Điều khiển hệ số phi tuyến Kerr của môi trường khí nguyên tử 85Rb dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (TT)

i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH







LÊ VĂN ĐOÀI






ĐIỀU KHIỂN HỆ SỐ PHI TUYẾN KERR CỦA MÔI
RƯỜNG KHÍ NGUYÊN TỬ
85
Rb DỰA TRÊN HIỆU ỨNG
TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

Chuyên ngành: QUANG HỌC
Mã số: 62.44.01.09




TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ






NGHỆ AN, NĂM 2014




ii

Công trình được hoàn thành tại: Khoa Vật lí và Công nghệ trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS. Nguyễn Huy Bằng
2. TS. Đoàn Hoài Sơn




Phản biện 1:



Phản biện 2:

Phản biện 3:



Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại

vào hồi……… ….giờ…………phút, ngày………tháng……….năm………………

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện Quốc gia và thư viện Nguyễn Thúc Hào
trường Đại học Vinh





1

MỞ ĐẦU
Hiện nay, vật liệu phi tuyến Kerr được ứng dụng rộng rãi trong công
nghệ quang tử. Cơ sở của các ứng dụng này là dựa trên sự thay đổi chiết
suất hiệu dụng n đối với một chùm tín hiệu quang theo hệ thức
0 2
n n n I
 
,
với n
0
là chiết suất tuyến tính và n
2
là hệ số phi tuyến Kerr. Khi đó, độ nhạy
và đặc tính của thiết bị sẽ phụ thuộc tương ứng vào độ lớn và dấu của hệ số
phi tuyến Kerr n
2
. Vì vậy, tạo ra các vật liệu có phi tuyến Kerr lớn và “điều
khiển được” không chỉ cho phép giảm ngưỡng phi tuyến mà còn thay đổi

được đặc trưng hoạt động của thiết bị.
Với các vật liệu quang phi tuyến Kerr truyền thống, do hoạt động xa
miền phổ cộng hưởng nên hệ số phi tuyến Kerr n
2
thường có giá trị rất bé.
Khi đó, hiệu ứng phi tuyến chỉ có thể quan sát được với các nguồn sáng có
cường độ rất lớn. Một ý tưởng rất đơn giản để tăng cường phi tuyến Kerr là
sử dụng tín hiệu quang trong lân cận cộng hưởng nguyên tử của vật liệu.
Tuy nhiên, cách này gặp phải trở ngại cơ bản là tín hiệu bị suy giảm mạnh
do hấp thụ cộng hưởng.
Một giải pháp thú vị nhằm làm giảm hấp thụ trong lân cận cộng
hưởng đã được đề xuất nhằm giải quyết khó khăn trên đây là sử dụng hiệu
ứng trong suốt cảm ứng điện từ - EIT (Electromagnetically Induced
Transparency). Trong những năm đầu tiên của nghiên cứu về tăng cường
phi tuyến Kerr dựa trên hiệu ứng EIT, các nhà nghiên cứu đã tập trung vào
các cấu hình cơ bản ba mức năng lượng. Về mặt thực nghiệm, hệ số phi
tuyến Kerr của môi trường EIT ba mức được đo lần đầu tiên vào năm 2001
bởi nhóm nghiên cứu của Xiao ở Mĩ. Phép đo của nhóm Xiao cho thấy giá
trị của hệ số phi tuyến Kerr khi có EIT lớn hơn vài bậc so với khi không có
EIT và lớn gấp hàng triệu lần so với trường hợp xa cộng hưởng.
Mặc dầu các hệ EIT ba mức năng lượng đã mở ra nhiều triển vọng về
ứng dụng, tuy nhiên, do tính chất phi tuyến chỉ được tăng cường trong miền
phổ hẹp nên đã hạn chế nhiều ứng dụng. Vì vậy, mở rộng miền phổ trong
suốt từ một cửa sổ EIT tới nhiều cửa sổ đã được nhiều nhóm quan tâm nghiên
cứu cả lý thuyết và thực nghiệm. Một giải pháp mở rộng miền phổ EIT theo
cách đơn giản hơn đã được đề xuất vào năm 2004 bởi nhóm nghiên cứu
của Wang. Theo đó, chỉ cần sử dụng một trường laser mạnh để liên kết
đồng thời các mức siêu tinh tế cạnh nhau của hệ lượng tử theo cấu hình

2

năm mức năng lượng bậc thang. Theo cách này, nhóm nghiên cứu của
Wang đã quan sát được ba cửa sổ EIT tại một vài giá trị cụ thể của cường
độ trường laser điều khiển. Đặc trưng rất thú vị này đã gợi ý cho chúng tôi
lựa chọn việc xây dựng mô hình nghiên cứu khả năng tăng cường phi
tuyến Kerr dựa trên EIT của hệ năm mức bậc thang.
Mục đích của đề tài là xây dựng mô hình giải tích biểu diễn hệ số phi
tuyến Kerr của hệ lượng tử năm mức năng lượng cấu hình bậc thang khi có
mặt hiệu ứng EIT. Áp dụng kết quả giải tích vào trường hợp nguyên tử
85
Rb
để nghiên cứu khả năng điều khiển và tăng cường phi tuyến Kerr theo các
thông số của trường laser liên kết. So sánh ưu điểm của cấu hình năm mức so
với các cấu hình bốn mức và ba mức năng lượng. Khảo sát ảnh hưởng của
mở rộng Doppler lên khả năng tăng cường phi tuyến Kerr.




