SỬ DỤNG CÁC CẶP TAM GIÁC BẰNG NHAU TRONG HÌNH THANG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

1
SỬ DỤNG CÁC CẶP TAM GIÁC BẰNG NHAU TRONG HÌNH THANG ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
(Trịnh Thị Ánh Tuyết –P.HT Trường TH Bắc Hà,TP Hà Tĩnh)

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giải toán nhằm tích lũy chuyên môn, nâng cao kiến thức, tôi
thấy một điều rất thú vị. Đó là, có thể vận dụng linh hoạt các cặp tam giác có diện tích
bằng nhau do hai đường chéo của hình thang tạo ra để giải các bài toán hình học. Tuy
nhiên để sử dụng thành thạo kiến thức đó nhằm giải một số bài toán khó hoặc lạ là
điều không đơn giản. Bởi rất khó có thể nêu lên cách giải tổng quát. Vì vậy, tôi đã lựa
chọn một số bài toán theo mức độ từ dễ đến khó. Qua mỗi ví dụ, tôi mong muốn được
cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp cách giải toán để các bạn có thể tham khảo. Hi
vọng rằng các bạn có thể rút ra được những nhận xét quan trọng để vận dụng có hiệu
quả khi giải toán. Đó chính là lí do tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng các
cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang để giải các bài toán hình học”.
2) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Chương trình toán lớp 5.
- Sách giáo khoa môn toán lớp 5.
- Sách tham khảo môn toán lớp 5.
- HS khá giỏi lớp 5.
3) Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
Giúp học sinh nắm được một số kiến thức về hình học, biết vận dụng các cặp
tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang nhằm tìm các mối quan hệ để giải
toán.
4) Xây dựng giả thiết nghiên cứu
Nếu sử dụng tốt kinh nghiệm này sẽ góp phần nâng cao chất lượng học sinh
giỏi môn toán, cụ thể là mảng kiến thức về hình học.
5) Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra, khảo sát.
- Phương pháp tư duy lôgic.
- Phương pháp qui nạp toán học.

2
6) Đóng góp về mặt khoa học của đề tài
- Giúp học sinh biết vận dụng các cặp tam giác có diện tích bằng nhau để tìm
ra các mối quan hệ nhằm giải các bài toán hình học đạt kết quả tốt.
- Rèn cho học sinh cách tư duy, cách học để chiếm lĩnh kiến thức.
- Làm cho học sinh say mê, yêu thích môn toán.
II. PHẦN NỘI DUNG
1) Cơ sở khoa học
- Từ việc phát hiện các cặp tam giác có diện tích bằng nhau có mối quan hệ với
diện tích một số hình, tìm ra hướng giải toán.
- Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm tòi, khám phá, mở rộng kiến thức của học
sinh.
- Kiến thức nâng cao được xây dựng dựa trên kiến thức cơ bản mà học sinh đã
được học.
- Từ việc vận dụng kiến thức giải các bài toán từ dễ đến khó, học sinh sẽ biết
cách tư duy để nâng cao kiến thức.
- Trong quá trình dạy toán, nếu người giáo viên nắm chắc kiến thức, biết phát
hiện nhanh các dữ kiện của bài toán, biết vận dụng kiến thức tốt sẽ giúp học sinh có
cách tư duy khoa học, giải quyết nhanh các yêu cầu mà bài toán đưa ra.
2) Thực trạng
Chương trình chính khoá của học sinh lớp 5 chỉ được học về cách tính diện tích
hình tam giác, hình thang, diện tích, thể tích một số hình,… và chỉ vận dụng các công
thức đó vào giải các bài tập đơn giản SGK. Để vận dụng kiến thức đó vào giải toán
khó phần hình học, học sinh còn gặp khó khăn, khó tìm ra cách giải hoặc biết giải
nhưng trình bày chưa chặt chẽ, chưa lôgic.
Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy một số nguyên nhân sau:

2.1. Về phía giáo viên
- Nhìn chung giáo viên chưa chịu khó thực sự tìm tòi, nghiên cứu để tìm hiểu,
phát triển thêm các dạng toán nâng cao.
- Phân phối chương trình buổi 2 có thời lượng rất hạn chế đối với môn luyện
toán (1 tiết/ tuần) đối với lớp 4, 5.
2.2. Về phía học sinh.
- Học sinh còn ngại khó khi gặp các bài toán đòi hỏi sự tư duy cao.

