SKKN Phương pháp tìm tham số để hàm số biền thiên trên một miền

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP TÌM THAM SỐ
ĐỂ HÀM SỐ BIỀN THIÊN TRÊN
MỘT MIỀN



Họ và tên tác giả: Ngô –Phúng
Chức vụ: TTCM Tổ Toán-Tin



Sở GD-ĐT Ninh Thuận
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc










A. ĐẶT VẤN ĐỀ:

rong các bài toán ở trường phổ thông, bài toán tìm điều kiện để hàm số biến
thiên trên 1 khoảng cho trước thường gặp trong các kỳ thi mà phương pháp
là học sinh thường sử dụng kiến thức tam thức bậc 2 và so sánh nghiệm với
1 số thực theo chương trình cũ ,nhưng khi cải cách sách theo chương trình
chuẩn và nâng cao thì không học định lý đảo dấu tam thức bậc 2 và so sánh 1 số thực
với các nghiệm phương trính bậc 2 nên học sinh lúng túng và giải rất khó khăn loại bài
toán này.Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tài liệu,cùng học hỏi đồng nghiệp tôi
mạnh dạn trình bày “Phương pháp giải bài toán tìm tham số để hàm số biến thiên trên
một miền cho trước “

B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:
Để học sinh ôn tập , học sinh tiếp thu bài có hiệu quả, kích thích sự tò mò và khám
phá vấn đề của học sinh sau tiết dạy thì công việc chuẩn bị cũng như quá trình lên lớp
của giáo viên phải chuẩn bị hết sức kỹ lưỡng và tiến hành tuần tự các bước như sau:
I/. BƯỚC CHUẨN BỊ:

1/. Hệ thống bài tập và nội dung kiến thức cần truyền đạt:
- Sưu tầm các bài toán “bài toán tìm tham số để hàm số biến thiên trên một miền”
và đặc biệt là các bài toán có trong các đề thi của một số năm trước.
- Chọn một số bài tập tiêu biểu để giải bằng phương pháp này mà gặp khó khăn
khi giải phương pháp khác.
- Hướng dẫn học sinh mở rộng thành nhiều bài toán mới.
- Chuẩn bị hệ thống bài tập về nhà.
2/. Xây dựng phương pháp giải:
Bài toán : Tìm tham số m để
(
)
;
y f x m
= tăng hoặc giảm trên khoảng I
Bước 1: - Tập xác định D (Ta phải có
I D
Ì
)
- Định m để
(
)
; 0
f x m
¢
³
hay
(
)
; 0
f x m

¢
£

x I
" Î

-Từ
(
)
; 0
f x m
¢
³
hay
(
)
; 0
f x m
¢
£
suy ra
( ) ( )
g x f m
³
hay
( ) ( )
g x f m
£

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số

( )
y g x
=
trên tập hợp I.
- Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
y g x
=
trên I.
- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
- Từ đó suy ra điều kiện tham số.

T







3/. Chọn bài tập mẫu giải tại lớp:
Bài 1: Tìm m để hàm số y=
3
1
x
3
-2x
2
+mx-2 đồng biến trên (-
¥

,1)
Bài 2: Tìm m để hàm số y= -
3
1
x
3
+(m-1)x
2
+(m+3)x-4
a) Nghịch biến trên
(
)
2;
+¥

b) Đồng biến trên
(
)
0;3

Bài 3: Tìm m để hàm số y=
2
26
2
+
-+
x
xmx
nghịch biến trên
(

)
1;
+¥

Bài 4: Tìm m để hàm số y=
m
x
mxmx
-
++-+ 1)1(2
2
đồng biến trên
(
)
1;
+¥


4/. Bài tập về nhà:
Bài 1: Tìm m để hàm số y= -x
3
-3x
2
+mx+4 nghịch biến trên
(
)
0;
+¥

Bài 2: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 2 1 12 5 2
y x m x m x
= - + + + +

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
2;
+¥

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
; 1
-¥ -
và
(
)
2;
+¥

Bài 3: Tìm m để hàm số y=
1
32
2
-
+-

x
mxx

a) Đồng biến trên
(
)
3;
+¥

b) Nghịch biến trên (-2;0)
Bài 4: Tìm m để hàm số y =
2
5
3
x mx
x
+ -
-
đồng biến trên khoảng
(
)
1;0
-

