Tổng Hợp Bài Tập Ôn Thi ĐH môn Toán

website: 1

Phần I. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Bài 1. Cho hàm số y = x
3
– 6x
2

+ 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: y =
x
3
– 6x
2

+ 9x + m = 0.
Bài 2. Cho hàm số y = 3x
2
– 2x
3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: y = 4x
3
– 6x
2
– 3a = 0.

Bài 3. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2
33
23
xxx
y
++
=

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
xy
2
3
: =∆
.
c) Tìm tọa độ các giao điểm của (C) với đường thẳng
2
2
3
+= xy
.
Bài 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
32
24
−−= xxy

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm trên (C) có hoành độ x là
nghiệm của phương trình f’’(x) = 20.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều hơn hai nghiệm:

02
24
=+− mxx
.
Bài 5. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
34
24
−+−= xxy

b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình sau:
04
24
=+−= mxxy
.
Bài 6. Cho hàm số y = x
3
– 3x + 1 có đồ thị là (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
Bài 7. Cho hàm số
2
2
3
2
1
23
−+−= xxy

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng d:
2
2
9
+−= xy
.
c) Tìm các giá trị của k để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất:
043
23
=−−− kxx
.
Bài 8. Cho hàm số
132
23
−+= xxy

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: y=12x – 1
N.Ñ.K
website: 2

d) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
0232
23
=++ mxx
.
Bài 9. Cho hàm số
2
5

2
3
3
1
23
−+−= xxy
có đồ thị là (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm trên (C) có hoành độ x thỏa y’’ =1
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d: y – 2 = 0.
d) Tìm các giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất:
0692
23
=+− mee
xx
.
Bài 10. Cho hàm số
23
3
1
xxy −=
có đồ thị là (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 8x – 3.
d) Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất:
0log3
23
=−− axx
.

Bài 11. Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2

– 1
a) Khảo sát sự biến thiện và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) với đường thẳng d: y = – x – 1.
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: y = 4x
3
– 6x
2

+ 1 – m = 0.
Bài 12. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2

+ 2, m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiện và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d:
3
1
3
1
−= xy

c) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = ax + 2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 13. Cho hàm số y = – x

3
+ 3x
2

– 2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiện và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
)2;0( −A
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với 9x – 4y – 4
= 0.
d) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và d: y = mx – 2.
Bài 14. Cho hàm số y = 4x
3
– 3x
2

– 1, có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiện và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình 4x
3
– 3x
2

– 1 = m có đúng 3 nghiệm.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
d) Viếp phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với d:
xy
72
1

−=
.
Bài 15. Cho hàm số y = 2x
3
– 6x
2

+ 6x – 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, x = 1, x = 2.
Bài 16. Cho hàm số y = x
2

(2 – x
2
)
a) Khảo sát sự biến thiện và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm trên (C) có hoành độ bằng
2−
.
N.Ñ.K
website: 3

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.
d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trìhn sau đây có 4 nghiệm: x
4
– 2x
2
+
m = 0.

Bài 17. Cho hàm số y = x
4
+ 2x
2
– 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 5.
c) Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm: x
4
+ 2x
2
+ 3
+ 2m = 0.
Bài 18. Cho hàm số
2
3
3
4
1
24
+−=
xxy
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 8.
c) Tìm m để phương trình sau đây có 4 nghiệm:
0log6
24
=+−
mxx

.
Bài 19. Cho hàm số y = (1 – x)
2
– 6 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
4
– 2x
2
= m
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với d:
xy
24
1
−=

Bài 20. Cho hàm số
12
4
1
24
−+−=
xxy

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình x
4
– 8x + 4 = m có nhiều hơn 2 nghiệm.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có hoành độ là
nghiệm của phương trình y’’(x) = 10.

Bài 21. Cho hàm số
24
2
4
1
xxy
−=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d
1
: y = 15x + 2012.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d
2
:
2012
45
8
+−
x
.
d) Tìm m để phương trình
mxx =+−
24
8
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 22. Cho hàm số y = x
4
– mx
2

– (m + 1) = 0 có đồ thị (C
m
)
a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm
)4;1(−M
.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = – 2.
c) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Tính thể tích vật thể
tròn xoay tạo ra khi quay (H) quanh trục hoành.
Bài 23. Cho hàm số
1
12
+
+
=
x
x
y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng
2
5
.
N.Ñ.K
website: 4

c) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = – 2x + m luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm
phân biệt.
Bài 24. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

x
x
y
−
−
=
2
3

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: y = – x.
c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y = – x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm
phân biệt.
Bài 25. Cho hàm số
1
12
−
+
=
x
x
y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 3.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng
2
7
.
d) Tìm m để d:
2)1( ++= xmy

cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 26. Cho hàm số
1
12
+
+
=
x
x
y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường phân
giác của góc phần tư thứ nhất.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại điểm trên (H) có hoành độ bằng – 3.
d) Tìm m để đường thẳng
1+= mxy
cắt (H) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 27. Cho hàm số
2
12
−
−
=
x
x
y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng

4
3
−
.
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m đường thẳng
m
x
y −=
luôn
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 28. Cho hàm số
1
3
2
−
+=
x
y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Tìm m để đường thẳng d:
x
my −=
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 29. Cho hàm số
3
2
−
+

=
x
x
y
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng
2
3
−
.
d) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
4
5
−
.
N.Ñ.K
website: 5

e) Xác định tọa độ giao điểm của (C) và
23 +−= xy
.
Bài 30. Cho hàm số
1
2
+
=
x
y

có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường
thẳng d:
12 −= xy
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
2;0
.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với
2
3
2
1
+−= xy
.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng
2,0
== xx
.
Bài 31. Cho hàm số
1
1
+
−
=
x
x
y

có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm điểm M trên trục hoành mà tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M song song
với đường thẳng d:
xy
2
−=
.
Bài 32. Cho hàm số
1
2
+
−
=
x
x
y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với d:
32
−= xy
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng
2012
2
1
+= xy
.
d) Tìm m để đường thẳng d:

2
+= mxy
cắt cả hai nhánh của (C).
Bài 33. Cho hàm số
x
x
y
−
−
=
1
32

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox và x = 2.
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
3+−= xy

đồng thời tiếp xúc với đồ thị (C).
Bài 34. Cho hàm số
1
43
−
+
=
x
x
y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của (C) với d:
42 −−= xy
.
d) Tìm a để đường thẳng
3:
+=∆ axy
và đồ thị (C) không giao nhau.
e) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ đều là các số nguyên.
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
N.Ñ.K
website: 6

a)
9168
23
−+−= xxxy
trên đoạn
[ ]
3;1

b)
)1ln(4
2
xxy −−=
trên đoạn
[ ]
0;3−

c)

2ln3ln2
23
−−= xxy
trên đoạn
[
]
2
;1 e

d)
)1(
2
−−= xxey
x
trên đoạn
[ ]
2;0

Bài 36. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
34
23
++== xmxxy

a) Đồng biến trên R b) Có cực đại và cực tiểu
Bài 37. Tìm điều kiện của m để hàm số
2)1(3
223
+−+−= xmmxxy
đạt cực đại tại
2

