Khóa luận đại học An Giang 2015: Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố

Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
CHƯƠNG MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lí thuyết Galois là một trong những lí thuyết nổi tiếng trong lịch sử toán học.
Nó đã được đưa vào giảng dạy trong các chương trình đào tạo của Khoa Toán các
trường Đại học và Cao đẳng, đặc biệt là Khoa Toán các Trường Sư Phạm.
Đã có một số tài liệu nhắc tới chủ đề này tuy nhiên nó chưa trình bày một cách
rõ ràng và hệ thống các kiến thức về Lí thuyết Galois của mở rộng bậc nguyên tố.
Với mong muốn cung cấp cho các bạn sinh viên ngành sư phạm Toán có cái
nhìn tổng quát, cũng như hiểu sâu hơn các kiến thức về Nhóm Galois của mở rộng bậc
nguyên tố. Tôi đã chọn đề tài “Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố”.
Cấu trúc đề tài gồm có 3 chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Mở rộng bậc nguyên tố
Chương 3. Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đề tài nghiên cứu các vấn đề sau
- Mở rộng bậc nguyên tố
- Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Làm rõ một số vấn đề liên quan đến mở rộng bậc nguyên tố và nhóm Galois của
mở rộng bậc nguyên tố
- Tìm hiểu một số ví dụ
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Hệ thống các kiến thức về rộng bậc nguyên tố và nhóm Galois của mở rộng bậc
nguyên tố.
V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đề tài nghiên cứu xoay quanh vấn đề nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố.
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau
- Phương pháp nghiên cứu lý luận

Lê Thị Kim Luông – DH10A 1
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
- Phương pháp phân tích và tổng hợp
- Phương pháp nghiên cứu sách và tài liệu
Đọc sách và tài liệu là một trong những phương pháp không thể thiếu trong việc
nghiên cứu, nó được chọn ngay từ khâu chọn đề tài, xây dựng đề cương nghiên cứu và
trong suốt quá trình nghiên cứu. Phương pháp đọc sách và tài liệu giúp tôi tìm hiểu,
nắm bắt những gì có liên quan đến đề tài nghiên cứu, xác định được cái mới của đề tài
nghiên cứu.
- Phương pháp trò chuyện và lấy ý kiến chuyên gia
Để có được bài nghiên cứu này tôi đã nhận được sự giúp đỡ từ thầy hướng dẫn, đối với
người nghiên cứu lần đầu tiên như tôi thì việc nhận được sự chỉ bảo từ người có kinh
nghiệm là rất quan trọng trong quá trình nghiên cứu đề tài.
Lê Thị Kim Luông – DH10A 2
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian véctơ
1.1.1. Định nghĩa. Một tập hợp khác rỗng
V
cùng với hai phép toán cộng và nhân
với vô hướng
( )
( )
.
,
V V V
uv u v
K V V
v va a
´ ®

+
´ ®
a
a
được gọi là một không gian véctơ trên trường
K
nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn với mọi
, , , , .u v w V Ka bÎ Î
(i)
.u v v u+ = +
(ii)
( ) ( )
.u v w u v w+ + = + +
(iii) Tồn tại phần tử
0 VÎ
sao cho
0 .u u+ =
(iv) Với mọi
,v VÎ
tồn tại
v V- Î
sao cho
( ) 0.v v+ =
(v)
( )
.u v u va a a+ = +
(vi)
( ) ( )
.v vab a b=

(vii)
( )
.v v va b a b+ = +
(viii)
1 .v v=
Các điều kiện từ (i) đến (viii) được gọi là hệ tiên đề của không gian véctơ .
1.1.2. Định nghĩa. Cho
{ }
1 2
, , ,
n
S v v v=
là tập con của không gian véctơ
V
trên
trường
.K
(i) Biểu thức
1 1 2 2 n n
a v a v a v+ + +L
với
,
i
a KÎ
được gọi là một tổ hợp tuyến
tính của
.S
(ii)
S
được gọi là tập sinh nếu mọi

v VÎ
đều là một tổ hợp tuyến tính của
,S
nghĩa là tồn tại
1 2
, , ,
n
a a a KÎ
sao cho
1 1 2 2
.
n n
v a v a v a v= + + +L
(iii)
S
được gọi là tập độc lập tuyến tính nếu
1 1 2 2 1 2
0 0
n n n
a v a v a v a a a+ + + = Þ = = = =L L
Lê Thị Kim Luông – DH10A 3
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
1.1.3. Định lý. Cho
V
là không gian véctơ trên
.K
Tập con
{ }
1 2
, , ,

n
S v v v=
của
V
được gọi là một cơ sở của
V
nếu
S
là tập sinh và
S
là tập độc lập tuyến
tính. Số phần tử của một cơ sở của
V
được gọi là số chiều của
V
và được kí hiệu
là
dim .
K
V
1.2. Nhóm và nhóm con
1.2.1. Định nghĩa. Một tập hợp khác rỗng
G
cùng với phép toán hai ngôi
G G G´ ®
cho bởi
( )
,a b aba
được gọi là nhóm nếu các điều kiện sau được
thỏa mãn

(i)
( ) ( )
ab c a bc=
với mọi
, , .a b c GÎ
(ii) Có phần tử
e GÎ
sao cho
ae a ea= =
với mọi
.a GÎ
(iii) Với mọi
,a GÎ
tồn tại
1
a G
-
Î
sao cho
1 1
.aa e a a
- -
= =
Phần tử
e
được gọi là đơn vị của
,G
phần tử
1
a

-
được gọi là phần tử nghịch đảo
của
.a
Phần tử đơn vị
e
và phần tử nghịch đảo
1
a
-
của
a
là duy nhất. Số phần tử
của
G
được gọi là cấp của
G
và kí hiệu là
.G
1.2.2. Định nghĩa. Tập con
H
của
G
được gọi là nhóm con của nhóm
G
nếu
H
là một nhóm đối với phép toán của
.G
1.2.3. Định lý. Cho

G
là nhóm và
H
là tập con của
.G
Khi đó
H
là nhóm con
của
G
nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
(i)
.e HÎ
(ii)
ab HÎ
với mọi
, .a b HÎ
(iii)
1
a H
-
Î
với mọi
.a HÎ
1.2.4. Định lý. Cho
G
là nhóm và
.a GÎ
Khi đó
{ }

|
n
a a n= Î ¢
là một
nhóm con của
.G
Nhóm con
a
được gọi là nhóm con cyclic của
.G
1.2.5. Định nghĩa. Nhóm
G
được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại phần tử
a GÎ
sao cho
.a G=
1.2.6. Định lý. Mọi nhóm cấp nguyên tố
p
đều là nhóm cyclic và đẳng cấu với
nhóm
.
p
¢
Lê Thị Kim Luông – DH10A 4
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
1.2.7. Định nghĩa. Cho
G
là nhóm và
.a GÎ
Số nguyên dương

n
nhỏ nhất sao
cho
n
a e=
được gọi là cấp của phần tử
a
và kí hiệu là
.a n=
1.3. Vành và trường
1.3.1. Định nghĩa. Một tập khác rỗng
A
cùng với phép toán cộng và phép toán
nhân được gọi là vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn.
(i)
( ) ( )
a b c a b c+ + = + +
với mọi
, , .a b c AÎ
(ii) Có phần tử
0 AÎ
sao cho
0 0 .a a a+ = = +
(iii) Với mọi
,a AÎ
có phần tử
a A- Î
sao cho
( ) ( )
0 .a a a a+ - = = - +

