SKKN Ứng dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải bài toán về dao động điều hòa_Vật lý 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"ỨNG DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU
VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VỀ DAO ĐỢNG
ĐIỀU HÒA"

-1-


A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như chúng ta đều biết mục tiêu của giáo dục Việt Nam hiện nay là đào tạo con người
Việt Nam phát triển tồn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp.
Trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi dưỡng
nhân cách, năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu sự nghiệp đổi mới và bảo vệ tổ quốc.
Để thực hiện được mục tiêu đó thì ngành giáo dục cần đổi mới phương pháp dạy - học,
nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo dục đào tạo.
Vì vậy trong thực tế ở các trường THPT, nhiều giáo viên đã và đang chú trọng nâng
cao trình độ chun mơn và nghiệp vụ sư phạm của mình. Mục tiêu giáo dục là cả một
quá trình, một hệ thống và đối với các trường THPT trong đó, để học sinh tiếp tục có cơ
hội học tập và phát triển toàn diện hơn ngoài việc thực hiện mục tiêu chung là giáo dục
con người phát triển toàn diện xuyên suốt trong hệ thống giáo dục quốc dân thì một u
cầu đặt ra đó là nâng cao số lượng học sinh thi đỗ vào các trường chuyên nghiệp, để các
em tiếp tục có cơ hội phát triển tồn diện, thành một cơng dân có tri thức phục vụ cho đất
nước, cho xã hội.
Hiện nay thi trắc nghiệm khách quan được đưa vào ứng dụng rộng rãi và có hiệu
quả trong các kì thi quan trọng như thi tốt nghiệp THPT, thi đại học của các môn khoa
học cơ bản: Lí, hố, sinh…. Phương pháp thi TNKQ yêu cầu học sinh phải có sự bao quát
kiến thức và đặc biệt phải có kĩ năng tốt, tính tốn nhanh với các bài tập để có được kết
quả cao trong các kì thi có mơn thi TNKQ.
Từ thực tế giảng dạy bộ mơn vật lí lớp 12 bản thân tơi thấy rằng học sinh nói chung

và đặc biệt đối với học sinh miền núi, vùng cao, vùng sâu nói riêng khả năng tư duy và
làm các bài tập vật lí nhanh phù hợp với yêu cầu thi cử hiện tại còn rất hạn chế. Trong
những năm gần đây đề thi đại học, cao đẳng mơn vật lí kiến thức trong đề thi chủ yếu tập
-2-


trung ở lớp 12, trong đó chương " Dao động điều hoà" chiếm tỷ trong khá nhiều trong các
đề thi (từ 8 - 12 câu trong tổng số 50 câu trắc nghiệm khách quan). Vây để góp phần nâng
cao kết quả của bài thi thì việc giải tốt, nhanh các bài tập về chương dao động cơ là cần
thiết. Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra một phương pháp giúp học sinh có khả năng làm nhanh
và chính xác các một số dạng bài tập về dao động điều hoà, đó là đề tài: "Ứng dụng mối
liên hệ giữa chuyển động trịn đều và dao động điều hồ - phương pháp véc tơ quay để
giải bài tập về dao động điều hoà" để các đồng nghiệp tham khảo. Rất mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp.

Tơi xin chân thành cảm ơn!

B. TỔ CHỨC THỰC HIỆN

I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:

* Kiến thức liên quan đến mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn
đều được đưa ra trong sách giáo khoa Vật lý 12 ( bài 6- chương trình nâng cao và bài 1 chương trình chuẩn); sách Bài tập Vật lý 12 (chương trình chuẩn và nâng cao) và ở một
số sách tham khảo.
* Số tiết bài tập vận dụng trên lớp thực hiện theo Phân phối chương trình khơng
nhiều nên học sinh không được luyện tập nhiều bài tập dạng này. Thực tế khảo sát trên
một số lớp như sau:

-3-

Lớp

% HS giải được

% HS cịn lúng túng

% HS khơng biết

12A3

5%

10%

85%

12A4

8%

25%

67%

12A8

7%

15%

77%

* Đề tài chỉ nghiên cứu các bài toàn thuộc chương Dao động cơ trong chương trình
vật lí lớp 12 THPT.

