Một số phạm trù cơ sở của đại số hiện đại

Mục lục
Mở đầu 4
1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHẠM TRÙ 6
1.1 Phạm trù - phạm trù con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Định nghĩa phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Phạm trù con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Nguyên lý đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Phạm trù đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Nguyên lý đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Đơn xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Toàn xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Vật con - Vật thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Vật con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Vật thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Đẳng hóa - Đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Ảnh - Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1 Ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2 Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Vật khởi đầu - Vật tận cùng - Vật không - Xạ không . . . . . . . 19
1.7.1 Vật khởi đầu - Vật tận cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.2 Vật không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1
1.7.3 Xạ không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Hạt nhân - Đối hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.1 Hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.2 Đối hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8.3 Chuẩn tắc - Đối chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 Tổng trực tiếp - Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9.1 Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9.2 Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10 Cái kéo lại - Cái đẩy đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10.1 Cái kéo lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10.2 Cái đẩy đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 MỘT SỐ PHẠM TRÙ CỤ THỂ CỦA ĐẠI SỐ 34
2.1 Phạm trù các tập hợp (Sets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Mô tả phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Đẳng hóa - đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.4 Ảnh - Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Phạm trù các nhóm (Nh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Mô tả phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Đẳng hóa - đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 Ảnh - Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.5 Vật không - xạ không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.6 Hạt nhân - Đối hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.7 Chuẩn tắc - Đối chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.8 Cái kéo lại - Cái đẩy đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Phạm trù các môđun trên vành giao hoán (Mod
R
) . . . . . . . . . 53
2.3.1 Mô tả phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . 54
2.3.3 Đẳng hóa - đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.4 Ảnh - Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.5 Vật không - xạ không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.6 Hạt nhân - Đối hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
Tài liệu tham khảo 61
3
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Lý thuyết tập hợp, do G.Cantor (1845 – 1918) đề xướng và xây dựng từ 1874
tới 1895, đến đầu thế kỷ XX đã gặp một cơn khủng hoảng, vì người ta sớm
phát hiện ra trong lý thuyết đó nhiều nghịch lý. Nổi tiếng nhất là nghịch lý do
B.Russel (1872 – 1970) đề xuất trong một bức thư gửi cho Frege (1849 – 1925)
năm 1908. Nội dung của nó như sau:
Một tập hợp nói chung không tự chứa mình làm phần tử. Chẳng hạn như
tập hợp các số tự nhiên không phải là một số tự nhiên. Tập hợp các tam giác
không phải là một tam giác. Tuy nhiên, cũng có những tập hợp tự chứa mình
làm phần tử. Chẳng hạn tập hợp các khái niệm trừu tượng là một khái niệm
trừu tượng.
Bây giờ ta hãy xét tập hợp M gồm tất cả các tập hợp X không tự chứa mình
làm phần tử.
{M = X | X /∈ X}
Tập hợp M có tự chứa mình làm phần tử hay không ?
Nếu M ∈ M thì theo định nghĩa của M, M /∈ M. Mâu thuẫn. Nếu M /∈ M thì
lại theo định nghĩa M ∈ M. Mâu thuẫn.
Để giải quyết những nghịch lý này, ta sẽ xem xét các khái niệm “lớp”, “thuộc”,
“bằng nhau” như những khái niệm nguyên thủy. Xuất phát từ những khái niệm
ấy người ta xây dựng những lý thuyết tiên đề về tập hợp. Từ đây khái niệm tập
hợp được định nghĩa qua khái niệm lớp: Một lớp A là một tập hợp nếu và chỉ
nếu nó là phần tử của một lớp B.
Sau khủng hoảng của lý thuyết tập hợp, nhiều lý thuyết toán học mới ra đời.
Một trong những lý thuyết có tác động lớn đến đại số hiện đại chính là lý thuyết
phạm trù. Cùng với đại số đồng điều, lý thuyết phạm trù chiếm một vị trí ngày

càng quan trọng trong sự phát triển của đại số hiện đại. Lý thuyết phạm trù là
một nội dung cơ bản của đại số. Người được xem là cha đẻ của lý thuyết phạm
trù với các thuật ngữ “phạm trù”, “hàm tử”, “biến đổi tự nhiên” là nhà toán
học người Mỹ Saunders Mac Lane. Cùng với Sammy Eilenberg, ông tạo ra một
lý thuyết mới, một ngôn ngữ mới và những cách nghĩ mới cho đại số hiện đại.
Trong tương lai, những khái niệm cơ sở của lý thuyết ngày sẽ trở thành cần
thiết cho một số lượng lớn các ngành toán học lý thuyết và ứng dụng, giống như
quá trình đã từng diễn ra trước đây đối với lý thuyết tập hợp. Lý thuyết phạm
4
trù là một ngôn ngữ đại số hiện đại mang tính trừu tượng cao tổng quát. Vì
thế, làm quen với lý thuyết này là một đòi hỏi thực tế của nhiều người làm toán
hiện nay.
Với những lý do trên tôi quyết định chọn : “ Một số phạm trù cơ sở của đại
số hiện đại” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục tiêu khóa luận
- Cụ thể hóa các khái niệm cơ bản của lý thuyết phạm trù trong một số phạm
trù cụ thể của đại số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Bước đầu nghiên cứu cấu trúc đại số hiện đại đó là lý thuyết phạm trù, cụ
thể là một số phạm trù cơ bản của đại số.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có
liên quan đến lý thuyết phạm trù rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài liệu,
giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của
khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Lý thuyết phạm trù.