Chương 1
TƯƠNG TÁC GIỮA HỆ NGUYÊN TỬ VÀ TRƯỜNG ÁNH SÁNG


1.1. Độ cảm điện tuyến tính
Mỗi liên hệ tuyến tính giữa véc tơ phân cực vĩ mô
P

và véc tơ cường độ

điện trường
E

là:
(1)
0
P E
 

 
, (1.1)
trong đó,
(1)

là độ cảm điện tuyến tính.
Theo định luật Bear, hệ số hấp thụ được xác định bởi:
(1)
n
c c
 



  , (1.2)
trong đó,
(1)


là phần ảo của độ cảm điện tuyến tính
(1)


.
1.2. Ma trận mật độ
1.2.1. Phương trình ma trận mật độ
1.2.1.1. Ma trận mật độ
Nếu hệ nằm trong một trạng thái thuần khiết thì ma trận mật độ được
định nghĩa là:
( ) ( ) ( )
k k
t t t
  

. (1.3)



3

Các phần tử ma trận mật độ được xác định bởi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nm k k n m
n t m n t t m c t c t
   

   . (1.4)
trong đó,
n
c
và
m

c
là các hệ số khai triển của hàm sóng trong các trạng thái
n
và
m
, tương ứng.
Nếu hệ ở trong một trạng thái pha trộn, với xác suất
i
P
tìm thấy hệ
nằm trong trạng thái
i

thì ma trận mật độ có dạng:
( ) ( ) ( )
i i i
i
t P t t
  


. (1.5)
Giá trị kỳ vọng của biến quan sát được cho bởi như sau:
i i i
i
O P O
 





Tr
k k
k
O O
   
 

. (1.6)
1.2.1.2. Sự tiến triển theo thời gian của ma trận mật độ
Sự tiến triển theo thời gian của ma trận mật độ được cho bởi phương
trình Liouville:
 
,
i
H
 
 


. (1.7)
Khi kể đến các quá trình tích thoát thì phương trình ma trận mật độ
có dạng:
 
,
m n m n
nn nm mm mn nn
nn
E E E E
i

H
   
 
     
 


, (1.8a)
 
, ,
nm nm nm
nm
i
H n m
   
   


. (1.8b)
ở đây,
nm

là tốc độ phân rã độ cư trú từ mức
m
tới mức
n
và
nm

là tốc

độ suy giảm độ kết hợp
nm

.
Để mô tả các quá tích thoát tổng quát, số hạng phân rã được viết dạng:
,
nm nm
n m
L
 
  

, (1.9)
trong đó:
 
1
2
2
nm nm nm mn nm nm mn nm mn
L
       
     , (1.10)
Khi đó, phương trình Liouville có dạng:

 
,
i
H
  
   



. (1.11)
1.2.2. Liên hệ giữa độ cảm điện và ma trận mật độ
Độ cảm điện liên hệ với phần tử ma trận chéo
nm

như sau:
0 0
2
nm
nm
Nd
E
 

  . (1.12)



4

1.2.3. Hamilton của hệ nguyên tử và trường ánh sáng
Trong gần đúng lưỡng cực điện, Hamilton của hệ nguyên tử và
trường ánh sáng có dạng:
2
0 0
( ) ( , )
2
I

e
p
H V r erE r t H H
m
    

 
, (1.13)
trong đó:
2
0
( )
2
e
p
H V r
m
  , (1.14)
là Hamilton của nguyên tử tự do và
0 0
( , ) ( , )
I
H erE r t dE r t
   

 
  
, (1.15)
là Hamilton tương tác.
1.3. Sự trong suốt cảm ứng điện từ

EIT là một hiệu ứng giao thoa lượng tử dẫn đến sự lan truyền ánh
sáng qua môi trường mà không bị hấp thụ ngay tại tần số cộng hưởng với
nguyên tử. EIT có thể được giải thích dựa vào sự giao thoa lượng tử của
các biên độ xác suất dịch chuyển xẩy ra giữa các nhánh kích thích khác
nhau như Hình 1.1. Một nhánh là do sự kích thích chỉ bởi chùm laser
p

,
tức là nhánh trực tiếp từ trạng thái
1
tới trạng thái
3
; một nhánh khác, là
do sự có mặt của chùm laser thứ hai
c

, tức là nhánh gián tiếp từ trạng thái
1
tới
3
sau đó phân rã cưỡng bức xuống trạng thái
2
rồi trở về trạng
thái
3
. Vì vậy, biên độ xác suất dịch chuyển toàn phần bị triệt tiêu dẫn
đến sự trong suốt đối với chùm laser dò khi cộng hưởng với dịch chuyển
nguyên tử.

Hình 1.1. Hai nhánh kích thích từ trạng thái cơ bản

1
tới trạng thái kích thích
3
, nhánh 1: kích thích trực tiếp
1 3
 và nhánh 2: kích thích gián tiếp
1 3 2 3
   .



5

1.4. Cấu trúc các mức năng lượng của nguyên tử Rb
Nguyên tử Rb có hai đồng vị tự nhiên:
85
Rb là đồng vị bền chiếm
72% trong tự nhiên còn
87
Rb là đồng vị không bền chiếm 28%.
Giản đồ các mức năng lượng tinh tế và siêu tinh tế của nguyên tử
85
Rb được
mô tả trong Hình 1.2.

Hình 1.2. Sơ đồ các mức năng lượng tinh tế và siêu tinh tế của nguyên tử
85
Rb.

Chương 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TĂNG CƯỜNG PHI TUYẾN KERR


2.1. Sự phân cực phi tuyến
Khi cường độ điện trường của ánh sáng đủ lớn thì véc tơ phân cực
được viết dưới dạng:


(1) (2) (3)
0
P E EE EEE
   
   
      



(1) (2) (3)
P P P
   
  

, (2.1)
trong đó, các đại lượng
( )
n


với
1
n

được gọi là độ cảm điện phi tuyến
bậc n và
( )
n
P

là véctơ phân cực phi tuyến bậc n.



