Phat trien bai toan moi tu bai toan ban dau

Báo cáo chuyên đề tháng 10 năm học 2010 - 2011
Ngời báo cáo: Nguyễn Thị Tuyết Thanh
Tổ : Khoa học tự nhiên
Tên chuyên đề: Phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu
Nội dung
I.Đặt vấn đề
Chúng ta đã biết hệ thống câu hỏi và bài tập trong sách giáo khoa đã đ-
ợc biên soạn và chọn lọc, sắp xếp một cách công phu và có dụng ý rất s phạm,
phù hợp với trình độ kién thức và năng lực của học sinh, phản ảnh phần nào
thực tiễn đời sống xã hội và học tập nó gần gũi, phù hợp tâm lý lứa tuổi học
sinh. Tuy nhiên, SGk và SBT là tài liệu dành cho tất cả học sinh thành thị cũng
nh nông thôn, miền núi và miền xuôi, vùng kinh té phát triển cũng nh vùng
gặp khó khăn với các đặc tr ng khác nhau. Vì vậy để có những bài tập phù
hợp với yêu cầu của từng tiết dạy, phù hợp với từng đối tợng học sinh của
mình, phù hợp với hoàn cảnh thực tế địa phơng mình, ngoài việc khai triệt để
các bài tập trong SGK,SBT. Giáo viên phải tự mình biên soạn thêm những câu
hỏi và bài tập mới.
Bài toán mới có thể là bài toán hoàn toàn mới cũng có thể là sự mở
rộng, đào sâu những bài toán đã biết. Thực chất khó có thể tạo ra một bài toán
không có quan hệ gì về nội dung hoặc về phơng pháp với những bài toán đã
có.
Vì vậy, để tạo ra một bài toán mới từ một bài toán ban đầu thì phải tuân
theo các con đờng sau:
1.Lập bài toán tơng tự;
2.Lập bài toán đảo;
3.Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hoá;
4.Bớt một số yếu tố rồi khái quát hoá;
5.Thay đổi một số yếu tố.
II.Nội dung
Chúng ta bắt đàu từ bài Toán sau:
Cho a,b

z
, b> 0. So sánh hai số hữu tỉ
a
b
và
2001
2001
a
b
+
+
(Bài 9, trang 4 SBT Toán 7, tập một NXB giáo dục 2003)
Bài toán này chúng ta đã có lời giải sau:
Xét tích a(b +2001) = ab + 2001a
b(a + 2001) = ab + 2001b
Vì b> 0 nên b + 2001 > 0
- Nếu a > b thì ab + 2001a > ab + 2001b
a( b + 2001) > b( a+ 2001)



a
b
>
2001
2001
a
b
+
+

- Tơng tự, nếu a<b thì


a
b
<
2001
2001
a
b
+
+
- Nếu a = b thì rõ ràng:
a
b
=
2001
2001
a
b
+
+
Điều đó cho ta bài toán mới tơng tự nh bài toán trên.
Bài 1: Cho Cho a,b
z
, b> 0. So sánh hai số hữu tỉ
a
b
và
2010

2010
a
b
+
+
Đến đây chúng ta đi đến bài toán tổng quát sau:
Bài 2: Cho a,b
z
, b> 0 và n

N*. So sánh hai số hữu tỉ
a
b
và
a n
b n
+
+
Giải:
Xét tích:
a(b + n) = ab + an
b(a + n) = ab + bn
Vì b > 0 và n

N* nên b + n >
- Nếu a > b thì ab + an > ab + bn
a(b +n) > b( a + n)

a
b
>
a n
b n
+
+
- Tơng tự , nếu a< b thì


a
b
<
a n
b n
+
+
- Nếu a = b thì rõ ràng:
a
b
=
a n
b n
+
+
Từ lời giải của bài toán này chúng ta lại có bài toán mới nh sau:
Bài 3: Cho a,b
z
, b> 0 và n

