SKKN Nâng Cao Hiệu Quả Sử Dụng Mối Liên Hệ Giữa Dao Động Điều Hòa Và Chuyển Động Tròn Đều Để Giải Nhanh Các Bài Toán Liên Quan Đến Dao Động Điều Hòa Trong Chương Trình Vật Lý 12 Thpt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 29 trang )
1
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài: Nâng cao hiệu quả sử dụng mối liên hệ
giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
để giải nhanh các bài toán liên quan đến dao động điều hòa
trong chương trình vật lý 12 THPT
Người thực hiện: Bùi Hoàng Nam
Chức vụ: Giáo viên
Tổ chuyên môn: Vật lý – Tin – Công nghệ
Thanh Chương, tháng 04 năm 2013
2
PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây Bộ GD-ĐT đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm
khách quan trong kì thi tốt nghiệp THPT cũng như tuyển sinh đại học, cao đẳng đối
với nhiều môn học trong đó có môn vật lý. Hình thức thi trắc nghiệm khách quan đòi
hỏi học sinh phải có kiến thức rộng, xuyên suốt chương trình và có kĩ năng
làm bài, trả lời câu trắc nghiệm nhanh chóng. Bởi vậy,với mỗi bài toán đề ra,
người giáo viên không chỉ hướng dẫn học sinh hiểu bài mà phải tìm cách giải nhanh
nhất có thể.
Việc sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để
giải các bài tập dao động đã thỏa mãn được điều đó. Tuy nhiên, không phải học
sinh nào cũng nắm được thuần thục và nhanh nhạy công cụ này do các em rất lúng
túng khi dùng đường tròn lượng giác và khó tưởng tượng được sự tương tự giữa hai
loại chuyển động này. Trên thực tế, đã có khá nhiều đề tài nghiên cứu xung quanh
vấn đề này và đã thu được một số kết quả nhất định. Tuy nhiên, hầu hết các tác giả
chưa hoặc còn ít đề cập đến bài toán có nhiều vật dao động và cách vận dụng trực
tiếp đường tròn lượng giác cho việc dùng hệ trục Oxv (dao động cơ), hệ trục Ouu’
(trong điện xoay chiều) … Và hầu hết các đề tài mới chỉ đề cập đến việc vận dụng
mối liện hệ đó để giải quyết các bài toán trong chương dao động cơ, còn ít đề cập đến
các chương khác. Để giúp các em dễ dàng hơn khi tiếp cận, có cái nhìn tổng quát hơn
và có khả năng vận dụng kiến thức cho nhiều chương, tôi chọn và nghiên cứu đề tài:
“Nâng cao hiệu quả sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động
tròn đều để giải nhanh các bài toán liên quan đến dao động điều hòa trong
chương trình vật lý 12 THPT”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh nắm vững mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động
tròn đều để giải nhanh các bài toán liên quan đến dao động điều hòa trong chương
trình vật lý 12 THPT
1.3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
1.3.1. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 12 THPT
- Kiến thức về dao động điều hòa và mối liên hệ giữa dao động điều hòa
và chuyển động tròn đều
1.3.2. Phạm vi nghiên cứu
- Chương trình vật lý lớp 12 THPT liên quan đến dao động điều hòa:
Chương dao động cơ học; chương sóng cơ học; chương dòng điện xoay chiều;
chương dao động và sóng điện từ
3
PHẦN 2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở thực tiễn
Trong những năm gần đây, nội dung của đề thi Đại học bộ môn Vật lý thường
có câu hỏi xoay quanh đến vấn đề sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và
chuyển động tròn đều. Đây là một vấn đề không mới, đã được nhiều giáo viên quan
tâm, và cũng đã có rất nhiều người đã viết về vấn đề này. Tuy nhiên có một số vấn đề
chưa được các tác giả đề cập tới.
Chẳng hạn, khi gặp bài toán: “Cho một vật dao động điều hòa theo phương
trình:
4cos 2 ( )
2
x t cm
. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có tọa
độ
1
2( )
x cm
đến vị trí có tọa độ
2
2( )
x cm
?”
Đối với bài toán này, giờ đây hầu hết các em học sinh 12 đều biết sử dụng một
trong hai cách sau để giải quyết:
Cách 1: Giải phương trình lượng giác tìm các thời điểm t
1
cho x
1
= -2(cm)
và những thời điểm t
2
cho x
2
= 2(cm). Sau đó tính hiệu t
2
– t
1
và lấy giá trị
nhỏ nhất phù hợp.
Cách 2: Là cách thông thường học sinh dùng: Dùng mối liên hệ giữa dao
động điều hòa và chuyển động tròn đều (hay nói đơn giản hơn là dùng
“đường tròn lượng giác” (ngôn ngữ của học sinh))
Khi đó khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ x
1
đến x
2
tương ứng với
khoảng thời gian để chất điểm chuyển động tròn đều đi từ P đến Q.
Ta có:
1
3
( )
2 6
t s
4 - 4 - 2 2
0
M N
P
Q
x
4
O
x
M
M
0
P
t
(+)
Chúng ta cũng biết rằng, việc vận dụng mối quan hệ này không chỉ áp dụng
cho phần dao động cơ mà còn vận dụng tốt cho các bài tập sóng cơ, điện xoay chiều,
dao động và sóng điện từ, …
Ở đây tôi xin đề cập đến một vấn đề trong việc vận dụng mối quan hệ này:
Cũng tương tự bài toán trên:
“Cho một vật dao động điều hòa theo phương trình:
4cos 2 ( )
2
x t cm
. Tìm
khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có tọa độ
1
2( )
x cm
đến vị trí vật có tốc
độ
2
4 ( / )
v cm s
?”
