểm bất kỳ nào đó của cặp ngẫu lực
luôn luôn không đổi và bằng véctơ mô men của ngẫu lực.
b. Tính chất 2:
Véctơ mô men của ngẫu lực bằng véctơ mô men của lực
thành phần thứ nhất đối với điểm bất kỳ nào đó trên đường
tác dụng của lực thành phần thứ hai.

Hình 1.14: Minh họa tính chất
1,2 của ngẫu lực
c. Tính chất 3: Hai ngẫu lực có véctơ mô men bằng nhau thì tương đương với nhau.

Hình 1.15: Minh họa tính chất 3 của ngẫu lực
Sự chuẩn xác của nhận xét trên được minh chứng bởi hai tính chất sau:
12
- Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, có cùng chiều, và cùng giá trị thì tương
đương nhau.
- Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng hay đến
mặt phẳng song song với chính nó.
Từ đây ta có thể suy ra:
- Ngẫu lực là véctơ tự do.
- Tác dụng của ngẫu sẽ không thay đổi nếu ta thực hiện các phép biến đổi mà không
làm thay đổi phương chiều và cường độ của véctơ mô men.
d. Tính chất 4:
Hợp hai ngẫu lực được một ngẫu lực có
véctơ mô men bằng tổng các véctơ mô men
của hai ngẫu lực đã cho.

Ví dụ 7:
Hãy xác định tổng ngẫu lực của 3 cặp
ngẫu lực tác dụng vào tấm phẳng như hình
1.17.
Giải:

Hình 1.16: Minh họa tính chất 4 của ngẫu lực
Trên hình vẽ chúng ta thấy khoảng cách
các cặp ngẫu lực lần lượt là d
1
, d
2
, d
3
. Chọn
chiều dương ngược chiều kim đồng hồ, chúng
ta có:
1 1 2 2 3 3
200(4) 450(3) 300(5) 950 lb.ft
R
M M Fd F d F d    
     
 

Như vậy, tổng ngẫu lực tác dụng lên tấm
phẳng có độ lớn là
950 lb.ft
R
M  . Dấu trừ
chứng tỏ nó quay cùng chiều kim đồng hồ.

1.4 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

Hình 1.17: Minh họa ví dụ 7
Toàn bộ lý thuyết của phần tĩnh học được xây dựng trên 6 tiên đề dưới đây:
1.4.1 Tiên đề 1 (Hệ hai lực cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để hai lực cân bằng là
chúng có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều
nhau, có cùng cường độ và cùng điểm đặt.
1 2
F F
 
 
(1.11)

Hình 1.18: Hình minh họa tiên đề 1
1.4.2 Tiên đề 2 (Thêm bớt lực)
Tác dụng của một lực sẽ không thay đổi khi ta thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng.
Có thể mở rộng cho hệ lực:
Tác dụng của hệ lực sẽ không thay đổi khi thêm hay bớt một hệ lực cân bằng.
- Hệ quả 1: Khi ta trượt lực trên đường tác dụng của nó thì tác dụng của lực lên vật thể
không thay đổi.
- Hệ quả 2: Khi hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ của hệ lực ấy sẽ là lực trực đối với
hợp lực của các lực còn lại.
13
1.4.3 Tiên đề 3 (Hình bình hành lực)
Hai lực tác dụng lên một vật rắn tại cùng một điểm sẽ tương
đương với một lực đặt tại điểm chung đó và có giá trị phương và
chiều được biểu diễn bằng véctơ tổng hai véctơ biểu diễn hai lực
thành phần.
1 2

R F F
 
  
(1.12)
Từ tiên đề 3 cho phép chúng ta tìm hợp lực của hệ gồm nhiều
lực có cùng điểm đặt, hoặc phân tích một lực đã cho thành hai hay
ba thành phần đã biết phương.

Hình 1.19: Cách hợp lực
của hai lực
1.4.4 Tiên đề 4 (Tác dụng và phản tác dụng)
Lực tác dụng tương hỗ giữa hai vật thể
bao giờ cũng có cùng đường tác dụng, cùng
độ lớn và ngược chiều nhau.

A B
F F 
 
(1.13)
Lưu ý: Lực tác dụng và phản tác dụng
không phải là hai lực cân bằng nhau vì
chúng được đặt lên hai vật khác nhau.
Hình 1.20: Tác dụng và lực phản tác dụng

Hình 1.21: Minh họa hai lực tác dụng và phản tác dụng
1.4.5 Tiên đề 5 (Hóa rắn)
Vật biến dạng ở trạng thái cân bằng khi hoá rắn nó vẫn cân bằng.