(iv)
( ) ( )
ab c a bc=
với mọi
, , .a b c AÎ
(v)
( ) ( )
;a b c ab ac a b c ac bc+ = + + = +
với mọi
, , .a b c AÎ
Nếu vành
A
có tính chất
ab ba=
thì
A
được gọi là vành giao hoán. Nếu vành
A
có phần tử 1 sao cho
1 1a a a= =
với mọi
a AÎ
thì
A
được gọi là vành có đơn
vị 1. Vành
A
vừa giao hoán vừa có đơn vị 1 thì
A
được gọi là vành giao hoán có

đơn vị 1.
1.3.2. Định nghĩa. Vành
F
giao hoán có đơn vị được gọi là trường nếu mọi phần
tử khác 0 của
F
đều khả nghịch, nghĩa là với mọi
{ }
\ 0u FÎ
đều tồn tại
1
u F
-
Î
sao cho
1
1.uu
-
=
1.3.3. Định nghĩa. Cho
F
là trường và
K
là tập con của
.F
Ta nói rằng
K
là
trường con của
F

nếu
K
là trường với các phép toán trên
F
và đơn vị của
K
cũng là đơn vị của
.F
1.3.4. Định lý. Cho
F
là trường và
K
là tập con của
.F
Khi đó
K
là trường con
của
F
nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
(i)
a b K- Î
với mọi
, .a b KÎ
(ii)
ab KÎ
với mọi
, .a b KÎ
(iii) với mọi
a

khác 0 thuộc
,K

1
.a K
-
Î
1.3.5. Định nghĩa. Cho
K
và
E
là các trường (vành). Một ánh xạ
: K Es ®
được gọi là một đồng cấu trường (vành) nếu
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b a b
ab a b
s s s
s s s
+ = +
=
với mọi
, .a b KÎ
Lê Thị Kim Luông – DH10A 5
Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD. Lờ Vn Chua
ng cu
: K Es đ
c gi l n cu (ton cu, ng cu) nu
s

l n ỏnh
(ton ỏnh, song ỏnh). Nu
K E=
thỡ ng cu
s
c gi l mt t ng cu
ca
.K
Nu
: K Ks đ
l ng cu thỡ
s
c gi l mt t ng cu ca
.K
1.3.6. nh ngha. Cho
K
l trng. S nguyờn dng
n
c gi l c s ca
trng
K
nu
n
l cp ca phn t n v 1 trong
,K
ngha l
n
l s nguyờn
dng nh nht sao cho
.1 0.n =

Nu trng
K
khụng cú s nguyờn dng
n
no tha món
.1 0n =
thỡ ta núi rng trng
K
cú c s bng 0.
Vớ d 1.3.1. Trng
, ,Ô Ă Ê
l cỏc trng cú c s bng 0. Vi
p
l s nguyờn
t, trng
p
Â
l trng cú c s
.p
1.4. Vnh a thc mt n
1.4.1. nh ngha. Cho
K
l trng. Mt a thc
( )f x
trờn
K
l mt biu thc
cú dng
2
0 1 2

( ) ,
n
n
f x a a x a x a x= + + + +L
trong ú
0 1
, , , .
n
a a a Kẻ
Kớ hiu
K x
ộự
ờỳ
ởỷ
l tt c cỏc a thc trờn
.K
Ta nh ngha phộp cng v nhõn cỏc a thc
nh sau
( )
1
1
0 0
0 1 1 2 2 2 2 1 1 0
0
( ) ( )
( ) ( )
n
i
i i
i

m n k
k
i k
k k
k
k i k i k k k k k k
i
f x g x a b x
f x g x ab x
c ab a b ab a b a b a b a b
=
+
-
= =
- - - - -
=
+ = +
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
= = + + + + + +
ồ

ồ ồ
ồ
L
trong ú
0 0
( ) , ( ) .
n m
i i
i i
i i
f x ax g x bx K x
= =
ộự
= = ẻ
ờỳ
ởỷ
ồ ồ

Vi hai phộp toỏn ny, ta cú
K x
ộự
ờỳ
ởỷ
l mt vnh v gi l vnh a thc mt n
1.4.2. nh ngha. Cho
2
0 1 2
( )
n
n

f x a a x a x a x= + + + +L
l mt a thc trờn
trng
.K
Cỏc phn t
0 1
, , ,
n
a a a Kẻ
c gi l cỏc h s ca
0
( ),f x a
gi l
h s t do,
n
a
gi l h s cao nht ca
( ).f x
Nu h s
n
a
khỏc 0 thỡ
n
c
gi l bc ca a thc
( )f x
v c kớ hiu l
deg ( ).f x
1.4.3. nh lý. Cho
K

l trng v
( ), ( ) , ( ) 0.f x g x K x g x
ộự
ẻ ạ
ờỳ
ởỷ
Khi ú tn ti
duy nht cỏc a thc
( ), ( )q x r x K x
ộ ự
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
sao cho
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= +
vi
( ) 0r x =
hoc
deg ( ) deg ( ).r x g x<
Lờ Th Kim Luụng DH10A 6
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
1.4.4. Định nghĩa. Cho
K
là trường và
( ), ( )f x g x K x
éù
Î
êú
ëû
với

( )f x
khác 0. Ta
nói rằng
( )f x
là ước của
( )g x
hay
( )g x
chia hết cho
( )f x
nếu tồn tại
( )h x K x
éù
Î
êú
ëû
sao cho
( ) ( ). ( )g x f x h x=
và kí hiệu là
( ) | ( )f x g x
hay
( ) ( ).g x f xM
1.4.5. Định nghĩa. Cho
K
là trường và
( ), ( ) .f x g x K x
éù
Î
êú
ëû

Đa thức
( )d x
với hệ
số cao nhất bằng 1 được gọi là ước chung lớn nhất của
( )f x
và
( )g x
nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn
(i)
( ) | ( )d x f x
và
( ) | ( ).d x g x
(ii) Nếu
( ) | ( )m x f x
và
( ) | ( )m x g x
thì
( ) | ( ).m x d x
Ước chung lớn nhất của
( )f x
và
( )g x
được kí hiệu là
( )
( ), ( ) .f x g x
Nếu
( )
( ), ( ) 1f x g x =
thì

( )f x
và
( )g x
được gọi là nguyên tố cùng nhau
1.4.6. Định lý. Hai đa thức
( )f x
và
( )g x
thuộc
( )K x
nguyên tố cùng nhau khi và
chỉ khi tồn tại hai đa thức
( )r x
và
( )s x
sao cho
( ) ( ) ( ) ( ) 1.f x r x g x s x+ =
1.4.7 Định nghĩa. Cho
K
là trường và
( ) .f x K x
éù
Î
êú
ëû
Một phần tử
u KÎ
được
gọi là nghiệm của đa thức
( )f x

nếu
( ) 0.f u =
Khi đó ta nói rằng đa thức
( )f x
nhận
u
làm nghiệm.
1.4.8. Định lý. Cho
K
là trường và
( ) , .f x K x u K
éù
Î Î
êú
ëû
Khi đó
u
là một nghiệm
của đa thức
( )f x
nếu và chỉ nếu
x u-
là ước của
( ).f x
1.4.9. Định lý. Cho
( )f x
là đa thức bậc
n
trên trường
.K

Khi đó
( )f x
có nhiều
nhất
n
nghiệm trong
.K
1.4.10. Định nghĩa. Cho
K
là trường và
( ) .f x K x
éù
Î
êú
ëû
Ta nói rằng đa thức
( )f x
chẽ ra trên
K
nếu nó có thể biểu diễn thành một tích của các nhân tử tuyến tính,
nghĩa là
( ) ( ) ( )
1 2
( ) ,
n
f x k x u x u x u= − − −L
trong đó
1 2
, , , , .
n

k u u u KÎ
1.4.11. Định nghĩa. Một đa thức bất khả quy
( )f x
trên trường
K
được gọi là
tách được trên trường
K
nếu nó không có nghiệm bội, nghĩa là
( ) ( ) ( )
1 2
( )
n
f x k x u x u x u= − − −L
trong đó
k KÎ
và
1 2
, , ,
n
u u u
là các nghiệm phân biệt của
( ).f x
Một đa thức bậc dương tùy ý trên trường
K
được gọi là tách được trên
K
nếu
tất cả các nhân tử bất khả quy của nó là đa thức tách được trên
.K