0
=x
.
Bài 38. Chứng minh rằng nếu
x
e
x
y
sin
=
thì
02'2''
=++ yyy
.
Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây:
a)
101232)(
23
+−−= xxxxf
trên đoạn
[ ]
0;2−

b)
155)(
345
++−= xxxxf
trên đoạn
[ ]
2;1−

c)
12)(
234
−+−= xxxxf
trên đoạn
[ ]
1;1−

d)
1105)(
35
−+−= xxxxf
trên đoạn
[ ]
4;2−

e)
2
25)( xxf −=
trên đoạn
[ ]
4;3−

f)
2
52)( xxxf −+=
trên tập xác định
g)
2

4
1)(
+
−+−=
x
xxf
trên đoạn
[ ]
2;1−

h)
1sin2sin3)(
3
+−= xxxf
trên đoạn
[ ]
π
;0

i)
3sin2cos)( +−= xxxf

j)
xxxf
2sinsin2)(
+=
trên đoạn







2
3
;0
π

Bài 40. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây:
a)
xx
eexf
−
+=
2
)(
trên đoạn
[ ]
2;1−

b)
x
exxf
−
−=
2
)1()(
trên đoạn
[ ]
2;0

c)
x
exxxf
−
−−= )1()(
2
trên đoạn
[ ]
1;1−

d)
2
22)( xxxexf
x
−−=
trên đoạn
[ ]
1;0

e)
2
2)2(2)( xxexxf
x
−+−=
trên đoạn
[ ]
2;0

f)

)21ln()(
2
xxxf −−=
trên đoạn
[ ]
0;2−

g)
xxxxf ln42)(
2
−−=
trên đoạn
[ ]
2;1

h)
)1ln()(
2
+−= xxxf
trên đoạn
[ ]
2;0

i)
22ln)( +−= xxxxf
trên đoạn
[
]
2
;1 e

j)
22
3ln2)( xxxxf −=
trên đoạn
[ ]
e2;1

k)
x
x
xf
2
ln
)( =
trên đoạn
[
]
3
;1 e

N.Ñ.K
website: 7

l)
x
x
xf
ln
)( =

trên đoạn






2
;
2
1
ee

Bài 41. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây luôn đồng biến
a)
2)6(
23
−++−=
xmmxxy

b)
3)22()1(2
223
−++−+−−=
mxmmxmxy

Bài 42. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số sau đây luôn nghịch biến
a)
3)12()1(
23

−+−++−=
axaxy

b)
35
7
+−
−+
=
a
x
aax
y

Bài 43. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
a)
2)23()1(2
223
++−+−+=
xmmxmxy

b)
2
42
2
+
−−+
=
x
mmxx

y

c)
32)1(
24
−−−=
mxxmy

Bài 44. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
a)
1)4()1(2
223
+−−+++=
mxmxmxy
đạt cực đại tại
0
0
=
x

b)
2)32()12(
232
−++−−=
xmmxxmy
đạt cực tiểu tại
1
0
−=
x

c)
1
3
6
3
2
++
−
=
mxx
m
y
đạt cực tiểu tại
2
0
=
x

d)
mmxxy
+−=
24
2
1
đạt cực tiểu bằng – 2 tại
1
0
=
x

Bài 45. Chứng minh rằng
a) Nếu
)2sin2(cos xxey
x
+=
thì y’’ – 2y’ + 5y = 0
b) Nếu
xx
eey
−
+=
2
4
thì y’’’ – 13y’ = 12y
c) Nếu
x
x
y
ln
=
thì y + 3xy’ + x
2
y’’ = 0

N.Ñ.K
website: 8

Phần II: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT

Bài 1. Giải các phương trình sau đây:
a)
6255
3
2
=
+
xx
b)
1
75
3
2
)5,1(
+
−






=
x
x
c)
2005.2
1
=
+ xx

Bài 2. Giải các phương trình sau đây:
a)
063.59
=+−
xx
b)
02124
11
=−+
+−
xx

c)
055.25
2
=+−
−
xx
d)
04.66.139.6 =+−
xxx

Bài 3. Giải các phương trình sau đây:
a)
11log4log
22
=−+− xx
b)
3logloglog

2,0255
=+ xx

c)
13loglog2log
8
2
4
2
=++ xxx
d)
0)4(log)2(log
2
3
3
=−+− xx

Bài 4. Giải các phương trình sau đây:
a)
06loglog
2
2
2
=−− xx
b)
2loglog4
2
2
2
=− xx

c)
1
log1
2
log5
1
=
+
+
− xx
d)
x
x
−=− 2)25(log
2

Bài 5. Giải các bất phương trình sau đây:
a)
497
736
2
≤
−+
xx
b)
25
9
5
3

27
2
>






++− xx
c)
022.34 <+−
xx

Bài 6. Giải các bất phương trình sau đây:
a)
1)65(log
2
5,0
−≥+− xx

b)
)252ln()2ln(
22
+−≥+ xxx

c) )6(log)42(log
2
3
1

3
1
−−≤+ xxx
Bài 7. Giải các phương trình sau đây:
a)
077.87
2
=+−
xx
b)
0122.2
2
=−+
xx

c)
0639 =−−
xx
d)
0155.225 =−−
xx

e)
622
12
=−
+ xx
f)
05628
32

=−−
xx

g)
1233
3
=−
− xx
h)
0222
3
=+−
− xx

i)
2055
232
=−
− xx
j)
097.27
1
=−−
− xx

k)
3.4
22
=−
− xx

ee
l)
0136.26
1
=−+
−+ xx

m)
xxx
96.24.3
=−
n)
12
21025
+
=+
xxx

o)
xxx
9.21525
=+
p)
010.725.24.5
=−+
xxx

q)
02.3
36

=+−
xx
ee
r)
084.152
14
=−−
+ xx

s)
2505.55
12
=+
− xx
t)
063.93
12
=+−
+ xx

u)
1722
762
=−
++ xx
v)
111
9)32(2
−−−
=+

xxxx

Bài 8. Giải các phương trình sau đây:
a)
1222
3252
=+
++ xx
b)
xxxx
5.3522
124
+=+
+++

c)
10833
212
=+
− xx
d)
17.5717.75
22 xxxx
+=+

N.Ñ.K
website: 9

e)
xxx −−

=
21
10.2,05.2
f)
xxxx 2211155
3.484.12
2
=
−−+

g)
23
13
24.8
−
−
=
x
x
h)
1923.23.2
1133
=−
−+ xxxx

i)
722.3
1
22
=

+−− xxxx
j)
xx 321
16.125,02)25,0(
−−
=

Bài 9. Giải các phương trình sau đây:
a)
0142.3
1
=−+
+xx
b)
0755.1105
142
=−−
++ xx

