Ôn thi học phần lượng giác

I,Công thức lượng giác
xét đường tròn đơn vị ta có
sin
1
MC OS
OS
OM
α
= = =
cos
1
OC OC
OC
OM
α
= = =
Bảng giá trị lượng giác
α
o
o
o
30
o
45
o
60
o
90
o
120
o

135
o
150
o
180
x 0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π
sinx 0
2
1
2
2
2

3
1
2
3
2
2
2
1
0
cosx 1
2
3
2
2
2
1
0
–
2
1
–
2
2
–
2
3
–1
tanx 0
3
1

1
3
kxd
–
3
–1
3
3−
0
cotx kxd
3
1
3
3
0
3
3−
– 1
3−
kxd
1
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC
Công thức cơ bản:
CT 1:
( )
2 2
cos sin 1x x x R+ = ∀ ∈
CT 2: cos(a + b) = cosacosb – sinasinb
CT 3: cos(a – b) = cosacosb + sinasinb
CT 4: sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa

CT 5: sin(a - b) = sinacosb – sinbcosa
Công thức biến đổi:
CT 6:
2 2
cos 2 cos sinx x x= −

CT 7:
2
cos 2 2cos 1x x= −
CT 8:
2
cos 2 1 2sinx x= −
CT 9: sin2x = 2sinxcosx
CT 10:
3
cos3 4cos 3cosx x x= −
CT 11:
3
sin 3 3sin 4sinx x x= −
CT 12:
2
cos x
=
2
12cos +x
CT 13:
2
sin x
=
2

2cos1 x−
CT 14:
( ) ( )
cos cos 2cos cosa b a b a b+ + − =
CT 15:
( ) ( )
cos cos 2sin sina b a b a b+ − − = −
CT 16:
( ) ( )
sin sin 2sin cosa b a b a b+ + − =
CT 17:
( ) ( )
sin sin 2sin cosa b a b b a+ − − =

II Phương trình lượng giác:
1,Phương cơ bản:
Sinx = m.
-nếu
m
>1
⇒
phương trình vô nghiệm .
-nếu
m
<1
⇒
phương trình có nghiệm.
-sin
α
=m hoặc arcsinm =

α
⇒
sinx = sin
α
⇔
x=
2k
α π
+
hoặc x=
2k
π α π
− +
với
zk ∈
.
Cosx = m
-nếu
m
>1
⇒
phương trình vô nghiệm .
-nếu
m
<1
⇒
phương trình có nghiệm.
-cos
α
=m hoặc arccosm =

α
⇒
cosx = cos
α
⇔
x=
2k
α π
+
hoặc
⇔
x=
2k
α π
− +
với
zk ∈
.
Tanx = m
-tan
α
=m hoặc arctanm =
α
⇒
tanx = tan
α
⇔
x=
k
α π

+
với
k Z∈
Cotx = m
2
:công thức hạ bậc
-cot
α
=m hoặc arccotm =
α
⇒
cotx = cot
α
⇔
x=
∏+ k
α
với
zk ∈
.
Phương trình lượng giác dạng 1:
F(sinx) = 0 t=sinx đk:
t

≤
1
F(cosx) = 0 t=cosx đk:
t

≤

1
F(tanx) = 0 t=tanx
F(cotx) = 0 t=cotx
Khi đó phương trình có dạng F(t)= 0.
Phương trình lượng giác dạng 2: acosx +bsinx=c.(1)
(1)
⇔
22
ba
a
+
xcos
+
=
+
x
ba
b
sin
22
22
ba
c
+

Giả sử :
cos
α
=
22

ba
a
+
sin
α
=
22
ba
b
+
.
Khi đó (1)
⇔
cosxcos
α
+sinxsin
α
=
22
ba
c
+
⇔
cos(x-
α
)=
22
ba
c
+

.
Điều kiện có nghiệm :
22
ba
c
+
≤
1
⇔
c
≤
22
ba +
⇔
c
2
≤
a
2
+b
2
.
Nếu
2 2 2
c a b< +
.thì phương trình vô nghiệm .
Phương trình lượng giác dạng 3 .
F( cosx + sinx,sinxcosx).
Đặt t = cosx + sinx điều kiện
t

≤
2
Bình phương 2 vế ta được :
t
2
=(cosx + sinx)
2
=1+ 2sinxcosx
⇒
sinxcosx=
2
1
2
−t
.
Khi đó phương trình có dàng F(t)=0.
III Bài tập :
Câu 1. ĐH Tây Nguyên
Giải phương trình
sin3 cos2 1 2sin cos2x x x x+ = +
Câu 2.ĐH Công Đoàn
Giải phương trình
4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x+ = −
3
Câu 3.ĐH Nghoại Ngữ
Giải phương trình

3 3 3
1
cos3 cos sin3 sin cos 4
4
x x x x x− = +
Câu 4.ĐH Cảnh Sát ND
Giải phương trình
2 2
sin cos4 2sin 2 1 4sin
4 2
x
x x x
π
 
+ = − −
 ÷
 
Câu 5.ĐH Sư pham Hà Nội
Giải phương trình
2 2
7
sin cos4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x
π
 
− = − −
 ÷
 

Câu 6.ĐH Hằng Hải
Giải phương trình
( ) ( )
2
2sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + =
Câu 7.ĐH Sân Khấu ĐA
Giải phương trình
( ) ( )
2
4cos 2sin 1 2sin 2 1 3x x x+ − + =
Câu 8.ĐH SPTPHCM
Giải phương trình
( )
4 4
4 sin cos 3sin 4 2x x x+ + =
Câu 9.Học viên nghân hàng
Giải phương trình
3 2
cos cos 2sin 2 0x x x+ + − =
Câu 10. ĐH Nông Nghiệp 1
Giải phương trình
3 3
1 cos sin sin 2x x x+ − =
Câu 11. HV KTQS
Giải phương trình
( )
cos7 sin5 3 cos5 sin7x x x x− = −
Câu 12. ĐH BCVT
Giải phương trình
3 3

4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3x x x x x+ + =
Câu 13. ĐH KD 2008
Giải phương trình
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
Câu 14. ĐH KA 2008
Giải phương trình
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin2x x x x x
+ + + = +
Câu 15. ĐH KD 2009
Giải phương trình
3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x− − =
Câu 16. ĐH KB 2009
Giải phương trình
3
sin cos sin 2 3cos3 2cos4 2sinx x x x x x+ + = +
Câu 17. ĐH KA 2009
Giải phương trình
( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −

Câu 18. ĐH KD 20010
Giải phương trình
sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x− + − − =
Câu 19. ĐH KB 2010
4
Giải phương trình
( )
sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x+ + − =