3
- Chưa phát hiện nhanh mối tương quan giữa các dữ kiện của đề ra với yêu cầu
cần giải quyết của bài toán.
- Không nhận diện được các bài toán cần vận dụng mảng kiến thức nào?
- Lúng túng trong phần lập luận, trình bày thiếu chặt chẽ, lô gic.
Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi dã tiến hành kiểm tra 15 phút học
sinh khá giỏi lớp 5A về cách giải bài toán sau:
Bài toán: Cho tam giác ABC. Trên đáy BC lấy 2 điểm P và Q sao cho CP bằng
PQ bằng QN. Từ P kẻ đường thẳng song song với cạnh AC, từ Q kẻ đường thẳng song
song với cạnh AB, chúng cắt nhau tại O. Nối OA, OB, OC.
Hãy chứng tỏ rằng diện tích các tam giác IAC, IAB, IAC bằng nhau và bằng
3
1

diện tích tam giác ABC.
Kết quả thu được như sau:
Điểm giỏi: 20%
Điểm khá: 20%
Điểm TB : 50%
Điểm yếu: 10%
Nhìn chung học sinh lập luận chưa chặt chẽ, cách giải còn lúng túng, trình bày
thiếu khoa học. Chỉ có một số ít em phát hiện ra cách giải, trình bày khá chặt chẽ, còn

lại chỉ tính toán được các phép tính mà có dữ kiện tường minh.
3) Giải pháp
Hệ thống, sắp xếp một số bài toán hình học từ dễ đến khó. Qua mỗi ví dụ, thể
hiện việc sử dụng linh hoạt các cặp tam giác có diện tích bằng nhau để giải các bài
toán khó hình học.
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC có diện tích 600m
2
. Trên AC lấy AC
5
1
IC AD  .Từ D kẻ
đường thẳng song song (//) với AB, từ I kẻ đường thẳng song song với BC chúng cắt nhau
tại E. Nối EA, EB, EC.Tính diện tích các tam giác EAB, EAC và ECB.
( Sách phương pháp giải 50 bộ đề toán 5 chọn lọc-NXBTổng hợpTPHCM)
Phân tích:



4






Trước hết, ta thấy ED // AB, IE // BC. Chúng sẽ tạo ra các hình thang có các cặp
tam giác có diện tích bằng nhau. Mặt khác: S
EAB
+ S

EAC

+S
ECB
= S
ABC.

Vì vậy, nếu tính được S
EAB
và S
ECB
thì tính được S
EAC
( S
EAC
= S
ABC
- S
EAB
-S
EBC
)
Muốn tính S
EAB
ta cần đem so sánh S
EAB
với một tam giác nào đó do ta tạo ra sao cho
tam giác đó có diện tích bằng diện tích tam giác EAB. Như vậy, nếu nối DB, S
ABD=
5

1

S
ABC
(vì đáy AD
=
5
1
AC và có chung chiều cao hạ từ B xuống AC). Mặt khác, khi nối
DB thì DB và AE là hai đường chéo của hình thang ADEB nên S
AEB=
S
ADB =
5
1
S
ABC
.
Tương tự: S
ECB=
5
1
S
ABC
. Từ đó, suy ra S
AEC.

Bài giải:
Vì DE//AB nên ABED là hình thang, suy ra S
DAB

= S
EAB
(vì chung đáy AB và có chiều
cao bằng chiều cao hình thang ABEC).
Mà S
DAB=
5
1
S
ABC=
5
1
.
600 = 120 (m
2
)(vì đáy AD=
5
1
AC và có chung chiều cao hạ
từ B xuống AC). Vậy: S
EAB=
120
m
2
.
Tương tự, vì IE // CB nên IEBC là hình thang => S
IBC
= S
ECB
(vì chung đáy BC

và có chiều cao bằng chiều cao hình thang IEBC).
Mà S
IBC=
5
1
S
ABC=
5
1
.
600
= 120 (m
2)
(vì chúng có đáy IC=
5
1
AC và có chung chiều
cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC).Vậy S
EBC
= 120m
2
.
Như thế S
EAC
= 600- (120 + 120) = 360 (m
2
).
Đáp số: S
ECB
= 120m

2

S
EAB
= 120m
2
S
EAC
= 360m
2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Kéo dài
IB về phía I, lấy điểm D nằm trên đường thẳng BI sao cho ID = IB. Nối AD, DC. Từ I
kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N. Hãy chứng minh rằng: S
ABN
= S
ADCN

(Sách toán nâng cao lớp 5, tập một - NXBGD)
A
●

D
I
C
B
E

5
Phân tích: Vì IB = ID nên S

AIB
= S
AID,
S
CIB
= S
CID
. Do đó S
ADCI
=
2
1
S
ABCD
. Đoạn AN
đã bớt mất S
ADCI
phần S
AIO
nhưng lại thêm S
ADCO
phần S
ONC
.
Nếu S
IAO
= S
OCN
thì S
ABN =