- Phạm vi: Một số phạm trù cơ bản của đại số.
6. Bố cục khóa luận
- Chương 1: Các khái niệm cơ bản về phạm trù
- Chương 2: Một số phạm trù cụ thể của đại số
5
Chương 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ
PHẠM TRÙ
1.1 Phạm trù - phạm trù con
1.1.1 Định nghĩa phạm trù
Cho một phạm trù P là cho các dữ kiện sau:
• Lớp P các phần tử của P gọi là các vật, kí hiệu A,B,C
• ∀ A, B ∈ P, Mor[A, B] là tập hợp các ánh xạ (hay cấu xạ) từ A đến B.
(Mor[A, B] có thể rỗng)
Hai tập hợp Mor[A, B] và Mor[A

, B

] bao giờ cũng rời nhau, trừ khi A ≡ A

và B ≡ B

thì Mor[A, B] = Mor[A

, B

].
Với mỗi f ∈ Mor[A, B], f được gọi là xạ (hay cấu xạ) từ A đến B.
Kí hiệu f : A → B hay A
f

→ B
• A, B, C ∈ P, cho ánh xạ:
Mor[B, C] × Mor[A, B] → Mor[A, C]
(g, f) → g ◦ f (hay gf)
g ◦ f gọi là hợp thành của hai xạ f và g.
Phép hợp thành phải thỏa mãn hai tiên đề:
1. Phép hợp thành có tính kết hợp. Tức là:
∀ f : A → B, g: B → C, h: C → D: (hg)f = h(gf)
2. ∀ A ∈ P, ∃1
A
∈ Mor[A, A] sao cho:

∀f : A → B, f ◦ 1
A
= f
∀g : C → A, 1
A
◦ g = g
1
A
được gọi là xạ đồng nhất của vật A.
Với mỗi vật A, xạ đồng nhất là duy nhất. Thật vậy, giả sử e cũng là xạ đồng
6
nhất của vật A thì:
e = e ◦ 1
A
= 1
A
1.1.2 Phạm trù con
Phạm trù C gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu:

• Mọi vật của C đều là vật của P.
• ∀ A, B ∈ C, Mor[A, B]
C
⊂ Mor[A, B]
P
.
• Phép hợp thành trong C trùng với phép hợp thành trong P.
• ∀ A ∈ C: xạ 1
A
trong C trùng với xạ 1
A
trong P.
1.1.3 Ví dụ
Phạm trù tập hợp T h
Phạm trù tập hợp T h có
• Vật là các tập hợp.
• Xạ: Với hai tập hợp bất kì A, B:
Mor[A, B]= {f : A → B|f là ánh xạ} (A; B = 0)
Mor[A, ∅] = ∅ (A = ∅)
Mor[∅, A] có một xạ duy nhất gọi là xạ rỗng.
• Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai ánh xạ.
Phạm trù các tập hợp được đánh dấu T h
0
:
Phạm trù các tập hợp được đánh dấu T h
0
có:
• Vật là các cặp thứ tự (A, a); trong đó A là một tập hợp, a là một phần tử
của tập A.
• Xạ: Với hai vật bất kì (A, a); (B, b):

Mor[(A, a); (B, b)]= {f : A → B là ánh xạ |f(a) = b }.
• Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai ánh xạ.
Phạm trù các không gian tô pô T op:
Phạm trù các không gian tô pô T op có:
• Vật là các không gian tô pô.
• Xạ: Với hai không gian tô pô bất kì X, Y :
Mor[X, Y ]= {f : X → Y |f là ánh xạ liên tục}.
• Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai ánh xạ.
7
Phạm trù các không gian tô pô được đánh dấu T op
0
:
Phạm trù các không gian tô pô T op
0
có:
• Vật là các cặp thứ tự (X, a), trong đó X là một không gian tô pô. a là một
phần tử của không gian X.
• Xạ: Với hai vật bất kì (X, a); (Y, b):
Mor[(X, a); (Y, b)]= {f : X → Y | là ánh xạ liên tục |f(a) = b }.
• Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai ánh xạ.
Phạm trù các nhóm Nh:
Phạm trù các nhóm Nh có:
• Vật là các nhóm.
• Xạ: Với hai nhóm bất kì A, B:
Mor[A, B]= {f : A → B|f là đồng cấu nhóm }.
• Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai đồng cấu nhóm.
Nhận xét:
• Tương tự như phạm trù các nhóm, ta cũng định nghĩa được: phạm trù các
nhóm Abel Ab; phạm trù các vành V a; phạm trù các module Mod . . .
• Phạm trù các nhóm Abel Ab là phạm trù con của phạm trù các nhóm Nh.