Câu 20. ĐH KA 2010
Giải phương trình
( )
1 sin cos2 sin
1
4
cos .
1 tan
2
x x x
x
x
π
 
+ + +
 ÷
 
=
+
Câu 21. ĐH Dược Hà Nội 1999
Cho phương trình

( )
2 2
sin 4 cos 6 sin 10,5 10x x x
π
− = +
Tìm các nghiệm thuộc khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
Câu 22. ĐH GTVT 1999
Giải phương trình
4 4
7
sin cos cot cot
8 3 6
x x x x
π π
   
+ = + −
 ÷  ÷
   
Câu 23. ĐH QGHN KA 1999
Giải phương trình
3
8cos cos3
3
x x

π
 
+ =
 ÷
 
Câu 24. ĐH QGTPHCM KA 1999
Giải phương trình
( )
3
2
cos 2 2 sin cos 3sin 2 3 0x x x x+ + − − =
Câu 25. ĐH Luật 1999
Giải phương trình
( ) ( )
4 sin3 cos2 5 sin 1x x x− = −
Câu 26. giải phương trình
)cos(sincossin xx2xx
5533
+=+
Câu 27. Giải phương trình
1 1
2 2sin x
4 sinx cosx
π
 
+ = +
 
 
Câu 28. Giải phương trình
1 1

2 2 sin x
4 sinx cosx
π
 
+ = +
 
 
Câu 29. Giải phương trình
)cos(sincossin xx2xx
8866
+=+
Câu 30. giải phương trình :
2xxxx
=++−
cossin cossin
Câu 31. giải phương trình :
x2
8
13
xx
266
cossincos =−
Câu 32. giải phương trình :
1 3tan 2sin 2x x
+ =
Câu 33. giải phương trình :
3sin 2cos 2 3tanx x x
+ = +
Câu 34. giải phương trình :
3

sin x 2 sinx
4
π
 
− =
 
 
(*)
Câu 35. giải phương trình
2x43xx4
44
=++
sin)cos(sin
Câu 36. giải phương trình :
8 8 6 6
2(sin x cos x) sin x cos x
+ = +
Câu 37. giải phương trình
8 8 10 10
5
sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x
4
+ = + +
5
Câu 38. giải phương trình
0
4
3
x2x2
22

=+−
cossin
Câu 39. giải phương trình
4 2
tan 4 tan 3 0x x− + =
Câu 40. giải phương trình
x22x2
24
coscos
−=
Câu 41. giải phương trình
03x4x2
42
=+− sincos
Câu 42. giải phương trình
2 2
cos x cos 2x 1
= −
Câu 43. giải phương trình
x231x2
4
coscos
=+
Câu 44. giải phương trình
2 2
2sin tan 2 (1)x x
+ =
.
Câu 45. giải phương trình
07x213x8

4
=−+
cossin
Câu 46. giải phương trình
0x5x33
44
=−−
cossin
Câu 47. giải phương trình
2 2
tan cot 2x x+ =
(1)
Câu 48. giải phương trình
4
2
1
4 tan 2 (1)
cos
x
x
= +

Câu 49. giải phương trình
8
1
xx
88
=+
cossin
Câu 50. giải phương trình

03xx5x212
=+−−−
)cos(sin)sin(
Câu 51. giải phương trình :
07xx12x215
=++−+
)cos(sin)sin(
Câu 52. giải phương trình:

2
2
1 1
cos x 2 cosx 2 0
cosx
cos x
   
+ − + + =
   
   
Câu 53. giải phương trình:
2
2
1 1
cos cos
cos cos
x x
x x
+ = +
Câu 54. giải phương trình:
2

2
1 1
cos x 2 cosx 1
cosx
cos x
 
+ = − +
 
 
Câu 55. giải phương trình:
2
2
1 1
2 cos x 7 cosx 2 0
cosx
cos x
   
+ + − + =
   
   
Câu 56. giải phương trình:
2
2
1 1
sin x sinx 0
sinx
sin x
   
+ − + =
   

   
Câu 57. giải phương trình:
2
2
1 1
4 sin x 4 sinx 7 0
sinx
sin x
   
+ + + − =
   
   

Câu 58. giải phương trình:
2 2
tan cot 2(tan cot ) 6 x x x x
+ + + =
Câu 59. giải phương trình:
2 2
tan cot 5(tan cot ) 6 0 x x x x
+ + + + =
Câu 60. giải phương trình:
2
2
3
3cot 4(tan cot ) 1 0 (1)
cos
x x x
x
+ + + − =

Câu 61. giải phương trình:
2
2
2
2 tan 5(tan cot ) 4 0 (1)
sin
x x x
x
+ + + + =
Câu 62. giải phương trình:
3
(sinx cosx) 2(1 sin2x) sinx cosx 2 0
+ − + + + − =
6
Câu 63. giải phương trình:
+ = +
2(sinx cosx) tanx cot x
Câu 64. giải phương trình:
3 3
sin x cos x sin2x sinx cosx
+ = + +
Câu 65. giải phương trình:
1 1 10
cosx sinx
cosx sinx 3
+ + + =
Câu 66. giải phương trình:
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
− = +

Câu 67. giải phương trình:
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
− = +
Câu 68. giải phương trình:
sinx cosx 2(2 sin3x)
+ = −
Câu 69. giải phương trình:
13 14
sin x sin x 1
+ =
Câu 70. giải phương trình:
)sin(cossin x322xx
−=+
Câu 71. giải phương trình:
x35x2x4
2
sin)cos(cos
+=−
Câu 72. giải phương trình:
x2xx25
2
cossinsin +=+
Câu 73. giải phương trình:
4xx3x2x23 =++− cossincossin
Câu 74. giải phương trình:
1xx2
=
coscos
Câu 75. giải phương trình:

1xx2
2
+=
cos
Câu 76. giải phương trình:
2xx3 −=+ coscos
Câu 77. giải phương trình:
+ + + =
2 2
cos x 2cosx tan x 1 0
Câu 78. giải phương trình:
− + − + =
2 2
4sin x 2 3 tanx 3tan x 4sinx 2 0
Câu 79. giải phương trình:
2
x 2xsinx 2cosx 2 0
− − + =
Câu 80. giải phương trình:
2
x
cos2x 1
2
= +
Câu 81. Đại Học An Giang khối D năm 2000 giải phương trình:
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + =

Câu 82. Học viện quan hệ Quốc Tế khối D năm 1999
giải phương trình:
cosx cos2x cos3x cos4x 0
+ + + =
.
Câu 83. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
giải phương trình:
3 3 5 5
sin x cos x 2(sin x cos x)+ = +
Câu 84. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
giải phương trình:
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x
= +
Câu 85. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999
giải phương trình:
6 6 8 8
sin x cos x 2(sin x cos x)+ = +
Câu 86. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
giải phương trình:
sinx cosx sinx cosx 2− + + =
Câu 87. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000
giải phương trình:
6 6
13
cos x sin x
8
− =
7
Câu 88. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000

giải phương trình:
+ =
1 3tanx 2sin2x (*)
Câu 89. Học Viện Quân Y khối B năm 2001
giải phương trình:
+ = +
3sinx 2cosx 2 3tanx
Câu 90. Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000
giải phương trình:
3
4cos x 3 2 sin2x 8cosx
+ =
Câu 91. đại học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2001
giải phương trình:
+ =
tanx 2cot2x sin2x
Câu 92. Đại học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001
giải phương trình:
 
π
+ =
 ÷
 
3
sin x 2 sinx (*)
4
Câu 93. đại học Thái Nguyên khối Dnăm 1997
giải phương trình:
+ + =
4 4

4(sin x cos x) 3sin4x 2
Câu 94.
Đại học Thái Nguyên khối D năm 2000
giải phương trình:
sin2x 4(cosx sinx) m
+ − =
a) Giải phöông trình treân khi
m 4=
b) Với giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm
Câu 95. Đại Học y khoa Hà Nội khối B năm 1997
giải phương trình:
4 6
cos x sin x cos2x
+ =
Câu 96. Đại Học y khoa Hà Nội khối B năm 1997
giải phương trình:
− =
x 3x x 3x 1
cosx.cos .cos sinx.sin .sin
2 2 2 2 2
Câu 97. Đại Học y khoa Hà Nội khối B năm 1998
giải phương trình:
2 2 2
sin 3x sin 2x sin x 0
− − =
Câu 98. Đại Học y khoa Hà Nội khối B năm 1998
giải phương trình:
− = +
2(cot2x cot3x) tan2x cot3x
Câu 99. Đại Học Y dược TPHCM khối B năm 1997

giải phương trình:
3
sinxsin2x sin3x 6cos x
+ =
Câu 100. Đại Học Y dược TPHCM khối B năm 1998
Xác định a để hai phương trình sau tương đương
2cosxcos2x 1 cos2x cos3x
= + +
2
4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)− = + − +
Câu 101. đại học y dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 2001 khối B
Xác định a để phương trình sau có nghiêm :
+ =
6 6
sin x cos x a sin2x
Câu 102. Đại Học dân lập Văn Lang năm 1997 khối B và D
giải phương trình:
3cosx cos2x cos3x 1 2sinxsin2x
+ − + =
Câu 103. đại Học thủy sản năm 1997 khối A
8
giải phương trình:
− =
4 4
x x
cos sin sin2x
2 2
Câu 104. Trung Học Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997
giải phương trình :
− + = −

2
(2sinx 1)(2sin2x 1) 3 4cos x
Câu 105. Đại học Quốc gia TP HCM năm 1997 khối A.
Cho phương trình :
5 5 2
4cos xsinx sin xcosx sin 4x m (*)
− = +
. Biết
x = π
là một nghiệm
của (*) . Hãy giải phương thình (*) trong trường hợp đó
Câu 106.
Câu 107.
Câu 108.
Đề số 1. Câu III. Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
;2o
π
của phương trình
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+

 
Đề số 2. Câu II.1. giải phương trình :
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
Đề số 3. Câu III. Tìm x thuộc khoảng
[ ]
0;14
nghiệm đúng phương trình:
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − =
Đề số 4. Câu II.2 xác định m để phương trình
( )
4 4
2 sin os cos4 2sin 2 0x c x x x m+ + + + =
có ít nhất
một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
Đề số 5. giải phương trình :
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x

+
= −
Đề số 6. Câu II.2: Giải phương trình:
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =

Đề số 7.
Câu II.2: giải phương trình:
2
tan cos cos sin (1 tan tan )
2
x
x x x x x+ − = +
Đề số 8. Câu II.2 cho phương trình
2sinx cos 1
sinx 2cos 3
x
a
x
+ +
=

− +
(2) (a là tham số )
a) giải phương trình (2) khi
1
3
a =
.
b) Tìm a để phương trình (2) có nghiệm.
Đề số 9.
Câu II.2 giải phương trình:
2
1
sin
8cos
x
x
=

Đề số 10. Giải phương trình
2
cos2 1
cotx 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
− = + −
+
Đề số 11.
9

Câu giải phương trình:
3 tan (tan 2sin ) 6cos 0x x x x− + + =
Đề số 12.
Câu giải phương trình:
( )
2
os2 cos 2tan 1 2c x x x+ − =
Đề số 13.
Câu giải phương trình:
2
cot tan 4sin2
sin 2
x x x
x
− + =
Đề số 14.
Câu giải phương trình:
6 2
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x− + + =
Đề số 15.
Câu giải phương trình:
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x

π
 
− − −
 ÷
 
=
−
Đề số 16.
Câu giải phương trình:
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
Đề số 17.
Câu II.1 giải phương trình:
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x

−
= +
+
Đề số 18.
Câu II.1 giải phương trình:
2cos4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
Đề số 19.
Đề số 20.
Câu II.1 Giải phương trình:
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x
− = −
Đề số 21.
Câu II.1
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x
− + = −
Đề số 22.
Câu II.2 giải phương trình :
2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x
− =
Đề số 23.

Câu II.2 giải phương trình :
1 sin cos sin2 cos2 0x x x x
+ + + + =
Đề số 24.
Câu II.2 giải phương trình :
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
Đề số 25.
Câu II.2 giải phương trình :
3
2 2 cos 3cos sin 0
4
x x x
π
 
− − − =
 ÷
 
Đề số 26.
10
Câu II.2 Tìm nghiệm trong khoảng (0:
π

)của phương trình :
2 2
3
4sin 3cos2 1 2cos
2 4
x
x x
π
 
− = + −
 ÷
 
Đề số 27.
Câu II.1 giải phương trình :
sin 4 sin 7 cos3 cos6x x x x
=
Đề số 28.
giải phương trình :
1 sin 1 cos 1x x− + − =
Đề số 29.
Câu 1. giải phương trình :
2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos
x
x x
x
π

