Luận Văn Nghiên cứu sự ảnh hưởng của các quá trình suy giảm kết hợp lên rối lượng tử của hệ hai qubit – cavit

Mục lục
1
Chương 1: Mở đầu
Vào cuối thế kỷ thứ 19, Vật lý cổ điển vẫn được xem như là một hệ
thống lí thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ. Nó cho kết quả phù hợp với thực
nghiệm đối với các hiện tượng vật lý mà người ta đã biết đến. Đến năm 1900,
Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát ra từ
các vật để giải thích những kết quả thực nghiệm về bức xạ nhiệt của các vật
đen. Chỉ một vài năm sau, Albert Einstein đã diễn tả chính xác hiện tượng này
trong thuyết lượng tử ánh sáng. Sự không thể hòa hợp lý thuyết Maxwell với
giả thuyết này đã buộc các nhà nghiên cứu phải đi đến kết luận rằng, các hiện
tượng bức xạ chỉ có thể hiểu được bằng việc dứt khoát từ bỏ sự trực quan hóa
về chúng.
Được tìm ra bởi Planck, được nối tiếp bởi Einstein và Debye, lý
thuyết lượng tử tiến thêm một bước nữa khi được diễn tả một cách hệ thống
trong các định đề cơ bản của Bohr, đối lập một cách không khoan nhượng với
cơ học cổ điển, tuy nhiên theo các kết quả định lượng, chúng lại vô cùng cần
thiết cho việc tìm hiểu các tính chất của nguyên tử. Vật lý cổ điển như là
trường hợp giới hạn được trực quan hóa đối với một lĩnh vực vật lý vi mô về
cơ bản là không thể trực quan hóa được. Cơ học lượng tử (CHLT) ra đời như
một lời giải đáp cho hàng loạt những mâu thuẫn nổi lên trong Vật lý của thế
kỷ 19. Các tính toán của nó đã tiên đoán về tính chất của các hạt cơ bản phù
hợp với thực nghiệm với độ chính xác cao đến kinh ngạc. Dù vậy, ngay từ đầu
CHLT cũng chưa được công nhận đối với tất cả các nhà vật lý, ngay cả các
nhà khoa học lỗi lạc như Schrodinger hay Richard Feynman từng nói “không
một ai có thể hiểu được cơ học lượng tử”. CHLT đã mang lại những cuộc
tranh luận gay gắt trong lịch sử phát triển của nó. Chính vì sự khó hiểu đó mà
Einstein đã cho rằng cơ học lượng tử là không hoàn toàn chính xác, vật lý học
2
phải mô tả thiên nhiên đúng như sự thật của nó. Trong cuộc trò chuyện giữa
Einstein với Abraham Pais, Einstein đưa ra câu hỏi thách thức “mặt trăng có

