LUẬN ÁN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC Ở LỚP 7 TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP CABRI II PLUS

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hằng Nga

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC
DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Ở LỚP 7 TRONG MƠI TRƯỜNG
TÍCH HỢP CABRI II PLUS

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hằng Nga

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC
DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Ở LỚP 7 TRONG MƠI TRƯỜNG
TÍCH HỢP CABRI II PLUS
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số

: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


i

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu luận văn, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến:
 TS. Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi về
mặt nghiên cứu khoa học cũng như mang lại niềm tin trong q trình
thực hiện luận văn này.
 PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu
Hải, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và
các quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã
nhiệt tình giảng dạy những tri thức đồng thời truyền niềm hứng thú và
niềm say mê đối với chun ngành Didactic Tốn cho chúng tơi trong
suốt q trình học tập tại trường.
 PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot đã có những chỉ dẫn
và định hướng cho luận văn cũng như những giải đáp giúp chúng tôi
hiểu rõ hơn về Didactic Tốn
Bên cạnh đó, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
 Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Thủ Thiêm, Quận 2,
Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong suốt thời gian học cao học tại trường ĐHSP, đặc biệt là giai
đoạn thực hiện luận văn.
 Các bạn cùng lớp cao học Didactic Tốn khóa 19 đã luôn chia sẻ và
giúp đỡ cũng như động viên tơi trong suốt q trình học tập và thực
hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin dành những lời biết ơn sâu sắc nhất gửi đến gia đình thân
u của tơi đã luôn động viên, hỗ trợ về mọi mặt để tôi có thể hồn thành

luận văn này.
Nguyễn Thị Hằng Nga


ii

MỤC LỤC


iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK..............................................Sách giáo khoa
SBT..............................................Sách bài tập
SGV..............................................Sách GV
THCS...........................................Trung học cơ sở
GV................................................Giáo viên
HS.................................................HS
HHGN..........................................Hình học ghi nhận
HHSD...........................................Hình học suy diễn
THCS...........................................Trung học cơ sở


1

MỞ ĐẦU
1.

Ghi nhận ban đầu
• Ở bậc tiểu học và lớp 6, HS chỉ tiếp cận với hình học mang tính trực quan:



Tập dùng các dụng cụ như thước kẻ, êke, thước đo độ, compa,…



Làm việc trên “hình vẽ”: dựa trên hình vẽ và các thao tác đo đạc, tính

tốn,…. để phát hiện và kiểm chứng lại các tính chất của một hình cũng
như nhận dạng một hình hình học dạng tởng thể.
• Ở lớp 7, hình học mang tính suy diễn bắt đầu được đưa vào:


Phải thông qua suy luận và chứng minh mới đưa ra các nhận xét về

tính chất của hình.


Tiếp cận “hình”: hình chỉ mang tính đại diện cho một lớp các hình,

đồng thời là phương tiện trực giác giúp tạo hướng đi trong quá trình
chứng minh hình học.
Vậy đã có sự thay đởi cơ bản khi chuyển từ hình học bậc tiểu học và lớp 6
sang hình học lớp 7. Liệu HS có nhận thấy nhu cầu và vai trò của HHSD
khơng?
• Nhận thức được khó khăn của HS, SGK và sách bài tập Tốn lớp 7 (2001) đã
xây dựng các hoạt động thể hiện sự quan tâm đến bước chuyển tiếp trên.
Cụ thể có khá nhiều hoạt động được SGK đưa vào theo tiến trình: Đo đạc,
quan sát → Dự đốn → Chứng minh. Tuy nhiên pha dự đoán với vai trò
kết nối còn các hạn chế sau:



Thực hiện trên một hình



Sau khi thực nghiệm, dự đoán dễ dàng được đưa ra và được khẳng

định.
Do đó, khơng tạo sự nghi ngờ ở HS, tức là khơng tạo được nhu cầu “hợp
thức hóa bằng suy luận”
• Thể chế mong đợi như vậy, nhưng trên thực tế, liệu GV đang giảng dạy Tốn
lớp 7 có quan tâm đến vấn đề chuyển tiếp trên hay khơng? Có quan tâm
đến việc phải xây dựng một tình huống nối khớp như thế nào hay không?


2

• Trong thời đại cơng nghệ thơng tin bùng nở và ngày càng phát triển, các
phần mềm hỗ trợ cho việc dạy và học Toán ngày càng phong phú, thân
thiện và hiệu quả, trong đó phải kể đến phần mềm hình học động Cabri II
Plus với rất nhiều tiện ích:


Cabri II Plus tạo ra các hình vẽ, các hình một cách chính xác



Sự tương tác được với hình cho phép HS đưa ra các dự đốn và tìm

hướng chứng minh, cũng như mở rộng bài tốn gốc.
Với tính ưu việt về sự tương tác, phần mềm Cabri II Plus được dùng ra sao
để hạn chế phần nào các khó khăn của HS khi bắt đầu làm quen HHSD?
2.