Dụng ý:- Không sử dụng kiến thức tam thức bậc 2 và so sánh nghiệm với các
số thực
- Kỹ năng sử dụng :
( ); max ( )
x D
m g x x D m g x

Î
³ " Î Û ³

( ); min ( )
x D
m g x x D m g x
Î
£ " Î Û £















II/. BƯỚC SOẠN GIẢNG:
Bài dạy: Phương pháp giải bài toán tìm tham số để hàm số
biến thiên trên một miền cho trước
A/. Mục tiêu:
1/. Kiến thức:
- Nắm vững định nghĩa và định lý cơ bản tính đơn điệu hàm số học ở bài đầu tiên
- Vận dụng cho từng loại hàm số.

- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp đạo hàm
2/. Kỹ năng:
- Linh hoạt trong mọi tình huống.
- Kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số
3/. Tư duy:
- Phân tích tổng hợp.
- Quan hệ biện chứng.
- Tính sáng tạo.
B/. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
1/. Giáo viên:
- Chuẩn bị các phương pháp.
- Bài tập mẫu.
- Bài tập tự giải ở nhà.
2/. Học sinh:
- Nắm vững trước phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số
- Biết lập bảng biến thiên của các hàm số
C/. Hoạt động dạy học:
I/. Kiểm tra bài cũ: (5 phút)
Câu hỏi: Nêu phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến:
( )
y f x
=
trên D bằng đạo hàm.
Ứng dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
2
2 3
2 1
x x
x
+ -

+
trên
(
)
2;
+¥

Giáo viên: Nhận xét và chuyển qua bài mới.















II/. Hoạt động trên lớp:

Hoạt động của thầy và trò

Nội dung ghi bảng

Thờ

i
gian

GV: Sau khi các em đã biết cách tìm
giá trị lớn nhất-nhỏ nhất của hàm số
một biến bằng phương pháp đạo hàm
Tiết học hôm nay giúp các em tìm
tham số m để hàm số biến thiên trên
1 miền
Bài toán 1:
Kiến thức cơ bản:
( ) max ( )
x D
m g x x D m g x
Î
³ " Î Û ³
( ) min ( )
x D
m g x x D m g x
Î
£ " Î Û £
GV: ĐK để hàm số đồng biến
trên (-
¥
;1)
HS: y’
³
0 ,
"
x

Î
(-
¥
;1)
GV: Khi m
³
-x
2
+4x,
"
x
Î
(-
¥
;1) thì
m như thế nào ?
HS: m
³
(
]
ax
;1
M
x
Î -¥
g(x)
với g(x)= -x
2
+4x
Ta tìm max g(x)

"
x
Î
(
]
;1
-¥

GV : Gọi học sinh giải





Bài toán 1: Tìm m để hàm số :
y y=
1
3
x
3
-2x
2
+mx-2 đồng biến trên (-
¥
;1)
Bài giải:
Ta có y’=x
2
-4x+m
Để hàm số đồng biến trên (-

¥
;1)

Û
y’
³
0 ,
"
x
Î
(-
¥
;1)

Û
x
2
-4x+m
³
0 ,
"
x
Î
(-
¥
;1)
Û
m
³
-x

2
+4x,
"
x
Î
(-
¥
;1)
Û
m
³
Max g(x) ,
"
x
Î
(
]
;1
-¥

Tìm GTLNg(x)
"
x
Î
(
]
;1
-¥
: Ta có
g’(x) = -2x+4, Cho g’(x) = 0

Û
x=2
BBT

+

3

-¥

1
g(x)

g'(x)

x

-¥


Vậy
(
( )
;1
Maxg x
x
ù
ú
û
=

Î -¥
g(1)=3
Þ
m
³
3


1
phuùt








7
phuùt

KẾT LUẬN : Với m
³
3 thì hàm số đồng
biến trên (-
¥
,1)




Bài toán 2:





