TÀI LIỆU ÔN TẬP ĐẠI SỐ 11

HỌC KÌ I
CHƯƠNG I:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tóm tắt lí thuyết:
1. Hàm số sin
 Hàm số y = sinx có tập xác định D = R
 Tập giá trị
1 sinx 1− ≤ ≤
 y = sinx là hs lẻ ( đồ thi nhận O làm tâm đối xứng )
 y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2
π
 đồ thị hs : khảo sát hs y = sinx trên ½ chu kỳ cơ sở [0;
π
]; sau đó lấy đối xứng
qua O để được nửa chu kỳ còn lại[-
π
;0]. Tịnh tiến đồ thị trên theo trục x’Ox với
2v
π
=
r
ta được đồ thị y = sinx
 Bảng biến thiên: y = sinx tăng trên đoạn [ 0;
2
π
] và giảm trên [
;
2
π
π
]

x
0
2
π
π
y = sinx 1
0 0
 Đồ thị
 Các giá trị đặc biệt của hs y = sinx
• Sinx = 0 khi x = k
π
; k
Z∈
• Sinx = 1 khi x =
2
π
+ k2
π
; k
Z∈
• Sinx = -1 khi x = -
2
π
+ k2
π
; k
Z∈
2. Hàm số cosin
 Hàm số y = cosx có tập xác định D = R
 Tập giá trị

1 cos 1x
− ≤ ≤
 y = cosx là hàm số chẵn ( đồ thị đối xứng qua Oy)
 y = cosx là hs tuần hoàn với chu kỳ T = 2
π
 Khảo sát đồ thị hàm số trên đoạn [0;
π
]; sau đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ
thị trên đoạn [-
π
;0]; tịnh tiến đồ thị nhận được trục Ox với
2v
π
=
r
ta được đồ thị
y = cosx
 Hs y = cosx giảm trên đoạn [0;
π
]
Bảng biến thiên:
x
0
2
π
π
y = cosx 1
0
-1
 Đồ thị

 Các giá trị đặc biệt của hàm số y = cosx
• Cosx = 0 khi x =
2
π
+ k
π
; k
Z∈
• Cosx = 1 khi x = k2
π
; k
Z∈
• Cosx = - 1 khi x = ( 2k + 1)
π
; k
Z∈
•
2. Hàm số tan
 Hàm số y = tanx =
sinx
cos x
có tập xác định D = R \
;
2
k k Z
π
π
 
+ ∈
 

 
 y = tanx là hàm số lẻ ( nhận O làm tâm đối xứng )
 y = tanx tuần hoàn với chu kỳ T =
π
 Khảo sát hàm số trên nửa chu kỳ : [0;
2
π
]; lấy đối xứng qua O ta được phần đồ thị
trên [-
2
π
; 0]; tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ theo trục x’Ox thành từng đoạn với độ
dài
π
ta được đồ thị y = tanx
 Chiều biến thiên : hàm số tăng trên nửa đoạn [0;
2
π
]
x
0
2
π
y = tanx +
∞
0
 Đồ thị
 Các giá trị đặc biệt của hs y = tanx
• Tanx = 0 khi x = k
π

; k
Z∈
• Tanx = 1 khi x =
4
π
+ k
π
; k
Z∈
• Tanx = - 1 khi x = -
4
π
+ k
π
; k
Z∈
3. Hàm số cotan
 Hàm số y = cotx =
cos
sinx
x
có tập xác định D = R\
{ }
;k k Z
π
∈
 y = cotx là hàm số lẻ ( đt đối xứng qua gốc tọa độ O)
 y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T =
π
 Khảo sát đồ thị trên nửa chu kỳ [0;

π
]; tịnh tiến phần đồ thị này theo phương
song song vơi Ox từng đoạn có độ dài
π
ta được đò thị hàm số y = cotx.( hoặc
xét các bước như hs y = tanx )
 Bảng biến thiên
x
0
2
π
π
y = cotx +
∞
0


−∞
 Bảng giá trị
x

0

6
π

4
π

3

π

2
π

2
3
π

3
4
π

5
6
π


π
y = cotx

||

3
1
3
3
0

3

3
1

3
||
 Đồ thị
 Các giá trị đặc biệt của hàm số y = cotx
• Cotx = 0 khi x =
2
π
+ k
π
; k
Z∈
• Cotx = 1 hki x =
4
π
+ k
π
; k
Z∈
• Tanx = - 1 khi x = -
4
π
+ k
π
; k
Z∈
VD: Tìm tập xác định của hàm số:
a.