6

2.2. Hiệu ứng Kerr
Biểu thức cho hệ số phi tuyến Kerr (trường hợp tự điều biến pha) là:
(3)
2
2
0 0
3
Re( )
4
n
n c


 . (2.2)

2.3. Biểu thức độ cảm điện
2.3.1. Phương pháp nhiễu loạn
Khi tính đến các bổ chính bậc cao thì toán tử ma trận mật độ được
khai triển theo chuỗi sau:

(0) (1) (2) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r
t t t t t
    
     , (2.3)
ở đây,
(0)

là nghiệm của ma trận mật độ khi chưa có các trường ngoài và
( )
r
nm

là bổ chính bậc r của

do nhiễu loạn.
Khi đó, các phương trình ma trận mật độ cho các bậc nhiễu loạn khác
nhau là:
(0) (0) (0)
0
[ , ]i H i
  
  


  , (2.4a)
(1) (1) (0) (1)
0
[ , ] [ , ]
I
i H H i
   
   

  , (2.4b)



( ) ( ) ( 1) ( )
0
[ , ] [ , ]
r r r r
I
i H H i
   

   

  , (2.4c)
trong đó, số hạng
( )
r
i



mô tả cơ chế tích thoát và

là tốc độ tích thoát
của các phần tử ma trận mật độ.
2.3.2. Nghiệm của các phương trình ma trận mật độ
Bổ chính bậc một của ma trận mật độ là :
(0) (0) (0) (0)
(1)
[ ( )] ( ) [ ( )] ( )
( )
( ) ( )
I n ab bb aa I n ab bb aa
ab n
ba n ab ab n
H H
i D
     
 
  
 
 
  
, (2.5)
trong đó:
( ) ( )
ab n ba n ab
D i
  
   


, (2.6a)
ba ab
 
 
. (2.6b)
Nghiệm của phần tử ma trận bậc hai là:
(0) (0)
(2)
1 2
1 2
1 2 2
1 [ ( )] [ ( )] [ ]
( )
( ) ( )
I ac I cb bb cc
ab
c
ab cb
H H
D D
   
  
  


 





(0) (0) (0) (0)
2 1 2 1
1 2
[ ( )] [ ( )] [ ] [ ( )] [ ( )] [ ]
( ) ( )
I ac I cb bb cc I ac I cb cc aa
cb ac
H H H H
D D
       
 
 
 

(0) (0)
1 2
1
[ ( )] [ ( )] [ ]
( )
I ac I cb cc aa
ac
H H
D
   







, (2.7)
trong đó:
1 2 1 2
( ) ( )
ab ab ab
D i
    
     
 ,
2 2
( ) ( )
cb bc cb
D i
  
   
 , v.v. Phương
trình (2.7) được viết dưới dạng cô đọng hơn là:



7

(2)
1 2
1 2
1
( )
( )
ab

ab
D
  
 
 



1 2
(0) (0) (0) (0)
1 2
( )
2 1
[ ( )] [ ( )]
( ) ( )
bb cc aa cc
I ac I cb
c
cb ac
H H
D D
 
   
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
. (2.8)
Hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể thu được nghiệm cho ma trận
mật độ bổ chính bậc ba như sau:
(3)
1 2 3
1 2 3
1
( )
( )
ab
ab
D
   
  
  
 


1 2 3
(0) (0) (0) (0)
1 2 3
( ) ,
2 3 3 2
[ ( )] [ ( )] [ ( )]
( ) ( ) ( )
I ac I cd I db bb dd cc dd

c d
cb db cd
H H H
D D D
  
      
   

 
 

 

 


 

 


(0) (0) (0) (0)
2 3 1
2 3 3 2
[ ( )] [ ( )] [ ( )]
( ) ( ) ( )
I ad I dc I cb dd cc dd aa
ac cd da
H H H
D D D

      
   

 
 

 

 


 

. (2.9)
2.3.3. Biểu thức độ cảm điện bậc nhất
Chúng ta thu được biểu thức tường minh của độ cảm điện bậc nhất là:
(1) (0) (0)
,
0
( ) ( )
( ) [ ]
( )
i ab j ba
ij aa bb
a b
ba
d d
N
D
   

 
  



(0)
,
0
( ) ( ) ( ) ( )
i ab j ba i ab j ba
aa
a b
ba ba ba ba
d d d d
N
i i

    
 
 
 
     
 


, (2.10)
trong đó,
ab ba
 
 

,
ba ab
  
và phần tử mômen lưỡng cực được chọn là
thực, tức là
( ) ( )
i ab i ba
d d

.
2.3.4. Biểu thức độ cảm điện bậc hai
Hoàn toàn tương tự với phương pháp tính ở trên, biểu thức cho độ
cảm điện bậc hai của môi trường là:
1 2
( )
(2) (0)
1 2
2
( ) , ,
0 1 2 2
( ) ( ) ( )
( , )
2 ( )( )
i ab j bc k ca
ijk aa
jk a b c
ba ba ca ca
d d d
N
i i

 
   
     



      

 


1 2 2 1
( ) ( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( )
i ab j bc k ca
cb bc ac ac ba ba
d d d
i i i
      
 
 
 
         
 

1 2 2
( ) ( ) ( )
( )( )
k ab j bc i ca

ca ca ba ba
d d d
i i
    



      

. (2.11)
2.3.5. Biểu thức độ cảm điện bậc ba
Tương tự, biểu thức độ cảm điện bậc ba có dạng như sau:

1 2 3
( )
(3) (0)
1 2 3
3
( ) , , ,
0
( , , )
6
ijkl aa
jkl a b c d
N
  
    


 






8


1 2 3 2 3 3
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
i ab j bc k cd l da
ba ba ca ca da da
d d d d
i i i
        



           



1 2 3 3
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
j ab i bc k cd l da
ba ba ca ca da da
d d d d
i i i

      

         


1 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
j ab k bc i cd l da
ba ba ca ca da da
d d d d
i i i
      

         


1 1 2 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
j ab k bc l cd i da
ba ba ca ca da da
d d d d
i i i
        



           


. (2.12)
2.4. Một số phương pháp tăng cường phi tuyến Kerr
2.4.1. Tăng cường phi tuyến tự điều biến pha
2.4.1.1. Sử dụng cộng hưởng một photon
Trong trường hợp này, biểu thức của hệ số phi tuyến Kerr có dạng:
2
2 2 2
0 0
3
4 ( )
to
to
K
n
n c
 
  


  
. (2.13)
Sự biến thiên của hệ số phi tuyến Kerr n
2
theo độ lệch tần số
( )
to
 

được
mô tả như trên Hình 2.1.

