SKKN Một số biện pháp giúp học sinh học tốt môn Toán lớp 4

SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ
Đ TÀI:Ề
"B I D NG T DUY H C SINH QUA GI H C T CH NỒ ƯỠ Ư Ọ Ờ Ọ Ự Ọ
MÔN TOÁN L P 10"Ớ
1
PH N TH NH TẦ Ứ Ấ : M Đ UỞ Ầ
I.LÝ DO CH N Đ TÀIỌ Ề :
B t đ ng th c và các bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th cấ ẳ ứ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ
là các v n đ đã đ c đ c p trong ch ng trình sá ch giáo khoa môn toán b c Trungấ ề ượ ề ậ ươ ở ậ
h c ph thông. Th i gian gi ng d y ch đ này không nhi u, m c đ bài t p trình bàyọ ổ ờ ả ạ ủ ề ề ứ ộ ậ
trong sách giáo khoa và sách bài t p đ u d ng c b n. Tuy nhiên trong các k thi Đ iậ ề ở ạ ơ ả ỳ ạ
h c và các k thi h c sinh gi i thì các bài toán v b t đ ng th c và tìm giá tr l n nh t,ọ ỳ ọ ỏ ề ấ ẳ ứ ị ớ ấ
giá tr nh nh t l i là m t đ nh cao mà r t ít h c sinh có th v t qua. R t nhi u h cị ỏ ấ ạ ộ ỉ ấ ọ ể ượ ấ ề ọ
sinh còn lúng túng tr c các bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th cướ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ
đ c bi t là h c sinh l p 10.ặ ệ ọ ớ
Trong nh ng năm g n đâ y th c hi n ch ng trình gi m t i c a B giáo d c,ữ ầ ự ệ ươ ả ả ủ ộ ụ
môn toán ch ng trì nh ban c b n c a l p 10 còn 3 ti t trên tu n. Tr ng THPTươ ơ ả ủ ớ ế ầ ườ
Nguy n Trung Ng n xây d ng k ho ch gi ng d y thêm m t ti t t ch n dành choễ ạ ự ế ạ ả ạ ộ ế ự ọ
môn toán d y theo ch đ bám sát. Căn c vào k ho ch c a nhà tr ng, c a Banạ ủ ề ứ ế ạ ủ ườ ủ
chuyên môn, T toán đã xây d ng k ho ch d y t ch n môn toán l p 10 theo t ngổ ự ế ạ ạ ự ọ ớ ừ
ch đ , bám sát v i phân ph i ch ng trình c a S giáo d c trong đó có ch đ : Tìmủ ề ớ ố ươ ủ ở ụ ủ ề
giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c, ch đ này đ c th c hi n sau khi h cị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ế ứ ủ ề ượ ự ệ ọ
sinh h c xong bài B t đ ng th c.ọ ấ ẳ ứ
Năm h c 2012-2013 tôi đ c nhà tr ng phân công gi ng d y l p 10A1.Th c tọ ượ ườ ả ạ ớ ự ế
trong nh ng năm h c tr c b n thân tôi cũng đã có nh ng băn khoăn trăn tr v cáchữ ọ ướ ả ữ ở ề
h ng d n h c sinh h c gi t ch n nh th nà o cho hi u qu và làm th nà o đ h cướ ẫ ọ ọ ờ ự ọ ư ế ệ ả ế ể ọ
sinh có h ng thú h c trong các gi t ch n? Trong khi tài li u chung đ h c sinh vàứ ọ ờ ự ọ ệ ể ọ
giáo viên tham kh o không có. Khóa h c 2008 - 2011 tôi đã m nh d n đ a m t sả ọ ạ ạ ư ộ ố
d ng bài t p tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t vào gi ng d y gi t ch n và h cạ ậ ị ớ ấ ị ỏ ấ ả ạ ở ờ ự ọ ọ
sinh đã có h ng thú trong vi c gi i cá c d ng bài t p đó.Tuy nhiên k t qu thi h c sinhứ ệ ả ạ ậ ế ả ọ
gi i c p t nh h c sinh ch đ t gi i ba, còn thi đ i h c m i có m t s em đ t đi m 9ỏ ấ ỉ ọ ỉ ạ ả ạ ọ ớ ộ ố ạ ể

kh i A và kh i B. Trong năm h c này tôi m nh d n gi i thi u cho h c sinh l p 10 m tố ố ọ ạ ạ ớ ệ ọ ớ ộ
s d ng bài toán tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c đ giúp ố ạ ị ớ ấ ỏ ấ ủ ể ứ ể b i d ng tồ ưỡ ư
duy cho h c sinh, nâng cao năng l c, rèn luy n k năng gi i toán ọ ự ệ ỹ ả và đ c bi t t oặ ệ ạ
cho h c sinh ọ h ng thú h c trong gi t ch n ứ ọ ờ ự ọ và lòng đam mê chinh ph c đ nh caoụ ỉ
trong các k thi s p t iỳ ắ ớ .
Các bài toán tìm giá tr l n nhât, giá tr nh nh t có m t v trí quan tr ng trong cácị ớ ị ỏ ấ ộ ị ọ
k thi và nó có s c h p d n đ i v i h c sinh khá gi i và c nh ng ng i say mêỳ ứ ấ ẫ ố ớ ọ ỏ ả ữ ườ
2
toán.Đ i v i đ i t ng h c sinh l p 10 các em ch a h c đ o hàm nên ch d ng l i ố ớ ố ượ ọ ớ ư ọ ạ ỉ ừ ạ ở
m t s ph ng pháp c b n đ gi i các bài toán đó.Tuy nhiên th i gian d y ch độ ố ươ ơ ả ể ả ờ ạ ủ ề
này không nhi u nên tôi ch d ng l i vi c gi i thi u các bài toán tìm giá tr l n nhât,ề ỉ ừ ạ ở ệ ớ ệ ị ớ
giá tr nh nh t b ng b t đ ng th c giúp cho các gi h c t ch n đ t hi u qu và h cị ỏ ấ ằ ấ ẳ ứ ờ ọ ự ọ ạ ệ ả ọ
sinh thích h c gi t ch n h n. Chính vì lý do đó tôi m nh d n đ xu t sáng ki n ọ ờ ự ọ ơ ạ ạ ề ấ ế
“ B i d ng t duy h c sinh qua gi h c t ch n môn toán l p 10”.ồ ưỡ ư ọ ờ ọ ự ọ ớ Xin trao đ iổ
cùng các đ ng nghi p. ồ ệ
II M C ĐÍCH NGHIÊN C UỤ Ứ
Giúp h c sinh l p 10 nâng cao kh năng t duy toán h c, có nh ng suy nghĩ tíchọ ớ ả ư ọ ữ
c c trong các bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t.H c sinh thích h c cá c giự ị ớ ấ ị ỏ ấ ọ ọ ờ
t ch n h n, đ ng th i qua đó giúp h c sinh say mê nghiên c u toán h c, ham h c h i.ự ọ ơ ồ ờ ọ ứ ọ ọ ỏ
T o cho h c sinh có ni m tin, m c chinh ph c đ c đ nh cao c a trí tu .ạ ọ ề ơ ướ ụ ượ ỉ ủ ệ
III PH M VI NGHIÊN C U Ạ Ứ
1. Đ i t ng nghiên c u: ố ượ ứ
H c sinh l p 10A1 c a Tr ng THPT Nguy n Trung Ng n trong gi h c t ch n mônọ ớ ủ ườ ễ ạ ờ ọ ự ọ
toán.
2. Ph m vi nghiên c u: ạ ứ
“ B i d ng t duy h c sinh qua gi h c t ch n môn toán l p 10”ồ ưỡ ư ọ ờ ọ ự ọ ớ b ng các bàiằ
toán Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nhât.ị ớ ấ ị ỏ
IV. C S NGHIÊN C U Ơ Ở Ứ
Đ th c hi n đ tài này, tôi d a trên c s các ki n th c đã h c Tr ngể ự ệ ề ự ơ ở ế ứ ọ ở ườ
ĐHSP, các tài li u v ph ng pháp gi ng d y, các tài li u b i d ng th ng xuyên,ệ ề ươ ả ạ ệ ồ ưỡ ườ