Gặp bài toán này, theo tôi nghĩ hầu hết học sinh sẽ xác định tọa độ x
2
có vận
tốc v
2
sau đó giải quyết như trên. Như thế học sinh sẽ gặp một chút rắc rối vì sẽ có 2
vị trí cho tốc độ v
2
.
Ở đây tôi mạnh dạn đề xuất một phương án mà chỉ cần sử dụng “đường tròn
lượng giác” như trên là có thể giải quyết được vấn đề một cách nhanh chóng.
2.2. Cơ sở lý thuyết
2.2.1. Về mặt toán học:
Đường tròn lượng giác:
Để tìm giá trị của hàm sin
hoặc cosin ta chỉ cần chiếu điểm
mút của bán kính ứng với góc
lên hai trục sin và cos như hình
vẽ
2.2.2. Trong vật lý học:
- Định nghĩa dao động điều hòa : là dao
động trong đó li độ của vật là một hàm cosin
(hay sin) đối với thời gian x = A cos (t + ),
trong đó A, , là các hằng số.
- Giả sử có chất điểm chuyển động
tròn đều trên một đường tròn tâm O, bán kính
cos
sin
1
1
0
-1
-1
cos
sin
5
A theo chiều dương ( ngược chiều quay của kim đồng hồ ) với tốc độ góc
Ở thời điểm t = 0: chất điểm ở M
0
được xác định bằng góc
Sau thời gian t, chất điểm ở vị trí M, vectơ bán kính
0
OM
quay được
một góc là t
Gọi P là hình chiếu của M xuống trục Ox ( trùng với đường kính của
đường tròn và có gốc trùng với tâm O của đường tròn), ta thấy điểm P dao động trên
trục Ox quanh gốc tọa độ O
Tọa độ điểm P là
cos( ) cos( )
x OP OM t A t
Vậy: Một dao động điều hòa có thể coi là hình chiếu của một chuyển
động tròn đều lên một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Đây là mối liên hệ
giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa
- Mở rộng:
Trong dao động điều hòa ta có các phương trình li độ, vận tốc, gia tốc như sau:
cosx A t
sinv A t
2
cosa A t
Như vậy ở đây, giá trị của x, v, a lần lượt là hình chiếu của chất điểm M chuyển động
tròn đều lên các trục Ox (như trên) và các trục Ov và Oa như hình vẽ sau:
Với lưu ý: - Do
sinv A t
nên
trục Ov hướng xuống
- Do
2
cosa A t
nên trục Oa hướng ngược với
trục Ox
- Để phân biệt các giá trị của
trục Oa và các giá trị của trục
Ox ta dùng dấu ngoặc đơn
cho các giá trị của trục Oa.
Lợi thế của việc làm này là chúng ta chỉ cần dùng 1 hệ trục là có thể biết cả ba
đại lượng x, v và a bằng cách hạ hình chiếu của M lên các trục Ox, Ov và Oa.
x
v
-
A
A
0
-A
x
v
A
t
M
(a)
)(
2
A
)(
2
A
(a)
6
2.2.3. Một số lưu ý khi vận dụng (Nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ)
+ Vật luôn chuyển động theo chiều dương ngược chiều kim đồng hồ vì
trong dao động điều hòa tần số ω dẫn đến góc quay luôn dương.
+ Nửa đường tròn trên ứng với chất điểm đi từ A về -A ứng với vùng vật có
vận tốc âm
+ Nửa đường tròn dưới ứng với chất điểm đi từ -A về A ứng với vùng vật có
vận tốc dương.
+ Tâm của đường tròn là VTCB 0.
+ Bán kính của đường tròn bằng với biên độ dao động: R = A đối với trục Ox;
R =
A
với trục Ov; R =
A
2
với trục Oa.
+ Vị trí ban đầu của vật trên đường tròn hợp với chiều dương trục ox một góc
bằng pha ban đầu của dao động
.
+ Tốc độ quay của vật trên đường tròn bằng
+ Chiều chuyển động của vật ngược chiều kim đồng hồ.
+ Góc mà bán kính nối vật chuyển động quét được trong thời gian
t
trong
quá trình vật chuyển động tròn đều bằng:
t
.
2.2.4. Cách xác định vị trí của vật ở thời điểm bất kỳ ứng với vận tốc hoặc gia
tốc tương ứng
Ở đây tôi chỉ trình bày khái quát một số vùng còn cụ thể học sinh sẽ tự
xác định được.
Góc phần tư thứ nhất: Li độ dương, vật
tăng tốc theo chiều âm, gia tốc âm
Góc phần tư thứ hai: Li độ âm, vật giảm
tốc theo chiều âm, gia tốc dương
v
x
-
A
A
0
-A
x
v
A
t
M
(a)
)(
2
A
)(
2
A
(a)
x
v
-
A
A
0
-A
x
A
t
M
(a)
)(
2
A
)(
2
A
(a)
v
7
Góc phần tư thứ ba: Li độ âm, vật tăng
tốc theo chiều dương, gia tốc dương
Góc phần tư thứ tư: Li độ dương, vật
giảm tốc theo chiều dương, gia tốc âm
2.3. Vận dụng giải các bài toán liên quan đến dao động điều hòa
2.3.1. Vận dụng vào chương “Dao động cơ học”
* Bài toán 1. Xác định thời điểm vật qua vị trí có li độ x (vận tốc v hoặc gia tốc a)
lần thứ n
- Phương pháp giải:
+ Vẽ đường tròn lượng giác
+ Xác định vị trí ban đầu của vật M
0
(biểu diễn góc pha ban đầu)
+ Xác định vị trí M
1
, M
2
vật có li độ
x (vận tốc v hoặc gia tốc a)
(Ở đây chỉ vẽ cho trường hợp có li độ x)
+ Trong 1 chu kỳ vật qua vị trí x 2
lần, nên thời điểm vật qua vị trí x lần thứ n được
xác định như sau:
- Nếu n chẵn ta có:
2. 2
n N
trong đó N là số chu kỳ mà vật đi được.
