RÈN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÌNH PHẲNG OXY

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!





Ví dụ 1: Giải bất phương trình
2
1
1
1
+
≤
+ + +
x
x x x
.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
2 3
3 2
2 4 2 3 4
1
8 2 27 4
− + + − −
≤
+ + − −
x x x
x x x
.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có

AC AB
>
có đường cao
AH,
trên tia
HC
lấy điểm
D
sao cho
HA HD
=
, đường thẳng vuông góc với
BC
tại
D
cắt
AC
tại
(
)
2; 2
E
−

và
AB
tại
F
. Tìm toạ độ các đỉnh
A, B, C

của tam giác
ABC
biết phương trình
: 3 9 0
CF x y
+ + =
,đường
thẳng BC đi qua
(
)
5;12
K
và điểm C có hoành độ dương.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có
(
)
6;2
M
là trung điểm của BC ,
đường tròn tâm B bán kính AB cắt đường thẳng DM tại
21 22
;
5 5
H
 
 
 
. Tìm to
ạ

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông
ABCD bi
ế
t r
ằ
ng
đ
i
ể
m A có hoành
độ
nh
ỏ
h
ơ
n 3.

Ví dụ 5. [Tham khảo]:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình

( ) ( )
2
4 1 2 2 1x x x x x+ + − ≥ + ∈
ℝ
.
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
1
4 1 0
0
4
2 0
2
x
x
x x
x

+ ≥

− ≤ ≤


⇔



− ≥


≥


Cách 1:
Bất phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
4 1 2 2 1 4 1 2 2 1
4 1 2 2 2 2 4 1 1
x x x x x x x x
x x x x x x
+ + − ≥ + ⇔ + + − ≥ +
⇔ + + − ≥ − + +

Đặt
( )
2
4 1 ; 2 0; 0
a a x x b a b
+ = − = ≥ ≥
ta có

( )
(
)
(
)
( )
{ }
2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 2 2 0 0
4 1 2 6 1 0 3 10;3 10
a b a b a ab b a b a b a b
x x x x x x
⇔ + ≥ + ⇔ + + ≥ + ⇔ − ≤ ⇔ − =
⇔ + = − ⇔ − − = ⇔ ∈ − +

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
{
}
3 10;3 10
S = − + .
Cách 2:
Nhận xét bất phương trình không thỏa mãn với
1
4
x
= −
.
Ngoài tr

ườ
ng h
ợ
p trên ta có
4 1 0
x
+ >
, b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
4 1 2 2 1 4 1 2 2 1
2 2
4 1 2 2 2 2 4 1 1 2. 2

4 1 4 1
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x
+ + − ≥ + ⇔ + + − ≥ +
− −
⇔ + + − ≥ − + + ⇔ + ≥ +
+ +

RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 7)

Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Đặt
( )
2
2
0
4 1
x x
t t
x
−
= ≥
+
thu được
( )

2
2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 1 0 1
t t t t t t t
+ ≥ + ⇔ + + ≥ + ⇔ − ≤ ⇔ =


{
}
2 2
4 1 2 6 1 0 3 10;3 10
x x x x x x⇔ + = − ⇔ − − = ⇔ ∈ − + .
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
{
}
3 10;3 10
S = − + .
Cách 3:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có
(
)
( )( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2
2 2
4 1 2 1 1 4 1 2 2 2 1 2 1
1

4 1 2 2 1 4 1 2 2 1
4
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
+ + − ≤ + + + − = + + = +
 
⇒ + + − ≤ + ⇒ + + − ≤ + ∀ ≥ − ∗
 
 

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi (*) xảy ra dấu đẳng thức
{ }
2
2 2
4 1 2
4 1 2 6 1 0 3 10;3 10
1 1
x x x
x x x x x x
+ −
⇔ = ⇔⇔ + = − ⇔ − − = ⇔ ∈ − +
.
Quan sát điều kiện ta thu được nghiệm
{
}
3 10;3 10
S = − + .

Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải bất phương trình
( )

2
2
3 2 1 1 5
1
2 5 2 6 5
x x
x
x x
− + + −
≤ ∈
− + −
ℝ
.
Lời giải.
Điều kiện
2
1
1
2
2
2 5 2 6 5
x
x
x x

≥

⇔ >



− + ≠

.
Do đó
( )( )
( )
2 2 2
1
2 1 10 1 0 10 8 1 0 4 5 2 6 25 2 5 2 6 5
2
x x x x x x x x x
∀ > ⇒ − + > ⇔ − − > ⇒ − + > ⇒ − + >
.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
(
)
( )
2 2 2 2

3 2 1 1 5 2 5 2 6 5 3 2 1 1 2 5 1 2 1
x x x x x x x x
− + + − ≤ − + − ⇔ − + + ≤ + − −
.
Đặ
t
( )
2
2 1 ; 1 0; 0
− = + = > >
x a x b a b
ta thu
đượ
c
(
)
( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
3 2 5 6 9 4 5 19 6 13 0
19 13 0 1 2 1 2 2 0
+ ≤ − ⇔ + + ≤ − ⇔ − − ≥
⇔ − + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ ∈
ℝ
a b a b a ab v a b a ab b
a b a b a b x x x x x