• Phạm trù các nhóm Nh không phải là phạm trù con của các phạm trù các
tập hợp T h, vì hay nhóm khác nhau có thể có cùng chung một tập hợp nền.
Tương tự, các phạm trù T op, V a, Mod đều không phải là phạm trù con
của phạm trù T h.
Tập hợp S cùng với quan hệ thứ tự(S; ≤)
• Vật là các phần tử thuộc tập hợp S.
• Xạ: Với hai phần tử bất kì a, b:
• Hợp thành của hai xạ được định nghĩa như sau:(b, c) ◦ (a, b) = (a, c)
Với cách định nghĩa trên, (S; ≤) là một phạm trù. Phạm trù này không phải
là phạm trù con của phạm trù T h.
Ta có thể xây dựng một phạm trù từ bất kì một biểu đồ giao hoán nào.
Giả sử xét hình vuông giao hoán như sau:
A
f
GG
1
A
ØØ
k

h
44
B
g

1
B
ØØ
D
m

GG
1
D
ii
C
1
C
ii
8
• Vật là các đỉnh hình vuông A, B, C, D.
• Xạ là các mũi tên.
• Hợp thành các xạ: gf = h; mk = h.
• Các xạ đồng nhất 1
A
; 1
B
; 1
C
; 1
D
.
1.2 Nguyên lý đối ngẫu
1.2.1 Phạm trù đối ngẫu
Giả sử P là một phạm trù. Xuất phát từ phạm trù P ta định nghĩa một phạm
trù mới P
∗
như sau:
• Các vật của P
∗
là các đối tử của các vật của P, tức là các phần tử nằm

trong một tương ứng 1-1 cố định với các phần tử của P.
Kí hiệu đối tử của A ∈ mathcalP ) là A
∗
∈ mathcalP
∗
)
Thông thường, người ta lấy ngay P làm P
∗
, ánh xạ đồng nhất làm tương
ứng nói trên.
• A
∗
, B
∗
∈ P
∗
: Mor[A
∗
, B
∗
]
P
∗
là tập hợp các đối tử của phần trong Mor[B, A]
P
.
Kí hiệu đối tử của f : B → A là f
∗
: A
∗

→ B
∗
.
• Định nghĩa phép hợp thành của f
∗
: A
∗
→ B
∗
và g
∗
: B
∗
→ C
∗
dựa trên đối
tử của phép hợp thành của g : C → B và f : B → A. Tức là: g
∗
f
∗
= (fg)
∗
.
• Xạ đồng nhất: 1
A
∗
= (1
A
)
∗

1.2.2 Nguyên lý đối ngẫu
a) Nguyên lý:
"Mỗi mệnh đề của lý thuyết phạm trù đều có một mệnh đề đối ngẫu."
Như vậy, khái niệm trong phạm trù có khái niệm đối ngẫu, định lý trong phạm
trù có định lý đối ngẫu.
b) Quy tắc để xác định mệnh đề đối ngẫu:
Ta giữ nguyên cấu trúc logic của mệnh đề đã cho, sau đó thay tất cả các xạ
f
∗
: A
∗
→ B
∗
bằng các xạ f
∗
: B
∗
→ A
∗
, thay tất cả các hợp thành gf thành các
hợp thành fg.
Một khái niệm gọi là tự đối ngẫu khi và chỉ khi nó trùng với đối ngẫu của nó.
9
1.3 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ
1.3.1 Đơn xạ
a) Định nghĩa:
Xạ f : A → B gọi là đơn xạ nếu mọi cặp xạ α, β ∈ Mor[C, A] thỏa mãn fα=
fβ thì α= β.
b) Tính chất:
1. Hợp thành của hai đơn xạ là một đơn xạ.

Chứng minh. Cho hai đơn xạ f : A → B và g : B → C. Ta xét xạ: gf : A → C.
Lấy hai xạ α, β : D → A sao cho (gf)α=(gf)β
⇒ g(fα)= g(fβ) (do tính kết hợp của phép hợp thành)
⇒ fα= fβ (do g là đơn xạ)
⇒ α=β (do f là đơn xạ)
Vậy gf là đơn xạ.
2. Nếu gf là đơn xạ thì f là đơn xạ.
Chứng minh. Giả sử f : A → B và g : B → C là hai xạ thỏa mãn gf : A → C là
đơn xạ.
Lấy hai xạ α, β : D → A sao cho → fα= fβ.
⇒ g(fα)= g(fβ)
⇒ (gf)α)= (gf)β) (do tính kết hợp của phép hợp thành)
⇒ α= β (do gf là đơn xạ)
Vậy f : A → B là đơn xạ.
1.3.2 Toàn xạ
a) Định nghĩa:
Xạ f : A → B gọi là toàn xạ nếu mọi cặp xạ α, β ∈ Mor[B, C] thỏa mãn αf = βf
thì α = β.
b) Tính chất:
1. Hợp thành của hai toàn xạ là một toàn xạ.
10
2. Nếu gf là toàn xạ thì g là toàn xạ.
Những tính chất này hoàn toàn chứng minh tương tự như tính chất của đơn
xạ. Ngoài ra, ta cũng nhận thấy rằng: Toàn xạ và đơn xạ là hai khái niệm
đối ngẫu.
1.3.3 Song xạ - Đẳng xạ
a) Định nghĩa:
• Xạ f : A → B gọi là song xạ nếu f vừa là toàn xạ vừa là đơn xạ.
• Nếu tồn tại xạ g : B → A sao cho


g ◦ f = 1
A
f ◦ g = 1
B
thì ta nói f là đẳng xạ.
• Nếu có đẳng xạ f : A → B, ta nói hai vật A và B tương đương. Kí hiệu
A ≈ B (hayA
f
≈ B).
b) Tính chất:
1. Trong định nghĩa của đẳng xạ f, xạ g gọi là xạ nghịch đảo của f, kí hiệu
g = f
−
1. Xạ f
−
1 nếu tồn tại thì xác định duy nhất và cũng là đẳng xạ.
Chứng minh. Giả sử có xạ g

