chuyên đề thể tích trong hình học không gian

www.vnmath.com
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH
Bài 1
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh
SA (ABC)

. Từ A kẻ
AD SB

và
AE SC

. Biết AB = a, BC = b, SA =
c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE?

Phân tích - tìm lời giải
AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC

A
B
C
D
E
S

Tính đường cao:

ABC

vuông tại B nên
AB BC



Giả thiết cho :
SA (ABC)



SA BC


BC (ABC)


AD BC


AD là đường cao trong tam giác SAB


AD SB




AD (SBC)




AD SC



Mặt khác :
AE SC


SC (ADE)


Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE
Độ dài SE:

2 2 2 2
AS.AB AS.AB a.c
AD
SB
AS AB a c
   
 


2 2
2 2 2 2 2
AS.AC SA.AC c. a b
AE
SB
SA AC a b c

  
  

Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có:

2 2 2
2 2 2
2 2 2
c (a b )
SE AS AE c
a b c

   
 
=
2
2 2 2
c
a b c
 

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Diện tích tam giác ADE:
DE =
2 2
AE AD

=
2 2
2 2 2 2 2

c .b
(a b c ).(a c )
  

S =
1
.AD.AE
2
=
2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 c .b ac
. .
2
(a b c ).(a c ) a c
   


=
3 3
2 2 2 2 2
1 a.c .b
.
2
(a b c ).(a c )
  

Thể tích:
V =
1 1

.SE. .AD.DE
3 2
=
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
1 c 1 a.c .b
. .
3 2
a b c (a b c ).(a c )
    


2 4
2 2 2 2 2
1 a.b .c
.
6 (a c )(a b c )

  


Xét một cách giải khác như sau:
DE

(SAB)
BC

(SAB) => DE // BC
Pytago trong các tam giác vuông:
SD

2
= AS
2
- AD
2
; SE
2
= AS
2
- AE
2

SB
2
= SA
2
+AB
2

SC
2
= SA
2
+AC
2
= SA
2
+ AB
2
+ AC

2

Lập các tỷ số:

2 2
2 2 2
c
SA AE
a b c
 
 

2 2 2 2
2 2 2 2 2
SA AD SA AE
.
SA AB SA SB SC
 

  


2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
c .a c (a b )
c c
a c c a b
.

a c c a b

 
  

  
4 2 2
2 2 2 2 2 2 2
c b .c
.
(a c ) (c a b )

  

=>
3
2 2 2 2 2
SA SD SE b.c
. .
SA SB SC (c a b )(a c )

  


SADE
SABC
V SA SD SE
. .
V SA SB SC


=
3
2 2 2 2 2
b.c
(c a b )(a c )
  

=>
SADE
V
=
3
2 2 2 2 2
b.c
(c a b )(a c )
  
.
SABC
V

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
=
3
2 2 2 2 2
b.c
(c a b )(a c )
  
.

1 1
.SA. .AB.BC
3 2
=
2 4
2 2 2 2 2
1 a.b .c
.
6 (c a b )(a c )
  
(đvtt)


Bài 2:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh
a.Cạnh
SA (ABC)

, góc

0
BAC 120

. Tìm th
ể tích của khối chóp S.ABC?
A
B
C
D
S


Trình bày lời giải:

Xét hai tam giác vuông SAB và SAC có:
SA chung
SB = SC
=>

SAB =

SAC (c.c) => AB = AC =>

ABC là tam giác cân
Gọi D là trung điểm của BC ta có :
tan

CAD
=
CD
AD
=> AD =

CD a
2. 3
tanCAD


Diện tích đáy:

2
ABC
1 a . 3
S AD.BC
2 4

 

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
SD là đường cao trong tam giác đều SBC cạnh a nên : SD =
a 3
2

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có:
SA
2
= SD
2
- AD
2
=
2 2 2
3.a a 2a
4 12 3
 
