Các dạng bài tập ôn luyện thi vào lớp 10 hay và khó

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 3 -


Phn 1: Đại số

Chuyên đề 1: Căn Thức rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức

A. Kiến thức cần nhớ:
- Cách đặt ĐKXĐ của một biểu thức
- Cách quy đồng khử mẫu hai hay nhiều phân thức
B. Bài tập:
Rút gọn các căn thức sau:
Bài 1. Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a,
9
196
49
16
81
25
b,
81
34
2.
25
14
2.
16

1
3
c.
567
3,34.640
d,
22
511.8106,21

Bài 2. Phân tích các biểu thức sau thành các luỹ thừa bậc hai:
a, 8+2
15
; b, 10-2
21
; c, 12-
140

d, 5 +
24
; e, 14+6
5
; g, 8-
28

Bài 3. Phân tích thành thừa số các biểu thức sau:
a, 1 +
1553
b,
21151410

c,
6141535
d, 3 +
8318

e, xy +y
1xx
g, 3+
x
+9 -x
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a, (
10238
)(
4,032
)
b, ( 0,2
3.)10(
2

+ 2
2
)53(

c, (
714228
).
7
+ 7
8

d, ( 15
50
5
4503200
) :
10

e, 2
422
)1(5)3(2)32(

g, (
6:)
3
216
28
632




h,
57
1
:)
31
515
21
714

(






i,
1027
1528625



Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau: a,
ba
ba
1
:
ab
abba



( a, b > 0 và a

b )
b, ( 1+
a1)
1a
aa

1)(
1a
aa





(a > 0 và a

1);c, (
a
a1
aa1



)(
a1
a1


)
2
=1 (a > 0 và a

1)
d,
a
bab2a

ba
.
b
ba
22
42
2



(a+b>0, b

0)
Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a,
2
a4a129a9
với a = -9 ; b, 1 +
4m4m
2m
m3
2


với m<2
c,
a4a25a101
2

với a=

2
; d, 4x-
1x6x9
2

với x=-
3

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 4 -

e, 6x
2
-x
6
+1 với x =
2
3
3
2


Bi 7:Rút gọn các biểu thức sau:
42
44
2

x
xx
A

144
1
:
21
1
14
5
21
2
1
22

xx
x
x
x
x
x
B

xy
y
yx
yx
yx
yx
C








2
2222

xxxxx
D

1
1
1
1
1
1
:

1
1
1
1
























1
2

1
1
:
1
1
x
xxxx
x
E

a
x
xa
a
x
xa
F 22
22








Gợi ý:
Khi làm các bài toán này cần:
- Đặt ĐKXĐ?
- Quy đồng khử mẫu, rồi làm gọn kết quả thu đ-ợc

1
2
2
1
2
2
khix
A
khix











2
12
B
x



2 y
C

xy



1
D
x


1x
E
x



Một số loại toán th-ờng kèm theo bài toán rút gọn
I.Tính toán một biểu thức đại số

Ph-ơng pháp:
Để tính giá trị của biểu thức P(x), biết x=a, ta cần:
+Rút gọn biểu thức P(x).
+ Thay x=a vào biểu thức vừa rút gọn

*Ví dụ:
xx
xxx
A
32
96
2

2




Tính giá trị của A biết
18x
.
22
1
22
1




aa
B

Tính giá trị của B biết(a-6)(a-3)= 0
4
5
:
2
3
2
2
22

xxx
x
x
x
x
C

Tính giá trị của C biết 2x
2
+3x =0
12
12
:
1
1
.
1
1
1

2
2
3
















xx
x
x
xx
x
x
x
D

Tính giá trị của D biết x=
2007

2005


9
961
2
2



x
xxx
E

Tính E biết
16x

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 5 -

4
4ã2
2
2



xx

xa
F

Tính F biết x=
a
a

1
.


Đáp án:

1
khi 3

3
3
(2 3)
x
x
A
khi x
xx




;
4

2
B
a



& B=-4/5
( 2) 2
&
55
x
CC
x



1
1
x
D
x




1
x -3
3

1- x

khi x < -3
x -3
x
khi
x
E





II.Tìm giá trị của biến (ẩn) khi biết giá trị của biểu thức:

Ph-ơng pháp:
Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) =a , ta cần :
+ Rút gọn biểu thức P(x)
+ Giải ph-ơng trình P(x) =a.

Ví dụ:

1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
A

a) Tìm a để A>0
b) Tính giá trị của a để A=0

13
23
1:
19

8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
B

Tìm x khi B=6/5

1
2
1
1
:
1
1
xxxx
x
x
x
x
C

a) Tính C biết x=
324

b)Tìm x khi C >1.

1
2
11
1
:
1
1
1
1
2
x
x

x
xx
x
x
x
D

a) Tính D khi x=
324

b)Tìm x để D=-3

E=
















1

1
1:
1
1
3
x
x
x
x

a) Tính E khi x=
14012


b) Tính x khi E >5
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
F
x x x x




a)Rút gọn F

b)Tính x để F=1/2


2

2
2 3 1 4 2 3
13
x x x
G
xx




a)Rút gọn G
c)Tính G khi
223x


b)Tìm x để G >1


Đáp án:
1
;1
a
Aa
a


;a=1
1
; 4;
4

31
xx
B x x
x




1 6 3 3
; ; 1 or x < -2
13
xx
C C x
x




Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 6 -

2
;
1
x
D
x

21
;0
2
x
Ex
x


;
7 9 5
23
xx
F
xx





2 3 2 2 1
; 2 x < -1;G =
1
2 2 1
x
G x or
x

III. Tìm giá trị của biến x biết P(x) thỏa mãn điều kiện nào đó:


Ph-ơng pháp:
Tr-ớc hết hãy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào điều kiện nêu ra của bài toán
mà lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn:
Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức là nguyên?
Ta cần đ-a biểu thức rút gọn về dạng: R(x)= f(x)+
()
a
gx
sau đó lập luận:

( ) ( ) g(x) R x Z a g x hay
là -ớc của a (a là hằng số)

Ví dụ:
1)

2
2
4 2 3
69
x x x
A
xx

a) Rút gọn A
b)Tính xZ để AZ?
2)
xxxx
x
B







2
1
6
5
3
2
2

Rút gọn B, Tính xZ để BZ?

3)
2
2
:

11
















a
a
aa
aa
aa
aa
C

a)Tìm a để biểu thức C không xác định

b)Rút gọn C
c) Tính aZ để C Z?

