chuyên đề bồi dưỡng HSG vật lý 8 - phần cơ học

CHUYỂN ĐỘNG
TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
- Chuyển động là sự thay đổi vị trí của vật này so với vật khác được chọn làm mốc.
Chuyển động của một vật mang tính tương đối
- Chuyển động đều là chuyển động được những quãng đường bằng nhau trong những
khoảng thời gian bằng nhau.
- Công thức : v = s / t
- Vận tốc trung bình: v
tb
=
1 2
1 2


S S
t t
+ +
+ +
Dạng 1: Bài toán xác định vị trí và thời điểm các vật gặp nhau hoặc thời điểm và vị trí
các vật cách nhau một khoảng cho trước.
*. Phương pháp giải:
Có hai cách giải cơ bản đối với dạng toán này
Cách 1. Dùng công thức đường đi.
Trường hợp 1: Hai vật chuyển động ngược chiều gặp nhau khi: S
1
+S
2
= AB từ đó suy ra
thời gian đã đi. tách nhau một đoạn
s∆

Tìm thời gian hai vật cách nhau một đoạn
s∆
trước khi gặp nhau:
1 2
( )s AB s s∆ = − +

Tìm thời gian hai vật cách nhau một đoạn
s∆
sau khi gặp nhau:
1 2
( )s s s AB∆ = + −

Trường hợp 2: Hai vật chuyển động cùng chiều xuất phát từ hai vị trí khác nhau gặp
nhau khi: S
1
= S
2
+ AB từ đó suy ra kết quả
Hai vật cách nhau một đoạn
s∆
trước khi gặp nhau:
2 1
( )s AB s s∆ = + −

Hai vật cách nhau một đoạn
s∆
sau khi gặp nhau:
1 2
s ( )s s AB∆ = − +

Hai vật chuyển động cùng chiều xuất phát từ một vị trí với các mốc thời gian khác nhau
gặp nhau khi: S
1
= S
2
từ đó suy ra kết quả
1
x
A B
S
1
=V
1
.t
S
2
=V
2
.t
C
x
A
B
S
1
=V
1
.t
S
2

=V
2
.t
C
x
A
B
S
1
=V
1
.t
S
2
=V
2
.t
C
x
A B
S
1
=V
1
.t
S
2
=V
2
.t

C
D

x
A B
S
1
=V
1
.t
S
2
=V
2
.t
D
C
s∆

x
A
B
S
1
=V
1
.t
S
2
=V

2
.t
B
’

A
’
x
A
B
S
1
=V
1
.t
S
2
=V
2
.t

A
’
B
’
Bài 1: Cùng một lúc tại hai điểm A và B Cách nhau 25Km, hai xe cùng xuất phát, cùng đi
về nhau và cùng chuyển động đều với vận tốc lần lượt là
hKm
A
/20

=
υ
;
hKm
B
/30
=
υ
. Hỏi
hai xe gặp nhau lúc nào ? Ở đâu? Biết thời gian khi bắt đầu xuất phát là t
0
= 7giờ 30 phút.
(ĐS: t = 0,5h, S = 10km)
Tóm tắt:
0
25 ; 20 / ; 30 / ; 7 30';
A B
S km v km h v km h t h= = = =
Giải:
Cách 1:
. 20.
A A
S v t t= =
;
. 30.
B B
S v t t= =
Hai điểm chuyển động cùng chiều gặp nhau khi:
A B
S S AB+ =

25
20. 30. 25 50. 25 0,5 30'
50
t t t t h⇔ + = ⇔ = ⇒ = = =
Vậy thời điểm hai xe gặp nhau : 7h30 + 30 = 8h
Khi đó hai vật cách điểm A:
. 20.0,5 10
A A
S v t km= = =
Cách 2: Chọn hệ thục tọa độ Ox trùng với phương chuyển động; gốc tọa độ tại A; gốc thời
gian từ lúc hai vật bắt đầu chuyển động; chiều dương là chiều từ A đến B.
- Phương trình cđ của vật đi từ A đến thời điểm gặp nhau
t:
0 0
x ( ) . 20.
A A A
x v t t v t t= + − = =

- Phương trình cđ của vật đi từ B đến thời điểm gặp nhau
t:
0 0 0
x ( ) . 25 20.
B B B
x v t t x v t t= + − = − = −
- Hai vật gặp nhau khi có cùng tọa độ:
A B
X X=

25
20 25 30 0,5

50
t t t h= − ⇒ = =

- Khi đó hai vật cách A một đoạn:
X 20.0,5 10
A
km= =

Bài 2: Một vật xuất phát từ A chuyển động thẳng đều về B cách A 630m với vận tốc 13m/s.
Cùng lúc đó , một vật khác chuyển động từ B về A. Sau 35giây hai vật gặp nhau . Tính vận
tốc của vật thứ hai và vị trí hai vật gặp nhau .(ĐS: v
B
= 5m/s; S = 455m)
Tóm tắt:
630 ; 13 / / ; 35 .
A
S m v m s h t s= = =
Giải:
. 13.35 455
A A
S v t m= = =
;
. .35
B B B
S v t v= =
Hai vật chuyển động ngược chiều gặp nhau khi:
A B
S S AB+ =
Hay
630 455

455 .35 630 5 /
35
B B
v v m s
−
+ = ⇒ = =
Vậy vận tốc vật đi từ B là 5m/s và khi hai vật gặp nhau cách điểm A 455m.
Bài 3: An và Bình cùng khởi hành tư một nơi. An đi bộ với vận tốc 4km/h và khởi hành
trước Bình 2h. Bình đi xe đạp và đuổi theo An với vận tốc 12km/h. Hỏi:
a) Sau bao lâu kể từ lúc Bình khởi hành thì Bình đuổi kịp An ? Khi đó cả hai cách
nơi khởi hành bao xa.
b) Sau bao lâu kể từ lúc Bình khởi hành thì Bình và An cách nhau 4 km.
Tóm tắt:
1 2
4 / ; 12 / .v km h v km h= =
Giải:
a). Gọi thời gian mà Bình gặp An nhau là t (h)
- Quảng đường An đi được khi gặp nhau là:
1 1
.( 2) 4. 8S v t t= + = +
- Quảng đường Bình đi được khi gặp nhau là:
2 2
. 12.S v t t= =
Hai người gặp nhau khi đi được hai quảng đường bằng nhau:
1 2
4 8 12 1S S t t h= ⇔ + = ⇒ =
Khi đó hai người cách điểm khởi hành:
2
. 12.1 12S v t km= = =
b). Nếu Bình cách An 4km thì:

2 1
4S S− =
2
Hay:
12 (4 8) 4 1,5t t t h− + = ⇒ =
Vậy sau 1,5 từ khi An khởi hành thì Bình cách An 4km.
Bài 4: Hai xe cùng khởi hành lúc 6 giờ từ hai đểm Avà B cách nhau 240km . Xe thứ nhất đi
từ A đến B với vận tốc
hKm /48
1
=
υ
; xe thứ hai đi từ B đến A với vận tốc
hKm /32
2
=
υ
.
Xác định thời điểm hai xe gặp nhau và vị trí gặp nhau.
Tóm tắt:
1 2
240 ; 48 ; 32S km v km v km= = =
Cách 1:
1 1
. 48.S v t t= =
;
2 2
. 32.S v t t= =
Hai xe chuyển động cùng chiều gặp nhau khi:
1 2

S S S+ =
48 32 240 3t t t h⇔ + = ⇔ =
Khi đó hai xe cách A:
1 1
. 48.3 144S v t km= = =
Cách 2: Chọn trục toạ độ Ox trùng với đoạn đường AB; gốc tọa độ tại A; gốc thời gian là
lúc hai xe bắt đầu chuyển động (t
0
= 0); chiều dương từ A đến B (v
B
<0).
- Toạ độ của xe đi từ A đến B:
1 0 1
. 48.X x v t t= + =
- Toạ độ xe đi từ B đến A:
2 0 2 2
. . 240 32.X x v t AB v t t= − = − = −

