sáng kiến kinh nghiệm giải bài tập toán

Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học
Giải bài tập toán
A. Đặt vấn đề
Q
ua quá trình học toán, rồi dạy toán tôi đã cảm nhận ở học sinh và học sinh
của mình nhiều khi rất vất vả trong việc giải toán. Nhiều em học sinh đã rất
khổ tâm khi không giải đợc những bài toán mà thầy cô cho về nhà, nhất là
những bài toán trong các kì thi, kiểm tra vì thời gian có hạn.Tự kiểm điểm
thấy những em đó đã cố gắng học toán và nắm chắc kiến thức và cũng đã
xoay đủ mọi cách nhng cuối cùng vẫ bế tắc không tìm ra lời giải. Khi đợc
xem lời giải của sách giáo khoa hoặc thầy cô giáo thì các em cảm thấy rất
tiếc vì bài toán không phải là khó.Về nguyên tắc thì các kiến thức cần vận
dụng đều là kiến thức cơ bản đôi khi bài toán rất đơn giản ngoài sức tởng t-
ợng của các em. Nguyên nhân của sự bế tắc đó là ngời giải toán cha có kinh
nghiệm phân tích suy nghĩ tìm lời giải bài toán. Nh vậy thuộc lý thuyết hoàn
toàn cha đủ mà phải vận dụng các kiến thức đó nh thế nào để có hiệu quả.Vì
vậy ngời giải toán cần nắm đợc phơng pháp chung tìm lời giải bài toán.
Biết vận dụng linh hoạt phơng pháp đó. Rồi mỗi bài toán lại có cách giải
riêng muôn hình muôn vẻ. Thời gian học thì hạn chế nên ngời học toán cần
phải biết rèn luyện phơng pháp suy nghĩ đúng đắn và biết đúc rút ra kinh
nghiệm. Sau đây tôi xin nêu một vài kinh nghiệm dạy học: Giải bài tập
toán .
Thật ra kinh nghiệm giải toán vô cùng phong phú song trong phạm vi nhỏ
hẹp tôi chỉ xin nêu ra một số khía cạnh:
Cách học, ghi nhớ, vận dụng kiến thức cơ bản
Có phơng pháp tìm lời giải bài toán
Rèn luyện óc phân tích bài toán
Biết nắm đặc thù bài toán
Những vấn đề này nêu ra thật hiển nhiên, song vận dụng vào từng bài

thì không phải là dễ.
-1-
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Tôi có dùng ví dụ minh hoạ và thực nghiệm giảng dạy. Chắc rằng
không tránh khỏi khiếm khuyết rất mong đợc sự góp ý của đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
-2-
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
A. Nội dung cụ thể
I , Cách học, ghi nhớ, vận dụng kiến cơ bản nh thế nào
Theo tôi vấn đề này cũng rất quan trọng làm bớc đệm làm nền cho việc
giải toán. Bởi vì nếu ngời học toán không nắm đợc lý thuyết cơ bản,
không biết vận dụng kiến thức đó nh thế nào thì ngời thầycó thể oay các
phơng pháp khác nhau mà ròvẫn không hiểu bài. Do đó yêu cầu rất cần
thiết đối với ngời học toánlà nắm chắc kiến thức cơ bản. Vấn đề đặt ra
là dạy và học nh thế nào? Theo tôi:
1, * Khi dạy định nghĩa, khái niệm, định lý áp dụng tốt ph ơng pháp
bộ môn. Chẳng hạn khi dạy khái niệm toán học thì l u ý các b ới hình
thành khái niệm:
B ớc 1: Hình thành biểu tợng về khái niệm
B ớc 2: Khám phá dấu hiệu bản chất của khái niệm
B ớc 3: Khái quát hoá: Phát biểu định nghĩa, khái niệm
B ớc 4: Củng cố khái niệm gồm:
- Hình ảnh để minh hoạ cho khái niệm
- Các hình thức biểu hiện
Ví dụ khi dạy khái niệm: Hình chữ nhật ta giới thiệu mô hình vật xung
quanh có dạng hình chữ nhật
* Khi dạy về định lý cần nắm vững 4 b ớc:

B ớc 1: Hình thành biểu tợng < khái niệm phải chứng minh >
B ớc 2: Khái niệm đợc chứng minh đợc giới thiệu rõ ràng có hệ thống dới
dạng giả thiết, kết luận.
B ớc 3: Dùng phân tích đi lên để tìm đờng lối chứng minh
B ớc 4: Sử dụng các phơng pháp chứng minh và quy tắc suy luận để chứng
minh.
* Khi dạy học giải bài tập toán (4 b ớc)
B ớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
B ớc 2: Xây dựng chơng trình giải toán
B ớc 3: Thực hiện chơng trình
B ớc 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải gồm:
- Kiểm tra các bớc giải
- Khai thác các cách giải dẫn đến bài toán mới
- Đặc biệt hoá, khái quát hoá
-3-
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Nếu nh giáo viên áp dụng tốt các phơng pháp này một cách sáng tạo và
phù hợp với từng đối tợng học sinh thì sẽ thu đợc hiệu quả cao.
2, Để khắc sâu định nghĩa khái niệm, định lý, ta cần l u ý:
- Đơn giản hoá khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh hiểu
bản chất.
- Hớng dẫn học sinh cách nhớ qua từng khái niệm, từng bài ( nhớ
dạng tổng quát phát biểu thành lời )
- Dùng minh hoạ hình ảnh, liên hệ thực tế sinh động.
Tôi xin nêu một vài ví dụ dạy Đại số lớp 8 phần hằng đẳng thức I
B ớc 1: Giáo viên (GV) khẳng định cho học sinh (HS) sự tồn tại của hằng
đẳng thức (HĐT).
HS ghi nhớ dạng tổng quát: A
2

