Rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7

A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Toán học là ngành khoa học cơ bản, Toán học có tác dụng lớn đối với các
ngành khoa học khác. Đây là một khoa học suy diễn, mẫu mực về sự chính xác cao
và suy luận chặt chẽ. Môn Toán có một vị trí quan trọng trong trường phổ thông, vì
nó có khả năng to lớn trong việc thực hiện nhiệm vụ của nhà trường. đồng thời nó
giúp cho học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. việc tìm kiếm, chứng
minh một định lý, tìm một lời giải hay cho một bài toán, có tác dụng rèn luyện cho
học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận… qua đó có tác
dụng tốt rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo.
Trong Toán học có nhiều phân môn, mỗi phân môn có nét đặc trưng riêng
của nó. Ở trường trung học cơ sở hiện nay, học sinh được học các phân môn số học,
đại số và hình học. Riêng hình học là một phân môn rất khó với lứa tuổi học sinh
cấp hai, vì tính trừu tượng của hình học khá cao. Có thể nói rằng, hầu hết các học
sinh hiện nay gặp rất nhiều khó khăn trong việc học tập hình học, từ phần nắm bắt
lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiên đề,… đến việc hoàn thiện các chứng
minh dạng toán, các lập luận, suy luận để đến điều phải chứng minh. Hầu hết học
sinh của các chưa cảm nhận được cái hay, cái đẹp ở hình học, rất ngại khi học hình
học này vì nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới kết quả học tập chưa cao, đặc biệt
là việc tư duy chứng minh một bài toán hình học đối với các em còn nhiều khó
khăn. Chính vì vậy việc rèn luyện cho học sinh hình thành và phát triền tư duy hình
học và có kỹ năng chứng minh thành thạo một số bài toán chứng minh hình học cơ
bản từ đó có khả năng khám phá những bài toán nâng cao là một yêu cầu cơ bản
đối với việc giảng dạy phân môn hình học ở bậc THCS đặc biệt đối với học sinh lớp
7. Đối với học sinh lớp 7, việc chứng minh một bài toán hình học càng khó hơn khi
các em bước đầu làm quen với các bước suy luận chứng minh hình học, các em
phải tìm tòi, phải tưởng tượng, các em phải tìm lời giải trên cơ sở hình vẽ, kiểm
nghiệm tính đúng đắn bằng các tính chất, định lý, chứ không phải như “ một cộng
một bằng hai ” mà các em quen từ lâu, chính vì vậy việc “ Rèn kỹ năng chứng
minh hình học cho học sinh lớp 7” là yêu cầu rất quan trọng đối với giáo viên khi
dạy học phân môn hình học.
* * *

1
B.NỘI DUNG
Để rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh, trước hết các em phải
nắm vững các phương pháp chứng minh cơ bản của hình học 7 đó là:
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC 7.
1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể sử dụng một trong những
cách sau:
- Chứng minh dựa vào tam giác cân, tam giác đều.
- Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
- Chứng minh dựa vào đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất đường
trung trực của tam giác
- Chứng minh dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác.
2. Chứng minh hai góc bằng nhau.
Để chứng minh hai góc bằng nhau chúng ta có thể sử dụng một trong những
cách sau:
- Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân, tam giác đều.
- Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song.
- Chứng minh dựa vào tính chất của tia phân giác một góc, đường phân giác
của tam giác.
- Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
- Chứng minh hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba.
3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể:
- Dựa và định nghĩa chứng minh một trong các góc tạo thành bởi hai đương
thẳng cắt nhau có số đo là 90
0
.
- Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song.
- Dựa vào tính chất của đường trung tuyến của tam giác vuông ứng với

cạnh huyền thì bằng nửa độ dài cạnh huyền.
- Dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác
- Dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng,của tam giác.
- Dựa vào định lí Pytago.
- Dựa vào định lý về tổng 3 góc trong một tam giác áp dụng vào tam giác
vuông.
2
- Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc kề bù.
4. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.
Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể:
- Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
- Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song. ( Nếu hai đường thẳng
phân biệt cùng vuông góc hoặc song song với đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau).
5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thế:
- Dựa vào tính chất điểm nằm giữa hai điểm. (AM + MB = AB  M nằm
giữa A và B).
- Dựa vào tính chất : Nếu A, B, C tạo thành một góc có số đo bằng 180
0
thì
A, B, C thẳng hàng.
- Dựa vào tính chất: Nếu hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông
góc với một đường thẳng thứ ba và có một điểm chung thì hai đường
thẳng đó trùng nhau.
- Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc đối đỉnh.
- Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc một tập hợp đường như: đường trung
trực, đường cao, đường phân giác ).
6. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh:

