Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian ( 12NC) Tiết 2

TRƯỜNG THPT V NH H NGĨ Ư
TẬP THỂ LỚP 12 A1
CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ
N DỰ GI TH M L PĐẾ Ờ Ă Ớ

Trong không gian tọa độ Oxyz cho :
OA 2i 3j k ; OB j 2k= + − = −
uuur r r r uuur r r
Kiểm Tra Bài Cũ
a. Tìm tọa độ của vectơ và tọa độ
của điểm A và B.
OA,OB
uuur uuur
b.Tìm :
OA OB; OA ;OA.OB+
uuur uuur uuur uuur uuur

Giải
( ) ( )
( ) ( )
OA 2 ; 3 ; 1 ,OB 0 ;1; 2
A 2 ; 3 ; 1 ,B 0 ;1; 2
= − = −
− −
uuur uuur
a.
( )
OA OB 2 ; 4 ; 3
OA 14 ; OA.OB 5
+ = −

= =
uuur uuur
uuur uuur uuur
b.

Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai
điểm .Ta có :
( ) ( )
A A A B B B
A x ;y ;z ;B x ;y ;z
( )
( ) ( ) ( )
B A B A B A
2 2 2
B A B A B A
AB x x ;y y ;z z
AB x x y y z z
= − − −
= − + − + −
uuur
uuur
O
x
z
y
A
B
§1. HEÄ TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
4.Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm mút
HĐ1:Trong không gian tọa độ Oxyz cho:

( ) ( )
A A A B B B
A x ;y ;z ;B x ;y ;z
Tìm tọa độ của vectơ và
OA ; OB ; AB
uuur uuur uuur
AB
uur
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
A A A B B B
B A B A B A
2 2 2
B A B A B A
OA x ;y ;z ; OB x ;y ;z
AB OB OA x x ;y y ;z z
AB x x y y z z
= =
= − = − − −
= − + − + −
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur

Ví dụ 1:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai
điểm .Tìm:
( ) ( )
A 1;2;3 ;B 2; 4; 3− −

AB và AB
uuur uuur
Giải
( )
AB 1; 6; 6 và AB 73= − − =
uuur uuur

Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm
không đồng phẳng
( ) ( )
A A A B B B
A x ; y ; z ,B x ; y ;z
( )
( )
C C C D D D
C x ;y ;z ,D x ;y ;z
a.Tìm tọa độ của trung điểm đoạn thẳng AB
b.Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác ABC
c.Tìm tọa độ của trọng tâm tứ diện ABCD
Hoạt động 2:

a. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB
Ta có:
( )
1
OI OA OB
2
= +
uur uuur uuur
A B A B A B

x x y y z z
I ; ;
2 2 2
+ + +
 
⇒
 ÷
 
b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có:
( )
1
OG OA OB OC
3
= + +
uuur uuur uuur uuur
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G ; ;
3 3 3
+ + + + + +
 
⇒
 ÷
 

c. Gọi G là tọng tâm của tứ diện ABCD
Ta có:
( )
1

OG OA OB OC OD
4
= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
G ; ;
4 4 4
+ + + + + + + + +
 
⇒
 ÷
 

10 7 7
b. G ; ;
3 3 3
 
−
 ÷
 
11 9 7
c. H ; ;
4 4 4
 
−
 ÷
 
3 5
a. I ; ; 2

2 2
 
−
 ÷
 
Ví dụ 2:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn
điểm .

( ) ( ) ( ) ( )
A 5;3; 1 ,B 2;3; 4 ,C 1;2;0 ,D 3;1; 2− − −
Giải
a.Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng BC
b.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABD
c.Tìm tọa độ trọng tâm H của tứ diện ABCD

§1. HEÄ TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
5.Tích có hướng của hai vectơ
Định Nghĩa: Tích có hướng (hay tích vectơ)
của hai vectơ và là một
vectơ ,kí hiệu là ( hoặc ),được
xác định bằng tọa độ như sau:
( )
u a;b;c
r
( )
v a';b';c'
r
u,v
 

 
r r
u v∧
r r
( )
b c c a a b
u,v ; ;
b' c' c' a' a' b'
bc' b'c;ca' c'a;ab' a'b
 
 
=
 ÷
 
 
= − − −
r r

Giải
( )
2 3 3 1 1 2
u,v ; ; 6;9; 8
4 3 3 2 2 4
 
 
= = −
 ÷
 
− − − −
 

r r
Ví dụ 3:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai
vectơ .Tìm:
( ) ( )
u 1;2;3 ;v 2; 4; 3= = − −
r r
u,v
 
 
r r
5.Tích có hướng của hai vectơ
( )
b c c a a b
u,v ; ; bc' b'c;ca ' c'a;ab' a'b
b' c' c' a' a' b'
 
