Sáng kiến kinh nghiệm: Giải các bài toán bằng MTCT bậc THCS



  
A. MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết
hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những
bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí
thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt,
…), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp. Nếu
không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu. Như vậy máy tính điện tử
đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ
thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”.
(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).
- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử
dụng rộng rãi trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc
tính toán và những bài tập không thể giải bằng tay.
- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng
MTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán
trên MTCT đều có .
- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của
huyện sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần
lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kó năng
trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác.

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 1

Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kó năng sử dụng MTCT để
giải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo và
chính xác là hết sức cần thiết .
Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan
đến đa thức đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu
hết các tỉnh thành trong cả nước.
Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS
bằng MTCT ”

II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Nhiệm vụ chính:
Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài
toán liên quan đến đa thức.

Đối với giáo viên:
- Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy
với sự hỗ trợ của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn.
- Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài
toán về đa thức bằng MTCT.

Đối với học sinh:
- Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức
- Vận dụng linh hoạt, có kó năng thành thạo.

III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN
HÀNH NGHIÊN CỨU

 Phương pháp:

Đan xen việc giải toán trên MTCT trong các tiết dạy( đưa thêm một

số bài tập có số phức tạp,kết hợp nhiều phép tính,…)
- Sinh hoạt ngoại khoá thực hành giải toán trên MTCT tại trường THCS
Bình Nghi.( Theo kế hoạch đã được bộ phận chuyên môn nhà trường
duyệt)
- Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường.
- Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện.
-



Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010
-

Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh được lựa chọn ở các
khối 7,8,9 từ 5/10/2009 đến 1/11/2009).
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 2


- Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Bình Nghi.
( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009)
- Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện Tây Sơn.
( Từ 14/12/2009 đến 5/01/2010)

B.KẾT QUẢ

I. TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC:

- Học sinh không biết giải các bài tập về đa thức bằng MTCT như thế nào
- Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được
hướng giải chung cho dạng bài tập này.
Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học
2009 – 2010 khi chưa thực hiện đề tài

LỚ
P
7
8
9

SL

BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA
THỨC
SL
TL

30
40
90

5
10
23

16,7%
25%

25,6%

CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA
THỨC
SL
TL
25
30
67

83,3%
75%
74,4%

II. NỘI DUNG – GIẢI PHÁP:
A. KI N TH C C N V N D N G TRONG CÁC BÀI TOÁN A
TH C :
n h lý Bezout : “ D trong phép chia a th c f(x) cho nh th c
a

là f(a)”

H qu :
- N u f(a) = 0 , a th c

f(x) chia h t cho nh th c x – a

- D trong phép chia a th c f(x) cho (ax + b) l f

ổ
ỗ
ỗ
ỗ
ố

bử
ữ
ữ
ữ
aứ

Giaựo vieõn thửùc hieọn: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 3

x –


- N u a th c

P(x) = a nx n + an-1 x n-1 +….+a 1 x + a 0 ( n  N) có n

nghi m x 1 , x 2 …,x n thì a th c P(x) phân tích

c

thành nhân t :

P(x) = a(x – x 1 )(x – x 2 ) ….(x – x n-1 )(x – x n)

Sơ đồ Horner:
Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong
trường hợp tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)
ta có sơ đồ:
an
an- 1
an - 2
…
a1
a0
c bn-1 = an bn -2 =
bn -3 =
…
b0 = cb1 +a1
r = cb0 + a0
cbn-1+ an -1
cbn - 2+ an -2
Vaäy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 vaø
r = c(c(…(c(can + an-1))..)) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0
B. GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TOÁN
CỦA CHỦNG LOẠI MTCT CASIO:
- Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy
casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES.
- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai
dòng máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng
máy 500ES;500VN-Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả
truy xuất hiển thị giống như phép toán ở sách giáo khoa.
- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất

thông dụng
- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng
MTCT
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG :

Dạng 1:Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị
thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được: P(x)=Q(x)
(ax+b) + m + r.
Muốn P(x) chia hết cho x +

b
a

b

thì m + r = 0 hay m = -r = - P( − a ).
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 4




Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ
phương trình của MTCT để giải quyết.