cũng là xạ nghịch đảo của xạf. Khi đó:
⇒ g

= g

◦ 1
B
= g

◦ (f ◦ f
−
1) = (g


◦ f) ◦ f
−
1 = (1
A
) ◦ f
−
1 = f
−
1.
Vật f
−
1 là duy nhất. Hơn nữa (f
−
1)
−1
= f nên f
−
1 là một đẳng xạ.
2. Mọi đẳng xạ đều là song xạ.
Chứng minh. Giả sử xạ f : A → B là đẳng xạ ⇔ ∃ f
−1
: B → A thỏa mãn





f
−1

◦ f = 1
A
f ◦ f
−1
= 1
B
 f là đơn xạ. Thật vậy:
Lấy hai xạ α, β : X → A sao cho fα= fβ.
⇒ f
−1
(fα)= f
−
1(fβ)
⇒ ((f
−1
)f)α= ((f
−1
)f)β
(1)
⇒ 1
A
◦ α = 1
A
◦ β
⇒ α = β
11
⇒ f là đơn xạ.
 f là toàn xạ. Thật vậy:
Lấy hai xạ α, β : B → X sao cho αf= βf.
⇒ (αf)f

−1
= βf)f
−1
⇒ (α(f ◦ f
−1
)= (β(f ◦ f
−1
)
(2)
⇒ α ◦ 1
B
= β ◦ 1
B
⇒ α = β
⇒ f là toàn xạ.
Vậy f là song xạ.
3. Có những song xạ không là đẳng xạ
Ví dụ: Xét trong phạm trù V a, ánh xạ nhúng i : Z → Q là đồng cấu vành, nên i
là một xạ. Hơn nữa, i là một đơn cấu.
 i là đơn xạ. Thật vậy:
Lấy α, β : X → Z là hai đồng cấu vành thỏa mãn iα= iβ.
⇒ ∀ x ∈ X : iα(x) = iβ(x)
⇒ i(α(x)) = i(β(x))
⇒ α(x) = β(x) (Do i là đơn cấu)
⇒ α = β
⇒ i là đơn xạ.
 i là toàn xạ. Thật vậy:
Lấy α, β : Q → X là hai đồng cấu vành thỏa mãn αi = βi. Ta có:
Q là một trường iđean Kerα chỉ có thể là Q hoặc là 0.
TH1: Kerα = Q ⇒ Kerβ = Q. Thật vậy:

Nếu iđêan Kerβ = Q ⇒ Kerβ = 0
⇒ ∀ n ∈ Z : n = 0 sao cho βi(n) = β(n) = 0
mà αi(n) = α(n) = 0 (do Kerα = Q)
⇒ αi(n) = βi(n)
Điều này mâu thuẫn với giả thiết αi = βi. Vậy Kerβ = Q.
Khi đó: α = β = 0. (1).
TH2: Kerα = 0 ⇒ Kerβ = 0.
⇒ α, β là những đơn cấu.
Ta có ∀ n ∈ Z:
αi(n) = βi(n) ⇒ α(n) = β(n) (vì i(n) = n; ∀n ∈ Z)
⇒ α(Z) = β(Z).
Mặt khác α(Q) và β(Q) là hai trường đẳng cấu với trường Q (do α, β là những
đơn cấu) có cùng đơn vị là α(0) đối với phép cộng và α(1) đối với phép nhân.
⇒ K = α(Q) ∩ β(Q) là một trường, có chứa tập con là α(Z) = β(Z). Do đó ∀
n ∈ Z ∃ x
n
∈ K ⊂ X là nghịch đảo của α(n) = β(n). Khi đó ∀ x =
m
n
∈ Q với
m, n ∈ Z và n > 0 α(n)α(x)) = α(nx) = α(m) = β(m) = β(nx) = β(n)β(x)
⇒ x
n
α(n)α(x) = x
n
β(n)β(x)
12
⇒ α(x) = β(x). (2)
Từ (1) và (2) suy ra trong mọi trường hợp α = β.
 i là đơn cấu, nhưng không toàn cấu, nên i không phải là đẳng cấu. Do đó i

không có ánh xạ nghịch đảo, hay nói cách khác, i không phải là đẳng xạ.
Vậy xạ i là song xạ nhưng không phải là đẳng xạ.
4. Một phạm trù gọi là cân bằng nếu mọi song xạ trong phạm trù đó đều
là đẳng xạ.
1.4 Vật con - Vật thương
1.4.1 Vật con
a) Định nghĩa vật con:
Vật A

được gọi là vật con của vật A nếu tồn tại đơn xạ u : A → A

b) Lớp các vật con của A : P (A):
Trong P (A) có quan hệ thứ tự
A
1
γ

u
GG
A
A
2
v
``
Cho hai phần tử A
1
(u : A
1
→ A) và A
2

(v : A
2
→ A) của lớp P(A). A
1
được gọi
là đứng trước A
2
hay xạ u nhỏ hơn xạ v (Có thể viết là u ≤ v), nếu tồn tại xạ
γ : A
1
→ A
2
sao cho u = vγ.
• γ là đơn xạ và là duy nhất.
Thật vậy:
Do u = vγ là đơn xạ nên γ là đơn xạ, (Do 1.3.1, tính chất 2)
Giả sử còn có xạ γ

: A
1
→ A
2
sao cho u = vγ

⇒ vγ

= vγ ⇒ γ

= γ (Do v là đơn xạ).
• Nếu A

1
đứng trước A
2
và A
2
đứng trước A
1
thì A
1
≈ A
2
.
Thật vậy, ta có: A
1
đứng trước A
2
⇔ ∃γ : A
1
→ A
2
thỏa mãn u = vγ
A
2
đứng trước A
1
⇔ ∃γ

