TRAO ĐỔI VỀ DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ ĐÓ

1

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tên đề tài:
TRAO I V DNG TON
TèM HAI S KHI BIT HIU V T S CA HAI S ể












Năm học: 2013 - 2014

=*=






2
Nguyễn Thị Kiều Thương, Trường TH Bắc Hồng, Hồng Lĩnh

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tiểu học là bậc học rất quan trọng trong việc đặt nền móng cho việc hình

thành nhân cách cho học sinh, trên cơ sở cung cấp những tri thức khoa học ban
đầu về tự nhiên và xã hội. Phát triển năng lực nhận thức và hoạt động thực tiễn
cho học sinh.
Môn toán có vị trí vô cùng quan trọng trong hệ thống các môn học ở bậc
Tiểu học. Nó trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản. Đó là những công
cụ cần thiết để học các môn học khác và tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh
để hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn. Thông qua việc học toán, các em được
hình thành và phát triển kĩ năng tính toán, tư duy lô gíc, bồi dưỡng và phát triển
trí tuệ, rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, phương pháp giải quyết vấn
đề có căn sứ khoa học, góp phần giáo dục con người toàn diện.
Với đặc điểm tâm lí lứa tuổi tiểu học thích tìm tòi, ham học hỏi, muốn khám
phá, sáng tạo những điều mới mẻ nên phần lớn học sinh thích học môn toán.
Đặc biệt với các em có tư chất thông minh, tiếp thu nhanh thì việc phát triển
nâng cao trình độ là một nhu cầu đòi hỏi tất yếu.
Trong chương trình môn toán lớp 4, dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ
số của hai số đó” được phân bố với thời lượng 4tiết (1 tiết cung cấp kiến thức
mới, 3 tiết luyện tập và luyện tập chung) và tiếp tục được thực hành luyện tập
trong các tiết toán khác trong suốt học kì II lớp 4.
Thực tế trong quá trình dạy học, khả năng tiếp thu của học sinh không đồng
đều. Với học sinh đại trà thường xác định dạng toán chưa nhanh, vẽ sơ đồ chưa
đúng. Còn học sinh khá, giỏi xác định dạng toán và làm bài tương đối nhanh.
Song với những bài toán nâng cao, mở rộng thì các em còn lúng túng, gặp khó
khăn.
Để khắc phục tình trạng đó, trước hết cần phải cung cấp kiến thức, kĩ năng
cơ bản của dạng toán“Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”. Từ đó
cần phát triển bài toán cơ bản một cách có hệ thống theo phương châm từ dễ

3
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để học sinh nắm chắc dạng toán cơ bản và có
kĩ năng vận dụng linh hoạt trong mọi trường hợp.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp HS nhận dạng đúng dạng toán “ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của
hai số đó” và biết vận dụng vào các bài toán cụ thể.
III. KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
1. KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU
Giáo viên và học sinh lớp 4
2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu dạng toán “ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” ở lớp
4.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu.
Tìm hiểu thực trạng dạy học và khả năng tiếp thu của học sinh lớp 4 với
dạng toán “ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
Một số biện pháp giúp HS xác định được đúng dạng toán “Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu tài liệu, tổng hợp tài liệu.
Phương pháp tìm hiểu thực tế.
Phương pháp khảo sát.
VI. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Chương trình toán lớp 4
VII. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Dạng toán “ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” trong chương
trình lớp 4, được dạy vào nửa sau học kì 2 (từ tuần 29) nên việc thực hành luyện
tập không nhiều, đặc biệt là vối những bài toán nâng cao. Do đó tôi thiết nghĩ
rằng nếu đề tài này được áp dụng thì các em sẽ xác định và giải bài toán dạng
“Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” nhanh và hiệu quả hơn.
VIII. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

4

Giúp học sinh xác định dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” nhanh và biết vận dụng vào giải những bài toán nâng cao.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Cùng với sự phát triển của xã hội một đòi hỏi tất yếu là phát triển con người
toàn diện. Toán học không chỉ giúp các em rèn luyện và phát triển kĩ năng đọc,
nghe, nói, viết mà còn phát triển kĩ năng phân tích, suy luận, tư duy
Dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” là dạng toán cơ
bản với hệ thống bài tập rất đa dạng. Do đó đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng
phân tích nhận dạng đúng bài toán để tìm cách giải phù hợp.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Qua quá trình dạy học, tìm tòi, nghiên cứu, băn khoăn, trăn trở, bản thân tôi
nhận thấy được những ưu điểm và hạn chế của việc dạy và học dạng toán “Tìm
hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” ở lớp 4 như sau:
1. Về phía giáo viên:
* Ưu điểm :
+ Giáo viên nhiệt tình, năng nổ trong quá trình dạy toán tính “Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
+ Giáo viên đã là người đóng vai trò chủ đạo trong việc tác động lên hoạt
động nhận thức về dạng toán tính “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
đó” cho học sinh.
* Hạn chế :
+ Giáo viên còn dạy các bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
đó” bằng cách đưa ra các bài toán một cách khô khan rồi hướng dẫn các em giải
quyết để tìm được đáp số của bài toán mà chưa đưa ra bài toán để lôi cuốn được
học sinh vào việc tìm tòi, khám phá dạng toán này. Bên cạnh đó, các bài toán
đưa ra còn rời rạc, chưa được gom góp thành từng dạng cụ thể để học sinh dễ
hiểu, dễ nhớ.
2. Về phía học sinh:

