chuyên đề phương trình và bất phương trình chứa căn thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (224.54 KB, 18 trang )
1
Chuyên đề 3
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. Các điều kiện và tính chất cơ bản :
*
A có nghóa khi A 0
* 0A với A 0
* AA
2
&
0A nếu A-
0A nếu A
A
*
AA
2
với A 0
* BABA khi A , B 0
* BABA khi A , B
0
II. Các đònh lý cơ bản : (quan trọng)
a) Đònh lý 1 : Với A ³ 0 và B ³ 0 thì A = B A
2
= B
2
b) Đònh lý 2 : Với A³ 0 và B³ 0 thì A > B A
2
> B
2
c) Đònh lý 3: Với A và B bất kỳ thì A = B A
2
= B
2
III. Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải :
Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ CĂN THỨC bằng phép nâng lũy thừa.
* Dạng 1 :
A 0 (hoặc B 0 )
AB
AB
* Dạng 2 :
2
B0
AB
AB
* Dạng 3 :
2
A0
AB B0
AB
* Dạng 4:
2
A0
B0
AB
B0
AB
2
IV. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng :
* Phương pháp 1
: Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ : Giải phương trình sau : 02193
2
xxx (1)
Bài giải:
Ta có:
22
22
2
3x 9x 1 x 2 0 3x 9x 1 2 x
3x 9x 1 4 4x x
x2
2x 5x 3 0
x2
x3
2x 0
1
x
2
-++-= -+=-
ì
ï
ï
ï
í
ï
-+=-+
ï
ï
ỵ
ì
£
ï
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
ỵ
£
é
=
=-
-³
ê
ê
ê
ë
1
x
2
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
=-
í
ï
ï
ï
ï
ê
ï
ï
ỵ
Vậy tập nghiệm của pt(1) là
{}
1
S
2
=-
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
1)
5234
2
xxx (
5
14
x
)
2) 7122 xx ( 5
x )
3) 1232
2
xxx ( )
3
153
x
4)
31 70xx (4)x
5)
2
1
3
8
x
x
(1; 8)xx
6) 227 6xx (1)x
7)
75
x
x (2)x
3
* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức
Ví dụ : Giải phương trình sau : 2x 9 4 x 3x 1+- - = + (1)
Bài giải:
Điều kiện:
9
x
2x 9 0
2
1
4x 0 x 4 x 4
3
3x 1 0 1
x
3
ì
ï
ï
ì
³-
ï
ï
+³
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
-³ £ -££
íí
ïï
ïï
ïï
+³
ïï
ï
ỵ
³-
ï
ï
ï
ỵ
Khi đó:
()()
()()
2
2x 9 4 x 3x 1 2x 9
2x 9 2x 5 2 3x 1 4 x
3x 1 4 x 2
3x 1 4 x
3x 11x 0
+-=++=
+=++ + -
+-=
- + =
-++-
x0
11
x
3
=
é
ê
ê
ê
=
ê
ë
Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu
Vậy tập nghiệm của pt(1) là
{}
11
S0;
3
=
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
1) 1723 xx ( 9
x )
2) 38 xxx ( 1
x )
3)
21 xxx (
3
323
x
)
4) 431 xx ( 0
x )
5) 212 1 1xx (5)x
6) 22335xxx
(2)x
4
* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt đại số
Ph
ương pháp:
Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT chứa ẩn phụ. Giải PT chứa ẩn phụ. Đối chiếu với điều kiện ẩn phụ
đã nêu để tìm nghiệm thích hợp của PT này.
Bước 3: Tìm nghiệm của PT ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ.
