Giải bài toán đồ thị đẳng cấu dùng thuật toán VF

I HC QUC GIA TP. H CHÍ MINH
I HC CÔNG NGH THÔNG TIN
KHOA KHOA HC MÁY TÍNH




TIU LUN
:









Ging dn: PGS. TS. 
Hc viên thc hin: NGUY
Lp: Cao hc Khóa 6 MSHV: CH1101159



TP. H Chí Minh, tháng 08 

Em xin bày t lòng bin PGS. TS. i hc Công
Ngh ng dn, cung cp kin thc, truyn
t nhng kinh nghim quí báu giúp em hoàn thành tt bài tiu lun này.
, các anh, ch  tr, lo lng viên.

ng tht c các bng h chúng tôi trong quá trình thc
hin bài tiu lun này.
u c gc chn s không tránh khi nhng thiu sót, em
rt mong nhc s n ca các Thy giáo, Cô giáo và các b 
c hoàn thi
Em xin chân thành c
Tp H Chí Minh, tháng 05 
Hc viên

NHN XÉT
(Ca ging dn)


 1
 th 2
 th 2
 3
1.2.1. Cnh liên thunh k, bc 3
 4
1.3. Biu di th 4
1.3.1. Ma trn k 4
1.3.2. Danh sách cnh 5
1.3.3. Danh sách k 6
1.3.4. Danh sách liên thuc 7
Ch th ng cu 8
2.1. Gii thiu bài toán 8
2.2. Thut toán VF 9
2.3. Biu din thut toán VF 10
2.4. Các lut xét tính kh thi ca trng thái 11
 phc tp ca thut toán VF 12
t lun 13
 14
TÀI LIU THAM KHO 16

Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 1

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy

 th là mt cu trúc d lic s dng rng rãi trong vic biu din thông tin
c ng dng rng trong qun lý và khai phá d lin các bài
 th th ng cn nay vi gii
hoàn ch phc tp ca bài toán là rt l th có s nh ln và m
các cnh dày. ng 5 thum gii quyt
 th ng cu bao gm Ullman, SD, Nauty, VF và VF2. Trong s u
qu nht là VF và VF2 vi VF2 là thut toán ci tin da trên VF.
Báo cáo s trình bày v  lý thuy thm v bài toán
ng c thng ca thut, ng thi tính toán  phc
tp ca thut toán này nhm làm rõ tính hiu qu ca thut toán VF.

Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 2

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
 
1.1. 
 th là mô hình biu din mt tng và mi quan h hai ngôi gia các
ng:
Graph = Object + Connections
G = (V,E)
Có th  th G là mt cp các
nh (vertices) biu ding và E gi là tp các cnh (edges) biu din mi
quan h gi ng. Chúng ta quan tâm ti mi quan h hai ngôi (pairwise
relations) ging nên có th coi E là tp các cp (u, v) vi u và v là hai

nh ca V biu ding có quan h vi nhau.

Hình 1: Các ng dng c th.
Có th phân lo th c tính và s ng ca tp các cnh E:
 c g th (hay gi t th) nu ginh u, v  V có
nhiu nht là 1 cnh trong E ni t n v.
 c g th (multigraph) nu ginh u, v  V có th có nhiu
nh trong E ni u và v. Nu có nhiu cnh ni ginh u, v  V
thì nhng cc gi là cnh song song (parallel edges)
 c g th ng (undirected graph) nu các cnh trong E là
ng, tc là cnh nnh u, v  V bnh ni 2
nh v, u. Hay nói cách khác, tp E gm các cp (u, v) không tính th t: (u,
v) = (v, u).
 c g th ng (directed graph) nu các cnh trong E là có
ng, tc là có th có cnh ni t c
Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 3

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
có cnh ni t nh u. Hay nói cách khác, tp E gm các cp (u,
v) có tính th t: (u, v)   th ng, các cc
gi là các cung (arcs).

Hình 2: Phân lo th.
1.2. 
 th G = (V, E) là mt cu trúc ri rc, tc là các tp V và E
là tc, vì vy ta có th  th t n t
ca tng nht các phn t thuc tp V và E vi s th t ca chúng.
i lp trình cho máy tính thì ta ch n
 th hu hn (V và E là tp hu hn), chính vì vy t  sau, nu không chú
thích gì thêm thì khi nói t th, ta hiu r th hu hn.

