Bí kíp giải bất phương trình

BÍ KÍP CHUYỂN BẤT PHƯƠNG TRÌNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH
Các em thân mến!
Chắc hẳn các em đã đọc đề thi minh họa của Bộ Giáo Dục và Đào tạo năm nay, trong
đó có một câu bất phương trình (không quá khó – theo đánh giá khách quan của anh),
đó là:
Giải bất phương trình
 
22
222 3x x x xx 
.
Chắc chắn rằng khi giải phương trình bất giải bất phương trình thì các em sẽ cảm
thấy giải phương trình là dễ hơn, bởi trong quá trình biến đổi nó không phải rườm rà
điều kiện như khi giải bất phương trình. Đặc biệt là với các bất phương trình chứa phân
thức, bắt buộc ta phải quy đồng mới giải được (mà muốn quy đồng thì lại phải đảm bảo
dấu của mẫu số để quy đồng – điều này không phải bài toán nào cũng đảm bảo cho
chúng ta). Chính vì vậy anh viết tài liệu ngắn này để giúp các em khắc phục điều đó
.
Anh lấy luôn ví dụ là bài bất phương trình ở trên. Có lẽ rằng với em nào đã biết được
cách giải tổng quát phương trình bậc 4 thì hoàn toàn có thể xử đẹp được bài toán
phương trình tương ứng với bài bất phương trình trên là:
Giải phương trình
 
22
2 3 2 2x xxx x    
.
Dạng toán này anh đã tổng hợp ở trong cuốn Chinh phục phương trình và bất phương
trình đại số – Tập 1, cụ thể dạng của nó là:
     
f x g x h x
, trong đó f(x),
g(x), h(x) là các đa thức có bậc không vượt quá 2. Cụ thể lời giải cho bài phương trình

trên như sau (nếu không suy nghĩ nhiều – chỉ cần nghĩ nó đưa về được phương trình
bậc 4. Việc khai triển thì đã có máy tính bỏ túi lo – không sợ khai triển sai):
Lời giải: Điều kiện
2
2
0
2 1 3.
2 2 0
xx
xx
xx













Phương trình đã cho tương đương với:


 
2
2 2

2 3 2 2x x x xx    


 
 
 
2 2 2
2 2 2 2 3 2 2x x x x x x x       


 
 
22
2 4 2x x x x x    

 
 
 
2
2
22
42
24
0
2
xx
x x x x x





    





  
2
22
42
6 4 0
0
31
xx
x x x x




    



 x =
3 13
.
Đối chiếu điều kiện, ta kết luận x =
3 13
là nghiệm của phương trình.

Tương tự trên là lời giải cho bài toán bất phương trình – nếu trình bày theo tư duy đưa
về phương trình bậc 4:
Lời giải 1: (Bất phương trình). Điều kiện
2
2
0
2 1 3.
2 2 0
xx
xx
xx















 
2
2
2

322 2x xxx x 
(do hai vế đều không âm)

 
 
 
2 2 2
2 2 2 2 3 2 2x x x x x x x      


 
 
22
2 4 2x x x x x   

 
 
 
2
2
22
26
42
2
26
0
42
xx
x x x x x
x











   









  
2
22
42
64
26
0
3
1
1

3
0
xx
xx
x
xx
   










   




(do x  1 +
3
)

 
1 3 2 6
2 6 do 1 3
3 13

3
13
31
3
3
2
1
x
xx
x
x
   
   
  

















.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
S 1 3; 3 13

  

.
Nhận xét: Như vậy, so một bài phương trình và bất phương trình “cùng chất men” thì
dường như lại cho “hai loại rượu” có “mùi vị” khác nhau một chút. Cụ thể là khi giải
bất phương trình thì điều kiện ràng buộc nhiều lúc làm ta mệt mỏi – nhất là khi điều
kiện khó giải hoặc giải điều kiện nghiệm lẻ (với lời giải trên là còn giải tắt + hợp điều
kiện ban đầu để bỏ bớt nghiệm của các bất phương trình). Rồi một khó khăn nữa đó là
gộp nghiệm trong quá trình giải bất phương trình – có vẻ việc này cũng khá phức tạp
và hay bị nhầm lẫn. Chính vì vậy chúng ta sẽ gạt bỏ những sự khó khăn đó khi giải bất
phương trình bằng 2 thứ “gia vị”, đó là:
– Đưa bất phương trình về phương trình tương ứng.
– Lập bảng xét dấu.
Cụ thể, chúng ta sẽ theo dõi lời giải bất phương trình dựa vào “giải phương trình tương
ứng” và “lập bảng xét dấu” như sau:
Lời giải 2: (Bất phương trình). Điều kiện x 
13
. Bất phương trình đã cho tương
đương với:
 
22
32 2 2 0x xx xx   
.
Đặt f(x) =
 
22

2 3 2 2x xxx x    
thì bất phương trình trên có dạng
f(x)  0. Ta sẽ giải phương trình f(x) = 0 và từ đó lập bảng xét dấu f(x) để kết luận tập
nghiệm của bất phương trình.
f(x) = 0 