c)
( )
1
75
3
2
5,1
+
−







=
x
x
d)
( )
0
9
16
75,0
2
5
2
2
=






−
−−
−
x
xx

e)
10833
212
=+
− xx
f)
012216
)1(2
=−+
+xx

g)
016.3129.4 =−+
xxx
h)
0273.43
5284
=+−
++ xx

i)
027)303(3
1
=+−
+xx
j)
0222
3123
=−−
++ xxx

k)
022.92
22
=+−
+ xx
l)
022.31
231
=+−
−− xx

m)
053.23
212
=+−
− xx
n)
016.3129.4 =−+
xxx

o)
322
22
2
=−
−+− xxxx
p)
154216.2
224

=−−
−xxx

q)
06
2
3
.2
3
2
.4 =−






+






xx
r)
( ) ( )
43232 =−++
xx

s)
05644.2
1
=−+
−
xxx
t)
034.44
1
=+−
+
xxx

u)
042.336
1
=−−
+
xxx
v)
034.24
1
=−−
−
xxx

Bài 10. Giải các phương trình sau đây:
a)
)1log()56log(
2

xxx
−=+−
b)
xxxx
ln3)2(log.ln
24
2
=−

c)
0)8(log)2(log
7
1
2
7
=−++
xx d)
0)3(log)10(log
3
1
2
3
=+−
xx
e) ln(4x – 4) – ln(x – 1) = lnx f)
)7(log)1(log
2
2
xx
−=−

g)
1)1(log2log
42
=++−
xx
h)
1)4(log)2(log
3
13
=−−−
xx
i)
1)112(log)1(log
22
=−+− xx
j) xxx
5,042
loglog)2(log =+

k)
3)1(log)3(log
5,02
=+−−
xx l)
2logloglog
2,05
5
=−+
xxx

m)
11logloglog
2793
=++
xxx
n)
34
log2)4log(log
xxx
+=+

Bài 11. Giải các phương trình sau đây:
a)
03log4log
5
2
5
=+−
xx b)
01loglog2
2
2
2
=−+
xx
c)
012loglog
2,0
2

5
=−+
xx
d)
ln
2
x – ln(ex) – 1 = 0

e)
04log5log
5,0
2
2
=+−
xx f)
)2(logloglog3
2
5,0
2
2
xxx
=−

g)
7
8
log6log
4
2
2

=






−
x
x
h)
06log5log
5
2
2,0
=++
xx
i)
log
2
x – 3logx = logx
2
– 4 j) log
2
(10x) = 9log(0,1x)
k) log
3
x + log
x
9 = 3 l) log

x
27 – 3log
3
x = 8
m)
5log2log2
2
=+
x
x
n)
6
6
log5log2
6
=






−
x
x
x

N.Ñ.K
website: 10

Bài 12. Giải các phương trình sau đây:
a)
)52(log)5(log
3
2
3
+=−−
xxx b)
)310(log)2(log
xx
−=−
π
π

c)
042.54
33
loglog
=+−
xx
d)
log
2
(10x) – 3logx – 1 = 0
e)
)54(log)2(log
5
5
+=+
xx f)

01log)3(log
3
2
3
=−+
xx
g)
2loglog3log
5,02
2
2
=++
xxx h)
log
2
x – logx
3
+ 2 = 0

i)
3
1
1log
2log
2log
1log
=
+
−
−

+
−
x
x
x
x
j)
)2(log
)4(log
)2(log
log
16
8
4
2
x
x
x
x
=

k)
6)33(log).13(log
1
33
=−−
+
xx
l)
)6(log)2(log

55
+=+
xxx
m)
3log)1,0log().10log(
3
−=
xxx
n)
12)4(loglog4log
24
2
=++
xxx
o)
1)13(log
2
1
)2(log
2
2
4
=−+−
xx

p)
[ ]
2)4)(1(log
4
1

log
22
=+−+
+
−
xx
x
x

Bài 13. Giải các bất phương trình sau đây:
a)
2)5,0(
32
2
≥
− xx
b) 2
x
+ 2
-x
– 3 < 0 c)
42
3
2
<
+− xx

d)
2833
12

≤+
−+ xx
e)
022.34
>+−
xx
f)
93
2
<
− xx

Bài 14. Giải các bất phương trình sau đây:
a)
1722
762
>+
++ xx
b)
35.25
232
≤−
−− xx
c)
324
+>
xx

d)
15422.2

2244
≤−−
−xxx
e)
xxx
10.725.24.5 ≤+
f)
3164
1
≥−
+ xx

Bài 15. Giải các bất phương trình sau đây:
a)
4)23(log)5(log
22
−−≤+
xx b)
2
5
3loglog
3
1
−>
x
x

c) 2log
8
(x – 2) – log

8
(x – 3) >
3
2
d)
1
2
13
log
3
1
>
+
−
x
x

e)
)1(log)7(log
44
xx −>+
f)
0loglog
2
2
2
≤+ xx

Bài 16. Giải các bất phương trình sau đây:
a)

)86(log)105(log
2
2
1
2
1
++<+ xxx

b)
1)2(log)3(log
22
≤−+− xx
c)
)13(log)32(log
2
1
2
1
+>+ xx

d)
)1(log)53(log
2,02,0
+>− xx
e)
1)5(log)3(log
33
<−+− xx

N.Ñ.K
website: 11

Phần III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bài 1. Tính
∫
+
=
3
0
2
1
3
dx
x
x
A

∫
+
−
=
2
3
)cos1(sin
cos1
π
π
dx

xx
x
C


dxexB
x
∫
−
=
0
1
2
.3

dx
x
x
x
D
∫
+
=
4
2
ln.
1ln

Bài 2. Tính các tích phân sau đây:
∫

−=
2
0
sin)1(
π
dxxxE


dxexF
x
∫
−
=
2
1
.3

∫
−=
2
1
2
ln)13( dxxxG

Bài 3. Tính các tích phân sau đây:

∫







−=
2
1
1
dx
x
exH
x

dxxxxI
∫
++=
2
0
2
)1(


dt
t
tt
J
e
∫
+−
=
1

2
3
12

∫
+=
2
0
sin)sin21( daaaE

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) y = x
3
– 3x + 2, trục hoành, x = – 1 và x = 3.
b) y = – 4 – x
2
và y = 2x
2
– x
4
.
c) y = x
3
– 2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng – 1.
d) y = x
3
– x và y = x – x
2
.
Bài 5. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Ox biết (H)

giới hạn bởi y = sinx, Ox, x = 0 và
2
3
π
=x
.
Bài 6. Tính các tích phân sau đây
a)
∫
−
1
0
2
)12( dxxx
b)
dxee
xx
)53(
2ln
0
∫
−
−
c)
∫
−
−
1
1
3

)32( dxx

d)
∫
−+
2
1
1
dt
t
tte
t
e)
∫
−+
2
1
)1(
dx
xe
xex
x
x
f)
∫
−+
3
1
2
23

dt
t
tt

g)
∫






−
2
1
2
1
dt
t
t
h)
∫
−
−







+
1
2
2
2
dx
x
xx
i)
∫
−
1
0
3
)1( dxxx

j)
∫
4
6
3cos.4cos
π
π
dxxx
k)
tdtt
∫
−
6
4

sin.3sin
π
π
l)
∫
4
0
2
tan
π
dxx

m)
∫








+
−
1
0
2
cos
1 dx
x

e
e
x
x
n)
∫
+
+
2ln
0
12
1
dx
e
e
x
x
o)
∫
−
2
0
1 dxx

p)
∫
−
2
1
3

52
dt
t
tt
q)
dx
x
xx
∫
+
−−
2
0
2
1
13
r)
∫
+
+
1
2
1
)1(
13
dx
xx
x

s)

