tuyển chọn một số bài toán hình họclowsp 7 khá hay

• Định lý Py-ta-go
Bài 1: Tam giác ABC có góc A tù,
C
ˆ
= 30
0
; AB = 29, AC = 40. Vẽ đường cao AH,
tính BH.
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24. Tính BC.
Bài 3: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh
huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia
đối của tia HA lấy một điểm E sao cho HE = AD. Đường thẳng vuông góc với AH tại
D cắt AC tại F. Chứng minh rằng EB ⊥ EF.
Bài 5: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng 3cm,4cm,5cm.Chứng minh
rằng tam giác ABC vuông.
Bài 6: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng 6cm,8cm,10cm.Chứng minh
rằng tam giác ABC vuông.
Bài 7:Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh
huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Bài 8: Tam giác ABC có góc A tù,
C
ˆ
= 30
0
; AB = 29, AC = 40. Vẽ đường cao AH,
tính BH.
Bài 9: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác.
a/ Chứng minh rằng ∆ ABC cân
b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC.
tia đối của tia MB lấy K sao cho MK = MB. Trên tia đối của tia NC lấy I sao cho

NI = NC. a. Tính
∠
ACK
b. Chứng minh IB//AC, AK//BC
c. Chứng minh A là trung điểm của IK
Bài 10. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ F
sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh :
a. DB CF ; b. BDC FCD
1
c. DE // BC vµ DE BC
2
= ∆ = ∆
=
Bài 11. Cho tam giác ABC. Vẽ các đường tròn (C; AB) và (A; BC). Chúng cắt nhau
tại D ( B và D ở hai bên đường thẳng AC). Nối B với D. Chứng minh :
a.
ABC CDA∆ = ∆
b.
ABD CDB∆ =
c. AB//CD d. AD//BC
Bài 12. Cho AC cắt BD tại trung I điểm mỗi đoạn, chứng minh :
a.
IAB ICD∆ = ∆
b.
CAD ACB∆ = ∆
c.
ABD CDB∆ = ∆
Bài 13. Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy M, N. Trên tia Oy lấy P, Q sao cho OM = OP,
PQ = MN. Chứng minh :
a)

OPN OMQ∆ = ∆
b)
MPN PMQ∆ = ∆
c) Gọi I là giao điểm của MQ và PN.
1/Chứng minh
IMN IPQ∆ = ∆
2/Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy
3/OI là tia đường trung trực của MP,
4/MP//NQ
• Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông
1
Bài 1: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác.
a/ Chứng minh rằng ∆ ABC cân
b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC.
Bài 2: Một tam giác có ba đường cao bằng nhau.
a/ Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
b/ Biết mỗi đường cao có độ dài là
2
3a
, tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
II. Một cách vẽ hình phụ: “ Phương pháp tam giác đều”
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A,
C
ˆ
= 15
0
. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO
= 2AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 80
0

. Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao
cho góc OBC = 30
0
; góc OCB = 10
0
. Chứng minh rằng ∆ COA cân.
Bài 3: Cho ∆ ABC cân tại A, Â = 100
0
. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của
góc C sao cho góc CBO = 30
0
. Tính góc CAO.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 30
0
. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C
vẽ tia Bx ⊥ BA. Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = BA. Tính góc BCN
Bài 5: Cho ∆ABC cân tại A, Â = 100
0
. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC.
Tính góc CBD.
Bài 6: Cho ∆ABC cân tại A, Â = 108
0
. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của
góc C sao cho CBO = 12
0
. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt
phẳng bờ BO). Chứng minh rằng:
a/ Ba điểm C, A, M thẳng hàng
b/ Tam giác AOB cân
Bài 7: Cho ∆ABC cân tại A, Â = 80

0
. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc BAI =
50
0
; trên cạnh AC lấy điểm K sao cho góc ABK = 30
0
. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt
nhau tại H. Chứng minh rằng ∆ HIK cân.
Ôn tập chương II
Bài 1: Cho tam giác đều ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N
sao cho AM = CN. Gọi O là giao điểm của CM và BN. Chứng minh rằng:
a/ CM = BN
2
b/ Số đo của góc BOC không đổi khi M và N di động trên hai cạnh AB, AC
thỏa mãn điều kiện AM = CN.
Bài 2: Cho ∆ABC vuông cân ở A. Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi. Vẽ BD và CE
cùng vuông góc với d (D, E ∈ d). Chứng minh rằng tổng BD
2
+ CE
2
có giá trị không
đổi.
Bài 3: Tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy điểm E,
trên cạnh AC lấy điểm F sao cho góc EMF = 90
0
.Chứng minh rằng AE= CF.
Bài 4: Tam giác ABC có AB = 1 cm; Â = 75
0
,
0

