Ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề tương tác của lý thuyết trường lượng tử

MỤC LỤC

Trang
A. MỞ ĐẦU
 Phương pháp phân tích phiếm hàm
 Cấu trúc của luận văn
4

4
9
B. NỘI DUNG
13
CHƯƠNG I: HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC

13
1.1. Các phương trình cho hàm Green một hạt trong trường ngoài
13
1.2. Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngoài
dưới dạng tích phân phiếm hàm
16
CHƯƠNG II: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK
TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM
21
2.1. Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng
2.1.1. Hàm Green hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng
2.1.2. Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng
21
21

25
2.2. Tán xạ năng lượng cao
2.2.1. Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng
trong
trường vô hướng
2.2.2. Tính chất tiệm cận của biên độ tán xạ hai hạt vô hướng ở
năng lượng cao
2.3. Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn trong vùng năng lượng
Planck
2.3.1. Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt trong tương tác hấp dẫn
2.3.2. Biên độ tán xạ không đàn tính hai hạt trong tương tác hấp
dẫn
2.3.3. Đóng góp bổ chính cho biên độ tán xạ đàn tính ở vùng
28
29

36

39

40
44

46


năng lượng Planck

CHƯƠNG III: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK
TRONG CÁCH TIẾP CẬN CHUẨN THẾ

50
3.1. Nghiệm của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkelidze cho tán
xạ hai hạt vô hướng
51
3.2. Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao
3.3. Biên độ tán xạ trong trường chuẩn thế Yukawa
56
60
3.4. Mối liên hệ giữa phương pháp chuẩn thế và phương pháp tích
phân quỹ đạo Feynman
65
CHƯƠNG IV: KHỬ PHÂN KỲ VÀ TÁI CHUẨN HOÁ HÀM GREEN
TRONG MÔ HÌNH BLOCH- NORSIECK CHO QED
3
VÀ
QED
4

69
4.1. Hàm Green lượng tử G(x,y) trong mô hình Bloch-Norsieck
70
4.2. Phương pháp chỉnh Pauli-Villar
4.3. Phương pháp chỉnh thứ nguyên
72
74
4.4. Đánh giá sự phân kỳ của giản đồ năng lượng riêng photon
trong QED
3

77

KẾT LUẬN
CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN
Tài liệu tham khảo
Phụ lục A
Phụ lục B
Phụ lục C
Phụ lục D
Phụ lục E

85
87
89
97
107
113
121
123



4
MỞ ĐẦU
Phương pháp tích phân phiếm hàm
Trong những thập niên gần đây, tích phân Feynman được sử dụng rộng rãi để xây
dựng các lý thuyết vật lý hiện đại, cũng như thiết lập các phương pháp tính toán cho
các quá trình vật lý, vì nó có thể tạo cơ sở để vượt ra khỏi khuôn khổ cách tính toán
thông thường của lý thuyết nhiễu loạn [12-15]. Toán tử S-ma trận hoặc hàm Green của

các hạt lượng tử là những đại lượng quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử [21].
Ưu việt của phương pháp tích phân do Feynman khởi xướng cho lý thuyết lượng tử
[33-36] là cho phép xác định toán tử S-matrận hoặc hàm Green ở dạng compact nhất
[12-15, 21]. Trong vật lý, tích phân Feynman này được gọi là tích phân quỹ đạo hay
tích phân đường, còn trong toán học nó được gọi là tích phân liên tục hay tích phân
phiếm hàm.
Phương pháp tích phân quỹ đạo là công cụ hữu hiệu để xem xét các vấn đề của
Vật lý lý thuyết, lần đầu tiên nó được Einstein và Smolykhovski đưa vào trong các
công trình nghiên cứu về chuyển động Brown [29]. Cở sở toán học chặt chẽ của khái
niệm tích phân quỹ đạo này đã được trình bày kỹ trong các công trình của Wiener
[100-101]
Nguyên lý động lực học chủ yếu mà Feynman đã sử dụng khi xây dựng cách
phát biểu mới cho cơ học lượng tử tương đối tính theo phương pháp tích phân quỹ đạo
là [33-36] : “ Biên độ xác suất của phép dời chuyển một hệ lượng tử từ trạng thái
a
tới trạng thái
b
được xác định bởi tổng (hay tích phân) theo tất cả các quỹ
đạo khả dĩ trong không gian pha
 
()qt
của biểu thức
exp [ ( )]
i
S q t



, trong đó:
 

[ ( )] ( ), ( )
b
a
t
t
S q t L q t q t dt

là hàm tác dụng cổ điển “.
Biểu diễn cơ học lượng tử qua tích phân quỹ đạo về nguyên tắc tương đương với
biểu diễn thông thường của cơ học sóng. Song sự rõ ràng về mặt vật lý và sự chặt chẽ


5
về mặt toán học là nhưng ưu việt của phương pháp này. Thành tựu lớn nhất của
phương pháp tích phân phiếm hàm là việc phát triển kỹ thuật giản đồ Feynman [36]
được sử dụng rộng rãi trong điện động lực học lượng tử (QED) trước đây, và lượng tử
hoá các lý thuyết trường chuẩn sau này [35]. Cách viết gọn gàng các phương trình của
lý thuyết trường lượng tử nhờ tích phân phiếm hàm có ích lợi trong việc nghiên cứu
một số vấn đề như phép biến đổi gradient của hàm Green, dáng điệu tiệm cận của hàm
Green của hạt ở vùng hồng ngoại và vùng năng lượng cao. Cần phải nhấn mạnh rằng
nhờ phương pháp tích phân phiếm hàm người ta đã tiến hành lượng tử hoá và xây
dựng sơ đồ tái chuẩn hoá cho trường Yang Mills [31,32], đồng thời phương pháp này
cũng được sử dụng để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử. Ngày nay, công cụ tính
toán trong nhiều lĩnh vực vật lý hiện đại đều được xây dựng trên cơ sở phương pháp
tích phân Feynman.
Để nhận được kết quả lượng tử cuối cùng hoặc cho S-matrận, hoặc cho hàm
Green của hạt, trong phương pháp tích phân phiếm hàm có hai loại bài toán sau cần
phải giải quyết: 1/ Loại bài toán thứ nhất: tìm hàm Green của hạt
( , | )G x y