- Hai đường thẳng cắt nhau và đường thẳng còn lại đi qua giao điểm đó.
- Dựa vào tính chất các đường đồng quy trong tam giác.
Muốn học sinh thành thạo giải một bài toán chứng minh hình học thì trước
hết các em phải nắm được các phương pháp chứng minh cơ bản trên.
7. Chứng minh tính chất của một hình.
Trong hình học 7 ta bắt gặp nhiều bài yêu cầu chứng minh một tam giác là
tam giác cân, đều vuông các đoạn thẳng là đường cao, đường trung tuyến, đường
phân giác. Về phương pháp chung ta có thế chứng minh các bài toán trên thông qua
các phương pháp chứng minh trên
3
III. RÈN KỸ NĂNG CHỨNG MINH HÌNH HỌC CHO HỌC SINH
Việc học sinh được rèn luyện kỹ năng chứng minh hình là vô cùng quan
trong. Muốn rèn luyện cho học sinh có khả năng phân tích, tư duy môt bài toán
hình học sau khi các em đã được trang bị những kiến thức cơ bản và phương pháp
chứng minh trên thì giáo viên phải:
1. Rèn kĩ năng vẽ hình:
- Vẽ hình cần chính xác, rõ ràng,để tìm ra hướng giải toán
- Không nên vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt có khi khó chứng minh ( Ví
dụ yêu cầu vẽ tam giác thì ta chỉ vẽ tam giác thường .)
- Nhiều bài giáo viên yêu cầu học sinh cần vẽ hình theo kết luận.
2.Rèn kĩ năng suy luận và chứng minh:
Để chứng minh được một bài toán hình bất kì nào thì học sinh phải được:
a,Rèn kỹ năng vận định lí:
Học sinh phải được rèn kỹ năng nhận dạng yêu cầu chứng minh nào đó trong
bài có khả năng vận dụng những định lí nào? Xuất phát từ kết luận của bài toán,
học sinh sẽ tư duy và kết hợp các giả thiết của bài cùng các kiến thức đã học để
tìm cách chứng minh bài toán.
b, Rèn cách trình một bài toán chứng minh.
Sau khi học sinh đã tìm được lời giải cho bài toán nhiều học sinh sẽ lúng túng
không biết trình bày như thế nào? Nhiều học sinh trình bày chưa khoa học, sắp xếp

chưa đúng trình tự dẫn đến viêc chứng minh các ý tiếp theo gặp nhiều khó khăn. Vì
vậy giáo viên phải yêu cầu học sinh trình bày tuần tự xuất phát từ giả thiết. Các kết
luận sử dung nhiều hoặc nhiều kết luận sử dụng để phục vụ cho kết luận chung thì
cần ký hiệu đánh dấu. . .
3.Rèn kĩ năng sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp:
Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải, ta thường dùng phương pháp phân
tích( từ kết luận đi đến giả thiết) và lúc trình bày lời giải thì theo phương pháp tổng
hợp ( từ giả thiết đến kết luận). Vậy khi trình bày một lời giải thường sử dụng
phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh, rối dùng phương pháp tổng hợp để
viết phần chứng minh.
4
Khi hướng dấn học sinh tìm lời giải một bài tập thì giáo viên cần chú ý
hướng dẫn cho học sinh các quy tắc suy luận. Trong quá trình giải toán , ta thường
gặp hai quy tắc suy luận là quy tắc quynạp và quy tắc diễn dịch.
- Quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung ,từ cụ thể đến tổng quát
,quy nạp thường là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra.
- Diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể.
4Rèn kĩ năng đặc biệt hóa:
Trong nhiều bài toán học giáo viên cần hướng dẫn học sinh có thể đưa giả
thiết của bài toán về những trường hợp đặc biệt để tìm kết quả và phương pháp giải
quyết bài toán.
5. Rèn kĩ năng tổng quát hóa:
Trong nhiều bài toán sau khi giải quyết xong thì giáo viên có thể tổng quát
hoá bài toán nhằm nâng cao tư duy hình học cho học sinh như:
- Thay hằng số bởi biến.
- Thay điều kiện trong bài toán bằng điều kiện rộng hơn.
- Thay vị trí đặc biệt của một điểm, của một hình bởi vị trí bất kì của nó , ví
dụ thay trọng tâm tam giác bởi một điểm bất kì nằm trong tam giác.
- Bỏ bớt một điều kiện của giả thiết để có bài toán tổng quát hơn.
Trên đây là một số kỹ năng mà giáo vên cần rèn luyện cho học sinh trong