1
sin
y
x
=
b.
0
cot( 10 )y x= +
Giải: a. Hàm số xác định khi và chỉ khi
sin 0x x k
π
≠ ⇔ ≠
b. Hàm số xác định khi và chỉ khi
0 0 0 0
10 180 10 180x k x k+ ≠ ⇔ ≠ − +
II. Bài tập:
Bài1: Tìm tập xác định của hàm số:
a. y = cos
2
1
x
x −
c. y = sin
1
1
x
x
+
−
b. y =

1
t anx 1−
d. y = cot( 2x -
4
π
)
Bài2: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số:
a. y = cosx + x b. y = sin2x +2
c. y = sin2x + x d. y = x
3
.sin3x
Bài3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
a. y = 2sinx + 3 b. y = 3 -
1
os2
2
c x
c. y = 2sin( x -
2
π
) + 3 d. y = 2
cosx
+3
BÀI2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. Tóm tắt lí thuyết:
1. Phương trình
sinx = a
* Nếu
a 1>
: Phương trình vô nghiệm

* Nếu
a 1≤
:
+ Nếu tồn tại
α
đặc biệt sao cho
sin a
α
=
thì

x = + k2
sin sinx = sin
x = - + k2
x a k
α π
α
π α π

= ⇔ ⇔ ∈


¢
+ Nếu không tồn tại
α
đặc biệt sao cho
sin a
α
=
thì

x = arcsina +k2
sin
x = - arcsina + k2
x a k
π
π π

= ⇔ ∈


¢
Chú ý:
+)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x 2
sinf x sin
f x 2
g x k
g x k
g x k
π
π π

= +
= ⇔ ∈

= − +



¢
+)
0 0
0
0 0 0
.360
sinx = sin
180 .360
x k
k
x k
β
β
β

= +
⇔ ∈

= − +


¢
+) Trong công thức nghiệm không thể có 2 đơn vị ( độ và rađian)
2. Phương trình
osx = ac
* Nếu
a 1>
: Phương trình vô nghiệm

* Nếu
a 1≤
:
* Nếu tồn tại
α
đặc biệt sao cho
cos a
α
=
thì

cos cos x = cos 2 ,x a x k k
α α π
= ⇔ ⇔ = ± + ∈¢
* Nếu không tồn tại
α
đặc biệt sao cho
sco a
α
=
thì

cos x = arccosa +k2 ,x a k
π
= ⇔ ± ∈¢
Chú ý:
+)
( ) ( ) ( ) ( )
sf x s f x 2 ,co co g x g x k k
π

= ⇔ = ± + ∈¢
+)
0 0 0
s s 360 ,co x co x k k
β β
= ⇔ = ± + ∈¢
+) Trong công thức nghiệm không thể có 2 đơn vị ( độ và rađian)
3. Phương trình
t anx = a
Điều kiện:
osx 0(x , )
2
c k k
π
π
≠ ≠ + ∈¢
* Nếu tồn tại
α
đặc biệt sao cho
tan a
α
=
thì

tan tan x = tan ,x a x k k
α α π
= ⇔ ⇔ = + ∈¢
* Nếu không tồn tại
α
đặc biệt sao cho

tan a
α
=
thì

tan x = arc tan a +k ,x a k
π
= ⇔ ∈¢
Chú ý:
+)
( ) ( ) ( ) ( )
tan f x tan f x ,g x g x k k
π
= ⇔ = + ∈¢
+)
0 0 0
tan tan 180 ,x x k k
β β
= ⇔ = + ∈¢
+) Trong công thức nghiệm không thể có 2 đơn vị ( độ và rađian)
4. Phương trình
cotx = a
Điều kiện:
( )
sinx 0 x k ,k
π
≠ ≠ ∈¢
* Nếu tồn tại
α
đặc biệt sao cho

cot a
α
=
thì

cot cotx = cot ,x a x k k
α α π
= ⇔ ⇔ = + ∈¢
* Nếu không tồn tại
α
đặc biệt sao cho
tan a
α
=
thì

cot x = arccota +k ,x a k
π
= ⇔ ∈¢
Chú ý:
+)
( ) ( ) ( ) ( )
cotf x cot f x ,g x g x k k
π
= ⇔ = + ∈¢
+)
0 0 0
cot cot 180 ,x x k k
β β
= ⇔ = + ∈¢