sách giáo khoa, sách bài t p, sách tham kh o c a b môn Toán b c trung h c phậ ả ủ ộ ậ ọ ổ
thông …
V PH NG PHÁP NGHIÊN C UƯƠ Ứ
Th c hi n đ tài này, tôi s d ng các ph ng pháp sau đây:ự ệ ề ử ụ ươ
3
– Ph ng pháp nghiên c u lý lu n : Nghiên c u sách tham kh o, đ thi h c sinhươ ứ ậ ứ ả ề ọ
gi i, m ng Internet, các tài li u liên quan khác…ỏ ạ ệ
– Ph ng pháp kh o sát th c ti n: Kh o sá t h c sinh l p 10A1 c a Tr ngươ ả ự ễ ả ọ ớ ủ ườ
THPT Nguy n Trung Ng n. ễ ạ
– Ph ng pháp quan sát : Quan sát quá trình d y và h c t i tr ng THPTươ ạ ọ ạ ườ
Nguy n Trung Ng nễ ạ
- Ph ng pháp th c nghi m s ph m: T ch c d y th c nghi m, cho đ ki mươ ự ệ ư ạ ổ ứ ạ ự ệ ề ể
tra kh o sát k t qu sau khi th c hi n chuyên đ .ả ế ả ự ệ ề
– Ph ng pháp th ng kê toán h c.ươ ố ọ
VI. TH I GIAN TH C HI NỜ Ự Ệ
- Đ tài đ c th c hi n t ngày 20 - 03 -2013 đ n ngày 10 - 04 - 2013 ề ượ ự ệ ừ ế
VII. GI I H N C A Đ TÀIỚ Ạ Ủ Ề
Đê tai đ c s dung trong ̀ ̀ ượ ử ̣ gi h c t ch n môn toán c a l p 10A1 và dùng đờ ọ ự ọ ủ ớ ể
b i d ng h c sinh thi Đ i h c , b i d ng đồ ườ ọ ạ ọ ồ ưỡ ôi tuyên hoc sinh gioi ̣ ̉ ̣ ̉ c p t nh.ấ ỉ
PH N TH HAIẦ Ứ : NÔI DUNG̣
I. Khao sat tinh hinh th c tế ̀ ̀ ́̉ ự
Năm hoc 20̣ 12 – 2013, tôi đ c ượ BGH nhà tr ng phân công gi ng d y môn toánườ ả ạ
l p 10A1ớ . Đây la môt c hôi rât tôt đê tôi th c hiên đê tai naỳ ́ ́ ̀ ̀ ̣̀ ơ ̣ ̉ ự ̣ .Bài toán tìm giá tr l nị ớ
nh t, giá tr nh nh t là m t trong nh ng d ng bài toán khóấ ị ỏ ấ ộ ữ ạ . Trong qua trinh giai toań ̀ ́̉
hoc sinh con rât lung tung, kê ca nh ng hoc sinh ̀ ́ ́ ́ ̣̃ ̉ ̉ ư ̣ đã đ t gi i h c sinh gi i c p t nh ạ ả ọ ỏ ấ ỉ ở
c p THCSấ . Sau khi h c sinh h c xong bài b t đ ng th c và m t s ng d ng tìm giáọ ọ ấ ẳ ứ ộ ố ứ ụ
tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c. Tôi ti n hà nh kh o sát trên 46 h c sinh ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ ế ả ọ ở
l p 10A1 và k t qu đ t nh sau: ớ ế ả ạ ư
11/46 HS đ t đi m trên trung bìnhạ ể
35/46 HS đ t đi m d i trung bìnhạ ể ướ

4
II. N i dung đ tài: ộ ề
A Ki n th c c b n:ế ứ ơ ả
* M t s b t đ ng th c c n nh : ộ ố ấ ẳ ứ ầ ớ
- B t đ ng th c Côsiấ ẳ ứ
n
n
n
aaaa
n
aaaa


321
321


V i ớ
0

i
a

D u b ng x y ra khi ấ ằ ả
1 2

n
a a a
= = =

- Các b t đ ng th c khác : ấ ẳ ứ
1.
xyyx 2
22

2.
xyyx

22

3,
 
xyyx 4
2

4.
2

a
b
b
a
5.
1 1 4
( , 0)Khi b c
b c b c
+  >
+
6.
2 2 2

1 1 8
( )a b a b
+ 
+
v i a ,b > 0 ớ
7.
+  +
r r r r
u v u v
, V i m i ớ ọ
r r
u,v

B Gi i thi u các bài toán ớ ệ
- Bài t p h c sinh th c hi n trên l p: T bài 1 đ n bài 20 ậ ọ ự ệ ớ ừ ế
- Bài t p h c sinh th c hi n nhà : T bài 21 đ n h t.ậ ọ ự ệ ở ừ ế ế
I.1 Gi i thi u các bài toán th c hi n trên l pớ ệ ự ệ ớ :
Bài 1: Cho x,y,z là các s d ng và x + y + z = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ố ươ ị ỏ ấ ủ ể ứ
5
P =
1 1 1
x y z
x y z
+ +
+ + +
L i gi i: Ta có P = ờ ả
1 1 1 1 1 1
1 1 1 3
1 1 1 1 1 1x y z x y z
� �

− + − + − = − + +
� �
+ + + + + +
� �
( 1)
Theo b t đ ng th c Cô si ta cóấ ẳ ứ :
[ ]
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
� �
+ + + + + + + 
� �
+ + +
� �
.(2)
M t khác theo gi thi t x+ y+ z = 1 nên t (2) ta có ặ ả ế ừ
1 1 1
1 1 1x y z
+ +
+ + +



9
4
(3)
T (3) và (1) Ta có P ừ



3
4
. D u b ng x y ra khi x = y = z = ấ ằ ả
1
3
.
V y Max P = ậ
3
4
khi và ch khi x = y = z = ỉ
1
3
.
Bài 2: Cho x, y , z là các s d ng thay đ i và th a đi u ki nố ươ ổ ỏ ề ệ : xy
2
z
2
+ x
2
z +y = 3 z
2
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = ị ớ ấ ủ ể ứ
4
4 4 4
1 ( )
z
z x y+ +
L i gi i: Ta xét ờ ả

( )
4 4
4
1 1
x y
P z
= + +
T gi thi t suy ra xyừ ả ế
2

+
2
2
3
x y
z z
+ =
. Áp d ng b t đ ng th c Cô si ta cóụ ấ ẳ ứ :
8 2
4 4
4
4 4
1
1 4 4
x x
x x
z z z
+ + +  =
(1)
1+

4
4
4
4 4 8 2
1 1
4 4
y y
y
z z z z
+ +  =
(2)
1+ x
4
+ y
4

+y
4

4 8
4
4 x y

= 4xy
2
(3) . C ng v v i v các BĐT (1),(2),(3) ta đ c ộ ế ớ ế ượ
3 +3(
4 4
4
1

x y
z
+ +
)
2
2
2
4 12
x y
xy
z z
� �
 + + =
� �
� �



1
P

3

P


1
3
. D u b ng x y raấ ằ ả
khi x =y = z = 1.

