BÀI tập TOÁN lớp 6 NÂNG CAO rất HAY

Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ
thừa cùng cơ sốhoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1) thì luỹ
thừa nào có số mũ lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
- Nếu ai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0) thì luỹ
thừa nào có cơ số lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
2. Ngoài cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính
chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân (a < b thì a.c
< b.c với c > 0)
Bổ xung kiến thức nâng cao:
1. Luỹ thừa của luỹ thừa: (a
m
)
n
= a
m.n
2. Luỹ thừa của một tích: ( a.b)
n
= a
n
b
n
.
Ví dụ: 2
5
.5
5
= (2.5)
5
= 10

5
= 100 000.
3. Luỹ thừa một thương: a
n
:b
n
= (a:b)
n
, hay
:
n
n n
a
a b
b
 
=
 ÷
 
Ví dụ : 14
7
: 7
7
= (14 : 7)
7
= 2
7
= 128
4. Luỹ thừa tầng:
( )

n
n
m
m
a a=
Ví dụ :
( )
3
3
2
2 8
2 2 2 256= = =
Bài 1: So sánh các số sau:
a) 27
11
và 81
8
b) 625
5
và 125
7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
Bài 2: So sánh các số sau:

a) 5
23
và 6.5
22
b) 7.2
13
và 2
16
c) 21
15
và 27
5
.49
8
.
Bài 3: So sánh các số sau.
a) 199
20
và 2003
15
b) 3
39
và 11
21
Bài 4: So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn?
a) 72
45
– 72
43
và 72

44
– 72
43

Bài 5. Tìm x∈N, biết:
a) 16
x
< 128
4
b) 5
x
.5
x+1
.5
x+2
≤ 100 0 :2
18
18 chữ số 0
Bài 6: Cho S = 1 + 2+ 2
2
+ 2
3
+ + 2
9
.
So sánh S với 5.2
8
.
1
Nếu a > b thì a

n
> b
n
(n > 0)
Nếu m > n thì a
m
> a
n
(a
>1)
Bài 7: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó
không có chữ số 0. Hãy so sánh m và 10.9
8
.
Bài 8: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1,2,3 với
điều kiện mỗi chữ số dùng một và chỉ một lần.
Bài tập bổ sung
Chuyên đề 2:
Chữ số tận cùng của một tích của một luỹ thừa:
I/ Lý thuyết
1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.
- Tích các số lẻ là 1 số lẻ.
- Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng
có tận cùng là 5.
- Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một
số chẵn.
2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa .
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ
thừa bất kỳ (khác 0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 3,7,9 nâng lên luỹ

thừa 4n đều có tận cùng là 1.
3
4n
= 1 7
4n
= 1 9
4n
= 1
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 2,2,8 nâng lên luỹ
thừa 4n (n ≠0) đều có tận cùng là 6.
2
4n
= 6 4
4n
= 6 8
4n
= 6
( Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, khi
nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng là chính nó; khi nâng
lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1.)
II/ Bài tập
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
74
30
; 49
31
; 87
32 ; 58
33 ; 23
35.

Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 5
n
.(n>1)
Bài 3: Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10.
a) A = 98.96.94.92 – 91.93.95.97
b) B = 405
n
+ 2
405
+ m (m , n ∈N ; n ≠ 0)
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a)
7
6
5
234
b)
5
7
6
579
2
Bài 5: Tìm các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao
nhiêu thừa số?
Bài 6: Tích 2.2
2
.2
3
2
10

. 5
2
.5
4
.5
6
5
14
.
Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Bài 7: Cho S = 1 + 3
1
+ 3
2
+ 3
3
+ + 3
30
.
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính
phương.
Bài tập bổ sung
Chuyên đề 3
Số nguyên tố. Hợp số
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1. Xác định số lượng các ước của một số:
Nếu M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = a
x

.b
y
c
z
thì
số các ước của M là (x+1)(y+1) (z+1).
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ
chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Tính chất chia hết liên qua đến số nguyên tố.
Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a
M
p hoặc b
M
p.
Đặc biệt nếu a
n
M
p thì a
M
p
III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
2. Cho A = 5 + 5
2
+5
3
+ +5
100
.
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số
b) Số A có phải là số chính phương không?