II. CƠ SỞ LÍ THUYẾT:
1. Những kiến thức cơ bản về dao động điều hoà:
1.1. Các khái niệm:
+ Dao động là những chuyển động có giới hạn trong khơng gian, lặp đi lặp lại nhiều lần
xung quanh vị trí cân bằng.
+ Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái dao động lặp lại như cũ sau những
khoảng thời gian bằng nhau (là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật
trở về vị trí cũ, theo hướng cũ).
+ Chu kì dao động là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn
phần (là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại như cũ): T = Δt/N (N là
số dao động thực hiên được trong khoảng thời gian Δt )
+ Tần số là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong một đơn vị
thời gian. f = 1/T = N/Δt

-4-


1.2. Dao động điều hoà và các đại lượng đặc trưng.
1.2.1. Khái niệm:
- Dao động điều hoà là dao động mà li độ (vận tốc, gia tốc) được biểu thị bằng một
biểu thức dạng sin hoặc cos theo thời gian:
x = A cos ( ωt + ϕ ).
+ A, ω, φ là những hằng số đối với thời gian (A,ω > 0).
+ Vị trí cân bằng x = 0.

+ Li độ x là độ lệch so với vị trí cân bằng, x có thể dương, âm, hoặc bằng 0
+ Biên độ A là giá trị cực đại của li độ (bằng li độ lúc cos ( ωt + ϕ ) = 1).
+ Pha ban đầu ϕ cho phép xác định trạng thái ban đầu của vật tại thời
điểm t = 0.
+( ωt + ϕ ) Pha dao động là đại lượng cho phép xác định trạng thái dao động tại thời
điểm t (nghĩa là cho biết li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm t).
+Tần số góc ω là đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số .
ω=

2π
= 2πf
T

1.2.2. Vận tốc, gia tốc trong dao động điều hoà.
Xét dao động điều hoà: x = A cos ( ωt + ϕ )
a. Vận tốc tức thời: v = x’ = - A ω sin ( ωt + ϕ ) = A ω cos ( ωt + ϕ +
* Nhận xét:
-5-

π
).
2


- Vận tốc cũng biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số bằng tần số của li độ
nhưng sớm pha hơn một góc

π
.
2

- Cơng thức độc lập đối với thời gian:
Trong đó: A =

v 2 + ω2 x 2
;
ω2

x= ±

v2 + ω2x2 = ω2A2

ω2 A 2 − v 2
;
ω2

v = ± ω2 A 2 − ω2 x 2

- Đồ thị biểu diễn vận tốc theo li độ ( hoặc li độ theo vận tốc), có dạng đường elíp vì:
v2
x2
+
=1
ω2 A 2 A 2
'
''
2
b. Gia tốc: a = v(t ) = x (t ) = − ω A cos(ωt + ϕ) = - ω2x.

* Nhận xét:

+ Gia tốc cũng biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số bằng tần số li độ nhưng
ngược pha so với li độ (sớm pha π so với li độ).
+ Đồ thị gia tốc theo li độ: Là đoạn thẳng qua gốc toạ độ. (vì li độ chỉ biến thiên
trong khoảng từ -A đến A).
c.Vận tốc trung bình, tốc độ trung bình:
+ Vận tốc trung bình: vtb =
+ Tốc độ trung bình: V =

∆x x 2 − x1
=
∆t
∆t
S
t

* Khi tính quãng đường cần chú ý:
+ Quãng đường đi được sau một chu kỳ là 4A

-6-


+ Quãng đường đi được sau một nửa chu kỳ là 2A
+ Khi chất điểm không đổi chiều chuyển động từ vị trí có li độ x 1 đến vị trí có li độ
S = x 2 − x1

x2 thì:

1.2.3. Năng lượng trong dao động điều hoà.
- Xét dao động điều hoà: x = Acos ( ωt + ϕ ).
- Ta có:

+ Động năng: Wđ
Wđ =

1 2 1
1
1
mv = m.ω2A 2 sin 2 (ωt + ϕ). = mω2 A 2 − mω2 A 2cos 2(ωt + ϕ).
2
2
4
4

+ Thế năng: Wt
Wt =

1
1
1
1
mω2 x 2 = mω2A 2cos 2 (ωt + ϕ) = mω2 A 2 + mω2 A 2 cos2(ωt + ϕ).
2
2
4
4

+ Cơ năng:
W = W đ + Wt =

1
mω2 A 2 = hằng số.

