RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A-
CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT
.
I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC:
1. Công thức quy đổi độ – Rađian:
180
a
α
π
=
( a tính bằng độ,
α
tính bằng rad)
2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian.
sđ(Ox, Ot) = a
0
+ k360
0
hoặc sđ(Ox, Ot) =
α
+ k2
π
, k ∈ Z. (với 0
0
≤ a
0
< 360

0
, 0
0
≤
α
< 2π)
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
1
α
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π2
3
π3
4
π5
6
π
π3
2
π
2
sin 0

1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
−
1
2
−
2
2
−
3

2
–1 0 1
tan 0
3
3
1
3
P
− 3
–1
−
3
3
0
P
0
cot
P
3
1
3
3
0
−
3
3
–1
− 3
P
0

P
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
sđAB = a
0
+ k360
0
hoặc sđAB =
α
+ k2
π
, k ∈ Z. ( với 0
0
≤ a
0
< 360
0
, 0
0
≤
α
< 2π)
3. Công thức tính độ dài cung: l =
α
.R (
α
tính bằng rad)
II.NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1:
1. Hằng đẳng thức lượng giác:
 sin
2

x + cos
2
x = 1⇔

= −

= −


2 2
2 2
sin x 1 cos x
cos x 1 sin x
⇔
2
2
1
1

= ± −


= ± −

x x
x x
sin cos
cos sin
 1+ tan
2

x =
2
1
cos x
⇔ cos
2
x =
+
2
1
1 tan x
⇔ cosx =
±
+
2
1
1 tan x
 1+ cot
2
x =
2
1
sin x
⇔ sin
2
x =
+
2
1
1 cot x

⇔ sinx =
±
+
2
1
1 cot x
 tanx.cotx = 1 ⇔ tanx =
=
sin x 1
cos x cot x
⇔ cotx =
=
cos x 1
sin x tan x
 Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu (±) , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của
cung x trên đường tròn lượng giác.
2. Cung liên kết:
–x
π
– x
π
2
– x
π
+ x
π
2
+ x
sin –sinx sinx cosx –sinx cosx
cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx

tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx
cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx
3. Chú ý:
a + b = π ≡ 180
0
cosb = –cosa sinb = sina
a + b =
π
2
≡ 90
0
cosb = sina sinb = cosa
∆ABC
sin(B + C) = sinA cos(B + C) = –cosA tan(B + C) = – tanA
+
=
B C A
sin cos
2 2
+
=
B C A
cos sin
2 2
+
=
B C A
tan cot
2 2
sin(x + k2π) = sinx

cos(x + k2π) = cosx
tan(x + kπ) = tanx
cot(x + kπ) = cotx
III. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2:
1.Công thức cộng:
cos(a ± b) = cosa.cosb
m
sina.sinb sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa
tan(a ± b) =
±
m
tana tanb
1 tana. tanb
2.Công thức nhân:
cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a =
−
+
2
2
1 tan a
1 tan a
sin2a = 2sina.cosa =

+
2
2 tana
1 tan a
; tan2a =
−
2
2 tana
1 tan a
3.Công thức hạ bậc:
−
=
2
1 cos2a
sin a
2
;
+
=
2
1 cos2a
cos a
2
;
−
=
+
2
1 cos2a
tan a

1 cos2a
4.Công thức tính theo t :
=
a
t tan
2
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
2
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
=
+
2
2t
sina
1 t
−
=
+
2
2
1 t
cos a
1 t
=
−
2
2t
tana
1 t
5. Công thức biến đổi tích thành tổng:

