GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.08 KB, 20 trang )
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1. Giải các bất phương trình sau :
a.
2
4 15 13 4 3
1 1
2 2
x x x− + −
<
÷ ÷
b.
2 1 2 3 2 5 7 5 3
2 2 2 2 2 2
x x x x x x− − − − − −
+ − > + −
c.
1 1
3
3 3 84
x x
+
+ >
d.
1
1
1
2
16
x
x−
>
÷
GIẢI
a.
( )
2
4 15 13 4 3
2
2 2
1 1 3
4 15 13 4 3 4 12 9 0 2 3 0
2 2 2
x x x
x x x x x x x
− + −
< ⇔ − + > − ⇔ − + > ↔ − > → ≠
÷ ÷
b.
2 1 2 3 2 5 7 5 3
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
− − − − − −
+ − > + −
Nhân hai vế bất phương trình với
2 0
x
>
, bất phương trình trở thành :
3 3 3 5
3 7 5 3 3 3 3 8
1 2 2 16 4 1 19.2 2 . 8
.2 2 2 2 2 19.2 2 2 3 8
2 8 32 32 19. 3
x x
x x x
x x
+ −
⇔ + − > + − ⇔ > ⇔ > = ↔ > → >
÷
c.
( )
1 1 1 1
3
84 1 1
3 3 84 3 27 1 84 3 3 1 0 0 1
28
x x x x
x
x
x x
+
−
+ > ⇔ + > ⇔ > = ↔ > ⇔ > ⇔ < <
d.
1
4
2
1 1
1 4 4
2 2 2 1 0 0
16
x
x x
x
x x
x x
x x
−
− −
− +
> ⇔ > ⇔ − > − ⇔ > ⇔ >
÷
. Vì :
2
4x x− +
>0 .
Bài 2. Giải các bất phương trình sau :
a.
1
1
1
5
25
x
x+
<
÷
b.
3
2
log
2
5 1
x+
<
c.
2
2
40
1
4 3
2
1
3
3
x
x x
−
− +
<
÷
d.
2
2
9 8 3
7
1
7
7
x x
x
− − +
−
<
÷
GIẢI
a.
1
2
2
1 1
1 2 2 2
5 5 5 1 1 0 0 0
25
x
x x
x
x x
x x x
x x x
−
+ +
+ +
< ⇔ < ⇔ + < − ⇔ + + < ⇔ < ↔ <
÷
.
Vì :
2
2x x+ +
>0 .
b.
3
2
log
0
2
3
2 2
5 1 5 log 0 0 1 2 0
2 2
x
x
x x
+
< = ⇔ < ⇔ < < ⇔− < <
+ +
c.
2
2 2
2
40
1 1
4 3 4 3
40 2 2 2
2 2
1
1 1 1
16
3 3 3 4 3 40 36 3 0
1
3 2 2
12
x
x x x x
x
x
x x x x x
x
−
− + − +
< −
< ⇔ < ⇔ − + < ⇔ + − > ⇔
÷
>
d.
2
2 2 2
9 8 3
7 9 8 3 7 2 2 2
1 3 1
7 7 7 9 8 3 7 16 8 3 0
7 4 4
x x
x x x x
x x x x x x
− − +
− + − −
< ⇔ < ⇔ + − < − ↔ + − < ⇔ − < <
÷
Lê Quân
1
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
Bài 3. Giải các bất phương trình sau :
a.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + ≤
b.
1
1
2x 1
3x 1
2 2
−
+
≥
c.
x x
3 9.3 10 0
−
+ − <
d.
x x x
5.4 2.25 7.10 0
+ − ≤
GIẢI
a.
1
2 1
1 1 1
2
0
3
3 3
0
6.9 13.6 6.4 0 6. 13. 6 0
2 3
2
2 2
3 2
6 13 6 0
x
x x
x x x
t
t
t
t t
>
= >
÷
− + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ⇔
÷ ÷
≤ ≤
− + ≤
1
1
2 3 3 1
1 1
1
3 2 2
x
x
x
x
≤ −
⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ↔
÷
≥
b.
( ) ( )
−
+
>
>
>
+ > −
≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔
<
− +
<
≥
− ≥
− +
− +
1
1
2x 1
3x 1
1
1
x
x
2
2
x 2
3x 1 2x 1
1 1
2 2
1
1
x
2x 1 3x 1
x
2
2
5x
1 1
0
0
1 2x 3x 1
1 2x 3x 1
>
⇔ < <
− < <
x 2
1
0 x
2
1
x 0
3
c.
−
= > >
+ − < ⇔ ⇔ ⇔ < < ↔ < <
< <
− + <
x
x x x
2
t 3 0 t 0
3 9.3 10 0 1 3 9 0 x 2
1 t 9
t 10t 9 0
d.
=
÷
+ − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔
÷ ÷
− + ≤
x
x x
x x x
2
5
t
25 5
5.4 2.25 7.10 0 5 2. 7 0
2
4 2
2t 7t 5 0
>
⇔ ⇔ ≤ ≤ ↔ ≤ ≤
÷
≤ ≤
x
t 0
5 5
1 0 x 1
5
2 2
1 t
2
Bài 4. Giải các bất phương trình sau :
a.
x 1 x
1 1
3 1 1 3
+
≥
− −
b.
2 x x 1 x
5 5 5 5
+
+ < +
c.
x x x
25.2 10 5 25− + >
d.
x x 2 x
9 3 3 9
+
− > −
GIẢI
Lê Quân
2
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
a.
( ) ( )
+ +
= >
≥ ⇔ − ≥ ⇔
−
≥
− − − −
− −
x
x 1 x x 1 x
t 3 0
1 1 1 1
0
2 4t
0
3 1 1 3 3 1 1 3
3t 1 1 t
≤ < <
<−
⇔ ⇔ ⇔
− ≤ <
≤ < ≤ <
x
x
3
1 1
0 t 3
x 1
3 3
log 2 x 0
1 1
t 1 3 1
2 2
b.