Câu hỏi xuất phát
Từ những ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải trả lời các

câu hỏi sau:
Q’1: Sự chuyển tiếp từ HHGN đến HHSD được trình bày như thế nào trong chương
trình Tốn hình học lớp 7 hiện hành (SGK, SGV Tốn 7)? Cách trình bày này tác
động như thế nào đến HS khi bắt đầu làm quen với HHSD?
Q’2: Những hoạt động nối khớp “thực nghiệm và lý thuyết” trong Hình học lớp 7
(2001) có tạo được hiệu quả thực sự trong việc chuyển tiếp khơng?
Q’3: Tính tương tác của phần mềm Cabri II Plus có lợi ích gì? Đặc tính đó có tác
động như thế nào trong việc dẫn nhập chứng minh hình học ở lớp 7?
Q’4: So với môi trường truyền thống, việc dẫn dắt HS vào bài tốn suy luận sẽ có
những thay đởi như thế nào khi có sự kết hợp với mơi trường Cabri II Plus?
Q’5: Một tình huống dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học”, đảm bảo được sự
nối khớp giữa HHGN và HHSD đòi hỏi những yêu cầu nào? Với sự hỗ trợ của
Cabri II Plus, có thể xây dựng được tình huống nào như vậy khơng?
3.

Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi lý thuyết của Didactic Tốn,

cụ thể:
• Lý thuyết nhân chủng học
• Đồ án didactic

3

• Hợp đồng didactic
Chúng tơi chọn Lý thút nhân chủng học làm cơ sở để tiến hành nghiên cứu
mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân với đối tượng được chọn. Đồng thời tìm
hiểu các tở chức tốn học nào có thể được khai thác thêm bằng phần mềm Cabri II
Plus.
Chúng tôi quan tâm đến:
Đối tượng: liên quan đến sự chuyển tiếp “HHGN – HHSD”
Thể chế: dạy học Tốn hình học lớp 7 hiện hành
Chúng tơi trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng
của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình.
3.1. Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức
Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá
nhân của một cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là tập
hợp những tác động qua lại mà X có đối với O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X
hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao.
Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “dẫn nhập chứng minh hình học”
3.2. Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức
Một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà ln phải ở trong ít nhất
trong một thể chế. Vì vậy, việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt
trong thể chế I nào đó mà có sự tồn tại của X.
Kí hiệu R(I,O) để chỉ tập hợp các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O.
Trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng
buộc của R(I,O). Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là: Thể chế dạy học theo
chương trình hiện hành (áp dụng trong năm học 2011-2012).
Để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O) ta phải nghiên cứu các tở chức tốn
học gắn liền với O. Hơn nữa, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O
còn cho phép ta hình dung một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại

trong O, tức là quan hệ các nhân HS duy trì với O trong thể chế I.
Vậy thế nào là “tở chức tốn học”?


4

3.3. Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó cũng cần thiết
xây dựng mơ hình cho phép mơ tả và nghiên cứu thực tế đó. Chevallard (1998) đã
đưa ra khái niệm praxeologie. Mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần

[ T ,τ ,θ , Θ] , trong đó T

là một kiểu nhiệm vụ, τ là kĩ thuật cho phép giải quyết T , θ

là cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lý thuyết giải thích cho θ , Θ còn gọi
là công nghệ của công nghệ θ .
3.4. Đồ án didactic
Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án didactic là một tình
huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức cơng việc
didactic tựa như cơng việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc
lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối
tượng được sàng lọc của khoa học.
Đồ án didactic cho phép thực hiện:
-

Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên nghiên cứu didactic
trước đó

-

Một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việc
nghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy.

Đồ án didactic cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic, nhằm
mục đích trả lời câu hỏi Q’5 và giúp HS tiếp cận đối tượng mới trong mơi trường có
sự hỗ trợ của Cabri II Plus.
3.5. Hợp đồng Didactic
Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy – học là sự mơ hình hóa
các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của GV cũng như của HS đối với đối tượng đó.
Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân
chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, HS và GV, về một tri thức được
giảng dạy.


5

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của GV và
HS, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một
cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.
Theo A.Bessot và C.Comiti (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp động
didactic, người ta có thể tiến hành như sau:
-

Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt
những thành viên chủ chốt (GV, HS) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng.

