Rèn cho học sinh kĩ năng vận dụng định lí Vi-ét vào giải bài tập đại số 9

Rèn cho học sinh kĩ năng vận dụng định lí Vi-ét vào giải bài tập đại
số 9
1. Vấn đề đặt ra:
Trong chương IV –Đại số 9, định lí Vi-ét có nhiều vận dụng trong việc
giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Tuy nhiên khi gặp dạng
toán này học sinh giỏi cũng gặp nhiều sai sót khi trình bày lời giải. Trong
phạm vi đề tài này tôi xin nêu một số dạng toán có thể vận dụng khai thác
triệt để định lí Vi-ét vào giải một số bài toán thường gặp
dưới dạng nhẩm nghiệm.Với nhiệm vụ đặt ra của đề tài này là làm sao
cho tất cả các học sinh có lòng đam mê hc toán và kiên trì trong học toán
đặc biệt là học sinh yếu đều có thể thực hiện được các bài tập áp dụng các
kiến thức trên xuyên suốt Đại số 9. Điểm khó ở đây là về kiến thức so
với khả năng tiếp thu của học sinh cụ thể là học sinh gặp nhiều khó khăn
trong việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào việc giải các bài tập như :
Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai .
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng .
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số .
Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ
thức cho trước ( điều kiện cho trước ) .
Xét dấu các nghiệm số .
Định lý Vi-ét với bài toán cực trị .
2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu :
-Phạm vi nghiên cứu:
Học sinh lớp 92, 94
Trường THCS Lộc Ninh.
Giáo viên dạy toán 9.
Thời gian: Từ đầu năm học đến giữa học kì II
-Đối tượng nghiên cứu:Cách thức rèn cho học sinh lớp 9
2
, 9 4
kĩ năng vận dụng định

lí Vi-ét vào giải toá n.
3. Giải pháp, tính sáng tạo của đề tài:
Bài toán 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
Nếu x
1
, x2là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0 ) thì :
MS:52
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có 
một nghiệm là : x1= 1 còn nghiệm kia là : x2=
c
a
.
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có a -b + c = 0 thì phương trình có một 
nghiệm là : x1= -1 còn nghiệm kia là : x2=
c
a

.
Bài toán 2 : Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Nếu hai số u và v có





 
P v . u
S v u
thì u và v là nghiệm của phương trình :
X
2
-SX + P = 0 (1)
Như vậy việc tìm hai số quy về việc giải phương trình bậc hai một ẩn.
Chú ý: Nếu S
2
-4P 0thì tồn tại hai số .
Nếu S
2
-4P < 0 thì không tồn tại hai số .
Bài toán 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào
tham số.
Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số trong
một phương
trình bậc hai ( giả sử tham s ố là m) ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x1và x
2
là :





0 Δ
0 a
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được







 
) m ( 2 1
) m ( 2 1
g x . x
f x x
(*)
Khử m từ hệ (*) ta được hệ thức cần tìm ( Sử dụng phép thế hoặc cộng).
Bài toán 4 : Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm liên hệ với nhau
bởi một hệ
thức cho trước ( điều kiện cho trước ).
* Bước 1: Tìm điều kiện của tham số đểphương trình đã cho có nghiệmx
1, x
2.
* Bước 2:Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có :






 
) m ( 2 1
) m ( 2 1
g x . x

f x x
(*)
* Bước 3:Kết hợp (*) với điều kiện (hệ thức cho trước) suy ra phương
trình có ẩn
là tham số từ đó tìm được tham số.
Bài toán 5: Xét dấu các nghiệm số
Dùng định lí Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) dựa trên kết quả:
Nếu 0
a
c
p phương trình có 2 nghiêm trái dấu x  
1
< 0 < x2
Nếu





0 p
0 Δ
phương trình có 2nghiệm cùng dấu. 
Nếu









0 s
0 p
0 Δ
phương trình có 2 nghiệm dương 0 < x1 x 
2
Nếu








0 s
0 p
0 Δ
phương trình có 2 nghiệm âm: x1 x 
2
< 0
Bài toán 6 : Định lý Vi-ét với bài toán cực trị
Ví dụ :Gọi x
1
, x2là các nghiệm của phương trình: x
2
-(2m -1)x + m –2 = 0.

