GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN TRONG MAPLE

MỤC LỤC
1
Chương 1
TÍCH PHÂN

1.1. Định nghĩa tích phân
Ta có công thức Niutơn - Laipnit :
Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu
biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết:
1.2. Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a; b] thì tích phân là diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x, trục Ox) và hai đường thẳng x = a
và x = b.
1.3. Các tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba điểm của K,
dựa vào định nghĩa tích phân ta có các tính chất sau:
Tính chất 1: Ta có =0.
Tính chất 2: Ta có = .
Tính chất 3: Ta có = , với k R;
2
Tính chất 4: Ta có = .
Tính chất 5: Ta có = + .
Tính chất 6: Nếu f(x) 0, [a; b] thì 0.
Tính chất 7: Nếu f(x) g(x), [a; b] thì .
Tính chất 8: Nếu m f(x) M, [a; b] thì m(b - a) M(b - a).
Tính chất 9: Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] thì G(t) = là nguyên hàm của f(t) và
G(a) = 0.
1.4. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích
Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ
bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó ta xác định

được giá trị của tích phân.
Ví dụ: Tính tích phân: I =
Sử dụng đồng nhất thức: x
5
= x
5
+ x
3
– x
3
– x + x = x
3
(x
2
+ 1) – x(x
2
+ 1) + x.
Ta được:
I =
1.5. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định có hai dạng cơ bản dựa trên
định lý sau:
Định lý:
a. Nếu là hàm số có đạo hàm trong [a; b] thì:
b. Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b], hàm số x = xác định và
(i) T6òn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn []
3
(ii) = a và = b
(iii) Khi t biến đổi từ đến thì x biến thiên trong đoạn [a; b]
Khi đó:

Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân I =
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn x = , trong đó là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân dx = dt
Bước 3: Tính các cận và tương ứng theo a và b
Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
Bước 5: Khi đó: I =
Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên
thông thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
4
Ví dụ: Tính tích phân: I =
Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt
Đổi cận: với x = 0 => t=0; x = => t =
Ta có:
Khi đó: I =
Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân I =
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn x = , trong đó là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định x =
(nếu có thể).
Bước 2: Xác định vi phân dx = dt
Bước 3: Tính các cận và tương ứng theo a và b
Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
Bước 5: Khi đó: I =
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
5
Ví dụ: Tính tích phân: I =
Bài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tình tích phân I =
Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tích chất của hàm số dưới dấu tích
phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường:

- Với I = có thể lựa chọn việc đặt x = - t
6
- Với I = có thể lựa chọn việc đặt t = – x
- Với I = có thể lựa chọn việc đặt t = – x
- Với I = có thể lựa chọn việc đặt t = 2 – x
- Với I = có thể lựa chọn việc đặt x = a + b + t
Ví dụ: Tính tích phân I =
1.6. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Công thức:
Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác định I =
Phương pháp giải:
7
Ví dụ: Tính tích phân: I =
8
9
Chương 2
GIỚI HẠN

2.1. Các định nghĩa về giới hạn của dãy số và hàm số
2.1.1. Dãy số
- lim u
n
= 0  Mọi |un| đều nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ một số
hạng nào đó trở đi.
- lim u
n
= L  lim(u
n
- L) = 0
- lim u

n
= +  Mọi un đều lớn hơn một số dương tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng
nào đó trở đi.
- Lim u
n
= -  Mọi un đều nhỏ hơn một số âm tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào
đó trở đi.
2.1.2. Hàm số
Giả sử x0 (a, b) và f là một hàm số xác định trên (a, b) có thể trừ điểm x0.
- = L  Với mọi dãy số (x
n
) trong (a; b) \ {x
0
} mà lim x
n
= x
0
, ta đều có lim f(x
n
) = L.
- = +  Với mọi dãy số (x
n
) trong (a; b) \ {x
0
} mà lim x
n
= x
0
, ta đều có lim f(x
n