1.5. Đa thức bất khả quy
Lê Thị Kim Luông – DH10A 7
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
1.5.1. Định nghĩa. Cho
( )p x
là đa thức bậc dương trên
.K
Ta nói rằng
( )p x
là đa
thức bất khả quy trên
K
nếu
( )r x
và
( )s x
là hai đa thức trên
K
sao cho
( ) ( ) ( )p x r x s x=
thì
( )r x
hoặc
( )s x
là đa thức hằng.
1.5.2. Định lý. Cho
K
là trường. Khi đó mọi đa thức bậc dương
( )f x K x
éù

Î
êú
ëû
được phân tích thành tích các đa thức bất khả quy trên
,K
nghĩa là
1 2
( ) ( ) ( ) ( ),
n
f x p x p x p x= L
trong đó
1 2
( ), ( ), , ( )
n
p x p x p x
là các đa thức bất khả
quy trên
.K
1.5.3. Định lý. Cho
K
là trường và
( )f x K x
éù
Î
êú
ëû
với
deg ( ) 2.p x ³
Khi đó nếu
( )p x

bất khả quy trên
K
thì
( )p x
không có nghiệm trong
.K
1.5.4. Định lý. Cho
K
là trường và
( )p x K x
é ù
Î
ê ú
ë û
là đa thức bậc 2 hoặc 3. Khi đó
( )p x
bất khả quy trên
K
nếu và chỉ nếu
( )p x
không có nghiệm trong
.K
1.5.5. Định lý. (Tiêu chuẩn Eisenstein)
Cho
2
0 1 2
( )
n
n
p x a a x a x a x x

é ù
= + + + + Î
ê ú
ë û
L ¢
bậc dương. Khi đó nếu tồn tại
một số nguyên tố
p
sao cho
p
là ước của các hệ số
0 1 1
, , , ,
n
a a a p
-
không là ước
của
n
a
và
2
p
không là ước của
0
a
thì
( )p x
bất khả quy trên
.¤

Lê Thị Kim Luông – DH10A 8
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
Chương 2. MỞ RỘNG BẬC NGUYÊN TỐ
2.1. Mở rộng bậc hữu hạn
2.1.1. Định nghĩa. Cho
K
và
F
là các trường. Ta nói rằng
F
là một mở rộng
trường của
K
nếu
K
là một trường con của
.F
2.1.2. Định lý. Cho
F
là một mở rộng trường của
.K
Khi đó
F
là một không gian
véctơ trên
K
với các phép toán được xác định bởi
( ) ( )
( ) ( )
, ,

, ,
u v u v u v F
u u K u Fa a a
+ Î
Î Î
a
a
Chứng minh
Dễ dàng kiểm tra được hai phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian
véctơ. Do đó
F
là không gian véctơ trên
.K
2.1.3. Định nghĩa. Cho
F
là một mở rộng của
.K
Số chiều của không gian véctơ
F
trên
K
được gọi bậc mở rộng của
F
trên
K
và kí hiệu là
: dim .
K
F K F
é ù

=
ê ú
ë û
Trường
F
được gọi là mở rộng bậc hữu hạn (vô hạn) của
K
nếu bậc của
F
trên
K
là hữu hạn (vô hạn).
Ví dụ 2.1.1. Tìm bậc mở rộng của
£
trên
.¡
Giải
Ta có
{ }
| , .a bi a b= + Σ ¡
Rõ ràng
{ }
1,i
là cơ sở của
£
trên
.¡
Do đó
: dim 2
é ù

= =
ê ú
ë û
¡
£ ¡ £
Ví dụ 2.1.2. Tìm bậc mở rộng của
( )
{ }
2 2 ,a b a b= + Τ ¤
trên
.¤
Lê Thị Kim Luông – DH10A 9
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
Giải
Ta có
{ }
1, 2
là một cơ sở của
( )
2¤
trên
.¤
Do đó
( ) ( )
2 : dim 2 2.
é ù
= =
ê ú
ë û
¤

¤ ¤ ¤
Ví dụ 2.1.3. Chứng minh rằng bậc mở rộng của
( )
x£
trên
£
là vô hạn.
Giải
Ta có
2
1, , , x x
là các phần tử độc lập tuyến tính trên
.£
Do đó
( )
x£
là
mở rộng bậc vô hạn của
.£

2.1.4. Định lý. Cho
F
là mở rộng của
.K
Khi đó
: 1F K
 
=
 
nếu và chỉ nếu

.F K=
Chứng minh
Giả sử
: 1F K
 
=
 
và
{ }
u
là một cơ sở của
F
trên
.K
Ta có
1 cu
=
với
.c K∈
Do đó
1
.u c K
−
= ∈
Với mọi
,v F
∈
ta có
v au=
với

.a K∈
Vậy
v K∈
và do đó
.F K=
Nếu
F K=
thì dễ dàng kiểm tra được
{ }
1
là cơ sở
của
F
trên
K
và do đó
: 1.F K
 
=
 
2.1.5. Định nghĩa. Cho các trường
1 2
, , ,
n
K K K
sao cho
1i i
K K
+
⊂

với mọi
1,2, , .i n=
Ta nói rằng
1 2

n
K K K⊂ ⊂ ⊂
là một tháp của các trường
1 2
, , , .
n
K K K
Ví dụ 2.1.4. Ta có tháp các trường của
, ,¤ ¡ £
là
.⊂ ⊂¤ ¡ £

2.1.6. Định lý. Cho một tháp các trường
.K E FÌ Ì
Khi đó
F
là một rộng bậc
hữu hạn của
K
nếu và chỉ nếu
F
là một mở rộng bậc hữu hạn của
E
và
E

là
một mở rộng bậc hữu hạn của
.K
Hơn nữa
: : : .F K F E E K
é ù é ùé ù
=
ê ú ê úê ú
ë û ë ûë û
Chứng minh
Giả sử
:F K s
é ù
=
ê ú
ë û
hữu hạn. Khi đó tồn tại một cơ sở
{ }
1 2
, , ,
s
w w w
của
F
trên
.K
Với mọi
w FÎ
, ta có
1 1 2 2 s s

w a w a w a w= + + +L
trong đó
1 2
, , , .
s
a a a KÎ
Vì
K EÌ
nên
{ }
1 2
, , ,
s
w w w
là một hệ sinh của
F
trên
Lê Thị Kim Luông – DH10A 10
Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD. Lờ Vn Chua
E
v do ú
: .F E s
ộ ự
Ê
ờ ỳ
ở ỷ
Do
E Fè
nờn ta cú th xem
E

l mt khụng gian
con ca
F
trờn
K
v tt nhiờn
: : .E K F K s
ộ ự ộ ự
Ê =
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
o li, gi s
:F E n
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
v
: .E K m
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
Khi ú tn ti mt c s
{ }
1 2
, , ,
n
u u u
ca

F
trờn
E
v mt c s
{ }
1 2
, , ,
m
v v v
ca
E
trờn
.K
Do
mi
i
u
v
i
v
khỏc
0
nờn
i i
uv
cng khỏc
0.
Rừ rng tp hp
{ }
1 ,1

i i
S uv i n j m= Ê Ê Ê Ê
cú ỳng
nm
phn t. Bõy gi, ta s chng
minh
S
l mt c s ca mt khụng gian vộc t
F
trờn
.K
Nu
w Fẻ
thỡ
1
n
i i
i
w bu
=
=
ồ
vi
.
i
b Eẻ
Do
1 2
, , ,
m

v v v
l mt c s ca
E
trờn
K
nờn
1
m
i ij j
j
b a v
=
=
ồ
vi
.
ij
a Kẻ
Khi ú ta cú
1 1 1 1 1
n n m n m
i i ij j i ij i j
i i j i j
w bu a v u a uv
= = = = =
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= = =