4)
11
1
1
1
3







x
xx
xxxx
D


a)Rút gọn và tính giá trị của D khi x=5
b)Tìm giá trị nguyên d-ơng của x để DZ ?

5)E=

1
1
1:
1
1
3
x
x
x
x
:
x
x 2

Tính xZ để E Z?



Đáp án:
4
3

3
A
x


;
42
1
22
x
B
xx



;
2 4 8
2
22
a
C
aa



;

2
11Dx
;

24
1
22
x
E
xx




IV. Một số thể loại khác
Bài 1. Chứng minh rằng:
a)

2004200522006.20051
2

b)
2725725
3
3


c)
ab
a
a
b
a
b

abaabb
a
bba
aba 11
1.
2
23223
2
32
2

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 7 -

Bài 2. Cho B=
















1
1
1
1

1
2
:1
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn B
b)CMR : B>3 với mọi x>0 ;x
1
.
Bài 3. Cho C=
632ab
6
632
32





ba
ab
baab
ba

a) Rút gọn C b) CMR nếu C=
81

81


b
b
thì
3
b
a
.
Bài 4. Cho

xxbb
xb
xb
xxbb
xb
xb
D

2
.

a) Rút gọn D b) So sánh D với
D
.
Bài 5. Cho

1
12
2
41
21
:1
41
4
x
x
x
x
x
xx
E

a) Rút gọn E. b) Tìm x để
2
EE
.
c) Tìm x để
4
1
E

Bài 6. Cho
ab
ba
bab
b
bab
a
F







a) Tính F khi a=
324;324 b

b) CMR nếu
5
1



b
a
b
a
thì F có giá trị không đổi.

Bài 7. Cho biểu thức: A
1
= (
x1
1
x1
1



) : (
x1
1
x1
1



) +
x1
1


a) Rút gọn A
1
.
b) Tính giá trị của A
1
khi x=7+4
3

.
c) Với giá trị nào của x thì A
1
đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 8. Cho biểu thức: A
2
=
22
2
)2x()1x2(
4)1x(



a) Tìm x để A
2
xác định. b) Rút gọn A
2
. c) Tìm x khi A
2
=5.
Bài 9. Cho biểu thức: A
3
= (
1x
1x
1x
1x

):(
1x
1
1x
x
1x
2
2





)
a) Rút gọn A3 b) Tìm giá trị của A
3
khi x=
83
c) Tìm x khi A3 =
5

Bài 10. Cho biểu : A
4
= (
aa
1aa
aa

1aa





):
2a
2a



a) Với giá trị nào của a thì A
4
không xác định. b) Rút gọn A
4
.
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A
4
có giá trị tự nguyên ?
Bài 11. Cho biểu thức: B
1
=
xx
xx2
1x
x

a) Rút gọn B
1

b) Tính giá trị của B
1
khi x=3+
8

c) Tìm x để B
1
> 0 ? B
1
< 0? B
1
=0
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 8 -

Bài 12. Cho biểu thức: B
2
=
6a2
a3
6a2
3a

a) Rút gọn B
2
b) Tìm a để B
2
< 1? B
2
> 1?
Bài 13. Cho biểu thức: B
3
= ( 1+
1x
x

):(
1xxxx
x2
1x
1



)
a) Rút gọn B
3
b) Tìm x để B

3
> 3? c) Tìm x để B
3
=7.
Bài 14. Cho biểu thức: B
4
= (
xx
1
1x
x



):(
1x
2
1x
1



)
a) Rút gọn B
4
b) Tính giá trị của B
4
khi x=3+2
2

c) Giải ph-ơng trình B
4
=
5

Bài 15. Cho biểu thức: B
5
= (
ab
a
ba
a



):(
ab2ba
aa
ba
a



)
a) Tìm điều kiện của a để B
5
xác định. b) Rút gọn B
5
.
c) Biết rằng khi a/b = 1/4 thì B5 = 1, tìm giá trị của b.

Bài 16. Cho biểu thức: C
1
=
4x4x4x4x

a) Rút gọn C
1
b) Tìm x để C
1
= 4

Bài 17. Cho biểu thức: C
2
=
ab
ba
aab
b
bab
a





a) Rút gọn C
2
b) Tính giá trị của C
2
khi a =

324
, b =
324

c) Chứng minh rằng nếu a/b = a+1/b+5 thì C
2
có giá trị không đổi
Bài 18. Cho biểu thức: C
3
=
6b3a2ab
ab6
6b3a2ab
b3a2






a) Chứng minh rằng
0b
thì C
3
có giá trị không phụ thuộc vào b
b) Giải ph-ơng trình C
3
= -2.
c) Tìm a để C
3

< 0? C
3
> 0?
d) Tìm giá trị nguyên của a để C
3
có giá trị nguyên.
e) Chứng minh rằng nếu C
3
= b+81/b-81,
khi đó b/a là một số nguyên chia hết cho 3.
Bài 19. Cho biểu thức: C
4
= (
1x2x
2x
1x
2x





).
2
1x2x
2


a) Xác định x để C
4

tồn tại. b) Rút gọn C
4

c) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C
4
> 0.
d) Tìm giá trị của C
4
khi x = 0,16.
e) Tìm giá trị lớn nhất của C
4
.
g) Tìm x thuộc Z để C
4
thuộc Z.
Bài 20. Cho biểu thức: C
5
=
3223
3223
yxyyxx
yxyyxx



a) Rút gọn C
5
.
b) Tính giá trị của C
5

khi x =
3
, y =
2
.
c) Với giá trị nào của x, y thì C
5
= 1.
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 9 -

Bài 21. Cho biểu thức: D
1
= (
x1
1
1xx
x
1xx
2x






):
2

1x

a) Rút gọn D
1
.
b) Chứng minh D
1
> 0 với
1x,0x
.
Bài 22. Cho biểu thức: D
2
= (
xy
yx
yx
yx
33





):
yx
xy)yx(
2

a) Xác định x, y để D
2
có nghĩa. b) Rút gọn D
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
2
. d) So sánh D
2
và
2
D
.
e) Tính giá trị của D
2
khi x = 1,8 và y = 0,2.
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 10 -


Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b

Kin thc:
Cho hàm số y=ax+b (a0)
- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0
- Nếu toạ độ (x
0
;y

0
) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này.
- Ng-ợc lại, nếu điểm A(x
0
;y
0
) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x
0
;y
0
) của A thoả
mãn hàm số y=f(x).
- Cho hai đ-ờng thẳng (d
1
): y=ax+b & (d
2
): y= a
1
.x+b
1
(a 0 ; a
1
0)
+ (d
1
) // (d
2
)

a=a

1
& b b
1
+ (d
1
)