Ví dụ 1: Tìm m

a th c f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia h t cho x – 2
Gi i :

t g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx
f(x)  (x – 2 )  f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2m = 0
Ta có g(2) = –56  f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56  4m2 – 2m – 56 = 0
Gi i ph n g trình n m , ta c m1 = 4 và m2 = –3,5
(*) vaøo EQN chọn phương trình bậc hai một ẩn :
nhập vào maùy a =4 ; b=- 2 ; c= -56  x1 = 4; x2 =- 3,5
Ngh a là hai a th c f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 và
f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 u chia h t cho x – 2

Bài t p t n g t :
Bài 1:Cho a th c f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx + 861 .
Tìm m
HD:

f(x)  (x + 3)

t g(x) = x5 – 3x4 +5 x3 + 861 ta có f(x) = g(x) - m2x2 + mx
Gi i ph n g trình n m , ta

c :

16
3

m 1 = 5 và m 2 = −

Bài 2:

(Sở GD – ĐT TP. Hồ Chí Minh. 2003)
Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m -5
tại x = - 2,5 là 0,49.
HD: Đây là bài toán tìm m để đa thức f(x) chia cho x + 2,5 có số dư là 0,49
Ta có:

f(x) – 0,49  (x + 2,5)

⇒ Tìm giá trị của m biết đa thức x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m - 4,51 chia hết

cho x + 2,5
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 5


Đáp số: 209,105
Ví dụ 2 : Tìm a và b sao cho hai a th c
f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b

và

g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b

cùng chia h t cho (x – 3)

Gi i:
f(x) , và g(x) cùng chia h t cho (x – 3) khi và ch khi f(3) = g(3) = 0
t

A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x

Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b
g(x)=B(x) –3a +2b
f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b  f(3) = 0  2a + 3b = –87
g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b  g(3) = 0  –3a +2b = –318
ì 2a +3b =- 87
ï
ï
Ta có h ph n g trình : í - 3a + 2b =- 318
ï
ï
ỵ
Vào MODE EQN g i ch n g trình gi i h ph n g trình b c nh t hai n ta
c nghi m
( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .

Bài t p t n g t :
Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005)
Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho
(x – 3). Hãy tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức.
Gi i:
P(x) chia h t cho (x – 2) khi và ch khi P(2) = 0
t

A(x) = x4 – 55x2 – 156

Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n
P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n  P(2) = 0  8m + 2n = 360

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 6


P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nP(3) = 0  27m + 3n = 570
ì 8m + 2n = 360
ï
ï
Ta có h ph n g trình : í 27m +3n = 570
ï
ï
ỵ
( n = 172; m = 2;

Bài 2:Tìm m và n

x1 = 2; x 2 = 3; x3 ≈ 2,684658438; x 4 = −9,684658438 )

hai a th c P(x) và Q (x) cùng chia h t cho (x +4 )

P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x + 2m – 3n
Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n
HD : Tương tự như ví dụ 2
Đáp số: m = –4128,8 ; n = –2335,2

Dạng 2 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r,
b

b

trong đó r ∈ R (vì ax + b bậc 1). Thế x = − a ta được P( − a ) = r ( Bezout)

b
a

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( − )

Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:
x14 − x9 − x 5 + x 4 + x 2 + x − 723
x −1,624

Gi i: Đặt P(x) = x14 − x 9 − x 5 + x 4 + x 2 + x − 723
thì số dư : r =P(1,624) = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím: 1 . 624 SHIFT STO X
ALPHA X x14 − ALPHA X x 9 − ALPHA X x 5 + ALPHA X x 4 + ALPHA X x 2 + ALPHA X − 723 =

Đáp số:
85,92136979

Ví dụ 4: Tìm số dư trong pheùp chia:
3x 4 + 5x3 − 4x 2 + 2x − 7
4x − 5

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán

Trang 7

r =


Gi i:
ư Đặt P(x) = 3x 4 + 5x3 − 4x 2 + 2x − 7
4

5

3

5 
 

5 
 

5 
 

2

5 

thì số dư : r =P( 4 ) = 3.  4  + 5.  4  - 4.  4  + 2.  4  – 7
 
Qui trình ấn máy :
5

Ấn các phím: 4 SHIFT STO X
3 ALPHA X x 4 + 5 ALPHA X x 3 − 4 ALPHA X x 2 + 2 ALPHA X − 7 =

Đáp số:
6

r=

87
256

Bài t p t n g t :

Bài 1: (Sở GD - ĐT Đồng Nai, 1998)
x 5 − 6,723x 3 + 1,857x 2 − 6, 458x + 4,319
Tìm số dư trong phép chia
x + 2,318

Gi i:
Số dư : r = (-2,318) – 6,723(-2,318) + 1,857(-2,318)2 - 6,458(-2,318) + 4,319
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím: −2 . 318 SHIFT STO A
5

3

ALPHA A A 5 − 6.723 ALPHA A A 3 + 1.857 ALPHA A A 2 − 6.458 ALPHA A + 4.319 =

Đáp số:

46,07910779
Bài 2: (Sở GD - ĐT Cần Thơ, 2003)
4
3
2
Cho P( x ) = x + 5x − 4x + 3x + 50 .
Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x – 3.Tìm BCNN(r 1,r2)?
Gi i:
Số dö : r1 = 2 + 5.2 – 4.2 + 3.2 + 50
Số dư : r2 = 34 + 5.33 – 4.32 + 3.3 + 50
4

3

2

Qui trình ấn máy :
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 8

r =


Ấn các phím: 2 SHIFT STO B
= ALPHA B B4 + 5 ALPHA B B3 − 4 ALPHA B B2 + 3 ALPHA B + 50 =

Đáp số:

r1 = 96 ;r2 =239 ;BCNN(r1,r2) =

22944

Dạng3 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức
Bài toán : Chia đa thức a3x3 + a2x2 + a1x + a0 cho x – c ta sẽ được thương là một
đa thức bậc hai Q(x) = b2x2 + b1x + b0 và số dư r.
Vậy a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1x + b0)(x - c) + r
= b2x3 + (b2-b1c)x2 + (b1-b0c)x + (r + b0c).
Ta lại có công thức truy hồi Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c + a0.
2
3
Vaäy: r = a0 +ca1 + c a2 + c a3
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương
và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng
quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để
được q(x) và r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 ta được bảng sau:

c

an
bn-1 = an

an- 1
bn -2 =
cbn-1 + an -1

an - 2
bn -3 =

cbn - 2+ an -2

…
…

a1
b0 = cb1 +a1

a0
r = cb0 + a0

Do đó: r = c(c(…(c(can + an-1))..)) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0
Ví dụ 5: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
Giải
Ta có: c = 5; a7 =1; a6 = 0; a5 = -2; a4 = -3; a3 = a5 = 0; a1 = 1; a0 = -1; b6 = a7 = 1.
Qui trình ấn máy
5 SHIFT STO M 1 × ALPHA M + 0 = ( 5 ) × ALPHA M − 2 = (23)

× ALPHA M + (−) 3 = (112) × ALPHA M + 0 = (560) × ALPHA M + 0 = (2800)
× ALPHA M + 1 = (14001) × ALPHA M + (−) 1 = (7004)
Vaäy :
x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 =
= (x - 5)(x6 + 5x5 + 23x4 + 112x3 + 560x2 + 2800x + 14001) + 7004.

( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư)

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 9

Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để được
q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
Tổng quát: P(x) = rn(x-c)n + rn-1(x-c)n-1 +…+ r2(x-c)2 + r1(x-c) + r0
1
3
3
3
3

0

-3

1

-2

x4-3x2+x-2

1
1
1
1

3
6
9

12

6 19
24 91
51

55

q1(x)=x3+ 3x2 + 6x +19, r0 = 55
q2(x)=x2+ 6x + 24, r1 = 91
q3(x)=x + 9, r2 = 51
q4(x)=1 = a0, r3 = 12

Vaäy :x4 – 3x3 + x – 2 = (x-3)4+ 12(x-3)3+ 51(x-3)2 + 91(x-3) + 55

Daïng4: Phân tích đa thức thành nhân tử
N u khơng có s

hỗ tr

c a MTCT thì vi c phân tích a th c

thành

nhân t là một bài tốn khó.
Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của
MTCT để tìm nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để giải quyết.
“Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 ( a n ≠ 0 ) có n
nghiệm là x1;x2,…,xn thì P(x) = an(x - x1)(x - x2)…(x - xn)”

Ví dụ 7: Phân tích a th c sau thành nhân t : 105x2 + 514x – 304
 Gi i:
Tìm chức năng giải phương trình bậc hai:
Nh p a = 105 , b = 514 , c = –304
Tìm

c nghi m c a a th c trên :

x1 =

8
38
, x 2 =15
7

V y a th c 105x2 + 514x – 304 c phõn tớch thnh
ổ
ử
ổ
ử
ổ
ử
ổ
ử
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ

105ỗx - 8 ữx + 38 ữ 15.7ỗx - 8 ữx + 38 ữ (15x - 8)(7x +38)
=
=
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
15 ữ
7ữ
15 ứ
7ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ố

Giaựo vieõn thửùc hieọn: Mai Quoỏc ẹieọp

Trửụứng THCS Võ Xán
Trang 10


Bài t p t n g t :
Phân tích a th c sau thành nhân t :
a) 65x2 + 4122x +61093
HD: Tìm chức năng giải phương trình bậc hai
Nh p a = 65 , b = 4122 , c = 61093
Tìm

c nghi m c a a th c trên :

x1 =-

307
199
, x 2 =13
5

V y a th c 65x2 + 4122x + 61039 c phân tích thành
ỉ
ỉ
ư
ỉ
307 ư x +199 ÷ 13.5ỉ + 307 ư x + 199 ư= (5x +307)(13x +199)
ữ
ữ
ữ
ỗ