K
ế
t h

ợ
p t
ấ
t c
ả
các tr
ườ
ng h
ợ
p ta thu
đượ
c nghi
ệ
m
1
;
2
S
 
= +∞
 
 
.
Ví dụ 7. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

độ
Oxy cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A
(
)
AB AC
<
có
ph
ươ
ng trình
đườ
ng trung tuy
ế
n
: 2 2 0
BM x y
− − =
, đường thẳng qua trung điểm M của AC và vuông
góc với BC cắt đường thẳng qua C vuông góc với AC tại điểm
(
)
5; 6
E
−
, tìm toạ độ các đỉnh của tam giác
ABC biết A thuộc đường thẳng
1 0

x y
− + =
và C có hoành độ dương,
Lời giải:
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Gọi K là điểm đối xứng với E qua M khi đó AKCE là hình bình hành ( có
2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )
Khi đó:
/ /
, ,
/ /
AK CE
A B K
AB CE

⇒


thẳng hàng.
Dễ thấy M là trực tâm tam giác BKC do vậy
BM KC BM AE
⊥ ⇒ ⊥
.
Phương trình đường thẳng
AE
qua
E
và vuông góc với
AM

là
(
)
2 4 0 1;2
x y A+ − = ⇒
, gọi
(
)
(
)
2 2; 4 3;2 2
M t t C t t
+ ⇒ + −

Lại có
(
)
(
)
(
)
(
)
. 0 4 2 4 2 2 4 2 4 0 1
CE AC t t t t t
= ⇔ − + + + − = ⇔ = ±
 

Với
(

)
(
)
1 1; 4
t C loai
= − ⇒ − −

Với
(
)
(
)
1 7;0 :3 1 0 0; 1
t C AB x y B AB BI
= ⇒ ⇒ − − = ⇒ = ∩ = −

Vậy
(
)
(
)
(
)
1;2 ; 0; 1 ; 7;0
A B C−
là các điểm cần tìm.

Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
3
3

2
3
2 2 3 3 ,
3
2 3 2 1
2.
6 5
y
x y
x
y x y
x

+
− + =


+

− + +

=

−


Lời giải.
Điều kiện
5
6

x
>
. T
ừ

đ
ó d
ẫ
n
đế
n
3 3
3 0 3 0
x y
+ >
⇒
+ ≥
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ

ng
đươ
ng
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3 3 3 3
3 3
2 2
3 3
3 3 3 3
2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 0
3
2 3 0 2 3 3. 0
3 3 3 3
x y x y x y x x y
x y
x xy y
x y x x y x
x y x y
− + + = + ⇔ − + + + − + =
 
−
+ +
 
⇔ − + + = ⇔ − + + =
 
+ + + + + +
 

Vì
2 2
3
3 3
2 3 0, ;
3 3
x xy y
x x y x y
x y
+ +
+ + > ∀ ∈
⇒
=
+ + +
ℝ
.
Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình th
ứ
hai tr
ở
thành
( ) ( ) ( )
2
2 2
2

2 1
2 2 1 2 6 5 4 2 2 4 6 5
6 5
2 1 2 1 4 4 2 1 2 1
x x
x x x x x x
x
x x x x
− +
= ⇔ − + = − ⇔ − + = −
−
⇔ − + + = − − +

Đặt
(
)
2 1 ; 6 5 0
x t x y y
− = − = >
ta thu được hệ phương trình
( )
( )( )
2
2 2 2 2
2
2 1 4
4 4 4 4 0 4 0
4 0
4 2 1
t x y

t y
t t y y t y t y t y t y
t y
t x y

+ + =
=


⇒
+ = + ⇔ − + − = ⇔ − + + = ⇔


+ + =
− + =




•
2 2
1 1
3
2 1 6 5 1;
2 2
2
4 4 1 6 5 2 5 3 0
x x
t y x x x
x x x x x

 
≥ ≥
 
 
= ⇔ − = − ⇔ ⇔ ⇔ ∈
   
 
 
− + = − − + =
 
.
•
4 0 2 3 6 5 0
t y x x
+ + = ⇔ + + − =
(Vô nghiệm do
5
6
x
>
).
So sánh v
ới điều kiện ta có nghiệm
( ) ( )
3 3
; 1;1 , ;
2 2
 
 
=

 
 
 
 
x y .