- Hai xe gặp nhau khi chúng có cùng một toạ độ:
1 2
X X=
48. 240 32. 3t t t h= − ⇒ =
- Khi đó hai xe cách A một đoạn:
1 1
. 48.3 144S v t km= = =
Bài 5: Một xe máy xuất phát từ A để đi đến B với vận tốc
hKm /30
1
=
υ

. Nửa tiếng đông hồ
sau , một ôtô cũng xuất phát từ A, đuổi theo xe máy trên với vận tốc
hKm /40
2
=
υ
Sau bao
lâu xe ôtô đuổi kịp xe máy ? Điểm gặp cách A bao nhiêu ?
Cách 2: Chọn trục toạ độ Ox trùng với đoạn đường AB; gốc tọa độ tại A; gốc thời gian là
lúc xe máy bắt đầu chuyển động (t
0B
= 0,5h); chiều dương từ A đến B.
- Tọa độ xe máy sau khoảng thời gian t:
1 1
X . 30.v t t= =

- Tọa độ ô tô sau khoảng thời gian t:
2 2 0
X ( ) 40( 0,5) 40 20v t t t t= − = − = −

- Hai xe gặp nhau khi có cùng tọa độ:
1 2
X 30 40 20 2X t t t h= ⇔ = − ⇒ =
Vậy ô tô sau thời gian t = 2- 0,5 = 1,5h thì đuổi kịp xe máy.
- Khi đó tọa độ gặp nhau:
1 1
X . 30.2 60v t km= = =
Bài 6 : Hai xe ôtô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B , cùng chuyển động về
phía C . Biết AC= 108Km; BC= 60Km xe khởi hành từ A đi với vận tốc 45Km/h muốn hai
xe đến C cùng một lúc , xe khởi hành từ B phải chuyển động với vận tốc

2
υ
bằng nhiêu?
- Thời gian để hai xe cùng đến C:
1
108
2,4
45
AC
t h
v
= = =

- Vận tốc mà xe đi từ B phải đạt:
60
25 /
2,4
B
AC
v km h
t
= = =

Bài 7: Lúc 7giờ , hai xe cùng xuất phát từ hai địa điểm Avà B cách nhau 24Km chúng
chuyển động thẳng đều và cùng chiều từ A đến B . Xe thứ nhất khởi hành từ A với vận tốc
42Km/h, xe thứ hai đi từ B với vận tốc 36Km/h.
a) Tìm khoảng cách giữa hai xe sau 45 phút kể từ lúc xuất phát.
b) Hai xe có gặp nhau không ? Nếu có , chúng gặp nhau lúc mấy giờ ? Ở đâu?
Giải
-Sau 45 phút hai xe cách A một đoạn:

1
S 45.0.75 31,5km= =

2
S 24 36.0.75 51km= + =
- Khoảng cách hai xe:
1 2
31,5 51 19,5S S S km∆ = − = − =

- Gọi t là thời gian hai xe đi được để gặp nhau, khi đó hai xe cách A một đoạn:
1
S 42.t=
;
2
S 24 36t= +

3
- Hai xe gặp nhau khi:
1 2
S 42 24 36 4S t t t h= ⇔ = + ⇒ =

- Khi đó hai xe đã cách A:
1
S 42.4 168km= =
Bài 8: Hai điểm A và B cách nhau 120Km. Lúc 7giờ xe máy xuất phát từ A và đi đến B với
vận tốc
hKm /30
1
=
υ

. Nửa tiếng đồng hồ sau ôtô xuất phát từ B đi về A với vận tốc
hKm /40
2
=
υ
. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy, giờ ở đâu?
Giải
- Khi hai xe gặp nhau, khi đó mỗi xe đi được (gọi t là thời gian từ lúc xe đi từ A xuất phát):
1 1 2 2
S . 30 ; ( 0,5) 40 20v t t S v t t= = = − = −
- Hai xe gặp nhau khi:
1 2
S 30 40 20 120 2S S t t t h+ = ⇔ + − = ⇒ =
Vậy sau khi xe đi từ A xuất phát 2h thì hai xe gặp nhau. Khi đó hai xe đã cách A một đoạn:
1
S 30. 30.2 60t km= = =

Bài 9: Ba người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi. Người thứ nhất và người thứ
hai xuất phát cùng một lúc với các vận tốc tương ứng là v
1
= 10km/h và v
2
= 12km/h. Người
thứ ba xuất phát sau hai người nói trên 30 phút. Khoảng thời gian giữa hai lần gặp của
người thứ ba với 2 người đi trước là 1 giờ. Tính vận tốc của người thứ ba.
Giải
- Khi người thứ 3 xuất phát thì người thứ I,II đã đi được:
1 1
S . 10.0,5 5v t km= = =
;

2 2
S . 12.0,5 6v t km= = =
;
Gọi t
1
; t
2
lần lược là thời gian người thứ ba gặp hai người đi trước:
2 1
0,5t t− =
(1)
Gọi v
3
là vận tốc của người thứ 3 (v
3
> v
1,2
)
- Khi người thứ III gặp người thứ I:
3 1 1 1
3
5
. 5 10.
10
v t t t
v
= + ⇒ =
−

- Khi người thứ III gặp người thứ II:

3 2 2 2
3
6
. 6 12.
12
v t t t
v
= + ⇒ =
−
Theo bài ra ta có:
2
3 3
3 3
5 6
1 24 120 0
10 12
v v
v v
− = ⇔ − + =
− −
3
3
15
8,5( )
v
v loai
=

⇒


=

Bài 10
Hai vật chuyển động đều trên cùng một đường thẳng. Nếu chúng đi lại gần nhau thì
cứ sau 1 phút khoảng cách giữa chúng giảm đi 330m. Nếu chúng đi cùng chiều (cùng xuất
phát và vẫn đi với vận tốc như cũ) thì cứ sau 10 giây khoảng cách giữa chúng lại tăng thêm
25m. Tính vận tốc của mỗi vật.
Hướng dẫn:
- Đi cùng chiều:
1 2
S S S+ = ∆
- Đi ngược chiều:
+ Khoảng cách tăng lên
S
∆
:
2 1
S S S− = ∆
+ Khoảng cách giảm xuống
S
∆
:
1 2
S S S− = ∆
Gọi vận tốc của hai vật là v
1
và v
2
(giả sử v
1

< v
2
).
Đổi 1 phút = 60s.
Khi 2 vật đi ngược chiều:
4
S
S
2
s
1
s
Quãng đường vật 1 và vật 2 đi được trong 1 phút lần lượt là:
S
1
= 60.v
1
(1)
S
2
= 60.v
2
(2)
Mà khoảng cách giữa chúng giảm đi 330m, tức là:
S
1
+ S
2
= 330 (3)
Thay (1), (2) vào (3). Ta có:

60.v
1
+ 60.v
2
= 330

⇔
v
1
+ v
2
= 5,5 (4)
Khi 2 vật đi cùng chiều:
Quãng đường vật 1 và vật 2 đi được trong 10 giây lần lượt là:
'
1
S
= 10.v
1
(5)
'
2
S
= 10.v
2
(6)
Mà khoảng cách giữa chúng tăng 25m, tức là:
' '
2 1
25S S− =

(7)
Thay (5), (6) vào (7). Ta có:
10.v
2
- 10.v
1
= 25

⇔
v
2
- v
1
= 2,5 (8)
Giải hệ 2 phương trình (4) và (8), ta có :
v
1
= 1,5m/s ; v
2
= 4m/s.
Bài 11: Lúc 7h một người đi xe đạp đuổi theo một người đi bộ cách anh ta 10 km. cả hai
chuyển động đều với các vận tốc 12 km/h và 4 km/h. Tìm vị trí và thời gian người đi xe đạp
đuổi kịp người đi bộ
Giải
Gọi s
1
là quãng đường người đi xe đạp đi được:
S
1
= v