6
V y Max P = ậ
1
3
khi và ch khi x =y = z = 1.ỉ
Bài 3 Cho a, b, c là các s th c d ng th a đi u ki n abc = 1. Tìm giá tr l n nh t c aố ụ ươ ỏ ề ệ ị ớ ấ ủ
bi u th c P = ể ứ
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3a b b c c a
+ +
+ + + + + +
L i gi i ờ ả : Do a
2
+b
2


2ab, b
2
+ 1

2b khi đó :
2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 1 2 2( 1)a b a b b ab b
= 
+ + + + + + + +
T ng t ươ ự
2 2

1 1
2 3 2( 1)b c bc c

+ + + +
và
2 2
1 1
2 3 2( 1)c a ac c

+ + + +
Khi đó P
1 1 1 1
2 1 1 1ab b bc c ca a
� �
 + +
� �
+ + + + + +
� �


P
1 1 1
2 1 1 1 2
ab b
ab b ab b ab b
� �
 + + =
� �
+ + + + + +
� �

. ( Do
1
c
ab
=
và ac =
1
b
)
D u b ng trong BĐT trên x y ra khi a = b = c = 1 ấ ằ ả
V y Max P = ậ
1
2
khi và ch khi a = b = c = 1 ỉ
Bài 4 ( Đ thi HSG T nh H ng Yên) ề ỉ ư
Cho a, b, c là các s d ng tùy ý và th a đi ki n a + b + c = 2. Tìm giá tr l n nh tố ươ ỏ ề ệ ị ớ ấ
c a bi u th c P = ủ ể ứ
2 2 2
ab bc ac
c ab a bc b ac
+ +
+ + +
L i gi i: Ta có 2c + ab = c( a+b+c) + ab = cờ ả
2
+ c( a+b) + ab = ( c+a)( c+b)

1
ét
( )( )
2 ( )( )

1 1 1 1
( )
2 2
ab ab
X ab
c a c b
c ab c a c b
ab ab
ab
c a c b c a c b
= =
+ +
+ + +
� � � �
 + = +
� � � �
+ + + +
� � � �

V y ậ
1
2
2
ab ab ab
c a c b
c ab
� �
 +
� �
+ +

+
� �
(1). T ng t ta cóươ ự :
7
1
2
2
bc bc bc
a b a c
a bc
� �
 +
� �
+ +
+
� �
(2)
1
2
2
ac ac ac
a b b c
b ac
� �
 +
� �
+ +
+
� �
(3) . C ng v v i v các BĐT (1),(2),(3) ta đ c ộ ế ớ ế ượ

P

1
2
ab bc ab ac bc ac
c a c a b c b c a b a b
� �
+ + + + +
� �
+ + + + + +
� �
=
1
( ) 1
2
a b c+ + =
.
P = 1 khi a = b = c =
2
3
.
V y Max P = 1 khi và ch khi a = b = c = ậ ỉ
2
3
.
Bài 5 Cho a,b,c là ba s d ng th a đi u ki n a+ b+ c = ố ươ ỏ ề ệ
3
4
. Tìm giá tr nh nh t c aị ỏ ấ ủ
bi u th c P = ể ứ

3 3 3
1 1 1
3 3 3a b b c c a
+ +
+ + +
.
L i gi i: Áp d ng BĐT (x+y+z)ờ ả ụ
1 1 1
x y z
� �
+ + 
� �
� �
9 ta có
( )
3 3 3
3 3 3
1 1 1
3 3 3
3 3 3
a b b c c a
a b b c c a
� �
+ + + + + + +
� �
+ + +
� �


9

Khi đó P
3 3 3
9
3 3 3a b b c c a

+ + + + +
. M t khác theo BĐT Cô si ta cóặ :
3
3
3 1 1
3 ( 3 ).1.1
3
a b
a b a b
+ + +
+ = + 
=
3 2
3
a b+ +
Hay
3
3a b+

3 2
3
a b+ +
, t ng t ươ ự
3
3b c+


3 2
3
b c+ +
và
3
3c a+

3 2
3
c a+ +
Suy ra
3
3a b+
+
3
3b c+
+
3
3c a+

4( ) 6
3
a b c+ + +
= 3
V y P ậ

3 . D u b ng x y ra khi a = b =c = ầ ằ ả
1
4

.
K t lu nế ậ : Min P = 3 khi a = b = c =
1
4
.
8
Bài 6 Cho các s không âm x , y, z th a mãn xố ỏ
2
+ y
2
+z
2


3 y . Tìm giá tr nh nh t c aị ỏ ấ ủ
bi u th c P = ể ứ
2 2 2
1 4 8
( 1) ( 2) ( 3)x y z
+ +
+ + +
L i gi i ờ ả : Ta có 2x + 4y + 2z

( x
2

+ 1) + ( y
2
+ 4) + (z
2

+ 1)

3y + 6
Suy ra x + y + 2z

6 D u b ng x y ra khi x = ấ ằ ả
2
y
= z = 1.
V i a và b là các s d ng ta cóớ ố ươ :
2 2 2
1 1 8
( )a b a b
+ 
+
( 1)
Áp d ng BĐT (1) ta đ cụ ượ :

2 2
2 2 2
2
2 2
1 1 8 8 8
( 1) ( 3) ( 3)
1 1 1
2 2
64 64.4 64.4
1
(2 2 10) (6 10)
2 3

2
x z z
y y
x
x y z
y
x z
+ +  +
+ + +
� � � �
+ + + +
� � � �
� � � �
 =  =
+ + + +
� �
+ + + +
� �
� �
V y Min P = 1 khi x = 1, y = 2 , z = 1ậ
Bài 7 Cho x,y,z d ng và th a mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá tr nh nh t c a bi uươ ỏ ị ỏ ấ ủ ể
th c P = 3xứ
2
+ 3y
2
+ z
2

L i gi i: Ta có 2P = ( 4xờ ả
2

+ z
2
) + (4y
2
+ z
2
) +(2x
2
+ 2y
2
)
Áp d ng BĐT Cô si ta có 4xụ
2
+ z
2


4xz , 4y
2
+ z
2


4yz, 2x
2
+ 2y
2


4xy

Khi đó 2P

4( xy + yz + zx) = 20 hay P

10 .
P =10 khi x = y = 1 , z =2
K t lu n Min P = 10 khi và ch khi x = y =1 , z= 2 ế ậ ỉ
Bài 8 Cho
0x

,
0y 
và
1x y+ =
. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c ị ớ ấ ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
x y
P = +
y +1 x +1
.
L i gi i ờ ả : Ta có:
2 2
x y
P = +
y +1 x +1
=
3 3 2 2
x + y + x + y
x + y + xy +1
9

=
( )
( )
2 2 2 2
x + y x - xy + y +x + y
x + y + xy +1
=
( )
2 2
2 x + y - xy
2 + xy
(vì x+y =1)
=
( )
2
2 x + y -5xy
2 + xy
=
2-5xy
2 + xy
Đ t ặ
t = xy
. Khi đó
( )
2
1
0
4 4
x y
xy

+
  =
hay
1
0
4
t 
Giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c P chí nh là giá tr l n nh t và nh nh t c aị ớ ấ ỏ ấ ủ ể ứ ị ớ ấ ỏ ấ ủ
bi u th c ể ứ
2 5
( )
2
t
f t
t
−
=
+
v i ớ
1
0
4
t 
. Ta có f(t) = -5 +
12
2t +
.
Đ f(t) l n nh t thì t ng t +2 nh nh t hay t = 0 vì ể ớ ấ ổ ỏ ấ
1
0