60B
ˆ
=
. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
có chứa A vẽ tia Bx sao cho CBx = 15
0
. Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với
AB, cắt Bx tại D.
a/ Chứng minh rằng: DC ⊥ BC.
b/ Tính tổng BC
2
+ CD
2
.
Bài 5: Cho ∆ ABC cân tại A (AB > BC). Trên tia BC lấy điểm M sao cho
MA = MB. Vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB). Trên
tia Bx lấy điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh rằng:
a/ ABN = ACM
b/ ∆ AMN cân.
Bài 6: Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng
vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, cắt AB, AC lầm lượt
tại E và F. Chứng minh rằng:
a/ BE = CF
b/
2
ACAB
AE
+
=
;

2
ACAB
BE
−
=
c/
2
B
ˆ
BC
ˆ
A
EM
ˆ
B
−
=
Bài 7: Cho
∆
ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH
⊥
AC.
Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh :
1/AB // HK 2/
∆
AKI cân 3/
∠
BAK =
∠
AIK 4/

∆
AIC =
∆
AKC
Bài 8 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh:
a) ADE cân
b) ABD = ACE
Bài 9: Cho tam giác ABC có góc B = 90
0
, vẽ trung tuyến AM. Trên tia đối của tia
MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh:
a)
∆
ABM =
∆
ECM b) AC > CE. c) góc BAM > góc MAC
d) BE //AC e) EC
⊥
BC
Bài 10 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD.
Chứng minh:
3
a) BE = CD. b) BMD = CME c)AM là tia phân giác của
góc BAC.
Bài 11: Cho ∆ ABC có
0
60C
ˆ

B
ˆ
=+
, phân giác AD. Trên AD lấy điểm O. Trên tia đối
của tia AC lấy điểm M sao cho góc ABM = góc ABO. Trên tia đối của tia AB lấy
một điểm N sao cho góc ACN = góc ACO. Chứng minh rằng:
a/ AM = AN b/ ∆ MON là tam giác đều
Bài 12: Cho tam giác ABC có
∠
B = 80
0
; C =40
0
. Tia phân giác của góc A cắt bc ở
D.
a/ Tính góc BAC , góc ADC.
b/ Gọi E là mọt điểm trên cạnh Ac sao cho AE = AB.
Chứng minh :
∆
ABD =
∆
AED
c/ Tia phân giác của góc B cắt AC tại I . Chứng minh BI // DE
Bài 13: Cho tam giác ABC ( AB < AC) có AM là phân giác của góc A.(M thuộc
BC).Trên AC lấy D sao cho AD = AB.
a. Chứng minh: BM = MD
b. Gọi K là giao điểm của AB và DM .Chứng minh: ∆DAK = ∆BAC
c. Chứng minh : ∆AKC cân
d. So sánh : BM và CM.
*Bài 14: Cho ∆ ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của

AC cắt đường thẳng BC tạiM. Trên tia đói của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM
a/ Chứng minh rằng góc AMC = góc BAC
b/ Chứng minh rằng CM = CN
c/ Muốn cho CM ⊥ CN thì tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì?
HD:c/ Ta có CM = CN ,để CM ⊥ CN thì tam giác CMN vuông cân tại C.
Suy ra góc M = 45
0
.Tam giác ACM cân tại M nên đường cao xuất phát từ M
(MK)cũng là đường phân giác.
Nên góc CMK = 45
0
: 2 = 27,5
0
.mà tam giác CMK vuông tại K suy ra góc KCM =
90
0
-27,5
0
=62,5
0
.
Vậy tam giác cân ABC phải có góc ở đáy = 62,5
0
Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. các đường
đồng quy trong tam giác
• Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
Bài 1: Cho tam giác ABC, Â≥ 90
0
. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và
N không trùng với các đỉnh của tam giác. Chứng minh rằng BC > MN

Bài 2: Cho ∆ ABC, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại O.
a/ Trong ∆ BOC, cạnh nào lớn nhất?
b/ Giả sử OB < OC hãy so sánh AB với AC.
Bài 3: Cho ∆ABC, trung tuyến AM. Biết BMA > CAM hãy so sánh
B
ˆ
và
C
ˆ
.
4
Bài 4: Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho
BC
3
1
BM =
. Chứng
minh rằng góc BAM < 20
0
Bài 5: Tam giác ABC có AB < AC. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác đều
ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh MD với ME.
Bài 6: Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh BC sao cho MB <
MC. Lấy điểm O trên đoạn thẳng AM. Chứng minh rằng AÔB > AÔC.
• Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường xiên và hình
chiếu.
Bài 1: Cho O là một điểm nằm trong ∆ ABC. Biết AO = AC, chứng minh rằng ∆
ABC không thể cân tại A
Bài 2: Cho xOy = 45
0
. Trên tia Oy lấy hai điểm Á, B sao cho