1
.t (với v
1
= 12 km/h) (0,5đ)
Gọi s
2
là quãng đường người đi bộ đi được:
S
2
= v
2
.t (với v
2
= 4km/h) (0,5đ)
Khi người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ:
S
1
= s
2
+ s (0,5đ)
hay v
1
t = s + v
2
t

(0,5đ)
=> (v
1
- v

2
)t = s => t =
21
vv
s
−
(0,5đ)
thay số: t =
412
10
−
= 1,25 (h) (0,5đ)
Vì xe đạp khởi hành lúc 7h nên thời điểm gặp nhau là:
t = 7 + 1,25 = 8,25 h (0,5đ)
hay t = 8h15’
vị trí gặp nhau cách A một khoảng:
AC = s
1
= v
1
t = 12.1,25 = 15 km (1đ)
Bài 12: Lúc 7 giờ, hai ô tô cùng khởi hành từ 2 địa điểm A, B cách nhau 180km và đi ngược
chiều nhau. Vận tốc của xe đi từ A đến B là 40km/h, vận tốc của xe đi từ B đến A là
32km/h. Tính khoảng cách giữa 2 xe vào lúc 8 giờ.
Đến mấy giờ thì 2 xe gặp nhau, vị trí hai xe lúc gặp nhau cách A bao nhiêu km?
5
s∆
S
2
s

1
s
Tóm tắt
Cho
S
AB
= 180 km, t
1
= 7h, t
2
= 8h.
v
1
= 40 km/h , v
2
= 32 km/h
Tìm
a/ S
CD
= ?
b/ Thời điểm 2 xe gặp nhau.
S
AE
= ?
a/ Quãng đường xe đi từ A đến thời điểm 8h là :
S
Ac
= 40.1 = 40 km
Quãng đường xe đi từ B đến thời điểm 8h là :
S

AD
= 32.1 = 32 km
Vậy khoảng cách 2 xe lúc 8 giờ là :
S
CD
= S
AB
- S
Ac
- S
AD
= 180 - 40 - 32 = 108 km.
b/ Gọi t là khoảng thời gian 2 xe từ lúc bắt đầu đi đến khi gặp nhau, Ta có.
Quãng đường từ A đến khi gặp nhau là :
S
AE
= 40.t (km)
Quãng đường từ B đến khi gặp nhau là :
S
BE
= 32.t (km)
Mà : S
AE
+ S
BE
= S
AB
Hay 40t + 32t =180 => 72t = 180 => t = 2,5
Vậy : - Hai xe gặp nhau lúc : 7 + 2,5 = 9,5 (giờ) Hay 9 giờ 30 phút
- Quãng đường từ A đến điểm gặp nhau là :S

AE
= 40. 2,5 =100km.
Bài 13: Ba người đi xe đạp, đều xuất phát từ A đi về B. Người thứ nhất đi với vận tốc
là v
1
= 8km/h. Sau 15 phút thì người thứ hai xuất phát với vận tốc là v
2
= 12km/h.
Người thứ ba xuất phát sau người thứ hai 30 phút. Sau khi gặp người thứ nhất, người
thứ ba đi thêm 30 phút nữa thì sẽ ở cách đều người thứ nhất và người thứ hai. Tìm
vận tốc của người thứ ba.
GIẢI
Khi người thứ 3 xuất phát thì người thứ nhất, hai đã đi được:
1 1
1 1 3
( ) 8 6
4 2 4
s v km= + = =
;
2 2
1 1
12 6
2 2
s v km= = =
Gọi t là thời gian chuyển động của ba người. Khi đó quãng đường của ba người là:
'
1 1 1
6 8s s v t t= + = +
;
'

2 2 2
6 12s s v t t= + = +
;
3 3
s v t=
Khi người thứ 3 gặp người thứ nhất:
'
3
3 1 3
8
6 8
6
v
s s v t t t
−
= ⇔ = + ⇒ =
(1)
Sau 30 phút thí quãng đường của người thứ 1, 2, 3 đi được:
''
1
1
6 8( ) 10 8
2
s t t= + + = +
;
''
2
1
6 12( ) 12 12
2

s t t= + + = +
;
'
3 3
1
( )
2
s v t= +
Khi người thứ 3 cách đều người thứ nhất và thứ hai:
' '' '' ' '' '' '
3 1 2 3 1 2 3
2s s s s s s s− = − ⇔ + =

3
3
3
1 22
10 8 12 12 2 ( )
2 20 2
v
t t v t t
v
−
⇔ + + + = + ⇒ =
−
(2)
6
A BC D
E
7h

7h
8h
8h
GÆp nhau
Thế (1) vào (2):
2
3 3
3 3
3
8 22
15 14 0
6 20 2
v v
v v
v
− −
= ⇒ − + =
−
Suy
3
1 /v km h=
(loại vì v
3
<v
1
) hoặc
3
14 /v km h=
(nhận)
Bài 14. Hai người khởi hành cùng một lúc tại hai địa điểm A và B cách nhau 20km.

Nếu hai người đi ngược chiều nhau thì sau t
1
= 12 phút họ gặp nhau. Nếu đi cùng
chiều thì sau t
2
= 1 giờ người thứ nhất đuổi kịp người thứ hai. Tính vận tốc của mỗi
người.
Giải
Khi hai người đi ngược chiều gặp nhau khi:
1 2 1 2 1 2
0,2 0, 2 20 100S S S v v v v+ = ∆ ⇔ + = ⇒ + =
(1)
Khi hai người đi cùng chiều, người thứ nhất đuổi kịp người thứ 2 khi:
1 2 1 2 1 2
20 20S AB S v v v v= + ⇔ = + ⇔ − =
(2)
Giải hệ phương trình (1) (2) ta được
1 2
60 / ; 40 /v km h v km h= =
Bài 15: Hai xe máy khởi hành cùng lúc tại hai điểm A và B cách nhau 60km. Xe thứ
nhất xuất phát từ A, xe thứ hai xuất phát từ B. Nếu chúng đi cùng chiều thì sau 40
phút hai xe cách nhau 80km lần đầu tiên, nếu đi ngược chiều nhau thì sau 10 phút hai
xe cách nhau 40km lần đầu tiên. Tính vận tốc mỗi xe.
Giải
Hai xe đi cùng chiều cách nhau 80km lần đầu:
2 1
( ) 80AB S S+ − =
( lần 2:
1 2
( ) 80S AB S− + =

)
Hai xe đi ngược chiều cách nhau 40km lần đầu:
1 2
( ) 40AB S S− + =
(lần 2:
1 2
40S S AB+ − =
)
7
Dạng 2: Vận tốc trung bình
*. Cách giải chung:
- Tìm các khoảng thời gian
1 2 3
, , t t t
theo S và v mà đề bài đã cho.
- Thế vào công thức tính v
tb
, đơn giản hằng số S thì ta được kết quả cuối cùng.
*. Kiến thức cần nhớ:
- Công thức tính vận tốc trung bình:
1 2
1 2 3


tb
S S
v
t t t
+ +
=

+ + +
- Tính chất của tỉ lệ thức:
a c a c
b d b d
+
= ⇒
+
- Cách quy đồng các phân thức không cùng mẫu.
+ Dạng 1: Đề bài cho các vận tốc v
1
, v
2
… và các khoãng thời gian S
1
, S
2
…nhỏ hơn S
bao nhiêu lần (1/3; 1/5 …). Tìm v
TB
.
Cách giải: Ta lần lược tính
1
1
1 1
?S S
t
v v
= =
;
2