Như vậy thời điểm đó là khoảng thời gian để vật đi từ vị trí M
0
đến vị trí M
2
(qua x
lần 2) cộng với N chu kỳ.
Xác định góc quét từ M
0
đến M
2
.
Từ đó suy ra:
0 2
'
. .
M M
t N T t N T
O
x
M
1
M
2
A
-A
M
0
x
x
'
x
v
)(
2
A
-
A
A
0
-A
x
v
A
t
M
(a)
)(
2
A
(a)
x
v
-
A
A
0
-A
x
A
t
M
(a)
)(
2
A
)(
2
A
(a)
v
8
- Nếu n lẻ ta có:
2. 1
n N
trong đó N là số chu kỳ mà vật đi được. Như
vậy thời điểm đó là khoảng thời gian để vật đi từ vị trí M
0
đến vị trí M
1
(qua x
lần 1) cộng với N chu kỳ.
Xác định góc quét từ M
0
đến M
1
.
Từ đó suy ra:
0 1
. .
M M
t N T t N T
Ví dụ 1. Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(4t +
6
) cm. Thời
điểm thứ 2013 vật qua vị trí x = 4cm là
A.
12049
24
s
B.
12061
24
s
C.
12025
24
s
D.
12073
24
s
Bài giải:
- Vật dao động điều hòa qua x = 4 là thời điểm vật
chuyển động tròn đều đi qua M
1
và M
2
.
- Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 4cm là 2 lần.
- Qua lần thứ 2013 thì phải quay 1006 vòng rồi đi
từ M
0
đến M
1
. Ta có: 2013 = 1006.2 + 1
- Góc quét từ M
0
đến M
1
là
3 6 6
Nên:
0 1
2 12073
6
. 1006. 1006. ( )
4 4 24
M M
t N T t T s
Chọn đáp án D.
Ví dụ 2. Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2t-
6
) cm. Thời
điểm thứ 2010 vật qua vị trí có tốc độ v = 8 cm/s.
A. 1004,5 s B. 1004 s C. 502,5 s D. 502 s
Bài giải:
- Tốc độ của vật là 8 cm/s nên vận tốc có thể là: 8
cm/s hoặc - 8 cm/s. Do vậy khi biểu diễn trên
đường tròn lượng giác ta có 4 vị trí M
1
, M
2
, M
3
, M
4
như hình vẽ.
- Trong 1 chu kỳ vật có 4 lần có tốc độ 8 cm/s
O
x
M
1
M
2
8
-8
M
0
4
v
16
16
8
8
9
tương ứng 4 vị trí trên.
- Ta có: 2010 = 2008 + 2 = 502.4 + 2
- Do đó vật qua vị trí có tốc độ 8 cm/s lần thứ 2010 thì phải quay 502 vòng rồi đi từ
M
0
đến M
2
.
- Góc quét từ M
0
đến M
2
là:
6 2 3
502. 502.1 502,5( )
2
t T s
Lựa chọn đáp án C.
* Bài toán 2. Xác định khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ x
1
(vận tốc v
1
hoặc
gia tốc a
1
) đến vị trí có li độ x
2
(vận tốc v
2
hoặc gia tốc a
2
) thỏa mãn một điều kiện
nào đó
- Phương pháp giải:
+ Vẽ đường tròn lượng giác
+ Xác định vị trí có li độ x
1
của vật
M
1
(biểu diễn bởi góc pha
1
)
+ Xác định vị trí M
2
, M
3
vật có li độ
x
2
(Ở đây chỉ vẽ cho trường hợp có li độ x)
+ Xác định góc quét từ M
1
đến M
2
hoặc từ M
1
đến M
3
tùy vào điều kiện
của bài toán (Tức là xác định các góc pha
2 3
,
)
Từ đó suy ra: t
+ Lưu ý: Trong 1 chu kỳ vật qua vị trí x 2 lần, vật có vận tốc v hoặc gia
tốc a 2 lần, còn có tốc độ v 4 lần.
Ví dụ 1. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2 π t + π/6) (cm). Tính:
a) Thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến 2cm.
b) Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
= –2 cm đến vị trí có li
độ x
2
= 2 cm theo chiều dương.
c) Tính tốc độ trung bình của vật trong câu a
Bài giải
O
x
M
1
M
3
A
-A
M
0
x
1
1
2
M
2
x
2
3
10
a) Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến A/2, tương ứng với vật chuyển động trên đường
tròn từ A đến B được một góc như hình vẽ bên.
Dễ thấy: sin = 1/2 ==> = /6 rad.
=> Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ VTCB
đến 2cm:
.T T 1
t
2 12 12
.T
6.2
s
b) Khi vật đi từ vị trí x
1
= –2 cm đến x
2
= 2 cm
theo chiều dương, tương ứng với vật chuyển động
trên đường tròn từ A đến B được một góc như
hình vẽ bên. Có: = + ; Với:
x
A 3 3
1
sin
OA A.2 2 3
1
2
2 6
2
x
A
sin
OB
A.
==> = π/3 + π/6 = π/2
==> Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí
có li độ x
1
= –2 cm đến vị trí có li độ x
2
= 2 cm theo chiều dương là:
.T
.T T 1
t
2 4 4
2.2
s
c) Tốc độ trung bình của vật:
s A / A
v (cm / s)
t T / T
Ví dụ 2. Một vật dao động điều hòa theo phương
trình
x cos( t )
(cm)
. Tìm khoảng thời gian
ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x = 4 cm theo
chiều âm đến lúc vật có vận tốc
8 2( / )
v cm s
.