Hình 2.1. Sự biến thiên của hệ số phi tuyến theo độ lệch tần số.
Từ Hình 2.1 chúng ta thấy, hệ số phi tuyến được tăng lên đáng kể
xung quanh tần số cộng hưởng nguyên tử so với miền xa cộng hưởng.
2.4.1.2. Sử dụng EIT
Chúng tôi khảo sát hệ nguyên tử bốn mức năng lượng cấu hình chữ N
được mô tả bởi Hình 2.2. Gọi
2

,
3

và
4

lần lượt là tốc độ phân rã độ cư
trú của mức
2
,
3
và
4
. Một trường laser điều khiển mạnh có tần số
c


và tần số Rabi
c

đặt vào dịch chuyển

2 3
 và một trường laser dò



9

yếu có tần số
p

và tần số Rabi
p

đặt vào dịch chuyển
1 3
 tạo thành
hệ ba mức cấu hình lambda. EIT trong cấu hình này xuất hiện khi trường
laser dò và trường laser điều khiển thoả mãn điều kiện cộng hưởng hai
photon.
Một trường laser tín hiệu với tần số
s

và tần số Rabi
s

đặt vào
dịch chuyển
2 4
 . Độ lệch tần số của các chùm laser điều khiển, laser
dò và laser tín hiệu so với tần số dịch chuyển nguyên tử, lần lượt là

32
c p
 
  
,
31
p p
 
  
và
42
s s
 
  
.
Chúng ta tìm được hệ số phi tuyến n
2
theo biểu thức (2.2), có dạng:
4
31 21 32
2
2 2 3
0 0 21 31 32
2 1 1 1
16 ( )
iNd
n
c n F F F



  
 
  
 
   
 

. (2.14)
trong đó,
21 21
( )
p c
i
 
    

,
31 31
p
i
 
  

,
41 41
( )
p c s
i
 
      


và
2
31
2
21
41
| | /4
| | /4
c
s
F




 





và
F

là liên hợp phức của F.

Hình 2.2. Sơ đồ kích thích hệ bốn mức năng lượng cấu hình chữ N.

Hệ số phi tuyến trong trường hợp này có dạng như trên Hình 2.3,

trong đó, cột bên trái là kết quả quan sát thực nghiệm, còn cột bên phải là
kết quả mô phỏng bằng số.
Từ Hình 2.3 chúng ta thấy, sự có mặt của trường laser điều khiển
c


làm xuất hiện đường cong tán sắc phi tuyến rất dốc trong miền lân cận
cộng hưởng trên đồ thị của n
2
. Do đó, biên độ của n
2
lớn hơn đáng kể so
với khi không có trường laser điều khiển.




10


Hình 2.3. Sự biến thiên của n
2
theo độ lệch tần số của chùm laser dò. Cột bên
trái mô tả kết quả đo được từ thực nghiệm và cột bên phải là kết tính toán lý
thuyết tương ứng. Các hình (a1) và (a2) tương ứng với trường hợp hệ nguyên tử
hai mức, (b1) và (b2) tương ứng với trường hợp ba mức, (c1) và (c2) tương ứng
với trường hợp bốn mức trường tín hiệu yếu và (d1) và (d2) tương ứng với
trường hợp bốn mức trường tín hiệu mạnh.

2.4.2. Tăng cường phi tuyến điều biến pha chéo

2.4.2.1. Sử dụng cộng hưởng hai photon
Giả sử
0 1 0 2 0
( ) ( )
n n n
 
 
, khi đó hệ số phi tuyến cho trường hợp
điều biến pha chéo có dạng là hàm số của độ lệch tần số
1 2
[ ( )]
to
  
 
:
1 2
2
2 2 2
0 0 1 2
3 ( )
2 [ ( )]
to
to
K
n
n c
  
   

 



   
. (2.15)
Sự biến thiên của
2
n

theo độ lệch tần số
1 2
[ ( )]
to
  
 
được mô tả
trên Hình 2.4.
Từ Hình 2.4 chúng ta thấy, hệ số phi tuyến được tăng lên đáng kể
trong miền cộng hưởng hai photon so với miền xa cộng hưởng.



11


Hình 2.4. Sự biến thiên của hệ số phi tuyến theo độ lệch tần số hai photon.
2.4.2.2. Sử dụng EIT
Chúng tôi khảo sát hệ nguyên tử bốn mức năng lượng cấu hình chữ
N tương tự như trên Hình 2.2. Ở đây, chúng ta xét sự tăng cường phi tuyến
của môi trường đối với chùm laser dò nhờ tác dụng của chùm laser tín hiệu
khi có mặt của chùm laser điều khiển.