còn đó hay không nếu chẳng ai nhìn nó”. Sự chống đối lên đến đỉnh cao khi
Einstein cùng với Podolsky và Rosen đưa ra cái gọi là nghịch lý EPR [6].
Theo EPR, CHLT có thể chế tạo một cặp hạt liên đới lượng tử, nghĩa là một
cặp hạt mà hàm sóng của chúng không thể viết thành tích trực tiếp hàm sóng
của từng hạt, nói khác đi là các tính chất của các hạt không độc lập với nhau
mà liên quan với nhau. Khi hai hạt liên đới ở xa nhau, nếu đo tọa độ của hạt
thứ nhất sẽ biết được tọa độ của hạt thứ hai, song bây giờ đo xung lượng của
hạt thứ hai ta lại biết được xung lượng của hạt thứ nhất. Như thế ta có thể
đồng thời đo được tọa độ lẫn xung lượng của mỗi hạt, điều này trái với
nguyên lý bất định Heisenberg của CHLT.
Cũng giống như Einstein, Niles Bohr cũng hoàn toàn tin vào lý thuyết
cổ điển. Ông nói rằng: “Mọi cách giải thích phải được phát biểu nhờ những
thuật ngữ của lý thuyết vật lý cổ điển’’. Tuy nhiên sau những bàn luận về
CHLT, đến năm 1930, khi những điều kỳ quặc của CHLT được phát triển
thành một lý thuyết nhất quán thì tất cả mọi nghi ngờ của con người về CHLT
đã được giải quyết. CHLT đã thực sự bùng nổ, nó đã trở thành một phần cơ
bản và cốt yếu của Vật lý học.
Những nghiên cứu mới về CHLT trong thời gian gần đây đã hướng
đến một lĩnh vực mới - Khoa học thông tin lượng tử, nó kết hợp và dựa trên
các quy luật toán học, vật lý, khoa học máy tính và kỹ thuật. Mục đích của nó
là làm thế nào mà có thể khai thác được một cách tối ưu những nguyên lý đã
được phát hiện trước đó trong việc truyền tải và xử lý thông tin. Những
nguyên tắc cơ bản của lý thuyết lượng tử được áp dụng vào đó cho phép
thông tin được mã hóa trong các trạng thái lượng tử có tính chất kì lạ và phản
giác quan. Những nghiên cứu về lý thuyết gần đây đã mang đến những kết
quả rất ngạc nhiên. Sự phát triển bùng nổ của khoa học thông tin gần đây có
3
thể được cho là sự hội tụ của hai yếu tố: thứ nhất, lý thuyết thông tin cổ điển
do Shannon phát minh ra năm 1948 tuy đã đạt được những thành công không
thể phủ nhận song nó vẫn còn rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đã

đặt nền móng cho sự ra đời của lý thuyết thông tin lượng tử. Thứ hai, sự phát
triển của khoa học công nghệ kèm theo đó là sự ra đời của nhiều phòng thí
nghiệm hiện đại với những thiết bị tinh vi có khả năng thực hiện các thao tác
và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử đã thực sự lôi cuốn mạnh mẽ các nhà
khoa học tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này. Trong những thành công đó
phải kể đến Serge Haroche và David J.Wineland với giải Nobel vật lý năm
2012, những người đã phát minh ra các phương pháp để thực hiện các thao
tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được
bản chất lượng tử của chúng , mở ra một kỷ nguyên mới cho các nghiên cứu
sâu rộng về thông tin lượng tử.
Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đơn vị cơ bản của thông tin là bit,
còn trong lý thuyết thông tin lượng tử đơn vị cơ bản đó lại là bit lượng tử, còn
gọi là qubit. Thuật ngữ này được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995. Nói
chung quá trình truyền thông tin lượng tử có thể được xem như là sự tổng
quát hóa hay sự mở rộng của quá trình truyền thông tin cổ điển. Bất kỳ một hệ
lượng tử nào cũng được xem như là một qubit nếu nó được xác định bởi 2
trạng thái độc lập tuyến tính với nhau. Các photon phân cực, các hạt có spin
½, các nguyên tử hai mức, các cấu trúc chấm lượng tử kép,… đều có thể sử
dụng như các qubit. Năm 1985 David Deutsch đã giới thiệu về máy tính
lượng tử và cho thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực
hiện công việc nhanh hơn rất nhiều [7]. Trong khi các máy tính số ngày nay
xử lý thông tin cổ điển được mã hóa theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử
lý thông tin theo các qubit. Máy tính lượng tử có thể sử dụng để thực thi
những nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với các máy tính số thông thường . Ví
dụ, các siêu máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ
4
của vũ trụ để có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên có
khoảng vài trăm chữ số, trong khi đó máy tính lượng tử có thể thực hiện
nhiệm vụ này trong khoảng chưa đầy một giây. Lý thuyết lượng tử còn cho
phép tồn tại một trạng thái đặc biệt của các qubit đó là trạng thái rối lượng tử,