: A
2
→ A

1
thỏa mãn v = uγ

⇒ u ◦ 1
(
A
1
) = vγ = (uγ

)γ = u(γ

γ) ⇒ 1
(
A
1
) = γ

γ (Do u là đơn xạ).
Tương tự: γ

γ = 1
(
A
2
). Vậy A
1
≈ A
2
.
13

1.4.2 Vật thương
Vật thương là khái niệm đối ngẫu của khái niệm vật con.
a) Định nghĩa vật thương:
Vật A

gọi là vật thương của vật A nếu tồn tại toàn xạ p : A → A

.
b) Lớp các vật thương của A : P
∗
(A)
Trong P
∗
(A) có quan hệ thứ tự.
A
p
GG
q
44
A
1
A
2
γ
yy
Cho hai phần tử A
1
(p : A → A
1
) và A

2
(p : A → A
2
) của lớp P
∗
(A). A
1
được gọi
là đứng trước A
2
, hay xạ p nhỏ hơn xạ q (Có thê viết là p ≤ q) nếu tồn tại xạ
γ : A
2
→ A
1
sao cho p = γq.
Tương tự như với các lớp vật con, ta dễ dàng rút ra được những nhận xét
sau:
• γ là toàn xạ và duy nhất.
• Nếu A
1
đứng trước A
2
và A
2
đứng trước A
1
thì A
1
≈ A

2
.
1.5 Đẳng hóa - Đối đẳng hóa
1.5.1 Đẳng hóa
a) Định nghĩa:
Cho hai xạ α, β : A → B. Một xạ u : K → A được gọi là cái đẳng hóa của
hai xạ α, β nếu xạ u thỏa mãn hai điều kiện:
K
u
GG
A
α
GG
β
GG
B
K

γ
yy
u

``
(i) αu = βu.
(ii) ∀ u

: K

→ A cũng thỏa mãn αu


= βu

thì ∃! γ : K

→ K sao cho u

= uγ.
Kí hiệu: u = Ker(α, β).
b) Tính chất:
1. u = Ker(α, β) là một đơn xạ.
14
Chứng minh.
K
u
GG
A
α
GG
β
GG
B
X
f
yy
g
yy
u

``
Lấy hai xạ f, g : X → K thỏa mãn uf = ug = u


.
⇒ αu

= αuf = βuf = βu

(do(i)).
Do (ii) nên ∃! γ : X → K sao cho u

= uγ.
Mà u

= uf = ug nên γ = f = g.
Vậy xạ u là đơn xạ.
2. Cái đẳng hóa của hai xạ là duy nhất, sai khác một đẳng xạ.
Chứng minh. Giả sử u : K → A và u

: K

→ A đều là cái đẳng hóa của hai xạ
α, β : A → B.
K
γ


u
55
A
α
GG

β
GG
B
K

γ
yy
u

``
⇒





∃!γ : K

→ K, u

= uγ
∃!γ

: K → K

, u = u

γ

⇒






u

= u

γ

γ
u = uγγ

⇒





1
K
= γ

γ
1
K

= γγ


(do u, u

là đơn xạ).
Vậy γ là đẳng xạ.Ta có đpcm
3. Cho hai xạ α, β : A → B. Khi đó α = β ⇔ Ker(α, β) = 1
A
Chứng minh. (⇒) Ta kiểm tra xem xạ 1
A
có thỏa mãn 2 điều kiện của cái đẳng
hóa hay không.
A
1
A
GG
A
α
GG
β
GG
B
K
yy
u
``
15
(i) α ◦ 1
A
= α = β = β ◦ 1
A
.

(ii) Giả sử xạ u : K → A cũng thỏa αu = βu. Khi đó tồn tại duy nhất xạ
γ = u : K → A sao cho u = u ◦ 1
A
= γ ◦ 1
A
.
Vậy Ker(α, β) = 1
A
.
(⇐) Ta có Ker(α, β) = 1
A
⇒ α ◦ 1
A
= β ◦ 1
A
⇒ α = β .
4. Phạm trù mà mọi cặp xạ α, β : A → B đều có cái đẳng hóa được gọi là
phạm trù có đẳng hóa.
1.5.2 Đối đẳng hóa
Đối đẳng hóa là khái niệm đối ngẫu của khái niệm đẳng hóa.
a) Định nghĩa:
Cho hai xạ α, β : A → B Một xạ p : B → Q được gọi là cái đối đẳng hóa
của hai xạ α, β nếu xạ p thỏa mãn hai điều kiện:
A
α
GG
β
GG
B
p

GG
p

44
Q
γ

Q

(i) pα = pβ.
(i) ∀p

: B → Q

thỏa mãn p

α = p

β thì ∃!γ : Q → Q

sao cho p

= γp.
Kí hiệu: p = CoKer(α, β).
b) Tính chất:
1. p = CoKer(α, β) là một toàn xạ.
2. Cái đối đẳng hóa của hai xạ là duy nhất, sai khác một đẳng xạ.
3. Cho hai xạ α, β : A → B. Khi đó α = β ⇔ CoKer(α, β) = 1
B
4. Phạm trù mà mọi cặp xạ α, β : A → B đều có cái đối đẳng hóa được gọi là

phạm trù có đối đẳng hóa.
1.6 Ảnh - Đối ảnh
1.6.1 Ảnh
a) Định nghĩa:
16
Cho xạ f : A → B. Ảnh của xạ f chính là vật con nhỏ nhất trong lớp các
vật con của B sao cho xạ f phân tích được qua nó. Nói cách khác, ảnh của xạ f
là đơn xạ u : I → B thỏa mãn hai điều kiện:
A
f
GG
α
44
α