+) Trong công thức nghiệm không thể có 2 đơn vị ( độ và rađian)

VD: Giải các phương trình sau:
a.
3
sinx =
2
b.
2
osx =
3
c
c.
3
tan( )
6 3
x
π
+ =
d.
cot(2 1) cot( )
3
x x
π
+ = +
Giải:
a.
2
3
3

sinx = sinx = sin ,
2
2 3
2
3
x k
k
x k
π
π
π
π
π

= +

⇔ ⇔ ∈


= +


¢
b.
2 2
osx = = cos +k2 ,k
3 3
c x arc
π
⇔ ± ∈¢

c. ĐK:
x+ ,
6 2
k k
π π
π
≠ + ∈¢
3
tan( ) tan( ) tan ,
6 3 6 6
x x x k k
π π π
π
+ = ⇔ + = ⇔ = ∈¢
d. ĐK:
2x+1 ,k k
π
≠ ∈¢
cot(2 1) cot( ) 2 1 , 1 ,
3 3 3
x x x x k k x k k
π π π
π π
+ = + ⇔ + = + + ∈ ⇔ = − + ∈¢ ¢
II. Bài tập:
Bài1: Giải các phương trình sau:
a.
sinx = 2
b.
1

s x =
2
co

c.
1
tanx =
5
d.
7
cotx = cot 2x +
5
π
 
 ÷
 
Bài2: Giải các phương trình sau:
a.
( )
0
2
sin 30
2
x + =
b.
( )
2
s 2 1 s
3
co x co x

π
 
+ = +
 ÷
 
c.
tan2 tan x -
4
x
π
 
=
 ÷
 
d.
cot 2 1
6
x
π
 
+ = −
 ÷
 
Bài 3: Giải các phương trình sau trên các khoảng đã chỉ ra:
a.
3
sinx =
2
với
x

π π
− < <
b.
( )
0
s 2 10 0co x + =
với
0 0
0 120x< <
BÀI3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I. Tóm tắt lí thuyết:
1. Phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác
Có dạng
0at b+ =
; trong đó a,b là các hằng số (
0a ≠
) và t là một trong các hàm số
lượng giác.
Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản
VD: Giải các phương trình sau:
a.
2sinx - 1 = 0
b.
0
3cot(2 15 ) 3 0x + − =
Giải: a.

1
2sinx - 1 = 0 sinx sinx sin
2 6

π
⇔ = ⇔ =
2
6
,
2
6
x k
k
x k
π
π
π
π π

= +

⇔ ∈


= − +


¢
b.
0 0
0 0 0 0 0
0 0
3
3cot(2 15 ) 3 0 cot(2 15 )

3
cot(2 15 ) cot 60 2 15 60 180 ,
22,5 90 ,
x x
x x k k
x k k
+ − = ⇔ + =
⇔ + = ⇔ + = + ∈
⇔ = + ∈
¢
¢
2. Phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác:
Có dạng
2
0at bt c+ + =
; trong đó a,b,c là các hằng số (
0a
≠
) và t là một trong các
hàm số lượng giác.
Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)
rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng
giác cơ bản.
VD: Giải các phương trình sau:
a.
2
sin 3sinx + 2 = 0x −
d.
2
2cot 5cotx +3 = 0x −

Giải: a.
Đặt
( )
sinx t 1t = ≤
. Khi đó ta được phương trình

2
1
3 2 0
2
t
t t
t
=

− + = ⇔

=

+ Với
1 sin 1 2 ,
2
t x x k k
π
π
= ⇔ = ⇔ = + ∈¢
+Với t=2 PTVN
Vậy phương trình có nghiệm là
2 ,
2

x k k
π
π
= + ∈¢
b.
ĐK:
,x k k
π
≠ ∈¢
Đặt
cotxt =
. Khi đó ta được phương trình
2
1
2 5 3 0
3
2
t
t t
t
=


− + = ⇔

=

+ Với
1 cot 1 cot cot ,
4 4

t x x x k k
π π
π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈¢
+ Với
3 3 3
cot cot
2 2 2
t x x arc k
π
= ⇔ = ⇔ = +
,k ∈¢
Vậy phương trình có nghiệm là
4
,
3
cot
2
x k
k
x arc k
π
π
π