2

* Nhận xét:
- Cả động năng và thế năng trong dao động điều hoà đều biến thiên điều hoà theo
thời gian t với ω’ = 2ω hay T’ = T/2. (với ω, T, tần số góc và chu kì của li độ).
- Cơ năng của vật dao động điều hồ khơng đổi theo t, nó tỉ lệ với bình phương
biên độ dao động (phụ thuộc điều kiện ban đầu).

-7-


2. Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà:
2.1. Mối liên hệ:
- Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo là đường trịn tâm O bán
kính OM. Chọn một trục Ox qua tâm của quỹ đạo (theo phương
đường kính bất kì), gốc trọc toạ độ trùng
M (t 0)

với tâm O của quỹ đạo. Xét chuyển động
của hình chiếu P của điểm M lên trục Ox, nhận thấy:

ωt
ϕ
O P

M

+

(t =0)

x

- Tại thời điểm ban đầu t = 0
(M chưa chuyển dộng OM hợp với Ox một góc φ )
- Tại thời điểm t bất kì OM qt được một góc: ωt
(ω là tốc độ góc của M).
Vậy tại thời điểm t OM hợp vơi Ox một góc là (ωt+φ )
- Khi đó khoảng cách từ P đến O (toạ độ của P) là x:
x = OM.cos(ωt+φ ) có dạng là phương trình dao động điều hoà. Vậy điểm P dao động
điều hoà trên trục Ox với vị trí cân bằng là O.
2.2 Kết luận:
- Hình chiếu của một chuyển động trịn đều lên một trục bất kì đi qua tâm của quỹ đạo là
một dao động điền hoà với VTCB là tâm của đường trịng quỹ đạo chuyển động. Đoạn
OM có độ dài là biên độ của dao động điều hoà.

-8-


- Trên cơ sở ấy ta thấy rằng để khảo sát một dao động điều hồ ta có thể khảo sát chuyên
động tròn đều tương ứng với dao động điều hồ ấy như đã trình bày trên về mặt thời
gian, trạng thái chuyển động.
- Thời gian, thời điểm trong chuyển động nói chung và trong dao động điều hồ nói
riêng là một yếu tố vật lí hết sức quan trọng, quyết định giúp chúng ta xác định được
trạng thái chuyển động của vật và các đại lượng khác liên quan đến chuyển động của vật
như vận tốc, gia tốc, năng lượng….
- Công thức xác định thời gian: để xác định thời gian vật dao động điều hồ từ vị trí có
toạ độ x1 đến vị trí có toạ độ x 2 ta sẽ xác định thời gian vật chuyên động tròn đều từ M 1
đến M2 với x1, x2 là hình chiếu của M1, M2 lên trục đi qua tâm quỹ đạo: Ta xác định góc
quét α của véc tơ

u ur
uu
OM

khi M di chuyển từ M1 đến M2 (chiều dương của chuyển động

tròn là chiều ngược chiều kim đồng hồ)

α = ω.∆t ⇒ ∆t =

α
(α = β+γ)
ω

M

γ
-A
2

Với ω = 2π/T (tốc độ góc của chuyển động

M

α

1

β

x2 O x
1

A

x

trịn đều - tần số góc của dao động điều hồ)
2.3. Véc tơ quay:
- Từ các kết luận trên ta thấy rằng: Li độ của điểm P trên trục ox là độ dài hình chiếu của
véc tơ quay

u ur
uu
OM ,

vậy véc tơ quay

Mặt khác véc tơ
u ur
uu
OM

u ur
uu
OM

còn biểu thị được chiều chuyển động của P, như

biểu diễn cho dao động điều hòa của P. Từ đây ta khái quát hóa:

Một dao động điều hòa được biểu diễn bời một véc tơ quay.
- Cách biểu diễn một dao dộng điều hòa bằng véc tơ quay:
-9-


+ Phương trình dao động điều hịa: x = Acos (ωt+φ) (1)
+ Chọn trục chuẩn (trục pha) ox.
+ Véc tơ OM biểu diễn dao động (1) tại thời điểm ban đầu (t=0) có đặc điểm sau:
+
u ur
uu

Độ ur OM tỉ lệ với A.
dài
u u
u
( OM , ox) = φ

M
O

φ

x

+ Để phù hợp với chiều quy ước của đường tròn lượng giác ta chon chiều dương
ngược chiều kim đồng hồ.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

1. Dạng 1: Xác định khoảng thời gian vật dao động điều hoà thực hiện một q
trình:
1.1. Phương pháp giải:
+ Bước 1: Xác định vị trí của điểm đầu M1 và điểm cuối M2 trên đường trịn.
+ Bước 2: Xác định góc qt α của vectơ quay biểu diễn dao động khi vật đi từ M 1
đến M2.