+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
Từ dạng tổng quát đó cho học sinh phát biểu thành lời: Bình ph ơng của
biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích của biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ
hai cộng với bình phơng biểu thức thứ hai .
? Đâu là biểu thức 1 (A); đâu là biểu thức 2 (B).
B ớc 2: Cho HS làm bài tập để phát triển t duy theo chiều thuận.
Bài 1: Điền đúng (Đ) sai (S)
1, ( m+1)
2
= m
2
+ 2m + 1
2, ( m+n)
2
= m
2
+ 2mn + n
2
3, ( a + 1)
2
= a
2
+ 2a + 1
4, ( a + )
2
= a
2

+ a +
5, ( 2m+n)
2
= 4m
2
+ 2mn + n
2
6, ( 3x+y)
2
= 9x
2
+ 6xy + y
2
Bài 2: Khai triển tiếp (nâmg cao)
1, ( a+b+1)
2
= ? a
2
+ b
2
+2ab + 2a + 2b tại sao?
2, ( a + b+ c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2bc + 2ac

B ớc 3: Giúp HS hoàn thiện t duy theo chiều ngợc lại.
Bài 1: Viết tiếp các hằng đẳng thức (hoàn thiện)
1, a
2
+ 2ab + b
2
= ?
2, a
2
+ 25 + 10a = ?
3, 2a + a
2
+ 1 = ?
4, b
2
+ b + = ?
5, 4a
2
+ 4a + 1
2
= ?
6, 25a
2
+ 10a +1 = ?
7, m
2
+n
2
2mn - a
2

+ 2ab - b
2
= ?
B ớc 4: Củng cố, liên hệ thực tế, ích lợi của hằng đẳng thức 1
Bài 1: Tính nhanh
-4-
2
1
2
1
4
1
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
1, 51
2
+2.49.51+ 49
2
= ?
2, 23
2
+ 17
2
+ 46.17 = ?
3, 273
2
+454.273 + 227
2
= ?
5, 2004

2
+12.2004 + 36

= ?
6, 105
2
=(100+5)
2

BP một số có tận cùng là 5, có 2 chữ
số tận cùng là 25
Rồi các bài tập vận dụng khác: gpt, chứng minh .
Đối với môn hình khi dạy mỗi định nghĩa, khái niệm ngoài việc cho HS
nắm vững dấu hiệu bản chất cách vẽ hình ta cần khai thác mở rộng gắn các
khác niệm đó với các bài tập liên quan, cung cấp cho HS phơng pháp làm các
dạng bài tập đó lấy ví dụ bài tập cụ thể minh hoạ cho phơng pháp ( có thể bài
tập sách giáo khoa, sách bài tập, ôn tập kiểm tra )
VDụ 1: Khi dạy bài: Đờng tròn ngoài việc cho HS nắm vững định nghĩa
đờng tròn, các cách xác định đờng tròn.ta gắn luôn bài tập thứ nhất.
Dạng 1: Phơng pháp chứng minh điểm thuộc đờng tròn ? Có những phơng
pháp nào? ( HS sẽ nêu 3 phơng pháp GV bổ xung )
Phơng pháp 1: Điểm đó (các điểm đó) cách đều 1 điểm cố định, một
khoảng không đổi. ( Dựa vào định nghĩa đờng tròn )
Phơng pháp 2: Điểm cách tâm của đờng tròn 1 khoảng đúng bằng bán kính
( d = R)
Phơng pháp 3: Điểm nhìn 1 đoạn thẳng dới một góc vuông ( quỹ tích )
Phơng pháp 4: Tứ giác chứa 4 điểm nội tiếp đờng tròn ( chơng 2 ) mới áp
dụng.
Phần minh hoạ bài tập. Bài tập SGK:
Ngoài ra có thể bổ xung 1 số bài tập khác nh sau:

Bài 1:

Khai thác:
- Tìm hiểu bài toán: cho gì? c/m?
- Xác định dạng toán c/m gì? Dạng 1
- Nêu các phơng pháp c/m
- Chọn phơng pháp nào? <p1> Tức là cần c/m gì
MB = MI = MK = MC = BC không đổi
-5-
2
1
ABC Có MB= MC; MD AB;
ME AC, I AB/ DB = DI
K AC/ EK = EC
Gt
Kl
4 điểm B, I, K, C 1 đtròn
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
- C/m nh thế nào?
MBI cân tại M ?
CMR cân tại M ?
Việc chứng minh là dễ dàng
Câu a:? Xác định dạng toán:
? Chọn phơng pháp chứng minh: Tại sao chọn phơng pháp
đó (giả thiết cho đờng cao góc vuông )
- Phơng pháp 3: Chỉ ra BEC = 1v E đtròn đờng kính BC
(Quỹ Tích)
BFC = 1v F đtròn đờng kính BC
(Quỹ tích)

4 đỉnh B,F,E,C 1 ĐTròn có đờng kính BC hay (O; )
- Phơng pháp 1: OB = OF = OE = OC = BC ( Bài 1)
(cách này dài hơn)
Hay khi dạy bài tiếp tuyến của đờng tròn ngoài việc giúp
HS nắm vững định gnhĩa, tính chất tiếp tuyến ta gắn dạng bài tập:
Dạng 2: Chứng minh một đờng thẳng a là tiếp tuyến của một đờng
tròn (O;R)
Gọi HS nêu các phơng pháp chứng minh: GV phân tích phơng
pháp này cơ sở từ định nghĩa, từ tính chất, hay từ vị trí tơng đối.
Phơng pháp 1: Đờng thẳng a và đờng tròn (O;R) có một điểm chung
nhất.
-6-
2
BC
2
1
ABC nhọn BE AC; CF AB
BE CF tại H
Gt
Kl 1, AH BC
2, 4 điểm B, F, E, C đtròn
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Phơng pháp 2: Khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a đúng bằng
bán kính (d = R)
Phơng pháp 3: Đờng thẳng a vuông góc với bán kính tại mút thuộc
đờng tròn.
Phơng pháp 4: Hệ thức MT
2
= MA. MB < đối với HS giỏi> có hình