ở trường
ngoài nào đấy
()x

; 2/ loại bài toán thứ hai: dựa vào biểu thức
( , | )G x y

đã tìm
được, thực hiện phép lấy trung bình phiếm hàm theo trường ngoài để tìm các đại lượng
vật lý cần thiết. Hai loại bài toán này rất phức tạp và không phải lúc nào cũng có lời
giải chính xác. Kỹ thuật tính các tích phân phiếm hàm hiện nay còn đang trên đường
phát triển. Trở ngại lớn nhất và cũng là khó khăn chung trong hướng nghiên cứu này,
chính là việc phải tính các tích phân phiếm hàm có dạng khác với tích phân Gauss.
Xét về mặt toán học thì phương pháp này còn lâu mới hoàn chỉnh. Để khắc phục
những khó khăn trên, trong khuôn khổ tích phân phiếm hàm người ta đã phát triển
nhiều cách tính gần đúng và đã áp dụng thành công cho nhiều bài toán của lý thuyết
trường lượng tử. Khi nghiên cứu các kì dị hồng ngoại, E.S.Fradkin [38,39], B.M.
Barbashov [14,15] đã đề xuất những phương pháp tính gần đúng các tích phân phiếm
hàm đối với hàm Green trong QED. Xét về mặt kỹ thuật thì các phép gần đúng này
khác nhau, tuy nhiên về bản chất thì chúng giống nhau. Phép gần đúng này gọi là phép


6
gần đúng k
i
k
j
=0 vì sau khi lấy tích phân thành phần dạng k
i
k

j
sẽ không có mặt trong
hàm truyền (hàm Green) của hạt.
Trong khuôn khổ tích phân phiếm hàm, người ta nghiên cứu các quá trình tán xạ
năng lượng cao trong lý thuyết trường lượng tử. Phép gần đúng k
i
k
j
= 0 đã sử dụng để
nghiên cứu kì dị hồng ngoại, được tổng quát hoá cho các bài toán tán xạ năng lượng
cao. Kết quả, ở vùng năng lượng lớn
s 
, xung lượng truyền nhỏ
 
0
t
s

biên độ
tán xạ thế hay biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn eikonal [13-15, 72-81], trong đó
s
và
t
là các biến số Mandenstam. Bản chất của phép gần đúng trên dựa vào giả thiết
sau: với năng lượng lớn các đóng góp chủ yếu vào các tích phân phiếm hàm là các
quỹ đạo gần với các quỹ đạo cổ điển của các hạt. Chính vì vậy phép gần đúng k
i
k
j
=

0 này còn được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal.
Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hoá hàm truyền của
các hạt tán xạ theo xung lượng của hạt trao đổi [72-79] như sau:




















1
2
2
mkp
i
i

1
2
2









i
i
i
i
kkp
(0.1)
trong đó
p
là xung lượng của hạt tán xạ,
i
k
- là xung lượng của các hạt được trao đổi,
và trong công thức (0.1) ta bỏ qua các số hạng dạng
0
ji
kk
. Bức tranh vật lý ở đây
như sau: Các hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các

lượng tử ảo, đồng thời không có sự liên hệ tương thích giữa các quá trình trao đổi riêng
biệt với nhau, nên số hạng tương quan
ji
kk
không có mặt trong hàm truyền (0.1).
Năm 1963, A. A. Logunov và A. N. Tavkhelidze đã công bố công trình cho
phép tiếp cận bài toán tán xạ tương đối tính đơn giản, mang ý nghĩa tiếp cận chuẩn thế
trong lý thuyết trường lượng tử. Mặc dầu phương pháp này không hiệp biến ở dạng
tường minh, song nó vẫn dẫn tới tất cả các thông tin về tính chất giải tích của biên độ
tán xạ như lý thuyết hiệp biến tương đối tính đã đạt được. Các kết quả nghiên cứu từ
phương trình này đã được nhiều kiểm nghiệm với độ tin cậy đáng ghi nhớ. Mặt khác,


7
sử dụng phương trình chuẩn thế, biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ lần đầu tiên
được chứng minh chặt chẽ trong lý thuyết trường lượng tử.
Do vậy lựa chọn cách tiếp cận chuẩn thế vẫn mang tính thời sự và hứa hẹn thu
được nhiều thông tin đáng tin cậy. Hơn nữa các kết quả nhận được có thể tổng quát
hoá cho những nghiên cứu của bài toán hấp dẫn lượng tử, vấn đề này cho đến nay vẫn
còn mang tính thời sự và gây nhiều tranh cãi. Trong phương pháp chuẩn thế, khái niệm
“thế năng” được đưa vào trong lý thuyết trường lượng tử để thuận lợi cho việc nghiên
cứu bài toán tán xạ [5, 37, 59]. Phương trình chuẩn thế có dạng tương tự như phương
trình cho biên độ tán xạ của cơ học lượng tử phi tương đối tính được khởi nguồn từ
phương trình Schrodinger.
Tại vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ thì mọi phương pháp được
nêu ở trên, đều cho ta biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ. Cơ sở chặt chẽ nhất cho biểu
diễn eikonal của biên độ tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử được tìm thấy là nhờ
phương pháp chuẩn thế. Số hạng chính của (leading term) biên độ eikonal được tìm là
giống nhau. Các số hạng bổ chính (corrections-non-leading) được tính trong gần đúng
eikonal cho biên độ tán xạ, cần lưu ý rằng sự khác nhau ở đây tuỳ thuộc vào spin của

lượng tử được trao đổi giữa các hạt. Các bổ chính cho biên độ tán xạ năng lượng cao,
trước đây được coi là nhỏ. Chính vì vậy, vấn đề này ít được nghiên cứu một cách hệ
thống.
Năm 1988, Phép gần đúng eikonal đã được t. Hooft [48] sử dụng để nghiên cứu
tán xạ hạt năng lượng Planck trong hấp dẫn lượng tử. Kết quả thu được đã thu hút
được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học khi xem xét các hiệu ứng vật lý ở
“kích thước Planck”- khoảng cách cỡ
cm
33
10

, thời gian cỡ
43
10 s

- “thời gian Planck”
và năng lượng cỡ
GeV
19
10
- “năng lượng Planck”. Vật lý ở kích thước Planck liên
quan đến nhiều vấn đề đặc biệt như các lực hấp dẫn mạnh khi ở gần lỗ đen, sự cải biến
lý thuyết dây từ lý thuyết hấp dẫn, và một số hiệu ứng khác của hấp dẫn lượng tử [7-
9,40,91] và nó được xem là cơ sở quan trọng để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử.