Bài giải
Vẽ đường tròn lượng giác như hình vẽ trên
O
x
M
1
M
3
8
-8
4
M
2
v
16
16
8 2
O
x
M
1
4
-4
2
8
8
v
O
x
M
1
4
-4
2
8
8
-2
3
11
Vị trí x = 4cm và vật đang đi theo chiều âm tương ứng với M
1
Vị trí vật có vận tốc
8 2( / )
v cm s
tương ứng với 2 điểm M
2
và M
3
trên đường tròn
Khoảng thời gian ngắn nhất chính là khoảng thời gian đi từ M
1
đến M
2
.
Ta có góc quét:
11
6 2 4 12
t
11
11
12
(s)
2 24
Ví dụ 3. Một vật dao động điều hòa theo phương trình
x cos( t )
(cm)
. Tìm
khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có vận tốc
8 2( / )
v cm s
lần thứ 2 (kể từ t = 0)
đến vị trí vật có gia tốc bằng
2
1,6( / )
a m s
lần thứ 9?
Bài giải
- Vẽ đường tròn lượng giác như hình vẽ bên
- Vị trí ban đầu (t = 0) tương ứng với vị trí
M
0
- Vị trí vật có vận tốc
8 2( / )
v cm s
lần thứ
2 tương ứng với vị trí M
2
trên đường tròn.
- Vị trí vật có gia tốc
2
1,6( / )
a m s
lần thứ 9
tương ứng với điểm M
3
trên đường tròn.
- Trong 1 chu kỳ vật có 2 lần đạt gia tốc
2
1,6( / )
a m s
Nên khoảng thời gian vật đi từ vị trí có vận tốc
8 2( / )
v cm s
lần thứ 2 (kể từ t = 0)
đến vị trí vật có gia tốc bằng
2
1,6( / )
a m s
lần thứ 9 tương ứng với khoảng thời gian
vật đi từ M
2
đến M
3
lần thứ 4.
Tức:
M M
2 3
11
11 83
12
3.T 3.1 3 (s)
2 24 24
t 3.T t
Ví dụ 4. Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k = 100N/m. Một đầu
treo vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ vị trí
cân bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông cho
v
O
x
M
3
M
2
(-3,2)
(3,2
)
4
M
1
16
16
8 2
8
-8
(a)
M
4
(1,6)
M
0
12
vật dao động điều hòa. Lấy g = 10m/s
2
, khoảng thời gian mà lò xo bị nén một chu kỳ
là
A.
10 2
s. B.
5 2
s. C.
15 2
s. D.
20 2
s.
Bài giải
Ta có :
5
mg
l cm
k
10 2( / )
k
rad s
m
Nếu chọn trục Ox hướng thẳng đứng từ trên
xuống
Gốc O tại vị trí cân bằng thì :
Tọa độ mà tại đó lò xo không biến dạng là
x = - 5cm
Do đó : Lò xo bị nén khi
10 5
cm x cm
Khoảng thời gian lò xo bị nén tương ứng khoảng thời gian
vật đi từ M
1
đến M
2
2
3
( )
10 2 15 2
t s
* Bài toán 3. Xác định quãng đường vật dao động điều hòa đi được từ thời điểm t
1
đến thời điểm t
2
? Từ đó suy ra tốc độ trung bình của chuyển động.
- Phương pháp giải :
+ Xét hiệu
2 1
t t t
+ Biến đổi
. '( ' )
2 2
T T
t n t t
+ Tính quãng đường đi được trong thời gian
'
t
:
- Xác định trạng thái dao động ở thời điểm t
1
(Tìm góc pha 1)
- Xác định trạng thái dao động ở thời điểm t
1
(Tìm góc pha 2)
- Vẽ biểu diễn lên đường tròn. Tính quãng đường tương ứng S’.
+ Khi đó : S = n.2A+S’
(Lưu ý : - Quãng đường đi được trong 1 chu kỳ luôn là 4.A
- Quãng đường đi được trong T/2 luôn là 2.A
O
x
M
2
10
-10
M
1
-5
13
- Quãng đường đi được trong T/4 kể từ vị trí cân bằng hoặc từ
vị trí biên là A)
Tốc độ trung bình
tb
S
v
t
Ví dụ 1. Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng k= 100N/m và vật nhỏ có khối
lượng m= 250g, dao động điều hoà với biên độ A= 6cm. Chọn gốc thời gian là lúc
vật đi qua vị trí cân bằng. Tính từ gốc thời gian (t
0
= 0 s), sau
7
(s)
120
vật đi được
quãng đường
A. 9 cm. B. 15 cm C. 3cm D. 14 cm.
Bài giải
Ta có :
2
2 ( )
10
m
T s
k
Xét hiệu:
2 0
7 6
'
120 120 120 2
T
t t t t
Tại t
0
= 0 vật qua vị trí cân bằng
Tại thời điểm
7
t (s)
120
vật có:
7
x 6cos(20. ) 3(cm)
120 2
Góc quét được trong
'
t
là:
. ' 20.
120 6
t
Biểu diễn lên đường tròn.
Từ hình vẽ ta có: S’ = 3cm
Suy ra: S = 2.6 + 3 = 15cm
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn
nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = -A/2, chất điểm có tốc độ trung
bình là
A.
6
.
A
T
B.
9
.
2
A
T
C.
3
.
2
A
T
D.
4
.
A
T
O
x
M
1
6
-6
3
120
120
v
S’
14
Bài giải
Vẽ đường tròn lượng giác.