(d
2
)

a= a
1
& b= b
1
+ (d
1
) cắt (d
2
)

a a
1
& b b
1
+ (d
1
) (d
2
)

a.a
1
=-1
Bài tập vận dụng:
Bài 1:Cho hàm số y= mx-2m+5.CMR hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi m.
Bài 2: Cho đ-ờng thẳng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m
Bài 3: Cho các đ-ờng thẳng (d
1
): y=mx-2(m+2) (m 0) và
(d
2
): y= (2m-3)x +(m
2
-1) (m 3/2):
a) CMR: (d
1
) & (d
2
) không thể trùng nhau với mọi m.
b) Tìm m để (d
1
) // (d
2
); (d
1
) cắt (d
2
); (d
1

) (d
2
)
Bài 4: CMR: 3 đ-ờng thẳng sau đây đồng quy: (d
1
): y=-3x (d
2
): y=2x+5 (d
3
): y=x+4
Bài 5: Tìm m để ba đ-ờng thẳng sau đồng quy:(d
1
):y=x-4; (d
2
): y= -2x-1;(d
3
): y= mx+2
Bài 6: Tính diện tích giới hạn bởi các đ-ờng thẳng :(d
1
): y=
1
3
x
;(d
2
):y=-3x ;(d
3
): y=-x+4
Bài 7: Cho đ-ờng thẳng (d
1

):y=4mx - (m+5) & (d
2
): y= (3m
2
+1)x+m
2
-4
a) CMR: (d
1
) luôn đi qua điểm A cố định và (d
2
) luôn đi qua điểm B cố định
b) Tính khoảng cách AB. ; c) Tìm m để (d
1
) // (d
2
)
Bài 8. Cho hai hàm số : y = (k + 1 )x + 3 và y = (3-2k)x +1
Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đ-ờng trên có thể
trùng nhau đ-ợc không ?
Bài 9. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng: a. Có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm P(
2
5
;
2
1
)
b. Có tung độ gốc bằng -2,5 và đi qua điểm Q(1,5 ; 3,5)
c. Đi qua hai điểmđiểm M(1 ; 2 ) và N (3 ; 6 )
d . Song song với đ-ờng thẳng y = 2x - 3 và đi qua điểm (

3
4
;
3
1
)
Bài 10.Cho 3 đ-ờng thẳng : y=2x+1(d
1
) ; y=-x-2 (d
2
); y=-2x-m (d
3
)
a. Tìm toạ độ giao điểm của hai đ-ờng thẳng (d
1
) & (d
2
)
b. Xác định m để 3 đ-ờng thẳng đã cho đồng quy
Bài 11. a. Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)
b. Gọi các giao điểm của đ-ờng thẳng có ph-ơng trình (3) với các đ-ờng thẳng (1), (2) thứ tự
là A, B; Tìm toạ độ của các điểm A,B.
c.Tính các góc của tam giác OAB.
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 11 -


Chuyên đề 3:Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình bậc nhất

Bất ph-ơng trình


I.Ph-ơng trình bậc nhất 1 ẩn số

Ph-ơng pháp: ax+b=0

ax=-b

x=-b/a
Nếu ph-ơng trình không có dạng tổng quát thì cần biến đổi đ-a
về dạng tổng quát rồi tính

* Ví dụ:
Bài 1:Giải các ph-ơng trình:
a)

223
2
xxx
b)

4
12
12
52
3
51

xxxxxx

c)
0
22
3
1
12
22
1
2






x
xx
x
x

* Ph-ơng trình dạng
)()( xgxf
(1)

Sơ đồ giải:

2

( ) 0(2)
( ) ( )
( ) ( ) (3)
gx
f x g x
f x g x









Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm không thích hợp,
nghiệm thích hợp là nghiệm của ph-ơng trình đã cho.
Ví dụ:
Bài 2:Giải ph-ơng trình: a)
783 x
b)
xxx 21
2

c)

2
2 3 3 1xx

* Ph-ơng trình dạng

)()()( xhxgxf


Sơ đồ giải:- Đặt điều kiện có nghĩa của ph-ơng trình:

0)(
0)(
0)(



xh
xg
xf

- Bình ph-ơng 2 vế , rút gọn đ-a về dạng(1)
Ví dụ:
Bài 3:Giải ph-ơng trình:
a)
xx 15
b)
xx 11

c)
22 10 2xx
d)
3 1 1 2xx

Bài 4:Giải ph-ơng trình:
a)

51xx
b)
3 1 10 1 5xx

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 12 -

* Ph-ơng trình dạng
( ) ( ) ( )f x g x h x


Sơ đồ giải:
- Đặt đk có nghĩa của ph-ơng trình

0)(
0)(
0)(



xh
xg
xf

-Bình ph-ơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình ph-ơng) sau đó cần phải
đối chiếu nghiệm vừa tìm đ-ợc với điều kiện!

*Ví dụ:

Bài 5:Giải ph-ơng trình
a)
5 3 2 7x x x
b)
1 7 12x x x


IV. Bất ph-ơng trình

*Dạng 1: Bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0
+ Ph-ơng pháp: ax+b>0

ax>-b

x>-b/a nếu a>0
x<-b/a nếu a<0
+ Ví dụ:
Bài 6: Cho ph-ơng trình:
32
16
3
1
52
xxx
x

a) Giải bất ph-ơng trình
b) Tìm nghiệm nguyên âm của bất ph-ơng trình.

Dạng 2: BPT phân thức
B
A
>0 , BPT tíchA.B>0
*Cách giải: Mỗi bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với 2 hệ bpt :
0
0
0
0
A
B
A
B

*Ví dụ:
Bài 6: Giải các ph-ơng trình sau:
1)2x(3x-5) <0 2)
1
1
2
2



xx
xx
3)(x-1)
2
-4 <0
*Dạng 3:
()
()
()
f x a
f x a
f x a

Bài 7: Giải ph-ơng trình:
14 xx


Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 13 -

*Dạng 4:
()
()
()
f x a
f x a
f x a






hoặc
axfaaxf )()(

Bài 8: Giải ph-ơng trình:
1
2

4
2
2



xx
xx

V. Hệ ph-ơng trình
* Ph-ơng pháp:
*Ví dụ: Cho hệ ph-ơng trình
32
9 6 1
x my
xy





(1)
a) Giải (1) khi m=
2
1

b)Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất
c) Tìm m để (1) có vô nghiệm d) Tìm m để (1) có nghiệm
0
0

x
y






Bài tâp:
Bài 1.Giải các ph-ơng trình và bất ph-ơng trình sau:
a)
25
20
5
5
5
5
2







x
x
x
x
x

b)