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABCD là hình thang vuông tại A và D có
2 2 .
= =
BC AB AD
Trung đ
i
ể
m c
ủ
a BC là
đ
i
ể
m M(1; 0),
đườ
ng th
ẳ
ng AD có ph
ươ
ng trình
3 3 0
− + =

x y
. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m A bi
ế
t DC > AB.
Lời giải:
E
M
N
A
B
D
C

G
ọ
i N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AD, E là hình chi

ế
u c
ủ
a B trên MN
( ; ) 2
⇒ = =
MN d M AB
Theo giả thiết
2
2
3
,
2 4 2
= = = = ⇒ = − =
a a a
AB AD BM a BE EM a
Do AB < CD và MN = 2 nên
3
2 2 8 4 3
2
+ = ⇔ + = ⇔ = −
a
NE EM a a
G
ọ
i
3 3 0 ( 3 3; )
∈ − + = ⇒ −
A x y A m m

: 3 3 0
+ − =
MN x y

(
)
3 3 3 3
( ; ) 2 3
2
− + −
⇒ = = −
m m
d A MN m

2
( ; ) 4 2 3 2 3 4 2 3
2 3 2
=

⇒ = − ⇔ − = − ⇔

= −

m
d A MN m
m

(
)
( )

2 2 3 3;2
2 3 2 3 2 3;2 3 2

= ⇒ −

⇒

= − ⇒ − −


m A
m A

Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( )
3
2 2 2
2 3 1
7 1 14 2 3 8 5 10 4 5 4

+ + = − +


− + − − − = − + − +


x x x y y
x y y y y x x

Lời giải:

ĐK:
2
4; 2 3 0
x y y
≥ − − ≥

Xét phương trình (1) ta có
( )
3
2 3 1
x x x y y
+ + = − +


( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2 1 3 1 2 1
x x x y y y
⇔ + + = − + − + −

Xét hàm số
3 2
( ) 3 2
f t t t t
= + +
với
2

t
>
(
)
( 1)
f x f y
⇒ = −

Ta có
2
'( ) 3 6 2 0
f t t t
= + + >
với
2
t
∀ >
mà
(
)
( 1) 1 1
f x f y x y y x
= − ⇒ = − ⇔ = +


Thay
1
y x
= +
vào phương trình (2) ta có

2 2 2
7 1 14 2 3 8 5 10 4 5 4
x y y y y x x
− + − − − = − + − +


2
7 1 14 4 12 5 9 4 5 4
x x x x x
⇔ − + − − = − + − +

Đặ
t
2 2
1 2 4 5 9 4 5 4
t x x t x x x
= − + − ⇒ = − + − +

Suy ra ph
ươ
ng trình (2) tr
ở
thành
2
4 1 2 4 4 (3)
7 12
3
1 2 4 3 (4)

= − + − =


⇒
− = ⇔ ⇔


=
− + − =



t x x
t t
t
x x

Xét pt(3) ta có
( )
1 2
1 2 4 4 1 0 1 2
1 1 4 1
x x x x y
x x
 
− + − = ⇔ − + = ⇒ = ⇒ =
 
− + − +
 

Xét ph
ươ

ng trình (4) ta có
1 2 4 3 1 9 12 4 4 16 4 4 2
x x x x x x x
− + − =
⇒
− = − − + − ⇔ − = −

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!

2
20 68 0 10 4 2
x x x⇒ − + = ⇔ = ±

Thử lại ta chọn
10 4 2
x = −

Với
10 4 2 10 4 2 1
x y
= − ⇒ = − +

V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình

đ
ã cho có 2 c
ặ
p nghi
ệ
m là
(1;2)
và
(
)
10 4 2; 10 4 2 1
− − +

Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có
AB AC
<
,
phương trình đường trung tuyến
AM
là:
: 2 4 0
d x y
− − =
, đường tròn
(
)
C
có tâm thuộc cạnh AC đi qua
2 điểm A và M cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại
5

4;
2
H
 
 
 
(H không thu
ộ
c AC). Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh B,C c
ủ
a tam giác ABC bi
ế
t di
ệ
n tích tam giác ABC b
ằ
ng
25
4
.
Lời giải:
Tâm
I
c

ủ
a
đườ
ng tròn
(
)
C
thu
ộ
c
AC
mà
AB AC
⊥
nên
AB
là ti
ế
p
tuy
ế
n c
ủ
a
đườ
ng tròn
( )


C BAM AHC

⇒
=
( cùng ch
ắ
n

AM
).
M
ặ
t khác t
ứ
giác
ABCH
n
ộ
i ti
ế
p trong
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam
giác
ABC
nên

0

1
90
2
BHM MB MA MH BC
= ⇒ = = = .
Do v
ậ
y 2 tam giác cân t
ạ
i M là :
MAB MAH
∆ = ∆
.
Do
đ
ó
AB AH
=
và
MB MH
=
nên
AM
là trung tr
ự
c c
ủ
a
BH.

Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
BH
là:
21
2 0
2
x y
+ − =


Trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
BH
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

21
2 0
1 3
5; 6;
2
2 2
2 4 0
x y
E B
x y

+ − =

   
⇒ ⇒ −

   
   

− − =


Khi đó:
( )
( )
5 5
2 ; .
; 4
ABC

ABC ABM
S
S S d B AM AM MA MB
d B AM
= = ⇒ = = =
.
Gọi
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
1 7 1
; 1;1
4 2 4
3 125
2 4; 2 2
2 16
5 13 5
; 7;4
4 2 4
t M C
M t t MB t t
t M C

 
= − ⇒ − ⇒
 


 
 

+ ⇒ = − + + = ⇔
 

 
 
= ⇒ ⇒

 
 


Vậy
( ) ( )
3
6; ; 1;1 ; 7;4
2
B C C
 
−
 
 
là các điểm cần tìm.