−
 
+ − =
 ÷
 

Đề số 30.
Câu II.2 giải phương trình :
( )
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x
+ − + =
Đề số 31.
Câu II.1 giải phương trình :
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
Đề số 32.
Câu II.1 giải phương trình :
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8

x x x x
+
− =
Đề số 33.
Câu II.1 giải phương trình :
2sin 2 4sin 1 0
6
x x
π
 
− + + =
 ÷
 
Đề số 34.
Câu II.1 giải phương trình :
cos3 cos2 cos 1 0x x x
+ − − =
Đề số 35.
Câu II.1 giải phương trình:
3 3 2
cos sin 2sin 1x x x
+ + =
Đề số 36.
Câu II.1 giải phương trình :
3 2
4sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x
+ + + =
Đề số 37.
Câu II.1 giải phương trình :
cot sinx 1 t anx tan 4

2
x
x
 
+ + =
 ÷
 
Đề số 38.
Câu II.1 giải phương trình :
( ) ( )
2 2 2
2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0x x x
− + − =
Đề số 39.
Câu II.1 giải phương trình :
( ) ( )
cos2 1 2cos sin cos 0x x x x
+ + − =
Đề số 40.
Câu IIIb giải phương trình :
1 cos cos2 sin sin2x x x x+ − = +
Đề số 41.
Câu II.1 giải phương trình :
3 3
sin cos sin cosx x x x
+ = −
11
Đề số 42.
Câu II.1 giải phương trình :
1

cos3 sin 2 cos4 sin sin3 1 cos
2
x x x x x x
− = + +
Đề số 43.
Câu II.1 giải phương trình :
cos cos7 cos3 cos5x x x x
=
Đề số 44.
Câu II.1 giải phương trình :
sin sin2
3
cos cos2
x x
x x
−
=
−
Đề số 45.
Câu II.1 giải phương trình
( )
cos3 sin2 3 cos2 sin3x x x x− = −

Đề số 46.
Câu II.2 giải phương trình :
2
1 sin
cot
1 cos
x

x
x
−
=
+
Đề số 47.
Câu II.2 .Tìm x thuộc khoảng
3
0;
2
π
 
 
 
thỏa mãn phương trình :
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
Đề số 48.
Đề số 49.
Câu II.1. Giải phương trình :

4
cos2 cos 2 0x x
+ − =
Đề số 50.
Câu II. Giải phương trình:
( )
2
cos2 cos 2tan 1 2x x x
+ − =
Đề số 51.
Câu II.1 Giải phương trình :
cos3 1 3sin3x x= −

Đề số 52.
Câu II.1 Giải phương trình :
1 sin cos tan 0x x x
+ + + =
Đề số 53.
Câu II.2 Giải phương trình:
( )
3
4cos 3 cos 1 cos2x m x x+ − − =
Đề số 54.
Câu II.1 Giải phương trình:
2 2
tan 8cos2 cot2 cotx x x x
+ =
Đề số 55.
Câu II.1 giải phương trình :
( )

3 3
sin cos 2 sin cos 1x x x x
+ = + −
Đề số 56.
Câu II.1 Giải phương trình :
2 2
4cos 6sin 5sin2 4 0x x x
− + − =
Đề số 57.
Câu II.2 Giải phương trình :
3
sin sin cosx x x
= +
Đề số 58.
Câu III.2 giải phương trình
1 cos2 cos4 0x x+ + =
12
Đề số 59.
Đề số 60.
Đề số 61.
Câu II.2 Giải phương trình :
2sin cos sin 2 1x x x
+ = +

Đề số 62.
Câu II.1 Giải phương trình :
sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x
+ + − − =
Đề số 63.
Câu II.1 Giải phương trình :

( )
3 3 5 5
sin cos 2 sin cosx x x x
+ = +
Đề số 64.
Câu II.1 Giải phương trình :
2
2cos 5sin 4 0x x
+ − =
Đề số 65.
Câu II.1 Giải phương trình :
( ) ( )
1 cos 1 sin 2x x
+ + =
Đề số 66.
Câu I.1 Giải phương trình:
3
sin 3sin
4 2 4 2
x x
π π
   
+ = −
 ÷  ÷
   
Đề số 67.
Câu II.2 Hàm số :
( )
sin cos sin 2 .f x x x x m
= + − −

,a
giải phương trình
( )
0f x
=
khi m =-1
,b
tìm giá trị m để
( )
0f x
≤
với mọi x.
Đề số 68.
Câu II.1 Giải phương trình :
2
sin9 sin5 2sin 1x x x
+ + =
Đề số 69.
Đề số 70.
Câu II. Giải phương trình :
cos cos2 sin3x x x
+ =
Đề số 71.
Câu II.1 Giải phương trình :
cos7 sin8 cos3 sin 2x x x x
+ = −
Đề số 72.
Câu II.1 Giải phương trình:
3 3
1

sin cos 1 sin2
2
x x x
+ = −
Đề số 73.
Câu II. Giải phương trình
( )
2
2 sin cos tan
4
x x x
π
 
− = −
 ÷
 
Đề số 74.
Câu II.2 giải phương trình
4 4
sin cos 2 3sin cos 1x x x x− = +
Đề số 75.
Câu II.1. giải phương trình
( )
3 3
4 sin cos cos 3sinx x x x+ = +
Đề số 76.
Đề số 77.
Đề số 78.
13
Đề số 79.

Đề số 80.
Đề số 81.
Gơi ý và giải
Câu 1. ĐH Tây Nguyên

( )
( )
2 2
sin3 cos2 1 2sin cos2 sin 2 cos2 1 2sin cos2 0
sin 2 cos sin cos2 cos2 1 2sin cos2 0
sin 2 cos sin cos2 cos2 1 0
sin 0
sin 2 1 2sin 1 0 sin 2sin 0
1
sin
2
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x
x x x x x
x
+ = + ⇔ + + − − =
⇔ + + − − =
⇔ + + − =
=


⇔ − + − − = ⇔ − = ⇔


=

Với
( )
sin 0 sin sin0x x x k k Z
π
= ⇔ = ⇔ = ∈
Với
( )
2 2
1
6 6
sin sin sin
5
2 6
2 2
6 6
x k x k
x x k Z
x k x k
π π
π π
π
π π
π π π