8
Khi năng lượng tăng, thì hằng số tương tác hiệu dụng
/1
G

Gs


(trong đó G
– là hằng số hấp dẫn Newton) cũng tăng, việc tính các bổ chính bằng lý thuyết nhiễu
loạn theo
1
G


khó khăn. So sánh kết quả của nhiều cách tính khác nhau cho bài
toán này, nhận thấy chúng chỉ trùng nhau ở số hạng chính của biên độ eikonal, còn
các số hạng bổ chính cho nó đều thất bại. Việc tính các số hạng bổ chính cho biên độ
tán xạ trong hấp dẫn lượng tử là bài toán chưa có lời giải. Mặt khác, các bổ chính này
có vai trò chủ chốt để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử.
Với những lý do đề cập ở trên, luận án của tôi muốn tiếp tục xem xét các bài
toán tán xạ năng lượng cao trên cơ sở phép gần đúng quỹ đạo thẳng k
i
k
j
=0 trong lý
thuyết trường lượng tử nói chung và trong trường hấp dẫn nói riêng. Kết quả cuối
cùng là tìm biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ. Số hạng bổ chính bậc nhất (non-
leading term) cho số hạng chính của biên độ eikonal trong hấp dẫn lượng tử được tính
toán bằng phương pháp phiếm hàm là kết quả mới cho bài toán tán xạ hấp dẫn. Đồng
thời luận án cũng tiếp cận vấn đề này dựa trên việc giải phương trình chuẩn thế
Logunov – Tavkhelidze. Các kết quả thu được theo hai cách tiếp cận này sẽ được so
sánh với nhau. Luận án cũng đề cập đến việc khử phân kỳ và tái chuẩn hoá hàm
Green lượng tử trong điện động lực học lượng tử áp dụng vào mô hình Bloch –
Norsieck. Áp dụng các phép khử phân kỳ bằng cách chỉnh thứ nguyên và chỉnh Pauli –

Villars vào hàm Green lượng tử thì thu được kết quả hoàn toàn giống nhau. Cần lưu ý
là khi sử dụng phép chỉnh Pauli – Villars thì phải bảo đảm tính bất biến chuẩn trong
quá trình tính toán. Nếu không sẽ dẫn đến kết quả vật lý không chính xác.
Tóm lại, mục đích chính mà luận án đặt ra là nghiên cứu bài toán tán xạ năng
lượng cao (kể cả năng lượng Planck) và những vấn đề liên quan bằng phương pháp
tích phân phiếm hàm. Những mục tiêu cơ bản của nó bao gồm:
 Tìm hàm Green của hạt hay hệ hạt dưới dạng tích phân phiếm hàm.
 Tìm biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ của các hạt sau khi tách các số
hạng cực điểm liên quan đến các chân của hàm Green trên mặt khối lượng.


9
 Ở vùng năng lượng cao
s 
, xung lượng truyền nhỏ
 
0
t
s

, gần đúng
eikonal (gần đúng quỹ đạo thẳng) được sử dụng để tính các tích phân phiếm
hàm.
 Nghiên cứu các vấn đề như kỳ dị hồng ngoại, kỳ dị tử ngoại và cách loại bỏ
chúng bằng hai phương pháp chính là phương pháp chỉnh thứ nguyên và
chỉnh Pauli – Villars. Các tính toán dựa trên mô hình Bloch – Norsieck của
điện động lực học lượng tử.
CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Luận án của tôi có tiêu đề:
“ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ NGHIÊN

CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG
LƯỢNG TỬ”
và được sắp xếp thành 3 phần:
A. PHẦN MỞ ĐẦU.
Phần mở đầu dành cho việc nêu tóm tắt ý nghĩa, thành tựu của phương pháp tích
phân phiếm hàm trong lý thuyết trường lượng tử. Đặt ra nhiệm vụ cần nghiên cứu và
cấu trúc sơ lược của nội dung luận án.
B. NỘI DUNG
Dựa vào kết quả nghiên cứu, nội dung luận án được chia làm bốn chương
Chương I: Hàm Green của các hạt tương tác
Trong chương này, hàm Green của hạt vô hướng trong: Trường vô hướng,
Trường điện từ, Trường hấp dẫn được tìm lại bằng phương pháp thời gian riêng. Kết
quả thu được là biểu thức kín dưới dạng tích phân phiếm hàm.
Các tính toán được minh hoạ trước tiên cho mô hình tự tương tác của hạt vô
hướng trong trường vô hướng (mô hình
3

), sau đó tổng quát hoá cho các mô hình


10
tương tác còn lại. Phần cuối của chương, chúng tôi đã tìm được hàm Green lượng tử
của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ một cách chính xác.
Chương II: Tán xạ năng lượng Planck trong cách tiếp cận phiếm hàm
Trình bày phương pháp tìm biên độ tán xạ hai hạt với nhau ở vùng năng lượng
lớn
s 
, xung lượng truyền nhỏ
 
0

t
s

cho mô hình tự tương tác 
3
. Từ dạng
tổng quát của hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm, chuyển sang mặt khối
lượng:
2 2 2 2
( ),( )p m q m
, bằng kỹ thuật tách các cực điểm liên quan đến “chân”
của hàm Green cho hai hạt vô hướng trong trường vô hướng, biểu thức tổng quát cho
biên độ tán xạ của hai hạt vô hướng đã tìm được dưới dạng tích phân phiếm hàm.
Chúng tôi xây dựng phương pháp gần đúng để tính các tích phân phiếm hàm trong
vùng tán xạ năng lượng cao
s
, xung lượng truyền nhỏ
 
0
t
s

. Kết quả là thu
được biểu thức Glauber (hay còn gọi là biểu diễn eikonal) cho biên độ tán xạ hai hạt.
Dùng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng
Planck trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử. Xét tán xạ đàn tính và không đàn tính hai hạt
với tương tác hấp dẫn tại vùng năng lượng Planck. Tính bổ chính bậc nhất cho các tán
xạ trên ở năng lượng Planck.
Chương III: Tán xạ năng lượng Planck trong cách tiếp cận chuẩn thế
Trong chương này, chúng tôi dựa vào phương trình chuẩn thế Logunov –

Tavkhelidze tìm biểu thức cho biên độ tán xạ bằng phương pháp nhiễu loạn cải biến.
Kết quả được tính tới số hạng gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác g. Tiếp theo
số hạng chính của biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó được tính toán
trong giới hạn năng lượng cao
s
và xung lượng truyền cố định
 
0
s
t
. Số
hạng chính cho ta biểu diễn eikonal đã biết, còn các số hạng bổ chính bậc nhất có bậc
nhỏ hơn số hạng chính là






s
t
. Chúng tôi cũng thiết lập mối liên hệ giữa hai
phương pháp chuẩn thế và tích phân quỹ đạo đồng thời đưa ra sự so sánh sơ đồ tính
toán tương ứng. Mục cuối của chương này, chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả tìm biên