4
t 
.
Đ f(t) nh nh t thì t ng t +2 l n nh t hay t = ể ỏ ấ ổ ớ ấ
1
4
vì
1
0
4
t 
V yậ
MaxP = 1 khi x= 1, y =0 ho c x= 0 ,y= 1ặ
MinP =
1
3
khi x = y=
1
2
Bài 9 Cho x, y là hai s th c th a mãn đi u ki n: ố ự ỏ ề ệ
2 2
2 2 1x y xy+ − =
. Tìm giá tr l n nh tị ớ ấ
và giá tr nh nh t c a bi u th c: P = ị ỏ ấ ủ ể ứ
4 4 2 2
7( ) 4x y x y+ +

L i gi iờ ả : Ta có:
2 2 2
1

1 2 2 2( ) 5 5
5
x y xy x y xy xy xy− − − + =− + =�

2 2 2
1 1 1
1 2 2 2( ) 3 3
3 5 3
x y xy x y xy xy xy xy−   +− =− + =�� � �

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
7[( ) 2 ] 4 7( ) 10
1 33 7 7
7( ) 10
2 4 2 4
P x y x y x y x y x y
xy
x y x y xy
= + − + = + −
+
= − = − + +

Đ t t = xy, t ặ
2
1 1 33 7 7
[- ; ] P = -
5 3 4 2 4
t t
+ +� �

Bài toán tr thành: Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th cở ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
33 7 7
P = -
4 2 4
t t
+ +
trên đo n ạ
1 1
[- ; ]
5 3
10
S d ng b ng bi n thiên c a hàm s bâc hai h c sinh tìm đ c:ử ụ ả ế ủ ố ọ ượ
70 7 18 1
ax ,
33 33 25 5
M P xy MinP xy
= = = = −� �
Bài 10 Cho x, y, z
0
và
2 2 2
3x y z+ + =
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cị ỏ ấ ủ ể ứ :
P =
3 3 3
2 2 2
1 1 1
x y z
y z x

+ +
+ + +
L i gi i: Ta có: P + 3 = ờ ả
3 3 3
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
1 1 1
x y z
y z x
y z x
+ + + + +
+ + +
3 3 2
2 2
6 1
( )
4 2 4 2
2 1 2 1
x x y
P
y y
+
+ = + +�
+ +

3 3 2
2 2
1
( )

4 2
2 1 2 1
y y z
z z
+
+ + +
+ +

3 3 2
2 2
1
( )
4 2
2 1 2 1
z z x
x x
+
+ + +
+ +
6 6 6
3 3 3
6
3 3 3
4 2 16 2 16 2 16 2
x y z
P +  + +
hay
2 2 2
6
3

3 3 9
( )
2 2 2 8
2 2 2
P x y z+  + + =

Suy ra
6
3
9 3 9 3 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2
P  − = − =
Dâu băng xay ra khi va chi khi x = y = z = 1. V y MinP = ́ ̀ ̀̉ ̉ ậ
3
2
Bài 11 Cho x, y, z là các s th c d ng l n h n 1 và tho mãn đi u ki n:ố ự ươ ớ ơ ả ề ệ
xy + yz + zx  2xyz. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).ị ớ ấ ủ ể ứ
L i gi i: Ta có ờ ả
1 1 1
2 2xy yz xz xyz
x y z
+ + + +�� �
nên
1 1 1 1 1 ( 1)( 1)
1 1 2 (1)
y z y z
x y z y z yz
− − − −
 − + − = + 

T ng t ta có ươ ự
1 1 1 1 1 ( 1)( 1)
1 1 2 (2)
x z x z
y x z x z xz
− − − −
 − + − = + 
11
1 1 1 1 1 ( 1)( 1)
1 1 2 (3)
x y x y
y x y x y xy
− − − −
 − + − = + 
Nhân v v i v c a (1), (2), (3) ta đ c ế ớ ế ủ ượ
1
( 1)( 1)( 1)
8
x y z
− − − 
. Suy ra A
1
8


V y MaxA = ậ
1 3
8 2
x y z
= = =�

Bài 12 V i m i s th c d ng ớ ọ ố ự ươ
; ;x y z
th a đi u ki n ỏ ề ệ
1x y z
+ + 
. Tìm giá tr nh nh tị ỏ ấ
c a bi u th c: ủ ể ứ
1 1 1
2P x y z
x y z
� �
= + + + + +
� �
� �
.
L i gi iờ ả : Áp d ng BĐT Cô-si : ụ
2
18 12x
x
+ 
(1). D u b ng x y ra khi ấ ằ ả
1
3
x =
.
T ng t : ươ ự
2
18 12y
y
+ 

(2) và
2
18 12z
z
+ 
(3).
Mà:
( )
17 17x y z− + +  −
(4). C ng (1),(2),(3),(4), ta có: ộ
19P 
.

1
19
3
P x y z= = = =�
. V y Minậ P =
19

x = y = z =
1
3

Bài 13 Cho x, y, z là các s d ng th a mãn ố ươ ỏ
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Tìm giá tr l n nh t c a bi uị ớ ấ ủ ể

th c: ứ
1 1 1
2 2 2
= + +
+ + + + + +
P
x y z x y z x y z
L i gi iờ ả : Áp d ng b t đ ng th c: ụ ấ ẳ ứ
1 1 1 1
4a b a b
� �
 +
� �
+
� �
. D u b ng x y ra khi a = b .ấ ằ ả
Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 8 16
� �
 +  + +
� �
+ + +
� �
.( )
x y z x y z x y z

Hay
1 1 1 1 1
2 8 16

� �
 + +
� �
+ +
� �
x y z x y z
(1).
T ng t ươ ự
1 1 1 1 1
2 8 16
� �
 + +
� �
+ +
� �
x y z y x z
(2)

1 1 1 1 1
2 8 16
� �
 + +
� �
+ +
� �
x y z z x y
(3)
C ng v v i v c a (1),(2),(3) và áp d ng gi thi t ta đ c P ộ ế ớ ế ủ ụ ả ế ượ

1

12
Mà P =1 Khi x = y = z =
3
4
. V y Max P = 1 ậ

x = y = z =
3
4
.
Bài 14 Cho các s th c d ng a,b,c thay đ i luôn tho mãnố ự ươ ổ ả : a+b+c=1. Tìm giá tr nhị ỏ
nh t c a bi u th c: P = ấ ủ ể ứ
2 2 2
a b b c c a
b c c a a b
+ + +
+ +
+ + +

L i gi i:ờ ả .Ta có: P =
2 2 2
( ) ( )
a b c b c a
A B
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + = +
+ + + + + +

[ ]
3

3
1 1 1 1
3 ( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 9 3
3 ( )( )( )3
2 2 2
A a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a A
a b b c c a
� �
+ = + + + + + + +
� �
+ + +
� �
 = + + + �
+ + +
Và
2 2 2
2 2
1
1 ( ) ( )( ) 1 .2
2
a b c
a b c a b b c c a B B
a b b c c a
= + + + + + + + + + � ۳
+ + +
T đó P ừ