= + = +



= ⇔ = ⇔ ⇔ ∈




= − + = +




Câu 2. ĐH Công Đoàn

2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
sin cos 2sin cos 2sin cos 1 2sin
2 2 2 2 2 2
sin cos 2 sin cos 1 2sin
2 2 2 2
1 1
1 2 sin 1 2sin sin 2sin 0
2 2
sin 0
sin 4sin 0
sin 4
x x x x x x

x
x x x x
x
x x x x
x
x x
x
   
+ + − = −
 ÷  ÷
   
   
⇔ + − = −
 ÷  ÷
   
 
⇔ − − + ⇔ + =
 ÷
 
=

⇔ + = ⇔

=

Với
( )
sin 0 sin sin0x x x k k Z
π
= ⇔ = ⇔ = ∈

Câu 3. ĐH Nghoại Ngữ

3 3
3 3
cos3 3cos
cos3 4cos 3cos cos
4
3sin sin3
sin3 3sin 4sin sin
4
x x
x x x x
x x
x x x x
+
= − ⇒ =
−
= − ⇒ =
Thay vào phương trình ta được
14
( vô nghiệm )
( ) ( )
( )
3
2 2 3
3
3 3
cos3 cos3 3cos sin3 3sin sin3
1

cos 4
4 4 4
cos 3 3cos cos3 3sin sin3 sin 3 4cos 4 1
1 3 cos cos3 sin sin3 4cos 4 1
3cos4 4cos 4 4cos 4 3cos4 0 cos12 0
12 2
24
2
12 2
2
x x x x x x
x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x
x k
x k
π
π
π
π
π
+ −
− = +
⇔ + − + = +
⇔ + − = +
⇔ = ⇔ − = ⇔ =

= +

= +

⇔ ⇔


= − +


( )
6
24 6
k
k Z
k
x
π
π π


∈


= − +


Câu 4. ĐH Cảnh Sát ND
Ta có
( )
2 2
2

cos2 1 2sin 2sin 1 cos2
4sin 2 1 cos 2 1 sin
4 2 2
x x x x
x
x x
π π
= − ⇔ = −
 
   
⇒ − = − − = −
 ÷  ÷
 
   
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
sin cos4 2sin 2 1 2 1 sin sin cos4 1 cos4 1 2sin
sin cos4 2 cos4 2sin 0 cos4 sin 1 2 sin 1 0
sin 1
sin 1 cos4 2 0
cos4 2
x x x x x x x x
x x x x x x x
x
x x
x
+ = − − ⇔ + − = − +

⇔ + − − = ⇔ − − − =
=

⇔ − − = ⇔

=

( )
2 2
2 2
sin sin 2
2 2
2 2
2 2
x k x k
x x k k Z
x k x k
π π
π π
π π
π
π π
π π π


= + = +


⇒ = ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈





= − + = +




Câu 5. ĐH Sư pham Hà Nội 1

( )
2 2
2
cos2 1 2sin 2sin 1 cos2
4sin 2 1 cos 2 1 sin
4 2 2
x x x x
x
x x
π π
= − ⇔ = −
 
   
⇒ − = − − = −
 ÷  ÷
 
   
 
( ) ( )
2 2

2
7 3
sin cos4 sin 2 2 2sin sin cos4 sin 2 2sin 0
2 2
2sin cos4 2sin 2 4sin 3 0 2sin cos4 1 cos4 4sin 3 0
2sin cos4 cos4 4sin 2 0 cos4 2sin 1 2 2sin 1 0
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
− = − − ⇔ − + + =
⇔ − + + = ⇔ − + + + =
⇔ + + + = ⇔ + + + =
( ) ( )
1
sin
2sin 1 cos4 2 0
2
sin 4 2
x
x x
x

= −

⇔ + + = ⇔

= −

15
( Vô nghiêm )

( Vô nghiệm )
( )
7 7
2 2
7
6 6
sin sin
7
6
2 2
6 6
x k x k
x k Z
x k x k
π π
π π
π
π π
π π π
 
= + = +
 
= ⇔ ⇔ ∈
 
 
= − + = − +
 
 
Câu 6. ĐH Hằng Hải

( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3
2sin 1 3cos4 2sin 4 3 4 1 sin 0
2sin 1 3cos4 2sin 4 1 4sin 0
2sin 1 3cos4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0
2sin 1 3cos4 2sin 4 1 2sin 0
2sin 1 3cos4 3 0 3 2sin 1 cos4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
+ + − + =
⇔ + + − − + − =
⇔ + + − + − =
⇔ + + − + − + =
⇔ + + − + − =
⇔ + − = ⇔ +
( )
( )

( )
1 0
1
sin 1
2sin 1 0
2
cos4 1 0
cos 1 2
x
x
x
x
x
− =

= −
+ =


⇔ ⇔


− =

=


Giải (1)
( )
7 7

2 2
1 7
6 6
sin sin sin
7
2 6
2 2
6 6
x k x k
x x k Z
x k x k
π π
π π
π
π π
π π π
 
= + = +
 
= − ⇔ = ⇔ ⇔ ∈
 
−
 
= − + = +
 
 
Giải (2)
( )
cos 1 cos cos0 2x x x k k Z
π

= ⇔ = ⇔ = ∈
Câu 7. ĐH Sân Khấu ĐA

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
4cos 2sin 1 2sin 2 1 3 2sin 1 2sin 2 1 3 4cos 0
2sin 1 2sin 2 1 3 4 1 sin 0 2sin 1 2sin 2 1 1 4sin 0
x x x x x x
x x x x x x
+ − + = ⇔ − + − + =
⇔ − + − + − = ⇔ − + + − =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2sin 1 2sin 2 1 2sin 1 1 2sin 0
2sin 1 2sin 2 1 1 2sin 0 2sin 1 2sin 2 2sin 0
1
sin 1
2sin 1 0
2
2sin 2 2sin 0
sin 2 sin 2
x x x x
x x x x x x
x

x
x x
x x
⇔ − + − − + =
⇔ − + − − = ⇔ − − =


=
− =


⇔ ⇔


− =
=




giải (1)
( )
2 2
1
6 6
sin sin sin
5
2 6
2 2
6 6

x k x k
x x k Z
x k x k
π π
π π
π
π π
π π π
 
= + = +
 
= ⇔ = ⇔ ⇔ ∈
 
 
= − + = +
 
 
16
Giải (2)
( )
2
2 2
sin 2 sin
2
2 2
3 3
x k
x x k
x x k Z
x x k

x k
π
π
π
π π
π
=

= +


= ⇔ ⇔ ∈


= − +
= +


Câu 8. ĐH SPTPHCM
Ta có
( )
2
4 4 2 2 2 2
2
1
sin cos sin cos 2sin cos 1 2 sin 2
2
1 1 1 cos4 1 cos4 3 cos4
1 sin 2 1 . 1
2 2 2 4 4 4 4

x x x x x x x
x x x
x
 
+ = + − = −
 ÷
 
−
= − = − = − + = +
Thay vào phương trình ta được
( )
3 cos4
4 3sin 4 2 3 cos4 3sin 4 2 cos4 3sin 4 1
4 4
2
4 2
1 3 1 2
3 3
cos4 sin 4 cos 4 cos
2
2 2 2 3 3
4 2
3 3
2
4 2
3 3
4 2
2
4 2
3 3 12 2

x
x x x x x
x k
x x x
x k
k
x k
x
k Z
k
x k x
π π
π
π π
π π
π
π π
π π
π
π π π π
π
 