11
độ tán xạ hai “nucleon” đã trình bày ở đây trong một chuẩn thế cụ thể là thế Yukawa
để rút ra sự so sánh giữa các cách tiếp cận khác nhau.
Chương IV: Khử phân kỳ và tái chuẩn hoá hàm Green trong mô hình Bloch-

Norsieck cho QED
3
và QED
4

Trong chương này, chúng tôi áp dụng phương pháp trung bình phiếm hàm để
tính hàm Green lượng tử G(x,y) trong trường ngoài của mô hình Bloch-Norsieck. Sau
đó sử dụng phương pháp chỉnh Pauli-Villars và chỉnh thứ nguyên xác định hàm Green
của QED
3
, QED
4
sau khi đã tái chuẩn hoá khối lượng của electron. Cũng trong
chương này chúng tôi sẽ chỉ ra rằng sự sinh khối lượng photon ở giản đồ năng lượng
riêng photon trong QED
3
trong cả hai phép chỉnh thứ nguyên và Pauli – Villars là
giống nhau. Điều quan trọng là ở đây là các quá trình khử phân kỳ bằng các phương
pháp khác nhau đều phải đảm bảo sự bảo toàn tính bất biến chuẩn.
C. KẾT LUẬN
Phần kết luận đánh giá các kết quả thu được trong luận án, đồng thời trình bày
những hướng nghiên cứu tiếp theo.
Trong luận án còn có các phần: Tài liệu dẫn đưa ra các bài báo đã công bố và
các tài liệu tham khảo liên quan trực tiếp đến luận án. Các phụ lục dẫn ra cách tính các
tích phân và công thức cần thiết.
Phụ lục A giới thiệu các hình thức luận sử dụng tích phân phiếm hàm trong lý
thuyết trường lượng tử, đồng thời giới thiệu cách một số cách giải gần đúng khác tìm
hàm Green của hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm.
Phụ lục B dành cho việc tính một số tích phân liên quan đến các bổ chính cho hạt
tán xạ.

Sử dụng gần đúng eikonal nghiên cứu một số hiệu ứng tán xạ Planck của hạt
trong trường hấp dẫn được trình bày ở Phụ lục C. Bài toán này được giải quyết bằng
phương pháp sóng riêng phần. Phương pháp này cho ta hiểu rõ nguồn gốc của các cực
điểm trong biên độ tán xạ, đồng thời nghiên cứu những vấn đề ở ngoài giới hạn
eikonal.


12
Phụ lục D và E dành cho việc tính một số tích phân được sử dụng trong Luận án.
Trong luận án sử dụng hệ đơn vị, mà trong đó vận tốc ánh sáng và hằng số Planck
chia cho
2

bằng đơn vị
1c 
, và metric Pauli
 
1 2 3 4
, , ,x x x x x y x z x ict


     
.
Qua luận án này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy hướng dẫn khoa học-
Giáo sư, Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Xuân Hãn - người Thầy trong nhiều năm đã tận
tình giúp đỡ, đưa ra những ý tưởng khoa học và định hướng nghiên cứu cho luận án
của tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp vì những chia sẻ, thảo luận
khoa học trong quá trình nghiên cứu.
Đồng thời, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô trong Bộ môn
Vật lý lý thuyết và Khoa Vật lý- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã đào tạo và

giúp đỡ tôi rất nhiều trong những năm qua.
Tôi cũng muốn qua luận án này, xin cảm ơn các Giáo sư, các nhà khoa học của
các trường Đại học trong và ngoài nước, tại các hội thảo, Hội nghị Vật lý lý thuyết
hàng năm đã quan tâm, thảo luận và có những ý kiến đóng góp rất có ý nghĩa cho các
kết quả khoa học, chính xác.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc Gia Hà Nội, Học viện Kỹ thuật Quân sự, Trung tâm Quản lý Học viên và Bồi
dưỡng Cán bộ – Bộ Quốc Phòng, các cơ sở Đào tạo và Bộ môn Vật lý- nơi tôi công
tác, đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành bản luận án này.
Hà Nội, ngày tháng năm 2008

Nguyễn Như Xuân


13
CHƯƠNG I
HÀM GREEN CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC
Hàm Green có vai trò quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử. Nhờ nó ta có
thể giải bài toán tìm năng lượng liên kết hay biên độ tán xạ của hạt với trường ngoài
hay bài toán tán xạ của hai hạt với nhau.
Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra phương trình cho hàm Green của các
“nucleon” vô hướng trong trường ngoài và trình bày cách giải phương trình này trong
mô hình tự tương tác của các “nucleon” vô hướng. Kết quả thu được, sau đó sẽ được
tổng quát hoá cho trường hợp điện động lực học vô hướng, trong đó “nucleon” vô
hướng phức tương tác với trường điện từ (trường véc tơ) và trường hợp hấp dẫn lượng
tử, trong đó “nucleon” vô hướng tương tác với trường hấp dẫn (trường tenxơ). Cuối
cùng là hàm Green trong mô hình Bloch – Norsieck của điện động lực học lượng tử.
Kết thúc chương này chúng ta xét một bài toán đơn giản là tìm hàm Green lượng
tử của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ. Trường này lý thú ở chỗ là hàm
Green của hạt có thể tính được một cách chính xác.

1.1. Các phương trình cho hàm Green một hạt trong trường ngoài
Trước hết, chúng ta xét phương trình cho hàm Green trong trường ngoài của mô
hình tự tương tác giữa các “nucleon” vô hướng mô tả bởi trường
()x

có Lagrangian
tương tác:
3
int
Lg


, trong đó g là hằng số tương tác (gọi tắt là mô hình 
3
).
Phương trình cho hàm Green của “nucleon” vô hướng trong trường này có dạng:

2 2 2 4
( ) ( , | ) ( )i g x m G x y x y

  

    

. (1.1.1)
Trong trường hợp điện động lực học vô hướng, các “nucleon” vô hướng phức
()x

1
tương tác với trường điện từ

()Ax

(trường véctơ) với Lagrangian tương tác:

2
int
**L e i A e A A


   
   
. (1.1.2)

1
Để đơn giản cách viết, ta ký hiệu trường thực và trường phức cùng một ký hiệu là
()x

. Điều này không gây
nên sự nhầm lẫn. Trường vô hướng không tích điện, thì hàm trường
()x

là hàm số thực, còn trường vô hướng
tích điện thì hàm trường
()x

là hàm số phức


14
Phương trình cho hàm Green tương ứng là:

 
 