1.2.1. Cnh liên thunh k, bc
i v th ng G = (V, E). Xét mt cnh e  E, nu e = (u,v) thì ta nói hai
nh u và v là k nhau (adjacent) và cnh e này liên thuc (incident) vnh
v.
Vi m th c (degree) ca v, kí hiu
deg(v) là s cnh liên thuc v th thì s cnh liên thuc v
s nh k vi v.
i v th ng G = (V, E). Xét trong mt cung e  E, nu e = (u,v) thì ta
nói u ni ti v và v ni t 
c gnh c gnh cui ca cung e.
Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 4

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
Vi m th c ra (out-degree) ca v
kí hiu deg
+
(v) là s i nó; bán bc vào (in-degree) kí hiu deg
-
(v) là s
.
1.2.2. 
Mt nh:
P = <p
0
, p
1

k
>
Sao cho (p

i-1
, p
i
)  E,vi mc gi là m
này gnh p
0
, p
1

k
và k cnh (p
0
, p
1
), (p
1
, p
2
), 
k-1
, p
k
). Nu có mt

k,
, kí hiu p
0
~> p
k
nh p

0
c gnh
p
k
gnh cui cnh p
1
, p
2

k-1
c gnh trong ca
.
Mu tt c nh trên
      
0
, p
1
 
k
> tr thành chu trình
(circuit) nu p
0
= p
k
 th c gu k
nh p
1
, p
2
, 

k
hoàn toàn phân bit.
1.3. 
Khi lp trình gic mô hình hóa b th, viu tiên ta cn
làm tìm cu trúc d li biu di th sao cho vic gii quyc thun
tin nht.
Có rt nhiu di th, trong bài này chúng ta s kho sát mt
s  bin nht. Tính hiu qu ca tu din s c
ch ng thut toán c th.
1.3.1. Ma trn k
Vi G = (V, E) là m th   các
nh t ng nht mnh vi s th t ca nó. B 
v th G có th biu din bng ma trn vuông A = {a
ij
}
n*n

a
ij
= 1 nu (i,j)  E

0 nu (i,j) không  E

Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 5

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
Vi mi i, giá tr ca các phn t ng chéo chính ma trn A: {a
ij
}có th t
tùy theo m th, chng ht bng 0. Ma trn A xây dc gi

là ma trn k (adjacent matrix) c th G. Vic biu di th c qui
v vic biu din phiên b    ng: thay mi cnh (i,j) bi hai cung
ng nhau: (i,j) và (j,i).
i v th thì vic biu di  u n
là cung thì a
ij
là s cnh ni ginh j.

Hình 3: Ma trn k biu di th.
m ca ma trn k:
 n, trc quan, d cài t trên máy tính.
 Kinh liên kt rn thông qua phép so sánh giá tr a
ij
 0.
m ca ma trn k:
 i n
2
ô nh   d liu gây lãng phí b nh.
 Khi bài toán yêu cu duyt qua tt c nh j k vnh i, ta luôn phi
duy kim tra giá tr a
ij
.
1.3.2. Danh sách cnh

Hình 4: Danh sách cnh biu di th.
Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 6

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
V th nh, m cnh, ta có th lit kê tt c các cnh c th
trong mt danh sách, mi phn t ca danh sách là mt cp (x, ng vi mt

cp cng h th ng thì (x, y) là m n y. Cách
biu din này gi là danh sách cnh.
m ca danh sách cnh:
 ng h th  tit ki vì ch s
dng m ô nh.
 ng hp phi xét tt c các cnh thì vic duyt qua các cnh s
d c t
m ca danh sách cnh:
 Khi cn duynh j k v th ta phi duyt ht m
cnh.
 Khi kinh i, j có k i duyt qua m cnh.
 Khi g th  phc tp thut toán s m
trên.
1.3.3. Danh sách k
 khc phm ca 2 cách biu di th 
pháp biu di th bng danh sách k (adjacency list). Trong cách biu din này, vi
mnh v c th ng vi nó mnh k vi u.
V th ng G = (V, E). V gnh và E gm m cung. Có hai cách cài
t danh sách k ph bin:
 Forward Star: vi m mt danh sách adj[u] chnh ni
t u: adj[u] = { v: (u, v)  E }.
 Reserve Star: vi m mt danh sách adj[v] chnh ni
n v: adj[v] = { u: (u, v)  E }.
m ca danh sách k
 i vi danh sách k , vic duynh k vc là ht sc
d dàng.
 Vic duyt các cn vì mt cnh thc ra là ni mnh vi mt
nh khác k nó.
m ca danh sách k
Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 7