Độ phi tuyến trong trường hợp điều biến pha chéo được quan tâm là
giữa chùm laser tín hiệu và chùm laser dò đặt vào dịch chuyển
1 3

.
Độ cảm điện phi tuyến điều biến pha chéo
(3) (3)
( , , , )
xpm p s s p
     
  
(3)
( , , , )
s p p s
    
   trong hệ bốn mức chữ N có EIT được cho bởi:
2 2
(3)
13 24
3 2
0
1
Re[ ]
2
xpm
c s
Nd d

 


 

. (2.16)
Để thấy được sự tăng cường tính phi tuyến khi có EIT, chúng ta so
sánh với độ cảm phi tuyến điều biến pha chéo của hệ nguyên tử ba mức
không có EIT, có dạng:
2 2
(3)
3
3 2
0
1
Re[ ]
8
ab bc
muc
p s
Nd d

  

 

, (2.17)
So sánh hai biểu thức này chúng ta thấy, chúng có dạng tương đồng nhau:
trong sơ đồ bốn mức có EIT, đại lượng
2
1/ (4 )
p


 được thay thế bởi
2
1/
c

.
Trong hệ ba mức không có EIT, cần phải có điều kiện
2 2
p b

  
, với
b


là tốc độ phân rã của trạng thái
b
để tránh sự hấp thụ (
b

tương đương với
3

). Trong hệ bốn mức, điều kiện để có sự trong suốt là
2
2 3
c
   
, nhưng vì
2

0
 
nên
2 2
3
c
  
. Vì vậy, phi tuyến điều biến pha chéo trong hệ bốn mức có
EIT lớn hơn đáng kể so với hệ ba mức không có EIT.



12

Chương 3
ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN KERR CỦA NGUYÊN TỬ
85
Rb


3.1. Mô hình hệ lượng tử năm mức năng lượng
Xét hệ lượng tử (nguyên tử/phân tử) có năm mức năng lượng được
kích thích bởi hai trường laser theo cấu hình bậc thang như trên Hình 3.1.
Trường laser điều khiển có cường độ mạnh E
c
với tần số
c

kích thích dịch
chuyển

2 3
 , còn trường laser dò có cường độ yếu E
p
với tần số
p


kích thích dịch chuyển
1 2
 .

Hình 3.1. Sơ đồ hệ lượng tử năm mức năng lượng bậc thang.

Tần số Rabi cảm ứng bởi trường laser điều khiển và laser dò lần lượt được
định nghĩa là:
32
c
c
d E
 

và
21
p
p
d E
 

. (3.1)
với,

nm
d
là mômen lưỡng cực điện dịch chuyển giữa hai trạng thái
n
và
m
.
Độ lệch tần số của chùm laser điều khiển và laser dò so với tần số dịch
chuyển nguyên tử được định nghĩa tương ứng là:
32
c c
 
  
và
21
p p
 
  
. (3.2)
Ký hiệu khoảng cách (theo đơn vị tần số) giữa các mức
3 4

và
5 3

là
1 3 4
  
 
và

2 5 3
  
 
. Chúng ta giả thiết các trạng thái
3
,
4
và
5
nằm khá gần nhau nên chùm laser điều khiển sẽ cảm ứng đồng
thời ba dịch chuyển
2 3
 ,
2 4
 và
2 5
 . Cường độ tỷ đối của
các dịch chuyển này được đặc trưng bởi mômen lưỡng cực tỷ đối đã chuẩn



13

hóa:
32
1
a

,
42 42 32

/
a d d

, và
52 52 32
/
a d d

. Như vậy, cường độ liên kết của
trường laser điều khiển đối với dịch chuyển
2 3
 ,
2 4
 và
2 5
 lần lượt là
32 32
c
a
  
,
42 42
c
a
  
và
52 52
c
a
  

.
3.2. Hệ phương trình ma trận mật độ

55 52 55 52 25 52
( )
2
c
i
a
   
    

, (3.3)

44 42 44 42 24 42
( )
2
c
i
a
   
    

, (3.4)

33 32 33 32 23 32
( )
2
c
i

a
   
    

, (3.5)

22 21 22 32 33 42 44 52 55 12 21
( )
2
p
i
      
          



32 32 23 42 42 24 52 52 25
( ) ( ) ( )
2 2 2
c c c
i i i
a a a
     
         , (3.6)

11 21 22 21 12
( )
2
p
i

   
    

, (3.7)

54 1 2 54 54 42 52 52 24
[ ( ) ]
2 2
c c
i i
i a a
      
       

, (3.8)

53 2 53 53 32 52 52 23
[ ]
2 2
c c
i i
i a a
     
      

, (3.9)

52 2 52 52 51 32 53
[ ( ) ]
2 2

c p c
i i
i a
     
       



42 54 52 55 22
( )
2 2
c c
i i
a a
  
     , (3.10)

51 2 51 51 52 52 21
[ ( ) ]
2 2
c p p c
i i
i a
     
         

, (3.11)

43 1 43 43 32 42 42 23
[ ]

2 2
c c
i i
i a a
     
      

, (3.12)

42 1 42 42 41 32 43
[ ( ) ]
2 2
c p c
i i
i a
     
       



52 45 42 44 22
( )
2 2
c c
i i
a a
  
     , (3.13)

41 1 41 41 42 42 21

[ ( ) ]
2 2
c p p c
i i
i a
     
         

, (3.14)

32 32 32 31 42 34
[ ]
2 2
c p c
i i
i a
    
      



52 35 32 33 22
( )
2 2
c c
i i
a a
  
     , (3.15)

31 31 31 32 32 21
[ ( ) ]
2 2
c p p c
i i
i a
    
        

, (3.16)



14


21 21 21 22 11 32 31
[ ] ( )
2 2
p p c
i i
i a
     
       



42 41 52 51
2 2
c c

i i
a a
 
    , (3.17)
3.3. Hệ số phi tuyến Kerr
Sau khi tách phần thực và phần ảo của
(1)

và
(3)

, chúng ta được:
2
(1)
21
2 2 2 2
0
Nd A B
i
A B A B


 
 
 
 
 

, (3.18)

4
(3)
21
3 2 2 2 2 2 2
0 21
1
3
Nd B A A
i
A B A B A B


 
  
 
   
 

, (3.19)
ở đây, các biểu thức A và B được xác định bởi:
32 42 52
31 41 51
p
A A A
A
  
     , (3.20)
32 42 52
21
1 2

p c p c p c
A A A
B

 
   
          
, (3.21)
31
2 2
32 32
2 2
31
( )
( / 2)
( )
p c
c
p c
A a


  
 