2
24
( ) ( , | ) ( )igA x m G x y A x y


     
, (1.1.3)
Xét tương tác của “nucleon” vô hướng (x) với trường hấp dẫn g

(x) (trường
tenxơ) mà Lagrangian của hệ có dạng:

22
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
grav
g
L x g x x x m x L x


  


    

, (1.1.4)

trong đó
 
det ( ) detg g x g g


  
. Hàm Green đơn hạt trong trường hấp dẫn g

(x)
được xác định theo phương trình sau:

24
( ) ( , | ) ( )g x i i gm G x y g x y
 



     

. (1.1.5)
Phương trình này được nghiên cứu trong hệ toạ độ điều hoà, hệ này được xác định bởi
điều kiện sau:
( ) 0gx



1
.
Mô hình Bloch-Norsieck (B-N) trong điện động lực học lượng tử được xác định
bằng Lagrangian:

 
2
1
, , ( ) ( ) ( ) ( )
4
L A F x x iu i gA m x

  
   

     

, (1.1.6)
với
( ) ( )F A x A x
    
  
là ten xơ cường độ điện từ trường. Lấy biến phân
Lagrangian (1.1.6) phương trình Dirac cho hàm
)x(
có dạng:

( ) ( ) 0iu i eA m x




   


, (1.1.7)
Phương trình cho hàm Green trong trường ngoài điện từ
()Ax

, tương ứng với phương
trình (1.1.7) sẽ có dạng:

 
 
4
( ) ( , | ) ( )u i eA x m G x y A x y



     
. (1.1.8)
Về bản chất thì Mô hình B –N là trường hợp đơn giản của điện động lực học vô
hướng khi ta thay các ma trận Dirac  bằng c – số u, sự thay thế này giúp chúng ta có
thể giải chính xác phương trình (1.1.8) và biện luận các kết quả thu được. Vấn đề này
sẽ được trình bày ở chương 4.

2
Chuẩn điều hoà tương tự như chuẩn Lorentz trong điện động lực học, nó có vai trò loại bỏ các thành phần
không vật lý của trường Ten xơ.


15
Như vậy, bài toán đặt ra là tìm lời giải cho hàm Green của hạt vô hướng trong
các trường ngoài tương ứng ở trên. Đây là một bài toán phức tạp và khó, không phải
lúc nào cũng có lời giải.

Lời giải của phương trình (1.1.1) đã được tìm bằng nhiều phương pháp khác
nhau. Ở đây chúng tôi chỉ đưa ra vắn tắt hai phương pháp cơ bản đã dùng để giải
phương trình (1.1.1) (kết quả chi tiết các lời giải này xem phụ lục A).
Cách thứ nhất, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cải biến [38, 39]. Trong phương
pháp này, hàm Green của hạt vô hướng trong trường ngoài đã tìm được dưới dạng tổng
của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác g. Tuy nhiên kết quả tính toán
mới chỉ đưa ra được số hạng gần đúng bậc nhất và bậc hai của lý thuyết nhiễu loạn.
Quá trình tính toán các bậc nhiễu loạn tiếp theo là rất khó khăn, hơn nữa biểu thức, nếu
thu được, cũng rất phức tạp (vì nó chứa các toán tử trường bậc cao). Điều này gây khó
khăn cho việc tìm hàm Green lượng tử khi lấy trung bình phiếm hàm hàm Green
( , | )G x y

theo các trường ngoài.
Cách thứ hai là thêm tương tác bổ sung với nguồn ngoài
 


t
[39,40]. Về bản
chất cũng là đi tìm hàm Green của “nucleon” vô hướng theo lý thuyết nhiễu loạn. Hàm
Green thu được theo phương pháp này chứa các toán tử trường có dạng bậc nhất mà
ưu điểm của nó là: Phép lấy trung bình phiếm hàm theo các trường ngoài (khi tìm
hàm Green lượng tử cũng như phiếm hàm sinh) sẽ tiến hành đơn giản hơn vì
trường ngoài cổ điển
()x

có trong hàm luỹ thừa dưới dạng tuyến tính. Cần chú ý
rằng, khi chuyển sang biểu diễn xung lượng trong không gian phiếm hàm
t
, thì hàm

Green
( , | )G x y

được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm hàm, mà nó được xem xét
như là phép biến đổi Lagrange đã được Feynman tổng quát hoá cho phương trình
Klein-Gordon đối với hàm Green của phương trình này. Hơn nữa, bằng lời giải toán tử
sau đó khai triển nhiễu loạn thông thường theo hằng số tương tác, hàm Green
( , | )G x y

sẽ tìm lại được theo lý thuyết nhiễu loạn cải biến. Tuy vậy, biểu thức của
hàm Green lại chứa tích phân phiếm hàm của nguồn tương tác ở dạng bậc hai. Hàm
Green tuy thu được là kín nhưng kết quả tính toán là rất phức tạp.


16
Để khắc phục những khó khăn từ hai cách giải trên và để thuận lợi hơn cho việc
tìm biên độ tán xạ của “nucleon” trong trường ngoài ở chương tiếp theo, chúng tôi sẽ
đưa ra cách biểu diễn hàm Green của “nucleon” trong trường ngoài ở dạng tổng quát
hơn và các tích phân phiếm hàm cũng có dạng đơn giản hơn. Phương pháp này dựa
trên phép biến đổi Weierstrass để hạ bậc các toán tử vi phân bậc cao và được gọi là
phương pháp thời gian riêng.
1.2. Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngoài dưới dạng tích phân
phiếm hàm
Phương trình cho hàm Green của “nucleon” vô hướng trong trường vô hướng
()x


được xác định bởi phương trình (1.1.1):

2 2 2

( ) ( , | ) ( )i g x m G x y x y

  

    

.
Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1.1) bằng phương pháp thời gian riêng.
Để làm điều đó, trước hết, dựa vào giả thiết của Feynman [36] và Fock [40], nghiệm
( , | )G x y

của phương trình (1.1.1) được viết một cách hình thức sau:

 
2
2 2 4
00
, | exp ( , ) ( )
s
ism
G x y i dse i i g x d x y

    





   






. (1.2.1)
Với cách viết (1.2.1), thừa số mũ, mà trong đó hệ số có các đại lượng không giao
hoán như
   
,,x

  

theo Feynman [34-36] , được coi như
T

exponent (T-tích).
Biến số

có ý nghĩa thời gian riêng chia cho khối lượng của hạt và đóng vai trò tích
thứ tự trong (1.2.1). Chỉ số s có nghĩa là thời gian riêng. Tất cả các toán tử được xem
như là hàm giao hoán của biến

