Ôn thi Đại học về Bất đẳng thức

1
BẤT ĐẲNG THỨC

A. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
I. Sử dụng định nghĩa, các phép biến đổi đương đương
VD1. Chứng minh với a, b, c tùy ý, ta có:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca
    

2.
   
2
3
a b c ab bc ca
    

Giải
1.
     
2 2 2
2 2 2
0
a b c ab bc ca a b b c c a
           

2.
         
2 2 2 2

3 0
a b c ab bc ca a b b c c a
           

VD2. Chứng minh rằng nếu 0
x y z
  
thì ta có
   
1 1 1 1 1
y x z x z
x z y x z
   
     
   
   

Giải. Biến đổi tương đương đến:




0
y x z x
  
luôn đúng.
VD3. Ba số dương a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:







2 2 2
3
a b c a b c a b c a b c abc
        

Giải. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
0
b c a
  
. Do đó:
   
2
0
b c b c a
   
, hay
3 3 2 2 2 2
2 0
b c b c bc ab ac abc
      
(1)
Tương tự ta có:
3 3 2 2 2 2
2 0
c a c a ca bc ba abc
      
(2)

3 3 2 2 2 2
2 0
a b a b ab ca cb abc
      
(3)
Cộng từng vế (1), (2) và (3) rồi nhóm lại ta được:






2 2 2
2 2 2 6 0
a b c a b c a b c a b c abc
          

Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh.
BÀI TẬP
Bài 1. (1970) CMR với mọi a, b, c, d:
   
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d
      
HD. BĐT





2 2 2 2
a b c d ac bd
    

Nếu
0
ac bd
 
, BĐT đúng
Nếu
0
ac bd
 
, bình phương hai vế biến đổi thành
 
2
0
ad bc
 
.
Bài 2. (TL, 95) Cho 0
a b c
  
. CMR:







3 2 2 3 2 2 3 2 2
0
a b c b c a c a b
     

HD. Biến đổi tương đương đến:








0
b c a c a b ab bc ca
     

Bài 3. (HH, 96). Cho
1
xy

, CMR:
2 2
1 1 2
1 1 1
x y xy
 
  
.

HD. Ta có:
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1
0
1 1 1 1 1 1 1x y xy x xy y xy
   
      
   
      
   

   
  
 
2
2 2
1
0
1 1 1
b a ab
a b ab
 
 
  

II. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết
Những bất đẳng thức thường sử dụng:
1. Bất đẳng thức Cô-si:

2

 Với hai số không âm a và b ta có:
2
a b
ab

 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi
a b

.
 Với ba số không âm a, b và c ta có:
3
3
a b c
abc
 

. Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi
a b c
 
.
2. Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki (Cauchy – Schwarz):
 Với mọi số thực a, b, x, y, ta có:







2
2 2 2 2
ax by a b x y
    . Đẳng thức
xảy ra khi:
a b
x y

.
 Với mọi số thực a, b,c, x, y,z, ta có:
 




2
2 2 2 2 2 2
ax by cz a b c x y z
       . Đẳng thức xảy ra khi:
a b c
x y z
 
.
3. Bất đẳng thức tam giác:

, ,
a b a b a b
   
(BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0

ab

.
 , ,
a b a b a b
   
(BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
ab

.
VD1. Với a, b là các số dương tùy ý, ta luôn có:
1.
 
1 1
4
a b
a b
 
  
 
 

2.
1 1 4
a b a b
 


HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

VD2. Với a, b, c là các số dương tùy ý, ta luôn có:
1.
 
1 1 1
9
a b c
a b c
 
    
 
 

2.
1 1 1 9
a b c a b c
  
 

HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
VD3. Với x, y không âm, chứng minh:
  


2
1 1 1
x y xy
   
Giải. Ta có:
    





2 2
1 1 1 1 2 1
x y x y xy xy xy xy
          

VD4.
1. Nếu
2 2
1
x y
 
thì
2 5
x y 
.
2. Nếu
3 4 1
x y
 
thì
2 2
1
25
x y  .
HD. Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-côp-xki:
1.









2 2
2 2 2 2
2 1. 2. 1 2 5
x y x y x y
      
. Suy ra:
2 5
x y 
2.








2
2 2 2 2 2 2
1 3 4 3 4 25
x y x y x y
       . Suy ra:
2 2

1
25
x y 
BÀI TẬP

3
Bài 1. (BK HN, 90) Cho
, , 0
x y z

, CMR:
2 2 2
1 1 1
2
x y z
x yz y zx z xy xyz
 
  
  
.
HD. Theo BĐT Cô-si:
2
2
1 1
2
2
x yz x yz
x yz
x yz
   



Tương tự:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2
yz zx xy
x yz y zx z xy xyz
x yz y zx z xy
 
     
  

Tiếp tục sử dụng BĐT Cô-si ta có đpcm.
Bài 2. (QGHN, B, 95) Cho hai số dương a, b, CM BĐT:
3
3
3 3
1 1a a
b b
a b a b
    

HD. Áp dụng BĐT Cô-si:
3
3 3
1 1 3
1 1 3 .1.1
a a a

   
, tương tự …. ta có đpcm.
Bài 3. (HH Tp.HCM, 99) Cho
, , 0
x y z

và
3
x y z
  
, CMR:
2 2 2
3 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1
x y z
x y z x y z
     
     

HD. BĐT bên trái:
2
2
1
1 2
1 2
x
x x
x
   


BĐT bên phải, dựa vào BĐT Cô-si cho 3 số.
III. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số
VD1. Chứng minh rằng , với mọi số thực x ta đều có:
2
2
1 1
3
3 1
x x
x x
 
 
 
.
HD. Đặt
   
2
2
2
1
1 1 1 0
1
x x
y y x y x y
x x
 
       
 
. Ta tìm y để PT này có nghiệm.