= +

∈



= +


¢
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Có dạng
asinx + bcosx = c
; trong đó a,b,c là các hằng số và
2 2
0a b+ ≠
Cách giải:

2 2 2 2 2 2
a b c
asinx + bcosx = c sinx + osx =
a a a
c
b b b
⇔
+ + +

2 2
c
os sinx + sin cosx=
a
c
b
α α
⇔
+

( )
2 2
sin
c
x
a b
α
⇔ + =
+
(1), với
2 2
2 2
sin
os =
b
a b
a
c
a b
α
α

=

+




+


Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
2 2 2
2 2
1
a
c
a b c
b
≤ ⇔ + ≥
+
VD: Giải phương trình sau:
3 sinx + cosx = 2
Giải:
3 1 2 2
3 sinx + cosx = 2 sinx + cosx = sin
2 2 2 6 2
+ 2
6 4
sin sin ,
6 4
+ 2
6 4
+ 2
12
,
7
+ 2
12
x

x k
x k
x k
x k
k
x k
π
π π
π
π π
π π
π π
π
π
π
π
 
⇔ ⇔ + =
 ÷
 

+ =

 
⇔ + = ⇔ ∈

 ÷
 

+ = −




=

⇔ ∈


=


¢
¢
II. Bài tập:
Bài1: Giải các phương trình sau:
a.
2 sin( ) 1 0
3
x
π
+ − =
c.
0
2cos( 30 ) 3 0x + + =
b.
tan 2 1 0x − =
d.
cot(3 1) 3x + =
Bài2: Giải các phương trình sau:
a.

2
sin 3sinx + 2 = 0x −
b.
2
os osx - 6 = 0c x c+
c.
( )
2
tan 2 3 t anx - 2 3 0x + − =
d.
( )
2
3cot 6 3 cotx + 2 3 0x − + =
Bài3: Giải các phương trình sau:
a.
3 sinx + cosx = 1
b.
2 sinx + 3 osx = 6c

c.
2sinx + cosx = 1
d.
sinx + cosx = 1

CHƯƠNG2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
BÀI 1:QUY TẮC ĐẾM
I. Tóm tắt lí thuyết:
1. Quy tắc cộng:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành
động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì

cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.
Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:
( ) ( ) ( )n A B n A n B∪ = +
Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
VD: Trong một chiếc hộp chứa 2 viên bi xanh được đánh số 1, 2 và 3 viên bi đỏ
được đánh số 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách chọn một trong các viên bi đó.
Giải: vì các viên bi xanh và đỏ đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một
viên bi bất kì là một lần chọn. Nếu chọn viên bi xanh thì có 2 cách chọn, còn nếu chọn viên
bi đỏ thì có 3 cách chọn.
Do đó, số cách chọn một trong các viên bi là 2 + 3 =5 (cách).
2. Quy tắc nhân:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách
thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai
thì có m.n cách hoàn thành.
Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động.
VD: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ B đến C có 4 con đường.
Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C, qua B ?
Giải: Từ A đến B có 3 cách đi
Từ B đến C có 4 cách đi
Vậy theo quy tắc nhân, đi từ A đến C,qua B có 3.4=12 (cách).
II. Bài tập:
Bài1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhieu số tự nhiên gồm:
a. Hai chữ số
b. Ba chữ số
c. Ba chữ số khác nhau
Bài2: Từ thành phố A đến thành B có 2 cách đi, từ B đến C có 3 cách đi, từ C đến D
có 4 cách đi.Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách đi từ A đến D
b. Có bao nhiêu cách đi từ A đến D qua B và C chỉ một lần
c. Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A

BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
I. Tóm tắt lí thuyết:
1. Hoán vị:
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử
( 1)n ≥
.
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị
của n phần tử đó
Kí hiệu
n
P
là số các hoán vị của n phần tử.khi đó ta có:
! ( 1) 2.1
n
P n n n= = −
VD: Trong giờ học môn giáo dục quốc phòng , một tiểu đội học sinh gồ 10 người
được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?
Giải: Số cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng là số hoán vị của 10 phàn tử
Vậy
10
10! 10.9 2.1 3628800P = = =
(cách).
2. Chỉnh hợp:
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử
( 1)n ≥
.
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử cửa tập hợp A và sắp xếp
chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu
k

n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử (
1 k n≤ ≤
). Khi đó ta có:
( 1) ( 1)
k
n
A n n n k= − − +
Chú ý:+) Với quy ước 0!=1, ta có:
!
,1
( )!
k
n
n
A k n
n k
= ≤ ≤
−
+) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần
tử. Vì vậy:
n
P
=
n
n
A
VD: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3,
4, 5 ?