   
, (3.22)
41 1
2 2
42 42
2 2

41 1
( )
( / 2)
( )
p c
c
p c
A a
 
 
   
 
    
, (3.23)
51 2
2 2
52 52
2 2
51 2
( )
( / 2)
( )
p c
c
p c
A a
 
 
   
 

    
. (3.24)
Theo hệ thức Kramer-Kronig, phần thực và phần ảo của độ cảm điện
được liên hệ trực tiếp với hệ số tán sắc và hệ số hấp thụ tuyến tính, tương ứng là:
2
21
2 2
0
"
p p
Nd
B
c c A B
  


 

, (3.25)
2
21
0
2 2
0
'
2 2
p p
Nd
A
n

c c A B
  

 

. (3.26)
Thay phương trình (3.19) vào phương trình (2.2), chúng ta tìm được
biểu thức của hệ số phi tuyến Kerr dựa vào các số hạng A và B như sau:

 
4
21
2
2 3
2
2
2 2
0 21
21
2 2
0
1
4
1
Nd AB
n
c
Nd B
A B
A B



 
  
 
 

 


. (3.27)
3.4. Điều khiển phi tuyến Kerr
Chúng tôi áp dụng các kết quả tính toán bằng giải tích ở trên cho môi
trường khí nguyên tử
85
Rb năm mức năng lượng bậc thang như Hình 3.2.
Các trạng thái,
1
,
2
,
3
,
4
và
5
tương ứng với các mức siêu tinh tế

15

1/2
5 ( 3)
S F

,
3/2
5 ( 3)
P F

,
5/2
5 ( 3)
D F

,
5/2
5 ( 4)
D F

và
5/2
5 ( 2)
D F

. Khoảng
cách giữa các trạng thái
3
,

4
và
5
trong nguyên tử
85
Rb tương tứng là
1
9MHz


và
2
7,6MHz


.

Hình 3.2. Sơ đồ năm mức năng lượng của nguyên tử
85
Rb.
Chúng tôi sử dụng môi trường nguyên tử
85
Rb được làm lạnh trong
bẫy quang từ có mật độ nguyên tử khoảng
14
10
N
 nguyên tử/
3
m

; mômen
lưỡng cực điện đối với dịch chuyển của chùm dò
29
21
1 6 10
d , C.m

 
, tỷ số
cường độ liên kết tỷ đối là
32 42 52
: : 1:1,46:0,6
a a a

, các tốc độ phân rã của
các trạng thái kích thích
21
6
MHz
 
và
32 42 52
0,97
MHz
     
và tần số
của dịch chuyển
1/2 3/2
5 5
S P


là
14
3,77 10
p
Hz

  .
3.4.1. Sự tăng cường phi tuyến Kerr
Để thấy được sự tăng cường của hệ số phi tuyến Kerr n
2
khi có EIT
so với khi không có EIT, chúng ta vẽ đồ thị của n
2
theo độ lệch tần số của
trường laser dò khi cố định tần số của trường laser điều khiển cộng hưởng
với dịch chuyển
2 3
 (tức là
0
c
 
) và tần số Rabi tại giá trị Ω
c
= 0 và
Ω
c
= 10 MHz. Lúc đó, sự biến thiên của n
2
theo

p

được mô tả như trên
Hình 3.3. Ở đây, đường liền nét màu đỏ là đồ thị của n
2
khi có mặt của
trường điều khiển (với Ω
c
= 10 MHz), đường đứt nét màu xanh là đồ thị
của n
2
khi không có mặt trường laser điều khiển (ứng với Ω
c
= 0), còn
đường chấm chấm màu đen là đồ thị hệ số hấp thụ (phổ EIT) khi có mặt
trường laser điều khiển.
Trên phương diện phổ hấp thụ, Hình 3.3 cho thấy sự có mặt của
trường laser điều khiển đã tạo nên hiệu ứng EIT với ba cửa sổ trong suốt.



16


Hình 3.3. Sự biến thiên của n
2
theo ∆
p
khi chọn
10MHz

c
 
(đường liền nét
màu đỏ) và khi
0
c
 
(đường gạch đứt nét màu xanh); đường chấm chấm màu
đen mô tả sự biến thiên của hệ hấp thụ (phổ EIT) khi
10MHz
c
 
. Cả ba đồ thị
được vẽ trong trường hợp
0
c
 
.
Trên phương diện xem xét sự biến đổi phi tuyến Kerr ta thấy, khi
không có mặt của trường laser điều khiển (
0
c
 
), hệ số phi tuyến Kerr n
2

trong lân cận cộng hưởng lớn gấp hàng triệu lần so với xa cộng hưởng
(xem đường đứt nét màu xanh). Ở xa cộng hưởng, giá trị của n
2
rất bé

không đáng kể.
Khi có mặt của trường laser điều khiển (tức là, khi có mặt hiệu ứng
EIT như trên Hình 3.3), công tua hệ số phi tuyến Kerr n
2
bị thay đổi và có
biên độ được tăng lên vài bậc và đạt cỡ 10
-5
cm
2
/W. Ngoài ra, trong mỗi
cửa sổ EIT thì giá trị của hệ số phi tuyến Kerr tách thành hai miền âm và
dương xen kẽ nhau. Độ cao của đường cong n
2
phụ thuộc vào cường độ
liên kết hiệu dụng của laser điều khiển đối với các dịch chuyển
2 3
 ,
2 4
 và
2 5
 .
3.4.2. Điều khiển phi tuyến Kerr theo tần số laser
Chúng ta xem xét ảnh hưởng của tần số laser điều khiển lên công tua
hệ số phi tuyến Kerr bằng cách khảo sát đồ thị n
2
theo các giá khác nhau
của ∆
c
. Ở đây, chúng tôi cố định tần số Rabi
10

c
 
MHz như trường hợp
ở Hình 3.3, còn độ lệch tần số được chọn tại các giá trị
2,5
c
  
MHz và
2,5
c
 
MHz. Đồ thị của n
2
theo ∆
p
được mô tả như trên Hình 3.4.