5
* Ưu điểm :
+ Các em đã có sự chịu khó trong học tập.
+ Biết tiếp thu các bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”
giáo viên đưa ra một cách chủ động.
* Hạn chế :
+ Chưa hiểu cặn kẽ, bản chất của dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số
của hai số đó” nên khi gặp những bài toán ẩn hiệu hay tỉ số thì các em lúng
túng.
+ Chưa biết cách suy luận dựa vào các dữ kiện bài toán cho sẵn để tìm ra
cách giải.
Những vấn đề mà bản thân còn băn khoăn, trăn trở được kiểm nghiệm qua
thực tế dạy học. Cũng từ đó, bản thân đã suy nghĩ và tìm ra một số giải pháp để
giúp người giáo viên dạy tốt hơn. Đặc biệt với học sinh, các em có kĩ năng xác
định dạng toán nhanh hơn và biết vận dụng kiến thức về toán “Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó” giải toán một cách nhẹ nhàng mà hiệu quả.
III. SỐ LIỆU ĐIỀU TRA, KHẢO SÁT
Từ những lí do trên, tôi đã khảo sát thực tế lớp học tôi có 32 học sinh với 3 bài
toán:
Bài 1: Hiệu của hai số là 34. Tỉ số hai số đó là . Tìm hai số đó.
Bài 2: Hiện nay anh 11 tuổi, em 5 tuổi. Hãy tính tuổi mỗi người khi tuổi anh
gấp 3 lần tuổi em.
Bài 3: Cho một số có chữ số hàng đơn vị là 0. Nếu xóa chữ số 0 đó ta được số
mới. Biết số đã cho lớn hơn số mới 549. Tìm số đã cho. (HS khá, giỏi)
Giỏi Khá Trung bình
SL % SL % SL %
32 5 15,62

12 37,5 15 46,88

Qua kết quả khảo sát tôi thấy khả năng xác định dạng toán của học sinh
chưa nhanh, kể cả học sinh khá giỏi. Điều đáng quan tâm nhất đó là khi vẽ sơ đồ
vẫn còn học sinh nhầm lẫn giữa dạng toán Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của
ĐIỂM
TSHS
ĐIỂM
TSHS TSHS

6
hai số đó với dạng toán Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Còn với
những bài toán ẩn hiệu hay tỉ số thì các em chưa biết phân tích để đưa về dạng
toán Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó như bài tập 3.
IV. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
1.CUNG CẤP KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CƠ BẢN CỦA DẠNG TOÁN
“TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ ĐÓ”.
Bài toán 1: Hiệu của hai số là 24. Tỉ số của hai số đó là
3
5
. Tìm hai số đó.
( Trích SGK toán 4)
a) Phân tích bài toán
- Bài toán cho chúng ta biết những gì ?( Hiệu hai số là 24; tỉ số của hai số là
3
5
)
- Bài toán yêu cầu gì ? ( Tìm hai số đó)
Giáo viên nêu: Bài toán cho biết hiệu và tỉ số của hai số, yêu cầu tìm hai số đó
nên chúng ta gọi đây là bài toán dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó”.

b) Hướng dẫn giải
- Dựa vào tỉ số, nếu ta biểu diễn số bé là 3 phần bằng nhau thì số lớn bằng mấy
phần như thế ?( 5 phần)
- 24 tương ứng với mấy phần như thế ? ( 5 - 3 = 2 phần)
- Vậy giá trị của 1 phần là bao nhiêu ? ( 24 : 2 = 12)
- Số bé có mấy phần bằng nhau ? ( 3 phần)
- Vậy số bé là bao nhiêu ? ( 12 × 3 = 36 )
- Tính số lớn ? ( 12 × 5 = 60 hoặc 36 + 24 = 60)
Giáo viên vừa hướng dẫn vừa trình bày cách giải như sau.
c) Trình bày bài giải
Bài giải
Ta có sơ đồ:
Số bé | | | |
Số lớn | | | | | |

24
?

?

7

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
5 - 3 = 2 ( phần )
Số bé là: 24 : 2 x 3 = 36
Số lớn là: 36 + 24 = 60
Đáp số: Số bé: 36
Số lớn: 60
Bài toán 2: ( Giải bài toán có lời văn dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của
hai số đó”)

Mẹ hơn con 25 tuổi. Tuổi con bằng
2
7
tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi người.
( Trích SGK toán 4)
a) Phân tích bài toán
- Bài toán cho biết những gì? ( Mẹ hơn con 25 tuổi, tuổi con bằng
2
7
tuổi mẹ)
- Bài toán yêu cầu gì ? ( Tính tuổi của mỗi người)
- Bài toán thuộc dạng toán gì ? (Bài toán thuộc dạng “Tìm hai số khi biết hiệu
và tỉ số của hai số đó”)
- Vậy đâu là hiệu ? Đâu là tỉ số ? ( Hiệu là 25, tỉ số là
2
7
)
b) Hướng dẫn cách giải
Nhận xét: Vì tuổi con bằng
2
7
tuổi mẹ nên ta vẽ số tuổi của con (chính là số bé)
là 2 phần bằng nhau thì số tuổi của mẹ (chính là số lớn) là 7 phần như thế.
- Vậy 25 được biểu thị trên sơ đồ tương ứng với mấy phần bằng nhau ? ( 5 phần
do 7-2 = 5 )
- 1 phần tương ứng với mấy tuổi? ( 25 : 5 = 5 tuổi)
- Vậy tuổi con là bao nhiêu? ( 5 x 2 = 10 tuổi)
- Tuổi mẹ là bao nhiêu? ( 10 + 25 = 35 tuổi)
c) Trình bày bài giải
Bài giải