.
Hệ số mũ trong phương trình (1.2.1) là hàm bậc hai theo toán tử vi phân


vì
vậy, khi chuyển từ luỹ thừa của T-tích sang biểu thức toán tử thông thường (tương ứng
với việc chuyển từ T-tích sang N-tích) không thể thực hiện được nếu không khai triển
biểu thức (1.2.1) thành chuỗi theo hằng số tương tác, như đã thực hiện ở trên. Tuy

nhiên, sử dụng phép biến đổi Weierstrass [11] trong không gian hàm số 4-chiều, toán
tử vi phân bậc cao có thể biểu diễn thành tích các toán tử bậc thấp hơn. Cụ thể:


17
   
2 2 2 2 2 2
00
exp ( ) exp ( ) ( ) 2 ( ) 2
ss
i i d i d i i i
       
         
   
   

        
   

   
   



42
00
exp ( ) 2 ( ) ( )
ss
C i d d
  

       


   



  
, (1.2.2)
ở đây, tích phân phiếm hàm được mở rộng trên không gian hàm số bốn chiều
()



theo độ đo Gauss, hằng số C được xác định bởi điều kiện:

42
0
exp ( ) 1
s
C i d

    








. (1.2.3)
Thay (1.2.2) vào (1.2.1) và tiến hành gỡ rối toán tử theo quy tắc Feynman và sử
dụng công thức dịch chuyển sau
( ) ( )e f x f x






. Nghiệm của phương trình
(1.1.1) được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm hàm:

 
2
42
0 0 0
4
0
, | exp ( ) exp 2 ( ) ( )
exp ( , ) ( )
ss
ism
s
G x y i dse C i d i d
ig x d x y
  
         
   



   
   
  
   
   
   






   



   
2
42
00
4
00
G(x,y| ) exp ( )
exp 2 2
s
ism
s s s
i dse C i d
ig d x d x y d



     
       










   








  
  
. (1.2.4)
Vì trong biểu thức (1.2.4) có chứa hàm

nên để tính các tích phân này, chúng ta
sẽ chuyển sang biểu diễn xung lượng nhờ phép biến đổi Fourier:

44
4
0 0 0
1
2 ( ) exp 2 ( )
(2 )
ss
x y d d p ip x y d
      



   

     
   


   

  
, (1.2.5)
Thay (1.2.5) vào (1.2.4) thu được:

2
4 4 2 ( )
4
0 0 0
00

( , | ) exp ( )
(2 )
exp 2 ( ) exp 2 ( )
s
ism ip x y
s s s
i
G x y d p dse C i d e
ig d x d ip d


    

      

  




















   
  
. (1.2.6)


18
Thực hiện phép thay biến:
( ) ( ) p
  
   

, (1.2.7)
thì các biểu thức sau sẽ biến đổi là:

2 2 2
( ) ( ) 2 ( ) pp
    
     
  
, (1.2.8a)

2 2 2
0 0 0
( ) ( ) 2 ( )
s s s

d d p d sp
   
       
  
  
, (1.2.8b)

( ) ( ) ( ) ( )
s s s s
d d p d d p s
   
   
          
    
   
, (1.2.8c)

 
2
00
exp 2 ( ) exp 2 ( ) exp 2
ss
ip d ip d isp

     
   
   

   
   

   

, (1.2.8d)
Thay các biểu thức (1.2.7) và (1.2.8)(a,b,c,d) vào (1.2.6), chúng ta thu được hàm
Green
( , | )G x y

cho hạt vô hướng chuyển động trong trường ngoài vô hướng (x):

22
4 ( ) ( ) 4 2
4
00
s
00
( , | ) exp ( )
(2 )
exp ig d 2 2 ( )
s
is p m ip x y
i
G x y d p dse e C i d
x p d


    

    

   



  






  






   

. (1.2.9)
Ưu điểm của phương pháp này là cho ta biểu thức tổng quát của hàm Green
( , | )G x y

dưới dạng tích phân phiếm hàm, từ biểu thức đó ta có thể dễ dàng lấy giá trị
trung bình của hàm Green
( , | )G x y

của hạt theo các trường ngoài (x) để thu được
hàm Green lượng tử của một hạt trong trường ngoài.
Chuyển sang biểu diễn xung lượng, hàm Green
( , | )G x y


được viết dưới dạng:

 
22
44
4 ( ) ( ) 4 2
00
00
( , | ) exp ( , | )
exp ( )
exp 2 2 ( )
s
i p q y i p m s
s
G p q d xd y ipx iqy G x y
i d ye dse C i d
ig y p d d



    
     













  







   

. (1.2.10)
Khi g = 0, tức là khi không có tương tác, chúng ta suy ra hàm Green của hạt tự
do:


19











       



     

   

22
22
s
4 i(p q)y i (p m )s 4 2
0
00
4 i(p q)y i (p m )s 4 4
22
0
G i d ye ds e C exp i ( )d
1
i d ye ds e (2 ) (p q)
pm
. (1.2.11)
Khai triển biểu thức hàm Green (1.2.10) theo hằng số tương tác g thì nó tương
ứng với tập hợp các giản đồ Feynman sau:

Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho khai triển hàm Green của electron theo hằng số
tương tác.
a) Giản đồ bậc không ứng với quá trình không tương tác.
b) Giản đồ đỉnh bậc một
c) Giản đồ đỉnh bậc hai
d) Giản đồ đỉnh bậc ba
Lời giải tương tự của phương trình (1.1.3), (1.1.5) cho tương tác của hạt vô
hướng trong trường điện từ và trường hấp dẫn nhận được kết quả sau:
 
22
4 ( ) ( ) 4 2
4
00
s
0
( , | ) exp ( )
(2 )
exp 2ie d ( ) 2 ( ) 2 ( )
s
is p m ip x y
s
i
G x y A d p dse e C i d
p A x p s d


  

   

      

   

  





    






   

. (1.2.12)
+
=
+
+
+

(a)
(c)
(b)
(d)


+
+
+

+




20
2
1
4
00
( , | ) exp ( , ( ) ( )
im
G x y g i d e C i d g x

  
  
        










  


24
00
( ( )) 1 2 ( )im g x d x y d

     
  

    



  