S
ADCN
. Như vậy cần chứng tỏ: S
AIO
= S
OCN
. Mặt khác,
vì IN //AC nên NIAC là hình thang, dó đó: S
AIO
= S
OCN
.
Bài giải:
Vì IN//AC nên NIAC là hình thang =>S
IAN
= S
INC
(chung đáy IN và chiều cao hạ
từ đỉnh A xuống đáy IN bằng chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy IN và bằng chiều cao
hình thang NIAC). Ta có: S
IAN=
S
INC
( Chung đáy IN và chiều cao bằng chiều cao hình
thang NIAC).
Mà: S
IAN
- S
ION
= S

INC
- S
ION
hay S
IAO
= S
NCO
(1)
Mặt khác, S
AIB
= S
AID
(chung chiều cao hạ từ A xuống đáy BD và IB = ID)
S
CIB
= S
CID
(chung chiều cao hạ từ C xuống đáy BD và IB = ID)
Nên: S
AIB
+ S
CIB
= S
AID
+ S
CID

hay
)2(
2

1
S S
ADCIAICB ABCD
S

Ta có: S
ADCI
= S
ADCO
+ S
IAO

S
ADCN
= S
ADCO
+ S
NCO

Mà theo (1) ta có: S
IAO
= S
NCO

=> S
ADCI
= S
ADCN
(3)
Từ (2) và (3) suy ra:

ADCNABNABCDADCN
SShaySS 
2
1


Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Điểm I nằm trong tam giác ABC. Từ I kẻ các
đường thẳng song song với BC, AC, AB lần lượt cắt các cạnh AB, BC, AC tại M, N,
P. Nối AN, CM, BD cắt nhau tại các điểm E, F, K. Chứng tỏ rằng tổng diện tích các
tam giác ENC, FPA, KMB bằng diện tích tam giác EFK
(Sách toán nâng cao lớp 5, tập một – NXBGD)
Phân tích: Ta chú ý rằng IM//BC; IN//AC; IP//AB nên nối IA, IB, IC ta có 3
hình thang: NIAC, IMBC và IPAB. Các hình thang này sẽ tạo ra các cặp tam giác có
diện tích bằng nhau. Đây chính là “mấu chốt” giúp ta giải bài toán.
Xét hình thang IMBC thì: S
MBC
= S
IBC
(chung đáy BC, chiều cao bằng nhau và
bằng chiều cao của hình thang IMBC).
Tương tự, S
NAC
= S
ICA
; S
BAP
= S
IAB

Mà: S
IBC
+ S
ICA
+ S
IAB
= S
MBC
+ S
NAC
+ S
BAP
= S
ABC
Ta thấy: S
ABC
= S
MBC
+ S
NAC
+ S
BAP
. Song thực
tế các tam giác này khi đặt theo vị trí như hình



N
B
A

D
C
I
O

●
●
A


F
●

●

●

●

●

F

K

P
M


6

vẽ thì để thừa tam giác EFK, đồng thời các tam
giác ENC, KMB và FPA mỗi tam giác được tính
2 lần nên thừa ra 1 lần. Do đó, tổng diện tích các
tam giác ENC, FPA, KMB bằng diện tích tam
giác EFK.







Bài giải:
Vì IM//BC nên IMBC là hình thang, suy ra: S
IBC
= S
MBC
(chung đáy BC, chiều
cao bằng nhau và là chiều cao của hình thang IMBC).
Ta cũng có IN // AC nên INCA là hình thang, suy ra: S
IAC
= S
ANC
(chung đáy
BC, chiều cao bằng nhau và là chiều cao của hình thang INCA).
Tương tự, IP//AB nên IPAB là hình thang, suy ra: S
IAB
= S
PBA
(chung đáy AB,

chiều cao bằng nhau và là chiều cao của hình thang IPAB).
Do đó: S
ABC
= S
IBC
+ S
IAC
+ S
IAB
= S
MBC
+ S
NAC
+ S
BAP

Ta thấy các tam giác MBC, NAC, BAP đặt như hình vẽ thì chúng không phủ kín
tam giác ABC mà để thừa tam giác EFK, đồng thời chúng phủ lên các tam giác ENC,
KMB, FPA mỗi tam giác 2 lần.
Vậy: S
EFK
= S
ENC
+ S
KMB
+ S
FPA

Nhận xét:
Qua 3 ví dụ trên ta thấy:

- Nếu một tứ giác có hai cạnh đối diện song song thì ta xét ngay đến các cặp tam giác
có diện tích bằng nhau do 2 đường chéo của hình thang mà tứ giác đó tạo thành.
- Tìm tam giác cần xem xét (chứa trong các cặp tam giác có diện tích bằng nhau
đó)
- Tìm mối tương quan giữa tam giác vừa xem xét với dữ kiện đề bài.
- Giải quyết các yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 438m
2
. Trên BC lấy 2 điểm I và K sao
cho đoạn BI = IK = KC. Từ I kẻ đường thẳng song song với AC. Từ K kẻ đường thẳng
song song với AB, chúng cắt nhau tại Q. Tính diện tích các tam giác AQB; AQC;
BQC
( Đề thi GVG cấp huyện bậc TH tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2001- 2002)

Phân tích:
I

7
Để tính diện tích các hình tam giác theo yêu cầu ta chưa biết về các yếu tố đáy,
chiều cao. Vì vậy để tính diện tích mỗi tam giác đó ta cần dựa vào diện tích tam giác
ABC.
Mặt khác: IQ//AC nên nếu nối AI thì tứ giác IQCA là hình thang và hai tam giác
AQC, CIA chính là một cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang IQCA.
Nên: S
AQC
= S
CIA=
3
2
x

438 = 292 ( m
2
)
Tương tự: S
AQB
= S
AKB =
292 (m
2
)
Như vậy, biết S
AQC,
S
AQB
=> S
ABQC

Từ đó, suy ra S
QBC

Bài giải:
Vì IQ//AC nên IQCA là hình thang do đó:
S
AQC
= S
AIC
(vì chúng có chung đáy AC,
chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao
của hình thang IQCA).Ta có:

S
AIC
=
3
2
x S
ABC









(Vì chúng có đáy IC =
3
2
BC và có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC).
Nên: S
AIC
=
3
2
x 438 = 292 (m
2
). Do đó: S
AQC
= 292 (m

2
) (1)
Vì KQ//AB nên KQBA là hình thang, nên: S
AQB
= S
AKB
(vì chúng có chung đáy
AB, chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang KQBA).
Ta có: S
AKB =
S
AQB =
3
2
x S
ABC =
3
2

x 438 = 292 (m
2
) (2)
(Vì chúng có KB =
3
2
x BC và có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC).
Từ (1) và (2) suy ra: S
ABQC
= 292 x 2 = 584 (m
2

)
Do đó: S
BQC
= 584 – 438 = 146 (m
2
)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC trên AC lấy điểm K sao cho AK < KC. Nối K với B,
từ A kẻ đường thẳng song song với KB cắt BC kéo dài tại D. Trên CD lấy trung điểm
M, nối K với M. Chứng tỏ rằng KM chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng
nhau.
( Tuyển chọn 10 năm toán tuổi thơ của NXBGDVN
A
K
A

B

C

K

I

Q

8

Phân tích:
Do AK < KC nên S
BAK
< S
BCK
Nếu ta bù cho tam giác BKC một tam giác có diện tích bằng diện tích tam giác
BAK sao cho tam giác đó có 2 đỉnh là B và K, đỉnh thứ ba nằm trên BC kéo dài về
phía B thì được S
ABC
= S
KDC

Do MD = MC nên:
S
MCK
= S
MKD
=
2
1
x S
KDC
=
2
1
x S
ABC

Bài giải:
Vì BK//AD nên KBDA là hình thang, do đó: S
AKB
= S
DBK
(Vì hai tam giác đó
chung đáy BK, chiều cao của chúng bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang
KBDA).
Do đó: S
KMD
= S
KBD
+S
KBM
= S
KBA
+ S
KBM
= S
ABMK

Mặt khác: S
KMD
= S
KMC

(Vì 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ K xuống đáy DC và đáy MD = MC)
Vậy S
ABMK
= S

KMC
hay KM chia hình tam giác ABC thành 2 phần có diện tích
bằng nhau.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho đoạn AM nhỏ
hơn đoạn MC. Hãy tìm điểm N trên cạnh BC của tam giác sao cho khi nối MN thì
đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau
(Sách toán nâng cao lớp 5, tập hai- NXBGD)
Để xác định được vị trí điểm N nằm trên cạnh BC ta có các cách giải khác nhau:
Cách 1:
Phân tích:
Nối MB thì S
BAM
< S
BMC
vì MA < CM. Lấy trung điểm I của AC, nối IB thì IB
chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Vậy cần bù cho tam giác

9
BAM một phần diện tích bằng diện tích tam giác BMI. Từ I kẻ đường thẳng song song
với MB cắt cạnh BC tại N. Nối MN thì đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần
có diện tích bằng nhau.