VD2. Chứng minh rằng:




2 2 2
2 cos cos cos 6 0, , , 0;a b c a b c a b c
         

Giải. Xét hàm số
2
2cos
y x x
  . Ta có
' 2 2sin
y x x
 
,
" 2 2cos 0,
y x x
   
, nên y’ đơn
điệu tăng trên miền


0;

, suy ra



' ' 0 0
y y
 
. Từ đó y đơn điệu tăng trên miền


0;

.
Do vậy, với


, , 0;a b c
  
, ta có:




   
   
 
2
2 2 2 2
2
0 2
2cos 2
0 2 2cos 2 2 cos cos cos 6 0
2cos 2
0 2

y a y
a a
y b y b b a b c a b c
c c
y c y
 

 


            
 
 
 
 



VD3. Cho tam giác ABC có
0 90
A B C   

. Chứng minh:
2cos3 4cos2 1
2
cos
C C
C
 


.
HD. Ta có:
2cos3 4cos2 1
2
cos
C C
C
 






3 2
2 4cos 3cos 4 2cos 1 1
2
cos
c C C
C
   
 

3 2
8cos 8cos 8cos 5 0
C C C
    

Từ giả thiết suy ra
1

60 90 0 cos
2
C C
    
 
.
Đặt
1
cos , 0;
2
t C t
 
 


 
, xét hàm số:

4
3 2
1
8 8 8 5, 0;
2
y t t t t
 
    


 

Lập bảng biến thiên, suy ra đpcm.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho
, , 0
x y z

và
1
x y z
  
, CMR:
18
2
xyz
xy yz zx
xyz
  


HD. Ta có:


2
3
3
xy yz zx xyz
  

Đặt
3

1
,0
3
t xyz t
  
, ta chỉ cần CM:
3
2 3
3
18
3 6 2 0
2
t
t t t
t
    

. Đến đây xét hàm số:
 
3
1
6 2, 0;
3
f t t t t
 
   


 

IV. Phương pháp hình học
VD1. Chứng minh BĐT tam giác:
   
2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b
       , với mọi bộ
số
1 2 1 2
, , ,
a a b b
.
HD. Xét


1 1
;
M a b
,


2 2
;
N a b
 
, thế thì:
2 2
1 1

OM a b
 
,
2 2
2 2
ON a b
 
,
   
2 2
1 2 1 2
MN a a b b
    .
Ta bất đẳng thức:
OM ON MN
 
, suy ra điều phải chứng minh.
VD2. Chứng minh với mọi x ta có:
2 2
1 1 1 1
x x x x
       
.
HD. Ta có:
2 2
2 2
1 3 1 3
1 1
2 4 2 4
x x x x x x

   
          
   
   

Đặt
1 3 1 3
; , ;
2 2 2 2
M x N x
   
 
   
   
   

Thế thì:
2
1 3
2 4
OM x
 
  
 
 
,
2
1 3
2 4
ON x

 
  
 
 
,
1
NM


Từ BĐT:
OM ON NM
 
, suy ra điều phải chứng minh.
BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh với mọi giá trị của x, y ta có:
   
2 2 2 2 2 2
4cos cos sin 4sin sin sin
x y x y x y x y
    

HD. Đặt




2cos cos ;sin
M x y x y

,





2sin sin ; sin
N x y x y
  
và


0;0
O
. Từ BĐT
OM ON MN
 
, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2. CMR với x, y, z là ba số tùy ý thì ta có:
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z
       

HD. Xét 3 điểm:


0;0
O ,
1 3
;
2 2
M x y y

 

 
 
 
,
1 3
;
2 2
N x z z
 
 
 
 
 
. Từ BĐT
OM ON MN
 
, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 3. CMR với mọi số a, b, c ta có:
   
2 2
2 2 2 2
2
a c b a c b a b
      
.
HD. Xét 3 điểm:



0;0
O
,


;
M a c b

,


;
N a c b
  
. Từ BĐT
OM ON MN
 
, suy ra
điều phải chứng minh.

5
Bài 4. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn :
2 2 2
1
x y z
  
. Hãy tìm GTLN của P = xy + yz
+2zx.
Giải. Ta có
2 2 2 2 2 2 2

| | ( ) 2 | | 2( ) ( ) ( )
P y x z zx y x z x z x z x z          


2 2
1 1
| | 2 2 ( )
2 2
y y y
    

xét
( 2;1)
u

và
2 2
(| | 1 ;1/ 2 )
v y y y
 

ta có
2 2 2 2
1 1 1 1 3 1 3 1
| || | (2 1) ( 1 ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
P uv u v y y y

            
  

.

