Phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Cao Văn Dũng
Lớp K50A1S – Khoa Sư Phạm - ĐHQGHN
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC

I. Các điều kiện và tính chất cơ bản :
*
A
có nghóa khi A
≥
0
*
0
≥
A
với A
≥
0
*
AA
=
2
&



<
≥
=
0A nếu A-
0A nếu A

A

*
( )
AA
=
2
với A
≥
0
*
BABA ..
=
khi A , B
≥
0
*
BABA
−−=
..
khi A , B
≤
0
II. Các đònh lý cơ bản :
a) Đònh lý 1 : Với A
≥
0 và B
≥
0 thì : A = B
⇔

A
2
= B
2
b) Đònh lý 2 : Với A
≥
0 và B
≥
0 thì : A > B
⇔
A
2
> B
2
c) Đònh lý 3 : Với A, B bất kỳ thì : A = B
⇔
A
3
= B
3
A > B
⇔
A
3
> B
3
III. Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải :

* Dạng 1 :
A 0 (hoặc B 0 )

A B
A B
≥ ≥

= ⇔

=

* Dạng 2 :
2
B 0
A B
A B
≥


= ⇔

=


* Dạng 3 :
2
A 0
A B B 0
A B

≥

< ⇔ >



<

1
Cao Văn Dũng
Lớp K50A1S – Khoa Sư Phạm - ĐHQGHN
* Dạng 4:
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B

≥



<


> ⇔

≥






>



IV. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng :
* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau :
1)
42
−=−
xx

2)
02193
2
=−++−
xxx

3)
411222
=+−+++
xxx

Ví dụ 2 : Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
1)
2
3x x 1
y
x 1 x 5
− +

=
+ + −
2)
2
2
x x 1
2x 1 x 3x 1
− +
− + − +
Ví dụ 3: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

122
2
+=++
xmxx

* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử
căn thức
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)
13492
++−=+
xxx

2)
012315
=−−−−−
xxx

* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt
đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
xxxx 33)2)(5(
2
+=−+

2)
5)4)(1(41
=−++−++
xxxx

4)
112
3
−−=−
xx

5)
2 2
x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + =
* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0
hoặc A.B.C = 0
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
2
Cao Văn Dũng
Lớp K50A1S – Khoa Sư Phạm - ĐHQGHN
1)
xx

x
x
−=−−
−
123
23
2

2)
2
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1+ − = − + − + − +


* Phương pháp 5 : Sử dụng bất đẳng thức đònh giá trò hai vế


Ví dụ : Giải phương trình sau :

− + + − + = − −
2 2 2
x 4x 5 x 4x 8 4x x 1


V. Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng :
* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
134
2
+<+−

xxx
2)
3254
2
≥++−
xxx
3)
14
2
<++
xxx
4)
2)4)(1(
−>−+
xxx

* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử
căn thức
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :
1)
x 3 2x 8 7 x+ > − + −

2)
x 11 2x 1 x 4+ − − ≥ −

* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)
342452
22

++≤++
xxxx
2)
123342
22
>−−++
xxxx


* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
0232)3(
22
≥−−−
xxxx
2)
1
4
35
<
−
−+
x
x

3
Cao Văn Dũng
Lớp K50A1S – Khoa Sư Phạm - ĐHQGHN

4