quá trình giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy và học phân môn hình học .
III. VẬN DỤNG VÀO SOẠN & DẠY MỘT TIẾT LUYỆN TẬP
Việc rèn luyện cho học sinh các kỹ năng chứng minh trên trong quá trình
giảng dạy đối với mỗi giáo viên là việc hết sức qua trọng. Để xây dưng một tiết
học mà các em được rèn luyện các kỹ năng một cách phù hợp với bản thân là một
nhiệm vụ không dễ đối với người thầy. Người thầy phải xác định rõ mục tiêu
của từng tiết dạy.
1. Đối với dạy bài mới.
- Giáo viên phải cung cấp các tri thức mới một cách nhẹ nhàng và tự nhiên
giúp các em dễ tiếp thu.
- Sau mỗi kiến thức trọng tâm giáo viên cần khắc sâu hoặc gợi mở các
phương pháp chứng minh liên quan:
5
VD: Sau khi dạy xong bài: Tính chất tia phân giác của một góc. Giáo viên
có thể hỏi: Vậy qua bài hôm nay muốn chứng minh tia ON là tia phân giác của
·
xOy
ta có thể chứng minh như thế nào?
- Dạy học định lí nên thường xuyên theo phương pháp quy nạp để các em
tự mình khám phá những kiến thức mới từ đó các em hiểu sâu và chắc.
- Đối với mỗi kiến thức mới giáo nên là người nêu các tình huống có vấn
đề cho các em khám phá cùng với các câu hỏi, hướng dẫn gợi mở của người thầy.
2. Đối với tiết luyện tập.
- Trong các tiết luyện tập giáo viên thường xuyên quan tâm tới các kỹ năng
của từng đối tượng, từ kỹ năng vẽ hình đến kỹ năng phân tích tìm lời giả…
- Đối với mỗi bài toán giáo viên cần hình thành cho học sinh thói quen
phân tích giả thiết, kết luận để tăng khả năng tư duy khi đi tìm lời giải.
- Sau mỗi bài giáo viên cần nhận xét rút kinh nghiệm về phương pháp, kỹ
năng trình bày cho học sinh.
- Đối với mỗi đối tượng học sinh giáo viên cần có yêu cầu cụ thể theo mức

độ từ dễ đến khó.
- Trong tiết luyện tập giáo viên nên phân thành các dạng bài và rút ra
phương pháp giải.
3. Đối với tiết ôn tập
Đối với những tiết ôn tập thì việc rèn luyện các kỹ năng được đưa ra một
cách tổng quát, song song với đó là việc ôn luyện lại những kiến thức đã học của
chương của kì Chính vì vậy giáo viên phải:
- Hệ thống các dạng bài, các phương pháp bên cạnh việc hệ thống các kiến
thức.
- Các bài tập đưa ra nên có tính chất tổng quát, tổng hợp nhiều kiến thức
giúp các em có khả năng tư duy tổng hợp.
- Đối với mỗi dạng toán sau một chương, một kỳ… thì có nhiều phương
pháp giải, phương pháp tư duy vì vậy giáo viên cần định hướng cụ thể cho học
sinh tránh học sinh bị lan man không xác định được phương hướng.
Sau đây tôi xin vận dụng vào soạn giảng một tiết luyện tập hình học 7:
Tiết 34 LUYỆN TẬP
-Về 3 trường hợp bằng nhau của hai tam giác-
I. Mục tiêu:
Sau khi học xong bài này học sinh cần nắm được:
1. Về kiến thức
- Học sinh nắm vững ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
2. Về kỹ năng:
- Rèn kỹ năng vẽ hinh, kỹ năng phân tích , trình bày bài, kỹ năng chứng minh hai
đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.
3. Về thái độ:
- Rèn tính cần thận, chính xác. Tinh thần làm việc độc lập, hợp tác.
II. Chuẩn bị:
6
Gv: Thước thẳng, compa
IV. Tiến trình dạy học