. (1.2.13)
Các biểu thức này có thể được sử dụng để nghiên cứu nhiều bài toán tán xạ trong
lý thuyết trường lượng tử.
Phần cuối của mục này, chúng ta xét một bài toán đơn giản là tìm hàm Green
lượng tử của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ. Trường này lý thú ở chỗ
là hàm Green
( , | )G x y A
của hạt có thể tính được một cách chính xác. Trường sóng

phẳng điện từ
()Ax

có dạng:
( ) ( ) kxA x a

,
(1.2.14)
trong đó
()kxa

là thế năng của trường sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng đẳng hướng
2
0k


. Giả thiết rằng trường sóng phẳng là sóng ngang
( ) 0kxka


. Thay trường
sóng phẳng (1.2.14) vào biểu thức (1.2.12), biểu thức tương ứng cho hàm Green thu
được là

   
22
4 ( ) ( )
4
0
22

0
( , | )
(2 )
2 ( ) 2 ( )
s
0
exp i d kx kp kx kp
is p m ip x y
s
i
G x y A d p dse e
e a s ie d p a s
  

   

   


     




. (1.2.15)
Cũng như hàm Green của các phương trình Klein-Gordon trong trường ngoài
(1.2.14), biểu thức cho bổ chính phân cực
()A

của hàm tác dụng trong trường điện từ

cổ điển được xác định bởi phương trình:
       
 
 
2
4
0
, , 2 ,
( ) | ( ) ( )
ln , ln ( , )
xy
A d x G x y G x y e G x x
x y j x j x j x
i G x x A G x x
    


  




  








  

, (1.2.16)
trong đó A

(x) nhất thiết phải lấy bằng (1.2.14).
Một tính chất quan trọng của trường (1.2.14) là các bổ chính phân cực được tính
theo (1.2.16) sẽ giống với kết quả nhận được bởi Schwinger [92] nếu như sóng phẳng
()kxa

biểu diễn chồng chập của các véc tơ sóng k.


21
Hàm Green thu được trong trường sóng phẳng (1.2.16) hoàn toàn giống với kết
quả mà Volkov thu được [97].
Tóm lại, chúng ta đã tìm được hàm Green của hạt vô hướng trong trường ngoài
vô hướng, trường điện từ và trường hấp dẫn. Trong đó việc áp dụng phương pháp tích
phân phiếm hàm đã dẫn đến biểu thức tổng quát cho hàm Green trong trường ngoài
bao gồm các bổ chính bức xạ. Từ hàm Green thu được chúng ta có thể tìm được biên
độ tán xạ của các hạt trong quá trình tương tác. Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết
trong chương tiếp theo.


22
CHƯƠNG II
TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM
Trong chương I, chúng ta đã thu được biểu diễn hàm Green của hạt vô hướng
trong các trường ngoài khác nhau. Một ứng dụng quan trọng của hàm Green là cho
phép ta xác định được biên độ tán xạ cũng như tiết diện tán xạ của hạt trong quá trình

tương tác. Trong chương này chúng ta sẽ trình bày cách tìm biên độ tán xạ của hai hạt
vô hướng trong mô hình đơn giản
3

. Ở vùng năng lượng lớn,
s 
, xung lượng
truyền nhỏ,
0
t
s




, biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn Glauber (hay biểu diễn
eikonal). Các kết quả cho tương tác phức tạp có thể dễ dàng thu được bằng cách tổng
quát hoá những biểu thức thu được ở đây. Cuối cùng chúng ta sẽ tìm các số hạng bổ
chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Eikonal ở vùng năng lượng cao.
2.1. Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng
2.1.1. Hàm Green hai hạt vô hướng trong trường vô hướng
Hàm Green cho một “nucleon” trong trường ngoài vô hướng
()x

đã được tìm ở
chương I dưới dạng tích phân phiếm hàm trong biểu diễn xung lượng theo công thức
(1.2.10) :

22
4 ( ) ( ) 4

0
0
00
( , | )
exp 2 2 ( )
s
i p q y i p m s
s
G p q i d ye dse
ig y p d d

  
     








  






  


, (2.1.1)
trong đó:
4 2 4
0
4
0
4 2 4
0
exp ( )
exp ( )
s
s
s
id
id




    

    
















là yếu tố thể tích của không gian hàm
số thực bốn chiều xác định trong khoảng
0 s


.
Sử dụng biểu thức (2.1.1) và đạo hàm phiếm hàm, hàm Green cho hai “nucleon”
được xác định theo công thức sau:


23

2
1 1 2 2 1 1 2 2 0 0
2
( , ; , ) exp ( , | ) ( , | ) ( ) |
2
i
G p q p q D G p q G p q S


  








, (2.1.2)
với:
22
1 2 1 2
2
12
exp exp ( )
2 2 ( ) ( )
ii
D dx dx D x x
xx

  








, (2.1.3)
S
0

() là giá trị trung bình của S-ma trận trên các thăng giáng chân không của trường
“nucleon”
()x

dưới ảnh hưởng của trường ngoài
()x

. Nó có thể biểu diễn dưới
dạng:
 
0
( ) exp ( )Si
  

. Phiếm hàm
()

phụ thuộc vào mô hình xem xét. Trong
trường hợp này nó là tổng tất cả giản đồ liên kết mà chúng chứa các loop của
“nucleon” trường
()x

với số bậc bất kì của trường ngoài vô hướng
()x

.
Đưa vào các kí hiệu mới:

( ) ( ; ; | )
i i i i i

j dz z j x z p s
  


, (2.1.4)
với
00
( ; ; | ) 2 2 ( )
i
s
i i i i i i i
j x z p s d x p d z

     

    




. (2.1.5)
Sử dụng kí hiệu trên ta biểu diễn hàm Green cho hai hạt là:
22
( ) ( )
24
1 1 2 2
0
1,2
0
( , ; , ) ( ; ; | )

k
k k k k k
s
is p m ix p q
k k k k k k k
k
G p q p q i ds e dx e x p s
  







  
, (2.1.6)
trong đó:

2
00
2
1,2
00
2
00
2
1,2
00
2

2
( ; ; | )
exp exp 2 2 ( ) ( ) |
2
exp exp ( ) 2 2 ( ) ( ) |
2
exp
2
k
k
k k k k
s
kk
k
s
kk
k
x p s
i
D ig d x p d S
i
D ig d dz z x z p d S
i
D







     


       












  












   











  

   
 
12
2
()
0 0 0 0
2
1,2
exp ( ) | exp ( ) |
2
ig j j
k
k
i
ig j S D e S




  




   


   
   

  

(2.1.7)
Để tìm dạng chi tiết hơn của  thì chúng ta cần thực hiện các phép biến đổi sau.
Với mỗi phiếm hàm
()A