3 1
2
2 2
 + =
. Đ P = 2 thì a = b = c = ể
1
3
.
V y Min P = 2 ậ

a = b = c =
1
3
.
Bài15 Cho hai s d ng ố ươ
,x y
th a mãn: ỏ
5x y+ =
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
4 2
4
x y x y
P
xy
+ −
= +
L i gi i:ờ ả
4 2 4 1 4 1
4 2 4 4 2 2

x y x y x y y x y
P
xy y x y x
+ −
= + = + + − = + + + −
Thay
5y x= −
t s cu i đ c:ở ỉ ố ố ượ
4 1 5 4 1 5 4 1 5 3
2 . 2 .
4 2 2 4 2 4 2 2
y x x y y
P x x
y x y x y x
−
= + + + − = + + + −  + − =
P
=
3
2
khi
1; 4x y= =
V y Min P = ậ
3
2
Bài 16 Cho x, y, z > 0 th a đi u ki n xyz = 1.ỏ ề ệ
Tìm GTNN c a ủ
3 3 3 3
3 3
1 1

1
x y y z
z x
S
xy yz zx
+ + + +
+ +
= + +
.
13
L i gi iờ ả : Áp d ng BĐT Cô si cho 3 s d ng ta có:ụ ố ươ
3 3
3 3 3 3
3
1
3
1 3 1. . 3
x y
x y x y xy
xy
xy
+ +
+ + =� ۳
T ng t : ươ ự
3 3
1
3
y z
yz yz
+ +


;
3 3
1 3z x
zx zx
+ +

Suyra:
3 3 3 3
3 3
1 1
1
x y y z
z x
S
xy yz zx
+ + + +
+ +
= + +
3 3 3
xy yz zx
 + +

3 3 3
3 . . 3 3
xy yz zx
 =
.
D u b ng x y ra khi x = y = z = 1.ấ ằ ả
V y MinS = ậ

3 3
khi x = y = z = 1.
Bài 17 Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn: ố ự ươ ỏ x
2
+ y
2
+ z
2
 3. Tìm giá tr nh nh tị ỏ ấ
c a bi u th c: ủ ể ứ
1 1 1
1 1 1
P
xy yz zx
= + +
+ + +
L i gi iờ ả : Ta có:
[ ]
1 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) 9
1 1 1
xy yz zx
xy yz zx
� �
+ + + + + + + 
� �
+ + +
� �
2 2 2
9 9

3
3
P
xy yz zx
x y z
۳�
+ + +
+ + +
Mà P =
3
2
khi x = y = z= 1
V y Min P ậ =
3
2


x = y = z= 1
Bài 18 Xét các s th c d ng x, y, z th a mãn đi u ki n x + y + z = 1.ố ự ươ ỏ ề ệ
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)
P
yz zx xz
+ + +
= + +
L i gi iờ ả : Ta có :
2 2 2 2 2 2
x x y y z z
P

y z z x x y
= + + + + +
(*)
Nh n th y : xậ ấ
2
+ y
2
– xy  xy  x, y 
ﾡ
Do đó : x
3
+ y
3
 xy(x + y)  x, y > 0 hay
2 2
x y
x y
y x
+  +
 x, y > 0
14
T ng t , ta có : ươ ự
2 2
y z
y z
z y
+  +
 y, z > 0 và
2 2
z x

z x
x z
+  +
 x, z > 0
C ng t ng v ba b t đ ng th c v a nh n đ c trên, k t h p v i (*), ta đ c:ộ ừ ế ấ ẳ ứ ừ ậ ượ ở ế ợ ớ ượ
P  2(x + y + z) = 2  x, y, z > 0 và x + y + z = 1
H n n a, ta l i có P = 2 khi x = y = z = ơ ữ ạ
1
3
. Vì v y Min P = 2. ậ
Bài 19 Cho x, y, z là ba s th c d ng thay đ i và th a mãn: ố ự ươ ổ ỏ
xyzzyx 
222
. Hã y tìm
giá tr l n nh t c a bi u th c: ị ớ ấ ủ ể ứ
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P






222
.

L i gi i: ờ ả Vì
0;; zyx
, Áp d ng BĐT Côsi ta có: ụ
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
222
222











xyzxyz
222
4
1
































xyz
zyx

xyz
xyzxyz
yxxzzy
222
2
1
2
1111111
4
1

2
1
2
1










xyz
xyz
D u b ng x y ra ấ ằ ả
3 zyx
. V y MaxP = ậ

2
1
3

zyx
Bài 20 Cho x,y  R và x, y > 1. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
( ) ( )
3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −
L i gi i: Đ t t = x + y ; t > 2. Áp d ng BĐT 4xy ờ ả ặ ụ  (x + y)
2
ta có
2
4
t
xy

3 2
(3 2)
1
t t xy t
P
xy t
− − −

=
− +
. Do 3t - 2 > 0 và
2
4
t
xy−  −
nên ta có
2
3 2
2
2
(3 2)
4
2
1
4
t t
t t
t
P
t
t
t
−
− −
 =
−
− +
Xét bi u th c f(t) = ể ứ

2
4
2 4 8
2 2
t
t
t t
= − + + 
− −
. f(t) = 8 khi t = 4
15
Do đó min P =
(2; )
min ( )f t
+
= f(4) = 8 đ t đ c khi ạ ượ
4 2
4 2
x y x
xy y
+ = =
� �

� �
= =
� �
I.2 Các bài toán giao v nhà cho h c sinh th c hi nề ọ ự ệ

Bài 21 Cho
0, 0, 1x y x y

> > + =
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cị ỏ ấ ủ ể ứ
1 1
x y
T
x y
= +
− −
L i gi iờ ả : P =
1 1 1 1 1 1
( 1 1 )
1 1 1 1
x y
x y
x y x y
− + − +
+ = + − − + −
− − − −
. Có
4
1 1 2 2
1 1 (1 )(1 ) 1 1
2
x y x y x y
+  
− − − − − + −
= 2
2
(1)
M t khác: ặ

1 1 2. 1 1x y x y
− + −  − + −
=
2
(2)
T (1) và (2) ừ

P


2
. D u “ = “ ấ

1 – x = 1 – y

x = y =
1
2
V y Min P = ậ
2
khi x = y =
1
2
Bài 22 Cho các s th c không âm x, y thay đ i và th a mãn x + y = 1. Tìm giá tr l nố ự ổ ỏ ị ớ
nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c S = (4xấ ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
L i gi i:ờ ả S = (4x

2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy = 16x
2
y
2
+ 12(x
3
+ y
3
) + 34xy
= 16x
2
y
2
+ 12[(x + y)
3
– 3xy(x + y)] + 34xy = 16x
2
y
2
+ 12(1 – 3xy) + 34xy
= 16x
2
y
2
– 2xy + 12
Đ t t = x.y, vì x, y ặ  0 và x + y = 1 nên 0  t 
1

4
.
Khi đó S = 16t
2
– 2t + 12 = f(t). Hàm s f(t) xét trên đo n 0 ố ạ  t 
1
4
đ t giá trạ ị
l n nh t t i t = ớ ấ ạ
1
4
, đ t giá tr nh nh t t i t = ạ ị ỏ ấ ạ
1
16

16
Max S =
25
2
khi x = y =
1
2
Min S =
191
16
khi
2 3
x
4
2 3

y
4

+
=



−

=


hay
2 3
x
4
2 3
y
4

−
=



+

=



Bài 23 Cho x, y, z là các bi n s d ng. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ế ố ươ ị ỏ ấ ủ ể ứ
3 3 3 3 3 3
3 3
3
2 2 2
x y z
P 4(x y ) 4(x z ) 4(z x ) 2
y z x
� �
= + + + + + + + +
� �
� �
� �
L i gi i:ờ ả V i x, y > 0 ta ch ng minhớ ứ :
4(x
3
+ y
3
)  (x + y)
3
( ) D u = x y ra ấ ả  x = y
Th t v y (ậ ậ  )  4(x + y)(x
2
– xy + y
2
)  (x + y)
3
 4(x
2