vẽ minh hoạ.
Các phơng pháp này GV thờng xuyên kiểm tra. Sau đó nên có
các bài tập củng cố minh hoạ cho các dạng GV phân tích tìm đờng
lối, giải mẫu, HS áp dụng GV lại sửa sai.
Bài 1:
2. Tìm hiểu bài toán: Cho gì ? C/M gì ?
Câu a:
? Xác định dạng toán: c/m đthẳng là tiếp tuyến
? Chon phơng pháp c/m : phơng pháp 3 (đthẳng bkính tại mút
đtròn )
? Tức là cần c/m gì?
? C/m nh thế nào Khi đó - HS trình bày (lớ chọn)
- GV hớng dẫn phân tích (lớp B,C)
Câu c: ? Xác định: cũng là dạng 1
? Chọn phơng pháp nào để c/m: HS nêu GV phân tích lựa
chọn phơng pháp 2 (d = R)
# Câu a: Bởi vì cha có bán kính tạo ra bằng cách kẻ thêm đờng
(OH MN) Rồi ta c/m (OH = OA)
tức là c/m: d = R
GV nhấn mạnh: Các em cần biết lựa chọn phơng pháp c/m phù
hợp cho mỗi bài toán ( tuỳ theo giả thiết của bài )
ở đây tôi chỉ muốn nhấn mạnh việc áp dụng lý thuyết vào giải
toán nh thế nào chứ không trình bày cách giải. Với phơng châm dạy
-7-
[AB] ; OA = OB
Ax, By AB; M Ax; N By
Sao cho MON = 90
0;
IM = IN
Gt

Kl
a, AB là tiếp tuyến của (I;IO)
b, MO là tia p/giác của AMN
c, MN là t
2
của đtròn đkính AB
d, M,N thay đổi tích AM.BN k
0

đổi
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
nh vậy các định nghĩa, khái niệm, định lí gắn với các dạng toán, và
trong mỗi dạng lại củng cố đến các định nghĩa, định lí liên quan.
Nếu rèn HS liên tục trong các giờ học, các em học tập sẽ tiến bộ
hơn. Nhất là môn hình học mà đa số HS thờng sợ học hơn, kĩ năng
kém hơn.
II. Có ph ơng pháp tìm lời giải
Theo tôi đây là một khâu quan trọng của việc giải toán nh tôi
trình bày ở phần I. Khâu này có 4 bớc:
B ớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
HS cần phải đặt ra câu hỏi : Bài toán cho cái gì ? , Cần cái
gì ? , Mối liên quan giữa cái đã cho và cái phải tìm nh thế nào.
Nếu HS cứ đọc đề bài một cách tràn lan, không có điểm nhấn về các
đơn vị kiến thức thì dễ dẫn việc lựa chọn lời giải sai.
Qua thực tế giảng dạy, dự giờ tôi đã gặp rất nhiều trờng hợp xin
lấy một số ví dụ nh sau: Khi dạy đại số lớp 9 phần giải bài toán
bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình là bài toán rất khó
với HS đặc biệt HS trung bình, yếu. GV cần hớng dẫn cho các em
cách tìm hiểu, tóm tắt bài toán nhằm nêu bật các biểu thức toán học

mà trên cơ sở đó HS có thể lập đợc phơng trình, hệ phơng trình.

Ví dụ 1: Bài 2 (Tr 68) Đại số 9
Đề bài: Hai số hơn kém nhau là 12 đv, nếu chia số nhỏ cho 7, chia
số lớn cho 5 thì đợc thơng thứ 1 kém thơng thứ 2 là 4 đv. Tìm 2 số
đó.
Ta có thể hớng dẫn HS tìm hiểu bài toán nh sau:? Thế nào là 2
số hơn kém nhau 12 đơn vị.
Chuyển thành phép toán: Số lớn số bé = 12
? Chia số nhỏ cho 7 ta có thơng là gì: thơng 1
? Chia số lớn cho 5 ta có thơng là gì thơng 2
so sánh 2 thơng này chuyển thành phép toán - = 4
Từ đó GV hớng dẫn HS chọn ẩn, lập phơng trình, hệ phơng trình dễ
dàng.
Ví dụ 2: Tiết 35 - Đại số 9 giải bài toán bằng cách lập hệ phơng
trình
Đề bài: Hai ô tô khởi hành từ 2 đỉnh A và B cách nhau 150 km, đi
ngợc chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết
-8-
7
sonho
5
solon
7
sonho
5
solon
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
rằng nếu vận tốc của mỗi ô tôA tăng thêm 15 km sẽ bằng 2 lần vận

tốc của ô tô B .
GV cho HS đọc kĩ, tìm hiểu bài toán, phân tích bài toán
? Bài toán cho gì
- S
AB
= 150 km S
AC
+ S
BC
= 150 km
- t
A
= t
B
= 2 giờ 150
gặp
- v
A
+ 15= 2.v
B

v
A
= ?
? Bài toán hỏi gì ( Tách câu hỏi )
v
B
= ?
? Chọn ẩn nh thế nào ( trực tiếp )
Gọi v