Hình 1.22: Hóa rắn kết cấu
Tiên đề này cho phép chúng ta phần nào đó đơn giản hoá trong khi giải các bài toán của

vật biến dạng. Tuy nhiên khi áp dụng tiên đề này cần chú ý: Các điều kiện cân bằng của vật
rắn tuyệt đối chỉ là điều kiện cần khi xét cân bằng của vật biến dạng.
1.4.6 Tiên đề 6 (Giải phóng liên kết)
Vật rắn chịu liên kết cân bằng có thể xem là vật tự do cân bằng khi thay thế các liên kết
bằng các lực liên kết, khi đó các lực tác dụng và các lực liên kết tác dụng lên vật rắn sẽ là hệ
lực cân bằng.
F
B
F
A
Hóa rắn
14

Hình 1.23: Giải phóng liên kết hệ vật rắn
Ví dụ 8:
Một cái móc đinh vít chịu tác dụng của 2 lực F
1
và
F
2
như hình 1.24a. Hãy xác định độ lớn và hướng của hợp
lực tác dụng lên đinh vít.
Giải:
- Áp dụng tiên đề hình bình hành lực ta xác định
được hợp lực F
R
. Cách xác định được thể hiện trên hình
1.24b.
- Xác định F
R

bằng cách sử dụng định lý Cosin trong
tam giác, được thể hiện trên hình 1.24c.

(a)

Hình 1.24: Minh họa ví dụ 8
Ta có:
2 2 0 2 2 0
1 2 1 2 1 2 1 2
2 cos115 2 cos65
R
F F F F F F F F F     
2 2 0
100 150 2(100)(150)cos65
10000 22500 30000(0.4226) 212.6 N
213 N
R
F   
   


- Áp dụng định lý Sin để xác định góc

. Ta có:
0 0
0
150 212.6 150
sin (sin115 ) 39.8
sin sin115 212.6
 


    
Giải phóng
liên k
ết

15
- Như vậy hợp lực F
R
hợp với phương ngang một góc:
0 0 0 0
15 39.8 15 54.8
 
    
Ví dụ 9:
Hợp lực F
R
của hai lực hoạt động tác dụng lên khúc gỗ có phương dọc theo trục x và có
độ lớn là 10 kN. Hãy xác định góc

của dây cáp mắc vào B để cho F
B
đạt giá trị nhỏ nhất. Độ
lớn của lực ở mỗi dây cáp trong trường hợp này?

Hình 1.25: Minh họa ví dụ 9
Giải:
- Dựa vào tiên đề hình bình hành lực để xác định lực F
B
. Dựa vào hình 1.25, để F

B
đạt
giá trị nhỏ nhất thì F
B
phải có phương vuông góc với F
A
.
- Theo hình 1.25 ta có:
0
0
10sin30 5.00 kN
10cos30 8.66 kN
B
A
F
F
 
 

- Góc

được xác định như sau:
0 0 0
90 30 60

   .
1.5 LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT
1.5.1 Vật rắn tự do và vật rắn liên kết
a. Vật rắn tự do:
Là vật thể có thể di chuyển trong không gian theo thời gian mà không chịu bất kỳ một

ràng buộc hay cản trở nào.
b. Vật rắn không tự do (hay còn gọi vật rắn chịu liên kết):
Là vật rắn mà chuyển động của nó theo hướng nào đó bị ngăn trở bởi một vật khác.
Vật cản trở chuyển động đó gọi là vật gây liên kết.
c. Liên kết:
Những điều kiện cản trở di chuyển của vật khảo sát được gọi là những liên kết đặt lên
vật ấy.
1.5.2 Lực liên kết, lực hoạt động và phản lực liên kết
a. Lực liên kết:
Những lực đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật có liên kết với nhau qua chỗ
tiếp xúc hình học.

A
F
B
F
10 kN
0
30

A
F
B
F
10 kN
0
30

16
b. Lực hoạt động:

Những lực tác dụng lên vật khảo sát có thể gây ra chuyển động nếu không có liên kết.
c. Phản lực liên kết:
- Phản lực liên kết: Là lực tác dụng của vật liên kết lên vật rắn khảo sát
- Áp lực: Lực liên kết do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết.
1.5.3 Điều kiện cân bằng của vật
a. Bậc tự do của hệ:
Là thông số độc lập xác định chuyển động của hệ và là đại lượng đặc trưng cho chuyển
động.
Một vật di chuyển trong mặt phẳng sẽ có tất cả là 3 bậc tự do, nếu trong không gian sẽ
có 6 bậc tự do.
c. Công thức xác định số bậc tự do của hệ:
Nếu hệ có n vật di chuyển trong mặt phẳng hoặc trong không gian, ta có công thức xác
định bậc tự do như sau:
- Trong mặt phẳng 2D: k = 3×n – R
- Trong không gian 3D: k = 6×n – R
Trong đó: k là số bậc tự do
n là số vật thuộc hệ
R là tổng số ràng buộc hay phản lực liên kết tác dụng lên các vật thuộc hệ
d. Phân loại tính chất của hệ dựa vào số bậc tự do:
Nếu k = 0: hệ tĩnh định (hệ ở trạng thái cân bằng (đứng yên) với mọi loại tải tác động).
Nếu k > 0: hệ động
Nếu k < 0: hệ siêu tĩnh. k = -1: siêu tĩnh bậc 1, k = -2: siêu tĩnh bậc 2. Hệ này sẽ được
giải quyết trong học phần Sức bền vật liệu.
1.6 CÁC DẠNG LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP
1.6.1 Liên kết tựa
Mặt tiếp xúc nhẵn phản lực liên kết có phương trùng với pháp tuyến chung của mặt tiếp
xúc.