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
Áp dụng những
trường hợp bẳng nhau
của hai tam giác đã
biết vào tam giác
vuông ta có những
trường hợp nào?
GV: yêu cầu học sinh
chữa bài tập 43/sgk
GV chốt lại các
trường hợp bằng nhau
của hai tam giác đã
học
HS: Trả lời câu hỏi
HS chữa bài tập
* Đặt vấn đề: Ở các bài trước chúng ta đã được nghiên cứu về các trường hợp
bằng nhau của hai tam giác, hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục vận dụng các trường
hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai
góc bằng nhau.
Hoạt động 2 : Tổ chức luyện tập
GV Cho học sinh làm
bài tập 44/sgk
GV yêu cầu học sinh
đọc đề rồi vẽ hình ghi
giả thiết kết luận của
bài toán.
GV: Hai tam giác
ABD và ∆ADC có
những yếu tố nào

bằng nhau?
GV cho học sinh lên
HS vẽ hình và ghi giả
thiết kết luận
HS quan sát hình vẽ và
trả lời
HS lên bảng trình bày
1. Vận dụng các trường hợp bằng
nhau của hai tam giác để chứng
minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 44/sgk (125)
2
1
2
1
A
D
B
C
GT
∆ABC :
µ
µ
A B
=
.
Phân giác của Â
cắt BC tại D
KL
a.∆ADB = ∆ADC

b.AB = AC
Chứng minh:
a) Ta có:
7
bảng chứng minh
phần a.
? Có nhận xét gì về
hai đoạn thẳng AB
và AC
=> điều phải chứng
minh.
GV chốt lại vậy qua
bài tập 44/sgk ta rút
ra điều gì?
GV cho học sinh đọc
đè bài tập 60 SBT.
GV Hướng dẫn học
sinh vẽ hình và ghi
giả thiết kết luận của
bài toán
? Muốn chứng minh
hai đoạn thẳng AB =
BE ta có thể chứng
minh như thế nào?
GV cho học sinh lên
bảng trình bày
HS khác nhận xét đánh
giá bài làm của bạn
HS là hai cạnh tương
ứng của hai tam giác

bằng nhau.
HS: Ta có thể vận dụng
các trường hợp bằng
nhau của hai tam giác
để chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau.
HS đọc đề và suy nghĩ
HS vẽ hinh ,ghi giả
thiết kết luận
HS: ta có thể chứng
minh hai tam giác bằng
nhau
HS khác nhận xét đánh
giá bài làm của bạn
µ µ
¶
¶
1 2
B = C(GT)
A = A (GT)
⇒

µ µ
1 2
D = D
Xét ∆ABD và ∆BDC có:
µ µ
µ µ
1 2
B = C(GT)

AD chung
D = D (cmt)
⇒
∆ABD = ∆BDC ( g-c-g)
b) ∆ABD = ∆BDC (cmt)
⇒
AB = AC
Bài tập 60 (SBT - 105)
GT
µ
·
·
0
ΔABC: A=90
ABD = CBD, DE BC
⊥
KL
AB = BE
Chứng minh:
Xét ∆ABD và ∆EBD có:
µ
µ
µ
µ
0
1 2
A = E = 90 (gt)
B = B
BD chung
ABD = EBD (ch - gn)