A,
v
B
lần lợt là x, y (đv, đk)
? Lập phơng trình (1) x + 15 = 2y (1) ? Tại sao (tóm tắt)
GV: Biết vận tốc của ô tô (A) là x, thời gian của ô tô A đi là 2 giờ ?
? Quãng đờng ô tô đi là 2x (km)
? Tơng tự quãng đờng ô tô B đi là 2y (km)
? Lập ptrình (2): 2x + 2y = 150 (2)
x + 15 = 2y
? Lập hệ phơng trình
2x + 2y = 150
Dù là mất thời gian thì GV cũng nên làm kĩ bớc phân tích rèn
cho HS thói quen phân tích, qua nhiều bài các em cảm thấy hiểu
bài, tự tin hơn, và có sự say mê hơn.
Đối với môn Hình học việc phân tích đề bài (đọc, vẽ, ghi
giả thiết, kết luận) ta cũng không thể coi nhẹ, không nên bỏ bớc đó.
Bởi vì tôi đã gặp rất nhiều trờng hợp: HS khi giải bài hình câu a, b
dễ làm nhanh song đến câu c là bế tắc khi cô giáo hỏi: Bài toán
còn cho gì nữa? . Cho cái này thì suy ra cái gì khi đó các em mới
đi tìm phát hiện ra. Nêú bớc phân tích đề tốt giúp cho các em có
định hớng vẽ hình và chọn phơng pháp giải.
Ví dụ 2: Bài 12 T
4
H
2
8
Đề bài: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia AB, BC, CD, DA lấy
các điểm A , B , C , D sao cho AA = BB = CC = DD . Chứng
minh tứ giác A B C D là hình vuông.

GV: Cho HS đọc đề bài và có định hớng cho HS
? Nêu cách vẽ hình vuông ( GV vẽ )
? Lấy các điểm A, B, C, D nh thế nào ( có 2 cách )
-9-
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
- Điểm thuộc cạnh hình vuông
- Điểm nằm ngoài cạnh hình vuông (thuộc phần kéo dài)

Bài toán cho các đoạn bằng nhau ta nghĩ đến điều gì? (c/m
các tam giác bằng nhau suy ra các đoạn thẳng = nhau, góc =
nhau )
Nêu p
2
c/m tứ giác là hình vuông ? Chọn phơng pháp nào?
- Hình thoi có một góc vuông Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
Có 1 góc vuông
Khi trình bày c/m chỉ xét 1 hình vẽ a ( ở hình vẽ b tơng tự )
Ví dụ 4: Bài 2 TR 19 Hình học 9
H/S đọc, nêu cách vẽ hình (hoặc gọi HS vẽ)? Ghi gt, kl
Câu 1: ? Xác định dạng toán: C/m 2 đờng thẳng song song
? Nêu các phơng pháp chứng minh 2 đờng thẳng song
song
? Em chọn phơng pháp nào? Tại sao? Định lí Talét đảo
(Nếu HS yếu GV phân tích kĩ từng phơng pháp không sử dụng đ-
-10-
Nửa (O; ) Ax AB tại A
By AB tại B
M ; OM CD tại M; BC x AD
tại N

Gt
Kl
1, MN AC
2, CD.MN = CM.DB
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
ợc: cặp góc so le trong = nhau, đvị, 2đt cùng song song, cùng
vuông góc với đờng thẳng thứ 3)
? áp dụng phơng pháp đó để chứng minh MN AC ta cần
c/m gì?
Lập sơ đồ phân tích
Câu 2: ? Xác định toán: c/minh đẳng thức tính
? Phơng pháp chung: c/m 2 ; 2 tỉ số = nhau ( tỉ lệ
thức )
Tóm lại : Một bài toán có thể có nhiều hớng suy nghĩ khác nhau.
Song việc xác định đúng phơng pháp giúp HS có lời giải hay,
ngắn gọn đúng yêu cầu và tốn ít công sức.
B ớc 2: Xây dựng chơng trình giải
Sau khi tìm hiểu kĩ bài toán cần phải biết huy động kiến
thức cần thiết phục vụ cho việc giải toán. Ta có thể dùng phơng
pháp suy diễn hoặc phơng pháp phân tích đi lên để xây
dựng chơng trình lựa chọn phơng pháp phù hợp cho từng bài.
Ví dụ 3: Bài 13 Tr 37 Hình học 8 (vừa nêu bớc 1)
Khi HS xác định phơng pháp hình thoi có một góc vuông
GV cùng HS lập sơ đồ phân tích đi lên với hệ thống câu hỏi?
Muốn chứng minh ABCD là hình vuông ta cần chứng minh
gì?
? C/m ABCD là hình thoi ta cần chứng minh gì
? Sơ đồ nh sau (ghi từ dới lên)
Xét ABB; BCC; CDD; DAA

Có
AA = BB = CC = DD (gt) Theo chứng minh trên
B = C = D = A = 1v (gt)
AB = BC = CD = DA CDD = DAA
ABB = BCC = CDD = DAA D
3
= A
1
; A
1
+ D
1
= 1v
AB = BC = CD = DA D
1
+ D
3
= 1v
-11-
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
ABCD là hình thoi ADC = 1v (D
2
= 1 v)

ABCD là hình vuông
Ví dụ 4: Bài 2 Tr19. Sơ đồ tìm lời giải
Câu a:
Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau tại D, C
gt

MD = BD
MC = AC NDB NAC

MN AC
Câu b:
MN AC (câu a)
AC BD (cmt)
MN BD
CD.MN = CM . DB
Đối với đại số cũng tuỳ từng dạng. Song ta nên rèn cho HS
hình thành các bớc. Nhiều HS khi làm bài tập đại số chỉ có thói
quen giải để tìm ra kết quả không chú ý đối chiếu điều kiện, trả
lời bài toán.
B ớc 3: Thực hiện chơng trình giải (Trình bày lời giải)
Từ chơng trình vừa xây dựng GV phải hớng dẫn cho các em
cách trình bày lời giải. Trình bày vấn đề nào trớc, sau, dẫn dắt
nh thế nào, lập luận ra sao. Giáo viên làm mẫu một số ý, bài với
lời giải chuẩn mực ngắn gọn đủ ý, lập luận chặt chẽ, chính xác.
Nếu là bài hình sơ đồ đánh số thứ tự từ trên xuống dới gọi
HS tự trình bày GV bổ xung, sửa chữa, rèn lập luận chứng minh,
hoặc gọi HS lên bảng trình bày, cô giáo tổ chức sửa sai ( gọi HS
nhận xét sửa bài cho bạn, cho bài tơng tự để HS luyện củng cố kĩ
năng, kiểm tra ngắn, kiểm tra giấy nháp ).
Có nhiều em HS tìm ra lời giải rất nhanh. Nhng kĩ năng trình
bày hạn chế do vậy thi cử, kiểm tra điểm sẽ không cao. Còn có
HS trung bình, yếu thì khâu này càng khó chẳng biết bắt đầu từ
đâu. Do vậy tôi rất chú ý đến việc trình bày lời giải. Cần dạy cho
các em từng kĩ năng nhỏ nhặt nhất vẽ hình vào vị trí nào ? To hay
nhỏ ( tuỳ theo bài toán ). Ví dụ nếu bài toán cho đtròn nội tiếp
tam giác mà vẽ đờng tròn quá to thì tam giác ngoại tiếp khó vẽ