Ví du 1ï : Giải các phương trình sau :
1)
xxxx 33)2)(5(
2
(1)
2) 5)4)(1(41 xxxx
Bài giải:
1)
2
(x 5)(2 x) 3 x 3x+-= + (1)
Điều kiện:
2
x3x0x 3x0+³£-³
Khi đó:
22
(1) ( ) 10 3 x3x x (2)3x +-+=+
Đặt
()
2
tx3x t0=+ ³, phương trình (2) trở thành:
2
t2
t3t100
t 5 (loai)
é
=
ê
+-=
ê
=-
ê
ë
Với
t2= ta được phương trình:
22
x1
x3x2x3x40
x4
é
=
ê
+=+-=
ê
=-
ê
ë
Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu
Vậy tập nghiệm của pt(1) là
{}
S4;1=-
2) x1 4x (x1)(4x) 5++ - + + - = (1)
Điều kiện:
x10 x 1
1x4
4x 0 x 4
ìì
+³ ³-
ïï
ïï
-££
íí
ïï-³ £
ïï
ỵỵ
Đặt
tx14x (0 t)=++- ³
Suy ra:
()()()()
2
2
t5
t52x14x x14x
2
-
=+ + - + - =
Phương trình (1) trở thành:
2
2
t3
t5
t5t2t150
t 5 (loai)
2
é
=
-
ê
+=+-=
ê
=-
ê
ë
Với
t3=
ta được phương trình:
()()
()()
2
x1 4x 3 52x14x 9
x 1 4 x 4
x0
x 3x 0
x3
++ - = + + - =
+-=
=
é
ê
- + =
ê
=
ê
ë
Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu
Vậy tập nghiệm của pt(1) là
{}
S0;3=
5
Ví dụ 2 : Giải phương trình:
3
23x 2 36 5x 8 0-+ - -=
Bài giải:
Cách 1
: Sử dụng hai ẩn phụ
Điều kiện:
6
65x 0 x
5
Đặt
3
3
2
u3x2
u3x2
v65x
v 6 5x v 0
thì ta được hệ phương trình:
2
32
32
3
2
82u
v
82u
2u 3v 8
v
3
3
82u
5u 3v 8
15u 4u 32u 40 0
5u 3 8
3
82u
v
3
u 2 15u 26u 20 0
2
82u
v
u2
3
v4
u 2 15u 26u 20 0
Với
u2
v4
ta được
x2
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là
S2
Cách 2: Sử dụng một ẩn phụ
Điều kiện:
6
65x 0 x
5
Đặt
3
3
t2
t3x2x
3
. Khi đó phương trình (1) trở thành
33
3
2
32
82t 0
85t 85t
85t
2t 3 8 0 3 8 2t
9. 8 2t
33
3
t4
15t 4t 32t 40 0
2
t4
t 2 15t 26t 20 0
t 2
Với
t2
ta được x 2
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là
S2
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
6
1)
2
2
21 12 21xxx
113
(;3;2)
2
xxx
2)
22
321182 772xx xx
6; 1xx
3) 4)5)(2(52 xxxx (
2
533
x )
4) 16212244
2
xxxx (x=5)
5)
2
22
48
4
x
x
x
5
2
x
6)
3
11
1
22
xx
71
;
22
xx
7)
22
17 17 9xxxx
1; 4xx
8)
3
3
122 1
x
x
15 51
1; ;
22
xx x
9)
44
17 3xx
1; 16xx
10)
4
4
1
81 9 3x
x
1
7
x
7
* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0 hoặc A.B.C = 0
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) xx
x
x
123
23
2
2)
2
x27x 2x1 x 8x71
Bài giải:
1) xx
x
x
123
23
2
(1)
Điều kiện:
2
3x 2 0 x
3
-> >
Khi đó:
(
)
()()()
()()
2
2
2
(1) x 3x 2 1 x 3x 2
x 1 3x 2 0
x1
3x 2 2 x
x1
x2
3x 2 4 4x x
x1
x1
x2
x2
x 1
x1x6
x7x6
x1
x1x
x2 3 2 0
2
x
0
-+=- -
+ =
é
=
ê
ê
-=-
ê
ë
é
=
ê
ê
ì
ï
£
ê
ï
ï
í
ê
ï
-=- +
ê
ï
ï
ỵ
ë
é
é
=
=
ê
ê
ê
ê
ì
ì
ï
ï
£
£
=
ê
ê
ï
ï
ï
íí
ê
ê
ïï
= =
-+=
ê
ê
ïï
ỵ
ï
ỵ
ë
ë
éù
+-=
êú
-
û
-
ë
Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu
Vậy tập nghiệm của pt(1) là
{}
S1=
2)
2
x27x 2x1 x 8x71 (2)
Điều kiện:
7x0 x7
1x7
x10 x1
ìì
-³ £
ïï
ïï
££
íí
ïï-³ ³
ïï
ỵỵ
Khi đó:
8
2
(1) 2 7 x 2 x 1 7 x x 1 0
2 7 x 2 x 1 7 x x 1 0
x1 x1 7x 2 x1 7x 0
x1 7x x12 0
x1 7x x 4
x1
x
x5
x1 2
1
Nghiệm tìm được thỏa điều kiện ban đầu
Vậy tập nghiệm của pt(1) là
{}
S4;5=
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
1)
2
2727 97
x
xxx (122)x
2)
2 2 15 3 2 10
x
xxx
3
(;23)
2
xx
3)
56 3102xxx (2)x
4)
3
41 32
5
x
xx
(2)x
5)
2222
373 2351 34xx x xx xx ( 2)x
LƯU Ý:
Ngoài các phương pháp đã nêu, người ta có thể vận dụng thêm các phương pháp giải sau đây để giải phương
trình có chứa căn thức
1) Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá trị một hoặc hai vế của PT.