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ồ ồ ồ ồ ồ
Vy
S
l mt h sinh ca
F
trờn
.K
Gi s
1 1 1 1
0 0
n m n m
ij i j ij j i
i j i j
a uv a v u
= = = =
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= ị =
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
ồ ồ ồ ồ
Vỡ
1 2
, , ,
n
u u u
l c lp tuyn tớnh trờn
E
nờn
1
0
m
ij j
j
a v
=
=
ồ
vi mi
.i
Mt
khỏc, vỡ
1 2
, , ,
m
v v v
l c lp tuyn tớnh trờn
K

nờn
0
ij
a =
vi mi
, .i j
Vy
S
l mt h c lp tuyn tớnh ca
F
trờn
.K
iu ny dn n
: : :F K nm F E E K
ộ ự ộ ựộ ự
= =
ờ ỳ ờ ỳờ ỳ
ở ỷ ở ỷở ỷ
2.1.7. H qu. Cho mt thỏp cỏc trng
0 1 2
.
n
K K K K K F= è è è è =L
Khi
ú nu
F
l mt m rng bc hu hn ca
K
thỡ
1 1 2 1

: : : :
n n n
F K F K K K K K
- - -
ộ ự ộ ựộ ự ộ ự
=
ờ ỳ ờ ỳờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷở ỷ ở ỷ
L
Chng minh
Lờ Th Kim Luụng DH10A 11
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
Ta sẽ chứng minh quy nạp theo
.n
Rõ ràng hệ quả đúng với
1n =
và
2.n =
Nếu
2n >
và hệ quả đúng với
1n -
thì
1 1 2 1
: : : .
n n n
K K K K K K
- - -
é ù é ù é ù
=

ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
L
Bây giờ, ta xét tháp các trường
1
.
n n
K K K
-
Ì Ì
Ta có
1 1 1 1 2 1
: : : : : :
n n n n n n n n
K K K K K K K K K K K K
- - - - -
é ù é ùé ù é ùé ù é ù
= =
ê ú ê úê ú ê úê ú ê ú
ë û ë ûë û ë ûë û ë û
L
2.2. Mở rộng hữu hạn sinh
2.2.1. Định nghĩa. Cho
K
là trường và
X
là một tập con khác rỗng của
.K
Khi đó
trường con của

K
sinh bởi
X
là giao của tất cả các trường con của
K
chứa
.X
Trường con này là trường con nhỏ nhất của
K
chứa
X
và kí hiệu là
.X
Ví dụ 2.2.1. Tìm trường con của
£
sinh bởi tập con
{ }
1, .X i=
Giải
Theo định nghĩa
X
là một trường con của
£
nên
X
chứa trường
con nguyên tố
¤
của
.£

Do
X
là trường con nhỏ nhất của
£
chứa
¤
và
X
nên nó chứa tất cả các phần tử có dạng
,a bi+
trong đó
,a b Î ¤
và do đó
X
chứa
( ) { }
| , .i a bi a b= + Τ ¤
Rõ ràng
( )
i¤
là một trường con của
£
chứa
X
nên nó cũng chứa
.X
Vậy
( )
i¤
là

trường con của
£
sinh bởi
{ }
1, .X i=
2.2.2. Định nghĩa. Cho
F
là một mở rộng của
K
và
X
là một tập con của
.F
Trường con sinh bởi
K XÈ
được gọi là trường con sinh bởi
X
trên
K
và
được kí hiệu là
( )
.K X K X= È
Nếu
{ }
1 2
, , ,
n
X u u u=
thì ta viết

( )
1 2
, , ,
n
K u u u
thay cho
( )
.K X
Ta gọi
( )
1 2
, , ,
n
K u u u
là một mở rộng hữu
hạn sinh của
.K
Ví dụ 2.2.2. Tìm trường con của
¡
sinh bởi
{ }
2 .Ȥ
Giải
Trường con
( )
2¤
của
¡
là trường con sinh bởi
{ }

2 .Ȥ
Khi đó
( )
2¤
chứa các phần tử có dạng
2,a b+
trong đó
, .a b Î ¤
Nếu đặt
Lê Thị Kim Luông – DH10A 12
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
{ }
2 | ,F a b a b= + Î ¤
thì rõ ràng
( )
2¤
chứa
.F
Ta có thể chứng
minh được
F
là một trường con của
¡
chứa
¤
và
2
nên
F
chứa

( )
2 .¤
Vậy
( )
2 .F=¤

2.2.3. Định lý. Cho
F
là một mở rộng của
K
và
1 2
, , , .
n
u u u FÎ
Khi đó
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1
, , , , , , ,
n n n n
K u u u u K u u u u
- -
=
Chứng minh
Ta có
( )
1 2 1
, , , ,
n n
K u u u u

-
là trường con sinh bởi
{ }
1 2
, , , .
n
K u u uÈ
Do đó
( )
1 2 1
, , , ,
n n
K u u u u
-
chứa
( )
1 2 1
, , ,
n
K u u u
-
và
.
n
u
Vậy
( )
1 2 1
, , , ,
n n

K u u u u
-
chứa
( ) { }
1 2 1
, , , .
n n
K u u u u
-
È
Do đó
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1
, , , , , , ,
n n n n
K u u u u K u u u u
- -
É
Trường con
( ) ( )
1 2 1
, , ,
n n
K u u u u
-
chứa
( ) { }
1 2 1
, , , .
n n

K u u u u
-
È
Trường
( )
1 2 1
, , ,
n
K u u u
-
chứa
K
và
1 2 1
, , , .
n
u u u
-
Do đó
( ) ( )
1 2 1
, , ,
n n
K u u u u
-
chứa
K
và
1 2
, , , .

n
u u u
Vậy
( ) ( )
1 2 1
, , ,
n n
K u u u u
-
chứa
{ }
1 2
, , , .
n
K u u uÈ
Do đó
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2
, , , , , , .
n n n
K u u u u K u u u
-
É
Vậy
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1
, , , , , , ,
n n n n
K u u u u K u u u u
- -

=
2.3. Mở rộng đơn
2.3.1. Định nghĩa. Một mở rộng trường
F
của
K
được gọi là mở rộng đơn nếu tồn
tại một phần tử
u FÎ
sao cho
( ),F K u=
còn
u
được gọi là phần tử nguyên
thủy của
.F
Ví dụ 2.3.1. Chứng minh rằng trường
( )
2, 3¤
là mở rộng đơn của
.¤
Giải
Trường
( )
2, 3¤
chứa
2
và
3
nên

( ) ( )
2, 3 2 3 .É +¤ ¤
Chú ý rằng
( ) ( )
1
3 2 3 2 2 3
-
- = + Î +¤
Do đó
Lê Thị Kim Luông – DH10A 13
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
Vậy
( )
2, 3 2 3Î +¤
và do đó
( ) ( )
2, 3 2 3 .Ì +¤ ¤
Điều
này dẫn đến
( ) ( )
2, 3 2 3= +¤ ¤
là một mở rộng đơn của
¤
với
2 3u = +
là phần tử nguyên thủy của
( )
2, 3 .¤
Ví dụ 2.3.2. Chứng minh rằng trường
( )