Ta có sơ đồ:

8
Tuổi con | | |
Tuổi mẹ | | | | | | | |


Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
7 - 5 = 2 ( phần )
Tuổi con là: 25 : 5 x 2 = 10 ( tuổi)
Tuổi mẹ là: 10 + 25 = 35 ( tuổi)
Đáp số: Con: 10 tuổi
Mẹ : 35 tuổi
Giáo viên nêu: Qua hai bài toán trên, bạn nào có thể nêu được cách giải bài
toán dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
HS nêu, GV kết luận:
Bước 1: Xác định đúng hiệu, tỉ số rồi vẽ sơ đồ minh họa bài toán.
Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau.
Bước 3: Tìm giá trị của mỗi phần.
Bước 4: Tìm các số ( số lớn, số bé).
GV cho HS so sánh các bước giải dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số
của hai số đó” với dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”.
Nhấn mạnh học sinh một số điểm sau:
+ Khi vẽ sơ đồ, điểm đặt bút bắt đầu của mỗi đoạn thẳng phải thẳng với nhau,
độ dài mỗi phần bằng nhau, phải biểu thị đúng hiệu tương ứng với hiệu số phần
bằng nhau (HS hay nhầm lẫn với tổng hai số).
+ Khi giải bài toán với dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số
đó” trước tiên chúng ta tính tổng số phần bằng nhau còn “Tìm hai số khi biết
hiệu và tỉ số của hai số đó” thì ta tính hiệu số phần bằng nhau. Các bước khác
như nhau.

+ Bước tìm giá trị một phần có thể làm gộp với bước 4.
+ Khi HS nắm chắc được dạng toán và cách giải, HS có thể không vẽ sơ đồ mà
lập luận để giải (tùy vào từng bài toán).
Ví dụ với bài 2, HS có thể lập luận như sau:
25 tuổi
? tuổi
? tuổi

9
Nếu coi tuổi con là 2 phần bằng nhau thì tuổi mẹ sẽ là 7 phần bằng nhau như
thế.
Vậy hiệu số phần bằng nhau là:
7 – 2 = 5 (phần)
Tuổi mẹ là:
25 : 5× 7 = 35 (tuổi)
Tuổi con là:
35 -25 = 10 (tuổi)
Đáp số: Mẹ: 35 tuổi
Con: 10 tuổi
Với những HS khá, giỏi, khi đã nắm chắc dạng toán cũng như cách giải,
chúng ta có thể phát triển nâng cao theo mức độ từ thấp đến cao, từ dễ đến khó
như sau:
2. PHÁT TRIỂN DẠNG “ TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỈ SỐ CỦA
HAI SỐ ĐÓ”
2.1. CÁC BÀI TOÁN TUỔI
Ví dụ 1: Hiện nay anh 11 tuổi, em 5 tuổi. Hãy tính tuổi mỗi người khi tuổi anh
gấp 3 lần tuổi em.
( Các PP giải toán ở tiểu học)
a) Phân tích bài toán:
- Bài toán yêu cầu gì ?( Tính tuổi của mỗi người khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em)

- Bài toán cho biết những gì ? ( Hiện nay anh 11 tuổi, em 5 tuổi)
Đây là bài toán dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”nhưng ẩn
hiệu. Do đó HS sẽ lúng túng khi xác định hiệu.
- Trong toán tuổi, khi anh tăng thêm bao nhiêu tuổi thì em cũng tăng thêm bấy
nhiêu tuổi. Do đó hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian.
-Vậy làm thế nào để tìm hiệu? ( lấy 11 - 5 = 6, hiệu là 6 )
- Tỉ số là bao nhiêu ? ( 3 )
Giáo viên : Vậy để giải bài toán như thế này, trước hết chúng ta phải tìm hiệu,
sau đó vẽ sơ đồ rồi giải như bài toán cơ bản dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ
số của hai số đó”.

10
b) Trình bày bài giải
Bài giải
Anh hơn em số tuổi là: 11 - 5 = 6 ( tuổi) .
Khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em, thì hiệu số tuổi của anh và em không thay đổi.
Lúc đó, ta có sơ đồ:

Tuổi em | |
Tuổi anh | | | |

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
3 - 1 = 2 ( phần )
Tuổi em lúc đó là: 6 : 2 x 1 = 3 (tuổi)
Tuổi anh lúc đó là: 3 + 6 = 9 (tuổi)
Đáp số: Tuổi em lúc đó: 3 tuổi
Tuổi anh lúc đó: 9 tuổi
Kết luận : Để giải bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh phân tích, xác
định đúng hiệu của hai số (Tìm hiệu bằng cách lấy tuổi của anh trừ tuổi của
em). Sau đó áp dụng cách giải bài toán như bài toán mẫu.