2) Đặt ẩn phụ có liên quan đến lượng giác để chuyển PT sang PT lượng giác.
3) Sử dụng phương pháp hàm số (đơn điệu, cực trị).
9
V. Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng :
* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1) 134
2
xxx 2)
2)4)(1( xxx
Bài giải
:
1)
134
2
xxx (1)
Ta có:
2
2
22
x4x30
x4x3x1 x10
x4x3x2x1
x1x3
1
x1
x 1
3
x3
1
x
3
ì
ï
-+³
ï
ï
ï
- +<+ +>
í
ï
ï
ï
-+<++
ï
ỵ
ì
ï
ï
ï
é£ ³
ï
ï
ê
<£
ï
ê
>-
í
ê
ï
ï
³
ê
ï
ë
ï
>
ï
ï
ỵ
Vậy tập nghiệm của bpt(1) là
[)
1
S;13;
3
ỉù
ç
=+¥
ú
ç
ç
è
ú
û
2) 2)4)(1( xxx (1)
Ta có:
22
2
(x 1)(4 x) 0
x2 0
(x 1)(4 x) x 2
x2 0
x3x4x4x4
1x4
1x2
1x2
x2
x2
x2
2
7
0x
2x 7x 0
2
é
ì
ï
+-³
ï
ê
í
ê
ï
-<
ê
ï
ỵ
+->-
ê
ì
ï
-³
ê
ï
ï
ê
í
ê
ï
-+ +> - +
ï
ê
ï
ỵ
ë
é
ì
ï
-£ £
é
-£ <
ï
ê
ê
í
ê
-£ <
ï
ê
<
ì
ê
ï
ï
³
ỵ
ê
ï
ê
ï
ï
ê
ì
ï
³
ê
í
£
ï
ê
ï
ï
ê
<<
í
ï
ê
ê
ï
ï
-<
ï
ỵ
ë
ï
ê
ï
ỵ
ë
7
x
2
é
ê
ê
ê
<
ê
ë
Vậy tập nghiệm của bpt(1) là
7
S1;
2
éư
÷
ê
÷
=-
÷
ê
÷
ø
ë
Bài tập tự luyện:
Giải các bất phương trình sau:
1) 26
2
xxx ( 3
x )
2)
1)1(2
2
xx ( 311
xx )
3)
xxx 12
2
( 4x )
4)
xxx 2652
2
( 110
xx )
10
* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :
x11 2x1 x4
(1)
Bài giải
Điều kiện:
x11
x110
1
2x 1 0 x
2
x40
4
x
x
4
Khi đó:
()( )
()( )
()( )
22
2
(1) x 11
x 11 3x 5 2 x 4 2x 1
2 x 4 2x 1 16 2x
x 4 2x 1 8 x
8x 0
2x 9x 4 64 16x x
x8
x
x
7x 60 0
x8
12 x 5
12
1
x5
42x+³
+ ³ -+ - -
- -£-
- -£-
ì
ï
-³
ï
ï
í
ï
-+£- +
ï
ï
ỵ
ì
ï
£
ï
ï
í
ï
+-£
ï
ï
ỵ
ì
ï
£
ï
-££
í
ï
-££
ï
-+
ỵ
-
So với điều kiện ban đầu ta được
4x5££
Vậy tập nghiệm của bpt(1) là
S4;5
éù
=
êú
ëû
Bài tập tự luyện:
Giải các bất phương trình sau:
1) 12411 xxx (
54
x
)
2) 1553 xx (
4x
)
3) xxx 12 (
3
323
x )
11
* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :
123342
22
xxxx
Bài giải:
Điều kiện:
22
32xx 0 x 2x 30 13 x ³+-£ -£ £
Khi đó:
()
22
(1) 3 1 2 6 x2x3 x ()3 22x + -+>+
Đặt
2
tx2x3 (t0)=- - + ³ , bất phương trình (2) trở thành
22
5
3t 2t 5 2t 3t 5 0 1 t
2
>- <-<<
Do
t0³ nên ta chỉ nhận
5
0t
2
£<
Với
5
0t
2
£<
ta được bất phương trình:
()
222
5
x2x3 4x2x3254x8x130 x
2
+< + < + + >"Ỵ
So với điều kiện ban đầu ta suy ta tập nghiệm bpt(1) là
[]
S3;1=-
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :
2
xx
1
12xx1
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
2
2
x0
xx10 x0
2x x 1 1
Do
2
2
13 3
12xx11 02x 1
24 2