-12-
AC
DB
MC
MD
=
AC
DB
NA
ND
=
NA
ND
MC
MD
=
BD
MN
CD
CM
=
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
phù hợp sẽ mất cân đối, nên vẽ hình bằng bút chì (ban đầu ) nếu
cần điều chỉnh dễ làm. Rồi những từ ngữ dẫn dắt trong hình học.
Nối hình vẽ, kẻ thêm đờng,
Vì vậy, do đó, mặt khác dùng nh thế nào cho hợp lí. Tôi th-
ờng hay nhắc nhở HS rằng: Các em trình bày bài cho một ng ời
khác đọc (nghe) nên nói (viết) nh thế nào cho hấp dẫn nhất,
nhìn vào bài của mình ngời chấm đã có cảm tình rồi

Đối với môn đại số dạng giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình, hệ phơng trình. Ta có thể hớng dẫn các em:
1, Về kĩ năng chọn ẩn
- Nếu chọn cách gọi trực tiếp: Bài toán hỏi gì em gọi cái gì đó là
ẩn ( thêm đơn vị, điều kiện ) bắt đầu là từ gọi x
(đv)? (đk ) ?
- Nếu chọn ẩn gián tiếp: Lựa chọn ẩn nào và làm nh thế nào ?
2, Kĩ năng biểu thị số liệu qua ẩn, lập phơng trình
Các em chú ý đến các từ ngữ, mối liên quan. Ví dụ2
Vì vận tốc ô tô A tăng thêm 15 km/h thì bằng vận tốc ô tô B
nên ta có phơng trình:
x + 15 = 2 y (1)
3, Kĩ năng giải phơng trình, hệ phơng trình
? Chọn phơng pháp nào (giải hệ bằng phơng pháp cộng, thế) lu ý
các hệ phơng trình là tơng đơng
4, Kĩ năng trả lời
Thay từ Gọi ở phần đầu bằng từ Vậy
Thay các chữ x, y bởi các giá trị vừa tìm đợc ta có câu trả lời.
B ớc 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải gồm các công việc sau:
1, Kiểm tra các bớc giải
2, Khai thác các cách giải
3, Đặc biệt hoá nội dung bài toán
Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCDcó M, N là trung điểmcủa các
cạnh AB, CD Chứng minh rằng MN
? Phân tích tìm lời giải
? Kiểm tra các bớc giải
? Từ điều cần chứng minh biến đổi một chút ta đợc gì: MN
? Chứng minh MN tổng của 2 đoạn thẳng ta nghĩ đến cách
chứng minh nào ?
- So sánh1 cạnh của tam giác với 2 cạnh kia

-13-
2
BCAD
+
2
BCAD
+
2
BCAD
+
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
? đó nh thế nào: Tạo ra 1 có 1 cạnh là MN
và 2 cạnh kia bằng một nửa canh AD, BC
? Cạnh có độ dài bằng nửa AD, BC
là đờng nào (đờng trung bình của ACD, ABC)
? Hãy tạo ra đờng trung bình của . Lấy I là trung
điểm của AC nối MI, NI
? Trình bày lời giải nh thế nào (GV hớng dẫn) HS tự trình bày.
Khi HS trình bày xong cách giải, GV khích lệ các em tìm cách khai
thác bài toán này để tạo ra bài toán mới.
Từ MN . Ta đổi thành 2MN AD + BC
Từ đó vẽ hình mới và chọn phơng pháp khác để chứng minh


Vì N là trung điểm của CD. Nối BN kéo dài cắt đờng thẳng
qua A song song với MN tại E. Suy ra BN = NE (tính chất đờng
trung bình của )
Nối DE ta có BNC = END (c.g.c)
Suy ra: BC = DE (1)

Xét ADE có AE AD + DE (2)
Mà AE = 2MN (3) (t/c đờng trung bình)
Từ (1), (2), (3) suy ra MN AD + BC MN
Hoặc trong quá trình GV có thể thay đổi đề bài bằng các
mệnh đề tơng đơng mà cách giải không thay đổi. Ví dụ ở Đại số
loại bài tập Tìm tập xác định có thể thay là Tìm điều
kiện để biểu thức có nghĩa .
Hoặc dạng giải phơng trình có thể thay là tìm x .
-14-
2
BCAD
+
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Ví dụ 2: Bài 7 Tr 36 Hình học lớp 8
? Khai thác cách c/ minh - hbh + 1 đ/c là p/giác 1 góc (c1)
1 tứ giác là hình thoi - hbh + 2 cạnh kề = nhau (c2)
- hbh có 2 đ/c vuông góc (c3)
- tứ giác có 4 cạnh = nhau (c4)
? So sánh cách nào ngắn nhất,, hay nhất ()c1
? Khai thác thêm bài toán: c/ minh
1, ED BC
2, ED AM
3, Tứ giác ADME có là hình vuông không?
4, Nếu có cần thêm điều kiện gì? Hoặc