2
2 2
?S S
t
v v
= =
… từ đó ta tính tổng
1 2
t t+ +
rồi thế vào công thức tính
v
TB
. Tuy nhiên khi thế vào còn ẩn S ta phải chia cả tử và mẫu cho S mới ra kết quả cuối
cùng.
Ví dụ: Một người đi xe đạp trên một đoạn đường thẳng AB. Trên 1/3 đoạn đường đầu đi
với vận tốc V
1
= 14km/h, 1/3 đoạn đường tiếp theo đi với vận tốc 16km/h và 1/3 đoạn
đường cuối cùng đi với vận tốc 8km/h. Tính vận tốc trung bình của xe đạp trên cả đoạn
đường?
Tóm tắt:
1 2 3
14 / ; 16 / ; 8 / ; ?
tb
v km h v km h v km h v= = = =
Giải
Ta có:
1
1
1 1 1

3
3 42
S S S S
t h
v v v
= = = =
8
2
2
2 2 2
3
3 48
S S S S
t h
v v v
= = = =
3
3
3 3 3
3
3 24
S
S S S
t h
v v v
= = = =
Do đó:
1 2 3
29
42 48 24 336

S S S S
t t t h+ + = + + =
Vậy
1 2 3
1 2 1
336
11,58 /
29
29
336
tb
S S S
S S
v km h
S
t t t S
+ +
= = = =
+ +
+ Dạng 2: Đề bài cho S
1
= 1/2S; các S
2
+S
3
… = S; cho các vận tốc v
1,2,3
…; các khoảng
thời gian t
1,2,3

= ?t
2
’
. Tính v
TB
?
Cách giải:
- Tính
1
1
1 1
2
S S
t
v v
= =
- Tính
3 2 3
2
2 3
2 3 2 3 2 3
2( )
S S S
S S
t t
v v v v v v
+
= = = = =
+ +
Nếu

2 3
t t≠
, tính thời gian đi trong nửa đoạn đường sau
'
2
t
bằng cách lập phương trình
bặc nhất
2 3

2
S
S S+ + =
theo ẩn
'
2
t
- Tính
'
1 2
t t+
theo ẩn số S.
- Thế vào công thức v
TB
, chia tử và mẫu cho S ta được kết quả cuối cùng.
Ví dụ: Một vật chuyển động trên đoạn đường thẳng AB. Nửa đoạn đường đầu vật đi với
vận tốc V
1
= 25km/h, nửa đoạn đường sau vật chuyển động theo hai giai đoạn: trong nửa
thời gian đầu, vật đi với vận tốc V

2
= 18km/h, nửa thời gian sau vật đi với vận tốc V
3
=
12km/h. Tính vận tốc trung bình của vật trên cả đoạn đường.
Tóm tắt:
1 2 3
25 / ; 18 / ; 12 / ; ?
tb
v km h v km h v km h v= = = =
Cách 1: Ta có:
1
1
1
2
25 50
S
S S
t h
v
= = =
;
3 2 3
2
2 3
2 3 2 3
2
18 12 60
S
S S S

S S
t t h
v v v v
+
= = = = = =
+ +
(tính chất của tỉ lệ thức lớp 7)
Vậy :
1 2 3
2. 16 4
50 60 300 75
S S S S
t t t h+ + = + = =
Do đó:
1 2 3
1 2 3
75
18,75 /
4
4
75
tb
S S S
S S
v km h
S
t t t S
+ +
= = = =
+ +

Cách 2: Ta có:
1
1
1
2
25 50
S
S S
t h
v
= = =
;
2 2 2
3 3 3
.
.
S v t
S v t
=


=

mà
'
2
2 3
2
t
t t= =

(
'
2
t
là thời gian đi nửa đoạn đường sau)
Do đó:
'
2
2 3 2 3
( ).
2 2
t S
S S v v+ = + =
suy ra
'
2
2 3
30
S S
t h
v v
= =
+
Vậy
1 2 3
'
1 2 3 1 2
18,75 /
8
50 30 150

tb
S S S
S S S
v km h
S S S
t t t t t
+ +
= = = = =
+ + +
+
9
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Một vật chuyển động từ A đến B cách nhau 180m. Trong nửa đoạn đường đầu vật đi
với vận tốc V
1
= 5m/s, nửa đoạn đường còn lại vật chuyển động với vận tốc V
2
= 3m/s.
a) Sau bao lâu vật đến B?
b) Tính vận tốc trung bình của vật trên cả đoạn đường?
Giải:
1 2
5 / ; 3 / ; 180v m s v m s S m= = =
Ta có:
1
1
1 1 1
180
2
18

2 10 10
S
S S S
t s
v v v
= = = = = =
;
2
2
2 2 2
180
2
30
2 6 6
S
S S S
t s
v v v
= = = = = =
Vậy t = t
1
+t
2
= 18+30 = 48s
Do đó:
1 2
1 2
180
3,75 /
48

tb
S S S
v m s
t t t
+
= = = =
+
Bài 2: Trên nửa quãng đường một ôtô chuyển động đều với vận tốc 60Km/h , trên nửa
quãng đường còn lại xe chạy với vận tốc 40Km/h . Tính vận tốc trung bình của ôtô trên cả
quãng đường nói trên.
Giải
Tóm tắt:
1 2
60 / ; 40 / ; ?
tb
v km h v km h v= = =
Ta có:
1
1
1 1 1
2
2 120
S
S S S
t h
v v v
= = = =
;
2
2

2 2 2
2
2 80
S
S S S
t h
v v v
= = = =

1 2
12,5
120 80 600
S S S
t t h⇒ + = + =
Do đó:
1 2
1 2
600
48 /
12,5
12,5
600
tb
S S S
v km h
S
t t
+
= = = =
+

Bài 3: Một ôtô chuyển động trên đoạn đương AB dài 135Km với vận tốc trung bình
hKm /45
=
υ
. Biết nửa đoạn đường đầu vận tốc của ôtô là
hKm /50
1
=
υ
.Tính vận tốc của ôtô
trong nửa đoạn đường sau. Cho rằng ôtô chuyển động đều trong các giai đoạn .
Giải
Tóm tắt:
1 2
135 ; 45 / ; 50 / ; ?
tb
S km v km h v km h v= = = =
Ta có:
1
1
1 1
135
1,35
2 100
S S
t h
v v
= = = =
Vậy:
1 2

1 2 2
135
45
1,35
tb
S S
v
t t t
+
= ⇔ =
+ +
suy ra
2
135
1,35 1,65
45
t h= − =
2
2
2 2 2
135
2
40,9 /
2 2.1,65
S
S S
v km h
t t t
= = = = =
Bài 4: Một người đi xe đạp trên đoạn đường MN. Nửa đoạn đường đầu người ấy đi với vận

tốc
hKm /20
1
=
υ
trong nửa thời gian còn lại đi với vận tốc
hKm /10
2
=
υ
cuối cùng người ấy đi
với vận tốc
hKm /5
3
=
υ
. Tính vận tốc trung bình của xe đạp trên cả đoạn đường MN.
Giải:
1 2 3
20 / ; 10 / ; 5 / ; ?
tb
v km h v km h v km h v= = = =
Cách 1: Ta có:
1
1
1
2
20 40
S
S S

t h
v
= = =
;
3 2 3
2
2 3
2 3 2 3
2
10 5 30
S
S S S
S S
t t h
v v v v
+
= = = = = =
+ +
(tính chất của tỉ lệ thức lớp 7)
10
Vậy :
1 2 3
11
40 30 30 120
S S S S
t t t h+ + = + + =
Do đó:
1 2 3
1 2 3
120

10,9 /
11
11
120
tb
S S S
S S
v km h
S
t t t S
+ +
= = = =
+ +
Cách 2: Ta có:
1
1
1
2
20 40
S
S S
t h
v
= = =
;
2 2 2
3 3 3
.
.
S v t

S v t
=


=

mà
'
2
2 3
2
t
t t= =
(
'
2
t
là thời gian đi nửa đoạn đường sau)
Do đó:
'
2
2 3 2 3
( ).
2 2
t S
S S v v+ = + =
suy ra
'
2
2 3