) = + .
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x
0
; b), x
0

- = L  Với mọi dãy số (x
n
) trong (x
0
; b) mà lim x
n
= x
0
, ta đều có lim f(x
n
) = L.
- = - , = + , = - , = + , = + , = + , = L, = + , = - , = L , = + , = - được định nghĩa
tương tự
2.2. Các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số:
2.2.1. Dãy số
- Nếu lim u
n
= L thì
lim |u
n
|= |L|; lim = ; lim = (Nếu u
n
0 với mọi n).
- Nếu lim u

n
= L , lim v
n
= M thì
lim u
n
v
n
= L M; lim u
n
v
n
= L.M;
lim c.u
n
= c.L (c là hằng số); lim u
n
/v
n
= L/M (nếu M # 0);
2.2.2. Hàm số
- Nếu lim f(x) = L (x => x
0
, x => x
0
+
, x => x
0
-
, x => + , x => - ) thì

lim | f(x) | = | L |; lim = ; lim = (Nếu f(x) 0)
- Nếu lim f(x) = L và lim g(x) = M (x => x
0
, x => x
0
+
, x => x
0
-
, x => + , x => - ) thì
lim [f(x) g(x)]= L M; lim [f(x) g(x)]

= L.M;
lim c.f(x) = c.L (c là hằng số); lim f(x)/g(x) = L/M (nếu M # 0)
10
2.3. Hàm số liên tục
2.3.1. Định nghĩa
Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục tại điểm x0 (a; b) nếu
Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó
liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên
tục trên khoảng (a; b), và
2.3.2. Định lý (về giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) # f(b) và M là một số nằm giữa
f(a) và f(b) thì tồn tại ít nhất một số c (a; b) sao cho f(c) = M.
11
Chương 3
GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN TRONG MAPLE

3.1. Giới hạn của hàm số trong Maple

Trong Maple, có hai lệnh để tính và hiển thị kí hiệu giới hạn.
Dùng lệnh > Limit (hàm số, x = x
0
, left/right (trái/phải)); để hiển thị biểu thức
giới hạn (bên trái/ phải) của hàm số tại x=x
0
. {Chữ L trong từ khóa Limit là chữ in
hoa)
Dùng lệnh > limit(hàm số, x = x0 , left/right (trái/phải)); để hiển thị (tính) giá trị
của giới hạn (bên trái/ phải) của hàm số tại x=x
0
. {Chữ L trong từ khóa limit là chữ
thường).
Ví dụ: Tính giới hạn
Để hiển thị ngay kết quả chúng ta nhập vào Maple dòng lệnh sau:
(Trong Maple, căn bậc n của số a được khai báo bởi từ khoá >surd(a, n); )
Để hiển thị biểu thức giới hạn:
Để hiển thị kết quả của giới hạn trên chúng ta chỉ cần dùng hàm >value(%) trên
dòng lệnh liền kề sau đó;
Ngoài ra còn có thể dùng gói lệnh “with(Student :- Calculus1):” để thực hiện các
phép toán khi tính giới hạn một hàm số.
12
- Quy tắc đưa hằng số ra khỏi dấu giới hạn trong phép nhân.
Cú pháp:
Ví dụ:
- Quy tắc đổi biến:
Cú pháp:
3.2. Tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a; b]
Ký hiệu

Cú pháp:
Trong đó f(x) là một biểu thức hoặc là một hàm số biến x.
Ví dụ:
Có thể dùng thủ tục sau cho gọn khi muốn hiển thị cả hai lệnh trên
Để sử dụng thủ tục này chúng ta chỉ cần nhập >tp(f, a, b); thì sẽ cho kết quả tích
phân của biểu thức f trên đoạn [a; b].
13
Ví dụ: Sau khi đã thiết lập thủ tục trên chúng ta tính tích phân

Một điều cần lưu ý, nếu f là hàm số thì lệnh tính giá trị của tích phân của hàm f
trên đoạn [a; b] có thể ngắn gọn hơn là > int(f, a b); không khai báo biến x, chỉ khai
báo “f”, thay vì “f(x)”.
Ví dụ:
Chúng ta nhập f ở dạng hàm số
Nhưng muốn hiển thị biểu thức tích phân (khi f là hàm số) chúng ta phải khai báo
đầy đủ
Còn nếu không nhập lệnh đúng, Maple sẽ cho kết quả:
- Gói lệnh “with(Integration Tools)” với tích phân
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Cú pháp > Change(V, x=g(u));
Trong đó V là biểu thức tích phân của một hàm số xác định trước.
14
15
Chương 4
MINH HỌA ỨNG DỤNG