-

Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:

o Nghiên cứu câu trả lời của HS trong khi học
o Phân tích các đánh giá của HS trong việc sử dụng tri thức
o Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong các
sách giáo khoa.

Đặc biệt, ta có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri
thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, bởi vì
việc sử dụng đó khơng chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri
thức, bởi vì việc sử dụng đó khơng chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định
nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những
ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy.
Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết để chuẩn bị cho
tương lai, GV phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện
thực tế của nó. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi.
4.

Câu hỏi nghiên cứu
Trong khung lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tơi trình bày lại các câu

hỏi xuất phát thành các câu hỏi định hướng nghiên cứu như sau:
Q1: Quan hệ thể chế với đối tượng liên quan đến sự chuyển tiếp từ hình học trực
quan đến hình học suy diễn có đặc điểm gì? Các tở chức Tốn học nào được trình
bày trong chương trình lớp 7 hiện hành?


6

Q2: Hình trong hình học suy diễn có những thay đổi nào? Chức năng của Cabri II
Plus đối với việc dạy học dẫn nhập chứng minh hình học là gì? Những kiểu nhiệm
vụ nào sẽ được khai thác thêm trong môi trường Cabri II Plus, khi đó sẽ thêm

những kỹ thuật và cơng nghệ mới nào?
Q3: Mợt tình h́ng dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học” cần đạt những u
cầu gì? Có thể xây dựng được tình h́ng như vậy trong mơi trường tích hợp Cabri
hay khơng?
5.

Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu: tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu:
• Phân tích chương trình, phân tích SGK, SBT, SGV Tốn lớp 7 (2001): phân
tích quan hệ thể chế, tìm các tở chức Tốn học liên quan đến HHGN–
HHSD và sự chuyển tiếp. Từ đó hình thành các giả thuyết và hợp đồng
(nếu có).
• Tìm hiểu Cabri II Plus: cách thao tác thực hiện, đặc điểm nổi bật của Cabri,
tìm và phân tích các kiểu nhiệm vụ có thể khai thác khi dùng kết hợp Cabri.
Từ đó thiết kế một tình huống dẫn nhập chứng minh hình học.
• Thực nghiệm:


Thực nghiệm 1: kiểm chứng giả thuyết và các hợp đồng được đưa ra



Thực nghiệm 2: dùng chức năng tương tác của Cabri để điều chỉnh

mối quan hệ cá nhân của HS và một tính chất
6.

Tổ chức luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương:
Phần mở đầu, gồm: những ghi nhận ban đầu, các câu hỏi xuất phát, phạm vi lý

thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên
cứu và cấu trúc của luận văn.
Chương 1 nhằm tìm hiểu các khái niệm, các con đường suy luận, chứng minh;
đồng thời tìm hiểu về hình hình vẽ và hình hình học. Từ đó, để nhận thấy chương
trình dạy học lớp 7 tiếp cận chứng minh như thế nào.


7

Chương 2 nhằm trả lời cho Q1, Q2. Qua đó, chúng tôi xây dựng các quy tắc
hợp đồng và giả thuyết nghiên cứu
Chương 3 nhằm trả lời cho Q3


8

Chương 1: PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM SUY LUẬN, CHỨNG MINH
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC
1.1. Khái niệm “dẫn nhập” trong luận văn
1.1.1. Dẫn nhập chứng minh hình học là gì?
Trong luận văn của chúng tơi, dẫn nhập được hiểu là hoạt động hình
thành cho HS các kỹ năng: tự khám phá, tự dự đốn, tự tìm hướng chứng minh
một tính chất và tự đánh giá kết quả.
1.1.2. Những yêu cầu của một tình huống dẫn nhập
Một tình huống có vai trò dẫn nhập cần đạt được những yêu cầu sau:
•

Xây dựng được pha dự đốn một cách hiệu quả: HS dựa trên những

ghi nhận thực nghiệm để đưa ra một phát biểu mang tính phỏng đốn; những
phát biểu này phải tạo ra sự nghi ngờ khiến HS đứng trước một tình huống
lưỡng lự.
•

Tạo ra các gợi ý định hướng cho việc “phê phán” dự đoán cũng như

cho việc hợp thức hóa dự đốn đúng bằng chứng minh.
•

Nảy sinh hoạt động suy luận như một nhu cầu thiết yếu trong chứng

minh hình học
1.2. Khái niệm suy luận và chứng minh trong việc dạy học Toán ở cấp THCS
1.2.1. Suy luận
Theo nghiên cứu của tác giả Hồng Chúng trong [21] thì:
•

Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có
Suy luận
Mệnh đề cũ
Mệnh đề mới
(Tiền đề)

•

(Kết luận)

Ở cấp THCS, có hai kiểu suy luận sau:
o Suy luận diễn dịch (suy diễn): là suy luận theo những quy tắc tổng

quát, xác định rằng nếu tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.