3
2,w¤
là mở rộng đơn của
,¤
trong đó
wÎ £
là một căn nguyên thủy bậc ba của đơn vị.
Giải
Giả sử
w
là một căn nguyên thủy bậc ba của đơn vị trong trường số
phức
.£
Nếu
3
2u w= +
thì
( )
3
2.u w- =
Khai triển đẳng thức này
và chú ý
2
1w w= - -
ta nhận được
( )
3
2
3 3
3 3

u u
u
u u
w
- -
= Î
+
¤
Vậy
( )
3
2 u uw= - Î ¤
và do đó
( )
( )
3
2, .u wɤ ¤
Rõ ràng
( )
( )
3
2, .u w̤ ¤
Vậy
( )
3
2,w¤
là một mở rộng đơn của
¤
với
3

2u w= +
là một phần tử nguyên thủy.
2.3.2. Định nghĩa. Giả sử
F
là một mở rộng của trường
.K
Một phần tử
u FÎ
được gọi là phần tử đại số trên
K
nếu tồn tại một đa thức bậc dương
( ) [ ]f x K xÎ
nhận
u
là nghiệm. Trong trường hợp
u
không là nghiệm của bất
kỳ một đa thức bậc dương nào trên
,K
thì
u
được gọi là phần tử siêu việt trên
.K
2.3.3. Định lý. Cho
F
là một mở rộng của trường
.K
Khi đó nếu
u FÎ
là phần tử

đại số trên
K
thì tồn tại duy nhất một đa thức bất khả quy
( ) [ ]p x K xÎ
với hệ
tử cao nhất bằng 1 nhận
u
làm nghiệm. Hơn nữa, nếu
( ) [ ]f x K xÎ
nhận
u
làm nghiệm thì
( )f x
chia hết cho
( ).p x
Chứng minh
Lê Thị Kim Luông – DH10A 14
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2 3 2 3 2 2 3
2
1
3 3 2 3 2 2 3
2
é ù
= + - - Î +
ê ú
ë û
é ù

= + + - Î +
ê ú
ë û
¤
¤
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
Trước hết ta sẽ chứng minh sự tồn tại của đa thức
( ).p x
Muốn vậy ta đặt
{ }
( ) [ ],deg ( ) 1 ( ) 0 .S f x K x f x f u= Î ³ =
Do
u
là phần tử đại số trên
K
nên
S
khác rỗng. Khi đó tập
{ }
deg ( ) ( )T f x f x S= Î
cũng khác rỗng và do đó
tồn tại một số nguyên dương
n
bé nhất sao cho
( )p x SÎ
và
deg ( ) .p x n=
Nếu phần tử khác không
c KÎ
thì đa thức

( )cp x
có cùng bậc với đa thức
( )p x
và nhận
u
làm nghiệm. Vì vậy ta có thể chọn
( )p x
là đa thức có bậc
n
bé nhất với hệ tử cao nhất bằng 1 nhận
u
làm nghiệm.
Ta sẽ chứng minh
( )p x
bất khả quy trên
.K
Thật vậy, giả sử
( ) ( ) ( )p x g x h x=
với
( ), ( ) [ ]g x h x K xÎ
và
deg ( ),deg ( ) deg ( ).g x h x p x<
Khi đó
0 ( ) ( ) ( )p u g u h u= =
Vì
F
là trường nên
( ) 0g u =
hoặc
( ) 0h u =

và do đó
( )g u
hoặc
( )h u
thuộc
.S
Điều này dẫn đến mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của
.n
Vậy
( )p x
là đa thức
bất khả quy trên
.K
Giả sử
( ) [ ]f x K xÎ
nhận
u
làm nghiệm. Lấy
( )f x
chia cho đa thức
( )p x
ta
nhận được
( ) ( ) ( ) ( )f x p x q x r x= +
và
( ) 0r x =
hoặc
deg ( ) deg ( ).r x p x<
Vì
u

là nghiệm của
( )f x
và
( )p x
nên
u
cũng là nghiệm của
( ).r x
Nếu
( ) 0r x ¹
thì
( )r x SÎ
và điều này không thể xảy ra. Vậy
( ) 0r x =
và do đó
( )f x
chia hết cho
( ).p x
Bây giờ, ta chứng minh tính duy nhất của
( ).p x
Nếu
( )q x
là đa thức bất khả
quy cao nhất với hệ tử bằng 1 nhận
u
làm nghiệm. Theo chứng minh trên,
( )q x
chia hết cho
( ).p x
Do

( )q x
và
( )p x
là các đa thức bất khả quy nên tồn tại
một phần tử khác không
c KÎ
sao cho
( ) ( ).q x cp x=
Ta có ngay
1c =
và do
đó
( ) ( ).p x q x=
Vậy
( )p x
là duy nhất.
2.3.4. Định nghĩa. Đa thức
( )
p x
trong định lý 2.3.3 được gọi là đa thức cực tiểu của
u
trên
.K
Từ tính duy nhất của đa thức cực tiểu, ta có thể dễ dàng tìm đa thức cực tiểu
của phần tử đại số
u FÎ
trên
K
bằng cách tìm một đa thức tùy ý bất khả quy
Lê Thị Kim Luông – DH10A 15

Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
trong
[ ]K x
với hệ số bằng 1 nhận
u
làm nghiệm. Đa thức vừa tìm được chính
là đa thức cực tiểu của
u
trên
.K
Ví dụ 2.3.3. Tìm đa thức cực tiểu của
2 Î ¡
trên
.¤
Giải
Đặt
2,u =
ta có
2
2u =
hay
2
2 0.u - =
Vậy
u
là nghiệm của đa
thức
2
2 .x x
éù

- Î
êú
ëû
¤
Chú ý rằng đa thức
2
2x -
bất khả quy trên
.¤
Vậy
2
2x -
là đa thức cực tiểu của
2
trên
.¤

Ví dụ 2.3.4. Tìm đa thức cực tiểu của
i Î £
trên
.¡
Giải
Đặt
,u i=
ta có
2
1u = -
hay
2
1 0.u + =

Vậy
u
là nghiệm của đa
thức
2
1 .x x
éù
+ Î
êú
ëû
¡
Chú ý rằng đa thức
2
1x +
bất khả quy trên
.¡
Vậy
2
1x +
là đa thức cực tiểu của
i
trên
.¡

Ví dụ 2.3.5. Tìm đa thức cực tiểu của
2 3+ Î ¡
trên
.¤
Giải
Nếu

2 3u = + Î ¡
thì
2
5 2 6u = +
hay
2
5 2 6.u - =
Bình
phương hai vế ta được
( )
2
2
5 24u - =
tương đương
4 2
10 1 0.u u- + =
Do đó
2 3u = +
là một nghiệm của đa thức
4 2
10 1 .x x x
éù
- + Î
êú
ëû
¤
Ta cũng dễ dàng chứng minh được đa thức
4 2
10 1x x- +
bất khả quy

trên
.¤
Vậy
4 2
10 1x x- +
là đa thức cực tiểu của
2 3+
trên
.¤
2.3.5. Định lý. Cho
F
là một mở rộng của trường
K
và
u FÎ
là một phần tử đại số
trên
.K
Giả sử
( )p x
là đa thức cực tiểu bậc
n
của
u
trên
.K
Khi đó
(i)
( ) [ ]/ ( ( )).K u K x p x@
(ii)

{ }
2 1
1, , , ,
n
u u u
-
là một cơ sở của không gian vectơ
( )K u
trên
.K
(iii)
( ) : .K u K n
é ù
=
ê ú
ë û
Chứng minh
(i) Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ
: [ ] ( )K x K uj ®
cho bởi
( ) ( )f x f ua
là một
đồng cấu vành. Rõ ràng
( )
( ) .p x KerjÌ
Nếu
( )f x KerjÎ
thì
( ) 0.f u =
Ta có