Bài giải:
Lấy I là trung điểm của AC. Nối IB,
ta có: S
BAI
= S
BIC
(Vì 2 tam giác có chung
chiều cao hạ từ B xuống AC và đáy IC =

IA). Nối MB. Từ I kẻ đường thẳng song
song với MB cắt BC tại N ta có NIMB là
hình thang.









Do: S
BAI
= S
BAM
+ S
BMI
=
2
1
S
ABC

S
AMNB
= S
BAM
+ S
BMN.

Mà S
BMI
= S
MBN
( Vì 2 tam giác có chung đáy MB, chiều cao bằng nhau và bằng
chiều cao của hình thang NIMB).


Do đó: S
BAI
= S
AMNB
=
2
1
S
ABC
hay đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần
có diện tích bằng nhau
Cách 2:
Phân tích:
Nối MB thì S
BAM
< S
BMC
vì MA < CM. Nếu ta bù cho tam giác BMC một tam
giác có diện tích bằng diện tích tam giác BAM sao cho tam giác đó có hai đỉnh là B và
M, đỉnh thứ ba nằm trên BC kéo dài về phía B để được
S

ABC
= S
MCB
,
.

Muốn vậy, từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt CB kéo dài
về phía B tại

B
’
thì ta có S
ABC
= S
MCB
,
.

Lấy trung điểm N của CB
’
, nối MN thì đoạn
MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài giải:
Từ A, kẻ đường thẳng song song với MB cắt cạnh BC kéo dài về phía B tại B
’
.
Nối MB
’
, ta có MBB
’

A là hình thang. Lấy trung điểm N của CB
’
, nối MN.
Ta có S
ABC
= S
MCB
+ S
BAM .
S
MCB
,

= S
MCB
+ S
BMB
,

C

B

A

M

N

I

10

Mà S
BMB
’
= S
BAM
( Vì 2 tam giác có chung đáy MB, chiều cao bằng nhau và bằng
chiều cao của hình thang AMBB
’
).

Nên S
ABC
= S
MCB
,
.
Mặt khác S
MNC
=

2
1

S
MCB
’

( Vì 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M và đáy
NC =
2
1
B
’
C).

Do đó S
MNC
=

2
1

S
MCB
’
=

2
1

S
ABC
hay đoạn MN chia tam giác ABC
thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC. Điểm M trên AC. Hãy tìm điểm N trên cạnh AB hoặc
BC, sao cho khi nối MN thì đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích

bằng nhau.
(Sách toán nâng cao lớp 5, tập hai- NXBGD)
Bài toán này khó nhất so với 6 bài toán trên vì chưa biết điểm N nằm trên cạnh
nào? Hơn nữa cũng không có dữ kiện về diện tích tam giác ABC hay tỉ số của MA và
MC. Để xác định được vị trí điểm N nằm trên cạnh nào của tam giác ABC ta cần xét
các trường hợp sau:
a) Trường hợp thứ nhất: MA = MC. Khi đó điểm N trùng với đỉnh B






Ta có:
S
ABM
= S
MCB
( Vì 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy MA =MC).


Hay S
ANM
= S
MNC
( Do điểm N trùng với đỉnh B)

A
B’
C

M
N
B
A
B
C
M

11

Khi đó MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
b)Trường hợp thứ hai: MA < MC ( Giải tương tự ví dụ 6)
c)Trường hợp thứ ba: MA>MC
Cách 1:
Phân tích:
Lấy I là trung điểm của AC. Do MA > MC.
Nên I nằm trên đoạn MA. Nối IB, ta có:
S
BAI
= S
BIC
.
Do đó, ta phải bù cho tam giác BMC diện tích một tam giác khác (MNB) sao
cho : S
tam giác bù
= S
BIM
. Mặt khác, tam giác bù đó (BMN) phải có hai đỉnh M và N,
đỉnh thứ ba là B và N phải nằm trên AB.Giả sử ta tìm được điểm N đó nằm trên AB
sao cho S

BMN
= S
BIM
( như hình vẽ trên). Vậy nếu tứ giác BMIN là hình thang thì
điểm N chính là điểm thứ tư của hình thang đó và lúc đó IN song song với BM.
Bài giải:
Lấy I là trung điểm của AC. Nối BI, ta có: S
BAI
= S
BIC
( Vì hai tam giác chung
chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy IA = IC) hay S
BIC
=
2
1
S
ABC .