2 x x 1 x
5 5 5 5
+
+ < +
. Nhân hai vế bất phương trình với
5 0
x
>
.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 2
5 5 5 5 5 5 5 5.5 0 5 5 1 5 5 1 0
5 1 5 5 0 1 5 5 0 1 0 1
x x x x x x x x x
x x x
x x
+
⇒ + < + ⇔ − + − < ⇔ − − − <
⇔ − − < ⇔ < < ⇔ < < ↔ < <
c.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
− + > ⇔ − − − > ⇔ − − − >
− > >
>
− > < <
⇔ − − > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
<
− < <
>
− < >
x x x x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
25.2 10 5 25 25.2 25 2 .5 5 0 25 2 1 5 2 1 0
2 1 0 2 1
x 0
25 5 0 5 25 x 2
2 1 25 5 0 0 x 2
x 0
2 1 0 2 1
x 2
25 5 0 5 25
d.
( )
+
− ≥
− <
= >
− > − ⇔ ⇔
− ≥
− > −
− > −
2
x
x x 2 x
2
2
2
t 9t 0
t 9 0
t 3 0
9 3 3 9
t 9 0
t 9t t 9
t 9t t 9
≤ ∨ ≥
<
⇔ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ↔ ≥
≥
>
x
t 0 t 9
t 9
t 9 3 9 x 2
t 9
t 9
Bài 5. Giải các bất phương trình sau :
a.
2
x x
1 5 25
−
< <
b.
2 x
(x x 1) 1− + <
c.
x 1
2
x 1
(x 2x 3) 1
−
+
+ + <
d.
2
3
2 x 2x 2
(x 1) x 1
+
− > −
GIẢI
a.
−
− + >
< < ⇔ < − < ⇔− < − < ⇔ ⇔− < <
− − <
2
2
x x
2 2
2
x x 2 0
1 5 25 0 x x 2 2 x x 2 1 x 2
x x 2 0
Lê Quân
3
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
b.
< − + < − < < <
> > >
< <
− + < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
<
< ∨ >
− + > − >
<
< <
2 2
2 x
2 2
0 x x 1 1 x x 0 0 x 1
x 0 x 0 x 0
0 x 1
(x x 1) 1
x 0
x 0 x 1
x x 1 1 x x 0
x 0
x 0 x 0
c Do :
+ +
2
x 2x 3
>2 , cho nên :
−
+
−
+ + < ⇔ < ⇔ − < <
+
x 1
2
x 1
x 1
(x 2x 3) 1 0 1 x 1
x 1
.
d.
+
+
+
< − <
< <
− >− −
− > − ⇔ ⇔
>
− >
+ − >
− > −
2
2
2
2
2
2 x 2x 2 3
3
2 x 2x 2
2
2
2
2 x 2x 2 3
0 x 1 1
1 x 2
luon dung
( x 1) (x 1)
(x 1) x 1
x 2
x 1 1
x 2x 3 0
( x 1) (x 1)
< <
< <
⇔ ⇔
>
<− ∨ >
<− ∨ >
1 x 2
1 x 2
x 2
x 3 x 2
x 3 x 0
Bài 6. Giải bất phương trình :
a.
1 x x
x
2 1 2
0
2 1
−
+ −
≤
−
b.
2
65
3
1
3
1
2
+
−+
>
x
xx
c.
( )
( )
12log
log
5,0
5,0
2
25
08,0
−
−
−
≥
x
x
x
x
d.
12
3
1
.9
3
1
/12/2
>
+
+
xx
GIẢI
a.
( )
( ) ( )
−
= >
>
< < < < <
+ −
≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ −
− + +
≥ >
≥−
≤
≥
−−
x
x
1 x x
2
x
x
t 2 0
t 0
0 t 1 0 2 1 x 0
2 1 2
0
t 1 t 2
t t 2
t 2 x 1
02 1
0
2 2
t(t 1)t t 1
b.
( )
2
2
5 6 2 2
2
2
2
5 6
2
1 1
3 3 5 6 2
3
5 6 2
3
x x x
x
x x
x
x x x
x x x
+ − +
+
+ −
> −
> ⇔ < ⇔ + − < + ⇔
+ − < +
2
2 10
10
x
x
x
>−
⇔ →− < <
<
c Vì :
2 2
2
8 2 2 5 5 2
0,08
100 25 5 2
2
−
−
= = = = =
÷ ÷
÷
÷ ÷
( )
( ) ( )
( )
0,5 1 0,5
2
0,5
log 2 1 log log 2 1
log
1 1
2 2
5 2 5 2 5 2
0,08 log log 2 1
2 2 2
x x
x
x
x x x
x
x x
x x
− −
−
−
− − −
− −
≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ −
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
Lê Quân
4
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
1 3
1
0 1
2 2
2
1
3
0 2 1
1
3
1
2
3
2
1
1
2
2
1
2 1 0
1
2
x
x
x
x x
x
x
x
T
x
x x
x
< <
< − <
>
< ≤ −
< <
⇔ ⇔ ⇔ → < <
>
= ∅
− >
≥ − >
< ≤
d.
2/ 2 1/ 1
2
1
0
0
1 1 1 1
9. 12 3 1
3
4 3
3 3 3 3
12 0
x
x x x
t
t
t x
t t
t t
+ −
>
= >
÷
+ > ⇔ ⇔ ⇔ > ⇔ > → < −
÷ ÷ ÷ ÷
< − ∨ >
+ − >
Bài 7. Giải bất phương trình :
a.
( ) ( )
14347347
≥++−
xx
b.
010.725.24.5
≤−+
xxx
c.
3
33
8154154
x
xx
≥++−
d.
( ) ( )
1
1
1
2525
+
−
−
−≥+
x
x
x
GIẢI
a.
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
7 4 3 7 4 3 14 2 3 2 3 14 2 3 2 3 14
x x
x x
x x
− + + ≥ ⇔ − + + ≥ ⇔ − + + ≥
÷ ÷
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 3 0
2 3 2 3
0
0 7 4 3 2
1
2
14 1 0
7 4 3
14
2 3 2 3
x
x
x
t
t
t x
x
t t
t
t
t
−
= + >
+ ≤ +
>
< ≤ − ≤ −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
≥
− + ≥
≥ +
+ ≥
+ ≥ +
b.