 
= = − − −
 ÷
 
 
r r

5.Tích có hướng của hai vectơ
( )
b c c a a b
u,v ; ; bc' b'c;ca ' c'a;ab' a'b
b' c' c' a' a' b'
 

 
= = − − −
 ÷
 
 
r r
Chú ý:
i, j k ; j,k i ; k,i j
     
= = =
     
r r r r r r r r r
Tính chất :
a. u,v u ; u,v v
   
⊥ ⊥
   
r r r r r r
( )
b. u,v u . v .sin u,v
 
=
 
r r r r r r
c. u,v 0 u v và
 
= ⇔
 
r r r r r
cùng phương

B
A
C
D
Hoạt động 3: ABCD là một hình bình hành.
Hãy nhận xét
ABCD
S v AB;ADà
 
 
uuur uuur
( )
ABCD ABD
S 2S
AB . AD sin AB,AD
AB;AD
∆
=
=
 
=
 
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur

ABCD.A'B'C'D' ABCD
V S .AH
AB,AD . AA' . cos
AB;AD .AA'

=
 
= α
 
 
=
 
uuur uuur uuuur
uuur uuur uuuur
AB;ADv AA'à
uuur uuur uuuur
Hoạt động 4: ABCD.A’B’C’D’ là một hình
hộp có chiều cao AH ,diện tích đáy ABCD
và là góc hợp bởi hai vectơ
Hãy tính thể tích của hình hộp đó theo

α
AB;AD v AA'à
 
 
uuur uuur uuuur

5.Tích có hướng của hai vectơ
Ứng dụng của tích có hướng
a. Nếu ABCD là một hình bình hành thì
ABCD
S AB;AD
 
=
 

uuur uuur
b. Nếu ABCD.A’B’C’D’ là một hình
hộp thì
ABCD.A'B'C'D'
V AB;AD .AA'
 
=
 
uuur uuur uuuur
Nhận xét: Nếu ABCD là một tứ diện
thì
A.BCD
1
V BA;BC .BD
6
 
=
 
uuur uuur uuur

Ví dụ 4:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn
điểm
không đồng phẳng.

( ) ( ) ( ) ( )
A 0;1;1 ,B 1;0;2 ,C 1;1;0 ,D 2;1; 2= − − = −
a. T nh : BA,BCí
 
 

uuur uuur
ABC
b.T nh :Sí
A.BCD
c.T nh : Ví

Giải
( )
a. BA,BC 1;2;1
 
= −
 
uuur uuur
ABC
1 6
b. S BA;BC
2 2
 
= =
 
uuur uuur
A.BCD
1 5
c. V BA,BC .BD
6 6
 
= =
 
uuur uuur uuur

§1. HEÄ TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
6.Phương trình mặt cầu
x
z
y
M
O
Mặt cầu tâm ,bán kính R có phương
trình
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
o o o
x x y y z z R− + − + − =
( )
o o o
I x ;y ;z

Ví dụ 5:Tìm tâm và bán kính của các mặt
cầu sau:
( ) ( ) ( )
2 2 2
b. x 1 y 2 z 3 4+ + − + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
a. x 3 y 1 z 2 9− + − + − =
( )
b. I 1;2; 3 , R 2− − =
( )
a. I 3;1;2 , R 3=

Giải

Ví dụ6: Viết phương trình mặt cầu trong các
trường hợp sau:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
b. S : x 2 y 3 z 4 12− + − + − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
a. S : x 1 y 2 z 3 4− + − + − =
Giải
( )
I 1;2;3 v R 2à =
a.Có
( )
A 1;2;3 ,B(3;4;5)
b.Có đường kính AB với

Phương
trình , là
phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
.Khi đó tâm mặt cầu là
và bán kính mặ cầu là
2 2 2
a b c d+ + >
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0+ + + + + + =
2 2 2
R a b c d= + + −
( )

I a; b; c− − −
Nhận xét:

Ví dụ7: Trong các phương trình sau, phương
trình nào là phương trình của mặt cầu ? Nếu
là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán
kính của mặt cầu đó.
( )
a. I 1; 2; 3 ; R 4− − − =
Giải
2 2 2
a. x y z 2x 4y 6z 2 0+ + + + + − =
2 2 2
b. x y z 4x 6y 2z 15 0+ + − − + + =
b. Không phải là phương trình của mặt cầu