15
S S
t h
v v
= =
+
Vậy
1 2 3
'
1 2 3 1 2
10,9 /
22
40 15 240
tb
S S S
S S S
v km h
S S S
t t t t t
+ +
= = = = =
+ + +
+
Bài 5: Một người đi xe đạp trên quãng đường AB. 1/3 quãng đường đầu đi với vận tốc
15km/h, 1/3 quãng đường tiếp theo đi với vận tốc 12 km/h và đoạn đường còn lại đi với vận
tốc 8km/h. Tính vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường AB.
1 2 3
15 / ; 12 / ; 8 / ; ?
tb
v km h v km h v km h v= = = =

Giải
Ta có:
1
1
1 1 1
3
3 45
S S S S
t h
v v v
= = = =
2
2
2 2 2
3
3 36
S S S S
t h
v v v
= = = =
3
3
3 3 3
3
3 24
S
S S S
t h
v v v
= = = =

Do đó:
1 2 3
132
45 36 24 1440
S S S S
t t t h+ + = + + =
Vậy
1 2 3
1 2 1
1440
10,9 /
132
132
1440
tb
S S S
S S
v km h
S
t t t S
+ +
= = = =
+ +
Bài 6: Một ô tô chuyển động trên nửa đoạn đường đầu với vận tốc 15m/s. Phần đường còn
lại, xe chuyển động với vận tốc 45 km/h trong nửa thời gian đầu và 15 km/h trong nửa thời
gian sau. Tính vận tốc trung bình của ô tô trên cả quãng đường đã đi.
1 2 3
15 / ; 45 / ; 15 / ; ?
tb
v km h v km h v km h v= = = =

Cách 1: Ta có:
1
1
1
2
15 30
S
S S
t h
v
= = =
;
3 2 3
2
2 3
2 3 2 3
2
45 15 120
S
S S S
S S
t t h
v v v v
+
= = = = = =
+ +
(tính chất của tỉ lệ thức lớp 7)
Vậy :
1 2 3
2. 6

30 120 120
S S S
t t t h+ + = + =
Do đó:
1 2 3
1 2 3
120
20 /
6
6
120
tb
S S S
S S
v km h
S
t t t S
+ +
= = = =
+ +
Cách 2: Ta có:
1
1
1
2
15 30
S
S S
t h
v

= = =
;
11
2 2 2
3 3 3
.
.
S v t
S v t
=


=

mà
'
2
2 3
2
t
t t= =
(
'
2
t
là thời gian đi nửa đoạn đường sau)
Do đó:
'
2
2 3 2 3

( ).
2 2
t S
S S v v+ = + =
suy ra
'
2
2 3
60
S S
t h
v v
= =
+
Vậy
1 2 3
'
1 2 3 1 2
20 /
3
30 60 60
tb
S S S
S S S
v km h
S S S
t t t t t
+ +
= = = = =
+ + +

+
Bài 7: Một vật chuyển động trên đoạn đường thẳng AB. Nửa đoạn đường đầu vật đi với vận
tốc V
1
= 20km/h, nửa đoạn đường sau vật chuyển động theo hai giai đoạn: trong 1/3 thời
gian đầu, vật đi với vận tốc V
2
= 15km/h, trong thời gian còn lại vật đi với vận tốc V
3
=
14km/h. Tính vận tốc trung bình của vật trên cả đoạn đường.
1 2 3
20 / ; 15 / ; 14 / ; ?
tb
v km h v km h v km h v= = = =
Giải
Ta có:
1
1
1 1 1
2
2 40
S
S S S
t h
v v v
= = = =
'
2 2
2 2 2 2 2

15.
. . 5
3 3
t t
S v t v t= = = =
;
''
2 2
3 3 2 3 2
2. 14.2.
. . 9,33
3 3
t t
S v t v t= = = =
2 3 2 2 2 2
2
7 9,33 16,33
2 16,33 32,66
S
S S
S S t t t t h+ = + = = ⇒ = =
Do đó:
1 2
72,66
40 32,66 1306,4
S S S
t t+ = + =
Vậy:
1 2 3
1 2

17,97 /
72,66
1306,4
tb
S S S
S
v km h
S
t t
+ +
= = =
+
Bài 8: Một vật chuyển động trên đoạn đường thẳng AB. Nửa đoạn đường đầu vật đi với vận
tốc V
1
= 10km/h, nửa đoạn đường sau vật chuyển động theo ba giai đoạn: trong 1/5 thời
gian đầu, vật đi với vận tốc V
2
= 15km/h,trong 1/5 thời gian tiếp theo, vật đi với vận tốc V
3
= 20km/h, trong thời gian còn lại vật đi với vận tốc V
4
= 25km/h. Tính vận tốc trung bình
của vật trên cả đoạn đường.
1 2 3 4
10 / ; 15 / ; 20 / ; 25 / ; ?
tb
v km h v km h v km h v km h v= = = = =
Giải
Ta có:

1
1
1 1 1
2
2 20
S
S S S
t h
v v v
= = = =
' '
'
2 2
2 2 2 2 2
15.
. . 3
5 5
t t
S v t v t= = = =
;
'
'
2 2
3 3 3 3 2
20.
. . 4
5 5
t t
S v t v t= = = =
;

'
'
2 2
4 4 4 4 2
25.
. . 5
5 5
t t
S v t v t= = = =
' ' ' ' '
2 3 4 2 2 2 2 2
2
3 4 5 12
2 12 24
S
S S
S S S t t t t t h+ + = + + = = ⇒ = =
Do đó:
1 2
44
20 24 480
S S S
t t+ = + =
Vậy:
1 2 3
1 2
10,9 /
44
480
tb

S S S
S
v km h
S
t t
+ +
= = =
+
Bài 9: Một chiếc xe từ A đến B với vận tốc không đổi v
1
= 20km/h, rồi quay trở lại A với
vận tốc không đổi v
2
= 25km/h. Thời gian xe nghỉ ở dọc đường bằng 1/5 tổng số thời gian
chuyển động. Tính vận tốc trung bình của xe trên quãng đường A-B-A?
12
Giải: Thời gian chiếc xe đi từ A đến B:
1
1
2
40
S
S
t
v
= =
(S = AB + BA)
Thời gian chiếc xe đi từ B đến A:
2
2

2
50
S
S
t
v
= =

Do thời gian nghỉ = 1/5 thời gian đi và về, nên thời gia nghỉ là:
1 2
3
9S
9S
40 50 200
5 5 5 1000
S S
t t
t
+
+
= = = =
1 2 3
9 54S
40 50 1000 1000
S S S
t t t⇒ + + = + + =
Vận tốc trung bình của xe khi đi, về và nghỉ trên đoạn đường A-B-A là:
1 2 3
1000S
18,52 /

54S
54S
1000
TB
S S
v km h
t t t
= = = =
+ +
Bài 10: Một chiếc xe từ A đến B với vận tốc không đổi v
1
= 20km/h, rồi quay trở lại A với
vận tốc không đổi v
2
= 25km/h. Thời gian xe nghỉ ở dọc đường bằng 20% tổng số thời gian
chuyển động. Tính vận tốc trung bình của xe trên quãng đường A-B-A?
Giải: Thời gian chiếc xe đi từ A đến B:
1
1
2
40
S
S
t
v
= =
(S = AB + BA)
Thời gian chiếc xe đi từ B đến A:
2
2

2
50
S
S
t
v
= =

Do thời gian nghỉ =20% = 1/5 thời gian đi và về, nên thời gia nghỉ là:
1 2
3
9S
9S
40 50 200
5 5 5 1000
S S
t t
t
+
+
= = = =
1 2 3
9 54S
40 50 1000 1000
S S S
t t t⇒ + + = + + =
Vận tốc trung bình của xe khi đi, về và nghỉ trên đoạn đường A-B-A là:
1 2 3
1000S
18,52 /