∫
−
3
6
2
22
sin
costan
π
π
dx
x
xx
t)
∫
−
3
0
2
cos
12cos2
π
dx
x
x
u)
∫
4
0
2

sin
π
dxx

Bài 7. Tính các tích phân sau đây
N.Ñ.K
website: 12

a)
∫
+
2
0
3cos1
sin
π
dx
x
x
b)
∫
−−
−
2
1
2
32
1
dx
x

x
x
c)
∫
−
1
0
1
2
. dxex
x

d)
∫
2
1
2
1
dx
x
e
x
e)
∫
−
+
2
6
2
)sin1(

cos
π
π
x
dxx
f)
∫
−
−
0
1
4
2
)1(
dx
x
x

g)
∫
+
2
0
1cos8
sin
π
dx
x
x
h)

∫
+
19
0
3
2
8
3
x
xdx
i) c
∫
+
e
dx
x
x
0
2
ln1

j)
∫
−
e
e
dx
xx
1
)ln1(

1
k)
∫
−
3
1
ln4
e
xx
dx
l)
∫
+
e
e
dx
xx
x
1
)3(ln
ln

m)
∫
−
1
0
2012
)1( dxxx
n)

∫
+
1
0
2
1 dxxx
o)
∫
+
7
0
3
1 dxxx

p)
∫
−
2
2
3
cos.sin
π
π
dxxx
q)
∫
−
0
4
2sin

2cos.
π
dxxe
x
r)
∫
−
−
0
5
4 dxxx

s)
∫
+
π
π
2
2
cos1
2sin
dx
x
x
t)
∫
+
1
0
2

)12(
4
dx
x
x
u)
∫
−
+
3ln
0
1
x
e
dx

Bài 8. Tính các tích phân sau đây
a)
∫
+
1
0
)1( dxex
x
b)
∫
−
1
0
)12( dxex

x
c)
∫
−
1
0
12
. dxex
x

d)
∫
−
5ln
2ln
)1(2 dxex
x
e)
∫
−
−
2ln
0
)1( dxex
x
f)
∫
2
0
cos.2

π
dxxx

g)
∫
−
4
0
cos)12(
π
dxxx
h)
∫
−
−
0
cos)1(
π
dxxx
i)
∫
2
0
sin.2
π
dxxx

j)
∫
+

4
0
2sin)1(
π
dxxx
k)
∫
4
0
2sin.
π
dxxx
l)
∫
e
dxx
1
ln

m)
∫
−
e
dxxx
1
)1(ln2
n)
∫
−
3

2
)1ln(2
dxxx
o)
∫
2
1
2
ln
x
xdx

p)
∫
+
3
0
22
)1(
dxex
x
q)
∫
4
0
sin
π
dxxe
x
r)

∫
4
1
dxe
x

Bài 9. Tính các tích phân sau đây
a)
∫
−
−
1
0
)53(
dxxee
xx
b)
∫
+
π
0
)cos(
dxxxx
c)
∫
+
2
0
2
)(

dxexx
x

d)
∫
+
2
1
ln
dx
x
xx
e)
∫
+
4
1
dx
x
ex
x
f)
∫
+
e
dx
x
xx
1
2

ln1

g)
∫
+
e
dxxx
1
)1ln(
h)
∫
+
4
0
sin)cos(
π
dxxxx
i)
∫
+
2
1
)2(
dxxex
x

j)
∫
+
++

1
0
1
1
dx
e
xxe
x
x
k)
∫
+
−
2
0
cos1
sin1
π
dx
x
x
l)
∫
−
2
1
2
ln)1(
dx
x

xx

Bài 10. Tính các tích phân sau đây
1)

∫
−






−
0
1
2
1
dx
e
e
x
x
2)

∫
+
2
1
)1(

xx
dx
3)

∫
+
6
0
1sin2
cos
π
x
xdx

N.Ñ.K
website: 13

4)

∫
+
1
0
13
dxx
5)

∫
+
2

1
ln)12(
dxxx
6)

∫
+
e
dxx
1
)1ln(

7)

∫
+
2
1
2
ln1
dx
x
x
8)

∫
e
x
xdx
1

4
ln
9)

∫
+
2
1
22
ln
dx
x
xx

10)

∫
+
−
1
0
1
12
dx
x
x
11)

∫
+

4
1
)2(
xx
dx
12)

∫
+
22
0
2
3
1
dx
x
x

13)

∫
4
0
2
tan
cos
π
dx
x
e

x
14)

∫
+
−
2
0
cos1
sincos
π
dx
x
xx
15)

∫
+
2ln
0
3
2
)4(
x
x
e
dxe

16)

∫
+
0
6ln
3
dxee
xx
17)

∫
+
π
0
)cos(
dxxex
x
18)

∫
π
0
sin2
dxxx

19)

∫
+
3
0

3
4
cos
sincos
π
dx
x
xx
20)

∫
+
e
xx
dx
1
2
)1(ln
21)

∫
+
2
1
)2(ln
ln
e
xx
xdx

22)

∫
2
0
2
sin.2sin
π
dxxx
23)

∫
π
0
22
cos.sin
dxxx
24)

∫
+
1
0
)14(
dxex
x

25)

∫

+
e
dx
x
xx
1
2
1ln
26)

∫
+
2
0
cos1
2sin
π
x
xdx
27)

∫
+
2
0
1sin3
2sin
π
x
xdx

28)

∫
−
−
0
cos)cos1(
π
dxxx
29)

( )
∫
+−
2
0
14
dxxx
30)

∫
+
1
0
)3(
dxxe
x

31)

∫
−
−
π
π
dxxx
)2cos( 32)

∫
+
e
dxxxx
1
)2ln( 33)

∫
1
0
3
2
dxex
x


Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
a)
3
2
3

1
23
−+−= xxy
, trục hoành, x = 0 và x = 2.
b)
2,1,1
2
=−=+= xxxy
và trục hoành.
c)
xxy
12
3
−=
và
2
xy =
.
d)
xxy
2
2
+−=
và
2=+ xy
.
e)
1
3
−= xy

và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng – 2.
f)
23
3
+−= xxy
và trục hoành.
g)
xxy
2
2
−=
và
xxy
4
2
+−=
.
h)
xxy
2
2
−=
và y = x.
i)
23
xxy −=
và
)1(
9
1