9

Những quy tắc suy luận thường xuất hiện: quy tắc kết luận

quy tắc kết luận ngược

P ⇒ Q, P
;
Q

P ⇒ Q, Q ⇒ R
P ⇒ Q, Q
; quy tắc bắc cầu
;
P⇒R
P

phép quy nạp hoàn toàn
o Suy luận nghe có lý: là suy luận không theo một quy tắc tổng quát
nào. Các tiền đề dù đúng thì kết luận được rút ra cũng không chắc đúng.
Kết luận của kiểu suy luận này chỉ mang tính dự đốn. Suy luận nghe có
lý xuất hiện ở phép quy nạp khơng hồn tồn và phép tương tự.
1.2.2. Chứng minh:
Ở cấp đợ khoa học Tốn học: Chứng minh là một phép suy luận để thiết

lập sự đúng hay sai của mợt khẳng định (phán đốn, mệnh đề, định lý) [22,
trang ]. Còn theo tác giả Hoàng Chúng [21, trang 100], chứng minh mệnh đề B
là nêu rõ rằng: B là kết luận logic của những tiền đề và những tiền đề đó đều
đúng. Như vậy ở cấp THCS, việc chứng minh là nhằm có được một kết luận
đúng. Cũng theo ơng, đó là cách chứng minh trực tiếp, ngồi ra còn có các cách
chứng minh gián tiếp sau: bác bỏ (nghĩa là xác định mệnh đề đó là sai), chứng
minh phản chứng (nghĩa là bác bỏ mệnh đề phủ định của mệnh đề cần chứng
minh)
1.3. Đặc trưng suy luận và chứng minh ở THCS:
• Quan điểm tiên đề đã bị loại bỏ. Mục tiêu chủ yếu của dạy học Tốn Hình
học ở trường THCS vẫn là rèn luyện khả năng suy luận và chứng minh, tuy nhiên vị
trí của suy luận và chứng minh bị thu hẹp ở lớp 6, 7 và mở rộng dần ra từ lớp 7 đến
lớp 9. Cụ thể là phần bài tập lớp 6 bắt đầu có những suy luận đơn giản (1 đến 3
bước) và gắn liền với số đo. Từ lớp 7 trở đi, các suy luận dài hơn được trình bày (tối
đa là 9 bước) và hầu hết các định lý đều được chứng minh, các thuật ngữ “tính
chất”, “định lý”, “chứng minh” xuất hiện một cách chính thức và xuyên suốt, mức
độ phức tạp của chứng minh tăng dần theo cấp lớp


10

• Quan điểm thực nghiệm-suy luận bắt đầu được đưa vào chính thức, bắt đầu
ở bài “Hai góc đối đỉnh” trong hình học lớp 7, tuy nhiên việc vận dụng quan điểm
này trong chương trình còn chưa triệt để. Pha dự đốn xuất hiện đóng vai trò quan
trọng trong việc nối khớp giữa thực hành và lý thuyết, nhưng lại chưa tạo được sự
bấp bênh nên chưa làm cho HS thấy được vai trò thực sự của suy luận. Hơn nữa
nhiều tính chất được SGK khẳng định ngay sau hoạt động dự đoán và trước hoạt
động suy luận, “điều này thể hiện các tính chất này đã được hợp thức bởi kết quả
thực nghiệm” [16, trang 74]. Như vậy HS càng chưa thấy được nhu cầu nảy sinh
suy luận để hợp thức các phỏng đốn.

• Các hoạt động tiếp cận Suy luận và chứng minh cũng được chương trình
đặc biệt quan tâm, nhất là giai đoạn lớp 7:
o Hoạt động thực nghiệm
o Hoạt động tập suy luận
o Hoạt động ngôn ngữ
o Hoạt động liên quan trực tiếp đến định lý và chứng minh định lý
o Hoạt động điền vào chỗ trống
1.4. Kết ḷn
Qua phần phân tích trên, chúng tơi rút ra được các nhận xét sau:
• Suy luận diễn dịch và chứng minh nhằm hợp thức các kết luận đúng, trong
khi suy luận nghe có lý lại gắn với một kết luận mang tính phỏng đốn. Vậy hai
kiểu suy luận trên tồn tại và có mối quan hệ như thế nào trong hình học 7? Để phù
hợp với sự phát triển của HS lớp 7 thì những hình thức chứng minh nào (hoặc
những hình thức tập dượt chứng minh nào) được lựa chọn vào giảng dạy? Việc bác
bỏ một mệnh đề sai hay nói cách khác là tìm cách phủ định một mệnh đề có được
thể chế quan tâm hay khơng?
• Ở cấp THCS, việc xây dựng hình học thể hiện mối quan hệ biện chứng giữa
hoạt động thực nghiệm và hoạt động suy luận, trong đó pha dự đốn đóng vai trò là
cầu nối giữa hai hoạt động trên. Việc xuất hiện pha dự đoán sau khi tiến hành đo
đạc rồi sau đó là pha suy luận muốn chứng tỏ một thỏa thuận: kết quả đạt được từ