GV: Gọi HS giải câu a và GV gợi ý
HS: Dự kiến trả lời
Û
y’
£
0
"

x
Î
(
)
+¥,2
Û
-x
2
+2(m-1)x+m+3
£
0;
"
x
Î
(
)
2;
+¥

Û
m(2x+1)
£
x
2
+2x-3;
"
x
Î
(
)

2;
+¥

Û
m
£
1
2
32
2
+
-+
x
xx
;
"
x
Î
(
)
2;
+¥
,
GV: Bài toán đã cho trở thành
Tìm giá trị nhỏ nhất của
g(x)=
1
2
32
2

+
-+
x
xx
với x
Î
(
)
2;
+¥

GV: Đạo hàm
( )?
g x
¢

HS: Dự kiến trả lời
g’(x)=
2
2
)12(
822
+
++
x
xx

GV: cho hs lập BBT và kết luận

GV: Nhận xét:

Bài toán 2: Tìm m để hàm số:
y = -
1
3
x
3
+(m-1)x
2
+(m+3)x-4
a) Nghịch biến trên
(
)
2;
+¥

b) Đồng biến trên
(
)
0;3




Bài giải:
Ta có y’=-x
2
+2(m-1)x+m+3
Để hàm số nghịch biến trên
(

)
2;
+¥

Û
y’
£
0;
"
x
Î
(
)
2;
+¥

Û
-x
2
+2(m-1)x+m+3
£
0;
"
x
Î
(
)
2;
+¥

Û
m(2x+1)
£
x
2
+2x-3;
"
x
Î
(
)
2;
+¥

Û
m
£
1
2
32
2
+
-+
x
xx
;
"
x
Î
(

)
2;
+¥
,
( vì 2x+1>0
"
x
Î
(
)
2;
+¥
)
Û
m
£
Min g(x) ;
"
x
Î
[
)
2;
+¥

Tìm GTNN g(x);
"
x
Î
[

)
2;
+¥
:
Ta có g’(x)=
2
2
)12(
822
+
++
x
xx
>0;
"
x
Î
[
)
2;
+¥

BBT:

14
phuùt

GV: gọi hs giải câu b và gviên gợi ý


GV: Khi m
³
1
2
32
2
+
-+
x
xx
;
"
x
Î
(
)
0;3
,
thì m
³
Max g(x) hay m
³
Min g(x)
"

x
Î

[
]
0;3
?
HS: m
³
Max g(x) ;
"
x
Î

[
]
0;3



GV: Cho học sinh tìm
Max g(x);
"
x
Î

[
]
0;3
và kết luận m?

Bài toán 3:


GV: Tính y’

2

+
1


+¥


g(x)
g'(x)

x


+¥

Vậy
[
)
( )
2;
Ming x
x
Î +¥
=g(2)=1
Þ
m
£
1

Kết luận : Với m
£
1 thì hàm số nghịch biến
trên
(
)
2;
+¥


b) Để hàm số đồng biến trên
(
)

0;3
Û


Û
y’
³
0;
"
x
Î
(
)
0;3

Û
m
³
1
2
32
2
+
-+
x
xx
;
"
x
Î

(
)
0;3
,
(vì 2x+1>0;
"
x
Î
(
)
3,0
)
Û
m
³
Max g(x) ;
"
x
Î

[
]
0;3
:
Tìm GTLN g(x)
"
x
Î
[
]

0;3

Với g(x) =
1
2
32
2
+
-+
x
xx




BBT

0

-
¥
+

12
7

3
-

3

g(x)

g'(x)

x

Vậy
( )
0;3
Max g x
x
é ù
ê ú
ë û
=
Î
g(3) =
7
12

Þ
m
³
7
12

Kết luận : Với m
³
7

12
thì hàm s
ố
đồng biến trên
(
)
0;3

Bài toán 3: Tìm m để hàm số :

HS: y’=
2
2
)2(
144
+
++
x
mxmx

GV: Hsố nghịch biến trên
(
)

1;
+¥
Û
?

GV: Đặt g(x) =
xx 14
14
2
+
-

m
£
xx 14
14
2
+
-
;
"
x
Î
(
)
1;
+¥
khi
m
£

Ming(x) hay m
£
Max g(x) ?