một tính chất lạ lùng, một mối tương quan phi định xứ vô cùng tinh tế giữa
các phần của một hệ lượng tử - điều mà trong lý thuyết cổ điển không có
được. Nhờ vào tính chất kỳ lạ này mà các hạt lượng tử trở nên liên quan mật
thiết với nhau đến nỗi mà chúng chia sẻ cùng một sự tồn tại. Các hạt được rối
với nhau có những tính chất rất đặc biệt: một phép đo trên hạt này ngay lập
tức ảnh hưởng đến trạng thái của hạt kia cho dù chúng có ở rất xa nhau. Đáng
kinh ngạc hơn, các hạt lượng tử lại có thể rối với nhau cho dù trước đó chúng
không hề có sự tương tác thông qua hiện tượng tráo rối lượng tử [8-11]. Cách
đây vài thập niên rối lượng tử đã trở thành một trong những chủ đề nghiên
cứu chuyên sâu của các nhà khoa học quan tâm đến lý thuyết lượng tử. Nó
mang một vai trò đặc biệt để có thể hoàn thành những nhiệm vụ mang tính
chất không tưởng như: Mật mã lượng tử [12], tính toán lượng tử [13] hay viễn
chuyển trạng thái lượng tử [14-16]…Đây là những ngành công nghệ mới
mang lại rất nhiều hứa hẹn về khả năng ứng dụng rộng rãi trong tương lai.
Những nhà phát minh ra cơ học lượng tử cũng không thể tin được rằng các
trạng thái rối lượng tử lại có thể có những công dụng lớn đến như vậy. Mục
đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào để sử dụng
rối lượng tử, một nguồn tài nguyên rất hữu dụng cho việc xử lý thông tin
lượng tử. Những công nghệ thông tin lượng tử được mong đợi là có thể khắc
phục được những hạn chế còn tồn tại của công nghệ thông tin cổ điển. Những
ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát từ ý tưởng cho rằng các máy tính thực
chất là các hệ vật lý và các quá trình tính toán thực chất là các quá trình vật
lý. Việc tăng gấp đôi lượng Tranzito trên một mạch tổ hợp cứ sau mỗi 18
tháng trong suốt 30 năm qua đã khẳng định dự đoán của Moore [17]. Đến một
thời điểm nào đó thì việc áp dụng các qui luật cơ học lượng tử để xử lý thông
5
tin trong tính toán là không thể tránh khỏi. Năm 1980, lần đầu tiên Feynman
nhận thấy rằng các hiệu ứng cơ học lượng tử bất kỳ không thể nào được mô
phỏng một cách có hiệu quả bởi một máy tính cổ điển. Năm 1990 người ta
nhận thấy rằng sự song song lượng tử dựa trên đặc trưng của quá trình tiến

hóa Unita có thể làm tăng tốc độ tính toán một cách đáng kể trong các bài
toán như phân tích một số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố hay dò tìm dữ
liệu các công nghệ thông tin liên lạc và mật mã cũng đã được khám phá dựa
trên cơ học lượng tử. Sự phân bố khóa lượng tử cho phép sự liên lạc an toàn
tuyệt đối mà điều này không bao giờ có thể thực hiện được theo cách cổ điển.
Tính chất không định xứ của cơ học lượng tử dẫn đến một hiện tương vô cùng
kỳ lạ đó là viễn tải lượng tử. Bằng viễn tải lượng tử, một trạng thái lượng tử
chưa biết bất kỳ bị phá hủy ở một nơi và bản sao hoàn hảo của nó lại xuất
hiện ở một nơi rất xa khác. Dù đã có rất nhiều thành công đáng kinh ngạc về
lĩnh vực này trong thời gian qua nhưng vẫn còn quá xa trước khi hiện thực
hóa việc xử lí thông tin lượng tử trong các ứng dụng thực tiễn, cho dù đến nay
cũng đã có nhiều nghiên cứu khác nhau về sự thực thi của một máy tính lượng
tử như cộng hưởng từ hạt nhân (NMR), bẫy ion, hệ các trạng thái rắn và
quang. Những minh họa gần đây nhất về tính toán lượng tử chỉ mới giới hạn 7
qubit, có nghĩa là chúng vẫn đang ở một mức độ cơ bản. Năm 1998, Chuang
đã báo cáo về sự hiện thực hóa 2 qubit của một thuật toán lượng tử cơ bản,
ông đã thu được bằng cách sử dụng công nghệ khối NMR. Trong cùng năm
đó và năm tiếp theo cũng có một số minh họa thực nghiệm tương tự, ví dụ
như, Jones và Mosca đã tạo ra được một thiết bị 2 qubit dựa trên chất lỏng,
trong đó có 2 qubit được tích trữ trong các spin hạt nhân của nguyên tử hidro;
Vandersypen cùng các cộng sự đã phát triển một thiết bị 7 qubit bằng cách sử
dụng NMR để minh họa thuật toán thừa số hóa Shor trong năm 2001. Năm
2003, đã có một số nhà nghiên cứu lạc quan như Stoneham tin rằng ông có
thể tạo ra một chiếc máy tính lượng tử dựa trên nghiên cứu vật liệu silic đến
năm 2010. Trong 20 năm qua, nhiều thí nghiệm quang học cũng đã chứng tỏ
6
các hiệu ứng không định xứ trong phòng thí nghiệm [18,19] và gần đây nhất
là trong các sợi quang dài 10km. Gần đây nhất, Aspenmayer cũng các cộng
sự đã chứng minh rằng rối của sự phân cực photon có thể thu được trong
không gian tự do trên khoảng cách 600m.