Trên cơ sở bài toán này, ta có thể mở rộng nâng cao thêm một số bài toán
như sau:
Ví dụ 2: Tuổi mẹ hơn 3 lần tuổi con là 8 tuổi. Mẹ hơn con 28 tuổi. Tính tuổi
mỗi người.
( Trích Toán nâng cao lớp 4)
a ) Phân tích bài toán:
- Bài toán yêu cầu gì ?( Tính tuổi của mỗi người ).
- Bài toán cho biết những gì ? ( Mẹ hơn con 28 tuổi. Tuổi mẹ hơn 3 lần tuổi con
là 8 tuổi ).
Đây là bài toán dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”nhưng ẩn
hiệu. Học sinh dễ nhầm lẫn tỉ số là 3 và hiệu là 28.
Giáo viên : Vậy để giải bài toán như thế này, trước hết chúng ta phải tìm hiệu.
6 tuổi
? tuổi
? tuổi

11
-Tuổi mẹ hơn 3 lần tuổi con là 8 tuổi nghĩa là nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ
sẽ là 3 phần như thế và 8 tuổi.
- GV có thể vẽ sơ đồ giải thích cho HS:
Tuổi con
Tuổi mẹ

Vậy nếu mẹ bớt đi 8 tuổi thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con.
- Nếu mẹ bớt đi 8 tuổi và giữ nguyên tuổi con thì mẹ hơn con bao nhiêu tuổi ?
( 28 - 8 = 20 tuổi)
Dựa vào hiệu 20, tỉ số là 3, học sinh vẽ sơ đồ và giải bài toán theo dạng cơ bản.
b) Trình bày bài giải
Bài giải
Nếu bớt tuổi mẹ đi 8 tuổi và giữ nguyên tuổi con thì tuổi mẹ hơn tuổi con là:

28 - 8 = 20( tuổi )
Lúc đó, ta có sơ đồ:
Tuổi con
Tuổi mẹ

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
3 - 1 = 2 ( phần )
Tuổi con là: 20 : 2 x 1 = 10 ( tuổi)
Tuổi mẹ là: 10 + 28 = 38 ( tuổi)
Đáp số: Tuổi con : 10 tuổi
Tuổi mẹ: 38 tuổi
Ví dụ 3: Tuổi con nhiều hơn
1
4
tuổi bố là 2 tuổi. Bố hơn con 40 tuổi. Tính tuổi
mỗi người.
( Trích Toán nâng cao lớp 4)
a) Phân tích bài toán:
- Bài toán cho biết những gì ? ( Bố hơn con 40 tuổi. Tuổi con nhiều hơn
1
4
tuổi
bố là 2 tuổi )

20 tuổi
8 tuổi
28 tuổi

12
- Bài toán yêu cầu gì ? ( Tính tuổi của mỗi người. )

- Đây là bài toán dạng gì ? (Dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
đó”)
Đọc qua VD3 học sinh dễ nhầm lẫn với VD2 dạng 1 nên xác định tỉ số là
1
4
và
hiệu là 40 - 2 = 38.
Giáo viên : Vậy để giải bài toán như thế này, trước hết chúng ta phải tìm hiệu.
Tuổi con nhiều hơn
1
4
tuổi bố là 2 tuổi, có nghĩa là nếu ta coi tuổi bố là 4 phần
bằng nhau thì tuổi con sẽ là mấy phần ? ( Tuổi con sẽ là 1 phần và 2 đơn vị )
GV có thể giải thích cho học sinh bằng sơ đồ sau:

Tuổi con
Tuổi bố

- Vậy nếu thêm vào tuổi bố 2 tuổi và giữ nguyên tuổi con thì bố hơn con bao
nhiêu tuổi ? ( 40 + 2 = 42 tuổi)
Dựa vào hiệu 42 và tỉ số là 4, học sinh vẽ sơ đồ và giải bài toán theo dạng cơ
bản.
b) Trình bày bài giải
Bài giải
Nếu bớt tuổi con 2 tuổi và giữ nguyên tuổi bố thì tuổi bố hơn tuổi con là:
40 + 2 = 42 ( tuổi)
Lúc đó, ta có sơ đồ:
Tuổi con | |
Tuổi bố | | | | |

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
4 - 1 = 3 ( phần )
Tuổi bố là: 42 : 3 x 4 = 56 ( tuổi)
Tuổi con là: 56 - 40 = 16 ( tuổi)
Đáp số: Bố : 56 tuổi
42 tuổi
2 tuổi
40 tuổi

13
Con: 16 tuổi
Kết luận: Với những bài toán như VD2, VD3 ta cần phân tích bài toán để
tìm hiệu mới. Để tìm hiệu mới, ta dựa trên tính chất của phép trừ. ( Khi ta thêm (
hoặc bớt) số bị trừ bao nhiêu đơn vị và giữ nguyên số trừ thì hiệu sẽ tăng ( hoặc
giảm) bấy nhiêu đơn vị. Còn nếu ta tăng ( hoặc giảm) số trừ bao nhiêu đơn vị
và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu sẽ giảm ( hoặc tăng) bấy nhiêu đơn vị ).
Từ đó học sinh vẽ sơ đồ và giải bài toán theo dạng bài toán mẫu.
Một số bài toán luyện tập
Bài 1: Cách đây hai năm tuổi con bằng tuổi mẹ, con kém mẹ 28 tuổi. Tính
tuổi mẹ và tuổi con.
( Trích Toán chọn lọc tiểu học)
Bài 2: Cách đây 2 năm, tuổi ông hơn 6 lần tuổi cháu là 3 tuổi. Ông hơn cháu 58

tuổi. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
( Trích Toán bồi dưỡng học sinh lớp 4)
Bài 3: Mẹ sinh con khi mẹ 27 tuổi. Hỏi sau bao lâu tuổi con hơn tuổi mẹ là 6
tuổi ?
( Trích Toán chọn lọc tiểu học)
2.2. CÁC BÀI TOÁN PHÂN SỐ
Ví dụ 1: Cho phân số
29
99
. Hãy tìm một số sao cho đem tử và mẫu của phân số
đã cho cộng với số đó ta được phân số tối giản
1
3
.
( Trích Toán nâng cao lớp 4)
a) Phân tích bài toán:
- Bài toán cho biết những gì ? ( Cho phân số
29
99
)
- Bài toán yêu cầu gì? ( Tìm một số sao cho đem tử và mẫu của phân số đã cho
cộng với số đó ta được phân số tối giản
1
3
)