+ + = ⇔ + + = ⇔ + = −
 ÷
 

− = +

 
⇔ + = − ⇔ − = ⇔


 ÷
 

− = − +




= + +
= +


⇔ ⇔ ∈




= − + + = − +




Câu 9. Học viên nghân hàng

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2
2

cos cos 2sin 2 0 cos cos 1 2 sin 1 0
1 sin cos 1 2 sin 1 0 1 sin sin 1 cos 1 2 sin 1 0
x x x x x x
x x x x x x x
+ + − = ⇔ + + − =
⇔ − + + − = ⇔ − + + + − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
sin 1 cos 1 sin 1 2 0 sin 1 2 sin cos cos sin 1 0
sin 1 0 1
sin 1 1 sin cos cos sin 0
1 sin cos cos sin 0 2
x x x x x x x x
x
x x x x x
x x x x
⇔ − − + + + = ⇔ − − − − − =
 
 
 − =
⇔ − − − − = ⇔

− − − =

giải (1)
( )
sin 1 sin sin 2
2 2

x x x k k Z
π π
π
= ⇔ = ⇔ = + ∈
Giải (2)
1 sin cos cos sin 0x x x x− − − =
Đặt
cos sint x x= +
đk
2t ≤
2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
⇔ = + ⇒ =
Thay vào (2) ta được
2
2
1
1
1 0 2 3 0
3
2
t
t
t t t

t
=

−
− − = ⇔ + − = ⇔

= −

17
( Loại )
Với
( )
2 2 2
1 cos sin 1 cos sin cos cos
2 2 2 4 4
2
2
4 4
2
2
2
4 4
t x x x x x
x k
x k
k Z
x k
x k
π π
π π

π
π
π
π π
π
π
 
= ⇒ + = ⇔ + = ⇔ − =
 ÷
 

− = +


= +

⇔ ⇔ ∈



=
− = +



Câu 10. ĐH Nông Nghiệp 1
Ta có
( )
( )
( ) ( )

3 3 2 2
cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin 1 cos sinx x x x x x x x x x x x− = − + + = − +

thay vào phương trình ta được
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
1 cos sin 1 cos sin sin 2
cos sin 1 cos sin cos sin 2sin cos 0
cos sin 1 cos sin cos sin 0
cos sin 0 1
cos sin 1 cos sin cos sin 0
1 cos sin cos sin 0 2
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x x
+ − + =
⇔ − + + + − =
⇔ − + + − =
 − =
⇔ − + + − = ⇔


+ + − =

Giải (1)
2 2
cos sin 0 cos sin 0 cos cos
2 2 4 2
x x x x x
π π
 
− = ⇔ − = ⇔ + =
 ÷
 

( )
2 2 2
4 2 2 4 4
3
2 2 2
4 2 2 4 4
x k x k x k
k Z
x k x k x k
π π π π π
π π π
π π π π π
π π π
  
+ = + = − + = − +
  
⇔ ⇔ ⇔ ∈

  
  
+ = − + = − − + = − +
  
  
Giải (2) Đặt
cos sint x x= −
đk
2t ≤
2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
⇔ = − ⇒ =
Thay vào (2) ta được
2
2
1
1
1 0 2 3 0
3
2
t
t
t t t
t

= −

−
+ + = ⇔ − − = ⇔

=

Với
( )
2 2 2 3
1 cos sin 1 cos sin cos cos
2 2 2 4 4
3
2 2
2
4 4
3
2
2
2
4 4
t x x x x x
x k
x k
k Z
x k
x k
π π
π π
π π

π
π
π π
π
π
 
= − ⇒ + = − ⇔ + = − ⇔ − =
 ÷
 

= +
− = +



⇔ ⇔ ∈

−

= +

− = − +



Câu 11. HV KTQS
18
( Loại )

( )

cos7 sin5 3 cos5 sin7 cos7 3sin7 3cos5 sin5
1 3 3 1
cos7 sin7 cos5 sin5 cos 7 cos 5
2 2 2 2 3 6
7 5 2
2 2
3 6
6 12
7 5 2
12 2
24 6
3 6
2
x x x x x x x x
x x x x x x
x x k
x k x k
k
x
x x k
x k
π π
π π
π π
π
π π
π π
π π
π
π

π
− = − ⇔ + = +
   
⇔ + = + ⇔ − = −
 ÷  ÷
   



− = − +
= + = +



⇔ ⇔ ⇔






= +
− = − + +
= + +





( )

k Z∈

Câu 12. ĐH BCVT
Ta có
3 3
3 3
cos3 4cos 3cos 4cos cos3 3cos
sin3 3sin 4sin 4sin 3sin sin3
x x x x x x
x x x x x x
= − ⇒ = +
= − ⇒ = −
Thay vào phương trình ta được
( ) ( )
3sin sin3 cos3 cos3 3cos sin3 3 3 cos4 3x x x x x x x− + + + =
3sin cos3 sin3 cos3 cos3 sin3 3cos sin3 3 3cos4 3x x x x x x x x x⇔ − + + + =
( )
sin cos3 cos sin3 3cos4 1 sin4 3 cos4 1
1 3 1
sin 4 cos4 cos 4 cos
2 2 2 6 3
4 2 4 2
2
6 3 6
24
4 2 4 2 2
6 3 6 24
x x x x x x x
x x x
x k x k

x k
k Z
x k x k x k
π π
π π π
π
π π
π
π π π π
π π π
⇔ + + = ⇔ + =
 
⇔ + = ⇔ − =
 ÷
 
 

− = + = +
= +
 

⇔ ⇔ ⇔ ∈
 

 

− = − + = − + = − +

 


 
Câu 13. ĐH KD 2008

( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2sin 1 cos2 sin2 1 2cos 2sin 1 2cos 1 cos 1 2cos 0
2sin cos 2cos 1 1 2cos 0 1 2cos sin 2 1 0
1
cos 1
1 2cos 0
2
sin 2 1 0
sin 2 1 2
x x x x x x x x
x x x x x x
x
x
x
x
+ + = + ⇔ + − + − + =
⇔ + − + = ⇔ + − =