=
÷
+ − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔
÷ ÷
− + ≤
x
x x
x x x
2
5
t
25 5
5.4 2.25 7.10 0 5 2. 7 0
2
4 2
2t 7t 5 0
>
⇔ ⇔ ≤ ≤ ↔ ≤ ≤
÷
≤ ≤
x
t 0
5 5
1 0 x 1
5
2 2
1 t
2
c.
(
)
(
)
3 3
3
4 15 4 15 8 2
x
x x
x
− + + ≥ =
d.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
5 2 5 2 5 2 5 2 1 1 1 0
1 1
x x
x x
x x
x
x x
x x
− −
− − −
+ +
−
+ ≥ − ⇔ + ≥ + ⇔ − ≥ − ⇔ − + ≥
÷
+ +
( ) ( )
2 1
1 2
0
1
1
x
x x
x
x
− ≤ < −
− +
⇔ ≥ ⇔
≥
+
Bài 8. Giải bất phương trình :
Lê Quân
5
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
a.
02515.349
12212
222
≥+−
+−−+− xxxxxx
b.
1
23
23.2
2
≤
−
−
+
xx
xx
c.
( ) ( )
025353
2
22
21
22
≤−−++
−+
−−
xx
xxxx
d.
04.66.139.6
222
222
≤+−
−−−
xxxxxx
GIẢI
a.
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 1 2 2 1
2
5
0
15 25
9 34.15 25 0 9 34. 25. 0
3
9 9
25 34 9 0
x x
x x x x
x x x x x x
t
t t
−
− −
− + − − +
= >
÷
− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔
÷ ÷
− + ≥
2
2
2
2
2
2
2 2
5
1
0 1 0
0 2
0 2
2 0
3
9 9
1
2 2 0
1 3 1 3
2 2
5 5
25 25
3 3
x x
x x
t t
x x
x x
x x
t t t
x x
x
x x
−
− −
≤
< ≤ >
÷
≤ ∨ ≥
≤ ∨ ≥
− ≤
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
≥ ≤ ∨ ≥
− − ≤
− ≤ ≤ +
− ≥ −
≥
÷ ÷
b.
2 2
3
3 0
2.3 2 2.3 2 3 3.2
2
1 1 0 0 0
3
3 2 3 2 3 2
0
3
1
1
2
x
x x x x x x
x
x x x x x x
t
t
t
+ +
− >
÷
− − −
≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔
−
− − −
≤
−
−
÷
3
2
0
3
1 3 0 log 3
1 3
2
x
t
x
t
>
⇔ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
÷
< ≤
c.
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
0
3
0
9 3
6.9 13.6 6.4 0 6. 13. 6 0
2
2 3
4 2
3 2
6 13 6 0
2 1 0
2 3 3 1
1 2 1 1
1
3 2 2 2
1
2 1 0
2
x x
x x x x
x x x x x x
x x
t
t
t
t t
x R
x x
x x x
x
x x
−
− −
− − −
−
>
= >
÷
− + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ⇔
÷ ÷
≤ ≤
− + ≤
∈
− + ≥
⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ⇔ ⇒ − ≤ ≤
÷
− ≤ ≤
− − ≤
d.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 2 2
3 5 3 5 2 0 3 5 3 5 2.2
x x x x x x x x
x x x x
− − − −
+ − −
+ + − − ≤ ⇔ + + − ≤
2 2
2 2
3 5 3 5
2
2 2
x x x x
− −
+ −
⇔ + ≤
÷ ÷
÷ ÷
2
2
2
2
2
2
3 5
0
0
0
3 5
2
1 1 2 0
2
2
2 1 0
1
2 0
x x
x x
t
t
x
t x x
x
t t
t
t
−
−
+
= >
÷
>
=
÷
+
⇔ ⇔ ⇒ = ⇔ = ↔ − = →
÷
÷
=
− + ≤
+ − ≤
Bài 9.Giải các bất phương trình sau :
Lê Quân
6
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
a.
8log2
16
1
4
1
4
1
>
−
−
xx
b.
12
3
1
.9
3
1
/12/2
>
+
+
xx
c.
( )
88
1214
−>−
−−
xx
exxex
d.
2
6 6
log x log x
6 x 12+ ≤
GIẢI
a.
1 1 2 2
4
1
4
2
1 1 1 1 1 1
2log 8 3 4. 3
4 16 4 4 4 4
1
0
1
1 3 1 3 log 3 0
4
4
4 3 0
x x x x x x
x
x
t
t x
t t
− −
− > ⇔ − > ⇔ − >
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
= >
÷
⇔ ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < <
÷
− + <
2/ 2 1/ 1
2
1
0
0
1 1 1 1
. 9. 12 3 1
3
4 3
3 3 3 3
12 0
x
x x x
t
t
b t x
t t
t t
+ −
>
= >
÷
+ > ⇔ ⇔ ⇔ > ⇔ > → < −
÷ ÷ ÷ ÷
< − ∨ >
+ − >
c.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 1 2 1 4 3 1 1 3 1 1
1 1
3 3
1 3
1 1
3 3
8 8 8 8 0 8 0
0 0
8 0 8 0
2
8 0
1
0 0
8 0 8 0
x x x x x x
x x
x
x x
x e x x e x x e e x x x e x e
x e x e
x x
x
x e x
x
x e x e
x x
− − − − − −
− −
−
− −
− > − ⇔ − − − > ⇔ − + − >
− < − <
+ < + <
< −
⇔ − + > ⇔ ⇔ ⇔
>
− > − >
+ > + >
d.
( )
+ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
2 2 2
6
6 6 6 6 6
log x
log x log x log x log x log x
2
6
6 x 12 6 6 12 6 6 log x 1
⇔ − ≤ < ⇔ ≤ ≤
6
1
1 log x 1 x 6
6
Bài 10 . Giải các bất phương trình sau :
a.