14
Với bài toán này ta thấy hiệu giữa mẫu số và tử số ban đầu là 99 - 29 = 70.
Và khi ta cộng vào cả tử số và mẫu số với cùng một số thì hiệu này thay đổi như
thế nào? ( Hiệu không thay đổi)

GV nêu: Vậy bài toán này cũng là bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết
hiệu và tỉ số của hai số đó. Và ta vẽ sơ đồ với hiệu là 70, tỉ số là
1
3
. Tìm tử số
hoặc mẫu số mới rồi từ đó tìm được số cần tìm .
b) Trình bày bài giải
Hiệu của mẫu số và tử số là: 99 – 29 = 70
Hiệu này không thay đổi khi cùng cộng thêm vào cả tử số và mẫu số cùng một
số.
Ta có sơ đồ:
Tử số
Mẫu số
Vậy tử số mới là: 70 : (3 – 1) = 35
Số phải tìm để cộng thêm vào là: 35 – 25 = 10
Đáp số: 10
Ví dụ 2: Cho phân số . Hãy tìm một số sao cho khi đem tử số và mẫu số của
phân số đã cho trừ đi số đó thì được phân số có giá trị bằng .
( Trích Bồi dưỡng Toán 4)
a) Phân tích bài toán
VD2 cũng tương tự như VD1, ta thấy hiệu giữa mẫu số và tử số là 91 - 67 = 24.
Và khi ta cùng bớt ở cả tử số và mẫu số một số đơn vị thì hiệu này vẫn không
thay đổi.
b) Trình bày bài giải
HS trình bày bài giải tương tự VD1.
Kết luận : Đối với những bài toán như VD1, VD2 dạng 2.1.2, hiệu là kết quả
của phép trừ giữa mẫu số và tử số đã cho. Từ đó vẽ sơ đồ và giải như bài toán
mẫu.
Một số bài toán luyện tập
70

15
Bài 1: Cho phân số
73
98
. Hãy tìm một số sao cho đem tử số và mẫu số của phân
số đã cho trừ đi số đó ta được một phân số tối giản
1
6
.
( Trích Toán nâng cao lớp 4)
Bài 2: Cho phân số . Cần thêm vào cả tử số và mẫu số của phân số đó với
cùng một số là bao nhiêu để được phân số mới có giá trị là .
( Trích Bồi dưỡng Toán 4)
Bài 3: Hãy thêm vào tử số và mẫu số của phân số cùng một số để cho mẫu
số gấp rưỡi tử số mới.
( Trích Bồi dưỡng Toán 4)
2.3.CÁC BÀI TOÁN VIẾT THÊM ( HOẶC XÓA) CHỮ SỐ TẬN CÙNG
BÊN PHẢI
Ví dụ 1: Tìm hai số có hiệu là 333, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên
phải số bé ta được số lớn.
( Trích Toán nâng cao 4)
a) Phân tích bài toán:
- Bài toán cho biết những gì? ( Hai số có hiệu bằng 333 và nếu viết thêm một
chữ số 0 vào bên phải số bé ta được số lớn).
- Bài toán yêu cầu gì? ( Tìm hai số đó).
- Nếu thêm một chữ số 0 vào bên phải số bé thì số bé thay đổi như thế nào ? ( Số
bé tăng lên 10 lần)
- Vậy tỉ số giữa số lớn và số bé là bao nhiêu ? ( Tỉ số là 10 )
Từ đó học sinh giải bài toán với hiệu hai số là 333, tỉ số giữa hai số là 10 (số lớn

gấp 10 lần số bé).
b)Trình bày bài giải
Nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số bé thì số bé sẽ tăng lên 10 lần và
đó chính là số lớn. Vậy nếu gọi số bé là 1 phần thì số lớn là 10 phần như thế.
Hiệu số phần bằng nhau là:
10 – 1 = 9 (phần)
Số bé là: 333 : 9 × 1= 37

16
Số lớn là: 37 × 10 = 370
Đáp số: 370 ; 37
Ví dụ 2 : Cho một số có hàng đơn vị là 0. Nếu xóa chữ số 0 ta được số mới. Biết
số đã cho lớn hơn số mới 549. Tìm số đã cho.
( Trích Toán nâng cao 4)
a)Phân tích bài toán:
Với ví dụ này ta thấy khi xóa chữ số 0 ở hàng đơn vị thì số đó sẽ giảm đi 10
lần và được số mới. Điều này có nghĩa là số đã cho gấp10 lần số mới. Số đã cho
lớn hơn số mới 549 đơn vị.
b)Trình bày bài giải
Bài này ta giải bài toán này tương tự ví dụ 1 dạng 2.3
Kết luận: Với bài toán viết thêm (hoặc bớt) chữ số 0 bên phải một số được
số kia thì tỉ số của hai số là 10. Từ đó giải bài toán theo dạng Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số.
Ví dụ 3 : Cho hai số. Số lớn hơn trong hai số đó có hàng đơn vị là 8. Nếu xóa
chữ số 8 đó ta được số bé. Hiệu hai số đó là 485. Tìm hai số đã cho.
( Trích Toán nâng cao 4)
a)Phân tích bài toán:
Khi xóa chữ số 8 ở hàng đơn vị thì số đó sẽ giảm đi 10 lần và 8 đơn vị và
được số bé. Điều này có nghĩa là số lớn bằng 10 lần số bé và 8 đơn vị. Từ đó
GV hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ.