−= xy
.
j)
1,1:)(
=+= xxxyC
và tiếp tuyến với
)(
C
tại điểm






2
3
;2
.
k)
x
x
y
−
+
=
1
13
, Ox, x = 0.
l)

ex
e
xxy ===
,
1
,ln
và trục hoành.
N.Ñ.K
website: 14

m)
exxy
x
x
xy =−=+−=
,1,
ln
1
.
Bài 12. Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau đây quanh trục
∆
kèm theo
a)
xxy
4
2
−=
, trục hoành, x = 0, x = 3 (
∆

là trục hoành)
b)
x
y cos=
, trục hoành, x = 0, x =
π
(
∆
là trục hoành)
c)
x
y
tan
=
, trục hoành, x = 0, x =
4
π
(
∆
là trục hoành)
d)
xey
x
=
, trục hoành, x = 1 (
∆
là trục hoành)
e)
x
y

−
=
2
2
, trục hoành, x = 0, x = 1 (
∆
là trục hoành)
f)
1,2
2
=−= yxy
(
∆
là trục hoành)
g)
xyxxy =−=
,2
2
(
∆
là trục hoành)
h)
3,12
3
=+= yxy
và trục tung (
∆
là trục tung)
Bài 13. Chứng minh rằng hàm số
)1()(

2
+= xexF
x
là một nguyên hàm của hàm số
2
)1()(
+= xexf
x
trên R.
Bài 14. Chứng minh rằng hàm số
3ln)( +−= xxxxF
là một nguyên hàm của hàm số
xxf
ln)(
=
trên R.
Bài 15. Chứng minh rằng hàm số
xxxF
44
cossin)(
+=
và
4
4cos1
)(
x
xG
−
=
là nguyên hàm

của cùng một hàm số với mọi x thuộc R.
Bài 16. Tìm giá trị của tham số m để
34)23()(
23
+−++= xxmmxxF
là một nguyên hàm
của hàm số
4103)(
2
−+= xxxf
trên R.
Bài 17. Tìm a, b và c để
x
ecbxaxxF
)()(
2
++=
là một nguyên hàm của hàm số
x
exxf
)3()(
−=
trên R.
Bài 18. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
)tan32(cos)(
xxxf −=
biết rằng
1)(
=
π

F
.
Bài 19. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
x
x
xf
2
21
)(
+
=
thỏa mãn điều kiện
3)1(
=−F
.
Bài 20. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
2
ln1
)(
x
x
xf
+
=
thỏa mãn điều kiện
0)( =eF
.
Bài 21. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
2
)2()(

xxxf −=
thỏa mãn điều kiện
3)1( =−F
.
Bài 22. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
x
x
xf
2
)21(
)(
−
=
thỏa mãn điều kiện
1)1(
=−F
.
Bài 23. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
x
exxf
)14()(
+=
thỏa mãn điều kiện
eF −=)1(
.
Bài 24. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
x
exx
xf
x

)ln1(
)(
+
=
thỏa mãn điều kiện
eF −=)1(
.

N.Ñ.K
website: 15

Phần IV: SỐ PHỨC

Bài 1. Thực hiện các phép tính
a)
)34(7)53)(42( iii −+−+
b)
2
)43(
i−
c)
i
i
23
2
+
+

Bài 2. Tìm môđun của số phức sau đây
a)

2
)1(23
iiz +++=
b)
)2)(1(
3
ii
i
z
−+
+
=

Bài 3. Tìm số phức nghịch đảo của số phức:
)2()1(
2
iiz +−=

Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số phức:
iziz 4532 +=+

Bài 5. Giải các phương trình sau đây trên tập số phức:
a)
02
2
=−+− zz
b)
032
24
=−+ zz

c)
01
3
=+z

Bài 6. Tìm môđun của số phức z biết:
a)
2)1)(3(3 =+−+ iiiz
b)
iziz 17115 −=+

Bài 7. Thực hiện các phép tính
a)
2
)1(
i+
b)
2
)43(
i−
c)
2
)2(
i+−
d)
3
)32(
i+

e)

3
)31(
i−
f)
2012
)1(
i−
g)
2012
)1(
i+
h)
2012
)31(
i−

i)
i
i
+
+
3
32
j)
i
i
+−
−−
1
24

k)
i
i
42
+
l)
i−
2
1

m)
2
1
1






+
−
i
i
n)
5
1
1







−
+
i
i
o)
2
)2(
2
i−
p)
1
)12(
+
−
i
ii

Bài 8. Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau đây:
a)
)34(7)53)(42( iii −+−+
b)
)31(5)32)(41( iii −−−+−

c)
)23)(32()21(
2

iii +−−−
d)
)25)(31()32(
2
iii +−−−

e)
22
)21()21(
ii −++
f)
22
)31()31(
ii −−+

g)
[ ]
2
)34()54(
ii +−+
h)
[ ]
3
)72()5(
ii +−−

i)
i
iii
23

)34)(1()2(
+
−+++
j)
i
iii
93
)31)(1()2(
−
−+−+

k)
i
i
ii
34
21
)21()43(
−+
−
++−
l)
)42(
1
)21()32(
i
i
ii
−+
+

−++

Bài 9. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
iiz 4583 +=−+
b)
iiiz
32)2(2
2
+=−+

c)
)24)(1()3( iizi −+=−
d)
iizi
32)1()1(
2
−=−++

e)
i
i
z
i
i
+
+−
=
−
+

2
31
1
2
f)
i
i
z
i
i
22
31
1
2
+
−−
=
+
+

g)
iizi
23)2(
+=+−
h)
izzi
251.2
−=−

i)

iziz
4532
+=+
j)
iziz
35.3
−=−

k)
izz
262
+=+
l)
iziz
573
+=+

N.Ñ.K
website: 16

m)
izz
2532
+=+
n)
izzi
522.
−=+

Bài 10. Tính

z
biết rằng: a)
2
)21(
iz +=
b)
4
3
)1(
)1(
i
i
z
−
+
=

Bài 11. Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây:
a) z = 3 – 4i b) z = (4 + i)(2 – 3i) c) z = i(2 – i)
2

Bài 12. Cho z
1
= 2 + 3i, z
2
= 1 + i. Tính
2121
2
21
3,,. zzzzzz −−

Bài 13. Cho z = 2 + 3i. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của
5
7
+
+
iz
iz

Bài 14. Cho
3
2
3
1
2
3
2
1
,
2
3
2
1









+=








+−= iziz
. Tính z
1
.z
2

Bài 15. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z
2
+ 2 = 0 b) 4z
2
+ 9 = 0 c) z
2
– 4z + 8 = 0
d) 2z
2
+ 2z + 5 = 0 e) z
2
+ 2z + 17 = 0 f) z
2

– 3z + 3 = 0
g) z
3
+ 4z = 0 h) z
3
+ 7z = 4z
2
i) z
3
+ 8 = 0
j) z
4
+ 2z
2
– 3 = 0 k) 2
4
z
+ 2
2
z
– 5 = 0 l) 9z
4
– 16 = 0
m)
0942
2
=++ zz
n)
01
2

=−+− zz
o)
0114
2
=−+ zz

Bài 16. Tìm số phức z có phần thực và phần ảo đối nhau và
22=z

Bài 17. Cho z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình 5z
2
– 2z + 1 = 0. Chứng minh
rằng tổng nghịch đảo của z
1
và z
2
bằng 2.
Bài 18. Cho z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình 3z
2
– 2z + 4 = 0. Chứng minh
rằng
2.