ỗx
ỗ
65ỗx +
ữ
ữ
=
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
13 ứ
5 ữ
13 ứ
5 ứ
ố
ố
ứ

ố
ố
b) 299 x2 2004x + 3337
HD: Tìm chức năng giải phương trình bậc hai
Nh p a = 299 , b =- 2004 , c = 3337
Tìm

c nghi m c a a th c trên :

x1 =

47
71
, x2 =
13
23

V y a th c 299 x2 – 2004x + 3337 c phân tích thành
ỉ
ỉ
ư
ỉ
ư
47 ư x - 71ư=13.23ỉ - 47 ÷x - 71÷ (13x - 47)(23x - 71)
ữ
ữ
ỗ
ỗx
ỗ
299ỗx ữ

ữ
ữ
ữ
=
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
13 ứ
23 ứ
13 ữ
23 ữ
ố
ố
ố
ứ
ố
ứ
c) 156x3 413 x2 – 504 x+ 1265
HD: Tìm chức năng giải phương trình bậc ba

Nh p a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265. Tìm
x1 =-

23
11
5
, x 2 = ,x 3 =
13
4
3

c nghi m c a a th c trên :

V y a th c 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 c
æ 23 ư
ỉ 11ư
ỉ
ỉ ÷
ỉ
÷x- 5 ư=13.4.3ỉ + 23 ư x - 11ử xữ
ữ
ỗ
ỗx
ỗ
ỗ
ỗ
156ỗx + ữx ữ
ữ
ữ
ữ

ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ 3ứ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
13 ứố 4 ứỗ
13 ứố 4 øè
è
è
è

phân tích thành

5ư

÷ (13x - 23)(4x - 11)( 3x- 5)
=
÷
÷
3ø

Dạng 5: Tính giá trị của đa thức
Dạng 5.1: Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến(đa thức cho trước)
Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 11


Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y
vào đa thức để tính.
• Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một bieán)
n
n −1
Vieát P(x) = an x + an −1x + ... + a1x + a 0 dưới dạng
•

P(x) = (a x+ a
n

n −1

= ((a x+ a
n

n −1

= (((a x+ a
n

) x n- 1 + a
) x+ a

n −1

n −2

n −2

) x+ a

x n- 2 + ... + a x+ a

)x

n −2

1

n- 2

+a

) x+ a

n −3

n −3

x

)x

n- 3

0

... + a x+ a
1

n- 3

+a

n −4

x

n- 4

0

... + a x+ a
1

0

.
.
.
= (...((a x+ a
n

= (...((a x+ a
n

n −1
n −1

) x+ a
) x+ a

n −2

) x+ a

m −2

n −3

) x+ a

) x+ ...) x 2 + a x+ a

n −3

1

0

) x+ ...) x+ a ) x+ a
1

0

Vaäy P(x 0 ) = (...(an x 0 + an −1 )x 0 + an −2 )x 0 + ...)x 0 + a0 .
Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0 + an-1; …; b1= b0x0 + a0; bo=a0. Suy ra: P(x0) = bn
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
Giải trên máy:

- Gán giá trị x0 vào biến nhớ M.
- Thực hiện dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak
Ví dụ 8: (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)
Tính C =

−1,32 x 2 +

3,1 − 2 5
x − 7,8 + 3 2 .
6,4 − 7,2

Với

x = 2 +3 5

Quy trình:
2 + 3 5 SHIFT STO X

−1,32LPHA X x 2 + (

3,1 −2 5
) ALPHA X − 7.8 +3 2 =
6, 4 −7,2

 C = -101,0981355.

Ví dụ 9 : (Sở GD TP HCM, 1996) Tính A =
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans
n phím: 1 . 8165 =

3x 5 − 2x 4 + 3x 2 − x
khi x = 1,8165
4x 3 − x 2 + 3x + 5

( 3 Ans x 5 − 2 Ans x 4 + 3 Ans x 2 − Ans + 1 ) ÷ ( 4 Ans x 3 − Ans x 2 + 3 Ans + 5 ) =

Đáp số : 1.498465582
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 12


Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X

n phím: 1 . 8165 SHIFT STO X
3 ALPHA X x 5 − 2 ALPHA X x 4 + 3 ALPHA X x 2 − ALPHA X + 1
4 ALPHA X x 3 − ALPHA X x 2 + 3 ALPHA X + 5

=

Đáp số: 1.498465582
Phương pháp dùng sơ đồ Horner tương đối phức tạp ít hiệu quả ,đối với
máy fx-500 MS;fx-500 ES chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng
biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS;fx-570 ES có thể thế các giá trị của
biến x nhanh bằng cách bấm CALC , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của
biến x ấn phím là = xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán
giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá
trị.
Ví dụ 10: Tính A =

3x 5 − 2x 4 + 3x 2 − x
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
4x 3 − x2 + 3x + 5

Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:
( −) . 235678 SHIFT STO X

Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím =
laø xong.