b)Trình bày bài giải
Ta có sơ đồ:
Số bé
Số lớn

Theo sơ đồ ta thấy nếu số lớn giảm đi 8 đơn vị thì lúc đó sớ lớn hơn số bé là :
485 – 8 = 477
Số bé là : 477 : (10 -1) = 53
Số lớn là : 53 + 485 = 538
Đáp số : 53 ; 538
8
?

?

485

17
Ví dụ 4 : Cho một số tự nhiên. Biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào tận cùng
bên phải số đó thì số đó tăng thêm 754 đơn vị. Hãy tìm số đã cho.
( Trích Tuyển chọn những bài toán hay và khó lớp 4 )
a) Phân tích bài toán:
Khi viết thêm chữ số 7 vào tận cùng bên phải số đó thì số đó sẽ gấp lên 10
lần và 7 đơn vị. Điều này có nghĩa có nghĩa là 9 lần số tự nhiên đó có giá trị là :
754 – 7 = 747
Từ đó ta tìm được số tự nhiên ban đầu.
b)Trình bày bài giải
Tương tự ví dụ 3
Kết luận : Vậy qua ví dụ 3, 4 khi viết thêm hay xóa chữ số a tận cùng bên
phải cảu một số thì số đó sẽ tăng (giảm) 10 lần và a đơn vị. Từ đó ta vẽ sơ đồ,

tìm hiệu mới tương ứng với hiệu số phần rồi giải.
2.3.CÁC BÀI TOÁN 2 TỈ SỐ HOẶC 3 TỈ SỐ
Ví dụ 1 : Một đoàn văn công có
1
3
số nam bằng
1
5
số nữ. Biết số nam ít hơn số
nữ là 16 người. Hỏi có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ?
( Trích Toán bồi dưỡng học sinh lớp 4)
a) Phân tích bài toán:
- Bài toán cho biết điều gì? (
1
3
số nam bằng
1
5
số nữ ; số nam ít hơn số nữ là 16
người )
- Bài toán hỏi gì? ( Hỏi có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ )
- Bài toán này có mấy tỉ số? ( có hai tỉ số
1
3
và
1
5
)
Theo bài toán thì
1

3
số nam bằng
1
5
số nữ và số nam ít hơn số nữ là 16 người
Nếu biểu diễn trên sơ đồ số nam là 3 phần bằng nhau thì số nữ sẽ là 5 phần bằng
nhau như thế.
- 16 người tương ứng với mấy phần ? ( 5 - 3 = 2 (phần))
HS vẽ sơ đồ , rồi giải.
b) Trình bày bài giải

18
Bài giải
Vì
1
3
số nam bằng
1
5
số nữ và số nam ít hơn số nữ là 16 người
Ta có sơ đồ:



Nam | | | |
Nữ | | | | | |


Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là :
5 - 3 = 2 ( phần)

Số nam là : 16 : 2 x 3 = 24 ( người)
Số nữ là : 24 + 16 = 40 ( người)
Đáp số : Nam : 24 người
Nữ : 40 người
Kết luận : Để giải bài toán này, ta dựa vào 2 tỉ số là các phân số có cùng tử
số thì mẫu số là số phần bằng nhau của hai số. Từ đó ta vẽ sơ đồ rồi giải theo
dạng toán’’ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó’’.
Ví dụ 2: Tuổi của Tuấn ( tính theo số ngày) thì bằng tuổi của bố ( tính theo số
tuần). Còn tuổi của Tuấn (tính theo số tháng) thì bằng tuổi của ông ( tính theo
số số năm) . Biết rằng nếu tính theo số năm như bình thường thì ông hơn bố 30
tuổi. Tính số tuổi bình thường của mỗi người ?
( Trích Toán chọn lọc lớp 4)
a)Phân tích bài toán :
Khi đọc bài toán này học sinh sẽ rất lúng túng vì chỉ biết ông hơn bố 30 tuổi.
Do đó cần phân tích bài toán để tìm các tỉ số.
- Tuổi của Tuấn tính ( tính theo số ngày) thì bằng tuổi của bố ( tính theo số
tuần)
Nghĩa là tuổi của Tuấn bằng
1
7
tuổi của bố ( Vì 1 tuần có 7 ngày ).
16 người
? người
? người

19
- Còn tuổi của Tuấn (tính theo số tháng) thì bằng tuổi của ông ( tính theo số số
năm).
Có nghĩa là tuổi của Tuấn bằng
1