62.3.23.34
212
++<++
+
xxxx
xxx
b.
( ) ( )
x
xx
x
xx
x
2
log2242141
2
1272
22
+−−≤
−+−+
c.
xx
xxxxxxx 3.43523.22352
222
+−−>+−−
GIẢI
a.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 1 2 2 2
2 2
4 3 . 3 2.3 . 2 6 4 2.3 . 3 . 2 3.3 6 0
2 3 2 3 2 3 3 2 0 3 2 2 3 0
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
+
+ + < + + ⇔ − + − + − <
⇔ − + − + − < ⇔ − + + <
Lê Quân
7
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
2
2
3 3
2
0
3 2 0
3 2
2 3 0
3
1
log 2 log 2
2
3 2 0
3 2
2 3 0
3
1
2
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
≥
− <
<
+ + <
− < < −
⇔ ⇔ ⇒ > ↔ >
− >
>
+ + >
< − ∨ > −
b.
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
7 12 0 7 12 0
3
2 2
2 7 12 1 14 2 24 2 log : 14 2 24 0 7 12 0
4
0 1 0 1
x
x x x x
x
x x x x dk x x x x
x
x x
x x
− + ≥ − + ≥
=
+ − + − ≤ − − + ↔ − − ≥ ⇔ − + ≤ ⇔
÷
=
< ≠ < ≠
- Với :x=3: PT
( )
3 3 3
2 2 2 4 4 2
2. 1 2.log log log 0 1
3 3 3 9 9 3
⇔ − ≤ ↔ − ≤ → + ≥
÷
. Ta lại có :
2
3
3
3
3
3
3 3 3 3 3 3
3 2
4 2 4 4 1 64
log log log 3 log . 9 log 4 . log 0
9 3 9 9 91
9
⇔ + = + = = = <
÷
÷
.
Không thỏa mãn điều kiện (1) , nên : x=3 không là nghiệm .
- Với x=4 : PT trở thành :
2
2 2 1
2 1 2.log 0
4 2 2
− ≤ ⇔ − ≤
÷
. Bất phương trình đúng . Vậy
nghiệm của bất phương trình là : x=4 .
( )
( )
( ) ( ) ( )
(
)
2 2 2 2 2 2
2 2
. 2 5 3 2 2 .3 2 5 3 4 .3 2 .3 2 5 3 2 5 3 4 .3 2 0
2 5 3 2 .3 1 2 2 .3 1 0 2 .3 1 2 5 3 2 0
x x x x
x x x
c x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
− − + > − − + ⇔ − − − − − + − <
⇔ − − − + − < ⇔ − − − + < ⇔
- Do tập xác định của bất phương trình là :
2
1 1
2 5 3 0 2 ;2
3 3
x x x D
− − ≥ ⇔ − ≤ ≤ → = −
- Xét :
( )
( )
( ) 2 .3 1 '( ) 2 3 3 ln3 2.3 1 ln 3
x x x x
f x x f x x x= − → = + = +
.
* Với x thuộc
1
;0
3
− ⇒
f'(x)<0 . Hàm số ngịch biến . Nhưng f0)=-1<0. Cho nên
2 2 2
1
( ) 2 .3 1 0 ;0 2 5 3 2 0 2 5 3 2 5 2 0
3
x
f x x x x x x x x x x x
= − < ∀ ∈ − ⇒ − − + > ⇔ − − > − ⇔ − − <
5 41 5 41
2 2
x
− − − +
→ < <
. Kết hợp với tập xác định nghiệm bất phương trình :
1
;0
3
T
= −
* Với :
[ ]
0;2 '( ) 0x f x∈ ⇒ >
. Hàm f(x) đồng biến . Với f(2)=2.2.
2
3 1−
=35>0 , f(0)=-1<0 ,
f(0)
1 2BPT⇒ ⇔ − <
. Do vậy : bất phương trình thỏa mãn
Lê Quân
8
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
Tóm lại : Với mọi
1
;2
3
x
∈ −
, bất phương trình luôn đúng
1
;2
3
T
⇒ = −
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1. Giải các bất phương trình sau :
a.
0
5
34
log
2
2
3
≥
−+
+−
xx
xx
b.
0
2
1
loglog
2
3
6
>
+
−
+
x
x
x
c.
1
2
23
log
>
+
+
x
x
x
d.
( )
13log
2
3
>−
−
x
xx
GIẢI
a.
2
2 2
2 2
2 2
2 2
3
2 2
2
2
2
2
0
0
4 3 3 2
1 0 0
5 5
0 4 0 4
4 3 2 5 2
1 0
4 3 4 3
5
log 0 1
5 5
4 5
4 3
1 0
5
5
4 3
1 0
5
x
x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x x
x x
x
x x
x x
≤
≤
− + − −
− ≥ ≥
− + − +
< ≤ < ≤
− + + − + −
− ≥
− + − +
− + −
≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔
+ − + −
< ≤
− +
− ≥
− +
>
− +
− ≥
+ −
2
2
2
2
3
0
1
5
2
2
4 5
5
3 2
0
5
5
5 8
0
5
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
≤ −
≥
+
⇔ ≤ ≤
< ≤
>
− −
≥
− +
>
− +
≥
+ −
b.
2
6 2
3
2
6
6 3
0 1
6 3
3
3
0
1 1
2
0 log 1 1 2
1
2 2
5
log log 0
0
2
6 3
2
1
3
1
3
2
1
2
log 1
5
0
2
2
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
− < < −
< <
− < < −
<
− −
+
< < < <
−
+ +
+
> ⇔ ⇔ ⇔
÷
>
+
+ > −
+
>
−
> −
>
−
+
>
+
<
+
+
6 3
2
6 5
5 2
3 2
3
5 2
x
x
x
x x
x
x
x
− < < −
< −
− < < −
< − ∨ > −
⇔ ⇔
− < < −
> −
− < < −
Lê Quân
9
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
c.
