ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG VẼ KỸ THUẬT (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ KỸ THUẬT ĐIỆN – ĐIỆN TỬ)

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
VẼ KỸ THUẬT
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC
CÔNG NGHỆ KỸ THUẬT ĐIỆN – ĐIỆN TỬ)
Số tín chỉ: 03
Lý thuyết: 36 tiết
Bài tập, thảo luận: 06 tiết
Thực hành: 03 tiết
1
MỤC LỤC
Trang
2
PHẦN I
HÌNH HỌC - HỌA HÌNH
CHƯƠNG 1
Điểm, đường thẳng, mặt phẳng
Số tiết: 07 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 01 tiết)
A) MỤC TIÊU:
- Hiểu được các phép chiếu cơ bản và vận dụng xây dựng đồ thức của một điểm trong hệ thống
hai mặt phẳng hình chiếu cũng như trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu, chuyển từ tọa đồ Đề
các thẳng góc sang đồ thức.
- Biết cách xây dựng đồ thức của đường thẳng, mặt phẳng; hiểu được các đường thẳng, mặt
phẳng đặc biệt, vết của đường thẳng, của mặt phẳng; vận dụng xác định được điểm thuộc đường
thẳng, đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng, tìm được độ lớn thật của đoạn thẳng và góc của nó
với các mặt phẳng hình chiếu, xác định được vị trị tương đối của hai đường thẳng, của hai mặt
phẳng và của đường thẳng với mặt phẳng.
B) NỘI DUNG:
1.1. Các phép chiếu
1.1.1. Phép chiếu xuyên tâm
a. Định nghĩa
Trong không gian lấy mặt P làm mặt phẳng hình chiếu, điểm S không thuộc mặt phẳng P

làm tâm chiếu. Hình chiếu xuyên tâm của điểm A trong không gian lên mặt phẳng P là giao điểm
A' của đường thẳng SA với mặt phẳng P.
P
B
M
A
d
S
B'
M'
A'
d'
Hình 1.1. Hình chiếu xuyên tâm.
b. Tính chất
* Tính chất 1: Hình chiếu xuyên tâm của một đường thẳng d không đi qua tâm chiếu là một
đường thẳng d' (hình 1.1).
- Các hệ quả:
+ Một điểm M thuộc AB thì hình chiếu xuyên tâm M' của nó cũng thuộc A'B'.
+ d' là hình chiếu của mọi đường thẳng (hình phẳng) thuộc mặt phẳng Π (S,d), d' gọi là hình
chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu Π (S,d).
Mở rộng: Nếu một hình phẳng bất kỳ thuộc mặt phẳng chiếu Π thì hình chiếu xuyên tâm của nó
phải thuộc đường thẳng d'.
+ Đường thẳng đi qua tâm chiếu thì hình chiếu xuyên tâm của nó suy biến thành một điểm.
+ Nếu mặt phẳng chiếu của một đường thẳng nào đó song song với mặt phẳng hình chiếu thì
hình chiếu xuyên tâm của nó ở xa vô tận.
3
Л
* Tính chất 2: Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường
đồng quy.
- Hệ quả:

+ Các đường thẳng song song mà song song với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của chúng
sẽ song song với nhau.
+ Các đường thẳng song song cùng nằm trên một mặt phẳng chiếu thì hình chiếu của chúng
trùng nhau.
1.1.2. Phép chiếu song song
a. Định nghĩa
Trong không gian lấy mặt phẳng P’ làm mặt phẳng hình chiếu và đường thẳng h không
song song với P’ làm hướng chiếu. Từ điểm A bất kỳ trong không gian, kẻ đường thẳng song
song với h, cắt P’ tại A’ thì A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A và đường thẳng AA’ gọi
là đường thẳng chiếu hoặc tia chiếu của phép chiếu song song.
Hình 1.2. Phép chiếu song song.
b. Tính chất
* Tính chất 1: Hình chiếu song song của một đường thẳng không song song với hướng chiếu là
một đường thẳng.
- Hệ quả:
+ Mặt phẳng AA’B’B gọi là mặt phẳng chiếu → A’B’ gọi là hình chiếu suy biến của mặt phẳng
chiếu AA’B’B
+ Nếu C ∈ AB → C’∈ A’B’. Ta nói phép chiếu song song bảo toàn sự liên thuộc của điểm và
đường thẳng.
+ Nếu d song song h → d’ suy biến thành một điểm.
* Tính chất 2: Hình chiếu song song của các đường thẳng song song là các đường thẳng song
song (Cắt nhau ở xa vô cùng): AB // CD → A’B’ // C’B’.
* Tính chất 3: Tỷ số các hình chiếu song song của các đoạn thẳng song song bằng tỷ số giữa các
đoạn thẳng đó.
AB // CD →
A'B' AB
C'D' CD
=
- Hệ quả: Nếu có 3 điểm thẳng hàng thì tỷ số đơn 3 điểm hình chiếu bằng tỷ số đơn của 3 điểm đó.
Nếu 3 điểm A, M, B thẳng hàng → tỷ số đơn:

A'M' AM
M'B' MB
=
;
A'M' AM
A'B' AB
=
và ký hiệu: (A’, M’,
B’) = (A, M, B).
P’
h
A
A’
4
1.1.3. Phép chiếu vuông góc
a. Định nghĩa
Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi hướng chiếu
vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.
b. Tính chất
Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song, nên phép chiếu
vuông góc mang đầy đủ các tính chất của chiếu song song, ngoài ra nó còn có tính chất sau: Độ
dài hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng đó nhân với cos φ (φ
là góc hợp bởi đoạn thẳng đó và mặt phẳng hình chiếu).
A'B' = AB. cos φ { φ =
∠
(AB,P)}
Kết luận: Qua các phép chiếu trên, nhận thấy rằng với mỗi điểm A đem chiếu thì được
hình chiếu A' duy nhất, nhưng ngược lại từ A' có thể xác định vô số điểm trong không gian trên
cùng đường thẳng chiếu. Để đảm bảo từ bản vẽ xây dựng lại được vật thể duy nhất trong không
gian, người ta phải bổ xung vào đó ít nhất một điều kiện nữa sao cho điểm đem chiếu được xác

định duy nhất.
Trong kỹ thuật người ta sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp các hình chiếu vuông góc.
- Phương pháp hình chiếu trục đo.
- Phương pháp hình chiếu phối cảnh.
- Phương pháp hình chiếu có số.
1.2. Điểm
1.2.1. Đồ thức của 1 điểm
a. Trong hệ thống 2 mặt phẳng hình chiếu
- Cách xây dựng đồ thức:
P
1
P
2
II
I
IV
III
x
Ax
A
A
1
A
2
A
2
x
Ax
A

1
A
2
P
1
=P
2
x
A
1
A
2
a) b) c)
Hình 1.3. Đồ thức của một điểm trong 2 mặt phẳng hình chiếu.
- Các định nghĩa:
+ P
1
: là mặt phẳng hình chiếu đứng; P
2
: là mặt phẳng hình chiếu bằng; x: là trục hình chiếu.
+ A
1
: là hình chiếu đứng của A; A
2
: là hình chiếu bằng của A; AA
1
: là độ xa của điểm A; AA
2
: là
độ cao của điểm A.

- Các tính chất của đồ thức:
+ Nếu gọi Ax là giao điểm của trục x với mặt phẳng xác định bởi 3 điểm A, A
1
, A
2
thì trên đồ
thức 3 điểm A
1
, Ax , A
2
thẳng hàng và đường thẳng nối 3 điểm đó vuông góc với trục x.
5
+ Nếu A thuộc mặt phẳng phân giác I thì A
1
đối xứng với A
2
qua trục x.
+ Nếu A thuộc mặt phẳng phân giác II thì A
1
trùng A
2
.
b. Trong hệ thống 3 mặt phẳng hình chiếu
- Cách xây dựng đồ thức:
a) b)
Hình 1.4. Đồ thức của một điểm trong 3 mặt phẳng hình chiếu.
- Các định nghĩa:
Các yếu tố thuộc mặt phẳng P
1
, P