-10-


+ Bước 3: Thời gian vật thực hiện quá trình là:
α = ω.∆t ⇒ ∆t =

α
T
=α
(góc α: rad)
ω
2π

1.2. Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Định thời gian theo li độ:

Một vật
π
3

dao động điều hồ với phương trình x = 5cos(2 π t + )cm. Xác định thời gian ngắn nhất
vật đi từ li độ 2,5cm đến li độ -2,5 3 cm?
* Giải:
+

Thời

gian

ngắn

nhất

đi

từ

li

M

-2,5 3 cm
đường

trịn

tương
từ

vị

ứng
trí

với
M1

vật
đến

-5

2

độ

γαβ

-2,5
vị

2,5cm
M

chuyển
trí
O

đến

1

2,5M2

động
5

x
(vận

trên trục x chưa đổi chiều):

2,5
π
2,5 3
π
⇒ β = ;sin γ =
⇒γ =
5
6
5
3
π
⇒α = β +γ =
2
sin β =

+ Thời gian ngắn nhất vật vật đi từ M1 đến M2 là:

-11-

π
α
1
∆t = = 2 = ( s )
ω 2π 4

li
trên
tốc

độ


* Nếu giải bằng phương pháp đại số học sinh sẽ phải xác định thời điểm t 1 tại li độ x =
2,5cm theo chiều âm và xác định thời điểm t 2 tại li độ x = -2,5 3 cm khi đó xẽ xác định
được Δt = t2 - t1 (việc làm này sẽ dài và mất thời gian, dễ bị tính tốn sai).

Bài tập 2: Định thời gian theo vận tốc:
Một vật dao động điều hoà với chu kì 2s biên độ bằng 5cm. Tính thời gian ngắn nhất để
vật tăng tốc từ 2,5π cm/s đến 5π cm/s?
* Giải: Tốc độ cực đại: vmax = Aω = 5.

2π
= 5π (cm / s) .
2

+ Vì vận tốc cũng biến thiên điều hoà theo thời
gian với cùng tần số với li độ nên cũng được
biểu diễn bằng một véc tơ quay giống li độ (trục

chuẩn là trục Ov), biên độ của vận tốc tức thời là
tốc độ cực đại.
+ Thời gian ngắn nhất để vật tăng tốc từ 2,5π cm/s
đến 5π cm/s tương ứng với thời gian vật chuyển
động trên đường trịn từ vị trí M1 đến vị trí M2 :
cos α =

2,5π
π
⇒α =
5π
3

π
→ ∆t = α = 3 = 1 ( s )
ω π
3

Bài tập 3*: Định thời gian theo lực:
-12-

O

2,5π

M

α 5π
M
1

2

v


Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình
x = 5cos(5πt + π) (cm) (gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống). Biết độ
cứng của lò xo là 100N/m và gia tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc là g = π2 (m/s2).
Trong một chu kì, tìm khoảng thời gian lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng có độ lớn lớn
hơn 1,5N ?
g
π2
= 0,04m
* Giải: Tại vị trí cân bằng, độ dãn của lò xo là: ∆l = 2 =
ω
(5π ) 2

+ Lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng:
F = k (∆ l + x) = k∆ l + kx = 100.0,04 + 100.0,05 cos(5πt + π ) = 4 + 5 cos(5πt + π ) ( N ) + Nhận xét:

lực đàn hồi biến thiên điều hịa với biên độ 5N xung quanh vị trí cân bằng có toạ độ F =
4N. Ta biểu diễn lực đàn hồi qua vectơ quay như sau:
Khoảng thời gian lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng có độ lớn lớn hơn 1,5N tương
ứng với thời gian vật chuyển động từ M 1 đến M2 trên đường trịn Góc do vectơ quay quét
M
2

được trong thời gian đó là:

−1

1,5

4π

Thời gian cần tìm: ∆t = α = 3 = 4 ( s)
ω 5π 15

Bài

tập

4:

α

2, 5
π
2π 4π
β
cos β =
⇒ β = ⇒ α = 2π −
43 = 3
5
3

Định

thời

9

F

M
1

gian

theo

năng

lượng:

Một vật dao động với phương trình x = 2cos3 πt (cm). Tính thời gian ngắn nhất để vật đi
từ vị trí có động năng bằng thế năng đến vị trí động năng bằng 3 lần thế năng?