2 2 2
2 2 2
0 1
0 1 0 1 0 1
3 2
0
3 2 2 2 0 2 0
3 2
2
log 1
2
1
1 1 1
3 2
3 2 2 2 0 2 0
0
2
x
x
x x x
x
x
x x x x x x x
x
x
x
x
x x x
x
x x x x x x x
x
x
< <
< < < < < <
+
< <
+ < + − − > − − >
+
+
> ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+
>
> > >
+
+ > + − − < − − <
> >
+
1 2
1 2
T
x
x
= ∅
⇔ ⇒ < <
< <
d.
( )
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
0 3
3 5 3 5
3 0
2 2
3 1 0
0 3 1
3
3 0
0 3 3
1 3
4 3 0
log 3 1
3 1
3 5 3 5
3 1 0
2 2
3 3 0
4 3 0
1
3 0
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
−
< <
− +
− >
< ∨ >
− + >
< − <
<
− >
< − < −
< <
− + <
− > ⇔ ⇔ ⇔
− >
− +
− + <
< <
− > − >
− + >
< ∨
− >
3
0 3
x
x x
>
< ∨ >
Kết hợp trên trục số ta có hệ thứ hai vô nghiệm , vậy nghiệm của bất phương trình là
nghiệm của hệ thứ nhất :
3 5
0
2
3 5
3
2
x
x
−
< <
⇔
+
< <
Bài 2. Giải các bất phương trình sau :
a.
( )
2385log
2
>+−
xx
x
b.
( )
( )
103
5log
35log
3
≠<>
−
−
avíi
x
x
a
a
GIẢI
Lê Quân
10
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
( )
2
2 2
2
2
2 2
2
0 1
0 1
3
0 1
1
3
5 8 3 0
5
0
0 5 8 3
5
1 3
4 8 3 0
. log 5 8 3 2
3
1
2 2
1
2
5 8 3
1
4 8 3 0
1 3
2 2
x
x
x
x
x x
x x
x
x x x
x x
a x x
x
x
x
x
x x x
x
x x
x x
< <
< <
< <
< ∨ >
− + >
< <
< − + <
− + <
− + > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
< <
>
>
>
− + >
>
− + >
< ∨ >
b.
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
3 2
3
5
3 2
3
4 5
0 5 1
0 35
0 35 5
log 35 5 18 0
3 log 35 3
log 5
5 1 4
5 18 0
35 5 0
5
a
x
a
x
x
x
x x
x x x
x
x
x x
x x
x x
x
−
< <
< − <
< −
< − < −
− − + >
> ⇔ − > ⇔ ⇔
−
− > >
− + <
− > − >
<
3
4 5
35
4 5
4 5
4
5
x
x
x R
x
x
x
x
x R
x
< <
<
∈
∈∅
⇔ ⇔ → < <
< <
>
∈
<
Bài 3. Giải các bất phương trình sau :
a.
( )
1log
1
132log
1
3/1
2
3/1
+
>
+−
x
xx
b.
14log.2log.2log
22
>
x
xx
c.
2
1/ 5 1/ 25
5 5
log ( 5) 3log ( 5) 6log ( 5) 2 0x x x− + − + − − ≤
d.
3log29log4log
33
2
3
−≥+−
xxx
GIẢI
a.Hướng dẫn : - Tìm tập xác định của từng hàm số logarit một
- Tìm các giá trị của x sao cho hai logarit dương ( các giá trị x còn lại trong D thì chúng
âm ) - Lập bảng xét dấu cho hai logarit , sẽ suy ra tập nghiệm cần tìm .
( )
1 3
0; 1; 5;
2 2
T
⇔ = ∪ ∪ +∞
÷ ÷
Lê Quân
11
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
b. ĐK:
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
log
log
1 1
0 1
2 log 1
2 1
2
1 1 2
2
1
. . 2 1
0
0 2 0 log 2
1
1
1 2
2
t x
t x
x
x
x
t
t
t
x
t x
t t
t t
x
=
=
< ≠
< <
− < < −
− < < −
⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
−
+ >
>
≠
< < < <
+
+
< <
c.
2
1/5 1/ 25
5 5
log ( 5) 3log ( 5) 6log ( 5) 2 0x x x
− + − + − − ≤
( ) ( )
( )
( )
5
2
5 5 5 5
2
log 5
2 6
log ( 5) 3. log 5 log 5 2 0 1 log 5 2
3 2
2 0
t x
x x x x
t t
= −
⇔ − + − − − − ≤ ⇔ ⇔ − ≤ − ≤
− − ≤
( )
1 1 24
5 25 5 25 5 30
5 5 5
x x x
⇔− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + ↔ ≤ ≤
d.
( )
2
3
2
3 3 3
2
2
2
4 9 0
2 3 0
log
log 4log 9 2log 3
2 3 0
4 9 2 3
4 9 2 3
t t
t
t x
x x x
t
t t t
t t t
− + ≥
− <
=
− + ≥ − ⇔ ⇔
− ≥
− + ≥ −
− + ≥ −
3
8
3
3
2
3
3 3
log
0 3 3
2
2 2
3 8 3 8
3
3 3 3
log
2 3 2 3
2
3 8 0
t R
t
t x
x
x
t x
t
t t
∈
<
< <
< <
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
≥
− ≤
Bài 4. Giải các bất phương trình sau :
a.
( )
4
162
2
2/1
log42l og4log xxx −<+
.
b.
( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
32
log log 9log 4log
8
x
x x
x
− + <
÷
÷
c.
( )
2 3
3 2 3 2
log log 8 .log log 0x x x x
− + <
GIẢI
a.
( )
( )
2
2
2
2
2
2
log
log
4
4 0
18 32 0
2 2 4
2 2 4
t x
t x
t
t
t t
t t t
t t t
=
=
≤
⇔ ⇔ − ≥ ⇔
− + >
+ < −
+ < −
2
4
2 log 2 0 4
2 16
t
t x x
t t
≤
⇔ ⇔ < ⇔ < → < <
< ∨ >
Lê Quân
12
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
b.