3. Số 54 có bao nhiêu ước? Viết tất cả các ước của nó?
IV/ Bài tập
114. Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
115. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
a = 1.3.5.7 13 + 20
b = 147.247.347 – 13
116. Cho n∈N
*
. Chứng minh rằng số 111 1 2111 1 là hợp số
n chữ số1 n chữ số1
117. Tìm số bị chia và thương trong phép chia:
9**:17 = **, biết rằng thươnglà một số nguyên tố.
118. Cho a,n∈N
*
, biết a
n

M
5. Chứng minh a
2
+150
M
25
3
119. a) Cho n là số không chi hết cho 3. Chứng minh rằng n
2
chia 3
dư 1.
b) Cho p là số nguyên tốa lớn hơn 3. Hỏi p
2

+ 2003 là số nguyên
tố hay hợp số.
Bài 120. Cho n> 2 và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số
n
2
– 1 và n
2
+ 1 không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 121: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.
b) Biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là
hợp số
Bài 122: Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p 〉 3). Hỏi p + 100 là số
nguyên tố hay hợp số?
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Bài 123: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng cách hợp lý
nhất:
a) 700; 9000; 210 000
b) 500; 1600; 18 000
Bài 124: Mỗi số sau có bao nhiêu ước:
90 ; 540 ; 3675.
Bài 125: Tìm các ước của số:
a) 119 b) 625 c) 200.
Bài 126: Tính cạnh của một hình vuông biết diện tích của nó là:
a) 5929m
2
; b) 32400m
2
.
Bài 127: Tính cạnh của hình lập phương biết thể tích của nó là

1728cm
3
.
Bài 128: Chứng minh rằng một số tự nhiên khác 0, có số lượng các
ước là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phương.
Bài129: Tìm n ∈ N
*
biết:
a) 2 + 4 + 6 + + 2n = 210
b) 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = 225
Bài tập bổ sung
1. Chứng tỏ các số sau là hợp số:
A. 676767 B. 10
8
+ 10
7
+ 7 C. 17
5
+ 24
4
+ 13
21

D. 311141111 E. 10
100
- 7
2. Cho số 360
a) Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố.
b) Số 360 có bao nhiêu ước.
c) Tìm tất cả các ước của 360

3. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 10
25
b) 11
3
+ 12
3
+ 13
3
+ 14
3

4
4. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3
khi chia cho 12 đều dư 1.
5. Tìm số n ∈ N
*
, sao cho n
3
- n
2
+ n - 1 là số nguyên tố.
Đ 13. Ước chung và ước chung lớn nhất
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601
IV. Bài tập
Bài 130: Cho A là tập hợp các số nguyên tố
B là tập hợp các hợp số
M là tập hợp các ước của 20

N là tập hợp các ước của 50
a) Tìm A ∩ B
b) Tìm M ∩ N
Bài 131: Cho C là tập hợp các số chia hết cho 3
D là tập hợp các số chia hết cho 9
Tìm C ∩ D.
Bài 132: Tìm ƯCLN và ƯC của ba số 432; 504 và 720.
Bài 133: Một căn phòng hình chữ nhật kích thước 630 x 480 (cm)
được lát loại gạch hình vuông. Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng
sát hai bức tường liên tiếp không bị cắt xén thì kích thước lớn nhất
của viên gạch là bao nhiêu? Để lát căn phòng đó cần bao nhiêu viên
gạch?
Bài 134: Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a) Hai số lẻ liên tiếp.
b) 2n + 5 và 3n + 7 (n ∈ N)
Bài 135: Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng:
a) (a, a – b) = 1
b) (ab, a + b) = 1
Bài 136: Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau,
a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n ∈ N).
Tìm (a, b).
Bài 137: ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270, tìm số nhỏ.
Bài 138: Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là
18.
Bài 139: Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90
và ƯCLN của chúng là 15.
5
Bài 140: Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng
là 27.
Bài 141: Cho a + 5b

M
7 (a, b ∈ N). Chứng minh rằng 10a + b
M
7.
Mệnh đề đảo lại có đúng không?
Bài 142: Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ số như
nhau. Chứng minh rằng a : 9.
Bài 143: Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe: Loại 12 chỗ ngồi
và loại 7 chỗ ngồi. Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi, hỏi mỗi loại
có mấy xe?
Bài tập bổ sung
1. Tìm số tự nhiên a, b để A =
4a1b
chia hết cho 12
2. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của
a,b là 16.
3. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b
là 6.
4. Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b.
Chứng minh rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b thì hoặc nguyên tố
cùng nhau hoặc có một ước chung là 19
5. Cho hai số nguyen tố cùng nhau. Chứng inh rằng tích ab và tổng a
+ b của chúng cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.
6. Tìm các số tự nhiên a và b để A =
25a2b
chia hết cho 36 và số B =
a378b
chia hết cho 72.
7. Trong một buổi sinh họat ngoại khoá có 252 em học sinh khối lớp
6 ; 210 em khối 7; 126 em khối 8. Người ta chia đều số học sinh mỗi

khối vào từng nhóm. Mỗi nhóm đều có đủ học sinh 3 khối.
Có bao nhiêu cách thành lập nhóm, mỗi cách cho bao nhiêu nhóm,
mỗi nhóm có bao nhiêu người và số học sinh mỗi khối trong một nhóm
là bao nhiêu.
Đ 14. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1. Tích của hai số bằng tích của BCNN với ƯCLN của chúng.
ab =BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)
2. Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a,b thì thương của chúng
là những số nguyên tố cùng nhau.
3. Nếu a
M
m và a
M
n thì a
M
BCNN(m,n). Từ đó suy ra:
- Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó
chia hết cho tích của chúng.
6
- Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố đôi một cùng nhau
thì nó chia hết cho tích của chúng.
III/ Ví dụ: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 18 ; 30;
45; có số dư lần lượt là: 8 ; 20; 35.
Giải
Gọi số phải tìm là a. Ta có: a + 10 chia hết cho 18; 30; 45.
Vậy a + 10 ∈ BC (18,30,45).
BC (18,30,45) = 2.3
2

.5 = 90.
Suy ra a + 10 = 90k ( k∈N*).
Hay a = 90k – 10.
Với k = 1 thì a = 80 (mới có 2 chữ số)
Với k = 3thì a = 170 (có 3 chữ số)
Vậy số cần tìm là 170
IV. Bài tập:
Bài 144: Một xe lăn dành cho người tàn tật có chu vi bánh trước là
63cm, chu vi bánh sau là 186cm. Người ta đánh dấu hai điểm tiếp
đất cảu han bánh xe này. Hỏi bánh trước và bánh sâuphỉ lăn ít nhất
bao nhiêu vòng thì hai điểm được đánh dấu lại cùng tiếp đất một lúc.
Bài 145: Ba học sinh, mỗi người mua một loại bút. Giá ba loại lần lượt
là 1200 đồng, 1500 đồng, 2 000 đồng. Biết số tiền phải trả là như
nhau, hỏi mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu bút?
Bài 146: Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhưng nhỏ hơn 10000 của
các số 126 ; 140 ; 180.
Bài 147: Một số tự nhiên chia cho 12, 18, 21 đều dư 5. Tìm số đó biết
rằng nó xấp xỉ 1000.
Bài 148: Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp
hàng 10; 12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính
số học sinh khối 6.
Bài 149: Tìm hai số tự nhiên a và b biết:
BCNN (a, b) = 300 ; ƯCLN (a, b) = 15
Bài 150: Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và
BCNN của chúng là 210.
Bài 151: Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng
là 15.
Bài 152: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11
thì dư 5, chia cho 13 thì dư 8.
Bài 153: Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì

a
2
– 1 : 6.
7
Bài 154: Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho
120.
Bài tập bổ sung
1.Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1.
2. Tìm các số tự nhiên a, b biết
ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105
3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10,
chia cho 15 dư 13 và cxhia hết co 23.
4. Tìm hai số có 3 chữ số biết tổng của chúng là bội của 504 và
thương của số lớn chia cho số nhỏ là bội của 6.
5. Cho BCN(a,b) = 60 và a = 12. Tìm b?
6. Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A ho 4 hoặc hoặc 6 đều dư
1. Tìm A biết A < 400.
7. Tổng số học sinh khối 6 cua một trường có khoảng từ 235 đến 250
em, khi chia cho 3 dư 2, chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho
6 dư 5, chia 10 dư 9. tìm số học sinh của khối 6
Chuyên đề 4
Nguyên lý Điriclê và bài toán chia hết
Bài 155: Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng
có ít nhất hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 154: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Bài 154: Cho dãy số : 10; 10
2
; 10
3
; ;10

20
.
Chứng minh rằng tồn tại một số chia 19 dư 1.
Bài 158: Chứng minh răng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các
chữ số bằng 19.
Bài 159: Cho ba số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng các
chữ số bằng 19.
Bài 160: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai
số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.
Bài 161: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được
hai số có tổng chia hết cho 4.
Bài 162: Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chon
được ba số có tổng chia hết cho 4.
Bài 163: Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn
được ba số có tổng chia hết cho 3.
Bài 164: Cho 5 số tự nhiên lẻ bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn
chọn được bốn số có tổng chia hết cho 4.
Bài 165*: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc. Chứng
minh rằng khi ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể
nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một hay nhiều măt để tổng các số
trên đó chia hết cho 5.
8
Bài tập bổ sung
Ôn tập chương I
Bài 166: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý nhất.
a) 19 + 19 + +19 + 77 + 77 + +77
23 số hạng 19 số hạng
b) 1000! . (456.789789 – 789.456456)
Bài 167: Cho biểu thức 252 – 84: 21 + 7
a) Tính giá trị biểu thức đó

b) Nếu dùng dấu ngoặc thì có thể có những giá trị nào khác.
Bài 168: Tìm x biết:
a) x + (x + 1) + (2+x) + +(x+30) = 1240
b) 1 + 2 + 3 + +x = 210
Bài 169: Chiến thắng Đống Đa vào mùa xân năm 1978. Trong hệ
đếm CAN CHI năm đó là năm nào?
Bài 170: Chứng minh:
a) 10
n
+ 5
3

M
9 b) 43
43
-17
17

M
10
c) 555 5 chia hết cho 11 nhưng khôngchia hết cho 125
2n chữ số 5
Bài 171: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sso cho chia nó cho 17 dư 5 ; chia
nó cho 9 dư 12
Bài 172: Ngày 1 tháng 2 năm 2003 là ngày thứ 7.
a) Hỏi ngày 1 tháng 3 ; ngày 1 tháng 4 của năm này là ngày thứ
mấy?
b) Ngày 1 tháng 2 nămm 2004 là ngày thứ mấy?
Bài 173: Cho A = 4 + 4
2

+ 4
3
+ + 4
23
+ 4
24
. Chứng minh :
A
M
20 ; A
M
21 ; A
M
420
Bài 174: Cho n = 29k với k ∈N. Với giá trị nào của k thì n là :
a) Số nguyên tố.
b) Là hợp số.
Bài 175: Tìm x, y ∈ N biết (x+1)(2y-5) = 143.
Bài 176: Cho a là hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa
hai số nguyên tố khác nhau p
1
và p
2
. Biết a
3
có tất cả 40 ước hỏi a
2
có
bao nhiêu ước ?
Bài 177: Tìm a ∈N biết 355 chia a dư 13 và 836 chia cho a thì dư .

9
Bài 178*: Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4.
Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
Bài 179: Cho các số 12 ; 18 ; 27
a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó?
b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều dư 1?
Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia 12 dư 10 ; chia 18 dư 16 ; chia
27 dư 25?
Bài tập bổ sung chương I
Chương II. Số nguyên
Đ 1. Tập hợp Z các số nguyên. Thứ tự trong Z
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 180.
Bài 180
Bài 183: Cho A = {x ∈ Z | x > -9}
B = {x ∈ Z | x < - 4}
C = {x ∈ Z | x ≥ - 2}
Tìm A ∩ B ; B ∩ C ; C ∩ A
Bài 181: Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp trong đó có số 0.
Bài 182: Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số nguyên âm
nhỏ nhát có 2 chữ số có phải là 2 số nguyên liên tiếp nhau
không?
Bài 186: Tìm các giá trị thích hợp của a và b:
a)
a00
> -111
b)

a99−
> - 600
c)
cb3−
<
cba−
d)
-cba<c85
Bài 187: Cho ba số nguyên a;b;0. biết a là một số âm và a<b. Hãy
sắp xếp 3 số đó theo thứ tự tăng dần.
Bài 188: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề
nào sai?
a) Nếu a = b thì | a | = | b |
10
b) Nếu | a | = | b | thì a = b
c) Nếu | a | < | b | thì a < b
Bài 189: Tìm x biết:
a) | x | + | - 5 | = | 37 |
b) | -6 |.|x| = 54
Bài 190: Tìm x, y, z ∈ Z biết : | x | + | y | + | z | = 0
Bài 191: Tìm x ∈ Z, biết:
a) | x | < 10 c) | x | > -3
b) | x | > 21 d) | x | < -1
Bài tập bổ sung
Đ 2. Phép cộng hai số nguyên.
Tính chất phép cộng hai số nguyên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: Tính tổng S = (-351) + (-74) + 51 + (-126) + 149
IV. Bài tập:

192. Cho x ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ; 10}
y ∈ { -1 ; 1; 0; 1; ; 5}
Biết : x + y = 3.
193. Tính nhanh :
a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256
b) – 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172)
c) – 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78
194. Tính tổng các số nguyên x biết:
a) – 17 ≤ x ≤ 18
b) |x| < 25
195. Cho S
1
= 1 + (-3) +5 +(-7) + +17
S
2
= -2 +4 +(-6) + +(-18)
Tính tổng S
1
+ S
2

196. Cho x và y là những số nguyên tố có 3 chữ số. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.
197. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của
chúng.
198.Cho |x| = 5 ; |y| = 11. Tính x + y
199*. Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu . Tĩnh + y biết |x| + |y| = 10.
200. Tính tổng :
a) S
1

= a + |a| với a ∈ Z.
11
b) S
2
= a + |a| + a + |a| + + a với a ∈ Z
-
và có 101 số hạng.
201*. Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó
đều là một số âm. Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là một số
âm? Bài toán còn đúng không nếu thay 18 số bằng 19 số.
Đ 3. Phép trừ hai số nguyên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ:
IV. Bài tập:
202. Cho a và b các giá trị trong bảng sau. Tìm hiệu a – b. Không
cần thực hiện phép tính cho biết b – a.
a b a-b b-a
77 55
-29 1
-13 -6
0 -19
203. Tìm x biết (x + 153) – (48 – 193) = 1 – 2 – 3 – 4.
204. Cho |x| = 7 ; |y| = 20 với x, y ∈ Z. Tính x – y
205. Cho |x| ≤ 3; |y| ≤ 5 với x,y ∈ Z. Biết x – y = 2.
Tìm x và y ?
206. Tìm x ∈ Z biết :
a) |x + 8| = 6 b) | x+ a | = a với a ∈ Z.
207. Tìm x ∈ Z , biết:
1 < | x – 2| < 4.

208. Tìm x, y ∈ Z, biết | x + 35 – 40 | + | y + 10 – 11| ≤ 0.
209*. Cho x < y < 0 và |x| - |y| = 100. Tính x – y
210. Cho x ∈ {-2 ; -1; 0 ; 1; ; 11}
y ∈ { -89; -88; - 87; ; -1; 0 ; 11}
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị hỏ nhất của x – y.
211. Cho x, y ∈ Z.
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 1000 - |x + 5| có GTLN,
tìm GTLN đó.
b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm
GTNN đó.
12
c) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức
C = | x – 100 | + | y + 200 | - 1 có GTNN, tìm GTNN đó.

Bài tập bổ sung
Đ 4.Quy tắc chuyển vế. Quy tắc dấu ngoặc
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
IV. Bài tập:
212. Tính hợp lý:
a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 – ( 374 + 1125) + (-65
+374)
213. Đặt dấu ngoặc một cách hợp lý để tính các tổng đại số sau:
a) 942 – 2567 + 2563 – 1942
b) 12 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 + 5 - 4 + 3 + 2 -1
214. Tìm x biết:
a) 416 + ( x – 45) = 387
b) 11 – (x + 84) = 97
c) - (x + 84) + 213 = - 16
215. Chứng minh đẳng thức:

a) - (- a + b + c) + ( b + c – 1) = (b –c + 6) – ( 7 – a + b) + c
216. Cho A = a + b – 5; B = - b – c + 1
C = b – c – 4; D = b – a
Chứng minh A + B = C – D
217. Cho a > b ; Tính |S| biết:
S = - ( a – b – c ) + ( - c + b + a) – ( a + b)
218. Cho M = a + b – 1 và N = b + c – 1. Biết M > N hỏi hiệu a – c
dương hay âm ?
219. Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một ngôi sao năm cánh sao
cho tổng của hai số tại hai đỉnh liền nhau luôn bằng – 6. Tìm 5 số
nguyên đó?
Bài tập bổ sung
13
Đ 5. Phép nhân hai số nguyên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1- Luỹ thừa bậc chẵn của một số nguyên âm là một số nguyên
dương.
- Luỹ thừa bậc lẻ của một số nguyên âm là một số nguyên
âm.
2. a ≥ b ⇔ ac ≥ ab nếu c > 0
a ≥ b ⇔ ac ≤ ab nếu c < 0
3. Giá rị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối:
| a. b| = |a|.|b|
4. Với a ∈ Z thì a
2
≥ 0 ( dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0 )
III/ Ví dụ: Tìm a, b ∈ Z biết a,b = 24 và a + b = - 10.
Giải
Ta thấy ab > 0 nên a, b cùng dấu

a + b = -10 nên a, b cùng dấu âm
Do đó a. b = 24 = (-1).(-24) = (-2).(-12)= (-3).(-8) = (-4).(-6)
Trong các trườnghợp trên thì chỉ có (-4) + (-6) = -10
Vậy a = - 4; b = -6 hoặc a = - 6; b = - 4
Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng bằng tích
Giải
Gọi hai số cần tìm là x và y
Ta có xy = x + y
⇔ xy – x – y = 0
⇔ xy – x – y + 1 = 1
⇔ x(y – 1) – (y – 1) = 1
⇔ (y – 1)(x – 1) = 1 ⇔
1 1 1
1 1 1
y x
y x
− = − =


− = − = −

⇔
2; 2
0; 0
x y
x y
= =


= =


IV. Bài tập:
220. Tìm x ∈ Z biết:
a) x(x+3) = 0
b) (x – 2)(5 – x) = 0
c) (x-1)(x
2
+ 1) = 0
221. Thu gọn các biểu thức sau:
14
a) 7x – 19x + 6x b) –ab – ba
222. Cho A = (5m
2
– 8m
2
– 9m
2
)(-n
3
+ 4n
3
)
Với giá trị nào của m và n thì A ≥ 0
223. Tìm x biết:
a) – 12(x – 5) + 7(3 – x) = 5
b) 30(x + 2) – 6(x – 5) – 24x =100
224. Tìm x ∈ Z biết:
a) | 2x – 5 | = 13
b) 7x + 3| = 66
c) | 5x – 2| ≤ 0

225. Tìm x ∈ Z biết:
a) (x – 3) (2y + 1) = 7
b) (2x + 1) (3y – 2) = - 55.
226. Tìm x ∈ Z sao cho :
(x- 7) (x + 3) < 0
227. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợ lý:
a) 125.(-61).(-2)
3
.(-1)
2n
(n ∈N*)
b) 136.(-47) + 36.(-304)
c) (-48).72 + 36.(-304)
228. Tìm x ∈ Z biết:
a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + + (x + 99) = 0
b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 0
229. Cho m và n các số nguyên dương:
A =
2+4+6+ +2m
m
B =
2+4+6+ +2n
n
Biết A < B hãy so sánh m và n
230*. Cho 16 số nguyên. Tích của 3 số bất kì luôn là một số âm.
Chứng minh rằng tích của 16 số đó là một số dương.
231. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức:
a) (a + b)(a + b)
b) (a – b)(a – b)
c) (a + b)(a – b)

232. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp thì bình
phương của số ở giữa hn tich hai số kia đúng 1 đơn vị.
233. Cho a = - 20 ; b – c = - 5, hãy tìm A biết
A
2
= b(a – c) – c(a – b)
234. Biến đổi tổng thành tích:
a) ab – ac + ad b) ac + ad – bc – bd
235. Cho a, b , c ∈ Z. Biết ab – ac + bc – c
2
= -1
15
Chứng minh a và b là hai số đối nhau.
236*. Tìm x, y ∈ Z biết :
a) xy + 3x – 7y = 21
b) xy + 3x – 2y = 11
∈⇐ ⇔⇒ ±∈
Bài tập bổ sung
Đ 6. Bội và ước của một số nguyên
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1. Các tính chất về chia hết (hay không chia hết) đối với số tự
nhiên vẫn đúng với số nguyên.
2. Nếu alà bội của b thì - a cũng là bội của b. Nếu b là ước của
a thì -b cũng là ước của a. Do đó nếu số nguyên m có k ước tự
nhiên thì có thêm k ước âm (đó là các số đối của các ước tự
nhiên).
3. Chú ý:
- Trong tập hợp số Z , một số chia 3 dư 1; dư 2 được biểu diễ
bởi công thức 3k + 1; 3k + 2 hoặc gộp lại là 3k ± 1.

- Số lẻ được viết là 2k + 1 hoặc 2k – 1
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
237. Các số sau có bao nhiêu ước?
a) 54 ; b) – 196.
238. Chứng minh rằng nếu a
M
b thì |a|
M
|b|
239. Với n ∈ Z, các số sau là chẵn hay lẻ?
A = (n – 4)(n – 15) B = n
2
– n – 1
240. Co a, b , x , y ∈ Z trong đó x , y không đối nhau. Chứng minh
rằng nếu ax – by
M
x+ y thì ay – bx
M
x + y
241. Tìm các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của x và y sao cho
3x – 4y = -21 (Phương trình Điôphăng)
242. Cho S = 1 – 3 + 3
2
– 3
3
+ + 3
98
– 3
99

.
a) Chứg minh rằng S là bội của – 20
b) Tính S, từ đó suy ra 3
100
chia cho 4 dư 1.
243. Tìm số nguyên dương n sao cho n + 2 là ước của 111 còn n
– 2 là bội của 11.
244. Tìm n ∈ Z để;
16
a) 4n – 5
M
n
b) -11 là bội của n – 1
c) 2n – 1 là ước của 3n + 2.
245. Tìm n ∈ Z sao cho :
n – 1 là bội của n + 5 và n + 5 là bội của n – 1
246*. Tìm n ∈ Z để:
a) n
2
– 7 là bội của n + 3
b) n + 3 là bội của n
2
– 7
M
∈⇐ ⇔⇒ ±∈
M
Bài tập bổ sung
Đ 7. Ôn tập chương II
Ví dụ: Tìm x, y, z biết :
x – y = - 9 ; y – x = 10 ; z + x = 11

Ví dụ: Cho x ∈ Z hãy so sánh x
2
và x
3

Chú ý: để so sánh A và B ta thường xét hiệu A – B .
Nếu A – B > 0 thì A > B ; Nếu A – B < 0 thì A < B
Bài tập:
247. Tính giá trị của biể thức A với x = - 43; y = 17
A = - 125(x + x + + x – y – y – – y)
(x có 8 số hạng, y có 8 số hạng)
248. Cho biểu thức B = 1 10 100. Hãy điền vào cá ô trống
dấu của các phép tính cộng, trừ, nhân , chia và thêm dấu ngoặc
(nêu cần) để B là số nguyên lớn nhất, số nguyên nhỏ nhất.
249. Tìm x ∈ Z biết 2 ≤ |x| ≤ 5
250. Tìm x ∈ Z
a) – 3x + 5 = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1| = 20
251. Cho A = {6 ;7; 8; 9 } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8}
a) Có bao nhiêu hiệu dạng a – b với a ∈ A; b ∈ B
b) Có bao nhiêu hiệu chi hết cho 5
c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm ?
252. Số (-3)
20
+ có phải là tích của hai số nguyên liên tiếp không ?
253. Tìm x ∈ Z biết (x + 5)(3x – 12) > 0
254. Tìm x ∈ Z biết (x
3
+ 5)(x
3
+ 10)(x

3
+ 30) < 0
255. Tìm x, y ∈ Z biết (x – 7)(xy + 1) = 9
256. Cho a, b, c, d∈ Z .
17
Biết tích ab là số liền sau của tích cd và a + b = c + d.
Chứng minh rằng a = b
257. Tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng hiệu của chúng.
Chuyên đề Phương trình Điôphăng
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Ví dụ: 1
Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên x và y sao cho
2x + 5y = 19
Cách 1: Vì x,y ∈ N ⇒ 5y ≤ 19 ⇒ y < 4
Mặt khác vì 19 là số lẻ nên 2x + 5y là số lẻ
2x là số chẵn và 5y là số lẻ:
Do đó y = 1 hoặc y = 3.
Với y = 1 ta có: 2x + 5.1 = 19
2x = 14
x = 7
Với y = 3, ta có: 2x + 5.3 = 19
2x = 4
x = 2
Vậy với x = 7 và y = 1 ; x = 2 và y = 3
Cách 2: Từ (1) ta có:
x =
19 - 15y
2
= 10 - 3y +
y - 1

2

Để x ∈ N thì
y-1
2
∈ N hay y = 2n + 1 với n ∈ N, do đó x = 7 – 5n ≥ 0
⇒ n = 0 hoặc n = 1. Tương ứng ta được x, y.
Ví dụ 2: Trăm trâu trăm cỏ. Trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, lụ khụ
trâu già, ba con một bó. Hỏi số trâu mỗi loại?
Bài tâp:
Chương III. Phân số
Bài 1. Mở rộng khái niệm về phân số. Hai phân số bằng nhau.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: Tìm x, y ∈ Z biết :
x 3
=
15 y
và x < y < 0
IV. Bài tập:
18
258. Trong các số sau, số nào là phân số:
-5
7
;
43
1
;
5
a - 3

(a∈ Z) ;
2
9
a 5−
(a∈ Z) ;
7: 2a
10
(a∈ Z)
259. Cho n ∈ N, hỏi sau n giờ thì kim gìơ quay được bao nhiêu vòng?
Với giá trị nào của n thì vòng quay là số tự nhiên.
260. Viết các phân số dưới đây dưới dạng phân số có mẫu số dương,
biết a∈ Z
3
-4
;
- 5
a - 3
với a < 3 ;
2
6
- a - 1
261. Từ ba số 2, 10, 50, trong đó có 1 số được dùng hai lần hãy
viết các cặp phân số bằng nhau
262. Trong các phân số sau, những phân số nào bằng nhau?
15 -17 6 28 3
; ; ; ;
60 5 15 -20 12
263. Tìm x ∈ Z , biết :
a)
111 91

< x <
37 13
b)
-84 108
< 3x <
14 9
264. Cho A =
3n - 5
n + 4
Tìm x ∈ Z để A có giá trị nguyên.
265. Tìm n ∈ Z để các phân số sau có giá trị nguyên:
15 8
12
; ;
n
n-2 n+1
266. Tìm x ∈ Z, biết :
a)
8
x - 1
=
9
3
b)
- 4
- x
=
9
x
c)

18
x
=
4
x + 1
267. Tìm x, y ∈ Z biết:
a)
9
x
=
7
y
và x > y b)
y
- 2
=
x
5
và x < y < 0
268. Tìm x, y ∈ Z biết:
4
x - 4
=
y - 3
3
và x – y = 5
Bài 2. Tính chất cơ bản của phân số. Rút gọn phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
19

III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 3. Quy đồng mẫu số nhiều phân số. So sánh phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Đ 4. Chuyên đề
Một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số
Bài 5. Phép cộng phân số. Tính chất cơ bản phép cộng phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 6. Phép trừ phân số.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 7. Phép nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép nhân phân
số.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 8. Chuyên đề : Tổng các phân số viết theo quy luật
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
20

IV. Bài tập:
Bài 9. Phép chia phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 10. Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 11. Ba bài toán cơ bản về phân số.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Đ 12. Chuyên đề
Toán công việc làm đồng thời
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 13. Chuyên đề
Toán về tính tuổi.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
21
Đ 14. Ôn tập chương

M
⊥
∆⇒≤ ≥±
∉ ∈≈≡∈ ⊃ ∪ ∩ ∅ ⊃ ⊇ ⊄  ≠ × ⊥ ∃ ∀ ÷ ± ±
1. Cho A =
2x
5 x
+
+
. Tìm x để :
a) Có giá trị là một số nguyên b) A có giá trị lớn nhất
2. Tìm cặp số nguyên (x;y) biết;
a)
2y
1
3
1
9
1-x
+
=+
b)
9
2
12
y2
18
13x
=+
+

và x - y = -1
3. Cho A =
12x
5 2x
−
+
. Tìm x ∈ Z để:
a) A là phân số ? b) A là một số nguyên
c) Tìm x để A có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất?
4. Tìm số nguyên x biết;
a)
8
3
6
12x
4
1x
3
2
2
x
=
+
+
+
++−
x
b)
26
12

36x
6
24
10
12x
3
=
+
−
+
+
+ x
5. Chứng minh
a)
1
100
1

52
1
51
1
2
1
<+++<
b)
6
5
40
1

22
1
21
1
12
7
<+++<
22
6. Cho S =
19
6

16
6
15
6
+++
a) Chứng minh rằng 1 < S < 2
b) Từ câu a hãy suy ra S ∉ Z
7. Cho A =
32
1 4n
+
+
n
. Tìm n ∈ Z để:
a) A là một số nguyên
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A?
8. Tìm hai số nguyên a và b biết rằng :

1b
1
2
1
7
a
+
=−
.
9. a) Chứng minh:
n)a(a
n
na
1
a
1
+
=
+
−
S
1
=
100.99
1

3.2
1
2.1
1

+++
S
2
=
2005.2001
4

9.5
4
5.1
4
+++
S
3
=
1000.999
2

14.12
2
12.10
2
+++
10. Tìm x∈N sao cho

2006
2005
)65)(15(
5

11.6
5
6.1
5
=
++
+++
xx
11. Cho P =
)32)(12(
2

5.3
2
3.1
2
++
+++
nn
Chứng minh P < 1, ∀ n∈ N
*
12. a) Chứng minh ∀ n∈ N, n > 1 ta có
n
1
1-n
1
n
1
n
1

1-n
1
2
+>>−

b) áp dụng câu (a) hãy chứng minh
202
99
100
1

3
1
2
1
100
99
222
>+++>
13. Tính giá trị biểu thức : S =
2005.2002
1

7.4
1
4.1
1
+++
áp dụng tính:
P =

101.96
3

11.6
3
6.1
3
+++
Q =
100.99.98
1

4.3.2
1
3.2.1
1
+++
14. Tính giá trị biểu thức sau:
A = 1+
200632
2
1

2
1
2
1
2
1
++++

B =
10110032
3
1
3
1

3
1
3
1
3
1
−++−+−
C =
1.999
1
3.997
1

997.3
1
999.1
1
999
1

5
1
3

1
1
++++
++++
15. Chứng minh rằng:
a)
4
1
2007
1

6
1
5
1
232
<+++
b)
5
1
2007
1

6
1
5
1
232
>+++
23

Phòng GD
Quận Cầu giấy
Đề KTCL Học sinh giỏi vòng II năm 2005 - 2006
Môn Toán 6 - thời gian 120 phút
Bài 1( 4đ):
Tính nhanh:
A = 1 + 3 - 5 -7 + 9 + 11 - 397 - 399
B = 2
100
- 2
99
- 2
98
- - 2
2
- 2
1
- 1
Bài 2 (4đ):
Số 36 chia cho số nguyên a rồi trừ đi a. Lấy kết quả này chia cho a
rồi trừ đi a. Lại lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a. Cuối cùng được
số -a. Tìm số a?
Bài 3(3đ):
Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a,b∈N). Chứng minh 10a + b chia
hết cho 13.
Bài 4 ( 3đ):
24
Cho phân số
85357
57643

. Hãy tìm một số nguyên sao cho khi tử số cộng
với số đó và mẫu số trừ đi số đó ta được phân số bằng
6
7
.
Bài 5 ( 6đ):
Cho góc BOC bằng 75
0
. A là một điểm nằm trong góc BOC. Biết
góc BOA bằng 40
0
.
a) Tính góc AOC.
b) Vẽ OD là tia đối của OA. So sánh hai góc BOD và COD.
M
⊥
∆⇒≤ ≥±
∉ ∈≈≡∈ ⊃ ∪ ∩ ∅ ⊃ ⊇ ⊄  ≠ × ⊥ ∃ ∀ ÷ ± ±
1) Cho biểu thức A =
42
22
−
+
n
n
với n ∈Z.
a) Với giá trị nào của A thì A là phân số.
b) Tìm giá trị của A để A là số nguyên.
2. Rút gọn phân số :
a) M =

248
4654
8.234.81.3
3.3.27.9
b) N =
11124
956
63.8
120.69.4
−
+
3. Cho hai phân số
n
1
và
1n
1
+
(n ∈ Z n > 0). Chứng tỏ rằng;
25