Hình 1.26: Liên kết tựa
17

1.6.2

Liên kết dây mềm
- Khi dây không có trọng lượng (trọng lượng
nhỏ), sức căng theo trục của dây.
- Khi dây có trọng lượng sức căng theo phương
tiếp tuyến của dây.

Hình 1.27: Liên kết dây mềm

1.6.3 Liên kết con lăn trên mặt phẳng nhẵn
Phản lực liên kết có phương vuông góc với mặt phẳng tựa.


Hình 1.28: Liên kết con lăn
1.6.4 Liên kết khớp trụ trượt (bản lề trụ) và máng trượt nhẵn
Phản lực có phương pháp tuyến với phương dịch chuyển



Hình 1.29: Liên kết bản lề trụ và máng trượt
1.6.5 Liên kết ngàm
Ngoài các phản lực theo phương x, y, z còn có mô men phản lực M.
18



Hình 1.30: Liên kết ngàm
1.6.6 Liên kết gối cố định
Nếu chốt không ma sát có phản lực chưa thể

xác định phương nên thường được phân tích thành
hai thành phần.
Nếu vật bị chốt cứng vào gối phản lực còn
có mô men phản lực.

Hình 1.31: Liên kết gối cố định
















19
PHẦN B: BÀI TẬP CHỦ ĐỀ 1


Bài 1:
Một xe tải được kéo bởi hai sợi dây,
hãy xác định độ lớn của 2 lực F
A

và F
B
để
hợp lực F
R
của chúng có hướng dọc theo
trục x và có độ lớn 950 N.
Cho biết

= 50
0
.
Bài 2:
Hãy xác định độ lớn và góc

của lực F
1
để hợp
lực của chúng có độ lớn 800 N và hướng thẳng đứng
lên trên.


Bài 3:
Nếu θ = 15
o
, hãy xác định mô men của lực F đối với
điểm O của dầm công xôn có dạng như hình vẽ.
Hãy xác góc θ để mô men của lực F đối với điểm O có
giá trị lớn nhất và bằng không?
Bài 4:

Để nhổ một cái đinh ra ngoài miếng gỗ, người ta
tác dụng vào cán búa một mô men 500 lb.in quay
quanh A cùng chiều kim đồng hồ.
Hãy xác định lực F do tay người gây ra.

20

Bài 5:
Nếu F
B
= 30 lb và F
C
= 45 lb, hãy
xác định tổng mô men tác dụng lên
bulông tại A.
Bài 6:
Một lực F = 200 N tác dụng vào một cờ
lơ để xiết chặt bu lông cố.
Hãy xác định mô men của lực F quanh
tâm O của bánh xe như hình vẽ.


Bài 7:
Xe đẩy và vật liệu được chở có khối
lượng 50 kg và trọng tâm G.
Nếu tổng mô men của lực F và trọng
lượng xe quay quanh A gây ra bị triệt tiêu,
hãy xác định độ lớn của lực F trong trường
hợp này.

Bài 8:
Một lực 300 N tác dụng
vào một tay quay của một cái
tời. Biết rằng phương của lực
nằm trong mặt phẳng song
song với y-z.
Hãy xác định mô men
của lực đối với điểm O.

21
Bài 9:
Xác định mô men của lực F quay trục
OA như hình vẽ bên.


Bài 10:
Xác định độ lớn của lực F nếu tổng
mô men tác dụng lên khung sườn là 200
lb.ft quay cùng chiều kim đồng hồ.
Bài 11:
Hai đĩa lau nhà bị mô men
cản của sàn nhà tác động lên là
M
A
= 40 N.m và M
B
= 30 N.m.
Hãy tìm giá trị của lực do
người lau nhà tác động lên cánh
tay đòn của cần điều khiển để

tổng mô men tác động lên máy
bằng 0. Lực F sẽ bằng bao nhiêu
khi bàn chổi B không hoạt động
(M
B
= 0).