( ) ( )
2
2
2
2
4 2
4 2
log
log
4 9
13 36 0
3 3 9 5 2 4
t x
t x
t
t t
t t t t
=
=
⇔ ⇔ ⇔ < <
− + <
− − + − <
2
2
1 1
3 log 2
2 3
8 4
2 log 3
4 8
x
x
t
x
x
− < < −
< <
⇔ < < ⇔ ⇔
< <
< <
c.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 2 3 2 3 2 3 2 3
3 3 2 3 2 3 2 3
log 3 log log 3log 0 log log .log 3log 3log 0
log log log 3 log log 0 log log log 3 0
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ − + + < ⇔ − + − <
⇔ − − − < ⇔ − − <
( )
( )
( )
2 3
2 3
3 2 3 2
3
3
3 3
3 2 3 2
2 3 2
3
3 3
log log 2 1 0
log 0 :log 2 1 0
log log 0 log log
log 3 0 log 3
0 3
0 3
log log 0 log log
log log 2 1 0 log
log 3 0 log 3
3
x
x do
x x x x
x x
x
x
x x x x
x x
x x
x
− <
> − <
− < <
− < <
< <
< <
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− > >
− >
− > >
>
3
0
3x
<
>
1 27
1 27
x
x
x
< <
⇔ ↔ < <
∈∅
Bài 5. Giải các bất phương trình sau :
a.
b.
c.
GIẢI
a.ĐK:
( )
2
2 3
5 6 0
3 *
2
2
x x
x x
x
x
x
< ∨ >
− + >
⇔ ⇒ >
>
>
PT(a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
1 1 1
log 2 3 log 2 log 3 log 2 3 log 3 log 2
2 2 2
x x x x x x x x
⇔ − − − − > − + ⇔ − − + + > −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
3
3
2 3 3 2 10
3 3 1
10
x
x
x x x x x
x x
x
>
>
⇔ − − + > − ⇔ ⇔ ⇒ >
− + >
>
b.ĐK:
( )
2
2 *
2
x
x
x
≠
⇒ <
<
Lê Quân
13
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
PT(b)
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
2 2
2
2 2 2
2 2log 2 2 1 log 2 0
2 2 log 2 2 1 0
x x x
x x x x
x x x
< → − = −
⇔ + − − − + − > ⇔
− + − − − >
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1 0
log 2 2
2
2 2 2
1 2 log 2 0
2 1 log 2 1 0
2
1 0
log 2 2
x
x
x
x
x x x
x x
x x x
x
x
x
<
− >
− <
<
< → − = −
⇔ ⇔ ⇔
− − − >
− − − − >
<
− <
− >
( )
( )
( )
2
2
1
1
2 4
2
1 2
1;2
2
2
1
1
2
2 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
<
<
>
>
− <
>−
< <
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ∈
∈∅
<
<
>
>
<−
− >
c.
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
4 2 2
1
log 2 3 2 0 log 2 3 2 log 2 3 2 2
2
t x x t x x x x t
⇔ = + + ≥ ↔ = + + ↔ + + =
PT(c)
( ) ( )
2 2 2 2
4 4
1 2 2 1 0 0 1 0 log 2 3 2 1 0 log 2 3 2 1t t t t t x x x x
⇔ + > ⇔ − − < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ + + < ⇔ < + + <
2
2
2
1
2 1
1
2 3 1 0
2
1 2 3 2 4
1 1
1
2 3 2 0
2
2 2
2
x
x x
x x
x x
x
x x
x
− < < −
< − ∨ > −
+ + >
⇔ < + + < ⇔ ⇔ ⇔
− < <
+ − <
− < <
Bài 6. Giải các bất phương trình sau :
a.
b. c.
GIẢI
a.
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
4 2 2
1
log 2 3 2 0 log 2 3 2 log 2 3 2 2
2
t x x t x x x x t
⇔ = + + ≥ ↔ = + + ↔ + + =
PT(c)
Lê Quân
14
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
( ) ( )
2 2 2 2
4 4
1 2 2 1 0 0 1 0 log 2 3 2 1 0 log 2 3 2 1t t t t t x x x x
⇔ + > ⇔ − − < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ + + < ⇔ < + + <
2
2
2
1
2 1
1
2 3 1 0
2
1 2 3 2 4
1 1
1
2 3 2 0
2
2 2
2
x
x x
x x
x x
x
x x
x
− < <−
<− ∨ >−
+ + >
⇔ < + + < ⇔ ⇔ ⇔
− < <
+ − <
− < <
b.
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
1
1
0
0
3
3
0 3 1
8
5 18 16 0
2
5
0 5 18 16 3
9 8 0
1
1 8
1
3
3 1
8
1
1
5 18 16 3
3
3
9 8 0
1 8
x
x
x
x x
x x
x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x x x
x
x x
x x
< <
< <
< <
− + >
< ∨ >
∈∅
< − + <
− + <
< <
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
>
>
>
− + >
>
− + >
< ∨ >
1
1
3
8
x
x
< <
⇒
>
c.
( )
( )
( )
6 6
6
2
3 6 6
6 2
3 6
3 6
6
log 2
2
log log 4 2 6
log
6
t
t
t
t t
t
t x x
x
x x x
x x t
x x
= → =
=
⇔ + ≥ ⇔ ⇔ ⇒ + >
+ >
+ >
4 2 2 2 2 2
( ) 1 0 '( ) ln ln 0
6 6 6 6 6 6
t t t t
f t f t
⇔ = + − > → = + <
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
Chứng tỏ hàm số f(t) là nghịch biến . Mặt khác f(1)=0 . Cho nên khi t>1 thì f(t)<f(1)=0
Vậy nghiệm bất phương trình là : t>1
6
6 6
2
log 1 2 2 64 64x x x x
⇔ > ↔ > ↔ > = ⇔ >
Bài 7 Giải các bất phương trình sau :
a.