11

thực nghiệm chỉ mang tính phỏng đốn, có thể đúng có thể sai, phải dùng suy luận
để hợp thức dự đốn, từ đó hình thành nên các tính chất.
Như vậy, trong chương trình lớp 7 hiện hành, quan điểm thực nghiệm – suy luận
hiện diện như thế nào trong việc xây dựng các tính chất, nói cách khác là các tính
chất được ra đời theo những kiểu tiến trình nào, trong đó pha dự đốn có tác dụng
gì?

12

Chương 2: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “DẪN NHẬP
CHỨNG MINH HÌNH HỌC”
2.1. Các kiểu suy luận và chứng minh trong hình học 7
• Suy luận diễn dịch: là kiểu suy luận chính được trình bày trong chương trình
lớp 7. Do sự chuyển đổi sư phạm nên trong phạm vi giảng dạy, khái niệm
“Định lý” được hiểu là những mệnh đề đã được chứng minh là đúng. Vì vậy,
kiểu suy luận hợp logic này chiếm vị trí quan trọng trong việc học định lý và
rèn luyện kỹ năng chứng minh cho HS.
Ví dụ:
Tiền đề 1: Nếu hai góc là đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau
Tiền đề 2: A và góc B đối đỉnh
Kết luận: µ = B
A µ
Gọi P là mệnh đề “hai góc là đối đỉnh”
Q là mệnh đề “hai góc bằng nhau”
Khi đó, suy luận theo cấu trúc:

Tiền đề 1: P ⇒ Q
Tiền đề 2:
Kết luận:

Suy luận này theo quy tắc

P
Q

P ⇒ Q, P
Q

• Suy luận nghe có lý: xuất hiện chủ yếu trong quá trình xây dựng một tính
chất, nhằm mục đích tạo ra các dự đốn. Trong đó, hiện diện hình thức của
phép quy nạp khơng hồn tồn, tức là tính chất rút ra từ một hình, một suy
luận trên số đo cụ thể mà khái quát thành dự đoán cho một lớp các hình.
• Chứng minh: là hoạt động quan trọng và phở biến trong chương trình
• Bác bỏ: có xuất hiện nhưng chỉ đúng 2 lần trong phần bài tập: bài 8 [9, trang
83] và bài 12 [9, trang 86]. Kiểu suy luận này theo chúng tơi là nhẳm mục
đích giới thiệu một số mệnh đề sai, qua đó dạy cho HS cách bác bỏ một
mệnh đề sai.


13

Sự thiên lệch về số lượng xuất hiện của hai kiểu chứng minh trên đã tác động lên
thói quen suy luận của HS ở chỗ: HS không được làm quen với mệnh đề phủ định
mà chỉ tìm cách để khẳng định mệnh đề, HS chưa có kỹ năng bác bỏ mệnh đề sai.
2.2. Quy trình hợp thức tính chất hình học ở lớp 7
SGK 7 hiện hành tuy không phải xây dựng hoàn toàn theo quan điểm thực
nghiệm nhưng rõ ràng yếu tố thực nghiệm đã được tính đến. Đặc biệt “các kiến
thức hình học được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và suy diễn” [11,
trang 8]. Cụ thể chúng tôi ghi nhận được việc dạy học các tính chất ở lớp 7 diễn ra
theo các kiểu như sau:
Kiểu 1: HS tiếp cận với tính chất thơng qua hoạt động gồm các pha
thực nghiệm – dự đoán – suy luận – khẳng định tính chất
Ví dụ: Tính chất của hai góc đối đỉnh (SGK tốn 7 tập 1 trang 81)
?3 Xem hình 1:
a) Hãy đo góc O1, góc O3. So sánh số đo hai góc đó.

b) Hãy đo góc O2, góc O4. So sánh số đo hai góc đó.
c) Dự đoán kết quả rút ra từ câu a), b).
à ả
Tp suy lun: Xem hỡnh 1. Khụng o, co th suy ra c: O1 = O3 hay
khụng?
à
ả
Vỡ O1 v O2 k bự nờn

à ả
O1 + O2 = 1800

(1)

