Không dùng định lý đảo cũng tìm được điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Giáo viên: Lê-Viết-Hòa,Tổ Toán-Tin,Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT_Huế
PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM
SỐ ĐỒNG BIẾN (HAY NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT MIỀN.
Trong chương trình môn toán THPT, qua các kỳ thi, kiểm tra ở lớp 12 chúng ta thường gặp bài toán
“Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( )
,=y f x m
đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng I
nào đó” (trong đó I là một trong các khoảng
( ) ( ) ( )
; , ; hay ;a b a b−∞ +∞
).
Bài toán trên có nhiều cách giải khác nhau. Trước đây trong chương trình môn toán THPT cũ chưa
phân ban ta thường sử dụng cách so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai dựa vào
định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Hiện nay trong sách giáo khoa môn toán lớp 10 chương
trình THPT phân ban không có định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai nên việc so sánh một số
với các nghiệm của tam thức bậc hai sẽ gặp một số khó khăn nhất định.
Bài viết này sẽ đề cập đến cách giải quyết bài toán trên khi chúng ta không có định lí đảo về dấu
của tam thức bậc hai để so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai.
Để giải quyết bài toán trên nếu chúng ta biết cách so sánh một số với các nghiệm của tam thức
bậc hai mà không dựa vào định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Sau đây là một số kiến thức
liên quan cần thiết cho việc giải quyết vấn đề trên.
1. Cơ sở lý thuyết.
Định lý Vi-ét:
Nếu phương trình bậc hai
( ) ( )
2
0 0f x x bx c a= + + = ≠
có hai nghiệm
1 2
,x x

thì ta có
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a
−

= + =




= =


.
2. Hệ quả.
Từ định lý Vi-et, ta có:
1/
( )
0f x =
có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P<0
2/
( )
0f x =

có 2 nghiệm cùng dấu ⇔
0
0P
∆ ≥


>

3/
( )
0f x =
có 2 nghiệm cùng âm ⇔
0
0
0
S
P
∆ ≥


<


>

4/
( )
0f x =
có 2 nghiệm cùng dương ⇔
0

0
0
S
P
∆ ≥


>


>

Do đó, ta có:
1/
( )
0f x =
có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
x x
α
< <
⇔
( )
0f x =
có 2nghiệm
1 2
,x x

thoả
1
2
0
0
α
α
− <


− >

x
x
⇔
( )
0g t =
có nghiệm thoả
1
2
0
0
t
t
<


>

(với

t x
α
= −
)
⇔
( )
0g t =
có 2 nghiệm trái dấu.
⇔
0
g
P <
2/
( )
0f x =
có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
x x
α
≤ <
⇔
( )
0f x =
có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả

1
2
0
0
x
x
α
α
− <


− <

⇔
( )
0g t =
có 2nghiệm thoả
1
2
0
0
t
t
<


<

(với
t x

α
= −
)
⇔
( )
0g t =
có 2 nghiệm cùng âm.
PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN (HAY NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT MIỀN
Giáo viên: Lê-Viết-Hòa,Tổ Toán-Tin,Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT_Huế
⇔
0
0
0
g
g
g
S
P

∆ ≥

<


>

3/
( )
0f x =
có 2 nghiệm

1 2
,x x
thoả mãn
1 2
x x
α
< ≤
⇔
( )
0f x =
có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả
1
2
0
0
x
x
α
α
− >


− >

⇔
( )
0g t =

có 2 nghiệm thoả
1
2
0
0
t
t
>


>

(với
t x
α
= −
)
⇔
( )
0g t =
có 2 nghiệm cùng dương.
⇔
0
0
0
g
g
g
S
P


∆ ≥

>


>

3. Ví dụ minh họa.
Sau đây chúng ta xét một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
( )
2
1
, 1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
đồng biến trên
( )
1;+∞
?
Giải: TXĐ:
{ }
\ 1D = R
Ta có

( )
( )
( )
2
2 2
2 1
'
1 1
g x
x x m
y
x x
− − +
= =
− −
Hàm số (1) đồng biến trên
( )
1;+∞
⇔
( )
' 0, 1;y x≥ ∀ ∈ +∞
⇔
( ) ( )
0, 1;g x x≥ ∀ ∈ +∞
⇔
( )
'
1 2 1 2
0
0, ,

g
g x x x x x

∆ <

= ≤ ≤


cã 2 nghiÖm tháa m·n 1

⇔
'
2
1 2 1 2
0
2 1 0, ,
g
m
x x m x x x x

∆ = <

− − + = ≤ ≤


cã 2 nghiÖm tháa m·n 1
⇔
<



− = ≤ ≤

2
1 2
0
0, cã 2 nghiÖm tháa m·n 0
m
t m t t
(với
1t x
= −
)
⇔
0
' 0
0 0
0
m
m
S
P m
<


∆ = ≥




= ≤




= − ≥



⇔
0
0
m
m
<


=

⇔
0m
≤
Vậy với
(
]
;0m∈ −∞
thì hàm số (1) đồng biến trên
( )
1;+∞
.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
( ) ( ) ( ) ( )

2
3 2
1 3
2 6 1 , 2
3 2
y m x m x m x= − − − − +
nghịch biến trên
( )
1;0−
Giải: TXĐ:
D = R
Ta có
( ) ( ) ( )
2
2
' 2 3 6 1y m x m x m= − − − − +
Hàm số (2) nghịch biến trên
( )
1;0−
⇔
( )
' 0, 1;0y x≤ ∀ ∈ −
+ Khi m=2, ta có
1
' 12 1 0
12
y x x= − ≤ ⇔ ≤
tức là
( )
' 0, 1;0y x≤ ∀ ∈ −

PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN (HAY NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT MIỀN
Giáo viên: Lê-Viết-Hòa,Tổ Toán-Tin,Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT_Huế
+ Khi
( )
2
2 2 0m m≠ ⇒ − >
nên ta có
( )
' 0, 1;0y x≤ ∀ ∈ −
⇔ y’=0 có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
1 0x x≤ − < ≤
⇔y’=0 có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
( )
( )
1 2
1 2
1 ,
0 ,
x x a
x x b
≤ − ≤



≤ ≤


*Xét trường hợp (a):
y’=0 có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
1x x≤ − ≤
⇔
( ) ( ) ( )
2
2
2 3 6 1 0m x m x m− − − − + =
có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
1x x≤ − ≤
⇔
( )
( )
2
2 2 2
2 2 5 10 2 15 0m t m m t m m− − − − + − − =

có 2 nghiệm thỏa mãn
≤ ≤

1 2
0t t
(với
1t x
= +
)
⇔
( )
2
2
2 15
0
2
m m
m
− −
≤
−
⇔
[ ]
3;5
2
m
m

∈ −


≠



*Xét trường hợp (b):
y’=0 có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
0x x≤ ≤
⇔
( ) ( ) ( )
2
2
2 3 6 1 0m x m x m− − − − + =
có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
0x x≤ ≤
⇔
( )
( )
2
1
0
2
m
m
− +
≤

−
⇔
1
2
m
m
≥ −


≠

Kết hợp các trường hợp, ta có
[ ]
1;5m∈ −
thì hàm số (2) nghịch biến trên
( )
1;0−
.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2 , 3
3 3
y mx m x m x= − + − + − −
nghịch biến trên
(
]
; 2−∞ −
Giải: TXĐ:

D = R
Ta có
( ) ( )
2
' 2 1 3 2y mx m x m= − + − + −
Hàm số (3) nghịch biến trên
(
]
; 2−∞ −
⇔
(
]
' 0, ; 2y x≤ ∀ ∈ −∞ −
+ Khi m=0, ta có
' 2 6 0 3y x x= − + ≤ ⇔ ≥
tức là
(
]
; 2x∀ ∈ −∞ −
không thỏa mãn
' 0y ≤
(loại)
+ Khi
0m
≠
. Điều kiện cần để
(
]
' 0, ; 2y x≤ ∀ ∈ −∞ −
là m>0.

Do đó:
(
]
' 0, ; 2y x≤ ∀ ∈ −∞ −
2
0
' 2 4 1 0
0
' 0
m
m m
m
y
 >



∆ = − + + ≤


⇔

>



=




( ) ( )

>



   
− +


∈ −∞ ∪ +∞
 ÷
 


 ÷
⇔
   



>




 − + − + − = − ≤ ≤




2
1 2
0
2 6 2 6
; ;
2 2
0
2 1 3 2 0 cã 2 nghiÖm tho¶ 2
m
m
m
mx m x m x x
PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN (HAY NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT MIỀN
Giáo viên: Lê-Viết-Hòa,Tổ Toán-Tin,Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT_Huế

( ) ( )

 
+
∈ +∞

÷

÷

 
⇔

>






− + − + − = ≤ < = +



2
1 2
2 6
;
2
0
2 3 1 10 11 0, cã 2 nghiÖm tháa m·n 0 2
m
m
mt m t m t t t x


2 6
;
2
0
' 0
0
0
m
m

S
P

 
+
∈ +∞

÷

÷

 

>


⇔


∆ >



>




≥




( )
2
2 6
;
2
0
2 4 1 0
2 3 1
0
11 10
0
m
m
m m
m
m
m
m

 
+
∈ +∞

÷

÷

 


>




− + + >
⇔



−


>




−

≥





2 6
;
2

10 2 6
;
11 2
m
m

 
+
∈ +∞

÷

÷

 
⇔

 
+

∈
÷

÷

 

Kết hợp với các trường hợp, ta có
10
;

11
m
 
∈ +∞
÷

 
thì hàm số (3) nghịch biến trên
(
]
; 2−∞ −
.
4. Kết luận.
Ngoài cách giải quyết bài toán theo cách trên, trong một số trường hợp chúng ta có thể dùng đạo
hàm để giải quyết bài toán trên một cách đơn giản hơn.
Trên đây là cách giải quyết bài toán “Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một
khoảng” mà không sử dụng đến định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai. Nếu chúng ta dùng đạo
hàm để giải bài toán trên đôi lúc sẽ gặp phải một số khó khăn nhất định (như khi giải ví dụ 2 ở trên)
mà cách giải quyết bằng đạo hàm không khắc phục được. Trong khi đó cách giải quyết bài toán theo
cách trên trên có thể khắc phục được cả 2 nhược điểm là không sử dụng định lí đảo về dấu của tam
thức bậc hai và khi dùng đạo hàm gặp khó khăn.
Cuối cùng mời các bạn luyện tập phương pháp trên bằng cách giải các bài tập sau:
5. Bài tập.
1/ Tìm a để hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1
1 3 4, 4
3
y x a x a x= − + − + + −

đồng biến trên khoảng
( )
0;3
?
2/ Tìm m để hàm số
( )
2 2
2 3
, 5
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
đồng biến trên khoảng
( )
1;+∞
?
3/ Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
3 2 1 12 5 2y x m x m x= − + + + +
đồng biến trên mỗi khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
2;+∞

PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN (HAY NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT MIỀN