( ) ( )
2 2
9 3
log 3 4 2 1 log 3 4 2x x x x
− + + > − +
b.
( )
2 2 2
2 1 4
2
log log 3 2 log 3x x x
+ − > −
c.
( ) ( )
2
2
1
log log log log log 2
2
a a a a
a
x x
+ ≥
d.
2
2
25
16
24 2
log 1
14
x
x x
−
− −
>
÷
GIẢI
a.
( ) ( )
( )
2 2 2
9 3
2
9
2 2
1
log 3 4 2 0 log 3 4 2
2
0 log 3 4 2 1
1
1 2 2 1 0 1
2
t x x t x x
x x
t t t t t
= − + ≥ ⇒ = − +
⇔ ⇔ < − + <
+ > ↔ − − < → − < <
Lê Quân
15
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
( )
2
2 2
9
2
1 1
1 1
3 4 1 0
3 3
0 log 3 4 2 1 1 3 4 2 9
7 7
3 4 7 0
1 1
3 3
x x
x x
x x x x
x x
x x
< ∨ > − ≤<
− + ≥
⇔ ≤ − + < ⇔ ≤ − + < ⇔ ⇔ ⇔
− − <
− < < ≤ <
b.
( )
( )
2
2
2
2
2
2
3
3
log
2 3 0
1 3
1
3
3 7
3
2 3 2 3
10 21 0
2 3 2 3
t
t
t x
t t
t t
t
t
t
t
t t t
t t
t t t
<
<
=
− − ≥
≤ − ∨ ≥
≤
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
>
< <
>
− − > −
− + <
− − ≥ −
2
7
2
0 2
log 1
3 log 7
8 2 64
x
x
x
x
< ≤
≤
⇔ ⇔
< <
< < =
c.
0 1 0 1
0 1
log
log
0 log 2 0 log log 2
1 2
1 1 1
3 3
log log log 2
log log 2
1 1 1
2 2 2
2 2
log 2 log log 2 2
a
a
a a a
a a a
a a
a a a
a a
a
t x
t x
t x
x
t t
t
a a a
t x x
< < < <
< <
=
=
< < < <
> >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ >
>
> > >
÷
> > >
d.
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2 2
25
0 1
16
9 25
3 5
24 2 25
2 24 0
6 4
0
3
14 16
17 1
16 17 0
25
1
3
9
16
17 1
2 24 0
24 2 25
14 16
x
x
x
x x x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x x
x x x
−
< <
< <
< <
− − −
+ − <
− < <
< <
<
< − ∨ >
+ − >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
−
>
<
<
− < <
+ − <
− − −
>
4
3 1
x
x
<
− < <
Bài 8 Giải các bất phương trình sau :
a.
( )
2 log
3
1 2 3
2
log log 3 3 log 9
5 1
x
x
− +
<
b.
2
2
log 1
3 1
2 3
log log 2 3 0
2
x
x
−
+ + ≤
÷
c.
2 2
log log 8 4
x
x
+ ≤
d.
3 2
log 1
2
x
x
x
+
>
÷
+
GIẢI
a.
( )
( )
3
3
2log
2 2 3
2log
2 3
log log 3 3 log 9 0
log 3 3 log 9 1
x
x
x
x
⇔− − + <
⇔ − + >
Lê Quân
16
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
3
2log
2
3
2
3 3 log 9 2 3 2 2
0
3 0
3
x
x x x
x
x x
x
⇔ − + > ↔ − + >
<
⇔ − > ↔
>
b.
2 2
2 2 2
log 1 log 1
3 1 1 3
2 3 3
2
2 2
log log 2 3 0 log 2 3 1 log 2
2 2 2 2
1 73 1 73
3 9 18 0
2 2 2 2
x x
x x x x
x x
x x x x
− −
+ + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ − + ≤ −
÷ ÷ ÷
− − − +
⇔ + ≥ = ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥
c.
2
2
2
2
2
log 1
1
log
log
3
3 1
3 13 3 13
3 13 3 13
4 0
0
log
1
1
2 2
2 2
x
t
t x
t x
t t
t
t
x
t
t
≤
≤
=
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− −
− +
− +
+ − ≤
≤
≤ ≤
≤ ≤
+
+
3 13 3 13
2 2
0 2
2 2
x
x
− +
< ≤
⇔
≤ ≤
d.
2 2
2 2
0 1 0 1
0 1
0 1
3 2 2
2
3 2
0 2
2
0
2 3
3
2
1 2
3 2 2 2 0
1
1 1
1
3 2
1
2
3 2 2 2 0
x x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x x
x x x x x
x
x x
x
x
x
x
x
x x x x x
< < < <
< <
< <
+
+
< < − ∨ > −
< − ∨ > −
< <
+
+
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
< − ∨ >
+ < + − − >
>
> >
>
+
>
− < <
+
+ > + − − <
1 2
2
x
x
∈∅
⇔
< <
Vậy nghiệm bất phương trình là :
( )
1;2x↔ ∈
Bài 9. Giải các bất phương trình sau :
a. b.
c. d.
( )
( )
2
4 12.2 32 log 2 1 0
x x
x
− + − ≤
GIẢI
a.
( )
( )
2
3
2
3
1 7
4 16 7 0
2 2
7
log 3 0
3 4
3
2
1 7
4 16 7 0
4
2 2
log 3 0
4
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
< <
− + <
− <
< <
< <
⇔ ⇔ ⇔
− + >
>
< ∨ >
− >
>
Lê Quân
17
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
b.
( )
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2
1
1
0
0
2
2
3 2 0 1 2
log 3 2
3 2 4 3 3 2 0
2 log 3 2 2
log 2
1
1
2
2
3 3 2 0
3 2 4
x
x
x
x x x x
x x
x x x x x
x x
x
x
x
x x
x x x
< <
< <
− + > < ∨ >
− +
− + < + − >
⇔ > ⇔ − + > ⇔ ⇔
>
>
− − <
− + >
1
0
2
1 2
3 33 3 33
3 33 1
2 2
2 2
1
2
3 33 3 33
2 2
x
x x
x x
x
x
x
< <
< ∨ >
− − − +
− +
< ∨ >
⇔ ↔ < <
>
− − − +
< <
c.