Thời gian ngắn nhất để vật đi từ x = A đến
x = - A/2 là :
2
2 3
T
t T
T
Quãng đường đi được tương ứng là:
S = A + A/2 = 3A/2
3 / 2 9
/ 3 2
tb
S A A
v
t T T
. Chọn đáp án B.
* Bài toán 4. Xác định quãng đường vật dao động điều hòa đi được ngắn nhất (dài
nhất) trong khoảng thời gian
t
nào đó? Từ đó suy ra tốc độ trung bình lớn nhất
(nhỏ nhất) của chuyển động trong thời gian ấy.
- Phương pháp giải :
+ Biến đổi
. '( ' )
2 2
T T
t n t t
+ Khi đó : S = n.2A+S’ nên : S
max
(S
min
) khi và chỉ khi S’
max
(S’
min
)
+ Tính S’
max
hoặc S’
min
:
Ta biết vật dao động điều hòa có tốc độ lớn nhất ở vị trí cân bằng và
bằng 0 ở vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian
'( ' )
2
T
t t
vật sẽ đi được
quãng đường lớn nhất khi nó dao động qua 2 vị trí đối xứng nhau qua vị trí cân bằng;
vật đi được quãng đường bé nhất khi nó dao động đi qua 2 vị trí đối xứng nhau qua vị
trí biên.
Ta có thể hình dung điều này trên đường tròn lượng giác như hình vẽ h.4.1. và
hình 4.2:
O
x
A
-A
M
-A/2
M
2
O
x
A
-A
M
1
P
2
h.4.2.
O
x
A
-A
M
2
P
2
P
1
M
1
2
h.4.1.
15
Góc quét được trong thời gian
'( ' )
2
T
t t
là:
. '
t
Khi đó ta có: S’
max
= P
1
P
2
= 2.OP
1
=
2. .sin( )
2
A
S’
min
=
2. .[1 - cos( )]
2
A
Do vậy: S
max
= n.2A +
2. .sin( )
2
A
S
min
= n.2A +
2. .[1 - cos( )]
2
A
Tốc độ trung bình
max
min
max min
;
tb tb
S
S
v v
t t
Ví dụ 1. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên
độ A và chu kỳ T. Trong khoảng thời gian T/4, quãng đường lớn nhất, bé nhất mà vật
có thể đi được lần lượt là :
A. A và A/2 B.
2
A và
[2 2]
A C.
3
A và
[2 2]
A D. 1,5A và A/2
Bài giải
Lập luận như trên ta có:
2
. .
4 2
T
t
T
S
max
2Asin
2
2Asin
4
2
A
S
min
=
2
2. .[1 - cos( )]=2.A[1- ] [2 2]
2 2
A A
Lựa chọn đáp án B.
Ví dụ 2. Một vật dao động điều hòa theo phương trình
x cos( t )
(cm)
. Tốc độ
trung bình lớn nhất mà vật có thể đạt được trong thời gian 10,667 (s) là:
A. 32,25 cm/s B. 4,81 cm/s C. 15,25 cm/s D. 31,06 cm/s
Bài giải
Ta có: T = 1(s)
Ta thấy:
10,667( ) 21. ( ) 0,167( )
2
T
t s s s
O
x
8
-8
M
2
-4
4
M
1
2
16
Do đó:
. ' 2 .0,167
3
t
S’
max
=
2.8.sin( ) 8( )
6
cm
S
max
= 21.2.8 + 8 = 344 (cm)
ax
max
344
32,25( / )
10,667
m
tb
S
v cm s
t
Lựa chọn đáp án A.
* Bài toán 5. Tính khoảng thời gian để 2 vật dao động điều hòa gặp nhau hoặc số
lần gặp nhau trong khoảng thời gian nào đó của 2 vật dao động điều hòa trên hai
trục song song với nhau (chung gốc tọa độ), khoảng cách 2 vật,
Ví dụ 1. Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song rất gần
nhau, coi như chung gốc tọa độ O, cùng chiều dương Ox, cùng tần số f và có biên độ
bằng nhau là A. Tại thời điểm ban đầu chất điểm thứ nhất đi qua vị trí cân bằng, chất
điểm thứ hai ở biên. Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm theo phương Ox là:
A. 2A B. A C.
2
A
D.
3
A
Bài giải
Độ lệch pha của hai dao động là:
2
và không đổi
trong quá trình 2 vật dao động.
Do vậy ta có:
2
Khoảng cách của 2 vật lớn nhất ứng với 2 vị trí của
2 vật đối xứng nhau qua vị trí cân bằng.
Ta có:
ax
2.A.sin( ) 2
2
m
d A
Nên lựa chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Hai con lắc lò xo giống nhau cùng có khối lượng vật nặng m = 10 g, độ
cứng lò xo là
2
100 ( / )
k N m
, dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song
song kề liền nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở cùng gốc tọa độ). Biên độ của con
lắc thứ hai lớn gấp ba lần biên độ của con lắc thứ nhất. Biết rằng lúc hai vật
A
O
x
-A
M
2
2
2
A
M
1
2
2
2
A
17
gặp nhau chúng chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng thời gian giữa ba lần hai
vật nặng gặp nhau liên tiếp là
A. 0,01 s. B. 0,02 s. C. 0,03 s. D. 0,04 s.
Bài giải
Do 2 chất điểm dao động điều hoà cùng tần số
và chung gốc toạ độ O nên có thể biểu diễn như
hình vẽ
Hai vật gặp nhau khi chúng có cùng toạ độ. Giả sử,
ban đầu 2 vật gặp nhau ở vị trí có toạ độ x
1
tương
ứng với trên đường tròn tại 2 vị trí N
1
và M
1
. Do
chuyển động của 2 vật ngược chiều nên chúng chỉ
có thể gặp nhau ở vị trí x
2
đối xứng với x
1
tương ứng với 2 điểm trên đường tròn là
N
2
và M
2
.