2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]
2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)
6. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ −
+ =
a b a b
cosa cosb 2cos cos
2 2
+ −
− =−
a b a b
cosa cosb 2 sin sin
2 2
tana + tanb =
a b
a b
sin( )
cos .cos
+
+ −
+ =
a b a b
sina sinb 2 sin cos
2 2
+ −
− =
a b a b
sina sinb 2cos sin
2 2
tana – tanb =

a b
a b
sin( )
cos .cos
−
Hệ quả: cosx + sinx =
2 sin( x) 2 c os( x)
4 4
π π
+ = −
cosx – sinx =
2 sin( x) 2 cos( x)
4 4
π π
− = +
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ∆ ABC:
1. Định lý hàm số sin và cos:
a b c
2R
sinA sinB sinC
= = =
2 2 2
a b c 2bc.cos A= + −
2 2 2
b a c 2ac.cosB= + −
2 2 2
c a b 2ab.cos C= + −
2. Chuyển cạnh sang góc:
a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC
3. Chuyển góc sang cạnh:

a
sinA
2R
=

2 2 2
b c a
cos A
2bc
+ −
=
4. Công thức diện tích:
= = = = = =
a b c
1 1 1 1 1 1
S a.h b.h c.h bc sin A ac sinB ab sinC
2 2 2 2 2 2

abc
S pr p(p a)(p b)(p c)
4R
= = = − − −
, với
+ +
=
a b c
p
2

R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC

5. Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ∆ ABC:

+
= −
2 2 2
2
a
b c a
m
2 4
+
= −
2 2 2
2
b
a c b
m
2 4
+
= −
2 2 2
2
c
a b c
m
2 4
(m
a
, m
b

, m
c

−
độ dài trung tuyến)
=
+
a
2bc A
l cos
b c 2
=
+
b
2ac B
l cos
a c 2
=
+
c
2ab C
l cos
a b 2
(l
a
, l
b
, l
c

−
độ dài phân giác)
B.
BÀI TẬP
.
VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1. Tính giá trị lượng giác của cung sau.
1) sina =
3
5
với 0 < a <
2
π
2) tana = -
2
với < a <
π
3) cosa =
5
1
với -
2
π
< a < 0 4) sina =
3
1
với a ∈ (
2
π
, π ) 5) tana = 2 với a∈ (π,

2
3π
)
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin
2
x + tan
2
x =
2
1
cos x
- cos
2
x 2) tan
2
x - sin
2
x = tan
2
xsin
2
x 3)
2
2
tan3 3 tan
tan 1 3tan
x x
x x
−

=
−
4)
2 2
2 2
cos sin
cot tan
x x
x x
−
−
= sin
2
xcos
2
x 5)
2
2
2
1
(1 cot )( 1)
cos
1 tan
x
x
x
+ −
+
= 1
Dùng cho HS khá giỏi 10NC

3
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
6) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin
2
a -sin
2
b = cos
2
b - cos
2
a
8)
2 2
2 2
tan tan
1 tan tan
a b
a b
−
−
= tan(a +b)tan(a - b) 9) cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
1
4
sin4x
10)
cos sin

cos sin
x x
x x
−
+
=
1
cos2x
- tan2x 11)
sin 2 2sin
sin 2 2sin
x x
x x
−
+
= -tan
2
2
x
12) sin3xcos
3
x + sin
3
xcos3x =
3
4
sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
3
2
x

cosxsin
2
x

14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos
2
x 15)
4 4 2
2
2
sin cos cos
cos
2(1 cos ) 2
x x x x
x
− +
=
−

3. Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = sin(x +
5
2
π
) - 3cos(x -
7
2
π
) + 2sin(x + π ) 2) B=
( )

11
sin cos 5sin
2 2
x x x
π π
π
   
− + − − +
 ÷  ÷
   
3)
( ) ( ) ( )
os os 2 sin os
2
C c c c
π
α π α π α π α
 
= + + − + − + +
 ÷
 
4) D= 2cosa-3cos(π+a)-5sin(π/2-a)+cot(
3
2
π
- a)
5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tan(
3
2
π