V. Phương pháp quy nạp toán học
VD1. Chứng minh bát đẳng thức Becnuli:
   
1 1 , , 1
n
h nh n h
      
 .
VD2. Chứng minh với n là số nguyên lớn hơn 1 thì:
1 1 1

1 2
n
n
    .
BÀI TẬP
Bài 1. CMR với mọi n nguyên và
2
n

thì:
1 1 1
2
1 2
n
n
   
1 1 1 13

1 2 2 24
n n n
   
 

2 2 2
1 1 1
2
1 2
n
   

Bài 2. Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có:
sin sin
n n
 

VI. Phương pháp phản chứng
VD1. Cho


, , 0;1
a b c
. Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất
đẳng thức sai:
 
1
1
4

a b
 
,
 
1
1
4
b c
 
và
 
1
1
4
c a
 
.
VD2. Chứng minh rằng nếu
2
a b cd
 
thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng:
2
c a

,
2
d b

.

BÀI TẬP
Bài 1. (NT Tp.HCM, A, D, 2000) Cho
, 0
x y

và
2 3 3 4
x y x y
  
,
CMR
3 3 2 2
2
x y x y x y
     
.
Bài 2. (NT Tp.HCM, A, 2001) Cho tam thức bậc hai


2
f x x ax b
  
. CMR với mọi giá
trị của a và b, trong ba số


0
f ,



1
f
,


1
f

có ít nhất một số
1
2


VII. Phương pháp lượng giác hóa
VD1. Biết
2 2
1
x y
 
. Chứng minh:
2 2
x y   
.
VD2. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:




  
2 2

1
1 1
2 2
1 1
a b ab
a b
 
  
 
.
BÀI TẬP
Bài 1. CMR
1 1 1 1 1 1
, , , 1
a b c a b c a b c
b c a a b c
       
        
       
       


6
HD. Đặt
1
cos
a
x

;

1
cos
b
y
 ;
1
cos
c
z

với
x, , 0;
2
y z

 

 
 

Khi đó đưa BĐT về






2 2 2
1 cos cos 1 cos cos 1 cos cos sin .sin .sin
x y y z z x x y z

   
Sau đó lưu ý:
1 cos cos sin sin
   
 
ta suy ra đpcm.
Bài 2. CMR từ bốn số bất kì cho trước luôn tìm được hai số x, y thỏa mãn
0 1
1
x y
xy

 

.
VIII. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai
VD1. Cho
3
36
a

và
1
abc

. Chứng minh rằng:
2
2 2
3
a

b c ab bc ca
    
.
VD2. Chứng minh bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với bộ ba số tùy ý






2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
, , , , , ,
a a a b b b a b a b a b a a a b b b
        
BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi x và y thì:
2 2
5 4 2 6 3 0
x y xy x y
     
.
Bài 2. Cho tam giác ABC, CMR:
 
2
1
1 cos cos cos ,
2
x A x B C x

    

Bài 3. Cho
2 2 2 2 2 2
0.
p q a b c d
     
CMR:






2
2 2 2 2 2 2
p a b q c d pq ac bd
      
Bài 4. Tìm a, b để sao cho với mọi x hàm số
2
1
ax b
y
x



đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị
nhỏ nhất bằng – 1.
IX. Phương pháp đánh giá

VD1. Chứng minh:
*
1 1
1 ,
2 1 2
n n n
n n
     


.
VD2. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
1
2 3
n
   

Giải. Ta có:
 
2
1 1 1 1
1 1
n n n n n
  
 
với mọi số tự nhiên
1
n


, nên:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 3 1 2 2 3 1
n n n n
            

, với mọi số tự nhiên
1
n

(đpcm)

BÀI TẬP
Bài 1. CMR với n nguyên dương ta có:
1 1 1 1
2 1
1 2 3
n
n
     

HD. Ta có:


1 2 2
2 1
1

n n
n n n n n
    
  

Bài 2. CMR với n nguyên dương ta có:
1 3 5 2 1 1
. .
2 4 6 2
2 1
n
n
n




HD. Ta có:
   
2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2
2 1
4 4 1
k k
k k
k
k

k k
 
 
  



Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. CMR:
1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
    
       


X. Phương pháp quy về một biến

7
VD. Cho
2 2 2
2
a b c
  
,
1
ab bc ca
  
, chứng minh rằng
4 4
3 3

a
  
.
Giải. Từ giả thiết ta có:
 
2
2
4
2
b c a
a b c
b c a
  

   

   


Từ đó ta có:
   
2 2
2
2 2 2 2 2
2
3 4 4
2
2 2 2
b c a
a a

a b c a a
  
 
       

Suy ra:
2
3 4 0
a a
 
. Vậy
4 4
3 3
a
  

XI. Phương pháp đổi biến
VD. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
2 2 2
3
a b c
  
, chứng minh rằng:
 
3 1
ab bc ca
c a b
  
.
Giải.