Lê Thị Kim Luông – DH10A 16
Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD. Lờ Vn Chua
( )f x
chia ht cho
( )p x
v do ú
( )
( ) ( ) .f x p xẻ
Vy
( )
( ) .p x Kerj=
Ta nhn
c mt ng cu
( ) ( )
[ ] ( ) Im [ ]K x p x K u K uj@ = è
Vỡ
( )p x
bt kh quy nờn
( )
[ ] ( )K x p x
l trng, suy ra
[ ]K u
cng l trng
cha
K
v
.u
Vy
( )
[ ] ( ) [ ] ( ) .K u K u K x p x= @

(ii) Mi phn t ca
[ ] ( )K u K u=
u cú dng
( )f u
vi
( ) [ ].f x K xẻ
Ly
( )f x
chia cho
( )p x
ta c
( ) ( ) ( ) ( )f x p x q x r x= +
vi
( ), ( ) [ ]q x r x K xẻ
v
deg ( ) deg ( ).r x p x<
Khi ú
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )
m
m
f u p u q u r u q u r u r u b bu b u= + = + = = + + +L
trong ú
deg ( ).m n p x< =
Vy
{ }
2 1
1, , , ,
n
u u u

-
l mt h sinh ca khụng
gian vect
( )K u
trờn
.K
Ta cũn phi chng minh
{ }
2 1
1, , , ,
n
u u u
-
c lp
tuyn tớnh. Tht vy, gi s
1
0 1 1
0
n
n
a a u a u
-
-
+ + + =L
vi
0 1 1
, , , .
n
a a a K
-

ẻ
Khi ú
u
l nghim ca a thc
1
0 1 1
( ) [ ].
n
n
g x a a x a x K x
-
-
= + + + ẻL
Do ú
( )g x
chia ht cho
( ).p x
iu
ny ch xy ra khi
( )g x
l a thc 0 v do ú
0
i
a =
vi mi
.i
Vy
{ }
2 1
1, , , ,

n
u u u
-
c lp tuyn tớnh v nú l mt c s ca khụng gian vect
( )K u
trờn
.K
(iii) H qu trc tip ca (ii)
Vớ d 2.3.5. Tỡm bc m rng ca
( )
2 3+Ô
trờn
.Ô
Gii
Ta cú
( )
4 2
10 1p x x x= - +
l a thc cc tiu ca
2 3+
trờn
.Ô
Do ú
( )
( )
2 3 : deg 4.p x
ộ ự
+ = =
ờ ỳ
ở ỷ

Ô Ô
Khi ú
( ) ( )
2 3
1, 2 3, 2 3 , 2 3
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
+ + +
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
Lờ Th Kim Luụng DH10A 17
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
là cơ sở của
( )
2 3+¤
trên
.¤
Cho
K
và
E
là các trường và
: K Es ®
là đẳng cấu. Khi đó
ˆ
: K x E xs
éù é ù

®
êú ê ú
ëû ë û
là một đẳng cấu xác định bởi
( )
( ) ( ) ( )
0 1 0 1
ˆ
n n
n n
a a x a x a a x a xs s s s+ + + = + + +L L
Chú ý rằng
( ) ( )
ˆ
k ks s=
với mọi
.k KÎ
Để tránh nhầm lẫn ta luôn kí
hiệu
ˆ
s
bởi
.s
2.3.6. Định lý. Cho
K
và
E
là các trường và
: K Es ®
là đẳng cấu. Giả sử

( )
K u
và
( )
E v
lần lượt là các mở rộng đơn của
K
và
.E
Gọi
( )p x
là đa thức cực
tiểu của
u
trên
K
và
( )p xs
là đa thức cực tiểu của
v
trên
.E
Khi đó tồn tại
một đẳng cấu
( ) ( )
: K u E vs ®
sao cho
( ) ( )
k ks s=
với mọi

k KÎ
và
( )
.u vs =
Chứng minh
Với mọi
( )
,K ua aÎ
được viết duy nhất dưới dạng
1
0 1 1
,
n
n
a a u a ua
-
-
= + + +L
trong đó
deg ( ) .p x n=
Định nghĩa ánh xạ
( ) ( )
: K u E vs ®
( ) ( ) ( ) ( )
1
0 1 1
n
n
a a v a vs a s s s
-

-
= + + +L
Rõ ràng
( ) ( )
k ks s=
với mọi
k KÎ
và
( )
.u vs =
Ta chứng minh
s
là một
đẳng cấu. Với mọi
( )
1 1
1 1
, , ,
n n
i i
i i
i i
K u ax bxa b a b
- -
= =
Î = =
å å
( ) ( )
( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
n
i
i i
i
n
i
i i
i
n
i
i i
i
n
i i
i i
i
n n

i i
i i
i i
a b u
a b v
a b x
a v b v
a v b v
s a b s
s
s s
s s
s s
s a s b
-
=
-
=
-
=
-
=
- -
= =
+ = +
= +
é ù
= +
ê ú
ë û

é ù
= +
ê ú
ë û
= +
= +
å
å
å
å
å å
Lê Thị Kim Luông – DH10A 18
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
Ta cũng có
( ) ( ) ( )
.s ab s a s b=
Do đó
s
là đẳng cấu thỏa mãn
( ) ( )
k ks s=
với mọi
k KÎ
và
( )
.u vs =
2.3.7. Hệ quả. Giả sử
F
là một mở rộng của trường
K

và
,u v FÎ
là hai nghiệm của
cùng một đa thức cực tiểu
( )p x
trên
.K
Khi đó tồn tại một đẳng cấu
: ( ) ( )K u K vt ®
sao cho
( )u vt =
và
( )c ct =
với mọi
.c KÎ
2.4. Mở rộng đại số
2.4.1. Định nghĩa. Cho
F
là một mở rộng của
.K
Ta nói rằng
F
là mở rộng đại số
của
K
nếu mọi phần tử
u FÎ
đều là phần tử đại số trên
.K
Ví dụ 2.4.1. Chứng minh rằng

( )
2¤
là một mở rộng đại số của
.¤
Giải
Giả sử
( )
2 2u a b= + Î ¤
với
, .a b Î ¤
Rõ ràng
2u a b= +
là
một nghiệm của đa thức
2 2 2
2 2 .x ax a b x
éù
- + - Î
êú
ëû
¤
Vậy
2u a b= +
là phần tử đại số trên
¤
và do đó
( )
2¤
là một mở rộng
đại số của

.¤
Ví dụ 2.4.2. Chứng minh rằng
£
là một mở rộng đại số của
.¡
Giải
Giả sử
u a bi= + Î £
với
, .a b Î ¡
Khi đó
u a bi= +
là một nghiệm
của đa thức
2 2 2
2x ax a b x
éù
- + + Î
êú
ëû
¡
và do đó nó là phần tử đại số
trên
.¡
Vậy
£
là một mở rộng đại số của
.¡
2.4.2. Định lý. Nếu
F

là mở rộng bậc hữu hạn của
K
thì
F
mở rộng đại số của
.K
Chứng minh
Giả sử
:F K n
é ù
=
ê ú
ë û
hữu hạn. Nếu
u FÎ
và
i j
u u=
với
0 i j£ <
thì
u
là
nghiệm của đa thức
[ ].
i j
x x K x- Î
Với mọi
u FÎ
khác, ta có

{ }
2
1, , , ,
n
u u u
gồm có
1n +
phần tử nên nó phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại các phần tử
i
a KÎ
không đồng thời bằng không sao cho
2
0 1 2
0.
n
n
a a u a u a u+ + + + =L
Do đó
u
là nghiệm của đa thức
2
0 1 2
( ) [ ].
n
n
f x a a x a x a x K x= + + + + ÎL
Vậy
F
là một mở rộng đại số của
.K