Từ I kẻ đường thẳng song song với MB cắt AB tại N, tứ giác BMIN là hình
thang. Ta có: S
BIC
= S
BMC
+ S
BIM

S
MNBC
= S

BMC
+ S
BMN

Mà S
BIM
= S
BMN
( Vì 2 tam giác có chung đáy MB, chiều cao bằng nhau và bằng
chiều cao của hình thang BMIN). Do đó: S
BIC
= S
MNBC
=
2
1
S
ABC
hay đoạn MN chia
tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Cách 2:
Phân tích:
Nối MB thì S
BAM
> S
BMC
vì MA > CM. Nếu ta bù cho tam giác BAM một tam giác có
diện tích bằng diện tích tam giác BMC sao cho tam giác đó có hai đỉnh là B và M,
đỉnh thứ ba nằm trên AB kéo dài về phía B để được S
ABC

= S
AMB
,
.

Muốn vậy, từ C kẻ
đường thẳng song song với MB cắt AB kéo dài về phía B tại

B
’
thì ta có S
ABC
= S
AMB
,
.

Lấy trung điểm N của AB
’
, nối MN thì đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần có
diện tích bằng nhau.


C
A
M
I
A

M

B

N

C

B

A

M

N

I


12




B
’

Bài giải:
Nối BM, từ C kẻ đường thẳng song song MB cắt AB kéo dài về phía B tại B’

Ta có, tứ giác MBB’C là hình thang, do đó S

BMB’
= S
MBC
(Vì 2 tam giác có chung
đáy MB, chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang MBB’C).
Vì MC< MA, nên S
MBC
< S
BAM
=> S
BMB’
< S
BAM
, do đó BB’

< AB.
Mặt khác, S
MB’A
= S
ABC
. Lấy điểm N là trung điểm của B’A thì N nằm trên AB
vì BB’< AB
Nối MN ta có: S
MAN =
2
1

S
MAB’=
2

1
S
ABC
hay S
MAN
= S
MNBC
. Tức là MN chia tam
giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Ví dụ 8: Cho tứ giác ABCD. Hãy tìm điểm N trên cạnh của tứ giác ABCD sao cho khi nối
BN thì đoạn BN chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
(Sách toán nâng cao lớp 5, tập II – NXBGD)

Nối BN, có 3 trường hợp xảy ra:

1. S
BAD
= S
BCD

2. S
BAD
< S
BCD

3. S
BAD
> S
BCD
a)Trường hợp thứ nhất: S

BAD
= S
BCD

Khi S
BAD
= S
BCD
thì điểm N trùng với đỉnh D.
b)Trường hợp thứ hai: S
BAD
< S
BCD

Phân tích: Nếu S
BAD
< S
BCD
thì ta bù cho tam giác BCD một tam giác có diện
tích bằng diện tích tam giác BAD.Lúc này:
S
BCD
+ S
tam giác bù
= S
BCD
+ S
BAD
= S
ABCD

D
A
B
C

13


Trong đó, tam giác bù có 2 đỉnh B và
D, đỉnh thứ 3 nằm trên CD kéo dài về
phía D.
Khi đó: S
ABCD
= S
BCD’
D
’

Lấy N là trung điểm của CD
’
. Nối BN, khi đó BN chia tứ giác ABCD làm hai
phần bằng nhau.
Bài giải:
Từ A kẻ đường thẳng song song BD cắt CD kéo dài về phía D tại D’ thì tứ giác
D’ABD là hình thang nên S
ABD
= S
D’BD
( Vì 2 tam giác chung đáy BD, chiều cao là
chiều cao của hình thang D’ABD)

Ta có: S
ABCD
= S
BCD
+

S
ABD

S
BCD
,
= S
BCD
+ S
D’BD

Suy ra: S
BCD
,
= S
ABCD

Theo bài ra ta có: S
BAD
< S
BCD
=> S
BDD’
< S

BCD
. Do đó: D’D < DC
Lấy điểm N là trung điểm của D’C thì N nằm trên DC
Nối BN thì S
BCN
=
2
1
S
D’BC
( Vì 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B
và đáy NC =
2
1
D
’
C)
Vậy: S
BCN
=
2
1
S
ABCD
hay đoạn BN chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện
tích bằng nhau.
b)Trường hợp thứ ba: Nếu S
BAD
> S
BCD

Phân tích: Nếu S
BAD
> S
BCD
thì ta bù cho tam giác BAD một tam giác có diện
tích bằng diện tích tam giác BCD.Lúc này:
S
BAD
+ S
tam giác bù
= S
BAD
+ S
BCD
= S
ABCD
Trong đó, tam giác bù có 2 đỉnh B và D, đỉnh thứ 3 nằm trên AD kéo dài về phía
D.
A
B
C


N

D


14

Khi đó: S
ABCD
= S
ABD’

Lấy N là trung điểm của AD
’
. Nối BN, khi đó BN chia tứ giác ABCD làm hai
phần bằng nhau.
Bài giải:
Từ C kẻ đường thẳng song song với
BD cắt cạnh AD kéo dài về phía D tại D’.
Tứ giác DBCD’ là hình thang nên: S
CBD
=
S
D’BD.
(Vì 2 tam giác có chung đáy DB,
chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao của
hình thang DBCD’).
Do đó: S
BAD’
= S
ABCD

Vì: S
BCD
< S
ABD

nên S
BDD’
< S
ABD

Suy ra: D’D < AD.