-13-


* Giải: Đối với dạng toán này ta nên đưa về tính theo li độ.
+ Tại vị trí có động năng bằng thế năng: W = Wđ + Wt = 2Wt
⇔

1
1
A
2

mω 2 A 2 = 2 mω 2 x 1 ⇒ x 1 = ±
2
2
2

+ Tại vị trí có động năng bằng ba lần thế năng: W = Wđ + Wt = 4Wt
⇔

1
1
A
mω2 A 2 = 4 mω2 x 2 ⇒ x 2 = ±
2
2
2
2

+ Vì tại t = 0 vật ở vị trí biên dương nên thời gian
ngắn nhất suy ra vật đi từ vị trí có x 1 = +
đến x 2 = +

α
M2

A
2

−A−A

A

tương ứng với thời gian vật chuyển
2

2

A A
2 2

M1

A

x

động trên đường trịn từ vị trí M1 đến vị trí M2
(hoặc ngược lại): Góc qt được là: α =
Thời gian:

π π π
− =
3 4 12

π
α
1
∆t = = 12 = ( s)
ω 3π
36

1.3. Bài tập đề nghị:

Bài 1: Một vật dao động với tần số 2Hz và biên độ 4cm. Tính thời gian ngắn nhất để vật
đi giữa 2 li độ 2cm và -2

3 cm

?

Đs:

-14-

1
s
8


Bài 2: Một vật dao động điều hồ có vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là 6π cm/s. Tính
thời gian ngắn nhất để vật thay đổi vận tốc từ 3π
Đs:

2

(cm/s) đến 3π

3 (cm/s)

?

T
s

24

Bài 3: Một vật dao động với phương trình x = 2cos3πt (cm). Tính thời gian ngắn nhất để
vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí động năng bằng 3 lần thế năng?
Đs:

1
s
18

Bài 4: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng K = 100N/m. Vật có khối
lượng 0,5 kg dao động với biên độ 5 2 cm. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có
lực tác dụng lên điểm treo cực đại đến vị trí lực tác dụng lên điểm treo cực tiểu? Lấy g =
10m/s2.
Đs: 0,17s
Bài 5: Một vật có khối lượng 100g được treo vào lị xo có độ cứng 100N/m. Tìm thời
gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có hợp lực tác dụng lên vật cực đại đến vị trí có lực tác
dụng lên vật bằng nửa cực đại?
Đs: 0,2s
Bài 6: Một vật dao động điều hoà trong 4 giây thực hiện được 20 dao động. Khoảng cách
từ vị trí cân bằng đến điểm có vận tốc cực tiểu là 3cm. Tìm thời gian để vật tăng tốc từ
15π đến 15 3 π cm/s?
Đs:
2. Dạng 2 Xác định thời điểm vật qua một vị trí cho trước:
-15-

1
s
30

2.1.

Phương

+ Bước 1: Cần xác định chính xác vị trí của vật ở

M

pháp
1

α

thời điểm ban đầu trên trục Ox (xo) suy ra vị trí ban x1
đầu trên đường trịn (vị trí M0).

M

O

M

xo

giải
0

x

2

+ Bước 2: Xác định vị trí có tọa độ x1 mà vật sẽ đi
qua theo bài ra trên đường trịn (vị trí M1 hoặc M2).
* Chú ý: Vị trí có toạ độ x = x1 tương ứng có 2 vị
trí trên đường trịn, vị trí đó khi vật đang đi theo
chiều âm (M1) và vị trí đó khi vật đang đi theo chiều dương (M 2): (xác định theo chiều
của trục Ox, khơng phải chiều của đường trịn)
+ Bước 3: Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều âm ta làm như sau:
Xác định khoảng thời gian vật đi từ vị trí M0 tới M1 lần đầu tiên từ cơng thức:
α = ω.∆t ⇒ ∆t =

α
ω

Trong đó α là góc mà véc tơ quay biểu diễn dao động điều hồ đã qt được khi vật di
chuyển

từ

vị

trí

M0
t = ∆t +

+ Bước 4. Thời điểm cần tìm là:

đến

2nπ
= ∆t + n.T (n ∈ N )(1)
ω

* Các trường hợp đặc biệt:
- Xác định thời điểm vật qua vị trí theo chiều âm hoặc chiều dương lần thứ k:

-16-

M 1.