= −
+ =



⇔ ⇔


− =

=


giải
(1) ta có
2
2
2
3
cos cos
2
3
2
3
x k
x
x k
π
π
π
π
π

= +


= ⇔


= − +


Giải (2) ta có
( )
sin 2 1 sin 2 sin 2 2
2 2 4
x x x k x k k Z
π π π
π π
= ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
Câu 14. ĐH KA 2008
Giải phương trình
19
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2
cos sin sin cos cos sin 1 sin2
cos sin sin cos cos sin 1 sin2
cos sin 1 sin cos 1 2sin cos
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x

x x x x x x
+ + + = +
⇔ + + + = +
⇔ + + + = +
⇔ + + = +
Đặt
cos sint x x= +
đk
2t ≤
2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
⇔ = + ⇒ =
Thay vào phương trình ta được
( ) ( )
2 2
2 2 3 2 2
1 2 1
1 1 1 2 0 2 1 0
2 2
t t
t t t t t t t t t t
− + −
   
+ = + − ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + =

 ÷  ÷
   
( )
( )
( )
2
0 1
1 0
1 2
t
t t
t
 =
⇔ − = ⇔

=

Với
2 2
0 sin cos 0 sin cos 0 cos cos
2 2 4 2
t x x x x x
π π
 
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − =
 ÷
 

3
2 2

4 2 4
2 2
4 2 4
x k x k
x k x k
π π π
π π
π π π
π π
 
− = + = +
 
⇔ ⇔
 
 
− = − + = − +
 
 
Với
( )
2 2 2
1 sin cos 1 sin cos cos cos
2 2 2 4 4
2
2
4 4
2
2
2
4 4

t x x x x x
x k
x k
k Z
x k
x k
π π
π π
π
π
π
π π
π
π
 
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − =
 ÷
 

− = +


= +

⇔ ⇔ ∈



=
− = − +




Câu 15. ĐH KD 2009
Ta có
( ) ( )
2sin cos sin sin 2sin3 cos2 sin5 sina b a b a b x x x x= + + − ⇒ = +
Thay vào phương trình ta được
20
( )
3cos5 2sin3 cos2 sin 0 3cos5 sin5 sin sin 0
3cos5 sin5 sin sin 0 3cos5 sin5 2sin
3 1 2
cos5 sin5 sin sin 5 sin
2 2 3
2 2
5 2 4 2
3 3
2 5
5 2 6 2
3 3
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x k x k x
x x k x k
π
π π π
π π
π π

π π π
− − = ⇔ − + − =
⇔ − − − = ⇔ − =
 
⇔ − = ⇔ − =
 ÷
 
 
− = + = + =
 
⇔ ⇔ ⇔
 
 
− = − + = +
 
 
( )
6
5
18 3
k
k Z
k
x
π
π π

+

∈



= +


Câu 16. ĐH KB 2009

3
3
sin cos sin 2 3cos3 2cos4 2sin
sin 2sin cos sin 2 3cos3 2cos4
x x x x x x
x x x x x x
+ + = +
⇔ − + + =
( )
2
sin 1 2sin cos sin 2 3cos3 2cos4
sin cos2 sin2 cos 3cos3 2cos4
x x x x x x
x x x x x x
⇔ − + + =
⇔ + + =
( )
1 3
sin3 3 cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4 cos4 cos 3
2 2 6
4 3 2 2 2
6 6 6
2

4 3 2 7 2
6 6 42 7
x x x x x x x x
x x k x k x k
k Z
x x k x k x k
π
π π π
π π π
π π π
π π π
 
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
 ÷
 
  
= − + = − + = − +
  
⇔ ⇔ ⇔ ∈
  
  
= − + + = + = +
  
  
Câu 17. ĐH KA 2009

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )

( )
2
1 2sin 0
1 2sin cos
3 k
1 sin 0
1 2sin 1 sin
1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin
cos 2sin cos 3 1 sin 2sin 2sin
cos sin 2 3 sin cos2 3cos2 sin2 cos 3sin
3 1 1 3
cos2 sin 2 cos sin cos 2
2 2 2 2 6
x
x x
Đ
x
x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
π
+ ≠
−

=

− ≠
+ −


⇔ − = + −
⇔ − = − + −
⇔ − = + ⇔ + = −

⇔ + = − ⇔ −


( )
cos
3
2 2
2 2
6 3
2 2
2
3 2
2 2
6 18 3
6 3
x
x x k
x k x k
k Z
x k x k
x x k
π
π π
π π
π

π π
π ππ π
π π
π
  
= +
÷  ÷
  

 
− = + +
= + = +

 
⇔ ⇔ ⇔ ∈

 
−

 
= − + = +
− = − − +
 

 


Câu 18. ĐH KD 20010
21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
sin 2 cos2 3sin cos 1 0 2sin cos 2sin 3sin cos 2 0
cos 2sin 1 sin 2 2sin 1 0 2sin 1 cos sin 2 0
2sin 1 0
cos sin 2 0
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x
x x
− + − − = ⇔ + + − − =
⇔ − + + − = ⇔ − + + =
− =

⇔

+ + =

( )
2 2
1
6 6
2sin 1 0 sin sin sin
5
2 6
2 2
6 6
x k x k
x x x k Z
x k x k

π π
π π
π
π π
π π π
 
= + = +
 
⇒ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ ∈
 
 
= − + = +
 
 
Câu 19. ĐH KB 2010

( ) ( )
2
sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0 2sin cos sin cos2 cos 2 0x x x x x x x x x x+ + − = ⇔ − + + =
( )
( ) ( )
( )
2
sin 2cos 1 cos2 cos 2 0 sin cos2 cos2 cos 2 0
cos2 0
cos2 sin cos 2 0
sin cos 2 0
x x x x x x x x
x
x x x

x x
⇔ − + + = ⇔ + + =
=

⇔ + + = ⇔

+ + =


( )
1
cos2 0 cos2 cos 2
2 2 4 2
x x x k x k k Z
π π π
π π
⇒ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
Câu 20. ĐH KA 2010

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 sin cos2 sin
1 tan 0
1
4
cos . k:
cos 0

1 tan
2
2
1 sin cos2 cos sin
2
2
cos
sin
2
1
cos
1 sin cos2 cos sin cos
cos
cos sin
1 sin cos2 cos cos 0 cos 1 sin cos2 1 0
cos sin cos2
x x x
x
xĐ
x
x
x x x x
x
x
x
x x x x x
x
x x
x x x x x x x
x x x

π
 
+ + +
 ÷
+ ≠

 
=

≠
+

+ + +
⇔ =
+
+ + +
⇔ =
+
⇔ + + − = ⇔ + + − =
+ = 0
Vì
2 2
cos 0 sin 1 2sin 0 2sin sin 1 0
sin 1
1
sin
2
x x x x x
x
x

≠ ⇒ + − = ⇔ − − =
=


⇔

= −

22
(vô nghiệm)
(vô nghiệm)
(loại vì
cos 0x =
)
( )
7 7
2 2
1 7
6 6
sin sin sin
7
2 6
2 2
6 6
x k x k
x x k Z
x k x k
π π
π π
π