Rối lượng tử là một trong những đối tượng thú vị nhất của cơ học
lượng tử. Cái tên rối lượng tử lần đầu tiên được giới thiệu bởi Schrodinger
bằng tiếng đức là: “Veschrankung” ( tiếng anh là Entanglement) [20]. Các
trạng thái rối có thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khi
hai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xung
lượng phải được bảo toàn. Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối do
tương tác với môi trường. Rối đóng một vai trò không thể thay thế như là
nguồn tài nguyên trong các quá trình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn
tải lượng tử, mật mã lượng tử, và tính toán lượng tử. Trong khuôn khổ của
luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu động lực học rối lượng tử của hệ qubit -
cavity độc lập. Chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của các quá trình suy
giảm kết hợp lên rối lượng tử của hệ hai qubit – cavity độc lập, và tác động
của rối lượng tử lên viễn tải lượng tử.
Luận văn được chia làm 4 chương:
Chương 1: Tổng quan về thông tin lượng tử, rối lượng tử và nêu nhiệm
vụ, nội dung chính và bố cục của luận văn
Chương 2: Trình bày phương trình Master cho hệ mở là cơ sở toán học
để áp dụng vào hệ qubit - cavity độc lập.
Chương 3: Trình bày các phương trình tốc độ và cách giải các phương
trình tốc độ, trong đó xét đến quá trình suy giảm kết hợp của hệ khi chịu ảnh
hưởng của yếu tố đó là sự lật pha của các electron.
7
Chương 4: Nghiên cứu sự rối lượng tử của hệ 2 qubit -cavity phụ thuộc
vào cơ chế suy giảm kết hợp ở trên và các kết quả thu được.

8
Chương 2: Phương trình Master cho hệ mở
2.1. Ma trận mật độ
Nếu hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tác
giữa hệ và trường ngoài đã được biết chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử

được mô tả bởi hàm sóng và gọi là trạng thái sạch.
Chúng ta khảo sát hệ lượng tử mà trạng thái của hệ được mô tả bằng
hàm sóng
)(x
Ψ
, trong đó x là kí hiệu một tập hợp biến số động lực xác định
trạng thái của hệ. Giả sử
)(
ˆ
xA
là toán tử biểu diễn đại lượng vật lý A trong
trạng thái
)(x
Ψ
được xác định bằng công thức

∫
ΨΨ=
dxxxAxA )()(
ˆ
)(
*
(2.1)
Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác với các hệ xung quanh
không được xác định một cách chính xác thì trạng thái của hệ không được mô
tả bằng một hàm sóng. Bởi vì khi chưa biết tương tác giữa hệ và trường ngoài
thì không thể giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng. Để mô tả
hệ lượng tử trong khuôn khổ cơ học lượng tử, ta xét cả hệ đang xét( gọi là hệ
con) và các hệ xung quanh tương tác với nó (gọi là hệ lớn) làm thành một hệ
kín. Khi đó ta có thể dùng khái niệm hàm sóng để mô tả trạng thái của hệ kín.