+ Vật đi qua vị trí x = x1 lần thứ k theo chiều âm trong biểu thức (1)
lấy

n

=

k-1.

+ Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều dương ta làm tương tự chỉ khác là khoảng thời
gian

là khoảng thời gian từ vị trí đầu M0 đến vị trí M2 trên đường trịn

- Nếu xác định thời điểm qua vị trí lần thứ n mà không yêu cầu đến chiều chuyển động:
+ Trong một chu kì thi chất điểm qua một ví trí bất kì là hai lần.


Nếu bài tốn là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x 1 lần thứ n (không yêu

cầu về chiều) với n là số lẻ thì thời điểm cần tìm là:
t = ∆t +

Trong đó

n −1
.T (n ∈ N )(2)
2

là khoảng thời gian vật đi từ vị trí ban đầu M0 đến vị trí M1.

Giải

thích

- Trong khoảng thời gian

biểu

thức:

vật tới M1 nghĩa là qua x1 lần thứ nhất. Để vật qua x 1 lần thứ

n = 3 thì véctơ bán kính phải quay được 1 vịng. Thời gian vật đi khi véc tơ quay được 1
vòng đúng bằng

3 − 1 2π

.
. Để vật qua vị trí x1 lần thứ n = 5 thì véctơ bán kính phải quay
2 ω

thêm 2 vòng kể từ thời điểm t =
thêm hai vòng này là:


. Khoảng thời gian cần dùng để véc tơ bán kính quay

5 − 1 2π
.
. Vậy cơng thức (2) là đúng.
2 ω

Nếu bài tốn là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x 1 lần thứ n với n là số

chẳn thì thời điểm cần tìm là:

-17-


t = ∆t +

n −2
.T (n ∈ N )(3)
2

Trong đó

là khoảng thời gian vật đi từ vị trí ban đầu M0 đến vị trí M2.

Giải

thích

- Trong khoảng thời gian

biểu

thức:

vật tới M2 nghĩa là qua x1 lần thứ hai. Để vật qua x1 lần thứ n

= 4 thì véc tơ bán kính phải quay được 1 vịng . Thời gian vật đi khi véctơ quay được 1
vòng đúng bằng:

4 − 2 2π
.
. Để vật qua vị trí x 1 lần thứ n = 6 thì véctơ bán kính phải
2
ω

quay thêm 2 vòng kể từ thời điểm t =
quay thêm hai vòng này là:

. Khoảng thời gian cần dùng để véc tơ bán kính

6 − 2 2π
.

. Vậy cơng thức (3) là đúng.
2
ω

2.2. Bài tập ví dụ:

Bài tập 1: Cho một dao động điều hồ có phương trình: x = 6 cos( 2πt +

π
)(cm) Xác
3

định thời điểm vật qua vị trí x= - 3cm lần thứ 2011 theo chiều âm. (đề thi ĐH năm 2011)
* Giải:

π

Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là x0 = 6 cos( ) = 3(cm) .
3
+ Vị trí ban đầu trên đường trịn là M0

-18-


+ Vị trí vật qua x1 = -3(cm) theo chiều âm là vị trí M1 trên đường trịn.
M

M
1
α

α0 3
π
ω = 2π (rad / s ) ; sin = ⇒ α = Suy
+ Thời gian vật đi từ M 0 đến M1 là ∆t =
Với
α 2 6
3
ω

-6

-3 O

Vì

vật

qua

lần

thứ

2011

nên

x

π

α
1
∆t = = 3 = ( s )
ω 2π 6

ra
+

6

3

ta

có

n

=2010

2nπ 1
= + 2010.T = 2010,167( s)
ω
6

Thay số ta được: t = ∆t +

Bài tập 2: Cho một dao động điều hồ có phương trình: x = 10 cos(5πt −
định thời điểm vật qua vị trí x = -5

2 cm

π
)(cm) . Xác
6

lần thứ 2012 theo chiều dương?