 
2
2 2
2 3 2 2x x x xx    
(giải giống y như giải phương trình)

 
 
 
2 2 2
2 2 2 2 3 2 2x x x x x x x       


 
 
22
2 4 2x x x x x    

 
 
 
2
2

22
42
24
0
2
xx
x x x x x




    





  
2
22
42
6 4 0
0
31
xx
x x x x





    



 x =
3 13
. Loại x = 3 –
√
13 do không thỏa
mãn điều kiện.
Lập bảng xét dấu f(x):



Từ bảng xét dấu, kết luận tập nghiệm của bất phương trình là
S 1 3; 3 13

  

.
Để hiểu rõ hơn và cùng đi đến một bài tập có độ phức tạp cao hơn, chúng ta cùng xét
ví dụ sau:
Ví dụ: Giải bất phương trình:
 
 
2
2
3
4 9 6
4 2 1

1
31
x x x
x x x

  


(x ∈ ℝ).
Với phải xạ thông thường nhất thì có lẽ nhiều bạn sẽ tìm cách quy đồng rồi sau đó giải
bất phương trình thu được. Các bạn hãy thử trình bày cách đó xem nhé! Sau đó cùng
đối chiếu với lời giải sau đây .
Lời giải:
Điều kiện:
   
22
3
4 3 2 1 0 0.1 4 3 2x x x x x xx    

Bất phương trình đã cho tương đương với:
x
f(x)
1 +
√
3
3 +
√
13
0
+

–
   
 
22
3
2
3
4 9 6 4 3 2 1 1
4 3 2 1
0
1
x x x x x x
x x x
      
  


(**).
Ta xét dấu của vế phải bằng cách tìm nghiệm của tử số và mẫu số:
– Nghiệm của mẫu số: x = 0.
– Nghiệm của tử số là nghiệm của phương trình:

   
22
3
4 9 6 4 3 2 1 1x x x x x x      

3
3 2 3 2
4 9 6 1 4 3 2 1x x x x x x       

3
3 2 3 2 3 2
8 12 8 2 4 3 2 1 4 3 2 1x x x x x x x x x           

   
 
3
3
3 2 3 2
2 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1x x x x x x x x           
(1).
Xét hàm số f(t) = t
3
+ t trên ℝ. Ta có
()ft’
= 3t
2
+ 1 > 0 với mọi t ∈ ℝ
 f(t) đồng biến trên ℝ.
Mặt khác (1) có dạng
 


33
3 2 3 2
2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1f x f x x x x x x x          

 
3

3 2 3 2
9 17
2 1 4 3 2 1 4 9 4 0 0
8
x x x x x x x x x

             
.
Lập bảng xét dấu của vế phải (**):

Dựa vào bảng xét dấu, ta kết luận được tập nghiệm của bất phương trình là:
S =
 
9 17 9 17
; ; 0 0;
88
   
   
    


   
.
Cuối cùng, chúng ta rút ra nguyên tắc sau:
Nguyên tắc: Giải bất phương trình = Giải phương trình + Lập bảng xét dấu.
Bước lập bảng xét dấu là không khó, chủ yếu là khó trong khâu giải phương trình. Vậy
nên những bạn nào đã tự tin hoặc có một lượng kiến thức nhất định trong giải phương
trình thì không lo các rắc rối điều kiện khi giải bất phương trình nữa .
Các em có thể thường xuyên bổ sung kiến thức giải phương trình của mình bằng cách
đọc các tài liệu trên mạng, hoặc tham khảo các đầu sách. Hiện tại có khá nhiều đầu

sách viết về phương trình, bất phương trình trên thị trường hay và khó, phải kể đến các
x
–


–
0
0
0
Tử số VP(**)
Mẫu số VP(**)
VP(**)
+
–
+
–
+
–
0
0
+
+
+
–
tác giả như thầy Phạm Kim Chung, thầy Đặng Thành Nam,… Lối tư duy của các thầy
dẫn dắt thường rất hay và ngắn gọn, nhưng cũng từng là một học sinh khá thì anh thấy
rằng để bắt đầu học phương trình từ con số 0 và để hiểu kĩ những thủ thuật, kĩ năng
trong giải phương trình thì các sách lại ít đề cập; và sách chủ yếu dành cho các bạn
phải có học lực khá một chút đọc sẽ dễ hiểu. Các em có thể dùng cuốn Chinh phục
phương trình và bất phương trình đại số – Tập 1 của anh viết, nó sẽ được giải thích

khá kĩ càng dù các em đang ở mức độ nào: vừa bắt đầu từ con số 0 – hay kể cả những
bạn học khá muốn dùng để ôn thi đại học. Tập 2 sẽ xuất bản vào năm sau , các em
hãy ủng hộ anh nhé .
Link đặt sách: (giá sách 89K các em nhé!).