2AB =
. Tính độ dài
hình chiếu của đoạn thẳng AB trên Ox
Bài 3: Cho ∆ ABC, các góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C. Gọi d là tổng
các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM.
a/ Chứng minh rằng d ≤ BC
b/ Xác định vị trí của M trên BC sao cho d có giá trị lớn nhất
Bài 4: Cho ∆ ABC vuông tại B, phân giác AD. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc
với BC cắt tia AD tại E. Chứng minh rằng chu vi ∆ ECD lớn hơn chu vi ∆ ABD
Bài 5: Cho ∆ABC cân tại A, trên hai cạnh AB và SC lấy hai điểm M và N sao cho
AM = AN. Chứng minh rằng:
a/ Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau
b/
2
MNBC
BN
+
>
• Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Bài 1: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O; AB = 6, CD = 4. Chứng minh
rằng trong 4 đoạn thẳng AC, CD, BD, DA tồn tại hai đoạn thẳng nhỏ hơn 5.
Bài 2: Chu vi một tam giác cân là 21cm. Biết một cạnh dài 4cm, cạnh đó là cạnh bên
hay cạnh đáy?
Bài 3: Chu vi một tam giác cân là 15cm, cạnh đáy bằng a. Biết độ dài mỗi cạnh là
một số tự nhiên (cm). Tìm các giá trị của a.
5
Bài 4: Tam giác ABC có AB > AC, phân giác AD. Lấy một điểm M thuộc AD (M
không trùng với A). Chứng minh rằng AB - AC > MB – MC
Bài 5: Cho ∆ABC vuông cân tại A, cạnh bên bằng 5 và hai điểm M, N bất kì. Chứng
minh rằng trên các cạnh của ABC tồn tại một điểm sao cho tổng các khoảng cách từ

đó đến M và N lớn hơn 7
• Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 1: Cho ∆ ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = BE. Trên cạnh AC
lấy điểm F và H sao cho AF = CH. Chứng minh rằng các tam giác BFH và CDE có
cùng một trọng tâm.
Bài 2: Tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE cà CF cắt nhau tại G. Gọi D
là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a/ Ba điểm A, G, D thẳng hàng
b/ BE < CF
c/ AD, BE, CF thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
Bài 3: Cho ∆ ABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:
a/
2
ACAB
AD
+
<
; b/
BC
2
3
CFBE
>+
c/
4
3
chu vi ∆ ABC < AD + BE + CF < chu vi ∆ ABC
Bài 4: Cho ∆ ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao
cho HD = HA. Trên tia đối của tia CBlấy điểm E sao cho CE = CB
a/ Chứng minh rằng C là trọng tâm của ∆ ADE

b/ Tia AC cắt DE tại M. Chứng minh rằng AE// HM.
Bài 5: Cho ∆ ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. Vẽ BH và CK vuông góc
đường thẳng AO. Cho biết các tam giác AOB, BOC, COA có diện tích bằng nhau,
chứng minh rằng:
a/ BH = CK
b/ O là trọng tâm của ∆ ABC
• Tính chất tia phân giác của một góc. Tính chất ba đường phân giác của
tam giác
Bài 1: Cho ∆ ABC, Â = 120
0
, phân giác AD, BE, CF. Tính chu vi ∆DEF biết DE =
21, DF = 20.
6
Bài 2: Cho góc xOy. Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy. Vẽ các tia phân
giác của các góc BAx và ABy cắt nhau tại M. Từ M vẽ một đường thẳng vuông góc
với OM, cắt Ox, Oy lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng ∆ ACD cân.
Bài 3: Cho ∆ABC,
0
120B
ˆ
=
, phân giác BD, CE. Đường thẳng chứa tia phân giác
ngoài tại đỉnh A của ∆ ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng:
a/ ADF = BDF
b/ Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài 4: Cho ∆ABC, các tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O. Từ A vẽ một
đường thẳng vuông góc với OA, cắt các tia BO và CO lần lượt tại M và N. Chứng
minh rằng BM ⊥ BN và CM ⊥ CN.
Bài 5: Cho ∆ABC,
0