%%
B
I
u
``
γ

I

u

ii
(i) ∃α : A → I sao cho f = uα.
(ii) Nếu xạ f còn có thể phân tích được qua đơn xạ u


: I

→ B như sau: f = u

α

với α

: A → I

, thì tồn tại xạ γ : I → I

sao cho u = u

γ.
Kí hiệu u = Imf.
Nhận xét:
• γ là đơn xạ và duy nhất.
• Ảnh u = Imf là duy nhất, sai khác một đẳng xạ.
b) Tính chất:
1. Nếu xạ f là đơn xạ thì ảnh của xạ f chính là f : Imf = f.
Chứng minh. Giả sử f là đơn xạ. Ta kiểm tra xem f có thỏa mãn hai điều
kiện của ảnh hay không.
A
f
GG
1
A
44
u


%%
B
I
f
``
γ

I

u
ii
(i) f = 1
A
◦ f.
(ii) Giả sử xạ f còn phân tích được qua đơn xạ u : I → B như sau: f = uu

với xạ u

: A → I. Khi đó tồn tại xạ γ = u

: A → I thỏa mãn uu

= f.
Vậy Imf = f.
2. Trong phạm trù có đẳng hóa, cho xạ f : A → B. Xạ f có sự phân tích qua
ảnh như sau:
f : A
f


→ I
u
→ B
Khi đó: f

là toàn xạ.
17
Chứng minh.
C
A
f

GG
f
44
I
u
GG
β
yy
α
yy
γ


B
K
v
yy
uv

``
Lấy hai xạ α, β : I → C thỏa mãn αf

= βf

(1)
Ta sẽ chứng minh α = β.
Do đây là phạm trù có đẳng hóa nên tồn tại Ker(α, β) = v : K → I.
(1) ⇒ ∃ γ : A → K sao cho f

= vγ
⇒ f = uf

= u(vγ) = (uv)γ (2)
Do u = Imf nên (2) ⇒ ∃ γ

: K → I thỏa mãn u = (uv)γ

= u(vγ

)
⇒ 1
I
= vγ

(do u là đơn xạ).
mà αv = βv (Do v = Ker(α, β))
⇒ αvγ

= βvγ


⇒ α ◦ 1
I
= β ◦ 1
I
⇒ α = β.
Ta có đpcm. Vậy f

là toàn xạ.
3. Trong phạm trù cân bằng, cho xạ f có ảnh. Nếu xạ f phân tích được dưới
dạng f : A
f

→ I
u
→ B, trong đó f

là toàn xạ và u là đơn xạ thì u = Imf.
Chứng minh. Giả sử Imf = u

: I

→ B. Ta chứng minh I ≈ I

.
Thật vậy, ta có: f = uf

⇒ ∃!γ : I

→ I sao cho u


= uγ mà u

là đơn xạ nênγ
là đơn xạ (1)
f : A
f

GG
f

55
I
u
GG
B
I

γ
yy
u

``
Gọi f

: A → I

là xạ thỏa mãn f = u

f


⇒ f = u

f

= u

f

= (uγ)f

= u(γf

) ⇒ f

= γf

(do u là đơn xạ).
mà f

là toàn xạ nên γ là toàn xạ. (2)
Từ (1) và (2) ta có γ là song xạ. Mặt khác, do phạm trù là cân bằng nên γ
cũng là đẳng xạ.
Vậy I ≈ I

. Ta có đpcm.
4. Phạm trù mà mọi xạ đều có ảnh được gọi là phạm trù có ảnh.
18
1.6.2 Đối ảnh
Đối ảnh là khái niệm đối ngẫu của khái niệm ảnh.

a) Định nghĩa:
Cho xạ f : A → B. Đối ảnh của xạ f là vật thương nhỏ nhất trong lớp các
vật thương của A sao cho xạ f có thể phân tích được qua nó. Nói cách khác, đối
ảnh của xạ f là toàn xạ p : A → Q thỏa mãn hai điều kiện:
A
f
GG
p
44
p

%%
B
Q
α
``
Q

γ
yy
α

ii
(i) ∃ α : Q → B saocho f = αp.
(ii) Nếu xạ f còn phân tích được qua toàn xạ p

: A → Q

như sau: f = α


p

, với
xạ α

: Q

→ B, thì tồn tại xạ γ : Q

→ Q sao cho p = γp

Kí hiệu p = CoImf.
Nhận xét:
• γ là toàn xạ và duy nhất.
• Đối ảnh p = CoImf là duy nhất sai khác một đẳng xạ.
b) Tính chất:
1. Nếu xạ f là toàn xạ thì đối ảnh của xạ f chính là f : CoImf = f.
2. Trong phạm trù có đối đẳng hóa, cho xạ f : A → B có thể phân tích qua
đối ảnh như sau:
f : A
p
→ Q
f

→ B
Khi đó f

là đơn xạ.
3. Trong phạm trù cân bằng, cho xạ f có đối ảnh. Nếu xạ f phân tích được
dưới dạng f : A

p
→ Q
f

→ B, với p là toàn xạ và f

là đơn xạ thì p = CoImf.
4. Phạm trù mà mọi xạ đều có đối ảnh được gọi là phạm trù có đối ảnh.
1.7 Vật khởi đầu - Vật tận cùng - Vật không - Xạ không
1.7.1 Vật khởi đầu - Vật tận cùng
Vật khởi đầu và vật tận cùng là hai khái niệm đối ngẫu.
a) Vật khởi đầu:
19
• Vật A gọi là vật khởi đầu trong phạm trù P nếu ∀X ∈ P tập Mor[A, X] chỉ
có đúng một phần tử.
• Vật khởi đầu nếu có, là duy nhất, sai khác một phép tương đương.
Thật vật giả sử A, B là hai vật khởi đầu của phạm trù P
⇒