π π
π π π


= + = +


⇒ = − ⇔ = ⇔ ⇔ ∈




= − + = − +




Câu 21. ĐH Dược Hà Nội 1999
Ta thấy
0; cos 0
2
x x
π
 
∈ ⇔ >
 ÷
 
(*)
Ta có
( )

sin 10,5 10 sin 10 10 sin 10 cos10
2 2
x x x x
π π
π π
   
+ = + + = + =
 ÷  ÷
   
2 2
2 2
1 cos2
cos2 1 2sin sin
2
cos2 1
cos2 2cos 1 cos
2
x
x x x
x
x x x
−
= − ⇒ =
+
= − ⇒ =
2
1 cos8 1 cos12
sin 4 ; cos6
2 2
x x

x x
− +
⇒ = =
Thay vào phương trình ta được
( )
( )
1 cos8 1 cos12 1
cos10 cos12 cos8 cos10 0
2 2 2
cos10 0
cos10 cos2 cos10 0 cos10 cos2 1 0
cos2 1 0
x x
x x x x
x
x x x x x
x
− +
⇔ − = ⇔ + + =
=

⇔ + = ⇔ + = ⇔

+ =

Giải
( )
cos10 0 10
2 20 10
k

x x k x k Z
π π π
π
= ⇔ = + ⇔ = + ∈

Giải
cos2 1 0x = − <
(loại)
Xét
1 9
0
20 10 20 10 2 20 10 2 20 2 2
k k k
x k
π π π π π π π π π
= + ⇒ < + < ⇔ − < < − ⇔ − < <
Vì
0
20
3
1
20
5
2
20
7
3
20
9
4

20
k x
k x
k Z
k x
k x
k x
π
π
π
π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
∈ ⇒
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
Câu 22. ĐH GTVT 1999
23

( )
1
3 3
K :
6 2
6 6
x k x k
Đ x k k Z
x k x k

π π
π π
π
π
π π
π π
 
+ ≠ ≠ − +
 
 
⇔ ⇒ ≠ + ∈
 
 
− ≠ ≠ −
 
 
Ta thấy
cot tan cot cot 1
3 6 2 3 6 3 6
x x x x x x
π π π π π π π
           
+ + − = ⇒ + = − ⇒ + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           
Ta có
( )
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
2
2

sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos 1 2sin cos
1 1 1 3 1
1 2 .2sin cos 1 sin 2 1 1 cos4 cos4
2 2 4 4 4
x x x x x x x x x x
x x x x x
+ = + + − = −
 
= − = − = − − = +
 ÷
 
Thay vào phương trình ta được
( )
3 1 7 1 1 1
cos4 cos4 cos4 cos4 cos
4 4 8 4 8 2 3
1
4 2
3
12 2
1
4 2
3 12 2
x x x x
x k
x k
k Z
x k x k
π
π

π
π
π
π π
π π
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =


= +
= +


⇔ ⇔ ∈




= − + = − +




Câu 23. ĐH QGHN KA 1999
Đặt
( )
cos3 cos 3 cos3
3 3
t x x t x t t
π π
π

= + ⇒ = − ⇒ = + = −
Phương trình trở thành
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3 3 3
2
8cos cos3 0 8cos 4cos 3cos 0 12cos 3cos 0
3cos 4cos 1 0 cos 2cos 1 2cos 1 0
cos 0 1
3
cos 0
2cos 1 0 2
2cos 1 0
3
2cos 1 0
2cos 1 0 3
3
t t t t t t t
t t t t t
x
t
x
t
t
x
π
π

π
+ = ⇔ + − = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ − + =

 
+ =
 ÷

 

=


 

⇔ ⇒ + − =
− =
 ÷


 


+ =


 
+ + =

 ÷

 

Giải (1)
( )
cos 0 cos cos
3 3 2 3 2 6
x x x k x k k Z
π π π π π π
π π
   
+ = ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈
 ÷  ÷
   
Giải(2)
( )
2
2
1
3 3
cos cos cos
2
3 2 3 3
2
2
3
3 3
x k
x k
x x k Z
x k

x k
π π
π
π
π π π
π
π π
π
π

=
+ = +


   

+ = ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈

−
 ÷  ÷

= +
   

+ = − +



24
Giải(3)

( )
2
2
2
1 2
3 3
cos cos cos
3
2
3 2 3 3
2
2
3 3
x k
x k
x x k Z
x k
x k
π π
π
π
π
π π π
π π
π π
π

+ = +



= +
   

+ = − ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈

 ÷  ÷

   

= +
+ = − +



Câu 24. ĐH QGTPHCM KA 1999
Đặt
cos sint x x= +
đk
2t ≤
2 2 2
1 2sin cos 1 sin2 sin 2 1t x x t x x t⇔ = + ⇔ = + ⇒ = −
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 4
cos 2 1 sin 2 1 1 1 1 1 1 2 2x x t t t t t t t= − = − − = − + + − = − = −
Thay vào phương trình ta được
( )
( )
( )
2 4 3 2 4 3 2 2 4 3 2

2
2 2 2
2 2 3 1 3 0 2 3 2 0 2 0
0
2 1 0 1 0
1
t t t t t t t t t t t
t
t t t t t
t
− + − − − = ⇔ − + − = ⇔ − + =
=

⇔ − + = ⇔ − = ⇔

=

Với

( )
2 2
0 cos sin 0 cos sin 0 cos cos
2 2 4 2
3
2 2
3
4 2 4
4
2 2
4 2 4

t x x x x x
x k x k
x k k z
x k x k
π π
π π π
π π
π
π
π π π
π π
 
= ⇒ + = ⇔ + = ⇔ − =
 ÷
 
 
− = + = +
 
⇔ ⇔ ⇔ = + ∈
 
 
− = − + = − +
 
 
Với

( )
2 2 2
0 cos sin 0 cos sin cos cos
2 2 2 4 4

2
2
4 4
2
2
2
4 4
t x x x x x
x k
x k
k z
x k
x k
π π
π π
π
π
π
π π
π
π
 
= ⇒ + = ⇔ + = ⇔ − =
 ÷
 

− = +


= +


⇔ ⇔ ∈



= +
− = − +



Câu 25. ĐH Luật 199

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2
4 sin3 cos2 5 sin 1 4sin3 4cos2 5 sin 1 0
4 3sin 4sin 4 1 2sin 5 sin 1 0
x x x x x x
x x x x
− = − ⇔ − − − =
⇔ − − − − − =
Đăt
sin 1t x t= ⇒ ≤
khi đó phương trình có dạng
25