4.1. Mô tả
Bài viết nhầm củng cố lại kiến thức đã học.
Chương trình được viết bằng ngôn ngữ C#, trên môi trường Visual Studio 2010
Chương trình áp dụng các kỹ thuật giao tiếp với thư viện OpenMaple (phần mềm

Maple) để giải quyết bài toán tính giới hạn, tích phân của hàm số.
Sử dụng thư viện MimeTex.dll để hiển thị công thức toán học lên giao diện Visual
Studio.
Vì thời gian có hạn, nên chương trình chỉ áp dụng tính giới hạn và tích phần toàn
phần bằng phương pháp phân tích, biến đổi.
4.2. Ý tưởng bài toán
Xác định yêu cầu: Tính giới hạn, tích phân từ phần mềm Maple, sau đó hiển thị
lên giao diện C#.
- Bước 1: Lập trình trong Maple xây dựng gói thủ tục giải bài toán giới hạn và
tích phân.
- Bước 2: Kết nối Maple đến C#.
- Bước 3: Phân tích chuổi nhận được từ Maple đưa lên C#
o Khi Maple trả về một chuỗi cho C#, ta sẽ biến đổi chuỗi này sang chuỗi
TeX
o Xữ lý chuỗi này thành dạng một Image.
o Load Image này lên giao diện C#.
4.3. Kỹ thuật giao tiếp với thư viện OpenMaple
4.3.1. OpenMaple
OpenMaple là các API (Application Programming Interface) trong thư viện hàm
của Maple hỗ trợ (Từ phiên bản 9 trở đi).
Toàn bộ các API này lưu trong file maplec.dll
4.3.2. Giao tiếp với OpenMaple
Việc giao tiếp với OpenMaple là việc gọi các hàm trong thư viện maplec.dll
Tuân thủ theo các thao tác mà thư viện này quy định.
1. Gọi hàm StartMaple để thiết lập các thông số thao tác ban đầu. Và
StopMaple để kết thúc phiên làm việc với OpenMaple.
2. Gọi các hàm API của OpenMaple với tham số và chức năng theo quy định
16
Ví dụ: Để truyền 1 lệnh tương ứng với thao tác nhập bình thường trên Maple ta
dùng hàm EvalMapleStatement

 StartMaple
StartMaple(ByVal argc As Integer, ByVal argv() As String, ByRef cb As
MapleCallbacks, ByVal data As IntPtr, ByVal info As IntPtr, ByVal err() As Byte) As
IntPtr
Hàm khởi tạo phiên làm việc của OpenMaple
Trong đó :
- argc : Số tham số (Là số tham số ở argv() )
- argv() : Mảng các tham số truyền vào
- cb : Tham trị truyền vào theo cấu trúc MapleCallbacks
- data, info : 2 tham số con trỏ chứa thông tin
- err() : Thông tin lỗi truyền ra
Gía trị trả về là một con trỏ của thư viện OpenMaple đã khởi tạo.
 Cấu trúc MapleCallbacks
Structure MapleCallbacks
Public textCallBack As TextCallBack
Public errorCallBack As ErrorCallBack
Public statusCallBack As StatusCallBack
Public readlineCallBack As ReadLineCallBack
Public redirectCallBack As RedirectCallBack
Public streamCallBack As StreamCallBack
Public queryInterrupt As QueryInterrupt
Public callbackCallBack As CallBackCallBack
End Structure
 StopMaple
StopMaple(ByVal kv As IntPtr)
Hàm kết thúc phiên làm việc của OpenMaple
Trong đó :
- kv : Là biến con trỏ trả về từ hàm StartMaple
kv = StartMaple(ByVal argc As Integer, ByVal argv() As String, ByRef cb As
MapleCallbacks, ByVal data As IntPtr, ByVal info As IntPtr, ByVal err() As Byte)

 EvalMapleStatement
EvalMapleStatement(ByVal kv As IntPtr, ByVal statement() As Byte) As IntPtr
17
Hàm truyền các lệnh vào cho thư viện Maple xử lý
- kv : Con trỏ nhận được từ hàm StartMaple (Trang trên đã nói)
- statement() : Lệnh truyền vào
- Dữ liệu ra sẽ là file, hoặc gọi các hàm tại :
cb.textCallBack
cb.errorCallBack
cb.statusCallBack
4.4. Hiển thị công thức toán học
Có nhiều cách để hiển thị công thức toán học lên giao diện Visual Studio, trong bài
viết này sẽ trình bày cách hiển thị công thức toán theo ngôn ngữ có cấu trúc LaTeX
(thông qua thư viện Mime.dll).
4.4.1. Cách thể hiện ngôn ngữ LaTeX
Các ví dụ cụ thể:
- Phân số: \frac{1}{2}