54S
54S
1000
TB
S S
v km h
t t t
= = = =
+ +
Bài 11: Một người đi xe đạp đi nửa quãng đường đầu với vận tốc v
1
= 12km/h, nửa còn lại
với vận tốc v
2
nào đó. Biết vận tốc trung bình trên cả quãng đường là 8km/h. Hãy tính vận
tốc v
2
.
Giải
- Thời gian đi nữa đoạn đường thứ nhất:
1
1
1
2
12 24
S
S S
t
v
= = =

- Thời gian đi nữa đoạn đường thứ hai:
2
2
2 2 2
2
2
S
S S
t
v v v
= = =
- Vận tốc trung bình trên cả đoạn đường:
1 2
1 2
2
8
24 2
tb
S S S
v
S S
t t
v
+
= = =
+
+
2
2 2 2
2

2
1 24
8 8 24 8 96 6 /
1 1
12
24 2
v
v v v km h
v
v
⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇒ =
+
+
.
Bài 12: Hai người đi xe máy cùng khởi hành từ A đi về B. Người thứ nhất đi nửa quãng
đường đầu với vận tốc 40 km/h và nửa quãng đường sau với vận tốc 60 km/h. Người thứ hai
đi với vận tốc 40 km/h trong nửa thời gian đầu và vận tốc 60 km/h trong nửa thời gian còn
lại. Hỏi ai tới đích B trước?
Giải
a). Tính vận tốc trung bình của người thứ nhất:
13
1 2
2 2
S S
S S S+ = + =

1 2
1 2
1 2
5

2 2
40 60 80 120 240 48
S S
S S S S S S
t t
v v
+ = + = + = + = =

1 2
1
1 2
48
48
tb
S S S
km
v
h
S
t t
+
= = =
+

b). Tính vận tốc trung bình của người thứ hai:
1 2
t t t+ =

1 2 1 1 2 2
. . 40. 60. 50.

2 2
t t
S S v t v t t+ = + = + =

1 2
2
1 2
50.
50
tb
S S t
km
v
h
t t t
+
= = =
+

Do vận tốc trung bình của người thứ hai lớn hơn vận tốc trung bình của người thứ nhất nên
người thứ hai tới B sớm hơn.
Dạng 3: Đến sớm hơn hay trễ hơn dự định:
Gọi t
1
là thời gian dự định ; t
2
là thời gian thực tế.
- Nếu đến sớm hơn dự định :
1 2
1 2

s s
t t t
v v
∆ = − = −

- Nếu đến muôn hơn dự định :
2 1
2 1
s s
t t t
v v
∆ = − = −

-Nếu có thời gian nghỉ thì phải cộng vào thời gian thực tế.
VD1: Một người dự định đi bộ trên quãng đường với vận tốc 5km/h. Nhưng đi đến đúng
nửa đường thì nhờ một bạn đèo xe đạp và đi tiếp với vận tốc không đổi 12km/h do đó đến
sớm hơn dự định 28 phút. Hỏi nếu người ấy đi bộ hết quãng đường thì mất bao lâu ?
Giải
Gọi t
1
, t
2
(h) là thời gian dự định và thời gian đi thực tế. S(km) là độ dài của cả đoạn đường.
- Thời gian đi thực tế :
2
2 2
5 12 10 24
S S
S S
t = + = +

- Thời gian đi dự định:
1
5
S
t =
Do đến sớm hơn 28 phút nên :
1 2
28 28
) 3,5. 28 8
60 5 10 24 60
S S S
t t S S km− = ⇔ − − = ⇔ = ⇒ =
- Thời gian dự định là :
1
8
1,6 1,6.60 96
5
t h ph= = = =
14
VD2 : Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc v
1
= 12km/h, nếu người đó tăng tốc lên
thêm 3km/h thì đến sớm hơn 1 giờ.
a. Tìm quãng đường AB và thời gian dự định đi từ A đến B.
b. Ban đầu người đó đi với vận tốc 12km/h đi được quãng đường s
1
thì xe bị hỏng phải sửa
chữa mất 15 phút. Nên trong quãng đường còn lại người đó đi với vận tốc v
2
= 15km/h

thì đến sớm hơn dự định là 30 phút . Tìm quãng đường s
1
?
Giải
a. Gọi t
1
, t
2
(h) là thời gian dự định và thời gian đi thực tế. S(km) là độ dài của cả đoạn
đường.
- Thời gian đi dự định:
1
12
S
t =
- Thời gian đi thực tế :
2
12 3 15
S S
t = =
+
Do đến sớm hơn 1h nên :
5 4
1 1 60
12 15 60
S S S S
t S km
−
∆ = − = ⇔ = ⇒ =
- Thời gian dự định là :

1
60
5
12 12
S
t h= = =
b. S
1
(km) là độ dài của đoạn đường đi với vận tốc v
1
, 60-S
1
(km) là độ dài của đoạn đường đi
với vận tốc v
2
.
- Thời gian đi đoạn đường với vận tốc v
1
:
1
11
12
S
t =
- Thời gian đi đoạn đường với vận tốc v
2
:
1
22
60

15
S
t
−
=
- Thời gian nghỉ
33
15
60
t =
Do vẫn đến sơm hơn dự định 30 phút nên :

1 1
11 22 33 1
60 15 30
( ) 0,5 5 15
12 15 60 60
S S
t t t t t S km
−
∆ = − + + = ⇔ − − − = ⇒ =
VD3 : Một người đi xe đạp từ A đến B có chiều dài 24km. Nếu đi liên tục không nghỉ thì
sau 2h sẽ đến B nhưng khi đi được 30 phút, người đó dừng lại 15 phút rồi mới đi tiếp. Hỏi ở
quãng đường sau người đó phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến B kịp lúc?
Giải
Vận tốc người đó theo dự định:
24
12
2
s

km
V
h
t
= = =
Quãng đường sau khi đi được 30 phút:
1 1
. 12.0,5 6s v t km= = =
Quãng đường còn lại đi với vận tốc v
2
:
2
24 6 18s km= − =
Thời gian còn lại phải đi với vận tốc v
2
:
2
2 0,5 0,25 1,25t h= − − =
Vận tốc cần phải đi trong đoạn đường sau:
2
2
2
18
14,4
1,25
s
km
v
h
t

= = =
VD4. Hai xe xuất phát cùng lúc từ A để đi đến B với cùng vận tốc 30 km/h. Đi được
1/3 quãng đường thì xe thứ hai tăng tốc và đi hết quãng đường còn lại với vận tốc 40
km/h, nên đến B sớm hơn xe thứ nhất 5 phút. Tính thời gian mỗi xe đi hết quãng
đường AB.
GIẢI
- Gọi chiều dài quãng đường AB là s (km)
15
- Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường này là t
1
=
s
30
(giờ);
- Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường này là t
2
=
s / 3
30
+
2s / 3
40
(giờ).
- Xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất 5 phút (5 phút =
1
12
giờ) nên :
t
1
- t

2
=
s
30
- (
s / 3
30
+
2s / 3
40
) =
1
12
⇒
s = 15 (km)
- Thời gian xe thứ nhất đi hết AB là : t
1
=
s
30
(giờ) =
1
2
(giờ) = 30 (phút).
- Thời gian xe thứ hai đi : t
2
= 25 (phút).
VD5: Một chiếc xe phải đi từ địa điểm A đến địa điểm B trong khoảng thời gian quy
định là t. Nếu xe chuyển động từ A đến B, với vận tốc V
1

= 48Km/h. Thì xe sẽ đến B
sớm hơn 18 phút so với qui định. Nếu chuyển động từ A đến B với vận tốc
V
2
= 12Km/h. Xe sẽ đến B chậm hơn 27 phút so với thời gian qui định.
a. Tìm chiều dài quãng đường AB và thời gian qui định t.
b. Để chuyển động từ A đến B đúng thời gian qui định t. Xe chuyển động từ A
đến C ( trên AB) với vận tốc V
1
= 48 Km/h rồi tiếp tục chuyển động từ C đến
B với vận tốc V
2
= 12Km/h. Tính chiều dài quảng đường AC.
Giải
a). Gọi S
AB
là độ dài quảng đường AB.
t là thời gian dự định đi
Theo bài ra, ta có.
-Khi đi với vận tốc V
1
thì đến sớm hơn thời gian dự định (t) là t
1
= 18 phút ( = 0,3 h)