∃!f : A → B
∃!g : B → A
⇒

gf : A → B
fg : B → A
mà Mor[A, A] chỉ có một phần tử là 1
A
và Mor[B, B] chỉ có một phần tử là 1
B
⇒


gf = 1
A
fg = 1
B
⇒ A ≈ B
b) Vật tận cùng:
• Vật A gọi là vật tận cùng trong phạm trù P nếu ∀X ∈ P tập Mor[X, A] chỉ
có đúng một phần tử.
• Vật tận cùng, nếu có, là duy nhất, sai khác một phép tương đương.
1.7.2 Vật không
• Vật vừa là vật khởi đầu, vừa là vật tận cùng thì được gọi là vật không. Kí
hiệu: 0
• Vật không, nếu có, là duy nhất, sai khác một phép tương đương.
Vật không là khái niệm đối ngẫu.
1.7.3 Xạ không
• Trong phạm trù có vật không, xạ không là xạ phân tích được qua vật không.
• Cho hai vật A, B trong phạm trù P có vật không. Khi đó:

∃!f : A → 0
∃!g : 0 → A
Vậy chỉ có duy nhất một xạ không từ vật A đến vật B, kí hiệu là 0
AB
, hoặc
0 (trong trường hợp không gây nhầm lẫn).
• Hợp thành của hai xạ, trong đó có một xạ không, là xạ không.
20
1.8 Hạt nhân - Đối hạt nhân
1.8.1 Hạt nhân
a) Định nghĩa:

Trong phạm trù có vật không, cho xạ f : A → B. Hạt nhân của xạ f là xạ
u : K → A thỏa mãn hai điều kiện:
K
u
GG
A
f
GG
B
K

γ
yy
u

``
(i) fu = 0
(ii) Nếu có xạ u

: K

→ A sao cho fu

= 0 thì tồn tại duy nhất xạ γ : K

→ K
sao cho u

= uγ
Kí hiệu u = Kerf.

Nhận xét:
Ta có hạt nhân của xạ f chính là cái đẳng hóa của cặp xạ (f, 0
AB
) nên ta có thể
rút ra một số kết quả như sau:
• Kerf là đơn xạ.
• Hạt nhân, nếu tồn tại, là duy nhất, sai khác một đẳng xạ.
• f = 0
AB
⇔ Kerf = 1
A
.
b) Tính chất:
1. Nếu xạ f : A → B là đơn xạ thì Kerf = 0
Chứng minh. Đặt Kerf = u : K → A. Ta có:
fu = 0 = f ◦ 0
⇒ u = 0 (do f là đơn xạ)
⇒ Kerf = 0.
2. Trong một phạm trù có vật không, có thể có xạ có hạt nhân là xạ không
nhưng không phải là đơn xạ.
Ví dụ: Phạm trù T h
0
có vật không là tập có một phần tử ({a}, a) và xạ không
đi từ vật (A, a) đến vật (B, b) là ánh xạ f : A → B thỏa mãn: ∀x ∈ A, f(x) = b.
Gọi tập hợp X = {a, b, c}. Trong T h
0
ta xét xạ sau:
f : (X, a) → ({a, b}; a)
a → a
21

b, c → b
• Ta có hạt nhân của xạ f là xạ không, thật vậy:
Kerf = u : ({a}, a) → (X, a)
a → a
Ta kiểm tra xem xạ u có thỏa hai điều kiện của hạt nhân hay không.
(i) Do u là xạ không nên fu = 0.
(ii) Giả sử có xạ u

: (Y, y
0
) → (X, a) thỏa fu

= 0.
∀y ∈ Y : fu

(y) = a ⇒ u

(y) = a (do định nghĩa của xạ f)
suy ra tồn tại duy nhật xạ γ như sau thỏa uγ = u

:
γ : (Y, y
0
) → ({a}, a)
y → a
({a}, a)
u
GG
(X, a)
f

GG
({a, b}; a)
(X, y
0
)
γ
yy
u

WW
Vậy Kerf = u = 0.
• Ánh xạ f không đơn ánh nên f không phải là đơn xạ.
3. Cho hai xạ f : A → B và g : B → C. Khi đó: Kerf ≤ Kergf. Hơn nữa nếu g
là đơn xạ thì Kerf = Kergf.
Chứng minh.
K
γ

u
44
A
f
GG
B
g
GG
C
L
v
``

Gọi Kerf = u : K → A (1) và Kerg = v : L → A (2). Ta có:
(1) ⇒ fu = 0
⇒ g(fu) = (gf )u = 0
(2) ⇒ ∃!γ : K → L sao cho u = vγ
Vậy Kerf ≤ Kergf (*)
Giả sử xạ g : B → C là đơn xạ.
(2) ⇒ (gf)v = g(fv) = 0 = g ◦ 0 ⇒ fv = 0 (Do g là đơn xạ)
(21 ⇒ ∃!γ