- a ) + cot(2π - a)
4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos
4
a + cos
2
asin
2
a +sin
2
a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin
2
a
3) C = 2(sin
6
a + cos
6
a) - 3(sin
4
a + cos
4
a) 4) D =
1 cot
1 cot
a
a
+
−
-
2

tan 1a −
5) E =
2
sin 4 4cosa a+
+
4 2
cos 4sina a+
6) F = cos
2
a + sin(30
0
+ a)sin(30
0
- a)
7) G = sin
6
a + cos
6
a + 3sin
2
acos
2
a 8) H =
4 4
6 6
sin cos 1
sin cos 1
a a
a a
+ −

+ −

9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b
≠
kπ và m
≠
±
1 thì biểu thức:
A =
1
1 sin 2m a−
+
1
1 sin 2m b−
(m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
5. Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin
3
a -cos
3
a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
1 cos2
cot tan
2 2
a
a a
+
−

3) Biết
cos( )
cos( )
a b
a b
+
−
=
p
q
. Tính tana.tanb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b)
≠
k2π tính tan
2
a
.tan
2
b

5) Tính sin2x nếu: 5tan
2
x - 12tanx - 5 = 0 (
4
π
< x <
2
π
)

Dùng cho HS khá giỏi 10NC
4
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
6. Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức :
1) A = cos20
0
cos40
0
cos60
0
cos80
0
2) B = cos
7
π
.cos
4
7
π
.cos
5
7
π
3) C = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78

0
4) Tính: E = sin5
0
.sin15
0
sin25
0
.sin35
0
. sin85
0

5) Tính: F = sin
18
π
.sin
3
18
π
.sin
5
18
π
.sin
7
18
π
. sin
9
18

π
6) A = sin37
0
.cos53
0
+ sin127
0
.cos397
0
7) A = tan110
0
+ cot20
0
8) Tính sin15
0
và cos15
0
8) A = tan20
o
.tan40
o
.tan60
o
.tan80
o
b) B =
1
2sin10
o
- 2sin70

o
, M = cos
5
π
- cos
2
5
π

c) C = sin
4
16
π
+ sin
4
3
16
π
+ sin
4
5
16
π
+ sin
4
7
16
π
d) D = tan
2

12
π
+ tan
2
3
12
π
+ tan
2
5
12
π
e) E = tan9
o
- tan27
o
- tan63
o
+ tan81
o
. f) F = cos
6
16
π
+ cos
6
3
16
π
+ cos

6
5
16
π
+

cos
6
7
16
π
g) G
1
= sin18
o
.cos18
o
; G
2
= sin36
o
.cos36
o
h) H = cos
2
7
π
+ cos
4
7

π
+ cos
6
7
π

i) I = sin
5
π
+ sin
23
5
π
+ sin
6
π
+ cos
13
5
π
k) K = cos
5
π
+ cos
2
5
π
+ cos
3
5

π
+ cos
4
5
π
9. Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a cos16a =
sin32
32.sin
a
a
b) cosa.cos2a.cos4a cos2
n
a =
1
1
sin 2
2 sin
n
n
a
a
+
+
10. Tính: A = cos20
o
.cos40
o
.cos60
o

. 11. Tính: A = sin6
o
.sin42
o
.sin66
o
.sin78
o
.
12. Tính: A = cos
7
π
. cos
4
7
π
. cos
5
7
π
. 13. Tính: cos
65
π
. cos
2
65
π
. cos
4
65

π
. cos
8
65
π
. cos
16
65
π
. cos
32
65
π
.
14.Tính: sin
18
π
.sin
3
18
π
.sin
5
18
π
.sin
7
18
π
. sin