ABC cần có điều kiện
để tứ giác ADME là hình vuông? Ta thay đổi điều kiện bài toán
nh thế nào?
- Cho ABC vuông cân tại A

Ví dụ 3: Khi dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 (HS
đã quen). Sang lớp 9 ta có thể liên hệ dẫn dắt chuyển dạng bài tập
để HS vận dụng nhanh, dễ hiểu.
Lớp 8
1, x
2
+ 2x + 1 = (x +1)
2
2, xy + x + y + 1 = ( x+ 1)(y + 1)
3, x
2
+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Lớp 9


(x, y ] 0)
với x ] 0
Hoặc
Trong một số bài toán sử dụng phơng pháp đặc biệt hoá là vô cùng quan
trọng. Ta xét các ví dục sau:
Ví dụ 4: Cho đ ờng (O) ngoại tiếp

ABC nhọn có H là trực tâm. Hạ OK
vuông góc BC. So sánh AH và OK .
-15-
gt
kl
ABC (AB = AC); MB = MC
ME AC ; MD AB
E AB ; D AC

Tứ giác ADME là hình thoi
2
)1(12 +=++ xxx
)1)(1(1 ++=+++ yxyxxy
2
)1(12 +=++ xxx
)3)(2(65
2
yxyxyxyx ++=++
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Giải bài toán này khi giải cho HS ta không thể áp đặt AH = 2 OK. Mà
giúp HS tự tìm ra đờng lối giải bằng cách vẽ các trờng hợp đặc biệt. Từ đó
HS sẽ tự rút ra biểu thức AH = 2 OK
Vẽ hình 3 trờng hợp:
1,

ABC là tam giác vuông (h.a)
2,

ABC là tam giác đều (h.b)
3,

ABC là tam giác thờng (h.c)
(h.a) (h.b) (h.c)
Trực tâm trùng với đỉnh
B OK là đờng TB.
ABC
OK =
Điểm O H

ABC đều O là trọng tâm

OK =
Tạo ra AFH có OK là đ-
ờng trung bình
OK =
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì của
một tam giác đều tới các cạnh của nó là một số không đổi.
Sử dụng phơng pháp đặc biệt hoá chọn 3 vị trí điểm M.
1, M trùng với đỉnh A của tam giác
Khi đó khoảng cách từ M tới 2 cạnh AB, AC bằng 0
Khoảng cách từ M tới BC chính là AH ( đ/cao tơng ứng )
K/c = 0 + 0 + AH = AH (không đổi)
2, M thuộc 1 cạnh của

khi đó K/c = MI + MJ
Từ M kẻ ML BC ALM đều
( vì M = A = 60
0
L = 60
0
)
Suy ra MI = AN (2 đ/cao đều )
MJ = HN ( t/c đoạn chắn )
Do đó MI + MJ = AN + NH = AH ( k
o
đổi )
-16-
AH
2

1
AH
2
1
AH
2
1
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
3, M thuộc miền trong của

ABC: Ta cần chứng minh
MI + MK + MJ Là không đổi
Qua M kẻ đờng thẳng BC cắt AH tại N
AB, AC tại Q, R ABC đều
Khi đó suy ra M 1 cạnh của AQR
Ta có: MI + MJ = AN; MK = NH
Nên MI + MJ + MK = AN + NH = AH
Tóm lại: K/cách từ 1 điểm bất kì của 1 đều tới các cạnh của nó
là một số không đổi đúng bằng độ dài đờng cao.
III, Rèn luyện óc phân tích một bài toán
Gặp một bài toán điều trớc tiên đặt ra là nên dùng phơng pháp nào để
giải nó. Muốn vậy phải biết cách phân tích bài toán. Xác định xem bài toán
ấy thuộc loại toán nào, có liên quan gì tới các bài toán đã biết. Từ đó mới
quyết định sẽ sử dụng những kiến thức nào để giải nó. Nhất là với những bài
toán có ý nghĩa thực tế ta có cách phân tích bài toán khéo léo mới tìm ra lời
giải đúng.
Ví dụ 1: Một bức t ờng cao 10 mét. Một con sên bò từ dới chân tờng lên.
Ban ngày nó lên cao đợc 3 mét, ban đêm nó lại tụt xuống 2 mét. Hỏi con sên
leo hết bức tờng đó mất mấy ngày, mấy đêm ?

? Khi phân tích bài toán ta cần chú ý dữ kiện gì
? Ban ngày nó leo cao 3 m, ban đêm nó lại tụt xuống 2 m . Nh vậy 1
ngày ? 1 đêm con sên leo đợc bao nhiêu (1 mét)
? 7 ngày, 7 đêm con sên leo lên đợc bao nhiêu (7m)
? Còn 3 mét nữa con sên leo mất bao lâu 1 ngày
? Tổng cộng là mấy ngày? Mấy đêm? (8 ngày, 7 đêm)
? Trả lời bài toán nh thế nào
HS trình bày cách giải
Ví dụ 2: Tôi có một tờ giấy to và xé nó thành 9 mảnh. Sau đó lấy một số
mảnh xé tiếp mỗi mảnh thành 9 mảnh nhỏ, rồi trộn vào các mảnh cũ. Tôi lại
lấy một số mảnh trong đống ấy xé mỗi mảnh thành 9 mảnh khác rồi lại trộn
vào các mảnh cũ, cứ nh thế tiếp tục. Một lúc sau tôi dừng lại và nhờ một ng-
ời bạn đếm giúp số mảnh giấy có đợc. Anh ấy nói 1968. Hãy chứng minh
rằng anh ấy đếm sai!
Có rất nhiều bài toán kiểu nh thế này. Ta hay gặp ở trong một số các cuộc
thi tài của HS trên vô tuyến. Thoạt đầu nghe bài toán có vẻ rắc rối. Bởi vì
không cho biết xé bao nhiêu lần , mỗi lần xé bao nhiêu mảnh . Làm sao
có thể tính đợc số mảnh để mà khẳng định anh ấy đếm đúng hay sai Qủa
thật là khó song ngời giải toán phải hết sức bình tĩnh phân tích quá trình
Xé giấy trong bài toán. Mỗi lần lấy từ đống giấy lên 1 mảnh xé thành
9 mảnh rồi lại bỏ vào đống. Vậy sau 1 lần xé giấy số mảnh giấy tăng
-17-
45
yx
=
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
lên là 8 mảnh . Ban đầu có 1 tờ giấy to . Vậy số mảnh cuối cùng phải là
bội của 8 cộng với 1 hay số đó có dạng 8k +1 bởi vì
1968 1 = 1967/ 8