Lấy N là trung điểm D
’
A

thì N nằm trên DA và nối BN , ta được:
S
BAN
=
2
1
S
BAD
,

.
Suy ra: S
BAN
=
2
1
S
ABCD
hay đoạn BN chia tứ giác ABCD thành 2 phần
có diện tích bằng nhau.
Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD, điểm M trên AB. Hãy tìm điểm N trên cạnh của tứ giác
sao cho khi nối MN thì đoạn thẳng MN chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện tích
bằng nhau.
( Sách toán nâng cao lớp 5, tậpmột - NXBGD
Phân tích:
Đây là bài toán khó nhất so với tất cả các bài toán ở các ví dụ trên. Song ta có thể
vận dụng bài toán ví dụ 8 để giải bài toán này. Bởi nếu ta có tứ giác AMC’D bằng diện
tích tứ giác ABCD đã cho thì bài toán trở về ví dụ 8.
Cách 1:
Vậy để giải bài toán này ta cần tạo ra tứ giác AMC’D bằng diện tích tứ giác đã
cho và đỉnh C’

nằm trên cạnh DC kéo dài về phía C. Nối MC ta có các trường hợp xảy
ra:
A
B
C
D’

D

N

15

1. S
MBC
= S
AMCD

2. S
MBC
< S
AMCD

3. S
MBC
> S
AMCD








Nếu S
MBC
= S
AMCD

thì diểm N trùng với đỉnh C và ta giải được bài toán.
Nếu S
MBC
< S
AMCD
thì ta bù cho tứ giác AMCD một tam giác MC
’
C sao cho S
MC’C
=
S
MBC
. Khi đó S
AMC’D
= S
ABCD
. Muốn vậy, ta nối MC, từ B kẻ đường thẳng song song
với MC cắt cạnh DC kéo dài về phía C tại C’ thì tứ giác MBC’C là hình thang nên:
S
BMC
= S
MC’C
và ta đã có bài toán ví dụ 8, ta nối MD để xét hai tam giác MAD
và MC’D, ta sẽ giải được bài toán.



Nếu S
MBC
> S

AMCD
( như hình vẽ)
Ta nối MD. Từ A kẻ đường thẳng song song với
MD cắt cạnh CD kéo dài về phía D tại D’ thì tứ
giác D’AMD là hình thang nên
S
AMD
= S
D’MD
. Do đó: S
MBCD’
= S
ABCD.

Bài toán trở về bài toán ví dụ 8.








Cách 2

A

B

C

C’

N

D

D’

M

A

B

C’


C


D


M

B
C
M
A
D’
D

16

Nối MC, từ B kẻ đường thẳng song song với MC cắt cạnh DC kéo dài về phía C
tại C’ thì tứ giác BC’CM là hình thang nên S
MBC
=S
MC’C
.
Nối MD, từ A kẻ đường thẳng song song với MD, cắt cạnh CD kéo dài về phía D
tại D’.
Tứ giác D’AMD là hình thang nên S
AMD
= S
MDD’
Như vậy: S
MC’D’
= S
ABCD

Điểm N cần tìm là trung điểm của đáy C’D’
Cách 3.
Nối AC.Giả sử: S

ACD
> S
ACB

Từ B kẻ đường thẳng song song với
AC cắt cạnh CD kéo dài về phía C tại C’.
Tứ giác BC’CA là hình thang nên S
C’CA
=
S
BCA

Do đó: S
ABCD
= S
AC’D

Vì S
BAC
< S
ACD
nên S
C’CA
< S
CAD
.
Do đó: C’C < CD

Lấy I là trung điểm của C’D thì I nằm trên CD. Nối AI, ta có:
S

AID
= S
AC’I
= S
ABCI
=
2
1
S
ABCD.
Nối MI. Từ A kẻ đường thẳng song song với MI cắt cạnh CD tại N. Tứ giác
NAMI là hình thang nên S
NMI
= S
AIM

Như vậy: S
MBCN
=
2
1
S
ABCD

Nếu S
ACD
< S
ABC
, ta nối BD. Từ A
kẻ đường thẳng song song với BD cắt

cạnh CD kéo dài về phía D tại D’.
Tứ giác D’ABD là hình thang nên:
S
ABD
= S
D’BD
. Do đó: S
ABCD
= S
BCD’

Vì S
ABD
= S
D’BD,
mà S
D’BD
< S
BCD

nên D’D < DC. Lấy I là trung điểm
của CD’ thì I nằm trên CD.