Bài t p t n g t :
Baøi 1: (Bộ GD – ĐT ,2006)
Tính giá trị của biểu thức
 5x + y

5 x − y  x 2 − 25 y
B = 2
+ 2
 x − 5 xy x + 5 xy . x 2 + y 2




với x = 1,257; y = 4,523
Đáp số : B = 7,955449483


 4 x + 4 xy + y
1
2
1
C=
+ 2
+
.
2
2
2 
16 x
4x − y
( 2x + y) 
( 2x − y)
2

2

với x = 0,36; y = 4,15
Đáp số : C = 0,788476899

Dạng 5.2 : Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến( đa thức chưa xác
định)
Ví dụ 11 : (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 13


Đa thức P(x) = x5+ ax 4+ bx3+ cx 2+ dx + e . có giá trị là 11;14;19;26;35 khi
x nhận các giá trị lần lượt là: 1;2;3;4;5.
a) Tính P(11) và P(15).
b) Tìm số dư r khi chia P(x) cho 10x – 3 .
Gi i :
a) Rõ ràng n u ta th 1,2,3,4,5 ch xác n h h s t do , vi c còn l i là gi i h
ph n g trình b c nh t 4 n mà máy CASIO không th gi i quy t

c . Gi i b ng

tay thì r t v t v . Bài tốn này có th gi i quy t nh sau :
2

 Xét a th c ph k(x) = x + 10

Ta có : k(1) = 11 ; k(2) = 14 ; k(3) = 19 ; k(4) = 26; k(5) = 35
t g(x) = P(x) – k(x)

Ta có : g(1) = P(1) – k(1) = 0
g(2) = P(2) – k(2) = 0
g(3) = P(3) – k(3) = 0
g(4) = P(4) – k(4) = 0
g(5) = P(5) – k(5) = 0
T ó suy ra 1,2,3,4,5 là nghi m c a g(x)
M t khác g(x) là a th c b c 5 (Cùng b c v i P(x) vì k(x) là b c 2 mà g(x) =
P(x) – k(x) ) và có h s cao nh t là 1
T ó suy ra g(x) phân tích

c thành nhân t :

g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
mà g(x) = P(x) – k(x)  P(x) = g(x) + k(x)
V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 + 10
P(11) = 30371;P(15)=240475
 Vn

ây là làm sao tìm

c

a th c ph k(x) = x2 + 10 ?

Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c và gán cho k(x) nh n các giá tr k(1) = 11 k(2)
= 14 , k(3) = 19
(nh n 3 trong 5 giá tr c a P(x) ã cho)
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán

Trang 14


ì a + b + c =11
ï
ï
ï
ï
: í 4a + 2b + c =14
ï
ï
ï 9a + 3b + c =19
ï
ï
ỵ

ta có h ph n g trình

nh p các h s vào máy tìm

c nghi m a = 1 , b = 0 , c = 10

 k(x) = x2 + 10 . Th ti p th y k(4) = 26 và k(5) = 35
V y k(x) = x2 + 10 là a th c ph c n tìm . T t nhieân khi th k(4) ≠ 26 ho c
k(5) ≠ 35 thì bu c ph i tìm cách gi i khác .
Ở câu b) việc tìm số dư quá đơn giản đây là bài toán ở dạng 2 ở trên.
3

Quy trình: Dư trong phép chia P(x) cho 10x -3 là P( 10 )
( ALPHA X − 1)( ALPHA X − 2)( ALPHA X − 3)( ALPHA X − 4)( ALPHA X − 5) + ALPHA X x 2 + 10

CALC…X? 

3
10

 r = - 45,78407.