- Hệ số mũ: x^4

x
4
- Dấu tích phân: \int_{a}^{b}{x}dx


Trong đó:
a: là cận dưới
b: là cận trên
x: là hệ số trong dấu tích phân

\int: kí hiệu ra dấu tích phân
- Giới hạn: \lim_{x\to 1}{x}


Trong đó:
x: là cận trước
\to: là dấu mủi tên
1: là cận sau
X: là hệ số trong giới hạn
\lim là kí hiệu dấu giới hạn.
4.4.2. Cấu trúc trả về của Maple cho C#
- Dạng phân số: a/b
Trong đó
a: là tử số
b: là mẫu số
- Dạng mũ số: a^b
Trong đó
a: là hệ số
b: là hệ số mũ
- Dạng tích phân: Int(x, x=0 1)
18
Trong đó
x: là hệ số
x = 0 1 (0: là cận trên; 1: là cận dưới)
Int: là dấu tích phân.
- Dạng giới hạn: Lim(x, x=a)
Trong đó:
x: là hệ số của giới hạn
x = a là hệ số chạy (x: là hệ số trước; a: là hệ số sau)
Lim là kí hiệu giới hạn

Như vậy việc khó khăn nhất của chương trình là tách chuỗi Maple trả về và cho ra
các cấu trúc có sẵn trong LaTeX, sau đó hiển thị lên giao diện.
4.4.3. Nhận xét
- Sử dụng thư viện MimeTex.dll: truyền vào một chuỗi là biểu thức toán học thông
thường, kết quả xấu ra là một file ảnh.gif với công thức tương ứng.
- Ưu điểm: Xử lý nhanh, không phụ thuộc vào trình duyệt
- Khuyết điểm: Hiển thị chưa đẹp.
4.5. Hiện thực ứng dụng
4.5.1. Thủ tục tính giới hạn – tích phân trên Maple
restart;interface(imaginaryunit=JZ):
with(Student[Calculus1]):
FindSolution := proc (De)
local a, luat;
global i, temp;
a[1] := De:
temp[1] := a[1]:
luat := Hint(a[1]):
i := 1:
while luat <> [] do
a[i+1] := Rule[luat](a[i]);
temp[i+1] := temp[i] = rhs(a[i+1]);
luat := Hint(a[i+1]);
i := i+1;
end do:
end proc:
BaiGiai := proc (DeBai)
FindSolution(DeBai):
printf("%a",temp[i]);
end proc:
4.5.2. Giao diện ứng dụng

19
4.5.3. Mô tả hoạt động chương trình
Bước 1: Nhập đầu vào là bài toán theo cấu trúc ngôn ngữ Maple
Bước 2: Thực hiện giải:
- Gọi chương trình Maple giải bài toán trên
- Phân tích chuỗi Maple
o Kiểm tra đầu vào là Tích phân hay Giới hạn
o Nếu là tích phân
 Phân tích chuỗi tích phân trên.
 Chuyễn tích phân sang LaTeX.
 Ghi dữ liệu vào LaTex.
o Nếu là giới hạn
 Phân tích chuỗi giới hạn
 Chuyễn giới hạn sang LaTeX
 Ghi dữ liệu vào LaTeX
o Hiển thị chuỗi LaTex lên giao diện
 Tạo một đường link Image
System.IO.Path.Combine(“”, namepicture);
 Gọi phương thức tạo ảnh từ thư viện MimeTex
CreateGifFromEq(Biểu thức toán, Đường dẫn tập tin kết quả (.gif))
 Thực hiện hiển thị ảnh lên giao diện.
20
Nút Thể hiện đề bài
Nơi thể hiện đề bài
Nơi thể hiện lời giải
Giải đề
Nơi mở File có
sẵn
Nơi nhập
đề

- Bước 3: Thoát chương trình.
21
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa Giai Tích lớp 11, 12 – Bộ giáo dục đào tạo
2.
3. />4. Khám phá Maple 11 – Đỗ Cao Long - THPT Nam Đông
5. />22