Tìm m để
2
2
2
1
x x  có giá trị nhỏ nhất.
Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa đa thức về dạng hằng đẳng
thức thì
không tìm được GTNN, GTLN của một biểu thức. Vì vậy giáo viên cần
nhấn mạnh phải
tách từng hạng tử để đưa về dạng hằng đẳng thức và cộng hay trừ một số
khác 0 thì
GTNN, GTLN chính là số khác 0 đó và phải phụ thuộc vào dấu ở trước
hằng đẳng thức đã
được đưa về.
Giải:
Xét: = 4m
2
-4m + 1 -4m + 8= 4m
2
-8m + 9 = 4(m -1)
2
+ 5 > 0
Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm với mọi m
Theo định lí Vi-ét, ta có: x
1
+ x
2 = 2m -1; x
1
.x

2
= m -2

2
2
2
1
x x  = (x
1
+ x
2
)
2
-2x
1
x
2
= (2m -1)
2
-2(m -2)
= 4m
2
-6m + 5 = (2m -2
3
)
2
+
4
11


4
11
Dấu “=” xãy ra khi m =
4
3
Vậy Min(x
1
2
+ x2
2
) =
4
11
khi m =
4
3
4. Hiệu quả đem lại: Chất lượng bộ môn và học sinh khá giỏi ngày càng
nâng cao.
5. Khả năng và áp dụng cho đến thời điểm hiện tại:
5.1 Về tính mới và tính sáng tạo:
- Ứng dụng của định lí Vi-ét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi
hỏi người học
phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuy ết một
cách linh hoạt.
Chính vì lẻ đó, trong quá trình giảng dạy người giáo viên cần chuẩn bị
chu đáo, tỉ mỉ, rõ
ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận
dụng. Xây dựng
cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy
nghĩ, ý kiến và sáng

tạo của các em. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ
sung thiếu sót kịp
thời.
-Từ kết quả trên cho thấy việc vận dụng định lí Vi-ét vào giải Toán là rất
quan trọng.
Sau khi Tổ Toán Trường THCS LộcNinh áp dụng các phương pháp trên
vào tiết dạy chủ
yếu là lớp 9 đã mang lại kết quả khả quan. Nhờ vậy các em không còn sợ
học toán, với
phương pháp nêu trên bất kỳ giáo viên môn Toán nào cũng có thể áp
dụng để nâng cao
chất lượng học sinh lớp mình phụ trách.
-Đối với đề tài này còn có thể thực hiện tiếp sau khi các em học các cách
giải ở
phương trình bậc cao.
+ Tuy nhiên trong quá trình thực hiện không thể không gặp khó khăn.
Bản thân tôi
tiếp tục tìm hiểu nguy ên nhân học sinh yếu kém bộ môn và duy trì
phương pháp trên cho
đến hết năm học và áp dụng phổ biến cho các đồng nghiệp trong Huyện.
Tôi hy vọng rằng
kết quả sẽ khả quan hơn.
5.2 Hiệu quả xã hội: Rõ ràng qua quá trình thực hiện đề tài, chất lượng
bộ môn và
học sinh khá giỏi ngày càng nâng cao, đây cũng là một niềm hạnh phúc
và nguồn động
viên khích lệ tinh thần cho bản thân.
5.3 Về triển vọng áp dụng và triển khai: Đề tài đã được áp dụng có hiệu
quả cho
học sinh lớp 9

2
, 9 4
trường THCS Lộc Ninh. Từ kết quả trên, bản thân sẽ tiếp tục áp dụng đề
tài này cho năm học tới, phổ biến cho các đồng nghiệp trong trường,
trong huy ện đạt hiệu
quả hơn.