1
2
7
1
4
12
2
2

x
x
x

c)
836
2
x
d)
122
2
xx
d)
e)

1223 xxx
f)
121 xx

g)
5144
2
xxx

Bài 2. Giải các hệ ph-ơng trình sau
a)
1
1
3
2
2
1
1
1
2
1








yx
yx
b)
5
43

1
11


yx
yx
c)
15
151


xy
yx

d)
2
2


x
xx
e)
05
05)(3)(2
2


yx
yxyx
f)

1233
8)(3)(5
2


yx
yxyx

Bài 3.Cho hệ pt:
3
3
mx y
x my





a)Tìm m để hệ có nghiệm(x;y)=(-2;5)
b)Tìm m để hệ có vô số nghiệm; vô nghiệm? ; c) Tìm m để hệ có nghiệm
0
0
x
y

Bài 4. Cho hệ ph-ơng trình:
2
mx my m
mx y m





(m: là tham số)
a)Giải và biện luận hệ ph-ơng trình; b)Tìm điều kiện của m để hệ có nghệm thỏa mãn x>0;y<0.
Bài 5.Tìm m để hệ ph-ơng trình sau :
5
2 3 7
mx y
x my





có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x>0; y<0
Bài 6) Tìm a để hệ ph-ơng trình:
3
ã 4 6
x ay
a x y

có n
0
thỏa mãn x>1; y>0.
Bài 7)Tìm a để 3 đ-ờng thẳng sau: (d
1
) 2x +y =5 (d
2
) 3x-2y =4 (d
3
) a x +5y =11 đồng quy?
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 14 -

Bài 8)Giải hệ ph-ơng trình
2 3 8
31
xy
xy





&
4 3 2
3

xy
xy






Bài 9) Giải hệ ph-ơng trình sau: a)
22
5
5
x y xy
xy





b)
30
35
x y y x
x x y y

c)
64
1 1 1
4
xy
xy







d)
22
11
30
x xy y
x y xy





e)
22
22
19

7
x y xy
x y xy






Bài 10. Giải hệ ph-ơng trình sau :
2
31
xy
xy






20
31
xy
xy

1y3x2
2y3x




5y22x
101yx2








2yx4
5y3x8







5yx2
3yx2

2yx
4
9
y
1
x
1








1
7
y
4
x
03yx

11
1

34
5
xy
xy

















36
5
y
1
x
1
4
3
y

6
x
5














1
1y
1
2x
1
1
1y
3
2x
2

3
yx
1
yx
1
1
yx
3
yx
2

Bài 11. Giải các hệ ph-ơng trình : a.





05)yx(3)yx(2
05yx

2
b.





8)yx(3)yx(5
12y3x2
2

Bài 12. Cho hệ ph-ơng trình :





)1(2
)2(1
bayx
byax

a. Xác định a,b để hệ có nghiệm x=
2
;y=
3
; b. Tìm a,b để hệ vô số nghiệm
Bài 13. Cho hệ ph-ơng trình :

3yx)1a(
ayax

a. Giải hệ ph-ơng trình với a=-
2

b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Bài 14. Cho hệ ph-ơng trình





aayx
1yax
;
a. Giải hệ ph-ơng trình với a=
2
-1
b. Chứng minh hệ ph-ơng trình có nghiệm với mọi a
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn


*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 15 -

c. T×m a sao cho hÖ cã nghiÖm (x;y) tho¶ m·n x>0; y>0
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 16 -


Chuyên đề 4: ph-ơng trình bậc hai- Định lí vi ét và ứng dụng

I.Ph-ơng trình bậc hai:
1) Ph-ơng trình bậc hai khuyết:
* Ph-ơng pháp: Phân tích vế phải thành nhân tử, rồi đ-a về dạng ph-ơng trình tích.
* Ví dụ: Giải ph-ơng trình sau:
a) 2x
2
-50x =0 b) 54x
2
=27x
c)
2
4
53
2
2


x
x
d)
4

12
3
2
2
1
222




xxx

2) Ph-ơng trình dạng đầy đủ:
* Ph-ơng pháp: Giải theo công thức nghiệm của ph-ơng trình bậc hai:
* Ví dụ: Giải ph-ơng trình:
a)
02
1
1



x
x
x
x
b)
1
1
2

1
2
2



x
x
x
c)
2
1 1 7
7 12 2 6 40x x x



3)Ph-ơng trình giải đ-ợc bằng cách đặt ẩn số phụ:
* Ví dụ: Giải các ph-ơng trình
a) (x
2
+2x)
2
-2(x
2
+2x) -3 =0 c) 4x
4
+12x
3
-47x
2

+12x+4=0
b) x
4
-5x
2
-6 =0 d) x
2
+
2
5
x
-
2
3
=0
Bài tập: Giải các ph-ơng trình sau:
a)(6x
2
-7x)
2
- 2(6x
2
-7x) -3 =0 ; b)(x+
x
1
)
2
-4,5(x+
x
1

) +5=0
c)(x-1)(x+2)(x+4)(x+7)=16 ; d)
2
2
8
1
x
x
x






II.Điều kiện nghiệm của ph-ơng trình bậc hai ax
2
+bx+c =0:

Ph-ơng pháp:
Cho ph-ơng trình bậc hai ax
2
+bx+c = 0 (1)
+ ĐK để (1) vô nghiệm:
0
0
a

+ ĐK để (1)Có 2 nghiệm pb:
0
0
a





+ ĐK để (1)Có nghiệm kép:
0
0
a




+ ĐK để (1)Có 2 nghiệm trái dấu: a.c<0
+ ĐK để (1)Có nghiệm:
0
0
a




+ ĐK để (1) có 2n
0
d-ơng:

0
0
0
S
P









Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 17 -

+ ĐK để (1) có 2n
0
âm:
0
0
0
S
P

+ ĐK để (1)có 2n
0
cùng dấu:
0
0P






(Khi đó nếu Tổng 2n
0
d-ơng thì 2n
0
mang dấu d-ơng và ng-ợc lại)
Ví dụ:
Bài 1:Cho ph-ơng trình: (m-1)x
2
-2(m+1x + m-2=0 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Giải ph-ơng trình khi m= 5
Bài 2: Cho ph-ơng trình :(m+2)x
2
+ 6mx + (4m +1)=0. Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép?