π
x = 10 cos(− ) = 5 3 (cm) .
6

* Giải: Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là:
+ Vị trí ban đầu trên đường trịn là M0
+

Vị

trí
vị

vật

qua
trí

x

=

-5

M2

2 cm

theo

M1

trên
10

5 3
5 2
⇒ β = π ; cos γ =
⇒γ =π
3
4
10
10
π π π 13π
⇒α = + + =
3 2 4 12
sin β =

-19-

-5

α

γ
M

2

O

chiều

β

dương

M0

đường
10
5

x

là
tròn.


13π
α
+ Thời gian vật đi từ M0 đến M2 là:

∆t = = 12 = 13 ( s )
60
ω 5π
+ Vì vật qua lần thứ 2012 nên n =2011
+ Thay số ta được: t = ∆t +

2nπ 13
=
+ 2011.T = 2011, 217( s )
ω
60

Chú ý: Có hai điểm M1, M2 tương ứng với li độ x = -5

2 cm

nhưng vì theo chiều dương

nên ta lấy điểm M2.

Bài tập 3: Cho một dao động điều hồ có phương trình: x = 6 cos(2πt +

π
)(cm) Xác
3

định thời điểm vật qua vị trí x = -3cm lần thứ 2011.
* Giải:
+ Làm hoàn toàn tương tự như bài tập 1.
+ Vật qua lần thứ n = 2011 là số lẻ nên kết quả là :

t = ∆t +

n −1
1 2011 − 1
.T = +
.T = 1005,167( s)
2
6
2

Bài tập 4: Cho một dao động điều hoà có phương trình: x = 10 cos(5πt −
định thời điểm vật qua vị trí x = -5

2 cm

lần thứ 2012?

* Giải:
-20-

π
)(cm) . Xác
6


+ Làm tương tự như bài tập 3.
+ Vật qua lần thứ n = 2012 là số chẵn nên kết quả là :
t = ∆t +

n−2

13 2012 − 2
.T =
+
.T = 402, 217( s)
2
60
2

2.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho một dao động điều hồ có phương trình: x = 10 cos(5πt +

π
)(cm)
4

Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 5 3 cm lần thứ 1001?
Đs: 200,017s
Bài 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục x theo phương trình

x = 5 cos(2πt −

π
)(cm) . Tìm thời điểm vật qua vị trí x = 2,5 2 cm lần thứ1999 theo
6

chiều dương?

Đs: 1998,96s

Bài 3: Cho một dao động điều hồ có phương trình: x = 6 cos(5πt +

π
2

)(cm)

Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 3 3 cm lần thứ 2012 theo chiều âm?
Đs: 804,33s

3. Dạng 3: Tính qng đường trong dao động điều hịa:
3.1. Phương pháp

-21-


Một trong những thói quen đáng tiếc của đa số học sinh là thường xun sử dụng cơng
thức tính qng đường S = v.t cho mọi chuyển động. Mặc dù cơng thức đó chỉ đúng cho
chuyển động đều. Do đó cần giúp các em học sinh khắc phục khuyết điểm nói trên. Trước
khi tìm hiểu phương pháp ta có một số nhận xét:
- Quãng đường đi trong một chu kỳ bằng 4A Do đó nếu ∆t = nT thì S = 4nA
- Quãng đường vật đi trong nửa chu kỳ ln bằng 2A, do đó nếu thời gian dao động ∆t
= n. T/2 thì quãng đường vật đi được là S = n.2A
* Phương pháp:
Bài tốn u cầu tính qng đường trong một khoảng thời gian từ t 1 đến t2 ta thực hiện
các bước sau :
+ Bước 1: Tính khoảng thời gian ∆t = t2 – t1 so sánh với chu kỳ dao động T
+ Bước 2: Thiết lập biểu thức: ∆t = nT + τ; (τ < T)
Trong đó n ngun ( n∈ N) Ví dụ : T =1s, ∆t = 2,5s thì ∆t =2.T +0,5
+ Bước 3: Qng đường được tính theo cơng thức:
S = 4nA + ∆S (∆S là quãng đường đi được trong khoảng thời gian τ)

+ Bước 4: Tính ∆S:
- Xác định trạng thái thứ nhất: x1 = Asos(ωt1 +ϕ ); v1 = - ωAsin(ωt1 + ϕ )
- Và trạng thái thứ hai: x2 = Asos(ωt2 +ϕ ) ; v2 = - ωAsin(ωt2 + ϕ )
(v1, v2 chỉ cần xác định dấu để biết chiều chuyển động)
- Dựa vào v1 và v2 để tính ∆S.
* Trường hợp đặc biệt:
-22-