=>SA =
a 2
3

Thể tích cần tính:
V =
ABC
1
SA.S
3

=
3
a . 2
36
(đvtt)

Tổng quát hóa ta có bài toán sau:
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, góc

0
BAC (0 90 )
    
. Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
của khối chóp S.ABC theo a và

?
Một cách hoàn toàn tương tự ta có lời giải như sau:

AD =

AD a
2.tan

tanCAD



Diện tích tam giác:
2
ABC
1 1 a a
S AD.BC a
2 2 2.tan 4.tan

  
 

SD là đường cao trong tam giác đều SBC nên SD =
a 3
2

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có:
SA
2
= SD
2
- AD
2
=
2 2 2
3.a a 2a
4 12 3
 

=>SA =
a 2
3

Thể tích cần tìm:

ABC
1
V SA.S
3


=
1 1 1
.B.h .SA. .AD.BC
3 3 2

=
3
a 2
12 3.tan

(đvtt)

Bài 3
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Điểm A(2;0;0), B(0;1;0),
S(0;0;2
2
). Gọi M là trung điểm của SC và mặt phẳng (ABCD) cắt cạnh

SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com

A
B
C
S
M
N
D
O

Lời giải
Ta nhận thấy mặt phẳng (SBN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối
chóp S.ABN và S.MBN
Theo định nghĩa về thể tích ta có:
S.ABMN
V
=
S.ABN
V
+
S.MBN
V


S.ABN
S.ABD

V SN 1
V SO 2
 
=>
S.ABN
V
=
1
2
S.ABD
V
=
1
4
S.ABCD
V

Tương tự ta có:

S.MBN
S.BCD
V SM SN 1
.
V SC SD 4
 
=>
S.MBN
V
=
1

4
S.BCD
V
=
1
8
S.ABCD
V

Do vậy:

S.ABMN
V
=
1
4
S.ABCD
V
+
1
8
S.ABCD
V
=
8
3
S.ABCD
V

Thể tích khối chóp S.ABCD

V =
ABCD
1 1
.SO.S .SO.AC.BD
3 6

=
8
3
2

Thể tích cần tính:
S.ABMN
V
=
2
(đvtt)

Nghiên cứu lời giải
Gọi V
1
là thể tích khối đa diện nằm dưới (ABMN): V
1
=
S.ABMN
V

Khi đó:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

www.vnmath.com

S.ABCD
V
=
S.ABMN
V
+
ABCMN
V
hay V = V
1
+
S.ABMN
V

Ta có :V
1
=
N.ABD
V
+
B.CDMN
V


N.ABD
V
=
S.ABD

1
V
2
=
V
4




A
B
C
S
M
N
D
O
Hai hình chóp B.SCD và B.DCMN có chung đỉnh và mặt phẳng chứa
đáy nên:

DCMN SDC
3
S .S
4




Thể tích của chóp S.ABCD là:

V =
ABCD
1 1
.SO.S .SO.AC.BD
3 6

=
8
3
2

Thể tích cần tính:
Bài 4
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy. Lấy
điểm
M A

trên Ax, lấy
N C

trên Cy. Đặt AM = m ; BN = n.
Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n?

Trình bày lời giải
Theo giả thiết ta có:
CN (ABCD)





CN CB

, O là tâm đáy nên
OB AC




OB (ACMN)

hay OB là đường cao
Độ dài OB =
AC
2
=
a 2
2
. Mặt khác
MA AC
NC AC







MA // NC nên tứ giác
ACMN là hình thang


ACMN
S
MA NC 2
AC a(m n)
2 2

   

Thể tích khối chóp:

2
ACMN
1 a
V OB.S (m n)
3 6
  
( đvtt )

Nghiên cứu lời giải
Nhận thấy do
AM AB

,
AM AD


,
AB AD

nên ta đưa vào hệ trục
tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), M(0;0;m), D(0;a;0) từ đó ta xác
định được tọa độ đỉnh C(a;a;0) sau đó áp dụng công thức tính thể tích của
khối hộp:
1
V AB,AC AM
6
 