Do đó khoảng thời gian giữa ba lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp bằng khoảng thời
gian vật M
1
chạy được 1 vòng tròn tương ứng với 1 chu kỳ T
Suy ra:
2 0,02( )
m
t T s
k
Lựa chọn đáp án B.
Ví dụ 3. Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox (O là
vị trí cân bằng), có cùng biên độ A nhưng tần số lần lượt là f
1
= 3Hz và f
2
= 6Hz. Lúc
đầu cả hai chất điểm đều qua li độ A/2 theo chiều dương. Thời điểm đầu tiên các chất
điểm đó gặp nhau là
A. 0,24s. B. 1/3s. C. 1/9s. D. 1/27s.
Bài giải
Ta có: f
1
= 3Hz; f
2
= 6Hz nên
2 1
2
So đó trong cùng một khoảng thời gian thì
Góc quét được của các vật:
2 1
2
.
Vẽ biểu diễn lên đường tròn vị trí ban đầu của 2 vật
tại M
0
Sau thời gian
t
2 vật gặp nhau tại vị trí có toạ độ x
tương ứng với trên đường tròn tại hai vị trí M
1
và
M
2
.
O
x
-A
2
M
2
M
1
N
1
N
2
M
2
x
1
x
2
A
2
-A
1
A
1
O
x
-A
M
2
M
0
A
A/2
M
1
x
1
2
18
Ta thấy M
1
và M
2
đối xứng qua Ox.
Ta có:
2 1 0 2 0 1
2 2
M OM M OM
Mà
2 1 0 0 1 1 1
2
1,5 1,5
3 9
xOM xOM xOM M OM
Do vậy thời điểm lần đầu tiên các chất điểm đó gặp nhau bằng:
1
1
2
1
9
( )
2 .3 27
t s
=> Lựa chọn đáp án D.
2.3.2. Vận dụng vào chương “Sóng cơ học”
* Bài toán 1. Xác định trạng thái dao động của một điểm trên phương truyền sóng
khi biết trạng thái dao động của 1 điểm khác.
Ví dụ 1. Sóng có tần số 20Hz truyền trên mặt thoáng nằm ngang của một chất lỏng,
với tốc độ 2m/s, gây ra các dao động theo phương thẳng đứng cho các phần tử chất
lỏng. Hai điểm M, N thuộc cùng 1 phương truyền trên mặt thoáng của chất lỏng, cách
nhau 12,5cm. Biết M nằm gần nguồn sóng hơn. Tại thời điểm t, điểm M đi lên đến
điểm cao nhất. Sau thời điểm đó, khoảng thời gian ngắn nhất để điểm N hạ xuống
thấp nhất là
A.
1
( )
80
s
B.
3
( )
80
s
C.
1
( )
160
s
D.
3
( )
160
s
Bài giải
+ Tính bước sóng
200
10( )
20
v
cm
f
+ Tính độ lệch pha giữa 2 điểm M và N
2 . 2 .12,5
2,5 2
10 2
d
Vậy dao động tại N chậm pha hơn dao động tại M một góc
2
+ Vẽ biểu diễn lên đường tròn: vị trí 2 điểm M và N tương ứng
Tại thời điểm t, điểm M đi lên đến điểm cao nhất
tức M có li độ bằng A. Suy ra, khoảng thời gian
sau đó ngắn nhất để N lên điểm cao nhất tương
O
u
-A
N
M
A
2
19
ứng với thời gian chất điểm chuyển động trên đường tròn từ N đến M.
Do vậy ta có:
1
2 2
( )
2 .20 80
t s
=> Lựa chọn A.
Ví dụ 2. Có hai chất điểm A và B trên cùng một phương truyền của sóng trên mặt
nước, cách nhau
4
. Khi mặt thoáng ở A và B cao hơn vị trí cân bằng lần lượt là 3cm
và 4cm với A đang đi xuống còn B đang đi lên. Coi biên độ sóng không đổi trong quá
trình truyền đi. Biên độ sóng và chiều truyền sóng là
A. 5cm và truyền từ B đến A B. 5cm và truyền từ A đến B
C. 7cm và truyền từ B đến A D. 7cm và truyền từ A đến B
Bài giải
+ Độ lệch pha giữa 2 điểm A và B
2 .
4
2
+ Dựa vào bài ra ta có thể biểu diễn vị trí 2 điểm A và B trên đường tròn như sau:
Từ hình vẽ ta có :
3 4
os ; osc c
a a
Do
os sin
2
c
nên:
2 2 2 2
2 2
os os os sin 1
3 4
1 5( )
c c c
a cm
a a
Và dựa vào hình vẽ ta thấy A sớm pha hơn B góc
2
nên sóng truyền từ A đến B.
=> Lựa chọn đáp án B.
* Bài toán 2. Xác định biên độ dao động của một điểm M trên dây khi có sóng dừng
cách nút (hoặc bụng) một khoảng
d
cho trước.
- Phương pháp giải :
O
u
-a
A
B
a
3
M
1
4
20
+ Ta biết biên độ dao động của một điểm trên dây khi có sóng dừng có
dạng
2 .
2 . os( )
d
A a c
trong đó a là biên độ dao động của sóng tới hoặc phản xạ.