2121
=++ zzzz

Bài 19. Cho z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z
2
– 4z + 5 = 0. Chứng minh rằng
6
2
2
2
1
=+
zz

Bài 20. Cho z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình 5z
2
– 2z + 2 = 0. Chứng minh
rằng
2121
.zzzz =+

Bài 21. Cho z

1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình 3z
2
– 2z + 1 = 0 và z
2
có phần ảo
là một số âm. Tính
21
2zz +

Bài 22. Tìm số phức z có phần thực và phần ảo bằng nhau và
22=z

Bài 23. Cho hai số phức
immz )1( −+=
và
innz )32(2' −+=
, với
Rnm ∈,
. Tìm z và z’
biết rằng
izz
71' +=+
.
Bài 24. Cho hai số phức
Rmimmz
∈++= ,)1(
. Tìm z biết rằng

5=z
.
Bài 25. Cho hai số phức
Rmimmz ∈++−= ,)1()1(
. Tìm z biết rằng
10. =zz
.
Bài 26. Cho hai số phức
Rmimmz ∈++= ,)2(2
. Tìm z biết rằng z
2
là một số phức có
phần thực bằng – 5.
Bài 27. Giải các phương trình sau đây trên tập các số phức:
a) 5(z – 1)(z + 1) + 2(4z – 5) = 0 b) 2(2z – 1)
2
+ z(17z + 6) = 0

N.Ñ.K
website: 17

Phần V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1. Trong hệ tọa độ
),,,( kjiO
sao cho
kjiOA 32 −+=
,
kjiOB 234 −+=
,

)1;7;2( −=
BC
,
)7;1;4(' −
A
.
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng
)('
ABCAA
⊥
.
c) Tính thể tích khối tứ diện
ABCA
'
.
d) Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp
''''. DCBAABCD
.
Bài 2. Trong hệ tọa độ Oxyz cho các điểm
)1;1;1(,)3;2;3(,)1;0;2( −− CBA
.
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Xác định tọa độ đỉnh D và tâm I của hình bình hành ABCD.
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho
ACOBAM −= 2
.
Bài 3. Trong hệ tọa độ Oxyz cho các điểm
)1;1;1(,)0;1;2(,)1;2;2( −−
CBA

.
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
b) Cho điểm
)3;0;4(' −
A
. Xác định tọa độ các điểm B’ và C’ để ABC.A’B’C’ là một hình
lăng trụ.
c) Chứng minh rằng ABC.A’B’C’ là một lăng trụ đều.
Bài 4. Trong hệ tọa độ
),,,( kjiO
cho
kjiOM 323 +−=
và A, B, C lần lượt là hình chiếu
vuông góc của M lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
b) Tính thể tích tứ diện OABC, từ đó tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt
phẳng (ABC).
Bài 5. Trong hệ tọa độ
),,,( kjiO
cho
kjiON 323 +−=
và A, B, C lần lượt là hình chiếu
vuông góc của điểm N lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Oxz.
a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích của tứ diện NABC.
b) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (ABC).
Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chứng minh rằng
)0;0;0(O
,
)2;1;0(A
,

)1;3;2(B
,
)1;2;2( −C
là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Bài 7. Trong hệ tọa độ
),,,( kjiO
cho tứ diện ABCD sao cho
)1;4;2( −A
,
kjiOB −+= 4
,
)3;4;2(
C
,
)0;2;0( −=
AD
.
a) Chứng minh rằng AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau.
b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
Bài 8. Trong hệ tọa độ Oxyz cho
)1;4;6(,)2;3;4(,)3;1;2( −−−− CBA
.
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông.
b) Tìm tọa độ điểm D để A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Bài 9. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng
)1;4;2( −
A
,
)1;4;1( −
B

,
)3;4;2(
C
,
)1;2;2(' −=OA
.
Bài 10. Tìm điểm N trên Oy cách đều hai điểm
)1;4;2(,)0;1;3( −
BA
.
Bài 11. Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxz) cách đều ba điểm
)1;1;3(,)0;1;1(,)1;1;1( −− CBA
.
N.Ñ.K
website: 18

Bài 12. Cho
)6;2;0(,)2;1;2(,)1;3;1( −CBA
và (P): x – 2y + 2z +1 = 0.
a) Viết phương trình mặt cầu tâm B đi qua A.
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.
c) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với mặt phẳng (P).
d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 13. Viết phương trình mặt phẳng
)(
α
trong các trường hợp sau đây:
a)
)(
α

đi qua
)2;2;1( −A
và vuông góc với OM biết
)2;1;3( −M
.
b)
)(
α
đi qua ba điểm
)1;2;1(,)4;1;3(,)2;1;0( −−−
DKA
.
c)
)(
α
đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD biết
)1;1;1(
A
,
)2;1;2(B
,
)2;2;1(−C
,
)1;1;2( −D
.
d)
)(
α

là mặt phẳng trung trực của đoạn MN với

)5;1;4(,)1;3;2( −NM
.
Bài 14. Trong không gian Oxyz cho hai điểm
)1;1;1(,)2;3;0( −−BA
và mặt cầu (S):
01862
222
=+−+−++ zyzzyx
. Viết phương trình mặt phẳng
)(
α
biết:
a)
)(
α
chứa đường thẳng AB và đi qua tâm I của mặt cầu (S).
b)
)(
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm
)1;1;1(
M
.
Bài 15. Cho tam giác ABC có
)1;2;1(,)4;1;3(,)2;1;0( −−− CBA
. Viết phương trình đường
thẳng d trong các trường hợp sau đây:
a) d là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC.
b) d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại C.
Bài 16. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau đây:

a) (S) có tâm
)1;0;1( −I
và đường kính bằng 8.
b) (S) có tâm
)2;1;2( −I
và đi qua điểm
)1;2;3( −A
.
c) (S) có đường kính AB với
)7;0;4(,)5;2;6( −− BA
.
d) (S) có tâm
)5;1;2(−
T
và tiếp xúc với mặt phẳng
033:)( =−−
yx
α
.
e) (S) có tâm
)1;3;2( −
K
và đi qua tâm I của mặt cầu:
0662
222
=−+−++ zyzyx
.
f) (S) có đường kính ON với
)2;4;1(−
N

.
g) (S) có tâm
)4;3;6( −I
và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy.
h) (S) có tâm
)4;3;6( −I
và tiếp xúc với trục tung Oy.
Bài 17. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau đây:
a) (S) ngoại tiếp tứ diện OABC với
)1;3;1(,)4;2;1(,)3;2;2( −−− CBA
.
b) (S) đi qua gốc tọa độ và các hình chiếu của điểm
)3;1;2( −M
lần lượt lên các
trục tọa độ.
c) (S) đi qua các điểm
)3;1;2(,)0;7;0(,)1;1;2(,)1;0;3( −−− DCBA
.
d) (S) đi qua ba điểm
)3;2;2(,)1;3;1(,)4;2;1( CBA −−
và có tâm nằm trên mặt phẳng
Oxy.
Bài 18. Cho
)4;5;5(,)2;8;6(,)1;3;5(,)6;2;4(,)14;3;35( DCBAS −−−
.
a) Chứng minh rằng S.ABCD là hình chóp có đáy là một hình vuông và cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy.
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
N.Ñ.K
website: 19