 
  
=
2
a
(m n)
6

(đvtt)
Bài 5:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh
SA (ABC)

, SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các
cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp ABCMN?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com

A
B
C
S
M
N


Trình bày lời giải
Xét

SAB và

SAC có AB = AC, SA chung, A =
0
90





SAB =

SAC

SB =SC

mặt bên SBC là tam giác
cân.
Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có:

2 2
AB.AS
AM
AB AS


=
2a
5

2 2
AC.AS
AN
AC AS


=
2a
5

Áp dung định lý Pytago:
SM =
2 2
4a
SA AM
5
 

2 2
4a
SN SA AN
5
  

Ta có các tỷ số:
SM
SB
=
SN
SC
=
4
5


S.AMN
S.ABC
V
V
=
16
25




S.AMN
V

=
16
25
S.ABC
V
=
3
8a 3
75

Thể tích :

ABCNM
V
=
S.ABC
V
-
S.AMN
V
=
3
a 3
6
-
3
8a 3
75
=
3

3a 3
50
(đvtt)

Nghiên cứu lời giải
Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ bằng việc đưa vào
hệ trục tọa độ Oxyz trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), S(0;0;2a). Ta xác định
được tọa độ của C, M, N, sau đó sử dụng công thức sau:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com


0
S.AMN
1
V AM,AN AS 60 BAC
6
 
 
 
  

S.AMN
1
V AM,AN AS
6
 

 

  



ABCNM
V
=
S.ABC
V
-
S.AMN
V
=
3
3a 3
50
(đvtt)


Bài 6:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường thẳng
BE với mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tam giác ABC vuông tại C, góc

0
60 BAC

, hình chiếu vuông góc của E lên (ABc) trùng với trọng tâm của

tam giác ABC. Tính thể tích của tứ diện D.ABC?
A
B
C
D
E
F
M
G


Trình bày lời giải
Ta có:
EG (ABC)

nên EG là đường cao của chóp
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EGB ta có:
EG = EBsinB = asin
0
60
=
a 3
2

Áp dụng pytago:

2 2
BG BE EG
 
=

a
2
mà BG =
2
3
BM

BM =
3
2
BG =
3a
4

Áp dung Pytago trong tam giác BMC:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
MC = MBsin
0
15
=
3a
4
sin
0
15
, AC = 2MC =
3a
2

sin
0
15
,
BC = ACtan
0
60
=
3a
2
sin
0
15
3

Thể tích của khối chóp:
V =
3
ABC
1 3
EG.S a .
3 4


2 0
sin 15
(đvtt)

Bài 7:
Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

CD,

là góc giữa hai đường thẳng đó. Tính thể tích của tứ diện
ABCD?
A
B
C
D
E



Trình bày lời giải
Dụng hình bình hành ABDE, do AE // (BCD) nên
ABCD E.BCD B.ECD
V V V
 
=
ECD
1
S .d(B,CDE)
3


=

1 1 1
CE.CD.sinECD AB.CD.d.sin
3 2 6
  

(đvtt)


Nghiên cứu lời giải
Ta xét một cách giải khác như sau:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
B
C
D
E
F
M
N
A

Dựng hình hộp chữ nhật AEBF.MDNC ngoại tiếp tứ diện ABCD ,
AB (ABEF)

,
CD (CDMN)


Vì (ABEF) // (CDMN) nên chiều cao của hộp bằng d
Thể tích cần tính:

ABCD hôp MDNC
1 1
V V S d

3 3
 
=
1 1
MN.CD.d.sin
3 2
 
=
1
AB.CD.d.sin
6


Bài 8:
Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng
với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của
CG.tính thể tích của khối tứ diện BDEM theo a và b?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
B
C
D
E
F
G
H
M
(0 ,a,0)
(a,0 ,0 )

(0 ,0 ,b)
A (0 ,0,0)