Lê Thị Kim Luông – DH10A 19
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
2.4.3. Định lý. Nếu
F
là mở rộng bậc hữu hạn của
K
thì
F
mở rộng hữu hạn sinh
của
.K
Chứng minh
Gọi
{ }
1 2
, , ,
n
u u u
là một cơ sở của
F
trên
.K
Khi đó tất cả các tổ hợp tuyến
tính của các
i
u
với hệ số trong
K
đều thuộc
( )

1 2
, , ,
n
K u u u
và do đó
( )
1 2
, , , .
n
F K u u u=
2.4.4. Định lý. Cho
F
là một mở rộng của
.K
Khi đó
F
là mở rộng bậc hữu hạn
của
K
khi và chỉ khi
F
là mở rộng đại số của
K
và tồn tại các phần tử
1 2
, , ,
n
u u u
sao cho
( )

1 2
, , , .
n
F K u u u=
Chứng minh
Giả sử
F
là một mở rộng bậc hữu hạn của
.K
Gọi
{ }
1 2
, , ,
n
u u u
là một cơ sở
của
F
trên
.K
Khi đó tất cả các tổ hợp tuyến tính của các
i
u
với hệ số trong
K
đều thuộc
( )
1 2
, , ,
n

K u u u
và do đó
( )
1 2
, , , .
n
F K u u u=
Do mọi mở rộng bậc
hữu hạn đều là mở rộng đại số nên các phần tử
1 2
, , ,
n
u u u
là các phần tử đại số
trên
.K
Đảo lại, giả sử
( )
1 2
, , ,
n
F K u u u=
là mở rộng đại số của
.K
Xét một
tháp các trường
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1 2 1 1 2
, , , , , , ,
n n

K K u K u u K u u u K u u u F
-
Ì Ì Ì Ì Ì =L
Chú ý rằng
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1
, , , , , ,
i i i
K u u u K u u u u
-
=
với mọi
2,3, , .i n=
Do
đó
( )
1 2
, , ,
i
K u u u
là một mở rộng đơn của
( )
1 2 1
, , , .
i
K u u u
-
Ta có
( )
1 2

, , ,
i
K u u u
là một mở rộng bậc hữu hạn của
( )
1 2 1
, , ,
i
K u u u
-
và do đó
F
là một mở rộng bậc hữu hạn của
.K

Ví dụ 2.4.3. Tìm bậc mở rộng và một cơ sở của trường
( )
2, 3¤
trên
.¤
Giải
Vì các phần tử
2, 3
là đại số trên
¤
nên
( )
2, 3¤
là một mở rộng
đại số bậc hữu hạn của

.¤
Ta có thể tính bậc mở rộng của
( )
2, 3¤
Lê Thị Kim Luông – DH10A 20
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
trên
¤
như sau. Xét tháp các trường
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 2, 3 .Ì Ì =¤ ¤ ¤ ¤
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
2, 3 : 2, 3 : 2 2 :
é ù é ùé ù
=
ê ú ê úê ú
ë û ë ûë û
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
Ta biết rằng
( )
2 : 2
é ù
=
ê ú
ë û
¤ ¤
và
{ }
1, 2

là một cơ sở của
( )
2¤
trên
.¤
Để xác định bậc mở rộng của
( )
2, 3¤
trên
( )
2 ,¤
ta cần tìm đa
thức cực tiểu của
3
trên
( )
2 .¤
Rõ ràng
3
là nghiệm của đa thức
( )
2
3 2 .x x
éù
- Î
êú
ëû
¤
Đa thức này không có nghiệm trong
( )

2¤
nên
nó bất khả quy. Do đó
( ) ( )
( )
2
2, 3 : 2 deg 3 2x
é ù
= - =
ê ú
ë û
¤ ¤
và do
đó
{ }
1, 3
là một cơ sở của
( )
2, 3¤
trên
( )
2 .¤
Vậy
( )
2, 3 : 4
é ù
=
ê ú
ë û
¤ ¤

và
{ }
1, 2, 3, 6
là một cơ sở của
( )
2, 3¤
trên
.¤
Ví dụ 2.4.4. Tìm bậc mở rộng và một cơ sở của trường
( )
, 2i¤
trên
.¤
Giải
Trường
( )
, 2i¤
là một mở rộng đại số bậc hữu hạn của
.¤
Xét tháp
các trường
( ) ( )
( )
( )
2 2 2, .i iÌ Ì =¤ ¤ ¤ ¤
Chú ý rằng
2
1x +
là
đa thức cực tiểu của

i
trên
( )
2¤
nên
( ) ( )
2, : 2 2.i
é ù
=
ê ú
ë û
¤ ¤
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2, : 2, : 2 2 : 2 2 4i i
é ù é ùé ù
= = ´ =
ê ú ê úê ú
ë û ë ûë û
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
và
{ }
1, 2, , 2i i
là một cơ sở của
( )
, 2i¤
trên
.¤
2.5. Mở rộng bậc nguyên tố
2.5.1. Định nghĩa. Cho

p
là số nguyên tố và
F
là một mở rộng của
.K
Ta nói rằng
F
là một mở rộng bậc nguyên tố
p
của
K
nếu
: .F K p
é ù
=
ê ú
ë û
Lê Thị Kim Luông – DH10A 21
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
Ví dụ 2.5.1. Chứng minh rằng
( )
2¤
là mở rộng bậc nguyên tố 2 của
.¤
Giải
Ta có
( )
2¤
là một mở rộng đại số của
.¤

Ta có
( )
2
2p x x= -
là đa
thức cực tiểu của
2
trên
.¤
Do đó
( )
( )
2
2 : deg 2 2.x
é ù
= - =
ê ú
ë û
¤ ¤
Vậy
( )
2¤
là mở rộng bậc nguyên tố 2 của
.¤
Ví dụ 2.5.2. Chứng minh rằng
( )
3
2¤
là mở rộng bậc nguyên tố 3 của
.¤

Giải
Ta có
( )
3
2¤
là một mở rộng của
.¤
Ta có
( )
3
2p x x= -
là đa thức
cực tiểu của
3
2
trên
.¤
Do đó
( )
( )
3
3
2 : deg 2 3.x
é ù
= - =
ê ú
ë û
¤ ¤
Vậy
( )

3
2¤
là mở rộng bậc nguyên tố 3 của
.¤
Ví dụ 2.5.3. Cho
p
là số nguyên tố. Chứng minh rằng
( )
2
p
¤
là một mở rộng bậc
nguyên tố
p
của
.¤
Giải
Ta có
( )
2
p
¤
là một mở rộng của
.¤
Ta có
( )
2
p
p x x= -
là đa thức cực tiểu

của
2
p
trên
.¤
Do đó
( )
( )
2 : deg 2 .
p
p
x p
é ù
= - =
ê ú
ë û
¤ ¤
Vậy
( )
2
p
¤
là mở
rộng bậc nguyên tố
p
của
.¤
2.5.2. Định lý. Mọi mở rộng bậc nguyên tố
p
đều là mở rộng đại số.