Giải: Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là
số chỉnh hợp chập ba của năm phần tử. Do đó:
3
5
5! 5!
5.4.3 60
(5 3)! 2!
A = = = =
−
(cách).
3. Tổ hợp:
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử
( 1)n ≥
. Mỗi tập con có k phần tử của A là
một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Chú ý:
1 k n≤ ≤
. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập hợp rỗng nên ta quy
ước gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử.
Kí hiệu
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử (
1 k n
≤ ≤
). Khi đó ta có:
!
!( )!
k

n
n
C
k n k
=
−
*) Tính chất 1:
,(0 )
k n k
n n
C C k n
−
= ≤ ≤
*) Tính chất 2:
1
1 1
k k k
n n n
C C C
−
− −
= +
VD: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ?
Giải: Số các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là số tổ hợp
chập ba của năm phần tử. Do đó:
3
5
5! 5! 5.4
10
3!(5 3)! 3!2! 2

C = = = =
−
(cách).
II. Bài tập:
Bài1: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào một bàn ăn gồm
10 chiếc ghế.
Bài2: Giả sử có 7 người khách và 10 chiếc ghế kê thành một dãy . Hỏi có bao nhiêu
cách sắp xếp 7 người khách đó ngồi vào 10 chiếc ghế, biết 7 người khách đó khác nhau.
Bài3: Giả sử trong hộp có 6 viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 viên bi từ 6 viên
bi đã cho nếu
a. Các viên bi khác nhau ?
b. Các viên bi giống nhau ?
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. Tóm tắt lý thuyết:
Công thức nhị thức Niu-tơn
( )
0 1 1 1 1
0
(1)
n
n
k n k k n n k n k k n n n n
n n n n n n
k
a b C a b C a C a b C a b C ab C b
− − − − −
=
+ = = + + + + + +
∑
Trong công thức (1) :

+ Vế phải của công thức (1) có n+1 số hạng.
+ Số hạng thứ k+1 là
k n k k
n
C a b
−
(Đây cũng là số hạng tổng quát).
+ Tổng số mũ của a và b không đổi bằng n.
Với a=b=1 ta có
0 1 2
2
n n
n n n n
C C C C
= + + + +
Với a=1, b=-1 ta có
( ) ( )
0 1
0 1 1
k n
k n
n n n n
C C C C
= − + + − + + −
( )
1 2 2
1 1
n
k k n n
n n n n

x C x C x C x C x+ = + + + + + +
( ) ( ) ( )
1 2 2
1 1 1 1
n k n
k k n n
n n n n
x C x C x C x C x− = − + + + − + + −
II. Bài tập:
Bài 1:Viết khai triển theo nhị thức Niu-tơn
a.
6
( 2)a −
b.
5
(2 3 )a b−
c.
10
1
( )a
b
−
Bài 2: Tìm hệ số của
8 7
x y
trong khai triển
( )
15
2x y
+

Bài 3: Tìm số hạng khơng chứa x ( số hạng tự do ) trong khai triển
12
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 4:Trong khai triển
( )
n
a b
+
có tổng các hệ số bằng 256. Tìm n?
Bài 5: Biết hệ số của
2
x
trong khai triển
( )
1 2
n
x
+
là 84. Tìm n?
Bài 6: Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển

( ) ( )
5 10
2
1 2 1 3P x x x x
= − + +
Bài 7: Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển
10
7
4
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 8: Tìm số hạng chính giữa của khai triển
a.
( )
10
1 x+
b.
2008
2
4
x
x