Giả sử hệ lớn được mô tả bởi một tập hợp biến số động lực q. Hàm sóng mô
tả trạng thái hệ kín là hàm của x và q
9
),()( xqx
Ψ=Ψ
(2.2)
Ta chọn hàm sóng sao cho giá trị trung bình của đại lượng A(x) của hệ
con được xác định bằng hệ thức
dxdqxqxAxqA
∫
ΨΨ=
),()(
ˆ
),(
*
(2.3)
Chú ý rằng toán tử
)(
ˆ
xA
chỉ tác dụng lên biến x của hệ con.
Đặt

)(
ˆ
)(),(
''
xAxxxxA
−=
δ

(2.4)
∫
ΨΨ=
dqxqxqxx ),(),(),(
,*,
ρ
(2.5)
ta viết được
∫∫
=
,,,
),(),( dxdxxxxxAA
ρ
(2.6)
Đại lượng
),(
,
xx
ρ
là yếu tố của ma trận mật độ
ρ
trong tọa độ biểu
diễn. Dùng quy tắc nhân ma trận ta viết được
[ ]
∫
== )(
ρρ
ATrdxAA
xx
(2.7)

10
biết được ma trận mật độ
ρ
ta xác định được
A
đặc trưng cho hệ con.
Trạng thái của hệ con được mô tả bằng ma trận mật độ gọi là trạng thái hỗn
hợp.
.

Giả sử
)(x
n
Ψ
là hàm riêng của toán tử nào đó đặc trưng cho hệ con.
Khai triển hàm sóng

),( xq
Ψ
theo hệ hàm trực giao và chuẩn hóa

)(x
n
Ψ
)()(),( xqCxq
n
nn
∑
Ψ=Ψ
(2.8)

trong đó hệ số khai triển C
n
(q)= C
n
(F
n
) là hàm sóng trong F_biểu diễn
ứng với giá trị q đã cho. Đặt (2.3) vào (2.6) ta được
)(
,
ρρ
ATrAA
nm
mnmn
==
∑
(2.9)
ở đây
∫
∫
ΨΨ=
=
dxxxAxA
dqqCqC
nmmn
mnmn
)()(
ˆ
)(
)()(

*
*
ρ
(2.10)
ma trận mật độ trong tọa độ biểu diễn bây giờ có dạng
∑
ΨΨ=
mn
nmmn
xxxx
,
,*,
)()(),(
ρρ
(2.11)
11
ma trận
ρ

ứng với yếu tố
mn
ρ
là ma trận mật độ trong F_ biểu diễn. Từ
hệ thức (2.11) suy ra
*
mnnm
ρρ
=
. Ma trận mật độ có tính chất là ma trận
Hermitic. Đối với ma trận Hermitic ta luôn có thể chuyển về dạng chéo nhờ

chọn hàm sóng thích hợp .
Sử dụng các kí hiệu Dirac, ma trận mật độ được viết lại
∑
==
,,,
),( xmnxxxxx
nm
ρρρ
(2.12)
toán tử ma trận mật độ có dạng
∑
=
nm
nm
mn
,
ρρ
(2.13)
Dễ thấy rằng
∑∑
===
mn
mnmm
nm
nn
nm
mn
mmnnmn
,
,,

,
,
,,
,,,,
ρδρδρρ

(2.14)
hay
mn
mn
ρρ
=
(2.15)
12
nếu chọn
m
là hàm riêng của toán tử
ρ
tương ứng với giá trị riêng
m
ρ

ta có
mm
m
ρρ
=
(2.16)
nmmmnm
mnmn

δρρρρ
===
(2.17)
∑∑
==
nm
nmm
nm
nm
mnmn
,,
δρρρ
(2.18)
∑
=
m
m
mm
ρρ
(2.19)
∑∑
==
mn
mnm
nm
mnmn
nAA
,,
δρρ
(2.20)

∑∑
==
m
m
m
mmm
mAmAA
ρρ
(2.21)

ở đây
mAmA
mm
=
là giá trị trung bình của đại lượng A trong trạng
thái
m
và
∫
===
dqqCW
mmmmn
2
)(
ρρ
(2.22)
13
là xác suất tìm thấy trạng thái sạch của hệ con được mô tả bởi hàm sóng
m
trong khi đó hệ lớn có thể ở trạng thái với q bất kì.