12
tuổi của ông ( Vì 1 năm có 12 tháng ).
Từ đó ta đưa bài toán về dạng :
Tính tuổi của Tuấn, tuổi của bố, tuổi của ông biết tuổi của Tuấn bằng
1
7
tuổi
của bố và bằng
1
12
tuổi của ông. Ông hơn bố 30 tuổi.
b)Trình bày bài toán:
Từ đó học sinh vẽ sơ đồ và giải như ví dụ 1.
Ví dụ 3: Điểm kiểm tra toán cuối năm, Linh hơn Quang 1 điểm và bằng
5
4
điểm
của Anh. Điểm của Quang bằng
9
8
điểm của Anh. Hỏi điểm toán mỗi người.
( Trích 500 bài toán chọn 4)
a)Phân tích bài toán
- Bài toán hỏi gì ? ( Hỏi điểm toán của mỗi bạn)
- Bài toán này cho ta biết điều gì ?(Bài toán cho ta biết Linh hơn Quang 1 điểm
và bằng
5
4
điểm của Anh. Điểm của Quang bằng
9

8
điểm của Anh).
- Bài toán này có mấy tỉ số ? ( Có hai tỉ số
5
4
và
9
8
)
Giáo viên : Khi giải bài toán này học sinh gặp khó khăn trong việc xác định tỉ
số để biết số phần tương ứng của mỗi số. Do đó ta đưa các tỉ số về thành các
phân số có tử số bằng nhau như sau:
- Điểm của Linh bằng
5
4
điểm của Anh hay điểm của Anh bằng
4
5
điểm của
Linh.
- Điểm của Quang bằng
9
8
điểm của Anh hay điểm của Anh bằng
8
9
điểm của
Quang.
Nghĩa là:

20
Điểm của Anh bằng
4
5
điểm của Linh bằng
8
9
điểm của Quang.
Hay điểm của Anh bằng
8
10
điểm của Linh bằng
8
9
điểm của Quang.
Hay
1
8
điểm của Anh bằng
1
10
điểm của Linh bằng
1
9
điểm của Quang.
Nếu ta coi điểm toán của Anh là 8 phần bằng nhau thì điểm toán của Linh là 10
phần và điểm toán của Quang là 9 phần như thế. Mặt khác Linh hơn Quang 1
điểm.
b)Trình bày bài giải:
Từ những phân tích trên, học sinh vẽ sơ đồ và giải như ví dụ 1 dạng 3.

Kết luận : Những bài toán như VD1, VD2, VD3 ta đưa các tỉ số về thành các
phân số có cùng tử số, mẫu số sẽ là số phần bằng nhau của mỗi số cần tìm. Dựa
vào mẫu số để vẽ sơ đồ. Sau đó giải bài toán như bài toán mẫu.
Một số bài toán luyện tập
Bài 1: Mẹ hơn anh 20 tuổi. Tuổi của anh gấp 2 lần tuổi của em và em bằng
1
6

tuổi của mẹ. Hỏi tuổi của mỗi người ?
( Trích 500 bài toán chọn lọc 4)
Bài 2: Có hai thùng dầu, thùng thứ nhất có nhiều hơn thùng thứ hai 25 lít dầu,
biết rằng
1
3
số dầu thùng thứ nhất bằng 2 lần số dầu ở thùng thứ hai. Hỏi mỗi
thùng có bao nhiêu lít dầu?
( Trích Toán nâng cao lớp 4)
Bài 3: Bố hơn con 30 tuổi. Biết
1
2
tuổi con bằng
1
8
tuổi bố và bằng
1
14
tuổi
ông. Tính tuổi của mỗi người ?
( Trích Bồi dưỡng toán 4)
Bài 4: Ở một trung tâm ngoại ngữ, số người học tiếng Nhật bằng

1
2
số người
học tiếng Hoa. Số người học tiếng Hoa bằng
1
3
số người học tiếng Anh. Hỏi mỗi

21
ngoại ngữ có bao nhiêu người học ? Biết rằng số người học tiếng Anh nhiều
hơn số người học tiếng Nhật là 100 người.
( Trích Toán nâng cao 4)
2.4. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH VẬN DỤNG DẠNG TOÁN “TÌM HAI
SỐ KHI BIẾT HIỆU VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ ĐÓ”
Ví dụ: Một hình chữ nhật có chu vi gấp 6 lần chiều rộng. Tìm chiều dài, chiều
rộng biết chiều dài hơn chiều rộng 15 m.
(Trích Toán bồi dưỡng học sinh lớp 4)
a)Phân tích bài toán.
- Bài toán cho ta biết những gì ?( chu vi gấp 6 lần chiều rộng, chiều dài hơn
chiều rộng 15 m)
- Bài toán yêu cầu gì ? (Tìm chiều dài, chiều rộng)
Bài toán này thuộc dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”, với
hiệu là 15, ta cần tìm tỉ số giữa chúng.
- Nêu quy tắc tính chu vi hình chữ nhật ? ( Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta
lấy chiều dài cộng với chiều rộng cùng đơn vị đo, rồi nhân 2)
- Chu vi gấp 6 lần chiều rộng. Vậy nửa chu vi gấp chiều rộng bao nhiêu ? ( 3 lần
vì 6 : 2 = 3)
- Vậy chiều dài gấp mấy lần chiều rộng ? (Gấp 2 lần)
Giáo viên nêu: Như vậy dựa vào hiệu và tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng ta
giải bài toán như bài toán cơ bản dạng “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai

số đó”.
Ngoài ra còn có một số bài toán như sau:
Bài 1: Một khu đất hình chữ nhật có 2 lần chiều rộng kém chiều dài 8m. Nhưng
chiều dài kém 3 lần chiều rộng 64m. Tính diện tích khu đất đó.
(Trích Toán bồi dưỡng học sinh lớp 4)
Bài 2: Có một hình chữ nhật có chiều rộng bằng
3
5
chiều dài, biết rằng nếu tăng
chiều rộng thêm 23m và tăng chiều dài 17m thì ta được hình vuông. Tìm diện
tích hình chữ nhật.
(Trích Tuyển chọn 400 bài tập toán 4)

