Hình lăng trụ và những vấn đề liên quan, tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chuyên đề luyện thi đại học môn toán

B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
22




PHN 2. HÌNH KHÔNG GIAN (TT)

Vnăđ 3: Khiălngătr và các bài toán liên quan

I. Vài khái nim cn nh:
 Hình lng tr là hình có 2 đáy là 2 đa giác bng nhau và
nm  2 mp song song.
 Hình lng tr đng là hình lng tr có cnh bên vuông góc
vi mt đáy.
 Hình lng tr đu là hình lng tr đng và có đáy là đa giác
đu.
 Hình hp là hình lng tr t giác có đáy là hình bình hành.
 Hình hp ch nht là hình lng tr đng và có đáy là hình
ch nht.
Chú ý:
 Khi tính khong cách t mt đim đn mt mt phng, ngoài
cách tìm hình chiu vuông góc ca đim lên mt phng thì ta còn mt
cách na không cn bit hình chiu vuông góc  đâu ta vn tính đc
khong cách nh công thc tính th tích. Ví d :
.
3.
( ,( ))
S ABC

SBC
V
d A SBC
S


 Trong hình lng tr có nhiu yu t song song nên ta đc bit
chú ý đn đim này đ áp dng cho k thut “đi đnh” trong bài
toán v khong cách.








VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
23





II. Các ví d

Ví d 1. Cho hình hp đng  có đáy là
hình vuông,  vuông cân, . Tính theo 


Phân tích: Tính 







Vic tìm hình chiu vuông góc ca  lên  ca ta gp
chút khó khn đây…ta th xét theo hng khác xem th có đn gin
hn không?

Gii. Ta có

  vuông cân ti  suy ra


























Suy ra

















Do đó





















VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
24

Bài toán đc gii quyt mt cách nh nhàng ri.

Ví d 2. Cho hình lng tr đng  có 

5
và 



. Gi M là trung đim ca
CC’. Tính   và  theo .


Gii :
Cách truyn thng
Gi  là chân đng cao k t ca tam giác 
Ta có:  và  suy ra  hay







Cách dùng th tích




 


 










 









Ta tip tc ý tng  ví d 1.











Ta có
























































































Do đó





















(chú ý A’BM vuông ti  ).

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
25

Ví d 3. Cho hình lng tr  có đáy  là
hình ch nht
3
 Hình chiu vuông góc ca
đim  lên  trùng vi giao đim  ca  và . Mt phng
 to vi mt đáy mt góc 60
0
. Tính  theo .


Gii:
T gi thit suy ra 
Gi  là trung đim ca , ta d dàng xác đnh đc




 Ta có:






Vic tính 

ca ta gpăchútăkhóăkhnă?
Ta th chuynăhng nhé:






















Bây gi vic tính toán ca
ta s đnăginăhnănhiu



































Ngoài ra, nuătaăchúăỦăhnămt chút thì ta có th tính trc
tip  nhăsau :

Gi là chân đng cao k t  ca tam giác 
Ta có:  và  suy ra (hay
 





VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
26
Chú ý : Bài trên ta đã thc hin k thut đi đnh. Và qu tht
nó rt hiu qu.


Ví d 4. Cho lng tr tam giác đu  có ,
góc gia hai mt phng  và  bng 60
0
. Tính 
theo  vi là trung đim ca 


Gii :
D dàng xác đnh đc  

= 60
0

. Và



















Tính 

 


Nhn xét :  và  suy ra 
hay 
Trong mp t  k  ti 
Ta có   và  nên  là đon vuông góc
chung ca  và 

















VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
27

Vnăđ 4: Bài toán tâm và bán kính mt cu ngoi tip hình
chóp

I. Nhc li:
1. Mt cu ngoi tip hình chóp là mt cu đi qua các đnh ca
hình chóp.
2. Tâm mt cu ngoi tip hình chóp là đim cách đu các đnh

ca hình chóp.
3. Tâm đng tròn ngoi tip ca:
- Tam giác đu là trng tâm ca tam giác.
-Tam giác vuông là trung đim ca cnh huyn.
- Hình vuông là giao đim ca hai đng chéo.
- Hình ch nht là giao đim ca hai đng chéo.
4. Trc ca đng tròn ngoi tip đa giác là đng thng đi qua
tâm đng tròn ngoi tip đa giác và vuông góc vi mt phng cha
đa giác đó.
5. Mt phng trung trc ca mt đon thng là mp đi qua trung
đim ca đon thng và vuông góc vi đon thng đó.
6. Din tích ca mt cu : 


7. Th tích ca khi cu :




, vi R là bán kính mt cu
ngoi tip hình chóp.

II.ăPhngăphápătìmătơmăđng mt cu ngoi tip
B1. Tìm đng thng d là trc ca đng tròn ngoi tip đa
giác đáy.
B2. Tìm mt trung trc  (hay là đng trung trc ) ca
cnh bên.
(…. tìm  nh th nào cho thích hp Thy trò mình nói trên
lp nhé ….)
Khiăđóă: giao đim ca 2 đng thng d và  là tâm mt cu

ngoi tip hình chóp.