 
+
 ÷
 
BÀI 4: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
I. Tóm tắt lý thuyết:
1. phép thử, khơng gian mẫu
a. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quarcuar nó,
mặt dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của kết quả đó
VD: Khi gieo một đòng tiền ta khơng thể đốn trước được kết qua là mặt sấp hay mặt
ngửa nhưng ta biết được chỉ có hai kết quả có thể xảy ra la mặt sấp hoặc mặt ngửa
b. Khơng gian mẫu
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là khơng gian mẫu của
phép thử và kí hiệu là
Ω
VD: Giả sử kí hiệu S, N lần lượt là kết quả mặt sấp xuất hiện và kết quả mặt ngửa
xuất hiện khi gieo một đồng tiền
+ Nếu gieo đồng tiền 1 lần thì khơng gian mẫu là
{
}
,S NΩ=
+ Nếu gieo đồng tiền 2 lần thì khơng gian mẫu là
{
}
, ,SS NN SNΩ=
2. Biến cố:
Biến cố là một tập con của khong gian mẫu
Tập rỗng được gọi là biến cố khơng, còn tập
Ω
được gọi là biến cố chắc chắn

3. Phép tốn trên các biên cố:
Tập
Ω
\A được gọi là biến cố đối của biến cố A. kí hiệu
A
- Tập A∪B được gọi hợp của hai biến cố A và B.
- Tập A∩B được gọi giaocủa hai biến cố A và B.
- Nếu A∩B = ∅ thì ta nói A và B là hai biến cố xung khắc.
Ví dụ5: Gieo một con súc sắc hai lần. Hãy xác đònh các biến cố sau:
A: “kết quả hai lần gieo như nhau”
B: “lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt sáu chấm”
C:”Tổng các chấm trên hai con súc sắc bằng 8”.
Giải
A = {(1;1),(2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6)}
B = {(6;1); (6;2),(6;3), (6;4), (6;5), (6;6)}
C = {(2;6), (6,2), (3;5), (5;3), (4;4)}
II. Bài tập
Bài 1: Gieo một đồng tiền ba lần.
a. Mô tả không gian mẫu
b. Hãy xác đònh các biến cố:
A: “Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”
B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”
C: “Mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần”
Bài 2: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí kiệu A
k
là biến cố: “người thứ k bắn
trúng”, k = 1, 2
HÃy xác đònh các biến cố sau qua các biến cố A
1,
A

2
A: “không ai bắn trúng”
B: “Cả hai đều bắn trúng”
C: “Có đúng một người bắn trúng”
D: “Có ít nhất một người bắn trúng”
Bài 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I. Tóm tắt lí thuyết:
1. Đònh nghóa
Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng
khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
( )
( )
n A
n Ω
là xác suất của biến cố A,
k/h: P(A)
Vậy P(A) =
( )
( )
n A
n Ω
VD: Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối hai lần. Tính xác suất các biến cố sau:
a) A:“Mặt ngửa xuất hiện hai lần”
b) B:“Mặt N xuất hiện đúng 1 lần”
c) C:“Mặt N xuất hiện ít nhất 1lần”
Giải
Ω = {SS,SN,NS,NN}
A = { NN}, P(A) =
1
4

B = {SN,NS},P(B) =
1
2
C = {NN,SN,NS}, P(C) =
3
4
2. Tính chất của xác suất:
P(∅) = 0 ; P(Ω) = 1
0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A
Nếu A và B xung khắc, thì
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Với mọi biến cố A, ta có: P(
A
) = 1 - P(A)
VD: Từ một hộp đựng 5 viên bi màu vàng, 4 viên bi màu đen. Lấy ngẫu nhiên
đồng thời 3 viên bi. Hãy tính xác suất sao cho 3 viên bi đó:
a) Cùng màu b) Khác màu
Giải:
a) Ta có n (Ω) =
3
9
C
= 84
Gọi A là biến cố 3 viên bi cùng màu
Thì n(A) =
3 3
5 4
C C+
= 14.
=> P(A) =

14
84
=
1
6
b) Gọi B là biến cố 3 viên bi khác màu
P(B) = P(
A
) = 1 P(A)
= 1 -
1
6
=
5
6
3. Biến cố độc lập. Công thức nhân xác suất
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi: P(A.B) = P(A).P(B)
VD: Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ 2 có một con súc sắc (cân đối, đồng chất).
Xét phép thử bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ 2 gieo con súc sắc
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố:
A: “ đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm”
Giải
a) Ω = {N1, N2, N3, N4, N4, N5, N6, S1, S2, S3, S4, S5, S6}
b) Biến cố A là giao của hai biên cố độc lập
B: “đồng tiền xuất hiện mặt ngửa”
C: “con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm”
B ={N1,N2,N3,N4,N5,N6}
C ={S5, N5}
Do đó P(A.B) = P(A)P(B) = 1/12