2 2 2 2 2 2
1 3
a b b c c a abc
   
.
Đặt
2
3
x
a
x y z

 
,
2
3
y
b
x y z

 
,
2
3
z
c
x y z


 
, với
, , 0
x y z


Khi đó (1) trở thành
   
3 2
xy yz zx xyz x y z    
Ta có
     
2
2 3
xy yz zx xyz x y z
     

     
2 2 2
1
0
2
xy yz yz zx zx xy
 
      
 
đúng
BÀI TẬP
Bài 1. Cho x, y, z dương và x + 2y + 4z = 12. Tìm GTLN của biểu thức:
2 8 4

2 2 4 4
xy yz zx
P
x y y z z x
  
  
.
HD. Đặt a = x, b = 2y, c = 4z ta được a + b + c = 12 và :
6
4 4 4
ab bc ca a b b c c a
P
a b b c c a
  
      
  
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4.
Bài 2. CMR nếu a, b, c không âm và
1
abc

thì:
1 1 1
1
2 2 2
a b c
  
  

HD. Đặt
x
a
y

,
y
b
z

,
z
a
x

thay vào ta được:
     
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2
y z x x y z
y x z y x z x x y y y z z z x
      
     

Đến đây sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz sẽ có kết quả.
B. Một số bài tập rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức
Bài 1. Với ba số thực bất kì a, b và c. CMR:
3 3 3
2 2 2 2 2 2

3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
 
  
     

Bài 2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
1.






b c a c a b a b c abc
      
2. Nếu
a b c
 
thì






3 2 2 3 2 2 3 2 2
0
a b c b c a c a b

     

HD.

8
1. Chú ý đến các BĐT dễ thấy sau đây:
    
2
2 2
a a b c a b c a b c
       

    
2
2 2
b b c a b c a b c a
       

    
2
2 2
c c a b c a b c a b
       

Nhân từng vế ba BĐT trên, ta có BĐT cần chứng minh.
2. Phân tích vế trái thành tích:









a b b c a c ab bc ca
    
Bài 3. (BĐT Nesbit) Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT:
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
. Khi nào
đẳng thức xảy ra?
Bài 4. Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT:
2 2 2
1 1 1
12
a b c
b c a
     
     
     
     
. Khi nào
đẳng thức xảy ra?
HD. Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số. Hoặc theo các bước:

2

2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 a b c a b c
b c a b c a
 
 
           
          
 
           
 
           
 
 
 


   
2
1 1 1 1 1 1
4a b c a b c
a b c a b c
 
   
         
   
 
   
 


 
1 1 1
9
a b c
a b c
 
    
 
 

Bài 5. Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT:
a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
    
     
.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
HD. Dễ chứng minh
2
a b c
a b b c c a
  
  
. Ta chứng minh
2
a b c
b c c a a b
  
  

theo gợi ý:
 
1 2
a a
a
b c a b c a b c
 
   

Bài 6. Cho ba số dương x, y và z, Gọi
s x y z
  
. Chứng minh:
3
1 1 1 3
1 1 1 1
x y z s
 
     
    
 
     
     
 

HD. Sử dụng BĐT Cô-si đi đến:
3 3
2
1 1 1 9 27 3 3

1 1 1 1 1
x y z s s s s
 
       
        
 
       
       
 

Bài 7. CMR nếu x, y và z là ba số không âm thì:
   
2
4
2 3
2 3 3
y z
x y z x x y z
 
      
 
 
.
HD. Ta có các bất đẳng thức sau:

   
1 3
2 3 2 3 3
2 3 3 2
y z y

x y z x x y z x z
   
        
   
   


 
2
3
2 3 3
1 1 7
2
4 4
3 2 12 2
y
x y z x z
y
x z
 
 
    
 
 
 
 
 
   
 
 

 
 
 


9

   
2
2 2
1 7 1 4
4 4 4 4 4
12 2 12 3
y
x z x y z x y z
 
       
 
 
(do
7
4
2
y
y
 )
Bài 8.
1. Nếu ba số a, b, c thỏa mãn
1 1 1
1

a b c
  
thì
1 1 1 1
2 2 2 4
a b c a b c a b c
  
     
.
2. Trong một tam giác với ba cạnh a, b, c và chu vi là 2p, ta có BĐT:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 
    
 
  
 

Bài 9. Với mọi x, y mà (x + y)  0 ta luôn có
3
3 3
( ) 4( )
y
y xx   . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Với mọi số x, y ta có
2
( )
4
x y

xy

 . Đẳng thức xảy ra kvck x = y. Do (x + y)  0 nên
3
( )
( )
4
x y
xy x y

  .
Do đó:
2 3
3 3 3 3
( ) ( )
( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )
4 4
x y x y
x y x y xy x y x y x y
 
         
.
Bài 10. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2
x y z
M
y z z x x y
  
  

Giải. Ta có
2
4
x y z
x
y z

 

,
2
4
y z x
y
z x

 

và
2
4
z x y
z
x y

 

nên:
2
x y z

M x y z
 
   

Do đó,
3
3
3
2 2 2
xyz
x y z
M
 
  
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài 11. Cho 2 số thực dương x, y. Chứng minh
2
9
(1 ) 1 1 256
y
x
x
y
 