ả
ả
Vỡ O3 và O2 kề bù nên

¶
¶
O3 + O2 = 1800

(2)

So sỏnh (1) v (2) ta co

à ả
ả
ả
O1 + O2 = O3 + O2 . (3)

T (3), suy ra:

à ả
O1 = O3

Ta có tính chất sau:
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Nhận xét
•

Việc dạy học tính chất theo các pha trên thuộc về tiến trình Thực

nghiệm/Suy luận, trong đó nghiên cứu thực nghiệm và nghiên cứu lý thuyết có mối
quan hệ biện chứng [22]. Tiến trình này thể hiện một quá trình hình thành và phát


14

triển của một định lý, trong đó pha dự đốn đóng vai trò là cầu nối từ hoạt động
thực nghiệm hoạt động suy luận.
Yếu tố dẫn nhập được khai thác rất hiệu quả nếu việc dạy học định lý được thực
hiện theo tiến trình này: HS tiến hành quan sát, thực nghiệm; tự khám phá và đưa
ra các dự đoán; tự mò mẫm tính đúng sai của dự đốn; tự tìm tòi phương hướng
chứng minh; thể chế hóa, khái qt hóa định lý.
•

Việc đưa vào tiến trình này có tác động khá tích cực:
o Đặt HS vào một quy trình đúng của nghiên cứu khoa học. Một tính chất

xuất hiện một cách hệ thống và chặt chẽ (không phải do chủ quan của một ai tự
nghĩ ra)
o Thực nghiệm chỉ khẳng định được dự đoán trong một hoặc một số hình
vẽ cụ thể nào đó nhưng khơng thể kiểm nghiệm được dự đốn có đúng cho tất cả
các hình khơng. Thực nghiệm là khâu đầu tiên và đóng vai trò hỗ trợ cho HS
đưa ra các phỏng đoán.
o Các dự đốn muốn được hợp thức hóa thì bắt buộc phải qua suy luận
bằng các cơng cụ lý thuyết.
•

Tuy nhiên tình huống sử dụng tiến trình này trong SGK khơng

được như mong đợi, ý nghĩa pha dự đoán của hai định lý chưa thực sự được bộc lộ:
o Chưa gây nghi ngờ, do dó nhu cầu “hợp thức hóa kết quả bằng suy luận”
vẫn chưa cần thiết
o Lý do cho sự xuất hiện của suy luận ở đây là “theo yêu cầu đề tốn” hoặc
nhằm mục đích “Suy luận để có khẳng định đúng và tởng qt”
o Kết quả dự đốn dễ dàng, từ đó tạo thói quen đưa ra dự đốn chỉ căn cứ
vào một hình
Kiểu 2: HS tiếp cận với tính chất thơng qua hoạt động gồm các pha
thực nghiệm – dự đoán – khẳng định tính chất – suy luận
(khác với kiểu 1 ở thứ tự các pha)
Ví dụ: Tởng ba góc của mợt tam giác (SGK tốn 7 tập 1 trang 106)


15

?1 Vẽ hai tam giác bất kì, dùng thước đo góc đo ba góc của mỗi tam giác rồi
tính tởng số đo ba góc của mỗi tam giác.
Có nhận xét gì về các kết quả trên?

A

C

B

?2 Thực hành: Cắt mợt tấm bìa hình tam giác ABC. Cắt rời góc B ra rồi đặt
nó kề với góc A, cắt rời góc C ra rồi đặt nó kề với góc A như hình 43.
Hãy nêu dự đốn về tởng các góc A, B, C của tam giác ABC.
Ta có định lí sau:
Phiên ban thu nghiem - Khơng của một tamtrongbằnghoc.0
Tổng ba góc duoc dùng giác lop 180
A
1

x

2

y

C

B

GT
∆ABC
µ + B + C = 1800
KL
A µ µ

Chứng minh:
Qua A kẻ đường thẳng xy song song với BIếN Cớ (hình bên)
xy // BC

⇒

µ A
B = µ1 (1)

(hai góc so le trong)

xy // BC

⇒

µ A
C = ¶ 2 (2)

(hai góc so le trong)

Từ (1) và (2) suy ra:
·
µ µ ·
BAC + B + C = BAC + à1 + ả 2 = 1800
A A
Nhõn xột:


16

Theo chúng tơi, tiến trình này khơng tạo ra tình huống gây nghi ngờ cho HS, HS
dự đốn nhưng tính đúng sai của dự đoán lại được khẳng định ngay sau đó, HS chỉ
có nhiệm vụ là suy luận. Như vậy pha dự đốn ở đây chỉ mang tính hình thức, pha
suy luận chưa thực sự là nhu cầu của HS. Điều này càng rõ hơn khi đa số các pha
dự đoán trong SGK đều xuất hiện chỉ sau khi thực nghiệm trên một hình (chủ yếu là
hình được SGK cung cấp). Nhưng dù vậy, kiểu 1, kiểu 2 cũng đã vẽ ra bước chuyển
tiếp từ HHGN sang HHSD.
Kiểu 3: HS tiếp cận với tính chất thơng qua hoạt động gồm các pha
thực nghiệm – dự đoán – khẳng định tính chất
Ví dụ: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
(SGK toán 7 tập 2 trang 65)
a) Thực hành:
Thực hành 1: Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm
một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện. Bằng
cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.
?2 Quan sát tam giác vừa cắt (trên đó đã vẽ ba đường trung tuyến). Cho
biết: Ba đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua một điểm
hay khơng?
Thực hành 2:
• Trên mảnh giấy kẻ ơ vng mỗi chiều 10 ơ, em hãy đếm dịng, đánh dấu
các đỉnh A, B, C rồi vẽ tam giác ABC như hình 22.
• Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF. Hai trung tuyến này cắt nhau tại G.
Tia AG cắt cạnh BC tại D.


17

?3 Dựa vào hình, hãy cho biết:
• AD có là đường trung tuyến của tam giác ABC hay khơng?
• Các tỉ sớ

AG BG CG
,
,
bằng bao nhiêu?
AD BE CF

b) Tính chất:
Người ta đã chứng minh được định lí sau về tính chất ba đường trung
tuyến của mợt tam giác.
Định lí:
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm
đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng

2
độ dài đường trung tuyến đi qua
3

đỉnh ấy.
Nhận xét:
Do yêu cầu cải cách cho phù hợp với khả năng tiếp thu của HS lớp 7 nên một số
chứng minh đã được lược bỏ. Nhưng đa số các tính chất kiểu này đều được viết “ta
đã chứng minh được”, “HS tự chứng minh”, “từ các định lý, ta suy ra”; điều này
cho thấy ý đồ của SGK: thông qua thực nghiệm để HS đưa ra dự đốn và phát biểu
thành tính chất, và tính chất đó đã được người ta dùng “suy luận” để khẳng định,
nhưng do tính phức tạp nên khơng trình bày ra. Việc đưa vào tiến trình này cung
cấp cho HS những tính chất có ý nghĩa lớn trong hình học (ví dụ: định lý Pytago)
nhưng vẫn đảm bảo tính cải cách và yêu cầu về việc tiếp cận với HHSD.
Kiểu 4: HS tiếp cận với tính chất thơng qua hoạt động gồm các pha
suy luận – khẳng định tính chất (hoặc khẳng định tính chất – suy luận)

Ví dụ: quan hệ giữa đường vng góc và đường xiên (SGK tốn 7 tập 2 trang 58)
?2 Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được bao
nhiêu đường vuông góc và bao nhiêu đường xiên đến đường thẳng d?
So sánh đường vuông góc và các đường xiên, ta có định lí sau:
Định lí 1:


18

Trong các đường xiên và đường vng góc kẻ từ một điểm ở ngồi một
đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc là đường ngắn nhất.
Cụ thể, từ mợt điểm A không nằm trên d, kẻ đường vuông góc AH và một
Phiên ban xiên nghiemý đến đường thẳng d trong lop AB
đường thu AB tùy - Không duoc dùng thì AH < hoc.
A

d

B

H

A∉ d
GT

AH là đường vng góc

AB là đường xiên
KL
AH < AB

Chứng minh:
Xét tam giác AHB vuông tại H. Theo nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam
giác vng, ta có AH < AB.
Nhận xét:
Pha dự đốn khơng xuất hiện, nên khơng đặt HS trước tình huống phải tìm tòi,
phải khám phá; các tính chất và việc chứng minh các tính chất đó được đưa vào một
cách gượng ép. Bước chuyển tiếp chưa được thực hiện.
Tiến trình này có thể được khắc phục nếu có sự kết hợp của các phần mềm
hình học động. Nhờ vào đặc tính của phần mềm là đảm bảo được các yếu tố bất
biến của hình nên khi hình được di chuyển, các tính chất sẽ được nhận ra thơng qua
việc quan sát. HS sẽ tránh được sự gượng ép khi phải thừa nhận tính chất mà SGK
đưa ra và yêu cầu HS suy luận bằng việc quan sát 1 hình cố định. Như vậy bước
chuyển tiếp đã ngầm xuất hiện. Tuy nhiên, cần phải nhấn mạnh cho HS thấy phần
mềm mang tính hỗ trợ, các tính chất được rút ra cũng chỉ mang cơ chế phỏng đoán
và chỉ được khẳng định khi cơng việc “suy luận” thành cơng
Kiểu 5: Tính chất được SGK công nhận