Bài 3: Cho ph-ơng trình :m
2
x
2
+ mx +4 =0 . Tìm m để ph-ơng trình vô nghiệm?
Bài 4: Cho ph-ơng trình :x
2
-2(k-1)x + 2k -5 =0
a)CMR: Ph-ơng trình luôn có nghiệm?
b)Tìm k để ph-ơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.Khi đó 2n
0
mang dấu gì?
Bài 5: Xác định k để pt :3x
2
- (2k+1)x +k
2
- 4 =0 có 2 nghiệm trái dấu?
Bài 6: Xác định k để pt :x
2
- 2kx +2k -3 =0 có hai nghiệm phân bịêt cùng dấu?
Bài 7:Cho pt : 2x
2
+14x +2m-3 =0
a)Tìm m để pt có 1 nghiệm bằng -
3
.Tìm nghiệm thứ hai?
b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
Bài 8: Cho pt: x
2
-2mx+2m-1=0

a) m=? để ph-ơng trình có nghiệm kép
b) m=? để ph-ơng trình có hai nghiệm cùng dấu.Khi đó 2 n
0
mang dấu gì?
III.Bài toán liên quan giữa nghiệm ph-ơng trình và hệ thức Vi-ét:

Ph-ơng pháp:
Nếu pt bậc 2 :ax
2
+bx+c = 0
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và tích các nghiệm đó là:
12
12
.
b
xx
a
c
xx
a

Tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho tr-ớc. Nếu
đk cho tr-ớc có chứa biểu thức x
1
2
+x
2
2
hoặc x
1
3
+x
2
3
thì cần áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:
x
1
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2

-2x
1
x
2

x
1
3
+x
2
3
=(x
1
+x)
3
-3x
1
x
2
(x
1
+x
2
).
Tất nhiên các giá trị của tham số rút ra từ đk , phải thỏa mãn đk
0

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn

*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 18 -


Ví dụ:
Bài 1:Cho ph-ơng trình bậc hai: x
2
- 2(m+1)x + m
2
+3 =0 (1)
a) Tìm m để (1) có 2 n
0
d-ơng?
b) Tìm m để (1) có 2 n
0
x
1
,x
2
thỏa mãn
22
77
1
2
2
1

x
x
x
x

Bài 2:Cho ph-ơng trình : x
2
+2kx+2-5k =0 (2) k: tham số
a) Tìm k để pt(2) có n
0
kép?
b) Tìm k để (1) có 2 n
0
x
1
,x
2
thỏa mãn x
1
2
+x
2
2
=10
Bài 3: Cho ph-ơng trình bậc hai: x
2
- (2m+3)x + m -3 =0 (1)
a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi x.
b) Tìm m để pt có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia?
Bài 4: Cho ph-ơng trình: x
2
-2(m+2)x +m+1 =0 (x là ẩn)
a) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu?
b) Gọi x

1
, x
2
là hai nghiệm của ph-ơng trình. Tìm giá trị của m để: x
1
(1-2x
2
)+x
2
(1-2x
2
)=m
2
.
Bài 5:Cho ph-ơng trình mx
2
-(m-4)x +2m =0.
Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 2(x
1
2
+x
2
2
)-x
1
.x

2
=0.
Bài 6:Cho ph-ơng trình x
2
-(m-1)x +5m-6=0.
Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 4x
1
+3x
2
=1
Bài 7:Cho ph-ơng trình x
2
-2(m+1)x+m
2
+3=0.
Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn : 2(x
1
+x
2
)-3x
1
.x

2
+9=0.

Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số?
Ph-ơng pháp: Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đ-ợc biểu
thức không phụ thuộc vào tham số
Ví dụ:
Bài 1:Cho ph-ơng trình: x
2
-(k-3)x +2k+1 =0 có các nghiệm là x
1
,x
2
. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm độc lập với k.
Bài 2:Cho ph-ơng trình bậc hai: x
2
- (2m+3)x + m -3 =0 có các nghiệm là x
1
,x
2
. Tìm một hệ thức liên hệ
giữa các nghiệm độc lập với k.
Bài 3: Cho ph-ơng trình bậc hai: (m+1)x
2
-2(m-1)x+m =0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc
lập với m?.
Bài 4: Cho ph-ơng trình bậc hai: (m-1)x
2
-2(m-2)

2
x +m+3=0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
độc lập với m?.

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 19 -



Lập ph-ơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của chúng
Ph-ơng pháp:
- Lập tổng x
1
+x
2

- Lập tích x
1
x
2
- Ph-ơng trình cần tìm là X
2
-SX+P =0.
* Ví dụ:
Bài 1:Lập ph-ơng trình bậc hai có các nghiệm là:a)
3
1
và

2
1
;b)
3
và
5
; c)
25
và
25

Bài 2: Cho ph-ơng trình: x
2
+px+q =0(1)
a) Không giải ph-ơng trình, hãy tính biểu thức:

2
2
2
1
322
1
322
1




xx
A

theo p và q
b)Không giải ph-ơng trình, hãy lập ph-ơng trình bậc 2 theo y có hai nghiệm là:

1
1
1
1
1



x
x
y
;
1
1
2
2
2



x
x
y

c)Chứng minh rằng nếu ph-ơng trình (1) và ph-ơng trình x
2
+mx+n=0

có nghiệm chung thì :(n-q)
2
+(m-p)(mq-np)=0

Bài tập:

Bài 1: Cho ph-ơng trình x
2
-mx +m-1 =0(1)
a)CMR: (1) có nghiệm với mọi m.Tìm nghiệm kép nếu có của (1) và giá trị t-ơng ứng của m.
b)Đặt A= x
1
2
+x
2
2
-6x
1
x
2
.
- CMR : A=m
2
-8m +8.
- Tìm m để A=8
Bài 2:Cho ph-ơng trình : (m-4)x
2
-2mx+m-2=0
a) Giải ph-ơng trình khi m=18
b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Tính x
1
3
+x
2
3
theo m?
Bài 3: Cho ph-ơng trình : x
2
-2(m+2)x+m+1=0 (1)
a) Giải ph-ơng trình khi m=-3/2
b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình.Tìm m để x
1
(1-2x
2
)+x
2
(1-2x
1
)=m
2
.
Bài 4: Cho ph-ơng trình : x
2
- 2mx+2m-1=0
a) CMR: Ph-ơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Đặt A= 2(x
1
2

+x
2
2
)-5x
1
x
2

1.CMR: A= 8m
2
-18m+9
2. Tìm m để A=27
3. Tìm m sao cho ph-ơng trình nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia?
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 20 -


Chuyên đề 5: Mối t-ơng quan giữa đồ thị
hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai


Ph-ơng pháp:
Cho Parabol (P): y=ax
2
và đ-ờng thẳng (d): y=mx+b
- ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

ph-ơng trình ax

2
=mx+b có 2 nghiệm phân biệt

>0 (nghiệm của ph-ơng trình chính là hoành độ cỉa hai giao điểm)
- ĐK để (d) Không cắt (P)

ph-ơng trình ax
2
=mx+b vô nghiệm



<0.
- ĐK để (d) tiếp xúc với (P)

ph-ơng trình ax
2
=mx+b có nghiệm kép



=0
(nghiệm kép tìm đ-ợc đó chính là hoành độ tiếp điểm).