17


Hình 3.4. Sự biến thiên của n
2
theo ∆
p
tại các giá trị khác nhau của độ lệch tần
số của trường laser điều khiển
2,5
c

  
MHz (đường chấm chấm),
0
c
 

(đường liền nét) và
2,5
c
 
MHz (đường gạch đứt nét). Cường độ của trường
điều khiển được cố định tại giá trị của tần số Rabi
10
c
 
MHz.
Từ Hình 3.4 ta thấy rằng, khi tăng (ứng với
0
c
 
) hoặc giảm
(
0
c
 
) tần số laser điều khiển xung quanh tần số cộng hưởng nguyên tử
(
0
c
 

) thì công tua hệ số phi tuyến Kerr n
2
tương ứng bị dịch sang miền
tần số cao hoặc thấp.

Hình 3.5. Sự biến thiên của n
2
theo ∆
c
khi cố định độ lệch tần số của chùm laser
dò tại
4,5MHz
p
 
và tần số Rabi
10MHz
c
 
.
Cùng với sự dịch chuyển toàn hệ thống các miền âm và dương của n
2

thì công tua hệ số phi tuyến Kerr cũng bị biến dạng khi thay đổi tần số của



18

laser điều khiển nên ta có thể điều khiển thay đổi giá trị của hệ số phi tuyến
Kerr thông qua điều khiển tần số ω

c
. Chúng ta xét trường hợp đặc biệt với
độ lệch tần số của chùm laser dò cố định tại
4,5
p
MHz
 
và khảo sát đồ
thị của n
2
theo
c

. Từ Hình 3.5, chúng ta thấy rằng, có thể biến đổi từ một
cực tiểu âm của n
2
tăng lên đến một cực đại dương bằng cách tăng tần số của
chùm laser điều khiển một lượng 1,7 MHz.
Bằng cách tương tự, chúng ta xét trường hợp đặc biệt với độ lệch tần
số của chùm laser dò cố định tại
2MHz
p
  
(tương ứng với một cực trị
dương của n
2
như trên Hình 3.3) và khảo sát đồ thị của n
2
theo
c


. Từ Hình
3.6, chúng ta thấy rằng, có thể biến đổi từ một cực đại dương của n
2
về 0
và giảm xuống đến một cực tiểu âm bằng cách giảm tần số của chùm laser
điều khiển một lượng 1,2 MHz.

Hình 3.6. Sự biến thiên của n
2
theo ∆
c
khi cố định độ lệch tần số của chùm laser
dò tại
2MHz
p
  
và tần số Rabi
10MHz
c
 
.

3.4.3. Điều khiển phi tuyến Kerr theo cường độ laser
Trong mục này chúng ta khảo sát sự thay đổi của hệ số phi tuyến
Kerr theo cường độ của trường laser điều khiển (hay tần số Rabi). Chúng ta
xét trường hợp cố định độ lệch tần số của các trường laser tại
4,5MHz
p
 

và
0
c
 
(tương ứng với một cực tiểu của n
2
trên Hình 3.3) và khảo sát sự
biến đổi của n
2
theo
c

như trên Hình 3.7.



19


Hình 3.7. Sự biến thiên của n
2
theo
c

khi cố định
4,5
p
 
MHz và

0
c
 
.
Từ Hình 3.7 cho thấy cực trị âm này của n
2
được chuyển thành cực
đại dương khi giảm tần số Rabi một lượng khoảng
4
c
 
MHz và ngược
lại. Điều này có nghĩa là sự thay đổi cường độ trường laser điều khiển
không chỉ thay đổi được độ lớn mà cả về dấu của hệ số phi tuyến Kerr.
3.5. So sánh phi tuyến Kerr giữa các cấu hình
Với cấu hình hệ bốn mức, chúng tôi bỏ qua hệ số liên kết hiệu dụng
A
52
còn trường hợp cấu hình hệ ba mức thì bỏ qua đồng thời cả A
52
và A
42
.
Khi đó, đồ hệ số Kerr thu được cho mỗi cấu hình được vẽ trên Hình 3.8.

Hình 3.8. Sự biến thiên của n
2
theo
p


trong các cấu hình hệ nguyên tử năm
mức (đường liền nét), bốn mức (đường đứt nét) và ba mức năng lượng (đường
chấm chấm) khi
10MHz
c
 
.



20

Từ hình Hình 3.8 chúng ta thấy, so với cấu hình hệ ba và hệ bốn mức
năng lượng thì công tua hệ số phi tuyến Kerr của hệ năm mức có cùng biên
độ nhưng được trải trên miền phổ rộng hơn. Ngoài ra, hệ năm mức bậc
thang có nhiều miền giá trị âm và dương hơn so với các hệ ba và bốn mức
năng lượng.
3.6. Ảnh hưởng của mở rộng Doppler
Khi kể đến hiệu ứng Doppler, biểu thức của các độ cảm điện có dạng:
 
2
2
(1)
0 21
0
[1 ( )]
/
z
p
iN d

e erf z
u c


 
 

, (3.28)
 
 

2
4
(3)
0 21
2
3
21
0
1
2 1 [1 ( )]
2
3 /
z
p
iN d
ze erf z
u c
  
 

    






2 2
[1 ( )] [1 ( )]
z z
e erf z e erf z
z z





  






. (3.29)
trong đó,
*
z
là liên hợp phức của z và erf là hàm bù sai số. Từ đó, hệ số phi
tuyến Kerr được tính theo công thức (2.2) như trên.