Bài 19. Viết phương trình mặt phẳng
)(
α
trong các trường hợp sau đây:
a)
)(
α
đi qua điểm
)1;2;7( −
A
, vuông góc với đường thẳng BE với
)3;2;2( −
B
,
)6;0;1(−
E
.
b)
)(
α
là mặt phẳng trung trực của đoạn AK với
)1;5;2(,)3;1;1(
KA
.
c)
)(
α
đi qua
)6;2;2( −−C

và song song với
012:)( =−+− zyx
β
.
d)
)(
α
vuông góc với đường thẳng
2
2
3
1
1
:
−
=
+
=
−
zyx
d
tại điểm M trên d có
hoành độ bằng 2.
e)
)(
α
tiếp xúc với mặt cầu
9)1()1(:)(
222
=+++− zyxS

tại điểm
)1;1;3( −
H
thuộc
mặt cầu (S).
f)
)(
α
đi qua O và vuông góc với đường thẳng
3
3
12
1
:
−
==
− zyx
d
.
Bài 20. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau đây:
a) (P) đi qua ba điểm
)1;0;1(,)4;3;3(,)0;1;2( −−
CBA
.
b) (P) đi qua điểm
)1;2;0(I
và đường thẳng
z
yx
=

−
=
+
∆
32
1
:
.
c) (P) chứa trục hoành và đi qua điểm
)1;1;2(−
G
.
d) (P) đi qua hai điểm
)0;3;0(,)1;2;1( BA −
đồng thời song song với đường thẳng
CD với
)1;1;1(C
,
)2;5;0( −D
.
e) (P) chứa đường thẳng d
1
đồng thời song song với đường thẳng d
2
, biết:







+=
−=
+−=
tz
ty
tx
d
23
2
1
:
1
và





−=
=
−=
tz
y
tx
d
1
0
3
:

2

f) (P) đi qua hai điểm O và
)3;2;1(−
A
đồng thời vuông góc với mặt phẳng
0:)( =−− zyxQ
.
g) (P) đi qua hình chiếu vuông góc của
)1;2;1( −I
lên Ox, Oy và Oz.
Bài 21. Viết phương trình tham số của các đường thẳng d sau đây:
a) d đi qua hai điểm
)3;2;1(,)5;3;2( −− BA
.
b) d đi qua điểm
)3;1;1( −A
đồng thời song song với đường thẳng BC biết
)2;1;1(,)0;2;1( −
CB
.
c) d đi qua
)2;0;1(−
A
và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 7 = 0.
d) d đi qua
)1;2;2( −−N
và song song với
1
2

2
1
:
−
−
==
+
∆
z
y
x
.
e) d đi qua điểm
)0;1;1(−I
và vuông góc với cả hai đường thẳng:

3
1
11
3
:,
2
3
2
2
1
1
:
21
−

==
−
+
∆
−
=
−
=
−
∆
zyxzyx

N.Ñ.K
website: 20

f) d đi qua điểm
)3;1;2(−K
và song song với
022:)( =+− zx
α
, đồnng thời vuông
góc với đường thẳng
5
2
1
1
2
3
:
−

=
−
=
+
∆
zyx
.
g) d là giao tuyến của
023:)( =−+−
zyx
α
và
023:)( =+−
yx
β
.
h) d là đường thẳng đi qua tâm I của mặt cầu (S) và song song với trục tung biết:

3)2()1(:)(
222
=+−++ zyxS
.
i) d là đường trung trực của đoạn thẳng MN trong mặt phẳng (OMN) biết
)4;1;2(M
,
)2;5;0( −N
.
Bài 22. Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau đây:
a)
2

5
1
1
2
3
:
1
+
=
−
−
=
+ zyx
d

b)
23
4
2
1
:
2
zyx
d =
+
=
−
−

Bài 23. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

)(
α
biết
3
4
11
1
:
−
=
−
=
+ zyx
d
và
0223:)( =−−− zyx
α
.
Bài 24. Xét vị trí tương đối của đường thẳng
31
3
1
1
:
zyx
d =
−
−
=
+

với
a)





+=
−=
+=
∆
tz
ty
tx
63
2
21
:
1
b)





+=
−=
+=
∆
tz

ty
tx
41
28
2
:
2
c)





+−=
+=
−−=
∆
tz
ty
tx
31
4
21
:
3

Tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau?
Bài 25. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
)5;1;2(M
lên

a)
013:)( =++−
zyx
α
b)
5
9
3
6
1
2
:
−
=
−
=
− zyx
d

Bài 26. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau đây:
a) (P): 2x – 3y + z – 1 = 0 và (Q): 4x – 6y + 2z – 3 = 0
b) (Q): 3x – y + 2 = 0 và (R): 9x – 3y + 6 = 0
c) (R): x – 2y + 1 = 0 và (S): x – 2z + 1 = 0
Bài 27. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a)
1
3
1
2
1

1
:
1
−
−
=
−
=
− zyx
d
và
2
2
2
1
2
1
:
2
−
−
=
+
=
− zyx
d

b)
4
3

1
7
2
1
:
1
−
=
−
=
− zyx
d
và
1
2
2
1
3
6
:
2
+
=
−
+
=
− zyx
d

c)

12
2
2
1
:
1
zyx
d =
−
−
=
−
và
1
4
3
8
2
:
2
−
=
+
=
−
zyx
d

d)






−−=
−=
+=
1
1
1
1
81
6
42
:
tz
ty
tx
d
và





=
+=
−=
2
2

2
2
12
92
67
:
tz
ty
tx
d

N.Ñ.K
website: 21

Bài 28. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
1
1
3
9
4
12
:
−
=
−
=
− zyx
d
và

0253:)( =−−+
zyx
α

b)
34
3
2
1
:
zyx
d =
−
=
+
và
05233:)( =−+−
zyx
α

Bài 29. Trong hệ tọa độ Oxyz cho các điểm
)5;4;0(,)1;0;3(,)3;1;1( CBA −

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua C và vuông góc với AB.
b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (ABC) tại B.
Bài 30. Trong hệ tọa độ Oxyz cho
)6;0;4(,)4;0;5(,)2;6;1(,)3;1;5(
DCBA

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC).
Bài 31. Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm
)4;0;5(,)2;6;1(,)3;1;5( CBA

a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.
b) Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hình bình hành ABCD.
d) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) tại A.
Bài 32. Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 6 = 0, điểm
)3;1;2( −A
và
mặt cầu
6)4()3()1(:)(
222
=−+++− zyxS
.
a) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt phẳng
)(
α
song song với mặt phẳng (P), đồng thời đi
qua tâm I của mặt cầu (S).
c) Viết phương trình mặt phẳng
)(
β
song song với mặt phẳng (P), đồng thời tiếp
xúc với mặt cầu (S).
Bài 33. Trong hệ tọa độ Oxyz cho
)2;1;3(,)0;2;1(,)4;3;2(,)1;3;5( −−−