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
 Danh sách k yn k  vic kim tra (u, v) có phi là cnh hay
không vì phi duyt qua tt c danh sách k ca u hoc ca v.
1.3.4. Danh sách liên thuc







Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 8

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
 
2.1. 
 (graph isomorphism song ánh 
hai  th G
1

2
:
f: M(G
1
M(G
2
)
      n
i

và n
j
   G
1
      
 f(n
i
) và f(n
j
)  G
2
.
       ng cu          
này  
 th ng cu 



:
f(a) = 1 f(g) = 5
f(b) = 6 f(h) = 2
f(c) = 8 f(i) = 4
f(d) = 3 f(j) = 7
ng cu gi th G
1
= (N
1
, B
1
) và G

2
= (N
2
, B
2
) là quá trình tìm
ra ánh x M t  th G
1
sang G
2
. Có nhiu luc áp dng cho M và
ng vi các lut thì s có nhiu long cu khác nhau: ng cu, ng
cng cu gi th  th ng cu gi th 
th c s dng nhiu nht.
Ta có th t tp có th t các cp (n, m) vi n  G
1
và m  G
2
th
hin ánh x t n m:
M = { (n, m)  N
1
x N
2
| n ánh x n m }
Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 9

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
Theo lý thuyt, vic gii quyt bài toán này có th c thc hin bng cách duyt
qua tt c các trng thái ánh x có th có và chn ra mt li gii phù hp vi long

cu cn tìm (s dng thut toán Brute Force).
2.2. TVF
Thut toán VF da trên khái nim không gian mô t trng thái (vit tt ting anh là
SSR) mô t ng cu c th vi mi trng thái s th hin mt phn
ca li gip con ca M và cha các thành phn thuc M.
 gim b phc tp ca bài toán, c th m bng hp cn
phi duyt, vi mi trn t trng thái s
0
n trng thái li gii, chúng
t  xét tính kh thi ca trng thái ng.
Ti bài toán này, t mi trng thái s
i
n trng thái s
j
, thao tác chúng ta cn làm là
thêm vào s mt cp ánh x ng ci. Nu
vip ánh x mi vào làm ng cu thì vic duyt tip các trng
thái sau khi thêm cp ánh x này là không cn thit.
Ví d th G
1
và G
2
sau:

Li gii ca bài toán: M = { (n
1
, m
4
), (n
2

, m
1
), (n
3
, m
2
), (n
4
, m
3
) }
Gi s  trng thái M(s
i
) = { (n
1
, m
4
), (n
2
, m
1
ng thái c
th ng cu ta xây dc 

Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 10

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
i tip tc tìm mt cp ánh x (n, m) sao cho vm bo tính
ng cu c th tc là tìm trng thái s
j

mi da trên s
i


ng thái M(s
j
) = { (n
1
, m
4
), (n
2
, m
1
), (n
3
, m
2
) ng thái c
th ng cu ta xây d

Vic lp li các thao tác tính toán theo tng tr 
ta dn kt qu cui cùng ca bài toán.
2.3. 
Thuc biu dit thut toán tìm kim theo chi
PROCEDURE Match(s)
INPUT: trng thái hin ti s vi d liu khi to s
0
có M(s
0

) = Ø
OUTPUT: ánh x gi th ng cu
IF M(s) cha tt c nh THEN
OUTPUT M(s)
ELSE
Tính tp P(s) là tp các cp ánh x ng viên có th thêm vào M(s)
Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 11

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
FOREACH p  P(s)
IF vic thêm p vào M(s) là kh thi THEN
Tính trc khi thêm p vào M(s)

END IF
END FOREACH
END IF
END PROCEDURE
2.4. 
i vi mca n trong tp ánh x ng là
cha cng.
i vi ma n trong tp ánh x ng là
con cng.
i vi mnh n thuc tp ánh x c, s nh là cha (con) cnh n nm
trong tnh vào T
in
1
(s)  trng thái s bng vi s nh là cha (con) cnh m
ng nm trong tnh vào T
in
2

(s)  trng thái s.
i vi mnh n thuc tp ánh x c, s nh là cha (con) cnh n nm
trong tp các nh ra T
out
1
(s)  trng thái s bng vi s nh là cha (con) cnh m
ng nm trong tnh ra T
out
2
(s)  trng thái s.