Ma trận mật độ có một số tính chất sau
• Ma trận mật độ là ma trận Hermitic
);,(),(
,*,
xxxx
ρρ
=

*
mnnm
ρρ
=
(2.23)
• Nếu cho
IA
ˆ
ˆ
=
là toán tử đơn vị thì từ (2.7) và (2.9) suy ra

[ ]
1
=
ρ
Tr
(2.24)
•
Ma trận mật độ thỏa mãn điều kiện
[ ]

1
2
≤
ρ
Tr
(2.25)
• Đối với trạng thái sạch thì
[ ]
1
2
=
ρ
Tr
(2.26)
Tại thời điểm ban đầu t = 0 trạng thái của hệ lượng tử được mô tả bằng
toán tử ma trận mật độ
∑
ΨΨ=
i
iii
p )0()0()0(
ρ
(2.27)
Mỗi trạng thái
i
t)(
Ψ
phải thỏa mãn phương trình Schrodinger sau
( )
i

i
ttiH
dt
td
Ψ−=
Ψ
)(
)(
(2.28)
14
lấy liên hiệp phức hai vế ta được
)()(
)(
tHti
dt
td
i
i
Ψ=
Ψ
(2.29)
Toán tử mật độ biến đổi phụ thuộc thời gian, tại thời điểm t toán tử mật
độ mô tả trạng thái của hệ lượng tử được cho bởi
∑
ΨΨ=
i
iii
ttpt )()()(
ρ
(2.30)

Đạo hàm hai vế của phương trình (2.30), và thay các phương trình
(2.28) và (2.29) vào ta được
∑








Ψ
Ψ+Ψ
Ψ
=
i
i
ii
i
i
dt
td
tt
dt
td
pt
dt
d
)(
)(()(

)(
)(
ρ
(2.30)

( )
( )
∑
ΨΨ−ΨΨ−=
i
i
iiii
tHtttttHpi )()()()()(
(2.31)

( )
)()()()( tHtttHi
ρρ
−−=
(2.32)

[ ]
)(),( ttHi
ρ
−=
(2.33)
phương trình (2.33) được gọi là phương trình chuyển động của ma trận
mật độ, còn gọi là phương trình Liouvillian lượng tử hay phương trình von
Neumann
15

Trong thực tế, hệ mà chúng ta khảo sát luôn là hệ con hoặc là một phần
của hệ lớn, do đó luôn có sự tương tác giữa hệ con với hệ lớn. Vì vậy để mô
tả trạng thái động lực của hệ con trong hệ lớn chúng ta dùng ma trận mật độ
rút gọn.
2.2. Phương trình Master cho hệ mở
Xét một hệ lượng tử mở S tương tác với môi trường E. Ma trận mật độ
của hệ được cho bởi phương trình Von Neumann
[ ]
tottot
tot
Hi
dt
d
ρ
ρ
,
−=
(2.34)
với H
tot
là Hamitonian của cả hệ:
H
tot
= H + H
E
+ H
int
(3.35)
trong đó: H là Hamitonian của hệ S
H

E
là Hamitonian của hệ E
H
int
là Hamitonian tương tác của S và E
Trạng thái động lực của hệ S được mô tả bởi toán tử mật độ rút gọn
ρ
thu
được từ
tot
ρ
bằng cách lấy vết trên cơ sở của không gian Hilbert của véc tơ
trạng thái của môi trường. Các phương trình chuyển động của toán tử mật độ
rút gọn của hệ S được gọi là các phương trình Master.
Từ phương trình Von Neumann (2.34) cho
tot
ρ
, chúng tôi đưa về phương
trình vi tích phân của toán tử mật độ rút gọn
ρ
của hệ mở
16
[ ]
ρρ
ρ
LHi
dt
d
+−=
,