Chứng tỏ anh bạn kia đêm sai!
Hay có thể lấy ví dụ phần giải toán bằng cách lập hệ phơng trình ở lớp
9. Nhiều em HS khá giỏi vội vàng không phân tích kĩ bài toán dễ bị hiểu
sai, giải sai bài toán. Có thể các em lại biến vẫn đề đơn giản thành phức tạp.
Ví dụ 3: Một hình chữ nhật có chu vi là 216 m. Nếu giảm chiều dài đi
20% và tăng chiều rộng thêm 25% thì chu vi hình chữ nhật không thay đổi.
Tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Tôi đã cho HS giải bài toán này và thấy các em suy nghĩ phân tích nh
sau: Giảm chiều dài đi 20 % suy ra tìm chiều dài sau khi giảm.Tăng chiều
rộng lên 25 % suy ra tìm chiều rộng sau khi tăng
Loay hoay mãi mà cha lập đợc hệ phơng trình. Sai lầm ở chỗ cha phân
tích thấy: Mấu chốt của bài toán ở chỗ nào? Đó là: Chu vi HCN không
đổi do đó suy ra lợng tăng và lơng giảm phải bằng nhau.
? Gọi ẩn nh thế nào:
- Gọi chiều dài của HCN là x (m)
- Chiều rộng của HCN là y (m) (đk: x,y> 0;x,y <108)
? Tính lợng giảm:
- Vì chiều dài giảm đi 20 % nên lợng giảm là x/5 (m)
? Tính lợng tăng:
- Tăng chiều rộng lên 25 % thì lợng tăng là y/4 (m)
? Lập phơng trình (1):
2 (x + y ) = 216 (1)
? Lập phơng trình (2):
Mà chu vi HCN không đổi nên lợng tăng và lợng giảm bằng nhau ta có
phơng trình:

(2)

? Lập hệ phơng trình: Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phơng trình
2( x + y ) = 216

-18-
45
yx
=
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Đến đây HS giải dễ dàng.Vì vậy ta cần lu ý cho HS đọc kĩ, dạy các
em tóm tắt bài toán, phân tích dữ kiện bài toán, liên tục đặt ra các câu hỏi
kích thích t duy: Cho cái này tìm đ ợc cái gì?
Muốn chứng minh vấn đề này ta làm nh thế nào?
Rồi ta còn phải liên hệ bài toán này với nhiều bài toán khác đã làm
rồi, cách phân tích nh thế nào. Đối với môn hình học việc phân tích bài toán
càng quan trọng, mà HS cấp THCS kĩ năng nhìn chung còn kém. Nếu những
bài hình đơn giản ta sử dụng phơng pháp Suy diễn gợi mở. Còn đa số là
bài tập hình nên sử dụng phân tích đi lên sẽ tìm ra đờng lối. Nh ở phần
I tôi đã trình bày việc áp dụng lý thuyết nh thế nào ?
Ta đã trang bị cho các em lý thuyết cơ bản, các lý thuyết cơ bản để giải
từng dạng toán. Song tiếp tục lại rèn kĩ năng phân tích Lựa chọn phơng
pháp nào là phải phụ thuộc vào giả thiết của bài toán quay lại.
Ví dụ 4: Bài 2 Tr 19 Hình học 9: Dạng chứng minh 2 đờng thẳng song
song có vô số cách chứng minh. Nếu giả thiết cho đờng phân giác, hoặc tỉ lệ
thức thì ta nên chọn phơng thức sử dụng đinh lý Talét đảo, chứ không nên
chọn các phơng pháp khác vv.
Tóm lại: Kĩ năng phân tích bài toán rất quan trọng nó quyết định cách
giải bài toán đúng, sai, dài, ngắn. Ngoài kĩ năng này ra thì một kĩ năng cũng
rất cần đối với ngời giải toán là:
IV. Biết nắm đặc thù bài toán
Tuy rằng chúng ta có thể sắp xếp các bài toán ra từng loại riêng, ứng
với mỗi loại có một số phơng pháp điển hình để giải. Nhng nếu cứ vận dụng

một cách máy móc đồng loạt nh vậy thì nhiều khi cách giải sẽ không hay
hoặc dài dòng phức tạp. Vì vậy trong quá trình giải toán cần phải lu ý
xem bài toán có Đặc thù gì riêng biệt so với các bài toán khác cùng
loại. Để rồi tìm ra cách giải riêngphù hợp và tối u nhất.
Ví dụ 1: (Toán 9 nâng cao)
Giả sử a < b < c < d. CMR: Với mọi m 1. Đa thức bậc 2
f(x) = (x - a)(x - c) + m (x - b)(x - d) có 2 nghiệm phân biệt
Xét thấy đa thức f(x) có bậc 2. Khi gặp bài toán nh thế này HS lớp 9 theo
cách giải thông thờng sẽ đi chứng minh cho đa thức bậc 2 f(x) có biệt số >
0 rồi tính .
-19-
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Việc tính rất vất vả mới ra đợc kết quả:
= [(a+c)+ m(b+d)]
2
+ 4 (1 + m)(ac + mbd)
Song việc chứng minh > 0 lại khó khăn hơn rất nhiều vì phép biến đổi
rất phức tạp. Tuy nhiên nếu chịu khó thì các em sẽ biến đổi đợc:
= {(d - b)m + [(a + c)(b + d) 2 (bd + ac)]} (b - d)
2
+ (b - a)
(c - b)(d - a)(d - d)
2
Đối với HS lớp 9 các em đã biết rõ định nghĩa đa thức và biết dạng đồ
thị hàm số bậc 2 là đờng cong parabol. Nên ta có thể giải quyết bài toán này
nh sau với 1 cách rất đơn giản:
+ Tính f(b), f(d)
f(b) = (b - a)(b - c) < 0 vì a < b b a > 0
b < c b c < 0