– xy + y
2
)  (x + y)
2
do x, y > 0
 3(x
2
+ y
2
– 2xy)  0  (x – y)
2
 0 (đúng)
T ng t ta cóươ ự 4(y
3
+ z
3
)  (y + z)
3
D u = x y ra ấ ả  y = z
4(z
3
+ x
3
)  (z + x)
3
D u = x y ra ấ ả  z = x
Do đó
( ) ( ) ( )
( )
3 3 3 3 3 3

3
3 3 3
4 x y 4 y z 4 z x 2 x y z 6 xyz+ + + + +  + + 
Ta l i có ạ
3
222
xyz
6
x
z
z
y
y
x
2 









D u = x y ra ấ ả  x = y = z
Suy ra
12
xyz
1
xyz6P

3
3










D u = x y ra ấ ả 





zyx
1xyz

x = y = z = 1
V y minP = 12 khi x = y = z = 1ậ
Bài 24 Cho hai s d ng x, y thay đ i th a mãn đi u ki n ố ươ ổ ỏ ề ệ
x y 4.
+ 

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 3
2

3x 4 2 y
A .
4x
y
+ +
= +
17
L i gi i:ờ ả Ta có A =
2 3
2 2
3x 4 2 y 3x 1 2
y
4x 4 x
y y
+ +
+ = + + +
 A
2
x 1 1 y y x y
2
4 x 8 8 2
y
� �
+
= + + + + +
� �
� �
3 9
1 2 .
2 2

 + + =
V i x = y = 2 thì A = ớ
9
2
.
V y giá tr nh nh t c a A là ậ ị ỏ ấ ủ
9
2
Bài 25 Cho
2 2
0
( )
xy
x y xy x y xy



+ = + −

. Tìm GTLN c a bi u th c ủ ể ứ
3 3
1 1
A
x y
= +
L i gi i: ờ ả Ta có:
( )
2 2
0xy
xy x y x y xy





+ = + −



2 2
1 1 1 1 1
x y x y xy
+ = + −�
(1)

2
2
1 1 1 1 3
0
2 4
y
x y x y
� �
+ = − + >�
� �
� �
. Ta đ t a = 1/x, b = 1/yặ
2 2
0a b
a b a b ab
+ >




+ = + −

Mà
( )
( )
( )
2
3 3 2 2
3 3
1 1
A a b a b a b ab a b
x y
= + = + = + + − = +
(*).
Cách 1:
Ta có: A = ( a + b)
2

A a b
= +�
Ta bi t : ế
3
3 3
2 2
a b a b
+ +
� �


� �
� �
( vì a + b > 0 )
“ = “ x y ra ả

a = b.
T đó suy ra : ừ
3
16
2 2
A A
A
� �
�
� �
� �
� �
“ = “ x y ra ả

a = b = 2.
V y Max A = 16 khi 1/x = 1/y = 2.ậ
18
Cách 2 :
Ta có: A= a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2

–ab + b
2
) = (a + b)
2
.
T (1) suy ra : a + b = (a + b)ừ
2
-3ab
Mà:
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
3
( ) ( )
2 4
4( ) 0 4 : 0
( ) 16
a b
ab a b a b a b
a b a b a b vi a b
A a b
+
  +  + − +
+ − + + + >� � � �
= +� �
V y MaxA = 16. khi x = y = ½.ậ
Cách 3:

Đ t S = x + y , P = xy v i Sặ ớ
2
- 4P
0
.
T gt suy ra:ừ
2 2
2
, 0
( )
3 3
3
S P
S S SP
P hayP
S
SP S P


−
= =�

+
= −

. Ta có
3 3 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2
1 1 ( )( ) ( ) ( )x y x y x y xy x y xy x y S
A

x y x y x y x y x y P
+ + + − + +
= + = = = = =
Khi đó
2 2
2 2
2
1
1
4 0 4 0 1 4 0 4 16
3 3 4
P
S SP P S S
S
S P S
S P P
−
−
  −  −  −۳�����
V y MaxA = 16 ( khi x = y = ậ
1
2
).
Bài 26 Cho
1, 2, 3.z x y
  
Tìm GTLN c a ủ
1 2 3xy z zy x zx y
M
xyz

− + − + −
=
L i gi iờ ả : Đk :
1, 2, 3.z x y  
Ta có :

19
2 1.( 1) 2.( 2) 3.( 3)
1 3 1 1
1. . .
2 3
1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1
2 2 2 2
2 3 2 2 2 3
y x y z
x z
M
x y z x y z
x y z
x y z
− − − −
− −
= + + = + +
+ − + − + −
 + + = + +
D u “=” x y ra khi và ch khi x = 2 , y = 4 , z = 6.ấ ả ỉ
V y Max M = ậ
1 1 1
(1 )
2

2 3
+ +
.
Bài 27 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = ị ớ ấ ủ ể ứ
( )
1 1 1
x y z
x y z
� �
+ + + +
� �
� �
v i ớ x , y , z là các
s th c thu c đo n ố ự ộ ạ
[ ]
1;3
.
L i gi i: Ta có:ờ ả
( ) ( )
2
3
1 3 1 3 0 4 3 0 4t t t t t t
t
− − − + +� � � � � � � �
.
Suy ra:
3 3 3
4 ; 4 ; 4x y z
x y z
+  +  + 

và
( )
1 1 1
3 12Q x y z
x y z
� �
= + + + + + 
� �
� �


( ) ( )
1 1 1 1 1 1
3 6 12
2
Q
x y z x y z
x y z x y z
� � � �
+ + + + + + + +��� �
� � � �
� � � �
Bài 28 Cho
3.x y xy
+ − =
Tìm GTLN c a S = ủ
1 1x y
+ + +
.
L i gi i:ờ ả Ta có:

3.x y xy
+ − =
3x y xy
+ = +�
.
, 0x y


2
x y
xy
+

2
x y
xy
+

(1).
Mà:
3 3x y xy x y xy
+ − = + − =�
(2).
T (1) và (2) ừ
3 6 0 6
2
x y
x y x y x y
+
+ − + − +� � � � � �

(a).Ta có S=
1 1 2( 1 1) 2( 2)x y x y x y
+ + +  + + + = + +
(b)
T (a) và (b) S =ừ
1 1 16 4x y
+ + +  =
.D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ
3x y
= =
. V yậ
MaxS = 4 khi x = y = 3.
Bài 29 Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1.
20
Tìm GTNN của biểu thức :P =
( )
2
x y z
y y 2z z
+
+
+
( )
2
y z x
z z 2x x
+
+
+
( )

2
z x y
x yx 2y y
+
+
.
L i gi i: ờ ả Ta có
( )
2
x y z 2x x+ 
;
( )
2
y z x 2y y+ 
;
( )
2
z x y 2z z+ 

P
2x x
y y 2z z

+
+
2y y
z z 2x x+
+
2z z
x x 2y y+

Đặt a=
x x 2y y+
; b=
y y 2z z
+
;c=
z z 2x x+


4c a 2b
x x
9
+ −
=
;
4a b 2c
y y
9
+ −
=
;
4b c 2a
z z
9
+ −
=
Vậy P
2
9


4 2 4 2 4 2c a b a b c b c a
b c a
+ − + − + −
� �
+ +
� �
� �
=
( )
2 c b a a b c 2
4 6 4.3 3 6 2
9 b a c b c a 9
� �
� � � �
+ + + + + −  + − =
� � � �
� �
� � � �
� �
Dấu “=” xảy ra
x y z 1= = =�
. Vậy Min P = 2 .
Bài 30 Cho 3 s d ng x, y, z tho x + y + z ố ươ ả  1.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: A = x + y + z + ị ỏ ấ ủ ể ứ
+ +
1 1 1
x y z