+ Lúc đó bài toán xác định biên độ dao động của một điểm M trên dây
khi có sóng dừng cách nút (hoặc bụng) một khoảng cho trước trở thành bài toán tìm
thời điểm vật dao động điều hòa cách gốc tọa độ O (hoặc cách biên) một khoảng cho
trước. Tức ta có thể biểu diễn lên đường tròn lượng giác trục tọa độ OA như hình vẽ:
Sự tương tự giữa bài toán dao động cơ và bài toán sóng dừng
Dao đ
ộng c
ơ
Sóng d
ừng
Kho
ảng thời gian
:
t
Kho
ảng cách
:
d
Chu k
ỳ
: T
Bư
ớc sóng
:
Công thức tính góc :
2
.
t t
T
Công thức tính góc :
2
d
+ Nếu yêu cầu tìm biên độ của điểm M
1
cách nút M
0
một khoảng
d
thì ta có góc quét
tương ứng trên đường tròn là góc
2
d
(hình vẽ)
Khi đó : Biên độ tại M
1
là
1
2 .sina a
(từ hình
vẽ)
+ Nếu yêu cầu tìm biên độ của điểm M
2
cách bụng M một khoảng
d
thì ta có góc quét tương ứng trên đường tròn là góc
2
d
T
(hình vẽ)
Khi đó : Biên độ tại M
2
là
2
2 . os
a a c
(từ hình vẽ)
Ví dụ 1. Một sợi dây đàn hồi AB có chiều dài 60cm và hai đầu cố định. Khi được
kích thích dao động trên dây hình thành sóng dừng với 4 bó sóng và biên độ tại bụng
sóng là 4cm. Tại một điểm M cách nguồn phát sóng tới A một khoảng 50cm có biên
độ dao động là
A.
3( )
cm
B.
2( )
cm
C.
2 3( )
cm
D.
2 2( )
cm
Bài giải
M
0
O
A
M
1
2a
-2a
a
1
M
2
M
a
2
21
Ta có :
4. 60( ) 30( )
2
cm cm
Do 2 đầu cố định nên A và B là nút sóng.
M cách A 50cm nên M cách B 10cm.
Ta có thể biểu diễn vị trí của B và M lên đường
tròn như sau:
Ta có góc quét
2 2 2
10
30 3
d
Khi đó:
1
2
4. os 4. os 2 3( )
3 2 6
a c c cm
=> Lựa chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Một sợi dây đàn hồi AB có chiều dài 90cm hai đầu dây cố định. Khi được
kích thích dao động, trên dây hình thành sóng dừng với 6 bó sóng và biên độ tại bụng
là 2cm. Tại M gần nguồn phát sóng tới A nhất có biên độ dao động là 1cm. Khoảng
cách MA bằng
A. 5cm B. 10cm C. 25cm D. 20cm
Bài giải
Ta có :
6. 90( ) 30( )
2
cm cm
Do 2 đầu cố định nên A và B là nút sóng.
Biểu diễn các vị trí như hình vẽ.
Ta có:
1
sin
2 3
Mà
2 .
5( )
2 6
d d cm
=> Lựa chọn đáp án A.
Ví dụ 3. Ba điểm M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng
có cùng biên độ dao động
2 2( )
cm
, dao động tại P ngược pha với dao động tại M và
MN = NP. Biên độ dao động tại điểm bụng là
A.
3 2( )
cm
B.
2 2( )
cm
C. 4(cm) D.
4 2( )
cm
Bài giải
B
O
A
M
4
-4
a
1
A
O
A
M
2
-2
1
22
* Nhận xét: Ta thấy 2 điểm trên cùng một bó sóng luôn cùng pha nhau, 2 điểm
trên 2 bó sóng liền kề thì luôn ngược pha nhau (trừ các điểm nút vì nút không dao
động). Do vậy từ bài ra ta có thể biểu diễn các điểm M, N, P trên dây như hình vẽ:
Khi đó khoảng cách từ M đến P bằng
2
.
Do đó khoảng cách từ điểm nút O tới N là
8
.
Ta có:
2 .
2 .
8
4
d
Lại có:
2 2
sin sin( ) 2 4( )
2 4
a cm
a
=> Lựa chọn đáp án C.
2.3.3. Vận dụng vào chương “Dòng điện xoay chiều”
* Bài toán 1. Xác định thời điểm mà điện áp (hoặc dòng điện) thỏa mãn một điều
kiện nào đó.
- Phương pháp giải: Bài toán này hoàn toàn tương tự bài toán tìm thời điểm,
khoảng thời gian trong dao động cơ học. Các bước giải cũng hoàn toàn tương
tự các bước giải đã trình bày ở phần vận dụng cho chương “Dao động cơ học”.
Ví dụ 1. Đặt một điện áp xoay chiều u = 200
2
cos(100πt -
2
) (V) vào hai đầu một
đoạn mạch RLC nối tiếp. Điện áp hai đầu mạch có giá trị 200V lần đầu tiên là vào
thời điểm
A.
1
( )
200
s
B.
1
( )
400
s
C.
1
( )
300
s
D.
3
( )
400
s
M N
P
O
O
O
A
N
2a
-2a
2 2
23
Bài giải
+ Vẽ lên đường tròn trục Ou như hình vẽ
+ Vị trí ban đầu M
0
ứng với góc pha
2
+ Vị trí có u = 200V tương ứng với 2 vị trí
trên đường tròn là M và N
+ Thời điểm lần đầu tiên điện áp hai đầu
mạch có giá trị 200V bằng khoảng thời gian
chất điểm chuyển động trên đường tròn đi từ M
0
đến M
Góc quét:
200 2
sin
2 4
200 2
=>
1
4
( )
100 400
t s
=> Lựa chọn đáp án B.
Ví dụ 2. Đặt một điện áp xoay chiều u = 200
2
cos(100πt -
2
) (V); (u tính bằng V,
t tính bằng s) vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp. Tại thời điểm t, điện áp này có
giá trị là 100
2
V và đang giảm. Sau thời điểm đó
1
300
s điện áp này có giá trị
A.
100 2( )
V
B.
100 2( )
V
C.
100( )
V
D.