Bài tập:
Bài 1: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y=
2
x

2

.
Tìm a và b để đ-ờng thẳng y=ax+b đi qua điểm (0;-1) và tiếp xúc với (P).
Bài 2: Cho hàm số y=ax
2
có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ thị (T) của hàm số y= (m-
1)x- (m-1).
a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.
b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đ-ợc trên cùng mặt phẳng toạ độ.
Bài 3:Cho đ-ờng thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x
2
-3x+2
a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung.
b) Trong tr-ờng hợp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 4: Cho hàm số y=
2
-1
x
2
(P)
a) Vẽ (P).
b) Tìm m để đ-ờng thẳng y= 2x+m cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A & B.
Tìm toạ độ 2 điểm A và B đó.
Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x
2
. Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng
() song song với đ-ờng thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P).
Bài 6: Cho (P): y=
2
1
2

x
và hai đ-ờng thẳng (d
1
): y=2x-2 và (d
2
): y= ax-1.
a) Vẽ (P) & (d
1
) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao điẻm của chúng
b) Biện luận theo a số giao điểm của (P) & (d
2
)
c) Tìm a để 3 đồ thị trên cùng đi qua một điểm.
d) Chứng tỏ rằng đ-ờng thẳng đi qua A(-1;2) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 21 -


Chuyên đề 6: Tìm GTLN &GTNN của một biểu thức


Ph-ơng pháp 1:
Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn
( là một biểu thức không âm) rồi tùy theo dấu tr-ớc biểu thức đó là d-ơng
(hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ nhất (hay lớn nhất).

Chẳng hạn
:

A=(ax+b)
2
+m
m
thì minA=m khi và chỉ khi x=
a
b

A=-(ax+b)
2
+M
M
thì maxA =M khi và chỉ khi x=
a
b

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A= m
2
-6m+11.
Ta có: A= m
2
-6m+11=(m-3)
2
+2 . Do =(m-3)
2


0 nên A==(m-3)
2
+2

2
dấu = xy khi m-3=0 m=3.
Vậy GTNN của A là 2 khi m=3.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B= -4x
2
-8x+5
Ta có: B= -4x
2
-8x+5=-(4x
2
+8x-5)=-[(2x+1)
2
-6]=- (2x+1)
2
+6

6

Vậy GTLN của B là 6 khi 2x+1=0 x=-1/2.


Ph-ơng pháp 2: Ph-ơng pháp tìm miền giá trị của một hàm số

Ví dụ: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:
1
1
2
2

xx
x

Đặt y=
1
1
2
2


xx
x
, ta cần tìm GTNN&GTLNcủa y?
y(x
2
+x+1)=x
2
+1 (y-1)x
2
+yx+y-1=0 (1) - Đây là ph-ơng trình bậc hai ẩn x
+) y-1=0 y=1: (1) có dạng:x=0 (không có GTLN hay GTNN)
+) y -1

0 y

1: Để tồn tại GTNN & GTLN thì (1) phải có nghiệm

0.
= y

2
-4(y-1)
2
=(-y+2)(3y-2)

0
2
2
3
y
GTNN là
2
3
GTLN là 2.
Khi đó x=
2( 1) 2(1 )
yy
yy


với y=2/3 thì x=1
với y=2 thì x=-1
Vậy: GTNN là
2
3
Khi x=1 ; GTLN là 2 Khi x=-1



Ph-ơng pháp 3: Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 22 -

+ với
0;0 ba
ta có
ab
ba


2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Hệ quả: + Nếu a+b =S thì
42
2
S
ab
S
ab
. Vậy ab đạt GTLN là
ba
S

4
2

+ Nếu ab =P thì a+b
P2

.Vậy a+b đạt GTNN là
baP 2


Ví dụ: Cho biểu thức

xx
P


53
8
với -3<x<5 Tìm x để P đạt GTNN.Tìm GTNN đó.
Giải : Từ -3<x<5 P>0. Đặt E=

35xx

P đạt GTNN thì E đạt GTLN

35xx
đạt GTLN.
Xét (x+3)+(5-x)=8 (hằng số)

35xx



8
4
2

dấu=khi (x+3)=(5-x) x=1(TM).


88
2
4
35
P
xx


. GTLN của P là 2 và đạt đ-ợc khi x=1
*Bài tập:
Bài 1: Tìm GTLN&GTNN nếu có của các biểu thức sau:
a) -x
2
+2x+5 b) 2x
2
-x+3 c)
1
1
2
xx
d)
12
5
x

Bài 2: Tìm x,y,z để các biểu thức sau đạt GTNN. Tìm GTNN đó

a) M=x
2
+4y
2
+z
2
-2x+8y-6z+15 b) N = 2x
2
+2xy +y
2
-2x+2y+2
Bài 3: Cho biểu thức :
x
x
Q
3
72
2


với x>0. Tìm x để Q đạt GTNN.Tìm GTNN đó.
Bài 4: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức: y=
722
3
2
xx

Bài 5: Giả sử x
1
và x

2
là hai nghiệm cuả ph-ơng trình x
2
-2(m-1)x+m
2
-m -0 (1)
Tìm GTNN của tổng S= x
1
2
+x
2
2

Bài 6: Cho ph-ơng trình : x
2
- 2(m-3)x -2(m-1) =0 (1).
a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm cuả ph-ơng trình.Tìm GTNN của tổng S= x
1
2
+x
2
2
.
Bài 7: Gọi x
1

, x
2
là hai nghiệm của ph-ơng trình 2x
2
-3mx-2 =0
Tìm giá trị của m để x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 8: Tìm GTLN&GTNN nếu có của các biểu thức sau:
A= x
2
+3x+4 B=-3x
2
+4x+1 C=
23
5
2
x

Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: M=3y
2
+x
2
+2xy+2x+6y-5
Bài 10:Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:
a)

2
2
20072
x
xx
y


; b)
1
1
2
2



xx
xx
y
; c)
2
13
1
x
y



Bài 11: Cho 2 biến số d-ơng x và y. Biết x+y=6. Tìm GTNN của
yx

Q
22



Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 23 -




Chuyên đề 7: Bất đẳng thức

I. Ph-ơng pháp chứng minh trực tiếp dùng định nghĩa:

* Định nghĩa: A

B

A- B

0
Nên khi chứng minh A

B ta:
- Lập hiệu A-B
- Chứng tỏ rằng A-B

0 bằng cách biến đổi A-B thành tích của những thừa số
không âm hoặc tổng các bình ph-ơng.v.v.