 
   
 
 
 
 

 
.
Giải. Áp dụng BĐT
2
(1 )(1 ) (1 )
a b ab
   
, đẳng thức xảy ra kvck a = b.
2 2 2
2 2 4
9 9 9
(1 ) 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 3) 256
y y
x x y
x x
y y y
     
 
           
     
 
     
 
     
.
Bài 12. Cho a, b, c >0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
1
2 2 2

a bc b ac c ab
  
  
.
Giải. Áp dụng BĐT
1 1 1 1 1 1 9
( )( ) 9x y z
x y z x y z x y z
        
 
với x , y, z > 0. Ta
được
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 9 9
1
2 2 2 2 2 2 ( )a bc b ac c ab a bc b ac c ab a b c
    
         
.
Bài 13. Cho x, y, z dương, thỏa đẳng thức
1 1 1
1
x y z
  
. Chứng minh:
10
2 2 2
4
x y z x y z
x yz y zx z xy

 
  
  
.
Giải. Ta có
1 1 1
1
x y z
  
 xy + yz + zx = xyz. Do đó:
2 3 3 3
2 2
( )( )
x x x x
x yz x xyz x xy yz zx x y x z
  
      
.
2 3
3
(1)
8 8 ( )( ) 8 8 4
x x y x z x x y x z
x
x yz x y x z
   
      
  

Tương tự:

2
3
(2)
8 8 4
y y z y x
y
y zx
 
  

và
2
3
(3)
8 8 4
z z x z y
z
z xy
 
  

.
Cộng (1), (2) và (3) ta được đpcm.
Bài 14. Cho x, y z là các số dương và
3
2
x y z
  
. CMR:
1 1 1 7

2 2 2 2
x y z
x y y z z x
     
  
.
Giải. Cách 1: Theo BĐT Côsi ta có
1 4( 2 ) 4
2 9 3
x y
x y

 

,
1 4( 2 ) 4
2 9 3
y z
y z

 

và
1 4( 2 ) 4
2 9 3
z x
z x

 


. Cộng 3 BĐT này ta được
1 1 1 4( )
4
2 2 2 3
x y z
x y y z z x
 
   
  


1 1 1 ( )
4
2 2 2 3
x y z
x y z
x y y z z x
 
      
  
(1).
Vì
3
2
x y z
  
nên
1
2 3
x y z

 
 . Do đó:

1 1 1 1 1 1 1 ( )
2 2 2 2 2 2 2 3
x y z
x y z x y z
x y y z z x x y y z z x
 
            
     
(2)
Từ (1) và (2) ta được
1 1 1 1
4
2 2 2 2
x y z
x y y z z x
      
  
. Suy ra BĐT cần CM.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, dễ dàng chứng minh được:
1 1 1
[( 2 ) ( 2 ) ( 2 )]( ) 9
2 2 2
x y y z z x
x y y z z x
       
  
nên

1 1 1 9 3
2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
x y y z z x x y y z z x x y z
   
         

Do đó,
3
VT x y z
x y z
   
 
. Đặt t = x + y + z, xét hàm số:
3
( )
f t t
t
 
với
3
(0; ]
2
t 
.
Ta có
2
/
2 2
3 3 3
( ) 1 0, (0; ]

2
t
f t t
t t

      nên f(t) giảm trên
3
(0; ]
2
. Vì vậy,
3 7 3
( ) ( ) , (0; ]
2 2 2
f t f t   
11
Do đó, VT  f(t)  7/2. Đẳng thức xảy ra kvck
2 2 2
1
3
2
2
x y y z z x
x y z
x y z
    


   

  




Bài 15. (Đề dự bị 1 khối A, năm 2007) Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm GTNN của
P =
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2( )
x y z
y z
z
x y x
y
z
x
     
Giải. Với mọi số a, b không âm, ta có
2
( )
4
a b
ab


và 0  (a + b) nên
2 3
3 3 3 3
( ) ( )
( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )

4 4
a b a b
a b a b ab a b a b a b
 
         
. Đẳng thức xảy ra kvck a
= b  0.
Do đó, P 
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2( )
x y z
x y y z z x
y z x
        (1).
Mặt khác:
2 2
2 2
2 2
2 . 2
2 . 2
2 . 2
x x x
x x
y y y
y y y
y y
z z z
z z z
z z
x x x


  




  



  




Nên:
3
2 2 2
2( ) 2.3 . . 6
x y z x y z x y z
x y z
y z x y z x y z x
         
(2).
Từ (1) và (2) ta được P  12. Đẳng thức xảy ra kvck
2 2 2
1
, ,
x y z
x y z

x y z
x y z
y z x
 


   

  


.
Vậy, min P =12 khi x = y = z = 1.
Bài 16. Cho x,y > 0, x + y = 1. Chứng minh:
2 2
1 1
6
xy x y
 

.
Giải. Ta có:

2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 2 1 1 2 2 4
2 6
4 2 ( ) ( )
2 ( )
xy x y xy xy x y x y x y

xy x y
 
        
 
   
 
.
Bài 17. Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 . CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
b c a
  