22
III. KT QU
Trờn õy l mt s kinh nghim nh ca bn thõn tụi v phỏt trin bi toỏn
dng Tỡm hai s khi bit hiu v t s ca hai s ú c trỡnh by theo cỏc
dng vi mt s vớ d minh ha m tụi ó thc hin trong quỏ trỡnh dy hc v
bi dng hc sinh gii.
Qua thc t dy hc, bng cỏch ỏp dng kinh nghim ny tụi thy bc u
ó cú s thnh cụng, hiu qu ging dy c nõng cao lờn. Nhỡn chung cỏc em
hc sinh yờu thớch hc toỏn, cú hng thỳ hn i vi mụn toỏn. Kh nng tip
thu bi ca hc sinh nhanh, nm vng dng toỏn mt cỏc cú h thng. c bit
mi khi gp bi dng ny cỏc em gii quyt tng i d dng.
Mt khỏc, tụi ó ỏp dng cỏch lm ny vi mt s dng toỏn c bn khỏc nờn
cht lng mụn toỏn ca lp do tụi ph trỏch nõng lờn rừ rt.
Kt qu kho sỏt nh sau:
Tng s hc sinh hc 32 em.
Gii Khỏ Trung bỡnh
SL % SL % SL %

32 13 40,62

14 43,75 5 15,63

C/ KT LUN - KIN NGH
I/
Trong cụng tỏc ging dy, vai trũ ca ngi giỏo viờn rt quan trng.
Ngi giỏo viờn ch yu cung cp cho hc sinh mt cỏch y chớnh xỏc, cú
h thng kin thc. Ngoi ra, cũng thng xuyờn rốn luyn cho cỏc em nhng
k nng cn thit giỳp cỏc em cú phng phỏp vn dng kin thc ó hc vo
vic gii cỏc bi tp liờn h vi thc tin.
Thông qua việc thực hiện, trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi rút ra đợc một
số bài học trong quá trình giảng dạy dạng toán tính tuổi cho học sinh lớp 4 nh
sau:
- Để giải đợ kc một bài toán Tỡm hai s khi bit hiu v t s ca hai s
ú ở lớp 4, giáo viên cần hớng cho học sinh xác nh c bài toán đó thuộc
IM
TSHS
IM
TSHS TSHS

23
dạng nào trong các dạng toán nói trên. Từ đó, các em có thể hình dung phơng
pháp giải các dạng toán một cách hợp lí.
- Để học sinh phát triển đợc trí thông minh, óc sáng tạo và t duy nhạy bén
thì cần phải thờng xuyên động viên, khuyến khích học sinh suy nghĩ, tìm tòi,
sáng tạo, biết vận dụng một cách linh hoạt và nhuần nhuyễn các phơng pháp
giải toán.
- Khi học sinh cảm thấy mệt mỏi, không có hứng thú trong học tập cần đa
ra một vài bài toán vui về tuổi phù hợp với nhận thức của các em, giúp các em

th giãn đầu óc, tạo nên sự hng phấn, đa các em trở về với niềm đam mê học
toán.
II/ Kiến nghị - Đề xuất:
1. i vi giỏo viờn:
- Trong hot ng dy-hc, ngi giỏo viờn úng vai trũ ch o tỏc ng
s phm lờn hot ng nhn thc ca hc sinh. thc hin tt hot ng dy
ca mỡnh, ngi giỏo viờn cn s dng tt cỏc phng phỏp dy hc mt cỏch
linh hot, phự hp nhm truyn th kin thc, hỡnh thnh k nng, k xo cho
hc sinh trong quỏ trỡnh dy dng toỏn Tỡm hai s khi bit hiu v t s ca hai
s ú.
- Giỏo viờn phi nh hng cho hc sinh nhn dng c cỏc dng toỏntớnh
tui mt cỏch nhun nhuyn v s dng c cỏc phng phỏp gii phự hp i
vi cỏc bi toỏn Tỡm hai s khi bit hiu v t s ca hai s ú khác nhau.
- õy l kinh nghim m tụi ó ỏp dng vo thc t v nú cú tớnh kh thi, do
vy tụi mnh dn a ra ng nghip tham kho v cú th vn dng vo quỏ
trỡnh dy hc v dng toỏn Tỡm hai s khi bit hiu v t s ca hai s ú ở lớp
4 hiện nay.
2. i vi nh trng, ngnh:
- Chuyờn mụn cỏc nh trng, ngnh nờn thng xuyờn t chc cỏc chuyờn
v gii toỏn núi chung v dng toỏn Tỡm hai s khi bit hiu v t s ca hai
s ú núi riờng nõng cao kin thc cho i ng giỏo viờn.
- Cỏc th vin trng hc nờn b sung cỏc loi sỏch tham kho vi nhiu dng
toỏn trong ú cú dng toỏn Tỡm hai s khi bit hiu v t s ca hai s ú
giỏo viờn cng nh hc sinh cú iu kin tỡm tũi, hc hi thờm.

24
Với thời gian công tác và kinh nghiệm chưa nhiều nên không tránh khỏi
những thiếu sót. Kính mong nhận được nhiều sự góp ý của các cấp lãnh đạo và
các đồng nghiệp để tôi hoàn thiện sáng kiến này hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!