Ví dụ: Chứng minh rằng 2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2


a,b
Giải: Xét hiệu 2(a
2
+b
2
) -(a+b)
2
=a
2
-2ab+b
2
=(a-b)
2

0

a,b.

Theo định nghĩa 2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2
(đpcm)
Bài tập vận dụng:
1) CMR: (a+b)
2

4ab 2) CMR: Nếu a

b thì a
3

b
3

3) CMR: a
2
+b
2
+c
2


ab+bc+ca 4) CMR:

2
2
2
2 x
1
x
x




II. Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng:

Để chứng minh A

B, ta dùng tính chất của BĐT, biến đổi t-ơng đ-ơng BĐT cần chứng
minh đến một đẳng thức đã biết là đúng

Ví dụ: CMR :
1 1 4
,0xy
x y x y



Giải:

22
1 1 4 x + y 4
x + y 4 x -y 0

xy
xy
x y x y x y



Đúng
, , 0xy
nên
1 1 4
,0xy
x y x y


(đpcm)
Bài tập vận dụng:
1) CMR:
2
2
45
0
1
xx
x
x



2) CMR:
2

4
1
12
a
a
a



3) CMR: Nếu p,q>0 thì:
22
pq
pq
pq



4) CMR: 3x
2
+y
2
+z
2

2x(y+z+1)
,,x y z

5) CMR:
2006 2007
2006 2007

2007 2006

6) CMR: Nếu x+4y=1 thì : x
2
+4y
2

1
5

7) CMR: Nếu 2x+4y=1 thì : x
2
+y
2

1
20

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 24 -

8)Cho a0.Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph-ơng trình
2
2

1
40
2
xx
a

.CMR:
44
12
22xx

III.Ph-ơng pháp sử dụng giả thiết hoặc một BĐT đã biết:

- Sử dụng BĐT Côsy:
, 0
2
ab
ab a b



- Sử dụng BĐT Bunhiacôpsci:


2
2 2 2 2
x,yax by a b x y

- Các hệ quả của BĐT Cô-sy:
+)

1 1 4
,0xy
x y x y



+)

2
14
x,y
xy
xy



+)
1 1 1 9
x,y,z
x y z x y z




Ví dụ: Cho 3 cạnh của ABC có độ dài lần l-ợt là a,b,c và chu vi là 2p=a+b+c
CMR:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

Giải: ta có p-a, p-b, p-c >0 nên áp dụng BĐT
1 1 4
,0xy
x y x y


, ta có:

1 1 4 1 1 4 1 1 4
; ;
1 1 1 1 1 1
2 4 dpcm
p a p b c p b p c a p c p a b
p a p b p c a b c

Ghi chú: Khi sử dụng BĐT nào để giải thì cần chứng minh trớc rồi mới vận dụng
Bài tập vận dụng:
Bài 1:Cho 2 số d-ơng a,b thoả mãn a+b=1. CMR:
22
11
6
ab a b


(có thể hỏi: Tìm GTNN của biểu thức
A=
22
11
ab a b


)
Bài 2:Cho 2 số d-ơng a,b. CMR:

2
22
1 1 1
4 4 8a b ab
ab




Bài 3: Cho x>y, xy=1. CMR:
22

22
xy
xy




Bài 4:Cho x>0; y>0 thoả mãn điều kiện
1 1 1
2xy

.Tìm GTNN của biểu thức A=
xy




Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 25 -




Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình
hoặc hệ ph-ơng trình

.Ph-ơng pháp:
B-ớc 1: Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị và đặt đk cho ẩn số)
B-ớc 2: - Biểu thị các đại l-ợng đã biết và ch-a biết qua ẩn số
- Sử dụng mối liên hệ giữa các dữ kiện cho tr-ớc trong bài để
thiết lập ph-ơng trình(hoặc hệ ph-ơng trình)
B-ớc 3: Giải ph-ơng trình (hoặc hệ ph-ơng trình)
B-ớc 4: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời

Bài tập vận dụng:
Bài 1. Tìm hai số biết tổng cuả hai số bằng 59, hai lần của số này hn ba lần của số kia là 8.
Bài 2. Cho một số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai ch- số của nó thì đ-ợc một số lớn hơn số đã cho là 63.
Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho?
Bài 3. Phân tích số 270 ra thừa số mà tổng của chúng bằng 33
Bài 4. một sân tr-ờng hình chữ nhật có chu vi là 340m, 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m.
Tính chiều dài và chiều rộng của sân tr-ờng
Bài 5. Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là
3
5
cạnh còn lại dài 8cm.
Tính cạnh huyền.
Bài 6. Bảy năm tr-ớc, tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi
con. Hỏi năm nay mỗi ng-ời bao nhiêu tuổi?
Bài 7. Hôm qua mẹ Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000
đ
Hôm nay mẹ lan mua 3
quả trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ hết 9600
đ
mà giá trứng thì vẫn nh- cũ. Hỏi giá mỗi quả trứng mỗi
loại là bao nhiêu?
Bài 8. Trong một phòng học có một số ghế, nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ,

nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế.
Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?
Bài 9. Trên cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch đ-ợc tất cả 460 tấn thóc.
Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1ha là bao nhiêu. Biết rằng 3ha trồng lúa mới thu hoạch đ-ợc ít hơn 4 ha
trồng lúa cũ là 1 tấn
Bài 10. Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi
xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?
Bài 11. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh
hơn ô tô thứ hai 12km. Nên đến địa đỉêm B tr-ớc ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của mỗt ô tô biết
quãng đ-ờng AB dài 240km
Bài 12. Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc tử hai tỉnh cách nhau 150km đi ng-ợc chiều và gặp
nhau sau 2h. Tìm vân tốc của mỗi ô tô. Biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5 km/h và vận tốc ô
tô B giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc ô tô B.
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 26 -