DCBA

a) Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện có các cạnh đối diện vuông góc với
nhau. Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) tại A.
Bài 34. Trong hệ tọa độ Oxyz cho
)6;0;4(,)4;0;5(,)2;6;1(,)3;1;5(
DCBA

a) Viết phương trình mặt phẳng (ACD) và chứng minh điểm B không mặt phẳng
(ACD).
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD.
c) Viết phương trình mặt cầu đường kính BD.
Bài 35. Cho (S) là mặt cầu có tâm
)7;3;5( −
I
và đi qua điểm
)7;0;1(
M

a) Chứng minh rằng điểm
)4;1;5(
N
thuộc mặt cầu (S).
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại N.
c) Chứng minh rằng mặt cầu (S) không cắt các trục tọa độ.
Bài 36. Cho điểm
)1;1;2(−
I

và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 5 = 0
a) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm I và song song với (P).
N.Ñ.K
website: 22

Bài 37. Trong hệ tọa độ Oxyz cho các điểm
)1;3;1(,)0;1;2(,)2;1;3( −− CBA

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông cân. Viết phương trình mặt phẳng
(ABC).
b) Chứng minh tằng OABC là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện OABC và diện
tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 38. Trong hệ tọa độ Oxyz cho A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
)12;6;4( −
M
lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
a) Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (ABC).
b) Với điểm
)4;3;1(−
D
, chứng minh rằng ABCD là một tứ diện và mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện ABCD đi qua gốc tọa độ O.
Bài 39. Cho
)2;6;1(,)3;2;1(
BA
và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – 1 = 0
a) Viết phương trình mặt cầu (S
1
) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt cầu (S
2
) có tâm B và đi qua điểm A.
c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).
Từ đó tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
Bài 40. Cho mặt cầu
9:)(
222
=++ zyxS
và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 9 = 0
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu. Tính khoảng cách từ điểm I
đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt phẳng
)(
α
song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với
mặt cầu (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và
)(
α
.
Bài 41. Cho điểm
)2;4;1(M
và mặt phẳng
)(
α
: x + y + z – 1 = 0
a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
)(
α
.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và song song với
)(
α
.
Bài 42. Cho
)0;4;0(,)1;0;3(,)3;1;1( CBA −

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c) Tính khoảng cách từ điểm
)1;1;1(
D
đến mặt phẳng (ABC), từ đó suy ra thể tích
của tứ diện ABCD.
Bài 43. Cho
)0;4;1(,)1;2;0(,)2;0;1(,)3;6;2( DCBA −−

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
b) Chứng minh rằng BCD là một tam giác vuông, từ đó tính diện tích tam giác
BCD.
c) Tính thể tích khối chóp ABCD.
Bài 44. Trong không gian Oxyz cho hai điểm
)7;0;4(,)5;2;6( −−
BA

a) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.
Bài 45. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua
)3;2;1(A

và song song với mặt phẳng (Oxy).
b) (P) đi qua
)3;2;1(A
và song song với mặt phẳng x + y + z = 0.
N.Ñ.K
website: 23

Bài 46. Cho điểm
)0;0;1(A
và đường thẳng





=
+=
+=
∆
tz
ty
tx
21
2
:

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng
∆
.
b) Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua đường thẳng

∆
.
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa A và
∆
.
Bài 47. Cho điểm
)2;4;1(
M
và mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0
a) Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên (P).
b) Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (P).
Bài 48. Trong hệ tọa độ Oxyz cho các điểm
)5;4;0(,)1;0;3(,)3;1;1( CBA −

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC.
b) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng
BC.
c) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC.
Bài 49. Cho
)0;0;1(
A
và H là hình chiếu của A lên
z
yx
=
−
=
−
∆

2
1
1
2
:

a) Tìm tọa độ điểm H, từ đó tính khoảng cách từ điểm A đến
∆
.
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng
∆
.
Bài 50. Cho





−=
+−=
=
tz
ty
tx
d
16
211:
và
6
3

1
2
2
5
:'
−
=
−
=
− zyx
d
. Chứng minh d và d’ cắt nhau.
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’.
Bài 51. Cho (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và
4
3
1
7
2
1
:
−
=
−
=
− zyx
d

a) Chứng tỏ rằng d và (P) song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d lên (P).
Bài 52. Cho điểm
)1;2;3(
A
và đường thẳng
1
3
42
:
+
==
zyx
d

a) Chứng minh rằng điểm A không thuộc đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa d.
c) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, vuông góc d và cắt d.
Bài 53. Cho (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và
4
3
1
7
2
1
:
−
=
−
=
− zyx

d

a) Chứng minh rằng d // (P)
b) Tính khoảng cách giữa d và (P).
Bài 54. Cho hai đường thẳng





+=
+=
=
tz
ty
tx
d
36
21:
và





−=
+−=
+=
'3
'2

'1
:'
tz
ty
tx
d

N.Ñ.K
website: 24

a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau.
b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua O song song với cả d và d’.
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và song song với d’.
Bài 55. Cho hai đường thẳng
4
5
3
2
2
1
:
1
−
=
−
+
=
− zyx
d
và






−=
+=
+=
tz
ty
tx
d
21
22
37
:
2

a) Chứng minh rằng d và d’ cắt nhau.
b) Viết phương trình của mặt phẳng chứa d
1
và d
2
.
c) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với cả hai đường thẳng d
1
và d
2
,
đồng thời cắt cả hai đường thẳng đó.

Bài 56. Cho hai đường thẳng





+−=
−=
=
1
1
1
1
22
61
4
:
tz
ty
tx
d
và





+=
+=
=

2
2
2
2
41
22:
tz
ty
tx
d

a) Chứng minh rằng d
1
vuông góc với d
2
nhưng không cắt d
2
.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và vuông góc với d
2
.
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Bài 57. Cho (P): 4x – 6y + 2z + 1 = 0 và (Q): x + 2y + 4z – 2 = 0
a) Chứng minh rằng

)()( QP ⊥
.
b) Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) lẫn (Q).
c) Chứng minh rằng (P), (Q) và (R) chỉ có 1 điểm chung duy nhất.

N.Ñ.K
website: 25

Phần VI: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo
a.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy, cạnh bên SB bằng
3a
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
b) Chứng minh rằng trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC bằng 120
0
, hãy tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
a) Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a.

b) Chứng minh rằng trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD. Tính diện tích của mặt cầu đó.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy,
góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên
2aSA =
vuông
góc với mặt đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng 45
0
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD theo a.
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích hình chóp
S.ABCD theo a.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là một hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, hai
mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, SAD là tam giác vuông cân.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 9. Cho hình chóp đều S.ABC có M là trung điểm cạnh AB, AM = a. Tính thể tích của
khối chóp S.ABC theo a biết
2aSA =

Bài 10. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SAC là tam giác đều cạnh a,
5aSDSB ==
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A. Hai mặt bên (SAB) và (SAC)
cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi I là trung điểm cạnh BC. Biết
3, aSAaBC ==

và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a.
N.Ñ.K