Bài t p t n g t :
Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9)
a) Cho a th c P(x) = x +ax +bx +cx +dx + e .
5

4

3

2

Bi t P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;
P(5) = 25 . Tính các giá tr c a P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)
HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nh n các giá tr
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nh n 3 trong 5 giá tr c a P(x) ã cho)
ì a + b + c =1
ï
ï
ï
ï
ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c = 4

ï
ï
ï 9a + 3b + c = 9
ï
ỵ
nh p các h s vào máy tìm

c nghi m a = 1 , b = 0 , c = 0

 k(x) = x2 . Th ti p th y k(4) = 16 và k(5) = 25
V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2
P(6) = 36;P(7)=49;P(8) = 64;P(9)=81.
b) Cho a th c Q(x) = x + mx + nx + px + q và bi t Q(1) = 5 , Q(2) = 7 ,
4

3

2

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 15


Q(3) = 9, Q(4) =11
Tính các giá tr Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)
HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nh n các giá tr
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nh n 3 trong 5 giá tr c a P(x) ã cho)

ì a +b +c =5
ï
ï
ï
ï
ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c = 7
ï
ï
ï 9a + 3b + c = 9
ï
ỵ
nh p các h s vào máy tìm

c nghi m a = 0 , b = 2 , c = 3

 k(x) = 2x + 3 . Th ti p th y k(4) = 11
V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)+ 2x + 3
P(10) = 23;P(11)=25;P(12) = 27;P(13)=29.
c) Cho a th c f(x) = 2x +ax +bx +cx +dx + e . Bi t f(1) = 1, f(2) = 3,
5

4

3

2

f(3) = 7, f(4)= 13, f(5) = 21
Tính f(34,567).
HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nh n các giá tr

k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nh n 3 trong 5 giá tr c a P(x) ã cho)
ì 16a + 4b + c =13
ï
ï
ï
ï
ta có h ph n g trình : í 25a + 5b + c = 21
ï
ï
ï 9a + 3b + c = 7
ï
ỵ
nh p các h s vào máy tìm

c nghi m a = 1 , b = -1 , c = 1

 k(x) = x2 – x + 1. Th ti p th y k(1) = 1 và k(2) = 3
V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – x +1
P(34,567) = (34,567)2 - 34,567 + 1 = 1161,310489

d) Cho a th c f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 16


Bi t f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 . Hãy tính f(15)
f(16), f(18,25)

HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nh n các giá tr
k(1) = -1; k(2) = -1 , k(3) = 1
(nh n 3 trong 5 giá tr c a P(x) ã cho)
ì a + b + c =- 1
ï
ï
ï
ï
ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c =- 1
ï
ï
ï 9a + 3b + c =1
ï
ỵ
nh p các h s vào máy tìm

c nghi m a = 1 , b = -3 , c = 1

 k(x) = x2 – 3x + 1. Th ti p th y k(4) = 5 và k(5) = 11
V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – 3x +1
P(15) = (15)2 – 3.15 + 1 = 181;P(15) = (16)2 – 3.16 + 1 = 209;
P(18.25) = (18.25)2 – 3.18.25 + 1 = 278
Vận dụng linh hoạt các phương pháp , kết hợp với máy tính có thể giải
được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không
được . Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng các phép biến
đổi một cách hợp lí , logic.
Bài toán sau đây là một ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình
giải.
Ví dụ 12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005
Bi t P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)

Gi i :
Xét a th c ph k(x) = 3x + 5
Ta có k(1) = 8 ; k(2) = 11 ; k(3) = 14 ; k(4) = 17
t g(x) = P(x) – k(x)
Ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = 0 hay g(x) có 4 nghi m là 1 , 2 , 3 , 4 .
T ó suy ra g(x) phân tích

c thành nhân t :

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 17


g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)
mà g(x) = P(x) – k(x)  P(x) = g(x) + k(x)
= (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 3x + 5
P(15) = 24074!
 Chúng ta đã làm đúng theo qui trình của phương pháp vừa đưa ra nhưng
kết quả nhận được là một đáp án sai. Vậy chúng ta đã nhầm lẫn ở bước
nào?
Ở bài toán trên khi chúng ta đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) thì kết quả
nhận được là a th c b c 5 (Cùng b c v i P(x) vì k(x) là b c 2 mà g(x) = P(x) –
k(x) ) và có h s cao nh t là 1 . Nên kết quả của bài sai là do đa thức g(x) tìm
được chỉ là một đa thức bậc 4.
Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào?
a th c g(x) ph i có h s cao nh t là h s cao nh t c a P(x) nên g(x)

c

phân tích thành nhân t nh sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) .
Vn

cịn l i là tìm s I nh th nào ?

Vì

g(x) = P(x) – k(x)  P(x) =g(x) + k(x)

Hay

P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

 H s t do c a P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005
hay 24I = 132000
 I = 132000:24 = 5500
V y P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
 P(15) = 132492410
Ví dụ 13:(Bộ GD – ÑT,2005)
Cho a th c P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005. Bieát rằng khi x lần
lượt nhận các giá trị 1,2,3,4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là
8,11,14,17.
Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15
HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nh n các giá tr

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 18

k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14
(nh n 3 trong 5 giá tr c a P(x) ã cho)
ì a +b +c =8
ï
ï
ï
ï
ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c =11
ï
ï
ï 9a + 3b + c =14
ï
ỵ
nh p các h s vào máy tìm

c nghi m a = 0 , b = 3 , c = 5

 k(x) = 3x + 5. Th ti p th y k(4) = 17
V y P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
 H s t do c a P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005
hay 24I = 132000
 I = 132000:24 = 5500
V y P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Đáp án: P(11) = 27775417; P(12)= 43655081; P(13) = 65494484
P(14) = 94620287; P(15) = 132492410.