A
B
C’

C
N I
D

M


A
M
B
C
D
D’

I
N

17

Nối BI, thì BI chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Vậy S
ABID =
2
1

S
ABCD

Nối MI, từ B kẻ đường thẳng song song với MI cắt CD tại N. Nối MN, ta có tứ
giác BNIM là hình thang nên S
BMI
= S
NMI
.

Vì: S
BMI
= S
NMI
nên S
AMND
= S
ABID

Hay S
AMND =
2
1

S
ABCD
. Tức là MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích
bằng nhau.
Như vậy, nhờ vận dụng các cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong một hình
thang, ta có thể giải được nhiều bài toán có nội dung liên quan. Trong giới hạn của
sáng kiến kinh nghiệm, tôi không thể kể hết các bài toán vận dụng các cặp tam giác có
diện tích bằng nhau trong hình thang để giải toán. Cũng không có kết luận chung của
việc vận dụng kiến thức này cho mọi bài toán. Mà đối với các đề toán theo tôi cần lưu
ý:
1. Nếu đề bài đã cho có 2 đoạn thẳng nào đó song song thì ta hãy nghĩ đến hình
thang do nó tạo thành và tìm xem có thể vận dụng các cặp tam giác có diện tích bằng
nhau trong hình thang đó để giải bài toán.
2. Sử dụng tính chất của 3 cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang
sẽ tạo ra một tam giác này có diện tích bằng tam giác kia, từ đó tìm cách giải toán.
3. Sử dụng tính chất của 3 cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang

sẽ tạo ra một tam giác này có diện tích bằng tứ giác kia, từ đó tìm cách giải toán.
4. Thay tam giác trong một tứ giác bằng tam giác khác (sao cho hai hình này có
diện tích bằng nhau) để có một tứ giác mới có diện tích bằng diện tích tứ giác trước
đó (hai tam giác nhắc đến ở trên là một cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình
thang).
4) Kết quả đạt được
Trên đây là cách hướng dẫn học sinh khá giỏi sử dụng các cặp tam giác có diện
tích bằng nhau vào giải các bài toán hình học. Áp dụng kiến thức này trong công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã thu được những kết quả nhất định, cụ thể:
- Các em học sinh đối tượng khá, giỏi đã không còn “Nhụt chí” khi gặp nhiều bài
toán khó về hình học.
- Hầu hết các em hứng thú, tự tin, biết cách tư duy để giải toán

18

- Trong các đề thi HSG có nhiều em biết cách giải, giải đúng, giải hay các bài
toán hình học.
- Hầu hết các em đã nhanh chóng nhận diện dạng bài, phát hiện nhanh mối quan
hệ giữa các dữ kiện để giải toán.
- Phát hiện nhanh các bài toán có diện tích bằng nhau trong hình thang, biết
vận dụng linh hoạt để giải quyết được nhiều bài toán tưởng như không thể giải
được.
Cuối học kì I, tiến hành khảo sát học sinh Giỏi lớp 5A, tôi đã thu được kết
quả sau:
Điểm giỏi: 50%
Điểm khá: 30%
Điểm TB: 20%
5) Bài học kinh nghiệm
Để giúp học sinh khá giỏi nâng cao kiến thức về hình học, giáo viên cần:
- Tích lũy, nâng cao kiến thức, có ý thức tự học, tự bồi dưỡng. Từ những kiến

thức cơ bản SGK, giáo viên phát triển lên thành những bài toán khó, nâng dần mức độ
từ dễ đến khó, gây hứng thú trong học toán cho HS.
- Hình thành học sinh cách học, cách tư duy, phát hiện nhanh nhạy khi giải
toán.
- Khích lệ học sinh lòng đam mê môn toán, có nhu cầu tìm tòi, sáng tạo trong
quá học.
6) Kết luận và kiến nghị
- GV cần nâng cao ý thức tự học, tự bồi dưỡng để trau dồi chuyên môn.
- Cần sớm phát hiện học sinh có năng khiếu toán để tập trung bồi dưỡng.
- Tìm tòi, tích luỹ dạng toán hay sưu tầm thành chuyên đề để tiện khi bồi dưỡng
học sinh.
- GV cần hướng dẫn học sinh cách phân tích, tìm hiểu kĩ đề toán, biết cách "giải
mã" các thuật ngữ trong đề ra.
Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của bản thân. Rất mong được sự góp ý của các
bạn đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm
Hà Tĩnh, ngày 20 tháng3 năm 2014









19

-