Chứng minh
Giả sử
F
là một mở rộng bậc nguyên tố
p
của
.K
Ta có
:F K p
é ù
=
ê ú
ë û
hữu hạn.
Do mọi mở rộng hữu hạn đều là mở rộng đại số nên
F
là mở rộng đại số của
.K
2.5.3. Định lý. Mọi mở rộng bậc nguyên tố
p
đều là mở rộng đơn.
Chứng minh
Lê Thị Kim Luông – DH10A 22
Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD. Lờ Vn Chua
Gi s
F
l mt m rng bc nguyờn t
p
ca
.K

Ta cú
: .F K p
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
Gi
\ .u F Kẻ
Xột thỏp cỏc trng
( )
.K K u Fè è
Ta cú
( ) ( )
: : :p F K F K u K u K
ộ ựộ ự
ộ ự
= =
ờ ỳ
ờ ỳờ ỳ
ở ỷ
ở ỷở ỷ
Do ú
p
chia ht cho
( )
: .F K u
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
Do

p
l s nguyờn t nờn
( )
: 1F K u
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
hoc
( )
: .F K u p
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
Nu
( )
:F K u p
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
thỡ
( )
: 1K u K
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
kộo theo

( )
K u K=
hay
.u Kẻ
iu ny dn n mõu thun. Vy
( )
: 1F K u
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
hay
( )
F K u=
v do ú
F
l m rng n ca
.K
Vớ d 2.5.4. Chng minh rng mi m rng bc nguyờn t 2 trờn
Ô
u cú dng
( )
vÔ
trong ú
v
l s nguyờn khụng cha nhõn t l s chớnh phng.
Gii
Gi s
F
l m rng bc nguyờn t 2 ca

.Ô
Khi ú
: 2.F
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
Ô
Ta cú
F
l m rng n ca
Ô
ngha l tn ti
u Fẻ
sao cho
( )
.F u= Ô
Gi
( )
p x
l a thc cc tiu ca
u
trờn
.Ô
Ta cú
( )
deg : 2.p x F
ộ ự
= =
ờ ỳ

ở ỷ
Ô
Gi s
( )
2
.p x ax bx c= + +
Ta cú
.
2
b
u
a
- D
=
Do ú
u
cú dng
2
x y
u

=
vi
, .x y ẻ Ô
Ta cú
( )
( )
.F u y= =Ô Ô
Gi s
m

y
n
=
vi
( )
, 1.m n =
Ta cú
( ) ( )
2
mn
y mn
n
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Ô Ô Ô
Ta vit
mn
di dng
2

mn d v=
vi
v
l s nguyờn khụng cha nhõn t chớnh
phng. Do ú
( )
( ) ( )
2
.F d v d v v= = =Ô Ô Ô
o li, mi m rng
( )
,vÔ
trong ú
v
l s nguyờn khụng cha nhõn t chớnh phng, u l m
rng bc nguyờn t 2 ca
.Ô
Tht vy, ta cú
2
( )f x x v x
ộự
= - ẻ
ờỳ
ởỷ
Ô
l a thc
cc tiu ca
v
trờn
.Ô

Do ú
( )
: deg ( ) 2.v f x
ộ ự
= =
ờ ỳ
ở ỷ
Ô Ô
Lờ Th Kim Luụng DH10A 23
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
2.6. Trường phân rã
2.6.1. Định nghĩa. Cho
F
là mở rộng của
K
và
( ) .f x K x
éù
Î
êú
ëû
Trường
F
được gọi
là trường phân rã hay trường nghiệm của
( )f x
trên
K
nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn

(i)
( )f x
chẽ ra trên
,K
nghĩa là
1 2
( ) ( )( ) ( )
n
f x a x u x u x u= - - -L
với
.
i
u FÎ
(ii)
( )
1 2
, , ,
n
F K u u u=
với
1 2
, , ,
n
u u u
là các nghiệm của
( ).f x
Ví dụ 2.6.1. Tìm trường phân rã của đa thức
2
1 .x x
éù

+ Î
êú
ëû
¡
Giải
Ta có
( ) ( )
2
1x x i x i+ = - +
và
( ) ( )
, .i i i- = =¡ ¡ £
Do đó
£
là
trường phân rã của
2
1x +
trên
.¡
Ví dụ 2.6.2. Tìm trường phân rã của đa thức
4 2
( ) 5 6 .f x x x x
é ù
= - + Î
ê ú
ë û
¤
Giải
Ta có

( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 2 3 3f x x x x x= - + - +
và
( ) ( )
2, 2, 3, 3 2, 3- - =¤ ¤
Vậy
( )
2, 3¤
là trường phân rã của đa thức
4 2
( ) 5 6f x x x= - +
trên
.¤
2.6.2. Định lý. Cho
K
là trường và
( ) .f x K x
éù
Î
êú
ëû
Khi đó tồn tại một trường phân rã
F
của đa thức
( )f x
trên
.K
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh quy nạp theo
deg ( ).f x

Nếu
deg ( ) 1f x =
thì rõ ràng
K
chính là trường phân rã của
( )f x
trên
.K
Nếu
( )f x
không chẽ ra trên
K
thì
( )f x
có một nhân tử bất khả quy
1
( ).f x
Khi đó tồn tại mở rộng
( )
1
K u
là mở
rộng của
K
sao cho
1
u
là một nghiệm của
1
( ).f x

Trong
( )
1
,K u x
éù
êú
ëû
ta có
( )
1
( ) ( )f x x u g x= -
với
deg ( ) deg ( ) 1.g x f x= -
Theo giả thiết quy nạp,
deg ( )g x
chẽ ra
( )
1
K u
và
( ) ( )
1 2 3
, , ,
n
F K u u u u=
là trường phân rã của
( )g x
trên
( )
1

K u
với
2 3
, , ,
n
u u u
là các nghiệm của
( ).g x
Chú ý rằng
2 3
, , ,
n
u u u
Lê Thị Kim Luông – DH10A 24
Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua
cũng là các nghiệm của
( ).f x
Ta có
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2
, , , , , ,
n n
F K u u u u K u u u= =
là trường phân rã của đa thức
( )f x
trên
.K
2.6.3. Định lý. Cho
K
và

F
là các trường. Giả sử
: K Es ®
là đẳng cấu. Nếu
F
là trường phân rã của đa thức
( )f x
trên
K
và
L
là trường phân rã của đa
thức
( )f xs
trên
E
thì tồn tại một đẳng cấu
: F Ld ®
sao cho
( )
c cs =
với
mọi
.c KÎ
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh quy nạp theo
deg ( ) .f x n=
Dễ thấy định lý đúng với
1.n =
Giả sử định lý đúng cho tất cả các đa thức bậc

1.n -
Gọi
( )p x
là một nhân tử
bất khả quy với hệ tử cao nhất bằng 1 của
( ).f x
Khi đó
( )p xs
cũng là một nhân
tử bất khả quy với hệ tử cao nhất bằng 1 của
( ).f xs
Chú ý rằng
F
chứa tất cả
các nghiệm của đa thức
( )p x
và tương tự
L
chứa tất cả các nghiệm của
( ).p xs
Giả sử
u FÎ
là một nghiệm của
( )p x
và
v LÎ
là một nghiệm của
( ).p xs
Khi
đó tồn tại một đẳng cấu

: ( ) ( )K u E vs ®
sao cho
( )u vs =
và
( ) ( )c cs s=
với
mọi
c KÎ
. Ta có thể viết dưới dạng
( ) ( ) ( ),f x x u g x= -
với
( ) ( )[ ].g x K u xÎ
Khi đó
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x x u g x x u g x x v g xs s s s s s s= = - = - = -
Vì
F
là một trường phân rã của đa thức
( )f x
trên
K
nên
1 2
( ) ( )( ) ( )
n
f x c x u x u x u= - - -L
và
( )
1 2
, , , .

n
F K u u u=
Ta có
1 2
( ) ( )( ) ( )
n
g x c x u x u x u= - - -L
và do đó
F
là một trường phân rã của đa
thức
( )g x
trên
( ).K u
Tương tự
L
là một trường phân rã của đa thức
( )g xs
trên
( ).E v
Do
deg ( ) 1g x n= -
nên từ đẳng cấu
: ( ) ( )K u E vs ®
được mở rộng
thành đẳng cấu
: F Ld @
bởi giả thiết quy nạp. Vậy phép quy nạp được hoàn
thành và do đó định lý đã được chứng minh.
Lê Thị Kim Luông – DH10A 25