Bài t p t n g t :
Baøi 1:Cho a th c f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197

Bi t f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5

. Tính f(12)

HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nh n các giá tr
k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14
(nh n 3 trong 5 giá tr c a P(x) ã cho)
ì a + b + c =- 1
ï
ï
ï
ï
ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c =1
ï
ï
ï 9a + 3b + c = 3
ï
ỵ
nh p các h s vào máy tìm

c nghi m a = 0 , b = 2 , c = -3

 k(x) = 2x - 3. Th ti p th y k(4) = 5
V y P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - 3
 H s t do c a P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) - 3 = 115197
hay 24I = 115200

 I = 115200:24 = 4800
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 19


V y P(x) = (x + 4800)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - 3
Đáp số: 38111061

Bài tập tổng hợp:

Bài 1: (Sở GD – ĐT Bắc Ninh, 2005)
Cho đa thức bậc 4 :f(x) = x4 +bx3 +cx2 + dx + 43 coù f(0) = f(-1); f(1)= f(-2);
f(2) = f(-3). Tìm b,c,d.
Với b,c,d vừa tìm được ,Hãy tìm tất cả các số nguyên n sao cho
f(n)= n4 +bn3 +cn2 + dn + 43 laø một số chính phương.
HD: Ta có: f(0) = f(-1) ⇒ b − c + d = 1(1)
f(1)= f(-2) ⇒ 3b − c + d = 5(2)
f(2) = f(-3). ⇒ 7b − c + d = 13(3)
ì b - c + d =1
ï
ï
ï
ï
Giải hệ pt : í 3b - c + d = 5
ï
ï
ï 7b - c + d =13
ï
ỵ

Đáp số: b = 2; c = 2; d = 1

Khi xaùc định b, c, d ta có đa thức f(x) = x4 +2x3 +2x2 + x + 43 để tìm n sao
cho f(n) là một số chính phương ta làm như sau :
n
Vì f(n)= n4 +2n3 + 2n2 + dn + 43=(n2 + n + 1)(n2 + n) +43 > 0, ∀
Gán n vào biến nhớ X thực hiện dãy tăng ,giảm của biến nhớ để tìm
f (n) nếu kết quả nhận được một số nguyên thì ta xác định được n để f(n) là
một số chính phương.
Đáp số : n = -7; - 2; 1; 6.

Bài 2:
Cho f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + 5
a) Xác n h f(x)
b) Tính f(2,33)
Gi i:
a) t t = 2x – 3 

x=

t +3
2

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 20


 f(t) =
f(x)

3
2
ỉ+ 3 ư
÷ + 3 ỉ + 3 ử - 4 ổ + 3 ử+ 5
ữ
ữ
ỗt
ỗt
ỗt
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ố 3 ứ
ố 3 ø
è 3 ø

3
2
ỉ + 3ư
x

÷ + 3 ỉ + 3 ử - 4 ổ + 3 ử+ 5
ữ
ữ
ỗx
ỗx
=ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ 2 ứ
ỗ
ỗ
ố
ố 2 ứ
ố 2 ứ

b)f(2,33)
Qui trỡnh n phớm :
( 2.33 + 3) ¸ 2 shift STO A alpha A x 3 + 3 alpha A x 2 - 4 alpha A + 5 =

Đáp số :34,57410463
Bài 3:
Cho a th c P(x) =

1 9
1 7 13 5 82 3 32
x x + x x + x
630
21
30
63
35

a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4)
b) Ch ng minh r ng v i m i x Z thì P(x) nh n giá tr nguyên .
Gi i :
a) Tính

c f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0

b) Suy ra –4 ,–3 , –2 ,–1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 là 9 nghi m c a c a P(x)
 P(x)
P(x) =

c phân tích thành nhân t nh sau :

1
630

(x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )

V i x Z thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9
s nguyên liên ti p
Trong ó có ít nhất 1 s chia h t cho 2 , 1 s chia h t cho 5, 1 s chia h t

cho 7 và 1 s chia h t cho 9
t A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Vì C L N(2,5) = 1  A  10
C LN(7,9) = 1 A  63
C LN(10 ,63) = 1  A  630