9
18
π
. 15. Tính: cos
15
π
.cos
2
15
π
.cos
3
15
π
.cos
4
15
π
cos
7
15
π
.
16. Tính: sin5
o
. sin15
o
.sin25
o
sin85

o
. 17. Tính: 96
3
.sin
48
π
.cos
48
π
. cos
24
π
. cos
12
π
. cos
6
π
.
18. Tính: 16.sin10
o
.sin30
o
.sin50
o
.sin70
o
. 19. Tính: sin10
o
.sin20

o
.sin30
o
sin80
o
.
20. Tính: cos9
o
. cos27
o
. cos45
o
. cos63
o
. cos81
o
. cos99
o
. cos117
o
. cos135
o
. cos153
o
. cos171
o
.
21. Tính: A = cos
5
π

+ cos
2
5
π
B = cos
5
π
+ cos
3
5
π
7. Chú ý các công thức sau:
1) 4sinx.sin(
3
π
- x)sin(
3
π
+ x) = sin3x 2) 4cosx.cos(
3
π
- x)cos(
3
π
+ x) = cos3x
3) tanx.tan(
3
π
- x)tan(
3

π
+ x) = tan3x 4) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
1
1
sin 2 .
2 sin
n
n
a
a
+
+

5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)
n
. cos(a +nx).
thì nhân 2 vế với 2cos
2
x
nếu cos
2
x
≠
0.
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
5
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
8.Các bài tập khác:
1. Chứng minh rằng :
a)

cos15 sin15
cos15 sin15
o o
o o
+
−
=
3
b)
sin 75 cos75
cos75 sin75
o o
o o
−
+
=
1
3
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3
x b) B =
1 cos
sin
x
x
+
[1 +

2
2
(1 cos )
sin
x
x
−
]
c) C = cos3x.cos
3
x - sin3x.sin
3
x
3. Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(
3
π
- x).cos(
3
π
+ x) = cos3x. b) 4.sinx.sin(
3
π
- x).sin(
3
π
+ x) = sin3x.
c) tanx.tan(
3
π

- x).tan(
3
π
+ x) = tan3x. Áp dụng tính:
A = sin20
o
.sin40
o
.sin80
o
. B = cos10
o
.cos20
o
.cos30
o
cos80
o
. C = tan20
o
.tan40
o
.tan60
o
.tan80
o
.
4. Chứng minh rằng :
a) sin
6

x + cos
6
x =
5
8
+

3
8
cos2x b) tanx =
1 cos2
sin 2
x
x
−
Áp dụng tính:
A = sin
6
(
24
π
) + cos
6
(
24
π
) B = tan
2
(
12

π
) + tan
2
(3.
12
π
) + tan
2
(5.
12
π
)
5. Chứng minh rằng:
a) sin
4
x =
3 1 1
cos2 cos4
8 2 8
x x− +
b) sin
8
x + cos
8
x =
35 7 1
cos4 cos
64 16 16
x x+ +

Áp dụng tính A = sin
8
(
24
π
) + cos
8
(
24
π
) B = sin
4
(
16
π
) + sin
4
(3.
16
π
) + sin
4
(5.
16
π
) + sin
4
(7.
16
π

)
6. Tính: cos(
2
7
π
) + cos(
4
7
π
) + cos(
6
7
π
) 22. Tính cos(
5
π
) + cos(
2
5
π
) + cos(
3
5
π
) + cos(
4
5
π
)
7. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính: tana.tanb. 24. CMR:

0 0
0 0
sin 75 cos75
sin 75 cos75
−
+
=
1
3

VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC.
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
+ A + B + C = π +
a b−
< c < a + b + a
2
= b
2
+ c
2
- 2a.b.cosC
+
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
+ S =
1 1