Nên thời gian thực tế để đi hết quảng đường AB là:
( t – t
1
) =
1

AB
S
V

Hay S
AB
= V
1
(t – 0,3) (1)
- Khi đi với vận tốc V
2
thì đến trễ hơn thời gian dự định (t) là t
2
= 27 phút ( = 0,45 h)

Nên thực tế thời gian cần thiết để đi hết quảng đường AB là:
(t + t
2
) =
2
AB
S
V

Hay S
AB
= V
2
(t + 0,45) (2)
Từ ( 1) và (2) , ta có:

V
1
( t- 0,3) = V
2
(t + 0,45) (3)
Giải PT (3), ta tìm được:
t = 0,55 h = 33 phút
Thay t = 0,55 h vào (1) hoặc (2), ta tìm được:
S
AB
= 12 Km.
b. Gọi t
AC
là thời gian cần thiết để xe đi tới A C (S
AC
) với vận tốc V
1

Gọi t
CB
là thời gian cần thiết để xe đi từ C B ( S
CB
) với vận tốc V
2

Theo bài ra, ta có: t = t
AC
+ t
CB

Hay :
1 2
AC AB AC
S S S
t
V V
−
= +

16
Suy ra:
)
(
1 2
1 2
AB
AC
V S V t
S
V V
−
=
−
(4)
Thay các giá trị đã biết vào (4), ta tìm được
S
AC
= 7,2 Km
Dạng 4: Tính tương đối của chuyển động:
1. Bài toán hai vật chuyển động cùng phương:

Xét bài toán có hai vật chuyển động trên cùng một phương với vật 1 có vân tốc
v
1
, vật 2 có vận tốc v
2
:
- Nếu v
1
, v
2
cùng chiều: vận tốc của xe 1 so với xe 2:
1 2
v v v= −
- Nếu v
1
, v
2
ngược chiều: vận tốc của xe 1 so với xe 2:
1 2
v v v= +
- Nếu hai vật cách nhau một khoảng s chuyển động hướng về nhau thì thời gian
hai vật gặp nhau:
1 2
s
t
v v
=
+
- Nếu hai vật cách nhau một khoảng s, vật 1 đuổi theo vật 2 (v
1

>v
2
) thì thời
gian hai vật gặp nhau:
1 2
s
t
v v
=
−
2. Bài toán vật này chuyển động trên vật khác:
- Khi đi xuôi dòng, xuôi gió: V = V
1
+ V
2
- Khi đi ngược dòng, ngược gió: V = V
1
– V
2
Bài 1. Một Xuồng máy đi trong nước yên lặng với vận tốc 35km/h. Khi xuôi dòng từ A đến
B mất 3h và khi ngược dòng từ B đến A mất 4h .Hãy tính vận tốc dòng nước đối với bờ
sông và quãng đường AB?
Giải
17
Gọi vận tốc của dòng nước là v
n
(km/h)
Khi xuồng máy đi xuôi dòng: v = v
x
+ v

n
(km/h)
( ). (35 ).3 105 3
x n n n
S v v t v v⇒ = + = + = +
(1)
Khi xuồng máy đi ngược dòng: v = v
x
- v
n
(km/h)
( ). (35 ).4 140 4
x n n n
S v v t v v⇒ = − = − = −
(2)
Từ (1) (2) ta có
105 3 140 4 5 /
n n n
v v v km h+ = − ⇒ =
Thế v
n
= 5km/h vào (1) ta được S = 105 + 3.5 = 120km.
2. Một chiếc Canô chuyển động theo dòng sông thẳng từ bến A đến bến B xuôi theo dòng
nước. Sau đó lại chuyển động ngược dòng nước từ bến B đến bến A. Biết rằng thời gian đi
từ B đến A gấp 1,5 lần thời gian đi từ A đến B (nước chảy đều). Khoảng cách giữa hai bến
A, B là 48 km và thời gian Canô đi từ B đến A là 1,5 giờ. Tính vận tốc của Canô, vận tốc
của dòng nước và vận tốc trung bình của Canô trong một lượt đi về?
Giải
Cho biết: t
2

=1,5h ; S = 48 km ; t
2
=1,5 t
1
⇒

t
1
=1 h
Cần tìm: V
1
, V
2
, V
tb
Gọi vận tốc của Canô là V
1

Gọi vận tốc của dòng nước là V
2

Vận tốc của Canô khi xuôi dòng từ bến A đến bến B là:
V
x
=V
1
+V
2
Thời gian Canô đi từ A đến B.
t

1
=
21
48
VVV
S
N
+
=

⇒
1 =
21
48
VV +

⇒
V
1
+ V
2
= 48 (1)
Vận tốc của Canô khi ngược dòng từ B đến A. V
N
= V
1
- V
2
Thời gian Canô đi từ B đến A :
t

2
=
21
48
VVV
S
N
−
=

⇒
V
1
- V
2
= 32 (2).
Công (1) với (2) ta được.
2V
1
= 80
⇒
V
1
= 40km/h
Thế V
1
= 40km/h vào (2) ta được.
40 - V
2
= 32

⇒
V
2
= 8km/h.
Vận tốc trung bình của Canô trong một lượt đi - về là:
V
tb
=
hkm
tt
S
/2,19
5,11
48
21
=
+
=
+
Bài 2:
Một xuồng máy xuôi dòng từ A - B rồi ngược dòng từ B - A hết 2h 30ph
a) Tính khoảng cách AB biết vận tốc xuôi dòng là 18 km/h vận tốc ngược dòng là 12 km/h
b) Trước khi thuyền khởi hành 30ph có một chiếc bè trôi từ A. Tìm thời điểm và vị trí
những lần thuyền gặp bè?
Giải
a. Gọi chiều dài quảng đường từ A đến B là S(km)
Thời gian đi từ A-B-A :
2 3 5
2,5
18 12 36 36

xd nd
S S S S S S S
t
v v
+
= + = + = = =
Suy ra :
18S km=
b. Gọi V
n
là vận tốc của dòng nước (km/h)
18
Theo đề bài ta có :
18 15 /
12 3 /
xd x n x
nd x n n
v v v v km h
v v v v km h
= + = =
 
⇒
 
= − = =
 
c. + Xét lần gặp thứ nhất khi đi xuôi dòng :
Gọi t (h) là thời gian từ khi xuồng xuất phát đền khi gặp bè.
Ta có :
. ( 0,5) 18 3 1,5 0,1
x b xd n

S S v t v t t t t h= ⇔ = + ⇔ = + ⇒ =
Khi đó xuồng đã cách A :
1
. 18.0,1 1,8
xd
S v t km= = =
+ Xét lần gặp thứ hai khi xuồng đã đi đến B và quay lại A :
Thời gian xuồng đi từ A đến B :
1
18
1
18
x
xd
AB
t h
v
= = =
Khi đó bè đã đi được :
1 0,5 1,5
b
t h= + =
Quãng đường bè đã đi được :
3.1,5 4,5
b
S km= =
Khi đó khoảng cách bè và xuồng còn lại : 18 – 4,5 = 13,5km
Gọi t
’
là thời gian khi xuồng xuất phát từ B đến khi gặp bè :