Trình bày lời giải
M là trung điểm của CG nên:
C G
M
C G
M
C G
M
x x
x a
2
y y
y a
2
z z b
z
2 2


 




 





 



Tọa độ các vectơ:
BM

(0;a;
b
2
),
BD

(-a;a;0),
BE

(-a;0;b)
Xét tích hữu hướng:

2
b b
0 a
a 0
ab ab
MB,BD , , , ,a
2 2
a a

2 2
a 0 0 a
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 

Tích vô hướng:

MB,BD BE
 
 
  
=
2
3a b
2

Thể tích: V =

1
MB,BD BE
6
 
 
  
=
1
6
2
3a b
2
=
2
a b
4
(đvtt)

Nghiên cứu lời giải
Kẻ
CO BD

, kéo dài EM cắt SO tại N, mặt phẳng (BDM) chia khối chóp
thành hai khối chóp E.BDM và N.BDM nên
E.BDM E.BDN
1
V V
2


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Vì M là trung điểm của SG nên: CN = CA
Diện tích tam giác BDN:
S =
1 1 3 2a
BD.NO a 2.
2 2 2

=
2
3a
2

A
D
F
G
H
M
N
C
B
E
O

Thể tích:
E.BDM E.BDN
1

V V
2

=
1
2

1
6
2
3a
2
2b =
2
a b
4
(đvtt)



Bài 9:
Tính thể tích của khối tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau AB =
CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c?

Trình bày lời giải
Dựng tứ diện APQR, đây là tứ diện vuông tại đỉnh A, thật vậy:
AD = BC =
PQ
2


BC là đường trung bình của tam giác PQR


BC = QD = DP

AD = QD = PD


AQ AP


Hoàn toàn tương tự ta có:
AQ AR

,
AR AP


Ta có:
APQR ADBQ ABCD ACDP ACBR
V V V V V
   


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com



ABCD APQR AQR
1 1 1 1
V V AP.S
4 4 3 24

   
AP.AQ.AR
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác APQ, AQR, APR

2 2 2 2 2
AP AQ QP 4BC 4a
   


2 2 2 2 2
AQ AR QR 4CD 4c
   



AP =
2 2 2
2(a b c )
 
, AQ =
2 2 2
2(b c a )
 
, AR =

2 2 2
2(a c b )
 

Thể tích:



3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
V 2 (b c a )(a c b )(a b c )
24
      

=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
(b c a )(a c b )(a b c )
2
     
(đvtt)
Bài tập đề nghị
Bài 1 ( khối A - 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là
tam giác đều,
(SAD) (ABCD)

, gọi M, N, P là trung điểm của SB,BC,CD.
Tính thể tích của khối chóp CMNP theo a?

Bài 2 ( Khối A - 2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD =
AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng
0
60
, gọi I là trung
điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SDI) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a?
Bài 3 (Khối B - 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a
2
,
SA = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N là trung điểm của
AD, SC, I là giao điểm của AC và BM. Tính thể tích của tứ diện ANIB?

Bài 4 (Khối A - 2008)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên bằng 2a. Đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a
3
. Hình chiếu vuong góc
của D lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm G của cạnh BC. Tính thể tích của
khối chóp G.ABC?
2. Thể tích của khối lăng trụ
Trong mục này ta sử dụng định lý sau: Thể tích của hình lăng trụ bằng
một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao

V B.h

trong đó : B là diện tích đáy
h là chiều cao

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Bài 1
Cho hình tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường
thẳng AD và ED bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích
khối lăng trụ ?
A
B
C
E
F
G
H
K
D