. .sin ( ) .
2 2 4
a a
abc
a h ab C pr p a r
R
= = = = −
S =
( )( )( )p p a p b p c− − −
Trong đó: p =
2
a b c+ +
r: bán kính đường tròn nội tiếp r
a
: bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A.
+ Đường trung tuyến :
m
a
2
=
2 2 2
2 4
b c a+
−
m
b
2
=
2 2 2
2 4

a c b+
−
m
c
2
=
2 2 2
2 4
b a c+
−
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
6
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
+ Đường phân giác:
l
a
=
2 .cos
2
A
bc
b c+
l
b
=
2 .cos
2
B
ac
a c+

l
a
=
2 .cos
2
C
ab
a b+
+ Mở rộng định lí sin và cosin:
cotA =
2 2 2
4
b c a
s
+ −
cotB =
2 2 2
4
a c b
s
+ −
cotC =
2 2 2
4
a b c
s
+ −
II-BÀI TẬP : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1. sinA + sinB + sinC = 4cos
2

A
.cos
2
B
.cos
2
C
. 2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
3. sin3A+sin3B+sin3C = -4cos
3
2
A
cos
3
2
B
cos
3
2
C
. 4. sin4A+sin4B+sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.
5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2
A
.4sin
2
B
.4sin
2
C

. 6. cos2A+cos2B+cos2C = -1-4cosA.cosB.cosC.
7. cos3A+cos3B+cos3C =1- 4sin
3
2
A
sin
3
2
B
sin
3
2
C
. 8. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC.
9. cos4A+cos4B+cos4C = -1+ 4cos2Acos2Bcos2C. 10. tan2A +tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C.
11. cotA.cotB + cotB.cotgC + cotC.cotA = 1 12. tan
2
A
tan
2
B
+ tan
2
B
tan
2
C
+ tan
2
C

tan
2
A
=1
13. cot
2
A
+cot
2
B
+ cot
2
C
= cot
2
A
cot
2
B
cot
2
C
. 14. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 - 2cosA.cosB.cosC.
15. cos

2
2A + cos
2
2B + cos
2
2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C. 16.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
=
3
4
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
17. la =
2 .cos
2

A
bc
b c+
=
2
bc
. . .( )b c p p a−
. 18. r = p.tan
2
A
tan
2
B
tan
2
C
=
sin sin
2 2
cos
2
B C
a
A
.
19. R =
C
4.cos .cos .cos
2 2 2
p

A B
. 20. r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:
S =
2 2
( ).sin .sin
2.sin( )
a b A B
A B
−
−
=
1
4
(a
2
sin2B + b
2
sin2A) = p
2

.tan
2
A
tan
2
B
tan
2
C
= 2R
2
.sinA.sinB.sinC.
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cot
2
A
+(c - a)cot
2
B
+ (a - b)cot
2
C
= 0.
c) (b
2
- c
2
)cotA +(c
2
- a

2
)cotB+(a
2
- b
2
)cotC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC.
e) sin
2
B C−
=
b c
a
−
cos
2
A
. f) cos
2
B C
−
=
b c
a
+
sin
2
A
. g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
h) cosA + cosB = 2
a b

c
+
sin
2
2
C
. i)
1
r
=
1
a
h
+
1
b
h
+
1
c
h
.
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
7
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC. b) tan
2
B
. tan

2
C
=
1
3
.
4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
của tam giác. Chứng minh rằng:
a) r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
. b) IA.IB.IC = 4Rr
2
. c) cosA + cosB + cosC = 1 +
r
R
5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng
đó được xác định theo công thức sau: d =
3
2
r(tan
2
C
- tan

2
A
)
6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. CMR : b
2
+ c
2
= 5a
2
.
7. Chứng minh rằng:
cos
2
a
A
l
+
cos
2
b
B
l



cos
2
c
C
l

=
1
a


+
1
b
+
1
c
.
8. Ch. minh rằng các trung tuyến AA' và BB' vuông góc với nhau khi: cotC = 2(cotA + cotB).
9. Cho
c
b
=
b
c
m
m
≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC.
10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi α =
AMB
. Chứng minh rằng:
a) cotα =
2 2
4
b c
s