(2.36)
trong đó L là toán tử Liouvillian đặc trưng cho sự tương tác của hệ với
môi trường. Toán tử này gồm 2 thành phần
L
( ) ( )
ρρρ
21
LL
+=
(2.37)
( )
ρ
1
L
đặc trưng cho hiệu ứng tái chuẩn hóa các mức năng lượng dẫn đến
sự thay đổi tần số (thay đổi Lamb) của hệ S. Hiệu ứng này được gây bởi các
tác động thông thường của môi trường làm nhiễu loạn Hamilton H của hệ S.
( )
ρ
2
L
mô tả các quá trình suy giảm kết hợp do môi trường.
ρ
)1(
L
được xác
định qua biến phân của Hamitonian của hệ S

( )
[ ]

ρδρ
,
1
HiL
−=
(2.38)
∑
Γ−=
A
AA
hH
2
1
δ
(2.39)
với
A
Γ
là các vi tử trong không gian hilbert của các véc tơ trạng thái của
hệ S và
ρ
)2(
L
được xác định bởi công thức của Gorin, Kossakowski và
Sudarshan [21]:
17
( )
[ ] [ ]
∑







ΓΓ+ΓΓ=
++
AB
BA
B
AAB
L ,,
2
1
2
ρ
ρξρ
(2.40)
ở đây, các hệ số không phụ thuộc thời gian
AB
ξ
là các yếu tố của một ma
trận phức và biểu diễn toàn bộ thông tin về các thông số vật lý của quá trình
tán xạ và quá trình suy giảm kết hợp.
AB
ξ
được xác định duy nhất theo cách
chọn các vi tử
A
Γ

. Một trường hợp đặc biệt của công thức trên được trình bày
bởi Linblad [22]:

( )
[ ] [ ]
∑






ΓΓ+ΓΓ=
++
AB
AA
A
AA
L ,,
2
1
2
ρ
ρξρ

(2.41)
công thức này được dùng để nghiên cứu các hệ năng lượng có suy giảm
kết hợp.
Trong không gian Hilbert của các véc tơ trạng thái của hệ S, chúng tôi
chọn một cơ sở gồm tập hợp các véc tơ trực giao và chuẩn hóa

µ
, khi đó
phương trình trị riêng của Hamiltonian H của hệ S là
µµ
µ
EH
=
(2.42)
Trong cơ sở này, Hamiltonian tương tác H
int
được viết lại dưới dạng sau
18

∑
=
µν
µν
νµ
KH
int

(2.43)
trong đó các toán tử
µν
K
trong không gian Hilbert của các véc tơ trạng
thái của môi trường được biểu thị trong số hạng của toán tử năng lượng của
môi trường trong bức tranh Schrodinger. Chúng tôi chọn
µν
K

sao cho trung
bình thống kê của tất cả các trạng thái của môi trường bị triệt tiêu tại nhiệt độ
T đã cho

0
=
β
µν
K

(2.44)
trong đó
1
)(
−
=
kT
β
, k là hằng số Boltzmann, trong gần đúng bậc hai của
lý thuyết nhiễu loạn Hamiltonian tương tác – gần đúng Born- Markov, tác
dụng của toán tử Liouvillian lên ma trận mật độ rút gọn
ρ
của hệ S có thể
được thiết lập dưới dạng hình thức luận của Bloch-Redfield. Trong các trạng
thái riêng của H,
ρ
L
có dạng
∑
=

µν
µνρ
νρµ
)(LL

(2.45)
19
trong đó
µν
ρ
)(L
được cho bởi công thức Redfield

∑
−=
στ
στµνστµν
ρρ
RL )(
(2.46)
với ten xơ Redfield được xác định bởi mối liên hệ sau
∑ ∑
−Γ+Γ=
−+
λ
τλλυµσµλλσντµνστ
δδ
)()(
R
)()(

−+
Γ−Γ
τνµστνµσ

(2.47)
∫
∞
−
+
=Γ
0
)(
)0()(
β
µτµσ
ω
τνµσ
ντ
KtKdte
ti
(2.48)
∫
∞
−
−
=Γ
0
)(
)()0(
β