GV: Bài toán trở thành Tìm giá trị
nhỏ nhất của g(x) trên
[
)
1;
+¥

GV: Lập bảng biến thiên của g(x)
trên
[
)
1;
+¥


HS: Lập BBT và kết luận giá trị m
cần tìm

Bài toán 4:

GV: Hướng dẫn và gọi học sinh giải
tương tự các bài toán trên


HS: Giải và sau đó lớp nhận xét

GV: Nêu điều kiện hàm số đồng biến
y=
2
6 2
2
mx x
x
+ -
+
nghịch biến trên
(
)
1;
+¥

Bài giải:
Ta có y’=
2
2
)2(
144
+

++
x
mxmx

Để hàm số nghịch biến trên
(
)
1;
+¥
Û


Û
mx
2
+4mx+14
£
0;
"
x
Î
(
)
1;
+¥


Û
m(x
2

+14x)
£
-14 ;
"
x
Î
(
)
1;
+¥


Û
m
£
xx 14
14
2
+
-
;
"
x
Î
(
)
1;
+¥

Û
m
£
Ming(x) ;
"
x
Î
[
)
1;
+¥

Tìm GTNN g(x);
"
x
Î
[
)
1;
+¥

Ta có g’(x) =
22
)14(
)7(28
xx
x
+
+

Cho g’(x)=0
Û
x=-7
Bảng biến thiên:

1

-
¥
+

14
15
-

+¥

g(x)

g'(x)

x
+¥


Vậy
)
( )
1;
Ming x

x
é
ê
ë
Î +¥
=g(1) =
14
15
-


Þ
m
£
14
15
-

Kết luận: Với m
£
14
15
-
thì hàm số nghịch biến
trên
(
)
1;
+¥

Bài toán 4: Tìm m để hàm số :
y =
2
2 (1 ) 1
x m x m
x m
+ - + +
-

đồng biến trên
(
)
1;
+¥

Bài giải:
Ta thấy : y’=
2
22
)(
1242
mx
mmmxx
-
+-

8phuùt












8
phút

trên
(
)
1;
+¥
?




Đặt g(x) =
2 2
2 4 2 1
x mx m m
- + - -

Hãy tìm Min g(x)
"
x
Î
[
)
+¥,1 với
m
£
1 ?
Để hàm số đồng biến trên
(
)

1;
+¥

Û
( )
2 2
( ) 2 4 2 1 0 1;
1
g x x mx m m x
m
ì
= - + - - ³ " Î +¥
ï
í
£
ï
î

Û
[
)
( ) 0; 1;
1
Ming x x
m
ì
³ " Î +¥
í
£
î

( *)
Tìm GTNN g(x);
"
x
Î
[
)
+¥,1 với m
£
1
Ta có g’(x) =4(x-m) ,
Cho g’(x) =0
Û
x=m
Bảng biến thiên:

1

-

¥
+

+¥

+¥

g(x)
g'(x)

x

2
6 1
m m
- +


Vậy Min g(x)
"
x
Î
[
)
1;
+¥
với m
£
1
là : g(1)=m
2
-6m+1
( *)
Û
î
í
ì
£
³+-
1

016
2
m
mm

Û
3 2 2
m £ -
Kết luận , Với
3 2 2
m £ - thì hàm số đồng
biến trên
(
)
1;
+¥

II/. Củng cố và dặn dò: (2 phút)
- Từ phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Bài học hôm nay
giúp các em nắm được một số cách tìm giá trị tham số để hàm số đồng biến hay nghịch
biến trên 1 miền mà không sử dụng dấu tam thức bậc 2
- Các em phải tự bản thân nỗ lực và rèn luyện thêm

♣♣ Bài tập về nhà.
Bài 1: Tìm m để hàm số y= -x
3
-3x
2
+mx+4 nghịch biến trên
(

)
0;
+¥

Bài 2: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 2 1 12 5 2
y x m x m x
= - + + + +

c) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
2;
+¥

d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
; 1
-¥ -
và
(
)
2;
+¥

Bài 3: Tìm m để hàm số y=
1

32
2
-
+-
x
mxx








a) Đồng biến trên
(
)
+¥,3
b) Nghịch biến trên (-2,0)
Bài 4: Tìm m để hàm số y =
2
5
3
x mx
x
+ -
-
đồng biến trên khoảng
(
)