-

Nếu t = 0 lúc vật ở biên: thì cứ T/4 thì vật

đi được qng đường A. Ta có thể tính S
bằng cách phân tích ∆t = n. T/4 + τ; (τ < T/4)

+ Nếu n lẻ thì

S = n.A + A.sin ω τ

+

chẵn

-

Cịn

n

thì

S

=

n.A

+

Nếu t = 0 lúc vật ở vị trí cân bằng: thì ta làm

A.(1-

ω

cos

τ

)

ωτ

tương tự nhưng:
+ n lẻ (hình 8.1)thì áp dụng cơng thức

Hình 8.2

S = n.A + A.(1- cos ω τ )

+ n chẵn (hình 8.2) thì áp dụng cơng thức
S = n.A + A.sin ω τ

3.2. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Vật dao động điều hồ với chu kì T=2s, biên độ A=2cm. Lúc t = 0 nó bắt đầu
chuyển động từ biên. Sau thời gian t =2,25s kể từ lúc t= 0 nó đi được quãng đường là
bao nhiêu?

M

ωτ

* Giải:

x

∆ t = 2,25s ; T = 2s ⇒ ∆t = T + 0,25
-23-


Do vật xuất phát từ biên. Ta có S = 4. A + A(1 – cos(ωτ)

O

Thay số: A = 2cm, ω = π rad/s, τ =0,25s
ta có: S = 4.2 + 2(1 – cos 0,25π) = (10 -

B

∆s

2 )cm

Bài tập 2: Một vật dao động với biên độ 4cm và chu kỳ 2s. Mốc thời gian khi vật có động
năng cực đại và vật đang đi theo chiều dương. Tìm quãng đường vật đi được trong 3,25s
đầu

* Giải:
+ t = 0 khi x = 0, v > 0.
+ Ta có t = 3,25s = 6.T/4 + 0,25s
+ Do vật xuất phát từ vị trí cân bằng và n chẵn nên :
S = n.A + A.sin ω τ = 6.4 + 4 sin( π.0,25) = 26,83 cm.
Bài tập 3: Một vật dao động điều hồ với phương trình: x = 6cos(4 πt + π/3)(cm;s). Tính
quãng đường vật đi được từ lúc t = 1/24s đến thời điểm 77/48s

* Giải:
+ Lúc t = 0: x = 3cm; v < 0 ; chu kì T =
+ Ta có : ∆t = t2 – t1 =

2π
= 0,5s
4π

B
M

77 1
−
= 1,5625s = 3T + 0,0625 s
48 24

ωτ
∆s

-24-

x


Quãng đường : S = 3.4.6 + ∆S
Lúc t =

1
s thì x = 0 , v < 0
24

Lúc t =

77
s thì x = − 3 2 cm , v < 0.
48

O

Vì vật chưa đổi chiều chuyển động nên ∆S = A sin ω τ
Vậy :

S = 3.4.6 + 6. sin (4π. 0,0625) = 76,24 cm.

3.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Một vật dao động điều hòa với biên độ bằng 3 cm. Khi t = 0 vật ở vị trí có động

năng bằng khơng. Tìm qng đường vật đi được từ đó đến khi động năng bằng một phần
3 thế năng lần thứ 3 ?

ĐS: (9 -1,5 3 )cm

Câu 2. Tìm quãng đường ngắn nhất để vật đi từ vị trí có pha bằng π/6 đến vị trí lực phục
hồi bằng nửa cực đại ? Biết biên độ dao động bằng 3cm. ĐS : 1.06cm
Câu 3. Một vật dao động theo phương trình x = 4cos(10πt + π/4) cm. t tính bằng giây.
Tìm qng đường vật đi được kể từ khi vật có tốc độ 0,2π 3 m/s lần thứ nhất đến khi
động năng bằng 3 lần thế năng lần thứ tư?
ĐS : 12cm
Câu 4. Vật dao động điều hoà trên 1 đoạn thẳng có chiều dài 10cm. Tìm qng đường
ngắn nhất vật đi được giữa 2 thời điểm có động năng bằng thế năng?
ĐS : 5(2- √2)

-25-