Trình bày lời giải
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED


AK ED

, AB //
EF (EFD)

do đó AB // (EFD) nên


d(A,EFD) = d(AB,ED)
Mà
EF

(EFDA) nên
EF

AK


AB AK



AK = d(A,EFD) =
d(AB,ED) = 2
Đặt EK = x ( 0

x

5 ). Trong tam giác vuông AED ta có: AK
2
= KE.KD


4 = x(5-x)

x
2
- 5x + 4 = 0



x 1
x 4






Với x = 4 ta có AE =
2 2
AK KE 5
 

V = AE.
ABCD
S
=
5
( đvtt)
Với x = 4 ta có AE = 2
5


V = 10
5
( đvtt)
Bài 2
Đáy của khói lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều. Mặt phẳng đáy

tạo với mặt phẳng (DBC) một góc
0
30
. Tam giác DBC có diện tích bằng 8.
Tính thể tích khối lăng trụ đó?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
A
B
C
D
E
F
K



Trình bày lời giải
Đặt CK = x, DK vuong góc với BC nên

DKA
=
0
30

Xét tam giác ADK có: cos
0
30
=

AK
DK


AK = x
3
, DK = 2x
Diện tích tam giác BCD: S = CK.Dk = x.2x = 8, do đó x = 2


AD = AK.tan
0
30
= x
3

3
3
= 2
Thể tích khối lăng trụ:
V =
1
3
AD.CK.AK =
8
3
(đvtt)
Bài 3
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành và


BAD
=
0
45
, các đường chéo EC và DF tạo với đáy các góc
0
45
và
0
60
. Chiều cao
của lăng trụ bằng 2. Tính thể tích của lăng trụ đó?

Trình bày lời giải
Từ giả thiết:

GAC
=
0
45
,

BDF
=
0
60
, AC = AG = 2, BD = 2.cot
0
60
=

2
3

Áp dụng định lý cosin trong tam giác:

2 2 2
BD AB AD 2.AB.AD.
  
cos
0
45


2 2 2 0
AC AD CD 2.AD.CD.cos135
  



2 2 0 0
BD AC 2.AD.AB.cos45 2.CD.AD.cos135
   

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
= -2
2
AB.AD

4
3
- 4 = -2
2
AB.AD

AB.AD =
4
3 2



- Thể tích cần tìm:
V = AB.AD.EA.sin
0
45

=
4
3 2

2
2

2 (đvtt)
Bài 4
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC là tam giác vuông
cân, cạnh huyền bằng
2
. Biết mặt phẳng (AED) vuông góc với mặt phẳng

(ABC), AE =
3
. Góc

AEB
là góc nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với
(ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của lăng trụ?
A
B
C
K
E
M
H
G


Trình bày lời giải
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Hạ
EK AB(K AB)
 

EK (ABC)


. Vì

AEB
là góc nhọn nên K thuộc
đoạn AB
Kẻ
KM AC



EM AC

( theo định lý ba đường vuông góc )


EMK
=
0
60
. Giả sử EK = x ,
2 2
EK EA EK
 
=
2
3 x


MK = AK.sin


KAM
=
2
2

2
3 x


Mà MK = EKcot
0
60
=
x
3
, do đó:
2
2

2
3 x

=
x
3


x =
3
5

Vậy V = EK.
ABC
S

=
1
2
AC.CB.EK =
3 5
10
( đvtt)


Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có đáy là hình thoi có độ dài cạnh
bằng a. Góc

BAD
=
0
60
,
AF BH

. Tính thể tích của khối lăng trụ đó?
Bài 2
Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a.
M là trung điểm của AD, góc


BMC
=

. Tính thể tích của lăng trụ đó?
3. Thể tích của khối hộp chữ nhật
Trong mục này ta sẽ sử dụng định lý sau:
thể tích của khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước
V = a.b.c = B.h trong đó: a, b, c là ba kích thước
B là diện tích đáy
h là chiều cao
Bài 1
Cho khối hộp ABCD.EFGH có tất cả các cạnh đều bằng a,

BAD
=

EAD
=

( 0






0
90
). Tính thể tích khối hộp đó?