LuăỦ: Bán kính mt cu ngoi tip hình chóp thông thng s
đc tìm thông qua 2 cách:
- Các h thc lng trong tam giác vuông.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
28
- S dng tam giác đng dng.
III. Các ví d


Ví d 1. Cho hình chóp t giác đu  có cnh đáy bng
a


, góc gia cnh bên vi mt đáy bng 60
0
. Hãy xác đnh tâm và
tính bán kính  ca mt cu ngoi tip hình chóp  theo 


Gii:
Gi  .
Và 

=








= 60
0
suy ra SO = a


và
SD = 2a.
Khi đó : 



hay SO là trc ca đng tròn ngoi
tip hình vuông 

Gi K là trung đim ca SD.
Trong mp  dng đng trung trc  ca cnh   ct
cnh SO ti I
 

Suy ra  hay  là tâm mt cu
ngoi tip hình chóp 
Bán kính 
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
29
  














Nhn xét : tìm tâm mt cu ngoi tip hình chóp S.ABCD là
tìm đim cách đu các đnh A, B, C , D, S.
Chính vì vy trong bài toán trên vi nhn xét    là
2 tam giác đu. Gi I là trng tâm ca   thì I cng là trng tâm
ca  . Khi đó : hay I là tâm mt
cu ngoi tip hình chóp S. ABCD. Vic tính bán kính IS cng s nh
nhàng hn rt nhiu.


Ví d 2. Cho hình chóp Scó đáy  là hình vuông
tâm, cnh  và SAC vuông cân.
Hãy xác đnh tâm I và tính bán kính R ca mt cu ngoi tip
hình chóp theo a.


Gii :
Trong mp




- Dng đng thng qua và song song vi  Mà
 hay là trc ca đng tròn
ngoi tip hình vuông 
- Dng đng trung trc  ca cnh ,  ct d ti I.(I là
trung đim ca SC )

Khi đó : 
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
30
Suy ra hay là tâm mt cu
ngoi tip hình chóp 
Bán kính 



 




Nhn xét : ba đim cùng nhìn cnh di mt góc
vuông nên gi I là trung đim SC thì ta có
 hay I là tâm mt cu ngoi tip
hình chóp  và bán kính 






Chú ý:
Hai ví d trên ch là mt vài trng hp đc bit , ta s tip tc
vi các ví d khác.


Ví d 3. Cho hình chóp  đáy là tam giác đu cnh
bng a


.  vuông góc vi mt phng Hãy xác
đnh tâm I và tính bán kính R ca mt cu ngoi tip hình chóp 
theo a.


Gii :










Gi G là trng tâm  . Trong mp (:
- Dng đng thng d qua và song song vi 

Mà SA nên hay d là trc ca đng tròn ngoi
tip tam giác ABC.
- Dng đng trung trc  ca cnh SA,  ct d ti I. Khi đó :


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
31
Suy ra :  hay I là tâm mt cu ngoi tip
hình chóp 
Bán kính 



 

= 




Ví d 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ti B,
AB = BC = 2a. SB vuông góc vi (ABC). Mt phng (SAC) to vi
mt đáy mt góc 30
0
. Hãy xác đnh tâm I và tính bán kính R ca mt
cu ngoi tip hình chóp S.ABC theo a

Gii :














Gi  là trung đim ca 
D dàng đc:   30
0
.
Trong 
- Dng đng thng  qua  và song song vi 
Mà  nên hay d là trc ca đng tròn
ngoi tip tam giác 
- Dng đng trung trc  ca cnh SB,  ct d ti I. Khi đó :


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM

B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
32
Suy ra :  hay I là tâm mt cu ngoi tip
hình chóp 
Bán kính 



 






Ví d 5. Cho hình chóp Scó đáy  là hình vuông
tâm , cnh bng a


. Mt bên  là tam giác đu và nm trong mt
phng vuông góc vi  Hãy xác đnh tâm  và tính bán kính 
ca mt cu ngoi tip hình chóp  theo



Gii :

Gi  là trung đim ca , chng minh đc  (ABCD)
 là trng tâm ca tam giác 
Trong 
- Dng đng thng  qua  và song song vi .
Mà  nên hay d là trc ca đng tròn
ngoi tip hình vuông 
- Dng đng thng  qua  và song song vi 
Mà  nên   (SAB) hay là trc ca đng tròn
ngoi tip SAB. Và ct  ti  Khi đó:


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
33
Suy ra :  hay là tâm mt cu
ngoi tip hình chóp 





 







Vnăđèă5.ăBƠiătoánătínhăgócătrongăkhôngăgian
Cn chú ý:















































Ví d 1 Cho hình chóp  có đáy  hình vuông
cnh 


. Mt  vuông góc đáy. Gi 
ln lt là trung đim ca . Tính th tích khi chóp 
theo a và tính 






Gii



Trong



 k  
Suy ra 




Ta có: 