45B
ˆ
=
, đường cao AH, phân giác BD. Cho biết góc BDA = 45
0
.
chứng minh rằng HD// AB
Bài 6: Cho ∆ ABC vuông góc tại A, AB =3, AC = 4. Phân giác góc B, góc C cắt
nhau tại O. Vẽ OE ⊥ AB; OF ⊥ AC.
a/ Chứng minh rằng AB + AC - BC = 2AE
b/ Tính khoảng cách từ O tới đỉnh các cạnh của ∆ ABC
c/ Tính OA, OB, OC
• Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng. Tính chất ba đường
trung trực của tam giác
Bài 1: Cho ∆ ABC cân tại A. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N
sao cho AM + AN = AB.
a/ Đường trung trực của AB cắt tia phân giác của góc A tại O. Chứng minh
rằng ∆ BOM = ∆ AON
b/ Chứng minh rằng khi M và N di động trên hai cạnh AB và AC nhưng vẫn có
AM + AN = AB tbì đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho góc xOy = a
0
, A là một điểm di động ở góc trong góc đó. Vẽ các điểm M
và N sao cho đường Ox là đường trung trực của AM, đường thẳng Oy là đường trung
trực của AN.
a/ Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
b/ Tính giá trị của a để O là trung điểm của MN
Bài 3: Cho góc vuông xOy và A là một điểm cố định ở trong góc đó. Một góc vuông
đỉnh A quay quanh A, có hai cạnh cắt Ox, Oy lần lượt tại B và C. Gọi M là trung
điểm của BC. Chứng minh rằng M luôn di động trên một đường thẳng cố định.

7
Bài 4: Cho ∆ ABC không vuông. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O,
cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng tia AO là tia phân giác
của góc MAN.
Bài 5: Cho ∆ ABC. Trên tia BA lấy một điểm M, trên tia CA lấy một điẻm N sao cho
BM + CN = BC. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm
cố định .
• Tính chất 3 đường cao của tam giác:
Bài 1: Cho ∆ ABC vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy một điểm H sao cho
BC
ˆ
A
3
1
HC
ˆ
A =
. Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = BH. Tính góc AKH.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE gặp nhau tại H. Vẽ điểm K
sao cho AB là trung trực của HK. Chứng minh rằng góc KAB = góc KCB.
Bài 3: Tam giác ABC có cạnh BC là cạnh lớn nhất. Trên cạnh Bc lấy các điểm D và
E sao cho BD = BA và CE = CA. Tia phân giác của góc B cắt AE tại M; tia phân giác
của góc C cắt AD tại N. Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC vuông góc với
MN.
• Ôn tập
Bài 1: Cho ∆ABC cân tại A, Â = 30
0
; BC = 2. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD
=
2

.
a/ Tính góc ABD
b/ So sánh ba cạnh của ∆ DBC
Bài 2: Cho ∆ ABC cân tại A, Â= 108
0
. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực,
I là giao điểm của các tia phân giác. Chứng minh rằng BC là đường trung trực OI.
Bài 3: Cho ∆ ABC có
0
60C
ˆ
B
ˆ
=+
, phân giác AD. Trên AD lấy điểm O. Trên tia đối
của tia AC lấy điểm M sao cho góc ABM = góc ABO. Trên tia đối của tia AB lấy
một điểm N sao cho góc CAN = góc ACO. Chứng minh rằng:
a/ AM = AN
b/ ∆ MON là tam giác đều
8
Bài 4: Cho ∆ ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của AC
cắt đường thẳng BC tạiM. Trên tia đói của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM
a/ Chứng minh rằng góc AMC = góc BAC
b/ Chứng minh rằng CM = CN
c/ Muốn cho CM ⊥ CN thì tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện
gì?
Bài 5 : Cho góc nhọn xOy, trên 2 cạnh Ox, Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho
OA = OB, tia phân giác của góc xOy cắt AB tại I.
a) Chứng minh OI
⊥

AB .
b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OI.
Chứng minh BC
⊥
Ox .
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông g
với AB tại E, kẻ MF vuông góc với AC tại F.
a. Chứng minh ∆CFM =∆ BEM.
b. Chứng minh AM là trung trực của EF.
c. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng
vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng
minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Bài 7: Cho tam giác ABC có
∠
A= 90
0
, AB =8cm , AC =6cm .
a. Tính BC .
b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE =2cm , trên tia đối của tia AB
lấy điểm D sao cho AD = AB . Chứng minh ∆BEC = ∆DEC .
c. Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC .
9