19

Ví dụ: Tiên đề Ơ-clit (SGK toán 7 tập 1, trang 92)
Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a. Ta đã biết cách vẽ đường thẳng b đi
qua M sao cho b//a.
Vấn đề đặt ra là có bao nhiêu đường thẳng b đi qua M và b//a?
Chúng ta thừa nhận tính chất sau mang tên “Tiên đề Ơ-clit”:
Qua mợt điểm ở ngồi mợt đường thẳng chỉ có mợt đường thẳng song song

Phiên ban thu nghiem - Không duoc dùng trong lop hoc.
với đường thẳng đó.
M

b

a
Hình: Điểm M nằm ngồi đường thẳng a,
đường thẳng b đi qua M và song song với a là duy nhất.

Thống kê các kiểu tiến trình dạy học định lý trong SGK Toán 7
Kiểu 1
2

Kiểu 2
8

Kiểu 3
10

Kiểu 4
14

Kiểu 5
3

Nhận xét chung:
•

Có 54% định lý trong SGK được xây dựng trong đó có hoạt động

dự đốn, 46% còn lại là các định lý được công nhận hoặc có được như là kết quả
của một q trình suy luận. rõ ràng, thể chế đã có sự quan tâm đến tiến trình dạy

học theo quan điểm kết hợp thực nghiệm và suy luận.
•

Tuy nhiên, chúng tơi cũng nhận thấy một số đặc điểm sau:
o 100% dự đốn được hình thành bằng việc trả lời các câu hỏi có định

hướng chẳng hạn: “dự đoán xem a và b có song song với nhau khơng?” hoặc
µ µ µ µ µ µ
“quan sát và dự đoán xem ta có trường hợp nào sau đây: B = C ; B > C ; B < C

?” hoặc “cho biết ba đường trung tuyến của tam giác có cùng đi qua một điểm
không?”


20

o Các câu hỏi định hướng thường xuất hiện ở dạng “có hay khơng” (53%)
và tất cả câu trả lời là “có”. Hơn nữa những tính chất và các kết luận cần chứng
minh đều là các mệnh đề khẳng định. Điều này khiến HS có thói quen tìm cách
khẳng định mệnh đề, mà khơng có cơ hội làm việc với các phát biểu mang tính
phủ định kiểu “a và b khơng song song”
o Có 59% dự đốn được hình thành dựa trên một hình vẽ in chính xác hoặc
gấp hình theo một hình in có sẵn (dĩ nhiên là theo các câu hỏi gợi ý và hướng
vào điều mà SGK mong muốn). Các dự đốn được tạo ra ln khớp với hình vẽ
đã được cung cấp và tất cả dự đốn đều được khái qt thành tính chất sau đó.
Với HS những hình vẽ được cho sẵn ln là những hình vẽ đúng, là cơ sở để
hình thành nên các dự đốn. Như vậy, pha dự đốn khơng mang tính bấp bênh;
mặt khác HS sẽ gặp khó khăn khi phải tự đưa ra các dự đốn. Ngồi ra theo
chúng tơi nếu gặp một hình vẽ tay (có thể đúng có thể sai) thì HS sẽ vẫn hành
động như đối với một hình vẽ in.

o 10% định lý có dùng suy luận sau pha dự đoán, tuy nhiên các dự đoán
trong q trình xây dựng các định lý này khơng tạo ra bất kỳ một nghi ngờ nào ở
HS (vd: vẽ và hai góc đối đỉnh thì kết quả hai góc đó bằng nhau là điều HS dễ
dàng nhận ra, khơng một chút đắn đo nào). Vì vậy, pha suy luận ở đây khơng
nhằm mục đích phê phán dự đốn (kiểm chứng xem dự đốn đúng hay sai) mà
chỉ có tác dụng là hợp thức tính đúng đắn của dự đốn trước khi khái quát thành
tính chất.
o 40% định lý được xây dựng theo trình tự: dự đốn – khẳng định –suy
luận, như vậy suy luận lại một lần nữa được đưa vào nhằm mục đích hợp thức
khẳng định đã có bằng công cụ lý thuyết.
o 50% định lý không dùng đến suy luận mà đa phần là do yêu cầu giảm tải
những chứng minh phức tạp của chương trình.
Tóm lại, hoạt động dự đoán đã bắt đầu được xây dựng nhưng còn chưa hiệu quả,
đồng thời vai trò của suy luận cũng chưa được bộc lộ rõ ràng trong chương trình
lớp 7