L i gi i: ờ ả Theo BĐT Cơsi: 1  x + y + z  3
3

xyz
> 0 
3
1
xyz
 3
x +

1 2
9x 3
, y +

1 2
9y 3
, z +

1 2
9z 3
T đó: A=ừ
� � � �
� � � �
+ + + + + + + +
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
1 1 1 8 1 1 1
x y z
9x 9y 9z 9 x y z
 2 +

3
8 3
9
xyz
 10
D u "=" x y ra khi x = y = z = ấ ả
1
3
.V y MinA = 10 đ t đ c khi x = y = z = ậ ạ ượ
1
3
Bài 31 Cho x, y, z là 3 s d ng và x + y + z ố ươ  1.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P = ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
+ + + + +
L i gi i:ờ ả V i m i ớ ọ
r r
u,v
ta có:
+  +
r r r r
u v u v
(*)
Đ t ặ
� �
� � � �

= = =
� �
� � � �
� � � �
� �
r r r
1 1 1
a x; ; b y; ; c z;
x y z
21
Áp d ng b t đ ng th c (*), ta có: ụ ấ ẳ ứ
+ +  + +  + +
r r r r r r r r r
a b c a b c a b c
V y P =ậ
+ + + + +
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z

� �
+ + + + +
� �
� �
2
2
1 1 1
(x y z)

x y z
Khi đó: (x + y + z)
2
+
� �
+ +
� �
� �
2
1 1 1
x y z
= 81(x + y + z)
2
+
� �
+ +
� �
� �
2
1 1 1
x y z
– 80(x + y + z)
2

 18(x + y + z).
� �
+ +
� �
� �
1 1 1

x y z
– 80(x + y + z)
2
 162 – 80 = 82
Suy ra P 
82
. D u "=" x y ra ấ ả  x = y = z =
1
3
.
V y Min P = ậ
82
khi và ch khi x = y = z = ỉ
1
3
.
Bài 32 Cho x,y,z là các s th c d ng và th a mãn: z(z – x – y) = x + y + 1. Tìm giá trố ự ươ ỏ ị
l n nh t c a bi u th c ớ ấ ủ ể ứ
4 4
3
( )( )( )
x y
T
x yz y xz z xy
=
+ + +
.
L i gi i: T gi thi t ờ ả ừ ả ế z(z – x – y) = x + y + 1 suy ra ( z+1)( x+y) = z
2
– 1 và do z > 0

nên ta có x + y + 1 = z . Khi đó bi u th c đã cho có th vi t d ngể ứ ể ế ạ
[ ] [ ]
4 4 4 4
3 4
2
( )(1 )( )(1 ) ( 1)( 1) ( ) ( 1)( 1)
x y x y
T
x y y x y x x y x y x y
= =
+ + + + + + + + +
Áp d ng BĐT Cô si cho các s d ng x , y ta có : ụ ố ươ

( )
4
4
3 4 3
4
4
4 .
1 1 4
3 3 3 27 27
x x x x x
x
� �
� �
+ = + + +  =
� �
� �
� �

� �
� �
,

( )
4
4
3 4 3
4
4
4 .
1 1 4
3 3 3 27 27
y y y y y
y
� �
� �
+ = + + +  =
� �
� �
� �
� �
� �
, và x + y

4xy
Do đó
[ ]
8 3 3 9
4

2 4 4
6 6
(4 )4 ( ) 4
( ) ( 1)( 1) ( )
3 3
xy x y
x y x y x y+ + +  =
, suy ra T
6
9
3
4

( *)
22
Mà T =
6
9
3
4
khi và ch khi x = 3, y = 3, x= 7 .ỉ
V y Max T = ậ
6
9
3
4
khi x = 3, y = 3, x= 7 .
Bài 33 Tìm giá tr nh nh t c a bi u thúc: ị ỏ ấ ủ ể
2
11 7

A x 4 1 ,
2x
x
� �
= + + +
� �
� �
v i ớ
x 0
>
.
L i gi i:ờ ả Áp d ng b t đ ng th c : ụ ấ ẳ ứ
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
a b c d ac bd
+ +  +
Ta có :
( )
2
2
7 7
9 7 1 3
x x
� � � �
+ +  +
� � � �
� � � �


11 1 7
A x 3
2x 2 x
� �
 + + +
� �
� �
9 3 3 15
x 6
x 2 2 2
� �
= + +  + =
� �
� �
Khi x = 3 thì A =
15
2
V y Min A = ậ
15
2
.
Bài 34 Cho a, b, c là các s d ng th a mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá tr l n nh t c aố ươ ỏ ị ớ ấ ủ
bi u th c P = ể ứ
2 2 2
2
1 1 1
a b c
a b c
+ +
+ + +

.
L i gi i: Xét 1 + aờ ả
2
= ab + bc + ca + a
2
= ( a + b)( a + c)
1 + b
2
= ab + bc + ca + b
2
= ( b+a)(b +c)
1 +c
2
= ab + bc +ca +c
2
= (c+a)(c+b)
Khi đó P =
2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
a b a c b a b c c a c b
+ +
+ + + + + +
=
2 2 4
4( )( ) 4( )( ) 4( )( )
a b c
a b a c b a b c c a c b
+ +
+ + + + + +

P
1 1 1 1 1 1
4( ) 4( )
a b c
a b a c a b b c a c b c
� � � �
� �
 + + + + +
� �
� � � �
+ + + + + +
� �
� � � �
P
4( )
a b a c b c
a b a c b c
+ + +
 + + =
+ + +
9
4
23
D u b ng x y ra khi và chí khi ấ ằ ả
4( )
1
4( )
15
7
15

1
a b a c
a b
a b b c
a b
c
ab bc ca
+ = +


= =


+ = +
� �

� �
=
� �
=
� �
+ + =


V y giá tr l n nh t c a P là ậ ị ớ ấ ủ
9
4
.
III K t qu ế ả :
-K t qu kh o sát h c sinh l p 10A1ế ả ả ọ ớ : ( sĩ s 46 h c sinh ) ố ọ