: L → K sao cho v = uγ

22
⇒ Kergf ≤ Kerf (**)
Từ (*) và (**) ta có Kerf = Kergf.
4. Cho biểu đồ (HT) giao hoán. Khi đó, nếu hai xạ f và f

có hật nhân thì
tồn tại duy nhất xạ γ : Kerf → Kerf

để cho biểu đồ (H2) giao hoán.
A
f
GG
α

B
β

A


f

GG
B

Kerf
GG
γ

A
f
GG
α

B
β

Kerf

GG
A

f

GG
B

biểu đồ H1 biểu đồ H2
Chứng minh. Gọi Kerf = u và Kerf


= u

. Ta có:
f

(αu) = (f

α)u = (βf)u = β(fu) = β ◦ 0 = 0
do u

= Kerf

nên tồn tại duy nhất xạ γ : Kerf → Kerf

để cho biểu đồ giao
hoán.
5. Một phạm trù có vật không mà mọi xạ đều có hạt nhân thi gọi là phạm
trù có hạt nhân.
1.8.2 Đối hạt nhân
a) Định nghĩa:
Đối hạt nhân là khái niệm đối ngẫu của khái niệm hạt nhân.
Trong phạm trù có vật không, cho xạ f : A → B. Đối hạt nhân của xạ f là xạ
p : B → Q thỏa mãn hai điều kiện:
A
f
GG
B
p
GG
p


44
Q
γ

Q

(i) pf = 0.
(ii) Nếu có xạ p

: B → Q

thỏa mãn p

f = 0 thì tồn tại duy nhất xạ γ : Q → Q

sao cho p

= γp.
Kí hiệu: p = CoKerf
Nhận xét:
Đối hạt nhân của xạ f chính là đối đẳng hóa của cặp xạ (f, 0
A
B) nên ta có
thể rút ra một số kết quả như sau:
• CoKerf là toàn xạ.
23
• Đối hạt nhân, nếu tồn tại, là duy nhất, sai khác một đẳng xạ.
• f = 0
A

B ⇔ CoKerf = 1
B
.
b) Tính chất:
1. Nếu xạ f : A → B là toàn xạ thì CoKerf = 0.
2. Cho hai xạ f : A → B và g : B → C. Khi đó CoKerg ≤ CoKergf.
Hơn nữa, nếu xạ f là toàn xạ thì Cokerg = CoKergf.
3. Cho biểu đồ (H1) giao hoán. Nếu hai xạ f và f

có đối hạt nhân thì tồn tại
duy nhất xạ γ : CoKerf = Cokerf

để cho biểu đồ (H3) giao hoán.
A
f
GG
α

B
GG
β

Cokerf
γ

A

f

GG

B

GG
Cokerf

biểu đồ H3
4. Một phạm trù có vật không mà mọi xạ đều có đối hạt nhân thì gọi là phạm
trù có đối hạt nhân.
1.8.3 Chuẩn tắc - Đối chuẩn tắc
• Một phạm trù có vật không được gọi là chuẩn tắc nếu mọi đơn xạ đều là
hạt nhân.
• Một phạm trù có vật không được gọi là đối chuẩn tắc nếu mọi toàn xạ đều
là đối hạt nhân.
Chuẩn tắc và đối chuẩn tắc là hai khái niệm đối ngẫu.
a) Định lý 1:
Cho xạ α : A → B, có Kerα = u : K → A và CoKeru = p : A → Q. Khi đó
u = Kerp.
Chứng minh. Ta kiểm tra xem xạ u có thỏa hai điều kiện của hạt nhân hay
không.
K
u
GG
A
α
GG
p
44
B
K


γ

yy
u

``
Q
γ
yy
(i) p = CoKeru ⇒ pu = 0.
(ii) Dou = Kerα nên αu = 0
⇒ ∃!γ : Q → B sao cho γp = α.
24
Giả sử có xạ u

: K

→ A thỏa mãn pu

= 0
⇒ 0 = γ(pu

) = (γp)u

= αu

⇒ ∃γ

: K


→ K sao cho u

= uγ

.
Vậy u = Kerp.
Từ định lý 1 ta có:
Kerα = Ker(CoKer(Kerα))
b) Định lý 1
∗
: (Đối ngẫu của định lý 1)
Cho xạ α : A → B, Có CoKerα = p : B → Q và Kerp = u : K → B. Khi
đó p = CoKeru.// Từ định lý 1* ta có:
CoKerα = CoKer(Ker(CoKerα))
c) Hệ quả:
Trong phạm trù có hạt nhân và đối hạt nhân, chuẩn tắc và đối chuẩn tắc,
ta có:
• α là đơn xạ ⇔ α = Ker(CoKerα)
• α là toàn xạ ⇔ α = CoKer(Kerα)
Chứng minh. (⇐) Hiển nhiên, vì hạt nhân luôn là đơn xạ và đối hạt nhân luôn
là toàn xạ.
(⇒) Ta có α là đơn xạ. Do phạm trù là chuẩn tắc nên α = Kerf, với f là một
xạ nào đó.
Theo định lý 1, ta có: Kerf = Ker(CoKer(Kerf)) ⇒ α = Ker(CoKerα)
Tương tự với trường hợp α là toàn xạ.
1.9 Tổng trực tiếp - Tích trực tiếp
1.9.1 Tổng trực tiếp
a) Định nghĩa:
1. Cho hai vật A
1

, A
2
. Bộ ba (A; i
1
: A
1
→ A; i
2
: A
2
→ A) được gọi là tổng trực
tiếp của hai vật A
1
, A
2
nếu với mọi cặp xạ α
1
: A
1
→ X và α
2
: A
2
→ X thì
25