' ' '
( ). 13,5 15 13,5 0,9
b nd
v v t t t h+ = ⇔ = ⇒ =
Tổng thời gian mà xuồng đã đi :
1 0,9 1,9t h= + =
Khi đó xuồng cách A : 18 - v
nd
.t
’
= 18 – 12.0,9 = 7,2km
Bài 3: Một chiếc thuyền đi từ bến A đến bến B trên một dòng sông rồi quay về A. Biết rằng
vận tốc của thuyền trong nước yên lặng là 12km/h . Vận tốc của dòng nước so với bờ sông
là 2km/h . khoảng cách AB là 14km. Tính thời gian đi tổng cộng của thuyền.
HD: Gọi t
1
, t
2
(h) là thời gian thuyền xuôi dòng từ A ->B và ngược dòng từ B->A
- Gọi v
1
, v
2
là vận tốc thuyền trong nước yên lặng và vận tốc dòng nước so với bờ.
- Ta có
1
1 2
14
1
12 2

S
t h
v v
= = =
+ +
;
2
1 2
14
1,4
12 2
S
t h
v v
= = =
− −
- Thời gian tổng cộng thuyền đi là:
1 2
1 1,4 2,4t t t h= + = + =

Bài 4: Một người đánh cá bơi thuyền ngược dòng sông. Khi tới chiếc cầu bắc ngang sông,
người đó đánh rơi một cái can nhựa rỗng. Sau 1 giờ, người đó mới phát hiện ra, cho thuyền
quay lại và gặp can nhựa cách cầu 6 km. Tìm vận tốc của nước chảy, biết rằng vận tốc của
thuyền đối với nước khi ngược dòng và xuôi dòng là như nhau.
A
C
B
- Ký hiệu A là vị trí của cầu, C là vị trí thuyền quay trở lại và B là vị
trí thuyền gặp can nhựa. Ký hiệu u là vận tốc của thuyền so với nước,
v là vân tốc của nước so với bờ. Thời gian thuyền đi từ C đến B là:

( ).1 6
CB CA AB
CB
S S S
u v
t
u v u v u v
+
− +
= = =
+ + +
(Vì:
( ).1
xuoi nguoc
s S u v= = −
)
- Thời gian tính từ khi rơi can nhựa đến khi gặp lại can nhựa là:

6 ( ).1 6
1
AC CB
u v
t t
v u v
− +
= + = +
+
(Vì: khi rớt đến khi quay lại nước chỉ đẩy can đi đúng 6km:
6

t
v
=
)
- Rút gọn phương trình trên ta có:
2. 6v
=

⇒

3v
=
(km/h)
19
Dạng 5: Chuyển động tròn đều.
- Khi vật đi một vòng thì chiều dài quãng đường bằng chu vi hình tròn: C =
2 R
Π
- Số lần gặp nhau giữa các vật được tính theo số vòng chuyển động của vật.
Bài 1 : Một người đi bộ và một người đi xe đạp cùng khởi hành ở một địa điểm và
đi cùng chiều trên một đường tròn bán kính
900
R =
Π
(m). Vận tốc của người đi xe đạp
là v
1
= 6,25m/s, của người đi bộ là v
2
= 1,25m/s.

a. Hỏi người đi bộ đi được một vòng thì gặp người xe đạp mấy lần ?
b. Tính thời gian và địa điểm gặp nhau đầu tiên khi người đi bộ đi được 1 vòng.
Giải
a. Chu vi đường tròn :
900
2 2. . 1800C R m= Π = Π =
Π
Thời gian người đi bộ đi hết một vòng :
2
1800
1440
1,25
C
t s
v
= = =
Coi người đi bộ đứng yên so với người đi xe đạp. Vận tốc của người đi xe đạp so với
người đi bộ là :
1 2
6,25 1,25 5( / )v v v m s= − = − =
Quãng đường của người đi xe đạp so với người đi bộ :
2
. 5.1440 7200s v t m= = =
20
Số vòng của người đi xe đạp so với người đi bộ :
2
7200
4
1800
s

n
C
= = =
vòng
Vậy người đi xe đạp gặp người đi bộ 4 lần.
b. Khi đi hết 1 vòng so với người đi bộ thì người đi xe đạp gặp người đi bộ 1 lân ở
cuối đường.
- Thời gian người đi xe đạp đi hết 1 vòng so với người đi bộ :
1800
360 0,1
5
C
t s h
v
= = = =
- Quãng đường người đi bộ cách vị trí đầu tiên :
1 2
1,25.360 450x v t m= = =
Bài 2 : Một người đi bộ và một vận động viên xe đạp cùng khởi hành ở một địa điểm,
và đi ngược chiều trên một đường tròn chu vi C = 1,8km. Vận tốc của người đi xe
đạp là v
1
= 22,5km, của người đi bộ là v
2
= 4,5km. Hỏi khi người đi bộ đi được một
vòng thì gặp người đi xe đạp mấy lần. Tính thời gian và địa điểm các lần gặp nhau
đó ?
Giải
a. Thời gian người đi bộ đi hết một vòng :
2

1,8
0,4
4,5
C
t h
v
= = =
Coi người đi bộ đứng yên, vận tốc của người đi xe đạp so với người đi bộ:
1 2
22,5 4,5 27 /v v v km h= + = + =
Quãng đường người đi xe đạp đi được trong 0,4h :
2
0,4.27 10,8s km= =
Số vòng của người đi xe đạp đi được so với người đi bộ:
2
10,8
6
1,8
s
n
C
= = =
vòng
Vậy khi người đi bộ đi hết 1 vòng thì sẽ gặp người đi xe đạp 6 lần.
b. Thời gian người đi xe đạp đi được 1 vòng so với người đi bộ :
1,8 1
27 15
C
t h
v

= = =

- Lần gặp thứ nhất sau khi xuất phát t = t
1
=
1
15h
, khi đó cách vị trí đầu tiên :
1 2 1
1
4,5. 0,3
15
x v t km= = =
21
CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 3 : Một người đi xe máy từ Nậm Hàng về Kan Hồ cách nhau 45 km. Trong nửa
quãng đường đầu người đó đi với vận tốc
1
v
.
Trong nửa quãng đường sau người đó đi
với vận tốc
12
3
2
vv =
. Tính vận tốc của người đó trên mỗi chặng đường để sau 1h30ph
người đó đến được Kan Hồ .
Giải

Thời gian xe máy đi hết nửa đoạn đường đầu là:
1
2
45
v
(giờ)
Thời gian xe máy đi hết nửa đoạn đường sau là:
2
2
45
v
(giờ)
Theo bài ra ta có
1
2
45
v
+
2
2
45
v
= 1,5 h
mà
12
3
2
vv =
nên ta có
1

2
45
v
+
1
3
2
.2
45
v
= 1,5
↔
5,1
4
3
2
1
45
11
=








+
vv

↔
45
5,1
4
5
1
=
v
22
↔
5,37
4
5.30
1
==v
(km/h)→
255,37.
3
2
2
==v
(km/h)
Bài tập 4:
Luc 7 giờ một người đi xe đạp đuổi theo một người đi bộ cách anh ta 10 km. Cả hai
người đều chuyển động đều với vận tốc là 12km/h và 4km/h. Tìm vị trí và thời gian
người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ.
Giải :
V
1
V

2

A B C
Gọi vận tốc và quãng đường mà người đi xe đạp là V
1
, S
1
Gọi vận ttốc và quãng đường mà người đi bộ là V
2
, S
2

Ta có :
Người đi xe đạp đi được quãng đường là : S
1
= V
1
.t
Người đi bộ đi được quãng đường là : S
2
= V
2
. t
Khi người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ thì hai người sẽ gặp nhau tại C
Hay : AC = AB + BC
 S
1
= S + S
2
 V

1
.t = S + V
2
.t
 ( V
1
- V
2
)t = S => t = S/(V
1
- V
2
) => t = 1,25 giờ )
Vì xe đạp khởi hành lúc 7 giờ nên thời điểm mà hai người gặp nhau là :
t' = 7 + t = 7 + 1,25 = 8,25 giờ hay t' = 8 giờ 15 phút
Vị trí gặp nhau cách A khoảng AC :
AC = S
1
= V
1
.t = 12 . 1,25 = 15 km
Vậy vị trí mà hai người gặp nhau cách A khoảng 15 km.
23