i vi m nh n thuc tp ánh x  c, s nh là cha (con) c nh n
không nm trong c tnh ra T
out
1
(s) ln tp M
1
(s)  trng thái s bng vi s
nh là cha (con) cng nm không trong tnh ra T
out
2
(s) ln
tp M
2
(s)  trng thái s.
Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 12

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
2.5. 
 phc tp ca thung hp tt nht và xu nht

da trên hai yu t: s trng thái cn duyt và th duyt
mi trng thái.
Chi phí thi gian phi tr cho vic duyt qua mt trng thái bng cách thêm vào
mt cp (n, m) cho mt trng thái s có th chia làm 3 phn:
 Chi ph kim tra xem trng thái mc tính kh thi hay không.
  tính toán li các tp (T
in
1
, T
in
2
n trng thái
mi.
  p các ng viên mi cho trng thái hin thi.
ng hp tt nht, ti mi trng thái ta ch có th chc mt ng
viên duy nht thu kin xét tính kh  trng thái
cn duyt s là n, vi mi trng thái phi duy tìm kim ng viên. Vy
 phc tp v thng hp tt nht s là O(n
2
).
ng hp xu nht, ta phi duyt qua tt c các trng thái có th ng
hp này có th x th  phc tp có th c tính
i trng thái mc i s có n-i ng viên cn duyt trng thái ti
mc i+1 s c tính bng n-i nhân vi s trng thái  mc i. C tip ty,
tng s trng thái phi duyt s là:
1 + n + n(n-1) + n(n-1)(n-
Tng này có th vit li thành








Vy s ng hp phi duy ng hp 
nh phc tp v thng hp  nht là O(n!n).


Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 13

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
 
Thut toán VF v lý theo tng trng thái ca li gii kt hp vi
các lut xét tính kh thi ca trng thái k ti các phép so sánh
cn s d phc tp ca thut toán m. C th khi
so sánh vi thut toán Ullman v phc tp cao nht là O(n!n
3
) và thp nht là
O(n
3
), ta thy rõ tính hiu qu ca thut toán VF.
i thiu v m nghim trong vic  th con
ng cu s dng thu kt qu ánh x gi th
hoàn toàn chính xác và hin có th chy tt vi s nh trong khong nh. Trên
thc t, kt qu c nhu cu hin nay v th ln có ti hàng
trinh và m cc (mng xã hi) nên vic tìm hiu và nghiên cu nhm
t thut toán mi có tính ng dng cao trong vi th ng cu vn còn
là mt câu hi li gii.
o0o

Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 14

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy

ng dn s d
t bng Mircrosoft Visual C# trên nn .NET Framework 3.5.
Giao din cng 

Hình 5: Giao din c
i dùng nhp d li th thông qua 3 
 c d liu trc tip t file: nhn vào nút c File và chn file cha d li
th    th liu file input phc vit
theo cu trúc sau:
- u tiên cha s nh n c th.
- n dòng tip theo là ma trn nxn là ma trn k a biu di th vi a[i][j] = 0
khi và ch khi không có cnh ni t c li.

Hình 6: .
Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 15

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy
 To b d liu ngi dùng nhp s nh c th và nhn vào nút
To Random  t th ngu nhiên.
 To b d liu ngng ci dùng nhn nút Tng cu
 to ngu nhiên c  th ng cu vi nhau.
Sau khi nhp d liu, danh sách cnh k s hin th i m th  i dùng
có th kim tra d liu.
 tìm b ng cu gi th  th con c th 1, ta nhn nút Kt qu
 xem b các ánh x c nu bài toán có kt qu c li, nu hoàn toàn

không có bt k  th con nào c th ng cu v th  hin
th thông báo là k th ng cu.

Tiu lun CSDL nâng cao: Gi th ng cu bng thut toán VF Trang 16

GVHD: PGS. TS.  Hc viên: Nguy

Ting Vit:
[1]. Slide   d liu nâng cao, PGS. TS.  Phúc (2012), i hc Công ngh
Thông tin - .
Ting Anh:
[2]. A (sub)graph isomorphism algorithm for matching large graphs, L.P.Cordella
(2004), IEEE.
[3]. Performance Evaluation of the VF Graph Matching Algorithm, L.P.Cordella  P.
Foggia  C. Sansone  M. Vento (1999), IEEE.
[4]. ebsite: