luyen thi DH phan luong giac

Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác
Một số công thức lợng giác
1.Công thức lợng giác cơ bản: a.
sin
tan
cos



=
b.
cos
cot , ( k , k )
sin tan




= =
1
2
c.
sin( k ) sin
+ =
2
;
cos( k ) cos
+ =
2
d.
=+=+

kkk ,cot)cot(;tan)tan(

e.
cos sin
+ =
2 2
1
g.
)0cos(,
cos
1
tan1
2
2
=+



khi
h.
)0sin(,
sin
1
cot1
2
2
=+

khi
2.Giá trị LG của các góc có liên quan đặc biệt
Hai góc đối nhau:
góc

và -

sin(-

) = - sin

cos(-

) = cos

tan(-

) = - tan

cot(-

) = - cot

Hai góc bù nhau
góc

và góc

-

sin(

-

) = sin

cos(

-

) = - cos

tan(

-

) = - tan

cot(

-

) = - cot

Hai góc hơn kém nhau


và góc

+

sin(

+

) = - sin

cos(

+

) = - cos

tan(

+

) = tan

cot(

+

) = cot

Hai góc phụ nhau:góc

góc
2

-

sin(
2

-

)= cos

;cos(
2

-

) = sin

tan(
2

-

) = cot

;cot(
2

-

) = tan

3.Công thức cộng :cos
=+
)(

cos
.

cos

- sin
.

sin

(1) cos(

-

) = cos

. cos

+ sin

.sin

(2)
sin(

+

) = sin

cos

+ cos

sin

(3) sin(

-

) = sin

. cos

- cos
.

sin

(4)
( )
tan tan
tan
tan tan



+

+ =

1
(5)
( )
tan tan
tan
tan tan




=
+
1
(6)
4.Công thức nhân đôi: cos2

= cos
2

-sin
2

(7a) sin2

= 2.sin

cos

(8). tan2

=


2
tan1
tan2

(9)
= 2cos
2

-1 (7b) = 1- 2sin
2

(7c). Lu ý: sin3a = 3sin a -4sin
3
a ; cos3a = 4cos
3
a -3cosa
5.Công thức hạ bậc:
cos cos
cos ;
2
sin


+
= =

2
1 2 1 2
2 2
(10-11)
6.Công thức biến đổi tích thành tổng:
)]cos()[cos(
2
1
cos.cos

++=
)]cos()[cos(
2
1
sin.sin

+=
)]sin()[sin(
2
1
cos.sin

++=
7.CT biến đổi tổng thành tích:
2
cos
2
cos2coscos
yxyx
yx

+
=+
;
2
sin
2
sin2coscos
yxyx
yx
+
=
;
2
cos
2
sin2sinsin
yxyx
yx
+
=+
;
x y x y
sin x sin y cos sin
+
=
2
2 2
Chú ý:
Sinx+cosx=
sin x

+
ữ

2
4
sin x cosx sin x


=
ữ

2
4
8.Bảng GTLG của một số góc đặc biệt

0(0
0
)

6
(30
0
)

4
(45
0
)

3
(60
0
)

2
(90
0
)
2
3
(120
0
)
3
4
(135
0
)
5
6
(150
0
)
(180
0
)
sin
0

2
1
2
2
2
3
2
4
2
3
2
2
2
1
2
0
2
cos
4
2
3
2
2
2
1
2
0
2
-
1

2
-
2
2
-
3
2
-
4
2
tan
0
3
3
1
3
P
-
3
-1
-
3
3
0
Bài 1: Góc và cung lợng giác
GV: Vũ Hoàng Sơn
1
Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác
Giá trị lợng giác của góc ( Cung) lợng giác
1.đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ.

a)
3
4

;b)
2
3

; c)
11
6

; d)
3
7

; e) 2,3; f) 4,2
2. Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian
a) 45
0
; b) 150
0
; c) 72
0
; d) 75
0
3. Trên đờng tròn lợng giác hãy tìm các điểm xác định bởi các số:
K
4 2

+

( )
K

;
K
3


( )
K

;
K
2
5


( )
K

.
4. Tìm GTLG sin, côsin, tang của các góc LG có số đo sau
*) 120
0
; -30
0
;-250
0

,750
0
,510
0
.
*)
; ; ; ;
5 7 5 4 17
4 2 3 3 3


.
5.Xác định dấu của sin

,cos

, tan

, biết :
a)
3
2


< <
. b)
;
3 7 7
c) 2
2 4 4

< < < <
.
6.Tính các giá trị lợng giác còn lại của

, biết
a)cos
5

13

=
và
3
2
2


< <
.
b) sin

= 0,8 và
2


< <
.
c) tan

= 15/8 và
3
2


< <
.
d) cot

= -3 và
3
2
2


< <
.
7.Cho tan

=3.Tính
sin cos
a)
sin cos sin cos
3 3
2 3 3sin -2cos
b)
4 5 5 4

+
+
.
8.Chứng minh các đẳng thức :
a)
tan sin
tan .
cot cos
2 2
6
2 2




=

b)
sin cos
tan tan tan
cos
2 3
3
1



+
= + + + .
c)

( ) ( )
sin cot cos tan sin cos .
2 2
1 1
+ + + = +
d) sin
2
x.tan
2
x +4sin
2
x tan
2
x +3 cos
2
x = 3.
9.Cho sinx + cosx = m ,hãy tính theo m
a) sinxcosx. b)
sin x cos x
c) sin
3
x + cos
3
x d) sin
6
x +cos
6
x .
Bài 2. Giá trị LG của các góc (cung) có liên quan đặc biệt.
1.Đơn giản biểu thức

GV: Vũ Hoàng Sơn
2
Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác
( )
a)cos sin
2



+
ữ

b)
cos( ) sin( )
2


+ +

c)
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
2 2 2 2


+ + +
d)
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
3 3 7 7
2 2 2 2

+
e)
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
3
2
2 2


+ + +
f)
sin( ) cos( ) sin( ) sin cos .
5 13
3 5 2
2 2



g)
cos( ) sin( ) sin( )
11 11
5 2
2 2


+ +
2.Chứng minh rằng :
a)
sin sin
5 3

4 4



+ =
ữ ữ

.
b)
cos cos
2
3 3



= +
ữ ữ

.
c)
cos cos
2 4
3 3



= +
ữ ữ

Bài 3. Công thức cộng cung và hệ quả

Ví dụ 1.đơn giản biểu thức
GV: Vũ Hoàng Sơn
3
Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác
a) A =
cos
sin
4 2



+
ữ

ĐS:
cos2
4 2


+
ữ

b) B =
sin sin
cos
2
1 2
4 2
4
2

+
ữ

ĐS: sin
2

c) C =
sin sin .cos cos
tan
4 4
2
2 1


+

ĐS: cos2

Ví dụ 2: chứng minh các đẳng thức.
a)
( )
tan sin
cot
sin
1
4 2

+
ữ

=
b)
cos .cos .cos
4 5 1
7 7 7 8

=
Ví dụ 3.đơn giản biểu thức
a)
cos .cos .cos .cos .2 4
2


ĐS:

1
nếu sin
2

= 0;
sin
sin

8
16
2
nếu sin
2

0.
b)
( )
( )
sin cos cos
tan
.
sin
tan






+ + +
ữ ữ

+

2 2
2

3 3
2
2
2 2
2
2
1
2
ĐS: -1.
Ví dụ 4.Không dùng bảng số hãy tính : A = cos36
0
sin18
0
ĐS: 1/2.
Ví dụ 5.Các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả mãn hệ thức
cosB a c
.
sin B
a c
+ +
=

2 2
1 2
4
chứng minh tam giác ABC cân
*Phép biến đổi hàm số y = asinx + bcosx (a
2
+b
2

0)
y = asinx + bcosx =
a b
a b sin x cos x
a b a b

+ +
ữ
+ +

2 2
2 2 2 2
=
( ) ( )
a b cos .sin x sin .cos x a b .sin x ,
+ + = + +
2 2 2 2
với tg
b
a

=
.
Ta cũng có thể biến đổi:
y =
( ) ( )
a b sin .sin x cos .cos x a b .cos x ,
+ + = +
2 2 2 2
với tg

a
b

=
.
Đặc biệt :
sin x cos x sin x
sin x cos x sin x



+ = +
ữ


=
ữ

2
4
2
4
Bài 4. Công thức biến đổi tổng thành tích ,tích thành tổng
áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có ngay các công thức quen thuộc
GV: Vũ Hoàng Sơn
4
Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác
sina + cosa = sina +sin
a

ữ

2
= . =
cos(a )


2
4
hoặc sina + cosa = sina +sin
a


+
ữ

2
= . =
sin(a )

+
2
4
Ví dụ 1.chứng minh đẳng thức
a) cos
2
a + cos
2

(60
0
+a) + cos
2
(60
0
-a) = 3/2.
b)
x y
sin
sin x sin y
x y
cosx.cos y sin x.sin y
sin


=
+
+
2
2
Ví dụ 2.chứng minh đẳng thức
a)
sin a.sin a sin a sin a


+ =
ữ ữ

4 3

3 3
.
b)
cosa.cos a .cos a cos a


+ =
ữ ữ

4 3
3 3
.
c)
sin a sin a sin a
tan a
cosa cos a cos a
+ +
=
+ +
3 5
3
3 5
Ví dụ 3.Chứng minh tam giác ABC vuông nếu :
cos
2
A+cos
2
B+cos
2
C=1.

Ví dụ 4 không dùng máy tính ,hãy tính giá trị biểu thức.
a)
M sin
sin
=
0
0
1
2 70
2 10
ĐS: 1.
b)
N cos cos cos

= +
2 3
7 7 7
. nhân thêm 2 vế 2cos

14
ĐS: 1/2
Ví dụ 5.chứng minh đẳng thức
a) sin
2
(a+b) sin
2
a sin
2
b = 2sina sinb cos(a+b)
b)

sin a
sin a sin a
cosa cos a cos a
=
+ +
2
4
2 2
2 3 5
Ví dụ 6.biểu diễn các tổng sau thành tích
a) 3 cot
2
a b) 1+sin2a-cos2a-tan2a
Ví dụ 7.trong tam giác ABC chứng minh:
a) sin
2
A+sin
2
B+sin
2
C = 2 + 2cosAcosBcosC
b) cosA+cosB +cosC = 1+
A B C
sin sin sin .4
2 2 2
Bài tập

GV: Vũ Hoàng Sơn
5
Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác

1.Chứng minh các đẳng thức
a) cos
2
(a+b) +cos
2
(a-b) = 1 +cos2a.cos2b
b)
cos a cos a cos a


+ + + =
ữ ữ

2 2 2
2 2 3
3 3 2
2.biến đổi tổng thành tích
a) 1 +sinx +cosx +tanx
b) 1 4cos
2
a
c) sina + sinb +sin(a+b)
d)
3
- 2sina
3.Rút gọn
a) cos
2
a sin
2

(a+

4
) +
sin a.cos a



ữ

2
4
.
b)
( )
sin a sin a tan sin a.cos a



+
ữ ữ

2 2
2
3 3 3
4. Trong tam giác ABC chứng minh:
a)
A B C
sin A sin B sin C cos cos cos
+ + =

4
2 2 2
b) cos
2
A +cos
2
B+ cos
2
C = 1 2cosA.cosB.cosC.
c)
A B B C C A
tan tan tan tan tan tan
+ + =
1
2 2 2 2 2 2
d) cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cosA=1
e) cos
2
A cos
2
B = sin(B A).sinC.
Phơng trình lợng giác cơ bản
GV: Vũ Hoàng Sơn
6