1
A
630

là m t s nguyên hay P(x) luôn nh n giá tr ngun v i m i x Z
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 21


Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x-2 và phân
tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
HD: a) t g(x) = 6x3 - 7x2 – 16x ta có P(x) = g(x) + m
P(x)  (2x + 3 ) 
3
−
g( 2

3
2

P( −

3
2

) +m=0

3
−
P( 2

) = 0 khi -12 + m = 0  m = 12
Đáp số: m = 12
3
2
b)Ta có: P(x) = 6x – 7x – 16x + 12
Ta có

) = -12 

) = 0 hay

g( −

2

 Số dư r = P( 3 ) = 0.
c)P(x) , và Q(x) cùng chia h t cho (x – 2) khi và ch khi P(2) =Q(2) = 0
t

A(x) = 6x3 – 7x2 - 16x và B(x) = 2x3 - 5x2 – 13x

Ta có f(x) = A(x) + m
g(x)=B(x) + n
P(2) = A(2) + m= -12 + m  P(2) = 0  m = 12
Q(2) = B(2) + n = -30 + n Q(2) = 0  n = 30
d)Tìm chức năng giải phương trình bậc ba
Nh p a = 2 , b =- 5 , c = - 13, d = 30. Tìm
x1 =-

5
, x 2 = 3,x 3 = 2
2

V y a th c Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + 30

c nghi m c a a th c trên :

c phân tích thnh

ổ 5ử
2ỗx + ữx - 3) ( x- 2) = ( 2x + 5) ( x - 3) ( x- 2 )
ữ
(
ỗ
ữ

ỗ
ố

2ứ

Baứi 5: (Thi khu vửùc 2002, lụựp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m vaø
Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có
một nghiệm duy nhất.
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 22


HD: P(x) , và Q(x) cùng chia h t cho (x – 2) khi và ch khi P(2) =Q(2) = 0
t

A(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x và B(x) = = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x

Ta có f(x) = A(x) + m
g(x)=B(x) + n
P(2) = A(2) + m= 46 + m  P(2) = 0  m = - 46
Q(2) = B(2) + n = 40 + n Q(2) = 0  n = - 40
 R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6  R(x) = 0 ⇔ x3 – x2 + x – 6 = 0
⇔ (x – 2)( x2 + x + 3) = 0 có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 7: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)
a. Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003

2. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
b. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Bieát P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19,
P(4) = 33, P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
HD: a) Dựa vào các ví dụ 1;3
b)Dựa vào các ví dụ 11

Bài 8: (Sở GD - ĐT Cần Thơ 2002)

1

7

1

3

1

89

Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c. Bieát f( 3 ) = 108 ; f(− 2 ) = − 8 ; f( 5 ) = 500 . Tính giá trị
2

đúng và gần đúng của f( 3 ) ?
HD: Dựa vào bài tập 1(Bài tập tổng hợp)
Bài 9: (Sở GD - ĐT Lâm Đồng, 2005)
Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13)
biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 23


HD : t g(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x + 7 ta có P(x) = g(x) – m
P(x)  (x – 13 )  P(13) = 0 hay g(13) – m = 0
Ta có g(13) = 1834775  P(13) = 0 khi 1834775 – m = 0  m = 1834775
Đáp số: m = 1834775
Bài 10: (Thi khu vực 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Bieát P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
Đáp số : b = - 3 ; c = 2; d = - 15
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4.
Đáp số : r1 = 9
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3.
Đáp số : r2 = −28,125
Bài 11: (Sở GD - ĐT Hải Phòng, 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Bieát P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41.
Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài 12: (Sở GD - ĐT Thái Nguyên, 2003)
a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Bieát P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18;
P(4) = 42. Tính P(2002)?
b. Khi chia đa thức 2x 4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là
đa thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?

HD: a) Tương tự như ví dụ 11
Đáp số: P(2002)= 1598401602004
b)Ta lập bảng
2
2
2
2
2

8

-7

8

1
1
1
1

10
16
18
20

13 34
45 124
81

-12 2x4+8x3 - 7x2+ 8x -12

56

q1(x)=x3+ 10x2 + 13x +34, r0 = 56
q2(x)=x2+1 6x + 45, r1 = 124
q3(x)=x + 18, r0 = 81
q4(x)=1 = a0, r0 = 20

Vậy hệ số của x2 trong đa thức Q(x) có bậc 3 là 10

Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 24


C. KẾT LUẬN
1.Khái quát cục bộ :
Qua thực tế dạy – học về sử dụng MTCT để giải toán, thầy và trò cần nắm
vững chu trình tổng quát :
Đề

Dạng
Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp

Trường THCS Võ Xán
Trang 25