nên
2
xx12xx1 (2)1
Đặt
tx t0, bất phương trình (2) trở thành:
12
2
42 2
2
42 2
432
2
2
2
15
15
1tt 0
0t
0t
2t t 1 1 t t
2
2
2t 2t 2 1 t t
t2tt2t10
0
15
0t
15
15
tt
0t
2
t
2
15
2
tt10
t
2
1
Với
15
t
2
ta được
15 35
xx
22
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
35
S
2
Bài tập tự luyện:
Giải các bất phương trình sau:
1) xxxx 271105
22
( 13
xx )
2) 2855)4)(1(
2
xxxx (-9<x<4)
13
* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
0232)3(
22
xxxx
2)
1
4
35
x
x
Bài giải:
1)
0232)3(
22
xxxx
(1)
Điều kiện:
2
1
x
2
2x 3x 2 0
x2
é
£-
ê
ê
³
ê
³
ê
ë
Trường hợp 1: Với
1
xx2
2
=- =
thì (1) thỏa mãn. Suy ra
1
xx2
2
=- =
là nghiệm của (1)
Trường hợp 2: Với
1
xx2
2
<- >
thì
2
(1) x 3x 0 x 0 x 3-³£³
So với điều kiện đang xét ta được
1
xx3
2
<- ³
Vậy nghiệm của bpt(1) là:
1
x
2
x2
x3
é
£-
ê
ê
ê
=
ê
ê
ê
³
ê
ë
2)
1
4
35
x
x
(1)
Điều kiện:
x5
x50
x4
x4 0
³-
+³
ì
ì
ï
ï
ï
ï
íí
¹
-¹
ïï
ïï
ỵ
ỵ
Trường hợp 1: Với
x4>
thì
2
2
(1) x 5 3 x 4 x 5 x 1
x 5 x 2x 1
x 3x 4 0
x 1 x 4
+-<-+<-
+< - +
>
<->
So với điều kiện đang xét ta được nghiệm là
x4>
Trường hợp 2: Với 5x4-£ < thì
14
2
2
(1) x 5 3 x 4 x 5 x 1
x10
x10
x5x 2x1
x1
x1
x3x40
x1
x1
1x4
+->-+>-
é
-<
ê
ê
ì
ï
-³
ê
ï
ï
í
ê
ï
+> - +
ê
ï
ï
î
ë
é
<
ê
ê
ì
ï
³
ê
ï
ï
í
ê
ï
<
ê
ï
ï
î
ë
<
³
-< <
x1
x4
1x<4
é
ê
é
<
ê
ê
ì
ï
<
ê
ï
ê
£
í
ê
ê
ë
ï
ê
ï
î
ë
So với điều kiện đang xét ta được nghiệm là
5x4-£ <
Vậy nghiệm của bpt(1) là:
5x4x4-£ < >
15
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải phương trình:
2
2x 6x 1 x 1 ++=+
Bài 2: Giải phương trình:
4 3 10 3x x 2 =-
Bài 3: Giải phương trình:
()()
2
xx 1+ xx+2=2 x -
Bài 4: Giải phương trình:
(
)
(
)
2
32
3x 2 x 1 2 x 3x 3 8 0 -++-+-=
Bài 5: Giải phương trình:
2
2x+3+ x+1=3x+2 2x 5x 3 16 ++-
Bài giải
Bài 1: Giải phương trình:
2
2x 6x 1 x 1 (1)++=+
Ta có:
22
22
242
42
x+1 0
(1)
2x 6x 1 x 2x 1
x1
6x 1 x 1
x1
6x 1 x 2x 1
x1
x1
x0
x0
x2
x4x 0
x2
ì
³
ï
ï
ï
í
ï
++=++
ï
ï
î
ì
³-
ï
ï
ï
í
ï
+= +
ï
ï
î
ì
³-
ï
ï
ï
í
ï
+= + +
ï
ï
î
ì
³-
ï
ï
ì
³-
=
é
ï
ï
ï
ï
ïï
ê
=
é
íí
ê
ê
=
ïï
-=
êïï
ê
ë
ï
î
=
ï
ê
ï
ë
ï
î
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là
x0x2==
16
Bài 2: Giải phương trình:
4 3 10 3x x 2 (1) =-
Bài giải:
Ta có:
()()
()
22
2
234 43 2
2
x2 0 x 2
(1)
43103x x 4x4 3103x 4xx
x2
x2
4x x 0 0 x 4
90 27x 16x 8x x x 8x 16x 27x 90 0
2x4
2x4