II. Bài tập
Bài 1: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần
a. hãy mô tả không gian mẫu
b. Xác đònh các biến cố sau
A: “tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”
B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”
c. Tính P(A), P(B).
Bài 2: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện
mặt b chấm. Xét PT x
2
+ bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho
a. PT có nghiệm
b. PT vô nghiệm
c. PT có nghiệm nguyên
Bài 3: Từ cổ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc 4 con. Tính xác
suất sao cho
a. Cả 4 con đều là át
b. Được ít nhất một con át
c. Được hai con át và hai con K
Chương III
: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG
-CẤP SỐ NHÂN
A.Lý thuyết
I.Dãy số :
- Dãy số vơ hạn : Là một hàm số trên tập hợp các số ngun dương N
*
.
- Dãy số hữu hạn : Là một hàm số xác định trên tập hợp m số ngun dương đầu tiên (m là
số ngun dương cho trước).
- Dãy số tăng: (u

n
) là dãy số tăng
0,
1
>−∀⇔
+
nn
uun
.
- Dãy số giảm : (u
n
) là dãy số giảm
0,
1
<−∀⇔
+
nn
uun
.
- Dãy số khơng đổi: (u
n
) là dãy sốkhơng đổi
0,
1
=−∀⇔
+
nn
uun
.
- Dãy số bị chặn trên: Dãy số vơ hạn u

n
bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho
*
, NnMu
n
∈∀≤
.
- Dãy số bị chặn dưới :Dãy số vơ hạn u
n
bi chặn dưới nếu tồn tại m sao cho
*
, Nnmu
n
∈∀≥
.
- Dãy số bị chặn: là dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
II.Cấp số cộng:
1.Cấp số cộng : (u
n
) là cấp số cộng
duun
nn
+=≥∀⇔
−
1
,2
.( d được gọi là cơng sai
của cấp số cộng)
2.Số hạng tổng qt của cấp số cộng:
dnuu

n
)1(
1
−+=
3.Tính chất :
2,,
2
*
11
≥∈∀
+
=
+−
nNn
uu
u
nn
n
4.Tổng n số hạng đầu:
2
)(
1 n
n
uun
S
+
=
hoặc
2
])1(2[

1
dnun
S
n
−+
=
5. Khi d = 0 thì các số hạng của cấp số cộng bằng nhau.
III.Cấp số nhân:
1.Cấp số nhân : (u
n
) là cấp số nhân
quu
nn
=⇔
+
1
với
*
Nn∈∀
Hệ quả :
n
n
u
u
q
1
+
=
2.Số hạng tổng quát :
1

1
−
=
n
n
quu
.
3.Tính chất :
11
2
+−
=
kkk
uuu
hay
2,
11
≥=
+−
kuuu
kkk
.
4.Tổng của n số hạng đầu:
)1(
1
)1(
1
≠
−
−

=
q
q
qu
S
n
n
Nếu q = 1 thì S
n
= nu
1
BÀI TẬP
Dạng 1:
Bài 1: Cho dãy số



++=
=
+
12
1
1
1
nuu
u
nn
với
1≥n
a) Viết 5 số hạn đầu tiên của dãy số.

b) Dự đoán công thức u
n
và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Bài 2: Hãy xét tính đơn điệu của dãy số sau :
a) Dãy số u
n
với
753
23
−+−= nnnu
n
b) Dãy số u
n
với
nnu
n
−+= 1
Bài 3: Chứng minh dãy số, với
12
)1(
+
−+
=
n
n
u
n
n
là một dãy số bị chặn.
Bài 4: Chứng minh rằng dãy số với

23
32
+
+
=
n
n
u
n
là một dãy số giảm và bị chặn.
Bài 5: Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( u
n
), biết :
a)
2
1
−=
n
u
n
b)
1
1
+
−
=
n
n
u
n

c)
)12()1( +−=
nn
n
u
d)
25
12
+
+
=
n
n
u
n
Bài 6: Hãy xác định số thực a để dãy số với
23
3
+
+
=
n
an
u
n
, là
a) Một dãy số tăng. B) Một dãy số giảm.
Bài 7: Dãy số ( u
n
) cho bởi:

1,1;3
2
11
≥+==
+
nuuu
nn
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u
n
và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Bài 8: Trong các dãy số (u
n
) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
a)
12
2
−= nu
n
b)
)2(
1
+
=
nn
u
n
c)
12
1

2
−
=
n
u
n
d)
nnu
n
cossin +=
Dạng 2:Cấp số cộng và cấp số nhân
* Cấp số cộng
Bài 1: Tìm cấp số cộng co 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng bình phương là 165.
Bài 2: Tìm cấp số cộng co 4 số hạng biết tổng là 38 và tổng bình phương là 406.
Bài 3: Một CSC có 5 số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ 3 bằng 28, tổng của
số hạng thứ ba và số hang cuối bằng 40.Hãy tìm cấp số đó.
Bài 4 : Cho CSC (U
n
) biết :
2 5 3
4 6
10
26
u u u
u u
+ − =


+ =


.Tìm U
1
,d, U
n
,S
100
.
Bài 5: Cho dãy số (U
n
) với U
n
= 9 – 5n.
a)Viết năm số hạng đầu của dãy số trên?
b)Chứng minh rằng dãy số (U
n
) là cấp số cộng.Xác định U
1
,d.Tính S
100
.
*Cấp số nhân
Bài 1: Viết 5 số xen giữa các số 1,729 để được một CSN có 7 số hạng.Tính tổng của các số
hạng đó.
Bài 2:Tìm một CSN biết có 6 số hạng, biết tổng của 5 số hạng đầu là 31, và tổng của 5 số
hạng sau là 62.
Bài 3: Một CSN có 5 số hạng mà 2 số hạng đầu là số dương,tích của số hạng đầu và số hang
thứ ba bằng 1,tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng
1
16
.Hãy tìm CSN đó?

Bài 4: Tìm U
1
,q, U
n
của cấp số nhân sau;
a)
1 2 3
1 3
31
26
u u u
u u
+ + =


+ =

b)
1 2 3
4 5 6
13
351
u u u
u u u
+ + =


+ + =

Bài 5: Một CSN có n số hạng,biết số hạng đầu bằng 7, công bội q = 2, số hạng thứ n là

u
n
=1792.Tính S
n
* Phương pháp quy nạp toán học :
Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp toán học (hay phương pháp
quy nạp), ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ : n = k
≥
0 (gọi là giả thiết quy
nạp).
Bước 3: Ta hãy chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1.
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiện n
≥
p thì:
- Trong bước 1 ta phải thử với n = p.
- Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số n= k
≥
p.
Ví dụ: CMR với n ∈ Ν
*
thì:
1 + 2 + + n =
( 1)
2
n n +
(3)
Giải:

Bước 1: Khi n = 1
VT chỉ có một số hạng bằng 1
VP = 1
Vậy hệ thức (3) đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là
1 + 2+…+ k =
( 1)
2
k k +
Ta phải cm đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là phải cm đẳng thức:
1 + 2+…+ k + (k + 1) =
( 1)( 2)
2
k k+ +
VT = 1 + 2+…+ k + (k + 1) =
( 1)
2
k k +
+ (k + 1). =
( 1)( 2)
2
k k+ +
.
**Bài tập :
Bài 1: Chứng minh rằng với n ∈ Ν
*
ta có:
a)
2 2 2 2
( 1)(2 1)

1 2 3
6
n n n
n
+ +
+ + + + =
.
b)
2
3 3 3 3
( 1)
1 2 3
2
n n
n
+
 
+ + + + =
 
 
c)1.2+2.3+3.4+…+n(n+1) =
( 1)( 2)
3
n n n+ +
Bài 2: Chứng minh rằng
a)
*
2 2 1, n N , 3
n
n n〉 + ∀ ∈ ≥

b)
*
1 1 1
1 ,
2 3 2
2 1
n
n
n N+ + + + 〉 ∀ ∈
−
c)
2
2 2 5
n
n
+
〉 +
, với n là số nguyên dương.
Bài 3: Chứng minh rằng
a)
4 15 1
n
n+ −
chia hết cho 9, với n ∈ Ν
*.
b)
4.6 5 4
n n
+ −
chia hết cho 5, với n ∈ Ν

*.
c)
3 2
3 5 3n n n+ + +
chia hết cho ba, với n ∈ Ν.