1;0
-
♣♣ Hướng dẫn Bài tập về nhà :
Bài 1: m
£
Ming(x)
"
x
Î
[
)
0;
+¥
với g(x)=3x
2
+6x ; Đáp số m
£
Ming(x) = 0
Bài 2: a)
2
3 6 5
12 2
1
x x
m Min x
x
- +
£ " ³
-
; Đáp số m

£

5
12

b)
2
3 6 5
12 1
1
x x
m Max x
x
- +
³ " £ -
-
;
2
3 6 5
12 2
1
x x
m Min x
x
- +
£ " ³
-
;
Đáp số :
7 5

12 12
m- £ £
Bài 3: a) m
£
Min g(x)
"
x
Î
[
)
3;
+¥
với g(x)=
2
2 4 3
x x
- +
Đáp số
9
m
£

Bài 3: b) m
³
Max g(x)
"
x
Î

[

]
2;0
- ;với g(x)=
2
2 4 3
x x
- +
Đáp số
19
m
³

Bài 4: 3m
£
Min g(x)
"
x
Î
[
]
1;0
- ; với g(x)=
2
6 5
x x
- +
; Đáp số
5
3
m

£

C. ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ:
Với việc dạy cho học sinh tiếp cận dạng toán “tìm tham số để hàm số biến thiên
trên một miền” thông qua phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là
rất cần thiết vì so với các phương pháp khác thì đây là một phương pháp dễ tiếp cận và
giải được nhiều bài toán. Qua đó giúp các em tự tin khi bước vào các kỳ thi. Đặc biệt là
tuyển sinh đại học và kỳ thi học sinh giỏi sắp tới của các em
Sau khi dạy vấn đề này một thời gian tôi cho kiểm tra và đánh giá thì thấy đạt hiệu
quả khá cao và kết quả như sau:
1/. Năm học 2008 – 2009:
Đề: Tìm m để hàm số y =
3 2
1
1
3
x mx mx
- - +
đồng biến trên khoảng (0;
+¥
)
Kết quả:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu
12A6 50 29 18 3 0
12A7 48 31 15 2 0

Nhận xét:
- Đa số các em nắm được cách giải.
- Một số em mắc lỗi tính toán.

2/. Năm học 2009 – 2010:
Đề: Tìm m để hàm số y =
3 2
1
( 1) (5 ) 1
3
mx m x m x
- + + - +
đồng biến trên khoảng

( ;1)
-¥

Kết quả:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu
12A4 45 32 9 4 0
12A6 42 37 4 1 0
12 A11 43 35 8 0 0
Nhận xét:
- Đa số các em nắm được cách giải.
- Một số em mắc lỗi tính toán.
D. KẾT LUẬN:
Để học sinh giải các bài tập về dạng này ở các kỳ thi, người thầy phải biết tìm tòi
cách dạy toán khó thường gặp, đồng thời hệ thống và trang bị cho các em một số các

cách giải quyết cơ bản, qua đó giúp các em tự giải quyết và tiếp tục nghiên cứu thêm.
Đồng thời phải biết vận dụng bố trí thời gian giảng dạy để ôn tập các em có hiệu quả.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân, tôi đã vận dụng nhiều năm cho các
lớp dạy về vấn đề tìm tham số để hàm số biến thiên trên một miền; có thể ngắn gọn và
dễvận dụng mà bản thân tôi thấy mang lại hiệu quả tốt.
Tuy nhiên, để bài dạy ngày càng được hoàn hảo, bản thân luôn mong được sự đóng
góp của các đồng nghiệp để sáng kiến ngày càng hoàn thiện và áp dụng có khả thi hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Đánh giá xếp loại tổ CM



Ngoâ Phuùng

Phan Rang-TC, ngày 05 tháng 5 năm 2010
Người viết


Ngô Phúng


Nhận xét của HĐKH Trường THPT Chu Văn An
Chủ tịch HĐKH