AB = BE
⇒ ∆ ∆
⇒
8
GV chốt lại phương
dạng toán cho học
sinh
GV đọc bài cho học
sinh
Bài toán: Cho tam giác
ABC có Â=90
0
và BC =
2AB, E là trung điểm
của BC. Tia phân giác
của
µ
B
cắt AC ở D.
Chứng minh:
a, DB là tia phân giác
của
·
ADE
b, BD= DC.
c, Tính
µ
B
,
µ

C
của
ABCV
? Muốn chứng minh
DB là tia phân giác
của
·
ADE
ta cần
chứng minh điều gì?
? Vậy muốn chứng
minh hai góc bằng
nhau ta có thể chứng
minh hư thế nào?
GV cho học sinh lên
bảng CM
GV nhận xét đánh giá
bài làm của học sinh.
HS đọc đề và vẽ hình ,
ghi giả thiết, kết luận,
HS ta cần chứng minh
·
·
ADB = EDB,
HS: ta có thể chứng
minh hai tam giác bằng
nhau.
HS chứng minh
2.Vận dụng các trường hợp bằng
nhau của hai tam giác để

chứng minh hai góc bằng
nhau.
Bài tập :

GT
µ
·
·
0
ΔABC: A=90
ABD = CBD, EB=EC
KL a, DB là tia phân giác của
·
ADE
b, BD = DC
c, Tính
µ
B
,
µ
C
của
ABCV

a, Có E là trung điểm của BC
=> BC = 2 BE mà BC = 2 AB
=> BE = AB
Xét ∆ABD và ∆EBD có:
µ
µ

1 2
AB = EB ( cmt)
B = B ( )
BD chung
gt
·
·
ABD = EBD (c-g-c)
ADB EDB
⇒ ∆ ∆
⇒ =
9
? vậy qua phần
chứng minh vừa rồi
ta rút ra nhận xét gì?
GV cho học sinh
chứng minh các phần
còn lại .

GV chốt để chứng
minh hai đoạn thẳng
hoặc hai góc bằng
nhau ta có thể vận
dung các trường hợp
bằng nhau của hai
tam giác để chứng
minh
HS : Ta có thể chứng
minh hai góc bằng nhau
bằng cách chứng minh

hai tam giác bằng nhau.
HS lên bảng thực hiện
DB nằm giữa DA và DE =>
DB là tia phân giác

của
·
ADE

b, có ∆ABD = ∆EBD
=>
·
0
DEB 90=
=>
·
0
DEC 90=
Xét ∆DEB và ∆DEC có
·
·
0
DEB DEC =90=
EB = EC (gt)
DE chung
=> ∆DEB = DEC ( c.g.c)
=> DB = DC.
c, ∆DEB = ∆DEC
=>
µ

µ
2
C B=
=>
µ
B
= 2
µ
C
Mà
µ
µ
90
o
C B+ =
=>3
µ
C
=90
0
=>
µ
µ
30 ; 60
o o
C B= =
Hoạt động 3: Củng cố
Giáo viên chốt lại phương pháp vận dụng các trường hợp bằng nhau của
hai tam giác để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau và được
vận dụng thường xuyên trong các dạng toán chứng minh khác

Hoạt động 4: Hướng dẫn về nhà
- Làm bài tập 63 SBT và làm thêm bài tập
Cho
∆
ABC, có Â> 90
0
. Trong  vẽ AD
⊥
AB và AD = AB, AE
⊥
AC và
AE = AC.Gọi M là trung điểm của DE Chứng mính AM
⊥
BC
- Đọc và ngiên cứu trước bài Tam giác cân.
10
C. KẾT LUẬN
Qua quá trình giảng dạy nhiều năm, tôi nhận thấy nếu học sinh nắm chắc
được các kiến thức, có kỹ năng chứng minh thành thạo các bài toán hinh học ở lớp
7 thì lên các khối lớp tiếp theo các em sẽ say mê học tập bộ môn Toán hơn. Chính
vì vậy đối với các thầy cô giảng dạy trực tiếp bộ môn Toán lớp 7, việc quan tâm
đến rèn kỹ năng chứng minh cho học sinh là vô cùng cần thiết. Với những kinh
nghiệm giảng dạy ít ỏi trên, kính mong sự đóng góp của các thầy cô để chúng ta
nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
11