( )
( )
( )
( )
2
2
2 3
4 12.2 32 0 2 4 2 8
1
1
log 2 1 0 0 2 1 1
1
1
2
2
4 12.2 32 0 4 2 8
2 3
2 3
log 2 1 0 2 1 1
1
x x x x
x x x
x x
x x
x
x
x
x
x x
x
≤ ∨ ≥
− + ≥ ≤ ∨ ≥
− < < − <
< <
< <
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− + ≤ ≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
− > − >
>
Bài 10. Giải các bất phương trình sau :
a.
3 4 1 1
3 4
3 1 1
log log log log
1 3 1
x x
x x
− +
≤
+ −
b.
( ) ( )
2
5 1 3
5
log 6 2log 6 log 27 0x x
− + − + ≥
c.
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ ≥
d.
( )
2
3
log 3 1
x x
x
−
− >
GIẢI
a.
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
3 1 1 3 1 3 1 3 1
log log log log log log log log log log 0
1 3 1 1 1 1
x x x x x
x x x x x
− + − − −
⇔ ≤ − − = − ⇔ + ≤
+ − + + +
2 2
3 4 4 4
3 1 1
0
3 1 3 1 3 1 1 3 1
1 4
log log 0 log 1 1 log 1 4
3 1
1 1 1 4 1
4 0
1
x
x x x x
x
x
x x x x
x
−
− ≥
− − − −
+
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔
−
+ + + +
− ≤
+
Lê Quân
18
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
( )
11 5
0
5 5
1
4 1
11
5
5
5 1
0
11
1
x
x
x x
x
x
x
x x
x
−
≥
≤−
≤ ∨ ≥
+
⇔ ⇔ ⇔
≥
− −
≤− ∨ ≥−
≤
+
b.
( ) ( )
( )
5
2
5 5
2
log 6
log 6 4log 6 1 0 2 3 2 3
4 1 0
t x
x x t t
t t
= −
⇔ − − − + ≥ ⇔ ⇔ ≤ − ∨ ≥ +
− + ≥
( )
( )
5
5
log 6 2 3
0 6 2 3 4 3 6
log 6 2 3 6 2 3 4 3
x
x x
x x x
− ≤ −
< − ≤ − + ≤ <
⇔ ⇔ ⇔
− ≥ + − ≥ + ≤ −
c.
( )
2
3
2
2
2
2
log
log 1
1
1
1 log
1
2
3
3 5 2 3
2
6 4
0
3 0
0 log 2
1 4
0 2
1
1 2
t x
t x
x
t
x
t t
x
x
t
t t
t t
=
=
− < ≤
− < ≤
< ≤
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− −
≤
+ − ≥
< ≤
< ≤
< ≤
+
+
d.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0 3
0 3
3 5 3 5
0 3 1
3 1 0
2 2
3 0
3 0
3
3 3
1 3
4 3 0
3 1
3 1
3 5 3 5
3 3
2 2
4 3 0
1 3
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x x x
x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
< <
< −
− +
< − <
< ∨ >
− + >
− >
− >
<
− < −
⇔ ⇔ ⇔
< <
− + <
− >
− >
− +
< <
− > −
− + >
< ∨ >
3 5
3
2
3 5
1
2
x
x
+
< <
⇔
−
< <
Bài 11. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a.
1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
b.
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
+
=
÷
+
c.
2
0,3 3
2
log log
5
x
y
x
+
=
÷
+
d.
2
1 2
2
1
log log 6
1
x
y x x
x
−
= − − −
+
GIẢI
a.
2
1
5 1
0
5 1
1 1
5
log 0 0 1
6
1 5
5 5
0
1 0
5
5
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x
−
<− ∨ >
>
<− ∨ >
− −
+
⇔− ≥ ⇔ < ≤ ⇔ ⇔ ⇔
−
− >−
+ +
≤
− ≤
+
+
( )
1 ;x D
⇒ > ↔ = +∞
b.
2 2
2 2
5 5 5
2 2
1 2
1 0
1 1
3 3
log log 0 0 log 1
3 3
1 5 14
5 0
3 3
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
+ − −
> >
+ +
+ +
⇔− ≥ ⇔ < ≤ ⇔ ⇔
÷
+ +
+ − −
≤ ≤
+ +
[ ] [ ]
3 1 2 2 1
2;1 2;7
3 2 7 2 7
x x x
D
x x x
− < ≤ ∨ ≥ − ≤ ≤
⇔ ⇔ ⇒ = − ∪
< − ∨ − ≤ ≤ ≤ ≤
Lê Quân
19
GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
c.
2 2
2 2
3 3 3
2 2
2 3
1 0
2 2
5 5
log log 0 0 log 1
5 5
2 3 13
3 0
5 5
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
+ − −
> >
+ +
+ +
⇔ − ≥ ⇔ < ≤ ⇔ ⇔
÷
+ +
+ − −
≤ ≤
+ +
1 13 1 13 3 61 1 13
5
3 61 1 13 1 13 3 61
2 2 2 2
; ;
2 2 2 2
3 61 3 61 1 13 3 61
5
2 2 2 2
x x x
D
x x x
− + − −
− < ≤ ∨ ≥ ≤ ≤
− − + +
⇔ ⇔ ⇔ = ∪
− + + +
< − ∨ ≤ ≤ ≤ ≤
d.
1
2
2
2
2
1 1 1 1
1
1 1
1
log 0
0 1
1 2
1
1 0 0 1 3
1
1 1
6 0
2 3
6 0
2 3
6 0
x x x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− < < < − ∨ >
−
< − ∨ >
−
>
< <
− −
+
⇒ ⇔ ⇔ − < ⇔ < ⇔ > − ⇔ >
+
+ +
− − >
< − ∨ >
− − >
< − ∨ >
− − >
Vậy :
( )
3;D = +∞
Lê Quân
20