  

Giải. Ta có
2 2
2 2
1 1 2 2
a ab ab ab
a a a
b b b
     
 
.
Tương tự :
2 2
;
1 2 1 2

b bc c ca
b c
c a
   
 

Suy ra :
   
2
1 1 9 3
3
2 6 6 2
VT a b c ab bc ca a b c a b c
              
.
Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1.
Bài 18. Cho
0, 0
x y
 
và
1
x y
 
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
1 1
x y
P
y x
 

 
.
12
HD. Ta có:
 
2
2 2
2
2 2
1 1 1 1 2
x y x y xy
x y x y x y xy
P
y x x y xy x y xy xy
   
   
    
        

Đặt
0
t xy
 
, ta có 1=
1
1 2
4
x y xy t xy
     

Quy về tìm GTLN và GTNN của hàm số
 
2 2 1
, 0;
2 4
t
f t t
t

 
 
 

 
.
Bài 19. (ĐH,A,2009) CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn


3
x x y z yz
  
, ta có
         
3 3 3
3 5
x y x z x y x z y z y z
         .
Giải. Đặt
, , , 0
x y a

x z b a b c
y z c
 


  


 

ta có
 
 
 
1
2
1
2
1
2
x a b c
y a c b
z b c a

  



  




  


, thay và giả thiết, ta được:
           
2
2 2
2
1 1 1 1
3 3
2 2 2 2
a b c a b c a c b b c a a b c c a b
 
              
 

2 2 2
c a b ab
   

Ta có:
   
 
 
2
2 2 2
2 2 2
1

3 3 2
4 4
a b
c a b ab a b ab a b a b a b c

             
(1)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:




3 3 3 2 2 3
3 5 3 5
a b abc c a b a b ab abc c
        


2 3
3 5
a b c abc c
   
(1) cho ta


2
2
a b c c
 
và

 
2
2
3
3 3
4
ab a b c
  
, nên:


2 3 3 3
3 2 3 5
a b c abc c c c
    
(đpcm)
Bài 20. (ĐH-B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn
 
3
4 2
x y xy
  
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:




4 4 2 2 2 2
3 2 1

A x y x y x y
     

Giải. Ta có:
 
 
   


 
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 1 3 3 2 1
4
x y
A x y x y x y x y x y

           

   
2
2 2 2 2
9
2 1
4
x y x y
    

Từ:
     
3 3 2
4
x y xy x y x y
      và giả thiết ta có:
         
3 2 2
2 1 2 2 0 1
x y x y x y x y x y x y
 
              
 
 
 

Ta lại có:
 
 
2
2 2 2 2
1
2
2
x y x y x y
     

Đặt
2 2
t x y

 
, bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số
 
2
9
2 1
4
f t t t
  
với
1
2
t

.
13
Ta có:
 
9 1
' 2 0,
2 2
f t t t
    

Nên:
 
1
;
2
1 9

min
2 16
t
f t f
 
 


 
 
 
 
 

Suy ra:
9
16
A

; đẳng thức xảy ra khi
1
2
x y
 
. Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
9
16
.
Bài 21. (ĐH-D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn
1

x y
 
. Tìm
GTLN và GTNN của biểu thức




2 2
4 3 4 3 25
S x y y x xy
    .
Giải. Ta có:


   
3
3 3 2 2 2 2
12 16 34 12 36 16 34
S x y x y xy x y xy x y x y xy
         
2 2
16 2 12
x y xy
  

Đặt
t xy

, thì

 
2
0
4
x y
t xy

   , hay:
1
0
4
t
 

Do đó:
2
16 2 12
S t t
  
,
1
0
4
t
 

Xét hàm số:


2

16 2 12
f t t t
  
trên đoạn
1
0;
4
 
 
 

 
1
' 32 2 0
16
f t t t
    
;
 
1 191 1 25
0 12, ,
16 16 4 2
f f f
   
  
   
   

 
1

0;
4
1 25
max
4 2
t
f t f
 

 
 
 
 
 
 
,
 
1
0;
4
1 191
min
16 16
t
f t f
 

 
 
 

 
 
 

Giá trị nhỏ nhất của S bằng
191
16
; khi
 
1
2 3 2 3
; ;
1
4 4
16
x y
x y
xy
 

 
 

 
 

 

 



hoặc
 
2 3 2 3
; ;
4 4
x y
 
 

 
 
 

Giá trị lớn nhất của S bằng
25
2
; khi
 
1
1 1
; ;
1
2 2
4
x y
x y
xy
 



 
 

 

 


.
Bài 22.(ĐH-B-2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức
2 2
1
x y
 
. Tìm
GTLN và GTNN của biểu thức


2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y


 
.

Giải.
Cách 1.