N*. CMR:
a) Nếu
a
b
> 1 thì
a
b
>
a n
b n
+
+

b) Nếu
a
b
< 1 thì
a
b
<
a n
b n
+
+

Giải:
a) Ta có
a
b
> 1

a> b


an > bn vì n

N*


ab + an > ab + bn


a( b + n) > b(a + n)



a
b
>
a n
b n
+
+
b) Chứng minh tơng tự nh câu a.
Điều này cho ta đề xuất các bài toán lạ sau đây:
Bài 4: So sánh hai phân số:
a)
1941
1931
và

2005
1995
b)
1930
1945
và
1990
2005
Giải:
a) Ta có:
1941
1931
>1 nên theo bài 3a). Suy ra:
1941
1931
>
1941 64
1931 64
+
+
=
2005
1995
b) Ta có:
1930
1945
<1 nên theo câu 3b). Suy ra
1930
1945
<

1930 60
1945 60
+
+
=
1990
2005
Bài 5: So sánh hai số hữu tỉ sau:
a) A =
1976
1975
1975 1
1975 1
+
+
và B =
1975
1974
1975 1
1975 1
+
+
b) C =
2004
2005
2005 1
2005 1
+
+
và D =

2003
2004
2005 1
2005 1
+
+
Giải:
a) Rõ ràng A>1 vì theo câu a, bài 3.
Ta có: A =
1976
1975
1975 1
1975 1
+
+
>
1976
1975
(1975 1) 1974
(1975 1) 1974
+ +
+ +
=
1976
1975
1975 1975
1975 1975
+
+
= =

1975
1974
1975(1975 1)
1975(1975 1)
+
+
=
1975
1974
1975 1
1975 1
+
+
= B
Vậy: A > B
b) Rõ ràng C<1 vì theo câu b, bài 3.
Ta có:
C=
2004
2005
2005 1
2005 1
+
+
<
2004
2005
(2005 1) 2004
(2005 1) 2004
+ +

+ +
=
2004
2005
2005 2005
2005 2005
+
+
= =
2003
2004
2005(2005 1)
2005(2005 1)
+
+
=
2003
2004
2005 1
2005 1
+
+
= D
Vậy: C < D.
Từ cách giải của bài toán này ta có bài toán tổng quát sau:
Bài 6: Với n, m

N*. So sánh hai số hữu tỉ
a) A =
1

1
1
n
n
n
n
+
+
+
và B =
1
1
1
n
n
n
n

+
+
b) C =
1
1
1
m
m
m
m
+
+

+
và D =
1
1
1
m
m
m
m

+
+
Giải:
a) - Nếu n = 1 thì a = b
- Nếu n > 1 thì ta thấy a>1. Vì n
n+1
+ 1 > n
n
+ 1
Theo bài 3 câu a. Ta có:
A =
1
1
1
n
n
n
n
+
+

+
>
1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
n
n
n n
n n
+
+ +
+ +
=
1n
n
n n
n n
+
+
+
= =
1
( 1)
( 1)
n
n
n n
n n

+

+
=
1
1
1
n
n
n
n

+
+
= B
Vậy: A > B.
b) - Nếu m = 1 thì C = D
- Nếu m > 1 thì ta thấy C<1. Vì m
m
+ 1 < m
m + 1
+ 1
Theo bài 3 câu b, ta có:
C =
1
1
1
m
m
m
m
+

+
+
<
1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
m
m
m m
m m
+
+ +
+ +
=
1
m
m
m m
m m
+
+
+
= =
1
( 1)
( 1)
m
m
m m
m m

+
+
=
1
1
1
m
m
m
m

+
+
= D.
Vậy: C < D.
Từ cách giải của bài 6 giúp ta đến với bài toán tổng quát hơn, khái quát hơn.
Bài 7: Cho a, b, m, n, x, y

N*thỏa mãn a

x, b

y. So sánh hai số hữu tỉ:
a) A =
1n
n
x a
x a
+

+
+
và B =
1
n
n
x a
x a

+
+
b) C =
1
m
m
y b
y b
+
+
+
và D =
1m
m
y b
y b

+
+
III.Kết thúc vấn đề
Trên đây là chuyên đề Phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu .

Rất mong đợc sự góp ý của các đồng nghiệp để chuyên đề ngày càng hoàn
thiện hơn.
Xin cảm ơn!