22
Chủ đề 2
HỆ LỰC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
PHẦN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT


2.1 PHÂN LOẠI HỆ LỰC
Như đã biết: Hệ lực là hệ thống gồm các lực cùng tác dụng lên một vật thể. Tùy thuộc
vào đường tác dụng của các lực mà người ta phân ra các hệ lực như sau:
2.1.1 Hệ lực không gian
Là hệ lực có các lực phân bố trong
không gian, bao gồm các lực và ngẫu lực.

Hình 2.1: Hệ lực không gian
2.1.2 Hệ lực đồng quy
Là hệ lực có đường tác dụng của các lực
gặp nhau tại một điểm.

Hình 2.2: Hệ lực đồng quy
2.1.3

Hệ lực song song

Là hệ lực gồm các lực có đường tác
dụng song song với nhau.

Hình 2.3: Hệ lực song song
2.1.4

Hệ lực phẳng
Là hệ lực gồm các lực và mô men cùng
nằm trên một mặt phẳng.

Hình 2.4: Hệ lực phẳng
2.1.5

Hệ ngẫu lực

Hệ đơn thuần gồm các ngẫu lực.


Hình 2.5: Hệ ngẫu lực
23
2.1.6 Hệ lực phân bố
Hệ lực phân bố là hệ lực song song và phân bố theo
một quy luật nào đó trên một đường hay mặt phẳng.
Khi gặp hệ lực phân bố, ta cần đưa về lực tập trung
trước khi tính toán. Độ lớn của lực tập trung bằng diện
tích của hình phân bố và vị trí điểm đặt nằm tại trọng tâm
của hình phân bố.
Trong phần này chúng ta chỉ tìm hiểu về lực phân
bố trên một đường thẳng.

Hình 2.6: Hệ lực phân bố
a. Hệ lực phân bố đều (phân bố theo hình
chữ nhật):
- Cường độ lực tập trung: R = w.L
- Vị trí điểm đặt:
1
2
d L


Hình 2.7: Hệ lực phân bố đều
b. Hệ lực phân bố hình tam giác:
- Cường độ lực tập trung:
1
.
2
R w L

- Vị trí điểm đặt cách đỉnh:
2
3
d L


Hình 2.8: Hệ lực phân bố tam giác

c. Hệ lực phân bố theo kiểu hình thang:
Trong trường hợp này ta có thể phân hệ
lực thành hai hệ, một hệ có cường độ phân bố
không đổi, một hệ có cường độ phân bố theo

hình tam giác để tìm hợp lực của hai hệ này sau
đó hợp lại.
1 1
.
R w L

 
2 2 1
1
2
R w w L
 

Hình 2.9: Cường độ lực phân bố hình thang
2.2 VÉCTƠ CHÍNH VÀ MÔ MEN CHÍNH CỦA HỆ LỰC
2.2.1 Véctơ chính
Véctơ chính của hệ lực
R

là tổng hình học của các véctơ biểu diễn các lực thuộc hệ lực.


1 2 3

n i
R F F F F F
     

     
(2.1)

Chiếu lên các trục tọa độ ta được:
1 2
1 2
1 2



x x x nx ix
y y y ny iy
z z z nz iz
R F F F F
R F F F F
R F F F F

    


    


    





(2.2)
24
2.2.2 Mô men chính của hệ lực
Mô men chính của hệ lực

O
M

đối với tâm O, là một véctơ bằng tổng hình học các véctơ
mô men các lực đối với tâm O.
1 2
( ) ( ) ( )
O
O O O
n
M m F m F m F
   
      
(2.3)
Chiếu lên các trục tọa độ ta được:
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n i
Ox x x x x
n i
Oy y y y y
n i
Oz z z z z
M m F m F m F m F
M m F m F m F m F
M m F m F m F m F


    


    


    





   
   
   
(2.4)
Ví dụ 1:
Trọng lượng của các thành phần xe tải
được biểu diễn như hình vẽ. Hãy xác định
véctơ chính của hệ lực này.
Giải:
- Đây là hệ lực phẳng song song.
- Độ lớn của véctơ chính:
1750 5500 3500 10750
i
R F       
lb

- Véctơ này có phương song song với

trục y, chiều từ trên hướng xuống dưới.

Hình 2.10: Minh họa ví dụ 1
Ví dụ 2:
Hệ lực tác dụng vào mái dàn như hình vẽ. Hãy
xác định véctơ chính của hệ lực tác dụng vào mái dàn
đó.
Giải:
- Đây thuộc dạng hệ lực phẳng.
- Độ lớn của véctơ chính:

2 2
x y
R R R
 

Trong đó:
0
200sin30 100
x x
R F  

lb

0
150 300 275 200cos30 898.2
y y
R F     

lb

2 2 2 2
(100) (898.2) 904
x y
R R R     
lb



Hình 2.11: Minh họa ví dụ 2
- Phương của véctơ chính:
0
100
6.35
898.2
artg

 
 
 
 
=>
0 0 0
30 6.35 23.65

  


x
R

0
30


0
30
y
R
R