2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 6 2 6 2 6
1 2 2 2 2 2 3
x xy x xy x xy
P
xy y x y xy y x xy y
  
  
      

Khi


2
0 1
x y
  
thì
0
P


Khi
0
x

, đặt
y tx

ta có:


 


2
2
2 2
2 1 6 2 1 6
1 2 3
1 2 3
x t t
P
t t
x t t
 
 
 
 




2
3 2 6 2 0
Pt P t P
     
(1)
14
Nếu P = 0 thì phương trình (1) có nghiệm
1
6
t
 

Nếu
0
P

thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
   
2
' 6 3 2 0
P P P
     

2
3 18 0 6 3
P P P
       

Ta thấy

3 1
,
10 10
x y  thì P = 3.
Ta thấy
3 2
,
13 13
x y  
thì
6
P
 
.
Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6.
Cách 2. Đặt
sin , cos
x a y a
 
ta có:


2
2
2 sin 6sin cos
1 cos2 6sin2
1 2sin cos 2cos 2 sin2 cos2
a a a
a a
P P

a a a a a

 
  
   





6 sin 2 1 cos2 1 2
P a P a P
     

Điều kiện tồn tại a:
     
2 2 2
2
6 1 1 2 2 6 36 0 6 3
P P P P P P
            

Vậy: Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6.
Bài 23.(ĐH-D-2008) Cho hai số thực x, y không âm thay đổi. Tìm GTLN và GTNN của biểu
thức




   

2 2
1
1 1
x y xy
P
x y
 

 
.
Giải. Ta có:
  
   
  
   
2 2 2
1 1
1 1 1
4 4 4
1 1
1
x y xy x y xy
P P
x y
x y xy
   
      
 
   
 

Khi
0, 1
x y
 
thì
1
4
P
 

Khi
1, 0
x y
 
thì
1
4
P


Vậy, GTLN của P bằng
1
4
, GTNN của P bằng
1
4

.
Bài 24. Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 . Tìm GTNN của biểu thức:

2 2 2
1 1 1
a b c
R
b c a
  
  

Giải. Ta có
2 2
2 2
1 1 2 2
a ab ab ab
a a a
b b b
     
 
. Tương tự:
2 2
;
1 2 1 2
b bc c ca
b c
c a
   
 

Suy ra :
   
2

1 1 9 3
3
2 6 6 2
R a b c ab bc ca a b c a b c
              
.
Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1. Vậy
3
min
2
R

.
Bài 25. Cho x, y, z dương thỏa
2 2 2
1
x y z
  
. CMR
3 1
2
2
xy yz zx

  
.
Giải.
15
* Ta có
2 2 2

2 2 2
2 2
)
)
1 1 (
.( . ).
2
1 1 (
.( . ).
2
2
a x y
xy a x y
a z y
zy a z
a
y
a a
zx z x
a


 



 




 


, với a dương tùy ý.
Do đó,
2 2 2
1
(1 )( ) .
2
a
VT x z y
a
   
Chọn a >0 sao cho
1
1
2
a
a
 
ta được
3 1
a
 

Ta được
2 2 2
1 1 1 3 1
( )
2

3 1
VT x y z
a a

     

.
BÀI TẬP
Bài 1. (QG HN,D,2000) Với a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức:
ab bc ca abc
  
, CMR:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a b
ab bc ca
  
  
.

Bài 2. (BK HN,A,2000) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện
0
a b
 
, CMR:
3
3 3
2 2
a b a b

 
 

 
 
.
Bài 3. (Nông nghiệp I, A, 2000) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
1
abc

. Hãy
tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
  
  
.

Bài 4. (SP Vinh-AB-2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
có chu vi bằng 3 thì:
2 2 2
3 3 3 4 13
a b c abc
   
.
Bài 5. (ĐH XD, 2001) Cho các số x,y,z thay đổi trên



0;1
và thỏa mãn điều kiện
3
x
2
y z
  
. Tìm GTNN của biểu thức:


2 2 2
cos
A x y z
   .
HD. Đặt
2 2 2
, z x
t x y z P xy y z
     
, ta có
 
2
9
2 2
4
t x y z P P
     

Giả sử
 

1
max , ,
2
x x y z x
  
. Ta có
 
3 1
z z
2 2
P x y z y x x y
 
      
 
 

Do vậy
1 5 5
min max min A cos
2 4 4
P t     .
Bài 6. (Nông nghiệp I, A, 2001) Cho
, , 0
x y z

. CMR:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2
2 2 1 1 1
y

x z
x y y z z x x y z
    
  
.
Bài 7. (ĐH HH-A-2001) Cho
x, ;
4 4
y
 
 
 
 
 
. CM BĐT
tan tan
1
1 tan tan
x y
x y




Bài 8. (ĐH Đà Nẵng-A-2001) Cho ba số dương a, b, c và
2 2 2
1
a b c
  
. CMR:

2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
  
  

16
Bài 9. (ĐH Thái Nguyên-D-2001) Cho
1, 1
a b
 
, CMR: 1 1
a b b a ab
   
.
Bài 10. CMR:
2 2
1 1 1
a b b a
   
, với mọi a, b thuộc đoạn


1;1

.
Bài 11. Cho các số



, , 0;1
x y z
thỏa mãn






1 1 1
xyz x y z
   
. CMR:
2 2 2
3

4
x y z
  
.
HD. Ta có






1 z x z z x 2 1
xyz x y z xy y z xy xy y z xyz x y z

               