28/ 46 HS đ t đi m trên 5ạ ể
18/ 46 HS đ t đi m d i 5ạ ể ướ
-H c sinh gi i c p t nhọ ỏ ấ ỉ : 01 em đ t gi i ba trong k thi gi i toán trên m ngIternet ạ ả ỳ ả ạ
VI. Bai hoc kinh nghiêm̀ ̣ ̣
Qua viêc th c hiên chuyên đê ̣̀ ự ̣ “ B i d ng t duy h c sinh qua gi h c tồ ưỡ ư ọ ờ ọ ự
ch n môn toán l p 10 ”ọ ớ và th c t gi ng d y.ự ế ả ạ Ban thân tôi đa rut ra đ c môt sô baĩ ́ ́ ̀̉ ượ ̣
hoc kinh nghiêm nh sau:̣ ̣ ư
1. Vê công tac chi đaò ́ ̉ ̣
Đây la môt công tac quan trong trong viêc ̀ ̣́ ̣ ̣ nâng cao ch t l ng gi ng d y bấ ượ ả ạ ộ
môn và bôi d ng ̀ ̃ươ năng l c, t duy cho h c sinh đ c bi t là ự ư ọ ặ ệ hoc sinḥ khá gioi. Trong̉
năm hoc v a qua,̣̀ ư chúng tôi luôn nhân đ c s chi đao sat sao, s quan tâm th nǵ ̣̀ ượ ự ̉ ̣ ự ươ
xuyên t phia Ban giam hiêu Nha tr ng̀ ́ ́ ̀ ̀ư ̣ ươ và c a các c p lãnh đ o. K t qu thi Đ i h củ ấ ạ ế ả ạ ọ
và thi h c sinh gi i c p t nh ngày m t nâng lên, nhà tr ng đọ ỏ ấ ỉ ộ ườ a va đang găt hai đ c̃ ̀ ̣́ ượ
nh ng thanh công l n.Cũng nh có k t qu đó̃ ̀ ́ư ơ ờ ế ả , ma nganh giao duc ̀ ̀ ́ ̣ T nh H ng yên đãỉ ư
có nh ng b c đ t phá trong k t qu thi ĐH-CĐ nh ng năm g n đây .ữ ướ ộ ế ả ữ ầ
2. Vê phia hoc sinh̀ ́ ̣
Đê găt hai đ c nh ng thanh tich cao trong công tac mui nhon. Hoc sinh la nhâń ̃ ̀ ́ ́ ̃ ̀̉ ̣ ượ ư ̣ ̣
vât trung tâm trong viêc bôi d ng đao tao, đây la nhân tô gi vai tro quyêt đinh trong̀ ̃ ̀ ̀ ́ ̃ ̀ ̣́ ̣ ươ ̣ ư ̣
s thanh công hay thât bai cua môi giao viê n lam công tac giang day, bôi d ng. Vì ́ ̃ ́ ̀ ́ ̀ ̃ ̀ự ̣ ̉ ̉ ̣ ươ
24
chinh cac em m i la ng i hoc, la ng i đi thi va la ng i đem lai nh ng thanh tich́ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ̀ ̀ ̀ ̃ ̀ ́ơ ươ ̣ ươ ươ ̣ ư
đó.Làm th nào đ ngay t khi b c vào ngôi tr ng c p ba h c sinh đã có nh ngế ể ừ ướ ườ ấ ọ ữ
ni m m c đ c chinh ph c đ nh cao c a trí tu . ề ơ ướ ượ ụ ỉ ủ ệ
Tuy nhiê n, đê giup cho hoc sinh co thê găt hai đ c nh ng thanh công, đoi hoi cać ́ ́ ̃ ̀ ̀ ́̉ ̣ ̉ ̣ ượ ư ̉
em phai co môt s nô l c rât l n. Môt s quyêt tâm hoc tâp trên 100% kha năng cua bań ̃ ́ ́ ́̉ ̣ ự ự ơ ̣ ự ̣ ̣ ̉ ̉ ̉
thân minh. Nhât la đôi v i l a tuôi hoc sinh l p ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ́ơ ư ̉ ̣ ơ 10 m i b c vào năm đ u tiên c aớ ướ ầ ủ
ch ng trình h c ph thôngươ ọ ổ . Nh ng ki n th c c a năm l p 10 này l i có vai trò quy tư ế ứ ủ ớ ạ ế
đ nh t ng lai c a các em sau này.ị ươ ủ Nhân th c ro điêu đo, môi giao viên lam công tac bôí ̃ ̀ ́ ̃ ́ ̀ ́ ̣̀ ư
d ng cân phai danh môt s quan tâm ̃ ̀ ̀ươ ̉ ̣ ự sát xao đên cac em, th ng xuyên đông viên, uôń ́ ̀ ́ươ ̣
năn kip th i đê giup cho cac em co môt s ́ ̀ ́ ́ ̣́ ơ ̉ ̣ ự đam mê trong công viêc hoc tâp cua minh.̣̀ ̣ ̣ ̉

Đăc biêt la v i nh ng hoc sinh tham gia hoc tâp bô môn Toaǹ ́ ̃ ̣́ ̣ ơ ư ̣ ̣ ̣ ̣ vì đây la môt môn hoc khò ̣́ ̣
và m t nhi u th i gian đ nghiên c u.ấ ề ờ ể ứ
3. Vê phia giao viên tham gia tr c tiêp ̀ ́ ́ ́ự gi ng d y ả ạ
Đ c thù c a các ti t h c t ch n là gi ng d y theo ch đ bám sát, nh v y cănặ ủ ế ọ ự ọ ả ạ ủ ề ư ậ
c vào k ho ch c a nhà tr ng, c a t chuyên môn giáo viên ph i t tìm tòi, đ cứ ế ạ ủ ườ ủ ổ ả ự ọ
sách tham kh o đ l a ch n bài t p phù h p v i đ i t ng h c sinh trên l p mà mìnhả ể ự ọ ậ ợ ớ ố ượ ọ ớ
gi ng d y.Đ i v i các l p có nhi u h c sinh khá gi i thì gi h c t ch n th ng r tả ạ ố ớ ớ ề ọ ỏ ờ ọ ự ọ ườ ấ
sôi n i, các em đ c c ng c b sung ki n th c và đ c ti p c n v i các đ thi h cổ ượ ủ ố ổ ế ứ ượ ế ậ ớ ề ọ
sinh gi i, đ thi Đ i h c vì v y vi c đ nh h ng đ h c sinh bi t tìm tòi khám phá tìmỏ ề ạ ọ ậ ệ ị ướ ể ọ ế
ra các l i gi i hay là trách nhi m c a m i giáo viên chúng ta.ờ ả ệ ủ ỗ
Đ th c hi n đ c đi u đó v phía giáo viên c n : ể ự ệ ượ ề ề ầ
Môt la, kiên th c cua th y cô ph i có chi u sâu, giao viên giang day toan phai là ́ ́ ́ ́ ̣̀ ư ̉ ầ ả ề ̉ ̣ ̉
ng i co môt cai nhin tông quat vê môn toan trong bâc hoc cua minh, phai la ng i giaì ́ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ̀ươ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̉ ươ ̉
toan th ng xuyên, căp nhât th ng xuyên nh ng thuât toan, nh ng thu thuât giai toań ̀ ̀ ̃ ́ ̃ ́ươ ̣ ̣ ươ ư ̣ ư ̉ ̣ ̉
hiêu qua.̣ ̉ Kiên th c cua thây phai v ng vang, thây th c s phai la ng i ́ ́ ̀ ̃ ̀ ̀ ̀ ̀ư ̉ ̉ ư ự ự ̉ ươ đam mê toań
h c.ọ
Hai la, cân phai lên đ c kê hoach giang day môt cach chi tiêt, chuân m c. Căp nhât̀ ̀ ́ ́ ́̉ ượ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ự ̣ ̣
th ng xuyên nh ng kiên th c m i ma cac em v a hoc đê bôi d ng ngay, đăc biêt là ̃ ́ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ̃ ̀ươ ư ư ơ ư ̣ ̉ ươ ̣ ̣
phai kich thich đ c cac em say s a hoc tâ p, t giac hoc tâp, phat huy đ c nh ng tố ́ ́ ́ ́ ̃ ́̉ ượ ư ̣ ̣ ự ̣ ̣ ượ ư
chât tôt nhât cua cac em đê công viêc hoc tâp cua cac em đat đ c hiêu qua caó ́ ́ ́ ́̉ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉ ̣ ượ ̣ ̉
V. Ki n ngh ế ị : B giáo d c và S giáo d c c n có h ng d n c th , và có nh ng tàiộ ụ ở ụ ầ ướ ẫ ụ ể ữ
li u tham kh o chung đ nh h ng đ giáo viên th c hi n các gi d y t ch n đ tệ ả ị ướ ể ự ệ ờ ạ ự ọ ạ
hi u qu cao h n.ệ ả ơ
25