, chúng ta định nghĩa đại lượng:


24

2
2
( ) exp ( )
2
i
A D A









, (2.1.8)
()A

có nghĩa là giá trị trung bình của hàm
()A

trên các thăng giáng chân không
trong trường vô hướng
()x

, hiểu một cách đơn giản là
0
( ) |AA




.
Giá trị trung bình chân không theo trường vô hướng  của tích hai phiếm hàm:

2
0
2

exp ( ) ( ) |
2
i
AB D A B










. (2.1.9)
Biểu thức (2.1.9) có thể được biến đổi về dạng đơn giản như sau:

12
12
12
2
1 2 0
12
2 2 2
1 2 0
22
1 2 1 2
2 2 2
1 2 0
22

1 2 1 2
2
1
exp ( ) ( ) |
2
exp ( ) ( ) |
22
exp exp exp ( ) ( ) |
22
exp
i
AB D A B
ii
i A B
ii
i A B
i





 
  

   
  

   
















  




     

     
     


  
  
12
1 2 0
2

( ) ( ) |AB








. (2.1.10)
Thực hiện phép thay các phiếm hàm:

1 2 0
( ) exp ( ) ; ( ) ( )A ig j j B S
   

  


, (2.1.11)
từ (2.1.8), ta thu được:

 
2
12
2
2
1 2 1 2
2
2

1 2 1 2
( ) exp exp ( )
2
exp ( ) exp ( )
2
exp ( ) ( )
2
i
A D ig j j
i
D ig j j ig j j
ig
ig j j D j j













  





   





, (2.1.12)
và giá trị trung bình của S
0
() là:

   
2
0
2
( ) exp exp ( ) exp ( )
2
i
S D i i

   


  



, (2.1.13)
ở đây phiếm hàm () tương ứng với tổng tất cả các giản đồ liên kết với số lượng bất

25
kì các loop “nucleon” và loop meson cuối trong trường ngoài nếu ta giả thiết rằng tất
cả các loop này đều chứa các cặp meson trong.
Sử dụng đồng nhất thức (2.1.10) và các phương trình (2.1.11), (2.1.12), thì biểu
thức (2.1.7) cho phiếm hàm  được viết dưới dạng:
 
 
 
12
1
22
1 1 2 1 2
0
12
2
2
1 2 1 2 2
0
2
2
2
1 2 1 2
0
exp exp ( ) ( ) exp ( )
2
exp ( ) ( ) exp ( )
2
exp ( ) ( )

2
ig
i D ig j j D j j i
ig
D j j g D j j i
ig
D j j i g D j j
  




 



  




     





     




       


  


, (2.1.14)
Khai triển (2.1.14) thành chuỗi theo hằng số tương tác g
2
, thay chúng vào (2.1.6)
và thực hiện lấy tích phân theo phiếm hàm 
i
chúng ta sẽ thu được chuỗi quen biết của
lý thuyết nhiễu loạn không chuẩn hóa của hàm Green hai hạt. Nhưng ở đây, chúng ta
chỉ nhấn mạnh những hệ số quan trọng mà chúng ta sử dụng về sau. Biểu thức (2.1.14)
cho phép chúng ta tách ở dạng tổng quát hiệu ứng tương tác của hai nucleon và tương
tác của chính các nucleon đó thông qua trường vô hướng (đóng góp bổ chính và tái
chuẩn hoá khối lượng). Thật vậy, số hạng đầu tiên ở hàm mũ (2.1.14) có thể viết lại
dưới dạng:

2 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
()
2 2 2
ig ig ig
D j j ig Dj j Dj Dj     
   
, (2.1.15)

trong biểu thức trên thì số hạng đầu tiên ứng với trao đổi hạt vô hướng giữa hai
“nucleon”, những số hạng còn lại đặc trưng cho các bổ chính cho các hạt tán xạ.
Số hạng thứ hai ở hàm mũ (2.1.14) được biểu diễn như sau:

(1) (2) (12)
(0)      
, (2.1.16)
với:
 
()
(0); 1,2
i
i
g Dj i     

, (2.1.17)

     
(12)
1 2 1 2
( ) (0)g D j j g Dj g Dj          
  
. (2.1.18)
Từ biểu thức (2.1.17), (2.1.18), chúng ta có thể tìm được biểu thức của toán tử
cực điểm trong trường vô hướng:


26

2

12
12
( , | ) ( )
( ) ( )
P x x
xx


 
  
, (2.1.19)
hoặc hàm Green toàn phần của trường vô hướng:

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
( , | ) ( ) ( ) ( , | ) ( )D x x D x x dy dy D x y P y y D y x

    

, (2.1.20)
dưới ảnh hưởng của trường ngoài . Kết quả phiếm hàm  trở thành :

(0) (1) (2) (12)i
e

    
, (2.1.21)
với:
2
( ) * 2 (12) 2 *
12 1 2

exp ;i 1,2; exp
2
i
ii
ig
D j ig D j j


     




, (2.1.22)
ở đây:
 
 
1
*
12
00
11
*
12 1 2 1 2 1 1 2 2
00
2 , | ; i 1,2
,|
ii
D d d D x x g Dj
D d d D x x g Dj g Dj


  
   
  
  
  
   
. (2.1.23)
Nhớ rằng hàm D
i
*
là hàm Green của trường vô hướng  tương tác với nguồn ngoài j
i

tương ứng với tương tác của nucleon thứ i, còn D
12
*
là hàm Green của trường vô
hướng  tương tác với cả hai nucleon.
Như vậy phiếm hàm  đã xác định hàm Green hai hạt, có thể phân tích thành các
số hạng: một tương ứng với tương tác giữa hai nucleon, số còn lại tương ứng với các
bổ chính bức xạ và tái chuẩn hoá khối lượng của các nucleon.
2.1.2. Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng
Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường vô hướng được biểu diễn bởi các số
hạng của hàm Green hai hạt theo phương trình sau:

2 2 2
4
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2

1 2 1 2
,
1,2
(2 ) ( ) ( , | , )
lim ( )( ) ( , ; , )
ii
ii
p q m
i
i p p q q T p p q q
p m q m G p p q q



  
  

. (2.1.24)
Trong phần này chúng ta sẽ bỏ qua vấn đề tái chuẩn hoá, nó sẽ được xem xét ở phần
sau. Chúng ta cũng bỏ qua hệ số
 
exp (0)i
ở vế phải của (2.1.24) (hệ số này xuất hiện ở
hàm  trong công thức (2.1.21) ) vì nó không ảnh hưởng tới quá trình tán xạ.