Từ đó
   
2
2 2 2
2 2 4
x y z x y z x y z xyz
         
Đặt
t x y z
  
đưa về xét hàm số.
Bài 12. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
4 9 16
26
a b c
P
b c a c a b a b c
   
     

HD. Đặt


, , 0, 0, 0
x b c a y c a b z a b c x y z
           

Bài 13. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn

ab bc ca abc
  
. CMR:
a bc b ca c ab abc a b c
        
HD. Từ giả thiết có
1 1 1
1
a b c
  
. Đặt
1 1 1
, ,x y z
a b c
  
, BĐT trở thành:
z z 1
x y y y zx zx z xy xy
        

Lưu ý rằng:








z z 1 1 1

x y y y z y z x y x z
          

Từ đó:
  
z z
z
2 2
x x
x y y x
x y x z y z
x y x z y
    
   
   
  

   
   
……
Bài 14. Cho
, , 0
x y z

thỏa mãn
x 1
y z
  
. CMR:
1 4 9

36
x y z
  
.
HD. Đặt
a
x
a b c

 
,
b
y
a b c

 
,
c
z
a b c

 

Bài 15. (Đề dự bị khối B-2008) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức
z
3
y
x y z
x
  

.
CMR
 
2 3 3
6
x y z

 

Bài 16. Cho tam giác ABC. CMR:
2 2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
    
     
.
Bài 17. CMR
, , 0
a b c
 
và
1
abc

ta có
     
2 2 2
1 1 1 3
2

a b c b c a c a b
  
  
.
Bài 18. CMR
, , 0
a b c
 
và
1
abc

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
     
3 3 3
1 1 1
P
a b c b c a c a b
  
  
.
Bài 19. Cho a, b, c >0. CMR:
 
3 3 3
2 2 2
1
2 2 2 3
a b c
a b c
a b b c c a

    
  
.
Bài 20. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
3
a b c
  
. CMR:
     
3 3 3
1
2 2 2
a b c
b a c c b a a c b
  
  

17
Bài 21. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
1
ab bc ca
  
. CMR:
2 2 2
3
2
1 1 1
a b c
a b c
  

  

Bài 22. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
2
a b c
  
. CMR:
1
2 2 2
ab bc ca
c ab a bc b ac
  
  

Bài 23. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện
1
x y z
  
. CM BĐT:
z 3
z 2
xy y zx
xy z y x zx y
  
  

Bài 24. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
2 2 2 1
x y z  
  

. CMR:
4 4 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
x y z x y z
x y z y z x z x y  
 
  
  

Bài 25. Cho x, y, z là các số dương. CMR:
 
2 2 2 2 2 2
3
x xy y y yz z z zx x x y z
          

HD. Ta có
     
2 2 2
2 2
3 1 3
4 4 4
x xy y x y x y x y
       
.
Suy ra:
 
2 2
3
2

x xy y x y
   
…….
Bài 26. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện
1 1 1
2
1 1 1
a b c
  
  
. CMR:
0,125
abc

.
Bài 27. (SP HN 2-1997) Chứng minh bất đẳng thức:
6 6 6 30 30 30 9
       
 
dÊu c¨n dÊu c¨nn n

Bài 28. Cho a, b, c >0. CMR:
 
3 3 3 3 3 3
2 2 2
29 29 29
4
6 6 6
a b b c c a
a b c

ab a bc b ca c
  
    
  
.
HD. Tìm m, n để sao cho:
 
3 3
2
29
, 4
6
a b
ma nb m n
ab a

   

.
Bài 29. Cho a, b, c >0 và
2 2 2
1
a b c
  
. CM:
2 2 2
3
1 2 1 2 1 2 5
a b c
bc ca ab

  
  
.
HD. Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 1
a b c a b c
bc ca ab b c c a a b
    
        

Thay giả thiết và cộng thêm 3, ta sẽ đưa về bất đẳng thức đơn giản.
Bài 30. Cho a, b, c là các số thực dương và
1
abc

. CMR:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 3 2 3 2 3 2
a b b c c a
  
     

HD. Áp dụng BĐT Cô-si:
2 2 2
2 , 1 2
a b ab b b
   

, dẫn đến
 
2 2
1 1
2 3 2 1
a b ab b

   
.
Bài 31. (ĐH Y HN-98) Cho a


. CM BĐT:
6 3 2
1 0
a a a a
    
.
Bài 32. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
a b c abc
  
. CMR:
3 3 3
1
a b c
b c a
  
.
18
HD. Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương, ta có:

3 3 2
1 1 2
2 .
a a
b ab b ab b
   ,
3 2
1 2
b
c bc c
  ,
3 2
1 2
c
a ca a
  và
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
a b c ab bc ca
   
    
   
   
. Cộng lại và rút gọn ta có đpcm.
Bài 33. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
1
ab bc ca
  
. CMR:

2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 1 1 1
ab bc ca a b c
        

HD. BĐT
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
ab bc ca a b c
     
           

              
2 2 2
c a b a b c b c a a b a c b c b a c a c b
ab bc ca a b c
        
     
Đặt






; ;
c a b a b c b c a

x y z
ab bc ca
  
   , ta được BĐT
x y z xy yz zx
     .