µτµσ
ω
τνµσ
µσ
tKKdte
ti

(2.49)
trong đó
σµµσ
ω
EE
−=
,
tiHtiH
EE
eKetK
−
=
µσµσ
)(
(2.50)
Từ Hamiltonian là một toán tử Hermitic, toán tử
µσ
K
phải thỏa mãn điều
kiện
20

σµµσ

KK
=
+
(2.51)
từ điều kiện này, chúng tôi thu được mối liên hệ giữa các yếu tố ma trận
)(*)(
)(
−+
Γ=Γ
τνσµµσντ
(2.52)
và

µντσµνστ
RR
=
*
)(
(2.53)
Chúng ta chọn các vi tử
A
Γ
là các toán tử Hermitic

AA
Γ=Γ
+

(2.54)
Chúng phải thỏa mãn các điều kiện sau

ABA
Tr
δ
4)(
=ΓΓ

(2.55)
21

∑
Γ=ΓΓ
+
C
CABCAA
fi2],[

(2.56)
Với f
ABC
là các kí hiệu tương ứng của các cấu trúc hằng số của nhóm
SU(4). Các ma trận
A
Γ

ρρρ
)(
,,
i
LL

được biểu diễn theo
A
Γ
:

AA
A
ρρ
Γ+=
∑
4
1

(2.57)

AA
A
LL )(
00
ρρ
Γ=
∑
≠

(2.58)

A
i
A
A

i
LL )(
)(
00
)(
ρρ
Γ=
∑
≠

(2.59)
khi đó các hệ thức (2.37), (2.38), (2.40) có thể được viết lại

AAA
LLL )()()(
)2()1(
ρρρ
+=
(2.60)
22

BCACB
BC
A
hfL
ρρ
∑
=
)(
)1(

(2.61)

BAB
B
AA
L
ρλλρ
~~
)(
)2(
∑
−−=

(2.62)
trong đó

]},[{
16
1
~
BCA
CD
CDA
Tr
ΓΓΓ−=
∑
ξλ

(2.63)

]},[],[{
8
1
~
DBCADBCA
CD
CDAB
Tr
ΓΓΓΓ+ΓΓΓΓ−=
∑
ξλ

(2.64)
với chú ý rằng
CD
ξ
là những ten xơ đối xứng, vì vậy


BAABA
λλλ
~~
,0
~
==

(2.65)
23
Mặt khác từ công thức (2.46) suy ra mối liên hệ giữa

A
L )(
ρ
và
A
ρ

trong Bloch-Redfield
B
B
ABAA
L
ρλλρ
∑
−−=
)(
(2.66)
µνσσµν
µνσ
λ
R
AA
)(
16
1
Γ=
∑
(2.67)
στµνστµν
µνστ

λ
)()(
4
1
BAAB
R
ΓΓ=
∑
(2.68)
Từ điều kiện Hermitian (2.54) của ten xơ Redfied suy ra


A
λ
và


AB
λ
là
những hằng số thực. Các công thức (2.66)- (2.68) của Bloch- Redfield phải
phù hợp với các phương trình (2.60)- (2.62) mà không sử dụng lý thuyết
nhiễu loạn. Do đó, ta có các mối liên hệ sau


AA
λλ
~
=

(2.69)
24

∑
+=
C
ABCABCAB
hf
λλ
~

(2.70)
trong đó


A
λ
,
A
λ
~
,
AB
λ
,
AB
λ
~
được xác định bởi các công thức (2.67),
(2.63), (2.68) và (2.64).

Để thu được các phương trình master từ phương trình (2.36), chúng
tôi viết Hamiltonian H dưới dạng chung

∑
Γ=
A
AA
EH
2
1

(2.71)
khi đó chúng tôi thu được hệ gồm 15 phương trình khác nhau của 15
thành phần
A
ρ

∑∑
−−=
B
BABA
BC
CBABC
A
Ef
dt
d
ρλλρ
ρ

(2.72)
25