 

nên  vuông ti 
Do đó :
















Li có




 

 





Ta có :



















Ta có


































Mt khác


























 

















 








Do đó
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
34





















Tam giác  vuông ti  nên 



Suy ra

 





Tam giác  vuông ti  nên 




 




Thay vào (1), ta đc




































Ví d 2
Cho hình lp phng  cnh  Tính






theo a.
Gi  ln lt là trung đim ca





Tính góc









Gii
Gi 

, suy ra  là hình bình hành
 
































Vì 









nên

































VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
35



Ta có



 .
 theo giao tuyn .
Trong , k 



 ta đc 



suy ra 




Tam giác vuông ti , có  là đng cao nên
































Tính góc











































)
Mt khác































 












 




















 







Do đó:









VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
36


Bài tp áp dng:

Bài 1. Cho hình lng tr đng  có đáy là tam
giác vuông ti  gi  là trung
đim ca cnh  là giao đim ca . Tính th tích khi

t din IABC và  theo 

Bài 2. Cho hình lng  có đáy  là hình
vuông cnh  cnh bên  Hình chiu vuông góc ca  lên
mt phng  trùng vi trung đim ca . Gi  là trung
đim ca Tính th tích t din  và theo 

Bài 3. Cho hình lng tr  có đáy  là tam giac
đu cnh a. ng thng  to vi mt phng  mt góc 30
0
.
Gi  ln lt là trung đim Tính th tích khi lng tr
 và  theo a, vi  là trng tâm ca 

Bài 4. Cho lng tr, bit 

 là hình chóp đu
có cnh đáy bng a. Góc gia hai mt phng
 
ABC

và
 
BCC B


bng 90
0
. Tính th tích khi lng tr
.ABC ABC

  
và 
theo a.
Bài 5. Cho lng tr  có đáy là tam giác vuông
cân ti  Gi là trng tâm ca tam giác  Bit rng
 vuông góc vi mt đáy  và  to vi mt đáy mt góc
bng 60
0
. Tính th tích khi chóp và  theo 

Bài 6. Cho hình lng tr  có đáy  là tam giác
đu cnh  Hình chiu vuông góc ca đim  lên mt phng 
là đim  tha
2.DC DB
. ng thng  to vi  mt
góc 45
0
. Tính th tích khi lng tr  và côsin ca góc to
bi hai đng thng BB’ và AC.


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
37


Bài 7. Cho hình lp phng ABCD.A’B’C’D’ có cnh bng a.

a. Tính khong cách gia hai đng thngvà
b. Gi  là trung đim ca  Mt phng  chia hình
lp phng thành hai khi đa din. Tính t s th tích ca hai khi đa
din này.

Bài 8. Cho hình lng tr  có đáy là hình
vuông cnh  Gi  ln lt là trung đim ca Hình
chiu vuông góc ca  lên mt phng  trùng vi giao đim
ca  và Góc gia hai mp phng  và  bng
0
60
. Tính th tích khi lng tr  và  theo
a.

Bài 9. Cho lng tr tam giác đu C’ có  góc
gia hai mt phng  và ( bng 60
0
. Gi  là trng tâm
ca tam giác  Xác đnh tâm và tính bán kính mt cu ngoi tip
t din  theo 

Bài 10. Cho hình chóp tam giác đu  có cnh đáy
Mt bên to vi mp mt đáy mt góc 60
0
. Hãy xác đnh tâm và tính
bán kính ca mt cu ngoi tip hình chóp 

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nht,












a. Hãy xác đnh tâm và tính bán kính ca mt cu ngoi tip
hình chóp 
b. Gi  ln lt là hình chiu vuông góc ca A lên các
cnh Hãy xác đnh tâm I và tính bán kính R ca mt cu
 đi qua các đim 




VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
B Văn Hu - Đ Xuân

HC Đ BIT Đ NGÀY MAI LP NGHIP
38


Bài 12. Cho hình chóp  có đáy là tam giác  vuông
ti 



 góc gia mt phng  và mt phng
đáy bng 

 tam giác  cân ti  thuc mt phng vuông góc vi
mt phng đáy. Tính th tích hình chóp và th tích khi cu
ngoi tip hình chóp .


Bài 13. Cho hình chóp  có đáy  là hình thoi cnh
 tâm 



 2 mt phng



 cùng vuông góc vi
đáy, mt phng  to vi đáy mt góc 



 Tính th
tích ca khi chóp  và bán kính mt cu ngoi tip t din


Bài 14. Cho hình chóp  có đáy  hình vuông cnh




. Mt  vuông góc đáy. Gi  ln lt
là trung đim ca . Tính th tích khi chóp  theo a và
tính 





Bài 15. Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cnh


  vuông góc đáy.  ln lt là trung
đim  Tính th tích hình chóp  và 





Bài 16. Cho hình lng tr 





có đáy là tam giác
vuông ti 
















và

















 Tính th tích theo . Gi

s 

 


, tính góc gia hai đng thng 



.






VINAMATH.COM
VINAMATH.COM