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
A
B
C
E
F
G
H
K
D
M


Trình bày lời giải
Hạ
EM AC(M AC)
 
(1)
tam giác EBD cân tại E ( do EB = ED )
BD EO


Mà
BD AC



BD (BAO)




BD EM

(2)
Từ (1) và (2) ta có:
EM (ABCD)

hay EM là đường cao
Đặt

EAO
=

, hạ
EK AB



MK AK

(định lý ba đường vuông góc)

cos
2

cos

=

AM AK
AE AM

=
AK
AE
= cos



cos

=
cos
cos
2




EM = a.sin

=
2
2
cos
a 1
cos
2




=
2 2
a
cos cos
2
cos
2

 





Thể tích cần tính: V = AB.AD.EM.sin

=
2
a .sin

2 2
a
cos cos
2
cos
2

 



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
=
3
a .sin
2

2 2
cos cos
2

 
(đvtt)
Bài 2:
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đáy là hình chữ nhật có
AB =
3
, AD =
7
, hai mặt bên (ABDE) và (ADEH) lần lượt tạo với đáy
các góc
0
45
và
0
60
, độ dài tất cả các cạnh bên đều bằng 1. Tính thể tích của

khối hộp đó?
A
B
C
E
F
G
H
M
K
D
N


Trình bày lời giải
Kẻ
EK (ABCD),(K ABCD)
 
,
KM AD(M AD)
 
,
KN AB(N AB)
 

Theo định lý ba đường vuông góc ta có:
AD EM,AB NK
 

Ta có:


EMK
=
0
60
,

ENK
=
0
45
,đặt EK = x khi đó: EM =
0
x
sin60
=
2x
3

AM =
2 2
EA EM

=
2
3 4.x
3

= KN mà KN = x.cot
0

45

Nên x =
2
3 4.x
3

do đó x =
3
7

Thể tích khối hộp chữ nhật:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
V = AB.AD.x =
7
.
3
.
3
7
= 3 (đvtt)
Bài 3
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d, đường chéo tạo với
đáy góc

, tạo với mặt bên lớn góc

,tính thể tích của khối hộp đó?

B
C
D
E
F
G
H
A



Trình bày lời giải
Đường chéo AG có hình chiếu lên (ABCD) là AC,lên mặt phẳng (BCGF0
là BG nên:

GAC
 
,

AGB
 

Áp dụng định lý Pytago trong các tam giác: ACG, GBA, ABC có
CG = d.sin

, AC = d.cos

,AB = d.sin

,

BC =
2 2
AC AB

= d.
2 2
cos sin
  

ta có V = AB.BC.CG = d
3
.sin

.sin

.
2 2
cos sin
  

Mà:
 
1 cos2 1 cos2 1
cos2 cos2
2 2 2
   
    
= cos(

+


).cos(

-

)
Vậy V = d
3
.sin

.sin

.
cos( ).cos( )
    
(đvtt)
Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a, AD = b, góc

BAD
 
, đường chéo AD tạ với đáy góc

. Tính thể tích khối hộp chữ
nhật đó?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
Bài 2

Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC, qua mỗi cạnh của
tứ diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối diện, các mặt phẳng nhận được
xác định một hình hộp:
1) Chứng minh hình hộp nói trên là hình hộp chữ nhật?
2) CMR
hhcn ABCD
V 3V


3) Gọi IJ, EF, MN là các dường trung bình của tứ diện.
CMR:
ABCD
1
V
3

IJ.MN.EF
Bài 3
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M là trung điểm của AD, mặt
phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số thể tích của hai khối đa
diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt hộp?
4. Bài toán cực trị thể tích
Bài 1
Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, các cạnh còn lại bằng 1,với giá
trị nào của x, y thì thể tích của khối chóp là lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó?
A
B
C
S
N

M


Trình bày lời giải
Gọi M, N là trung điểm của SA, BC, ta có:
S.ABC
V
= 2.
S.MBC
V
, các tam giác
ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS



ABS =

ACS và là các tam giác
cân
Ta có:
BM SA,CM SA
 

SA (MBC)



SM (MBC)

,

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
SM là đường cao, SM =
x
2

Tính diện tích đáy:
MB = MC =
2
x
1
4

, MN =
2
2
BC
BM
4

=
2 2
x y
1
4



MBC
S

=
1
2
MN.BC =
2 2
y x y
1
2 4



Thể tích:
S.MBC
V
=
1 x y
3 2 2
 
2 2
x y
1
4


=
xy
12

,
S.ABC
V
=
2 2
xy x y
1
6 4



Ta có: ( x-y)
2


0

x
2
+ y
2


2xy


2 2
x y xy
4 2






S.ABC
V
=
2 2
xy x y
1
6 4





xy
6
xy
1
2




1
6
2
2 xy
(xy)

2





1
6
xy xy
2 (2 xy)
2 2


Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số
xy
2
,
xy
2
, (2-xy) ta có:

xy
2
xy
2
(2-xy)


3
3

xy xy
(2 xy)
2 2
3
 
  
 
 
=
16
27


V


1
6
16
27
=
2 3
27
, dấu bằng xảy ra khi
2 2
x y 2xy
xy
2 xy
2


 


 




x = y =
2
3

Bài 2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt
phẳng (SBC) bằng 2a, gọi là góc giữa mặt bên với mặt đáy, với giá trị nào
của

thì thể tích của khói chóp là lớn nhất?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
A B
C
S
H
M
I
N
D


Trình bày lời giải
M, N là trung diểm của BC và AD nên

SMN
 
, vì AD // BC suy ra AD //
(SBC)

d(A,SBC) = d(N,SBC) (1)
Mặt khác:
MN BC,SM BC
 



BC (SMN)




(SBC) (SMN)


Do SM =
(SBC) (SMN)

, kẻ
NH SM




NH (SBC)

,
d(N,SBC) = NH (2)
từ (1) và (2) ta có NH = 2a
Hệ thức lượng trong tam giác vuông MNH ta có: MN =
NH
sin

=
2a
sin


Diện tích đáy :
2
2 2
ABCD
4a
S AB MN
sin
  


Gọi I là tâm đáy thì ta có
SI = MI.tan


=
a a
tan
sin cos
 
 

Thể tích:
thể tích V =
1
3
SI.
ABCD
S
=
3
2
4a
3sin .cos
 


2
min
V sin .cos
  
đạt GTLN

cos


(1 -
2
cos

) đạt
GTLN
Đặt x = cos

, xét hàm số y = x - x
3
trên (0,1), xét dấu hàm y ta được
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
www.vnmath.com
max
y
=
3 2 3
y( )
3 9

khi và chỉ khi x =
3
3


cos

=
3

3

Vậy
3
min
V 2a 3

( đvtt )
Bài 3
Cho tam giác đều OAB có AB = a, trên đường thẳng đi qua O và vuông
góc với mặt phẳng(OAB) lấy điểm M, đặt OM = x,Gọi E, F lần lượt là các
hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB.Đường thẳng EF cắt d tại N. Xác
định x để thể tích khối chóp ABMN là nhỏ nhất?
A
O
B
M
E
F
N


Trình bày lời giải
Gọi V là thể tích khối tứ diện ABMN ta có
V =
M.OAB N.OAB
V V

=
OAB OAB

1 1
OM.S ON.S
3 3
 

=
OAB
1
(OM ON).S
3



Do đó thể tích V nhỏ nhất

( OM + ON ) đạt GTNN
Hai tam giác

OMB



OFN suy ra: OM.ON = OF.OB = hằng số vì O,
F, B cố định, ta có: OM + ON
2 OM.ON

dấu “ = ” xảy ra

OM = ON
nên ( OM + ON ) đạt GTNN


OM = ON = x
Vì OM.ON = OF.OB


2
2
a
x
2




a 2
x
2

( OF =
a
2
, OB = a )
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.