−
. b) cotα = cotC - cotB. c) cotα =
2sin( )
2sin sin
B c
B C
−
11. Chứng minh rằng
c
b
là nghiệm của phương trình:
(1 + x
2
-2xcosA)(b
2
- bc) = a
2
(1 - x).
12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x
2
- 2x +2);
(x
2
+ 2x + 2). Với giá trị nào của x (dương) thì tam giác đó tồn tại.
13. Cho m
a
= c. Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB. b) tanB = 3tanC. c) sinA = 2sin(B - C).
14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước.
CMR :a) tanB.tanC = 1 + k. b) tanB + tanC = ktanA c) cos(B - C) = (1+

2
k
)cosA.
15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Chứng minh rằng : cot
2
A
cot
2
C
= 3.
16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA.tanB = 6;
tan
tan
A
C
=3. Chứng tỏ rằng: tanA, tanB, tanC
theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng.
17. Tam giác ABC có cot
2
A
, cot
2
B
, cot
2
C
theo thứ tự lập một cấp số cộng. CMR : a, b, c theo thứ
tự cũng lập một cấp số cộng.
18. Tam giác ABC có: cotA, cotB, cotC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng a

2
,
b
2
, c
2
theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC. Chứng minh rằng :
a) tanB.tanC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA.
IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
8
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
1. atanA+btanB =(a+b)tan
2
A B+
2. 2tanB + tanC = tan
2
B.tC. 3.
sin sin 1
(tan tan )
cos cos 2
A B
A B
A B
+
= +
+
4.

2 2
2 2
2 2
cos cos 1
(cot cot )
sin sin 2
A B
A B
A B
+
= +
+
5.
2sin .sin
cot
2 sin
C A B
C
=
6. sin
3 3
.cos sin .cos
2 2 2 2
A B B A
=
7. (p - b)cot
.tan
2 2
C B
p=

8.
2 2
1 cos 2
sin
4
B a c
B
a c
+ +
=
−

9. a
2
sin2B +b
2
sin2A=c
2
cot
2
C
10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
11.
sin
3 3
.cos sin .cos
2 2 2 2
A B B A
=
12. a = 2b.cosC. Chứng minh ∆ ABC cân tại A.

B. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
1.
2
2
sin tan
sin tan
B B
C C
=
2. (b
2
+ c
2
)sin(C-B) = (C
2
- B
2
)sin(B- C)

3.
2
2
( ) 1 cos( )
2.
1 cos2
b c B C
b B
− − −
=
−

4. sin(B - C)=
2 2
2
b c
a
−
V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:
1. cos2a + cos2B + cos2C = -1 2. tan2A + tan2B + tan2C = 0
3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B. Chứng minh tam giác vuông khi:
1.
cos cos sin .sin
b c a
B C B C
+ =
2. cot
2
B
=
a c
b
+
3.
1
cot ( )
sin
a
A c b
A c b

+ = ≠
−
4.
1
cot
sin
b c
A
A a
+
+ =
5. cot2C =
1
(cot cot )
2
C B−
6.
cos( )
tan
sin sin( )
B C
B
A C B
−
=
+ −
7.
sin cos
sin cos
A B

tgA
B A
+
=
+
8. sin
2
B
=
2
a c
a
−
9. cos
2 2
B c a
a
+
=
10. tan
2
B c a
c a
−
=
+
11. cos(B - C) =
2
2bc
a

12. S =
2
1
sin 2
4
a B
13.
sin sin
sin .cos .cos
1 1
cos cos
B C
A B C
B C
+
=
+
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
9
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
14. 1 + cot(45
0
- B) =
2
1 cot A−
15. sin
4
C + 2sin
4
A + 2sin

4
B = 2sin
2
C(sin
2
A + sin
2
B)
16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17. cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.
1. sin3A + sin3B + sin3C = 0 2. sin4A + sin4B + sin4C = 0
3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4. a
3
= b
3
+ c
3
5. c = Ccos2B + Bsin2B 6. (1+cotA)(1 + cotB) = 2
7. sin
2
A + sin
2
B =5sin
2
C 8.
1 1 1
a
b c l
+ =

9. sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C ≤ 2
10. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C ≤ 1
11. Ch.minh nếu ∆ ABC có: sin
2
A
= sin
2
B
.sin
2
C
thì tan
2
B
. tan
2
C
=

1
2
và ngược lại.
12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a
2
= bc + c
2
13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD. Chứng
minh rằng tanB.tanC = 2.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng: sin
2
B
.sin
2
C
= l
b
.
2
4
c
l
a

15. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi α là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền. Chứng minh rằng: tan
2
α
= tan

2
B C−

Dùng cho HS khá giỏi 10NC
10
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
a) tgB = 3tgC b) sin A = 2sin(B - C)
17. Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam
giác ABC đều là có hệ thức.
1 1 1
(cot cot cot ) 3
sin sin sin
A B C
a B C
+ + − + + =
18. Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn. CMR: (sinA)
2sinB
+ (sinB)
2sinC
+ (sinC)
2sinA
> 2
Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?
VI. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Hàm lồi lõm. ( Không có trong chương trình HS dùng tham khảo)
+ Tính chất hàm lồi:
1 2
( ) ( )

( )
2 2
f x f x x y
f
+ +
≤
, ∀x, y ∈ R
+ tính chất hàm lõm:
1 2
( ) ( )
( )
2 2
f x f x x y
f
+ +
≥
, ∀x, y ∈ R
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. sinA + sinB +sinC ≤
3 3
2
2. 1 < sin
2
A
+ sin
2
B
+ sin
2

C
≤
3
2
3. 1 < cosA + cosB + cosC ≤
3
2
4. Sin
2
A + Sin
2
B + Sin
2
C ≥
9
4
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
11
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
5. 2 < cos
2
2
A
+ cos
2
2
B
+ cos
2
2

C
≤
9
4
6.
3
4
≤ sin
2
2
A
+ sin
2
2
B
+ sin
2
2
C
< 1.
7. sin
2
A
. sin
2
B
. sin
2
C
≤

1
8
8. sinA.sinB.sinC ≤
3 3
3
9. cosA.cosB.cosC ≤
1
8
10. cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
≤
3 3
3
11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥
3
.sinA.sinB.sinC 12.
1
cos A
+
1
cos B
+
1

cosC
≥ 6
13.
1
sin
2
A
+
1
sin
2
B
+
1
sin
2
C
≥ 6 14.
2.sin .sin .sin
sin sin sin
A B C
A B C+ +
≤
1
3 3
15. (1 +
1
sin A
) + (1 +
1

sin B
) + (1 +
1
sin C
) ≥ 5 +
26 3
9
16. tan
2
A
+ tan
2
B
+ tan
2
C
≥
3
17. tan
2
2
A
+ tan
2
2
B
+ tan
2
2
C

≥ 1
19. tanA + tanB + tanC ≥ 3
3
. (Với
∆
ABC nhọn). 20. tan
2
A + tan
2
A + tan
2
A ≥ 9. (Với ∆ABC nhọn.)
21. tan
2
A
tan
2
B
tan
2
C
≥
1
3 3
22. cos
3
A + cos
3
A +

cos
3
A ≤
9
4
+
1
4
(cos3A + cos3B + cos3C).
23. 36r
2
≤ ab + bc + ca ≤ 9R
2
. 24. (a + b + c)(h
a
+ h
b
+ h
c
) ≥ 18S.
25. h
a
+ h
b
+ h
c
≥ 9r (
1
r
=

1
a
h
+
1
b
h
+
1
c
h
) 26. (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc
27. a
2
(b+c-a)+ b
2
(a+c-b)+c
2
(a+b- c) ≤ 3abc. 28. a(b
2
+c
2
-a
2
)+b(a
2
+c
2
-b
2