100( )
V
Bài giải
+ Vẽ đường tròn lượng giác với hệ trục Ouu’ như hình vẽ
+ Lưu ý: Khi u tăng thì u’ > 0; khi u giảm thì u’ < 0
Nên nửa trên trục Ou thì có u giảm; nửa
dưới trục Ou thì có u tăng.
+ Xác định vị trí M tương ứng với điện
áp 100
2
V
và đang giảm. (Hình vẽ)
+ Tính góc quét:
1
. 100 .
300 3
t
+ Xác định được điểm N tương ứng với
điện áp ở thời điểm
1
300
t
(s) nhờ góc
quét.
200 2
200 2
O
u
N
200 2
100 2
M
u’
u
1
M
0
O
u
M
200 2
200
N
24
+ Ta có:
100 2 1
os
2 3
200 2
c
=>
1 0
. os 100 2( )
3 3 3
u U c V
.
=> Lựa chon đáp án B.
Ví dụ 3. Một đèn nêon mắc với mạch điện xoay chiều có điện áp hiệu dụng 220V và
tần số 50Hz .Biết đèn sáng khi điện áp giữa 2 cực không nhỏ hơn 155V .
a) Trong một giây, bao nhiêu lần đèn sáng? bao nhiêu lần đèn tắt?
b) Tính tỉ số giữa thời gian đèn sáng và thời gian đèn tắt trong một chu kỳ của dòng
điện?
Bài giải
a)
220 2 (100 )( )
cos
u t V
+ Trong một chu kỳ có 2 khoảng thời gian thỏa
mãn điều kiện đèn sáng
155
u . Do đó trong
một chu kỳ, đèn chớp sáng 2 lần, 2 lần đèn tắt
+ Số chu kỳ trong một giây : n = f = 50 chu kỳ
+ Trong một giây đèn chớp sáng 100 lần, đèn
chớp tắt 100 lần
b)
155
u . Ta có:
0
220 2
155
2 2
U
.
Vậy thời gian đèn sáng tương ứng chuyển động tròn đều quay góc
1 1
'
M OM
và góc
2
2
'
M OM
. Biễu diễn bằng hình ta thấy tổng thời gian đèn sáng ứng với thời gian t
S
=4.t
với t là thời gian bán kính quét góc
0 1
U OM
; với
0
0
/ 2
1
cos
2
U
U
/ 3
.
Áp dụng :
4. / 3 1
4 / 300
100 75
S
t s s
1/ 75
2
1/150
t
s
t
s
t
s
T
t
tat
* Bài toán 2. Tương quan giữa các điện áp trên cùng một đoạn mạch ở cùng một thời
điểm.
- Phương pháp giải:
+ Để giải bài toán này ta phải nắm vững mối liên hệ về độ lệch pha giữa các
điện áp tức thời trong mạch RLC nối tiếp: u
L
nhanh pha
2
so với u
R
; u
C
chậm pha
2
so với u
R
; u
L
ngược pha so với u
C
+ Vẽ lên trên cùng một đường tròn lượng giác gắn các hệ trục cần thiết cho bài
toán (Ví dụ Ou
L
u
R
u
C
, ). Nhưng với lưu ý chuyển đổi trục:
U
u
O
M'2
M2
M'1
M1
-U
U
0
0
1
-U
1
Sáng
Sáng
Tắt
Tắt
25
Giả sử ở thời điểm t bất kỳ biểu thức điện áp trên R là
0
os( )
R R R
u U c t
với
0
. Khi đó, dựa trên mối liên hệ giữa dao động
điều hoà và chuyển động tròn đều và
chọn trục Ou
R
là trục gốc nằm ngang
ta có thể biểu diễn u
R
thông qua vec tơ
OM
như hình vẽ:
Do u
L
sớm pha
2
so với u
R
nên
ta có:
0
os( )
2
L L R
u U c t
.
Nếu biểu diễn u
L
vẫn thông qua vec tơ
OM
thì vec tơ
OM
phải lệch với trục
Ou
L
một góc
2
R
.
Do vậy trục Ou
L
phải hướng đi xuống
vuông góc với trục Ou
R
.
Tương tự như vậy nếu biểu diễn trên cùng một hệ trục thì trục Ou
C
(các đại
lượng của nó được biểu diễn trong ngoặc) phải có hướng đi lên vuông góc với trục
Ou
R
.
Nếu điện áp trong mạch u nhanh pha hơn u
R
một góc là
thì ta biểu diễn trục
Ou hướng xuống dưới lệch so với Ou
R
một góc đúng bằng
. Ngược lại, nếu điện áp
trong mạch u chậm pha hơn u
R
một góc là
thì ta biểu diễn trục Ou hướng lên trên
lệch so với Ou
R
một góc đúng bằng
. (Như hình vẽ)
+ Dựa trên góc pha ta xác định được mối liên hệ giữa các điện áp tức thời.
Ví dụ 1. Đặt một điện áp xoay chiều
240 2 (100 )( )
cos
u t V
vào hai đầu đoạn
mạch RLC nối tiếp. Biết
3
1,2 10
60( ); ( ); ( )
6
R L H C F
. Khi điện áp tức thời
hai đầu tụ điện là 120V và đang tăng thì điện áp tức thời giữa hai đầu điện trở và hai
đầu cuộn cảm lần lượt có giá trị là
A.
120 3( )
V
và – 240(V) B. – 240(V) và
240 3( )
V
C.
60 2( )
V
và
60 2( )
V
D. 120(V) và 240(V)
Bài giải
u
R
u
L
U
0L
U
0R
0
- U
0R
(U
0C
)
M
(u
C
)
- U
0L
(- U
0C
)
(u
C
)
u
R
R
u
L
u
U
0
-U
0