Hình 3.9. Sự biến thiên của n
2
theo 
p
khi 
c
= 0 và 72
c
MHz
 
tại các nhiệt
độ khác nhau của môi trường nguyên tử: T = 340K (đường liền nét), T = 200K
(đường nét gạch) và T = 100K (đường chấm chấm).
Chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của nhiệt độ lên phi tuyến Kerr.
Ngoài các tham số đã được lấy như trên đây thì các tham số khác được
chọn: mật độ nguyên tử N
0
= 4,510
11
/cm
3
, khối lượng nguyên tử
25
1,44 10
m kg

  và
72
c

MHz
 
. Sự biến thiên của hệ số phi tuyến Kerr
n
2
theo
p

ở các nhiệt độ khác nhau được mô tả trên Hình 3.9. Kết quả cho



21

thấy sự gia tăng nhiệt độ sẽ làm giảm biên độ của hệ số Kerr. Nguyên nhân
của sự giảm biên độ phi tuyến Kerr khi tăng nhiệt độ là do sự giảm độ kết
hợp giữa các trạng thái lượng tử trong nguyên tử khi chuyển động nhiệt
của các nguyên tử tăng lên dẫn đến giảm hiệu suất biến đổi EIT.
Để kiểm chứng kết quả khi xét đến ảnh hưởng của mở rộng Doppler,
chúng tôi so sánh với các phép đo thực nghiệm được thực hiện bởi nhóm
nghiên cứu ở Hoa Kì. Sự biến thiên của hệ số phi tuyến Kerr n
2
theo
p

được mô tả trên Hình 310, trong đó đường liền nét ứng với khi có EIT
còn đường đứt nét ứng với khi không có EIT. Từ Hình 3.10 ta thấy, có sự
phù hợp tốt giữa kết quả tính toán lý thuyết trong đề tài này với phép đo
thực nghiệm.

Hình 3.10. Sự biến thiên của n
2
theo 
p
khi 
c
= 0 và
72
c
MHz
 
: (a) tính toán
lý thuyết trong luận án này (đường liền nét biểu thị khi có EIT và đường đứt nét
khi không có EIT); (b) phép đo thực nghiệm (đường chấm vuông khi có EIT và
đường chấm tròn khi không có EIT).



22

KẾT LUẬN CHUNG
Dựa trên khả năng cảm ứng đồng thời các trạng thái lượng tử gần nhau
bởi một trường laser mạnh theo quy tắc dịch chuyển lưỡng cực điện, chúng tôi
đã đề xuất mô hình hệ lượng tử năm mức năng lượng cấu hình bậc thang để tăng
cường phi tuyến Kerr dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (EIT).
Sử dụng lý thuyết bán cổ điển kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn dừng trong
giới hạn gần đúng trường yếu và gần đúng sóng quay, độ cảm bậc ba và hệ số
phi tuyến Kerr của hệ lượng tử năm mức năng lượng đã được dẫn ra như là hàm
của tham số cấu trúc nguyên tử và của laser điều khiển. Kết quả giải tích thu

được trong luận án sẽ cung cấp thông tin quan trọng cho triển khai các nghiên
cứu ứng dụng cần biết chính xác hệ số phi tuyến Kerr.
Kết quả giải tích thu được trong đề tài này có thể áp dụng cho các hệ nguyên
tử hoặc phân tử có cấu trúc phổ phù hợp với mô hình hệ lượng tử năm mức bậc
thang. Hơn nữa, kết quả thu được cho hệ năm mức hoàn toàn có thể quy về cho các
hệ ba hoặc bốn mức năng lượng đã được nghiên cứu trước đây.
Để minh họa ứng dụng của mô hình đã được đề xuất vào trong thực tế,
chúng tôi áp dụng cho hệ nguyên tử
85
Rb. Kết quả nghiên cứu cho thấy, độ phi
tuyến Kerr trong ba miền phổ EIT lớn hơn vài bậc so với khi không có EIT và
lớn hơn cỡ sáu bậc so với phi tuyến Kerr của vật liệu truyền thống. Do đó, sử
dụng môi trường phi tuyến Kerr được tăng cường bởi EIT vào thiết bị quang tử
sẽ cho phép giảm ngưỡng (tức là tăng độ nhạy) cỡ hàng triệu lần so với sử dụng
vật liệu truyền thống.
Sự tăng cường phi tuyến Kerr trong miền phổ rộng là một ưu điểm nổi bật
của mô hình năm mức năng lượng được đề xuất trong đề tài này so với các mô
hình ba hoặc bốn mức đã được nghiên cứu trước đây. Ngoài ra, trong mỗi cửa sổ
EIT, giá trị của hệ số phi tuyến Kerr được phân tách thành hai miền ngược dấu
nhau. Đặc biệt, biên độ và dấu của giá trị hệ số phi tuyến Kerr có thể điều khiển
được bằng cách thay đổi tần số và/hoặc cường độ của trường laser điều khiển.
Chúng tôi đã khảo sát ảnh hưởng của mở rộng Doppler lên phi tuyến
Kerr. Kết quả cho thấy biên độ phi tuyến Kerr giảm khi chuyển động nhiệt của
môi trường nguyên tử tăng lên. Đây cơ sở cho lựa chọn các tham số phù hợp để
điều khiển các quá trình phi tuyến Kerr ở nhiệt độ khác nhau.
Việc tìm ra được biểu thức giải tích của hệ số phi tuyến Kerr theo các
tham số có ý nghĩa quan trọng bởi nó không chỉ cho phép chúng ta nghiên cứu
định lượng về sự tăng cường và khả năng điều khiển phi tuyến Kerr của môi
trường EIT mà làm cơ sở cho lựa chọn chính xác tham số thực nghiệm kiểm
chứng. Ngoài ra, kết quả giải tích đã góp phần làm sáng tỏ bản chất của sự tăng

23

cường phi tuyến Kerr dựa trên hiệu ứng EIT và định hướng cho các nghiên cứu
ứng dụng trong chế tạo các thiết bị quang tử có ngưỡng phi tuyến thấp.
Các kết quả nghiên cứu trong luận án đã được công bố trong 03 bài
báo trên các tạp chí quốc tế trong danh mục ISI.