)+c
2
(a
2
+b
2
-c
2
) ≤ 3abc
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
12
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
29. a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
+c(a -b)
2
+4abc≥ a
3
+b
3
+c
3
30.
c
ab
l
+
a

bc
l
+
b
ac
l
≤ 6R.
31.
1
a
r
+
1
b
r
+
1
c
r
≥ 3
2
3
4
( )
R
r a b c abc+ +
32.
2
a
m

+
2
b
m
+
2
c
m
≥
3
s
33. a
4
+ b
4
+ c
4
≥ 16S
2
. 34. tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C
+ cotg
2

A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
≥ 4
3
35. a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 4S
3
36. a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
≥ 16S

2
.
CHỨNG MINH ∆ABC ĐỀU KHI THÕA MÃN CÁC ĐIỀU KIỆN SAU
1. R = 2r 2. S =
2
3
R
2
(sin
3
A + sin
3
B + sin
3
C)3.
cos cos .cos
sin sin sin
a A b B c C
a B b C c A
+ +
+ +
=
2
9
p
R
3 3 3
2
4.
2 cos

b c a
a
b c a
a b C

+ −
=

+ −


=

5.
3 3 3
2
3
sin .sin
4
a b c
a
a b c
B C

− −
=


− −



=


6.
3 3 3
2
1
cos .cos
4
B C
a b c
a
a b c

=



− −

=

− −

7. A, B, C là nghiệm của phương trình: tanx - tan
2
x
=
2 3

3
8. 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c 9. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.
10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0 11. cot
2
A + cot
2
B + cot
2
C = 1
12.
cos cos .cosa A b B c C
a b c
+ +
+ +
=
1
2
13.
sin sin 2sin
cos cos 2cos
A B C
A B C
+ ≥


+ ≥

14.
cos cos cos
sin sin sin

A B C
A B C
+ +
+ +
= 3.cotA.cotB.cotC, với ∆ABC nhọn
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
13
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
15. 3tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C = tan
2
A. tan
2
B. tan
2
C 16.
2
1
sin A
+
2
1
sin B
+
2

1
sin C
=
1
2sin sin sin
2 2 2
A B C
17. cot
2
A
+ cot
2
B
+ cot
2
C
= tanA + tanB + tanC.
18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cot
2
A
+ cot
2
B
cot
2
C
= 9 Chứng minh ∆ ABC là
tam giác đều.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn:
.cos .cos .cos 1

2
a A b B c C
a b c
+ +
=
+ +
(A, B, C là các góc của tam
giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều.
20. Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là: p + R = (2 + 3
3
).r
21. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA.sinB.sinC +
3
(sinA + cosB + cosC) =
17
4
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh.
22. Các góc của tam giác ABC thỏa mãn: cotA + cotB + cotC = tan
2
A
+ tan
2
B
+ tan
2
C

Chứng minh tam giác ABC đều.
23. CMR,tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện: sinA+ inB+sinC =sin2A+sin2B+sin2C
thì tam giác ABC là tam giác đều.

25. Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn:
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
14
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

1 1 1 1 1 1
cos cos cos
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
+ + = + +
. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
26. CMR, nếu ∆ ABC thỏa mãn điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều.
27. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn:
2 2 2
1 1 1 1
sin 2 sin 2 sin 2 2.cos .cos .cosA B C A B C
+ + =
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
28. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thỏa mãn hệ thức:
cos2A +
3
(cos2B + cos2C) +
5
2
= 0
29. Cho tam giác ABC thỏa : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB. CMR, ∆ ABC vuông.
30. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ
dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác

ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:
sin sin sin
3
a b c
A B C
m m m
+ + =
31. CMR, không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó đều là nghiệm của phương trình:
2
1
(4cos 1)(7sin sin 2 6) 0
2
x x x− − − =

Dùng cho HS khá giỏi 10NC
15
THPT Nguy ễ n Du Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
Dùng cho HS khá giỏi 10NC
16