x3
x3x2x 7x15 0
x2
ìì
-³ ³
ïï
ïï
ïï
íí
ïï
=-+ -=-
ïï
ïï
îî
ìì
ïï
³
³
ïï
ïï
ïï
ïï
-³ ££
íí
ïï
ïï
ïï
-= -+ -+ +-=
ïï
ïï
îî
ì
££
ï
ì
££
ï
ï
ï
é
=
íí
ê
ï
-+ -+=
ï
ê
ï
î
=-
ê
ë
x3
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
î
Vậy phương trình (1) có một nghiệm là
x3=
Bài 3: Giải phương trình:
()()
2
x x 1 + x x+2 =2 x (1)-
Bài giải:
Điều kiện :
()
()
x2
xx 1 0
x0
xx+2 0
x1
ì
ï
£-
ï
ì
-³
ï
ï
ï
ï
ïï
=
íí
ïï
³
ïï
ï
î
ï
³
ï
ï
î
Khi đó:
()( )
()( )
()
22 2
22
2
22 4 3 2
32
(1) 2x x 2 x x 1 x 2 4x
2 x x 1 x 2 2x x
2x x 0
4x x x 2 4x 4x x
1
x0x
1
x0
2
x0x
x0
2
9
x
8x 9x 0
9
8
x
8
++ - +=
-+=-
ì
-³
ï
ï
ï
í
ï
+- = - +
ï
ï
î
ì
ï
ï
£³
ï
ì
=
é
ï
ï
ïï
£³
ê
ï
ï
ïï
=
é
ê
íí
ê
ê
ïï
=
ïï
-=
ê
ê
ïï
ë
ï
î
ï
ê
=
ï
ê
ï
ë
ï
î
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là
9
x0x
8
==
17
Bài 4: Giải phương trình:
()()
2
32
3 x 2 x 1 2 x 3x 3 8 0 (1)-++-+-=
Bài giải:
Đặt
32
tx3x3 (t0)=-+ ³
, phương trình (1) trở thành
2
t1
3t 2t 5 0
5
t (loai)
2
é
=
ê
ê
+-=
ê
=-
ê
ë
Với
t1= ta được phương trình:
()
()
32 32 2
x1
x3x31x3x20 x1x2x20
x1 3
é
=
ê
-+=-+=- =
ê
=
ê
ë
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm là x1x1 3= =
Bài 5: Giải phương trình:
2
2x+3+ x+1=3x+2 2x 5x 3 16 (1)++-
Bài giải:
Điều kiện:
3
2x 3 0
x
2
x1
x10
x1
ì
ï
ì
+³
ï
ï
³-
ï
ï
³-
íí
ïï
+³
ïï
³-
î
ï
î
Đặt
t2x3+x+1 (t0)=+ ³, phương trình (1) trở thành
2
t5
tt200
t 4 (loai)
=
é
ê
=
ê
=-
ê
ë
Với
t5= ta được phương trình:
2
22
2
2x 3 x 1 5
22x 5x 3 21 3x
x7
8x 40x 12 441 126x 9x
x7
x7
x3
x3
x 146x 429 0
x 143
++ +=
++=-
ì
£
ï
ï
ï
í
ï
++=- +
ï
ï
î
ì
£
ï
ï
ì
£
ï
ï
ï
ï
ïï
é
=
=
íí
ê
ïï
-+=
ïï
ê
ï
î
=
ï
ê
ï
ë
ï
î
Vậy phương trình (1) có một nghiệm là
x3=
18
CÁC BÀI TOÁN TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau
1)
x1 x6 x9 - = -
Kết quả:
x10=
2)
()
22
2x 8x 6 x 1 2 x 1+++ -= +
Kết quả:
x1=
3)
()()
2x 6x 2x6x 8++ -+ + - =
Kết quả:
x2=
4)
22
413
x
xxxxxx
Kết quả:
9
x1x
16
= =
5)
22 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x
Kết quả:
x1=-
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
1)
x1 x6 x9 - £ -
Kết quả:
9x10££
2)
()
2
2x 16
7x
x3
x3 x3
-
-
+->
Kết quả: x10 34³-
3)
2
51 2x x
1
1x
<
-
Kết quả:
152x 5
x1
é
-£<-
ê
ê
>
ê
ë
4)
3
2x x11
Kết quả:
1x2x10££³
5)
22 2
x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18
Kết quả:
17
x
3
>
Hết