f(d) = (d a )(d - c) > 0 vì a < d d a > 0
c < d d c > 0
Nh vậy hàm số f(x) là đờng cong parabol vừa nằm ở mặt phẳng phía
trên và nửa mặt phẳng phía dới trục hoành cho nên parabol này luôn cắt trục
hoành tại 2 điểm do đó suy ra đa thức f(x) luôn có 2 nghiệm phân biệt với
mọi giá trị m 1.
Ví dụ 2: Toán hệ phơng trình
a, xy = 12 (1)
xz = 15 (2) (I)
yz = 20 (3)

b,
(1) (II)
2x y + 4z = 30 (2)
Câu a, b đều là hệ phơng trình bậc nhất 3 ẩn số. Các em đợc học 4 phơng
pháp giải hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn số. Có thể áp dụng một trong các ph-
ơng pháp này để giải:
1, Phơng pháp cộng
2, Phơng pháp thế
3, Phơng pháp đặt ẩn phụ
4, Phơng pháp minh hoạ bằng đồ thị
Câu a: Có em giải bằng phơng pháp thế từ một phơng trình rút một ẩn
thay vào 2 phơng trình còn lại tìm ra nghiệm của hệ nhng cách giải sẽ dài.
Nếu các em để ý một chút sẽ thấy tích vế trái là (xyz)
2
, tích vế phải 3 phơng
trình là 3600 = 60
2
. Ta sẽ có phơng trình (xyz)
2

= 60
2
. Suy ra xyz = 60. Kết
hợp với 2 phơng trình còn lại tìm ra 2 nghiệm ( 3; 4; 5 ) và ( -3; -4; -5 )
-20-
375
zyx
==
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Đối với câu b: ? Nhận xét phơng trình (1) của hệ có gì đặc biệt ( có 3 tỉ
số bằng nhau )
? Nếu đặt 3 tỉ số bằng số t nào đó ta suy ra gì
x = 5t; y = 7t ; z = 3t
? Nhận xét phơng trình (2) chứa 3 ẩn x, y, z:
? Làm thế nào để xuất hiện phơng trình bậc nhất 1 ẩn t
Thay x, y, z theo t vào phơng trình (2) ta đợc
15t = 30 t = 2 Từ đó suy ra x, y, z
? Nghiệm của hệ phơng trình là: (x = 10; y = 14; z = 6 )
Nh vậy trong quá trình giải toán ta phải biết tổng hợp tất cả các kĩ năng,
các kinh nghiệm từ khâu tích luỹ lý thuyết , phân tích bài toán ,
xây dựng cách giải , trình bày cách giải , khai thác tìm bài toán
mới rồi linh hoạt trong các bài toán có tính chất riêng biệt. vv.
B. Kết thúc vấn đề - Đề xuất ý kiến
Nh đã trình ở trên có rất nhiều kinh nghiệm để giải toán đã đợc các nhà
giáo dục nêu ra ở nhiều sách khác nhau. Ngời giải toán cũng đã biết song
trong quá trình giải toán không phải không gặp khó khăn nhất là đối với đối
tợng HS THCS đang làm quen với giải toán ( còn thiếu kinh nghiệm).
Ta dạy cho các em phơng pháp suy nghĩ, phân tích để tìm đợc lời giải nhanh
nhất, đúng nhất, hớng dẫn cho các em kĩ năng trình bày bài để đạt điểm cao

nhất. Do vậy Thầy phải đặt mình đóng vai Trò để biết đợc Trò
yếu chỗ nào, hoặc tìm cách nói, phân tích truyền đạt nh thế nào để các em dễ
hiểu, để tiếp thu nhất, tuỳ theo từng đối tợng HS. Vừa dạy vừa bổ xung kiến
thức, trau dồi kĩ năng.
Tóm lại: Nghệ thuật dạy học của thầy là yếu tố quyết định chất lợng
giảng dạy. Ngoài việc sử dụng phơng pháp phù hợp, ngời thầy phải cố gắng
tạo lòng tin ở HS tôn trọng những suy nghĩ , phát hiện của HS .
Động viên khích lệ lòng tự tin học tập và sáng tạo ở các em. Ngời thầy phải
biết đơn giản hoá vấn đề phức tạp tạo không khí chủ động, ủng hộ HS
bằng lời nói, cử chỉ hành động chứa đựng nhiệt tình của mình.

-21-
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải bài tập
toán *
Trong những năm học vừa qua tôi cũng đã cố gắng cải tiến phơng
pháp, nội dung giảng dạy, chú ý rèn kĩ năng giải toán cho HS của mình tôi
cảm nhận thấy có kết quả mỗi năm tốt hơn. Tuy nhiên đối tợng HS của tôi là
đối tợng HS vùng nông thôn vẫn còn nhiều vấn đề bất cập mà thầy cô đôi khi
cha tìm ra giải pháp tối u cho chất lợng. Vì điều kiện thời gian, và khả năng
còn có những hạn chế do vậy không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong
nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của độc giả, đồng nghiệp để tôi bổ xung thêm cho
kinh nghiệm của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
ngày tháng năm


-22-