Bài 13. Một ô tô đi t- A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng
3
2
vận tốc của
ô tô th- nhất. Sau 3h chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đ-ờng AB mất bao lâu?
Bài 14. Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên AC có một ô tô vân tải
cũng đi đến C sau 5h hai ô tô gặp nhau tai C. Hỏi ô tô du lịch đi từ A đên B hết bao lâu. Biết rằng vân
tốc của ô tô tải bằng 3/5 vân tốc của ô tô du lịch.
Bài 15. Hai ng-ời thợ cùng xây một bức t-ờng trong 7h12phút thì xong nếu ng-ời thứ nhất làm trong 5h
và ng-ời thứ 2 làm trong 6h thì cả hai xây đ-ơc 3/4 bức t-ờng. Hỏi mỗi ng-ời làm một mình thì bao lâu
song bức t-ờng?
Bài 16. Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 thì xong việc. Nếu ng-ời thứ nhất làm

một mình trong 9 ngày, rồi ng-ời thứ 2 đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi
ng-ời làm một mình thì bao lâu xong việc.
Bài 17. Trong tháng đầu 2 tổ công nhân sản xuất đ-ợc 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ một sản xuất
v-ợt mức 15%, tổ hai sản xuất v-ợt mức 20% do đó cuối tháng cả hai sản xuất đ-ợc 945 chi tiết máy.
Hỏi rằng trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đ-ợc bao nhiêu chi tiết máy.
Bài 18. Cho một dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g n-ớc thì đ-ợc một dung dịch 6%. Hỏi
có bao nhiêu gam dung dịch đã cho?
Bài 19. Hai vòi n-ớc cùng chảy vào một bể thì sau 4
5
4
giờ bể đầy
mỗi giờ l-ợng n-ớc của vòi một chảy đ-ợc bằng 1
2
1
l-ợng n-ớc chảy đ-ợc của vòi hai . Hỏi mỗi vòi
chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể
Bài 20. Một ng-ời đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km sau đó 1h30 một ngời đi xe máy
cũng đi từ A đến B sớm hơn 1h .Tính vận tốc của mỗi xe .Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5lần vận tốc xe
đạp .
Bài 21. Một ng-ời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h khi đến B ng-ời đó nghỉ 20phút
rôì quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đ-ờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là
5h50
Bài 22. Hai ng-ời thợ cùng làm một công việc trong 16h thì song nếu ng-ời thứ nhất làm trong 3h và
ng-ời thứ hai làm trong 6h thì họ làm đ-ợc 25% công việc .Hỏi mỗi ng-ời làm một mình thi song công
việc trong bao lâu .
Bài 23. Cho một số có hai chữ số .Tổng hai chữ số của chúng =10 ,tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho
là 12 .Tìm số đã cho
Bài 24. Trong một phòng họp có 360 ghế đ-ợc xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng
nhau .Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế để đủ chỗ cho 400 đại
biểu .Hỏi bình th-ờng trong phòng có bao nhiêu dãy ghế

Bài 25. Quãng đ-ơng AB dài 150km một ôtô đi từ A đến B và nghỉ lại ở B 3h15 rồi trở về A hết tất c 10h
.Tính vận tốc của ôtô lúc về .Biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/h
Bài 26. Một số máy suôi dòng 30km và ng-ợc dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà số máy
đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng .Tính vận tốc của xuồng khi đi trong hồ .Biết rằng vận tốc của n-ớc
chảy trong sông là 3km/h.
Bài 27. Một bè nứa trôi trên sông sau đó 5h20 một xuồng máy đuổi theo v đi đợc 20km thì gặp bè
nứa .Tính vận tốc bè nứa Biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè nứa 12km/h
Bài 28: Ng-ời ta dự định chia 73 học sinh thành một số tổ nhất định để tham gia hoạt động hè. Sau khi
chia số học sinh cho mỗi tổ thì thấy thừa ra 1 học sinh. Lần thứ hai chia thêm mỗi tổ 1 ng-ời thì thiếu 7
học sinh. Hỏi số tổ dự định và số học sinh của mỗi tổ lúc chia lần đầu.
Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn


*** Vừ Duy Mng - Qu Cng - Qu Sn - QN *** - 27 -

Bài 29: Hai cạnh góc vuông của một vuông hơn kém nhau 14 cm.Tính các cạnh của đó biết chu vi
của nó là 60cm.
Bài 30: Cho một thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng thêm mỗi cạnh 10m thì diện tích mới bằng
2
3
diện
tích cũ. Nếu giảm mỗi cạnh đi 10 m thì diện tích mới bằng
3
5
diện tích cũ.
Bài 31: Hai vòi nớc cùng chy đầy một bể không có nớc trong 3h45. Nếu chy riêng rẽ, mỗi vòi phi
chảy trong bao nhiêu lâu để bể đầy.Biết rằng vòi sau chảy lâu hơn vòi tr-ớc 4giờ.
Bài 32: Quãng đ-ờng Hải Phòng Hà Nội dài 105 km.Một ô tô đi từ Hải Phòng đi Hà nội với vận tốc
đã định.Lúc về, mỗi giờ ôtô đi nhanh hơn lúc đi là 7km nên thời gian về ít hơn lúc đi là nửa giờ. Tính
vận tốc lúc đi của ôtô?

Bài 33: Một số có hai chữ số mà tổng hai chữ số đó bằng 13.nếu ta thêm 34 vào tích hai chữ só đó, ta sẽ
đ-ợc một số viết theo thứ tự ng-ợc lại. Tìm số đó?
Bài 34: Một ng-ời đi xe đạp từ A đến B trong 1 giờ. Lúc về ng-ời đó đi đ-ợc
1
3
quãng đ-ờng với vận tôc
hơn lúc đi là 2km/h.Phần đ-ờng còn lại, ng-ời đó rút vận tốc xuống thành ít hơn lúc đi 1km/h, lúc về
chậm hơn lúc đi là 40giây. Tính quãng đ-ờng AB?
Bài 35: Hai ngời thợ cùng làm một công việc. Nếu làm riêng rẽ mỗi ng-ời nửa công việc thì tổng số giờ
làm việc là 12 h30.Nếu hai ng-ời cùng làm thì hai ng-ời chỉ làm cả việc đó trong 6giờ. Nh- vậy, làm
riêng rẽ cả công việc, mỗi ng-ời phải mất bao nhiêu giờ?