2
được định nghĩa như dùng hai mặt phẳng hình chiếu.
Các yếu tố còn lại định nghĩa như sau:
+ P
3
: gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh; x, y, z: gọi là các trục hình chiếu.
+ A
3
: gọi là hình chiếu cạnh của A; AA
3
: gọi là độ xa cạnh của điểm A.
- Các tính chất của đồ thức:
Ngoài các tính chất như đã nêu trong trường hợp dùng hai mặt phẳng hình chiếu, còn các
tính chất sau:
+ Nếu gọi Az là giao điểm của trục z với mặt phẳng (A, A
1
, A
3
) thì trên đồ thức 3 điểm A
1
, Az,
A
3
thẳng hàng và A
1
AzA
3
⊥
z.
+ Khoảng cách A

3
Az = A
2
Ax = OAy (độ xa của điểm A)
- Liên hệ giữa ba hình chiếu:
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng phải nằm trên đường gióng thẳng đứng vuông góc với
trục x.
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh phải nằm trên đường gióng nằm ngang vuông góc với trục z.
+ Khoảng cách từ hình chiếu bằng tới trục x bằng khoảng cách từ hình chiếu cạnh tới trục z
+ Giữa điểm A
3
và A
2
có liên hệ với nhau như sau: Nếu A
2
ở dưới trục x thì A
3
ở bên phải trục z;
Nếu A
2
ở phía trên trục x thì A
3
ở bên trái trục z; Nếu A
2
thuộc trục x thì A
3
thuộc trục z.
1.2.2. Cách chuyển từ tọa độ Đề các thẳng góc của một điểm sang đồ thức
a. Tọa độ Đề các của một điểm
Xét điểm A trong hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz:

A
A
2
x
Z
A
1
A
2
A
3
A
x
A
z
A
3
A
1
A
3
A
2
P
2
P
3
y
z
P

1
x
0
y
Ay
Ax
Az
6
y
a) b)
Hình 1.5. Chuyển từ tọa độ Đề các thẳng góc sang đồ thức và ngược lại.
- Chiếu điểm A xuống các mặt phẳng toạ độ, ta được A
1
, A
2
, A
3
tương ứng trên các mặt phẳng
toạ độ xOz, xOy, yOz. Từ đó ta có các giá trị X
A
, Y
A
, Z
A
trên các trục toạ độ chính là tọa độ của
điển A.
b. Cách chuyển từ tọa đồ Đề các sang đồ thức
- Thay các mặt phẳng toạ độ xOz, xOy, yOz lần lượt bằng các mặt phẳng hình chiếu P
1
, P

2
, P
3
.
Thay các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt bằng các trục hình chiếu x, y, z. Vậy A
1
, A
2
, A
3
chính là
hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu P
1
, P
2
, P
3
(hình 1.5b).
- Liên hệ giữa đồ thức và tọa đồ Đề các:
+ OAx = AA
3
= X
A
: là độ xa cạnh của điểm A → Xác định được điểm Ax trên đồ thức, vị trí của
đường dóng thẳng đứng đi qua.
+ OAy = A
2
Ax = Y
A
: là độ xa của điểm A → Xác định được điểm A

2
thuộc đường dóng thẳng
đứng.
+ OAz = A
2
Ax = Z
A
: là độ cao của A → Xác định được điểm A
1
thuộc đường dóng thẳng đứng.
1.3. Đường thẳng
1.3.1. Đồ thức của đường thẳng
Trong không gian đường thẳng được xác định bởi 2 điểm và hình chiếu của một đường
thẳng là một đường thẳng, vì vậy đồ thức của đường thẳng được xác định khi biết đồ thức của 2
điểm thuộc đường thẳng đó.
Hình 1.6. Đồ thức của đường thẳng.
1.3.2. Vết của đường thẳng
A
2
Ax
Ay
Az
X
A
Y
A
Z
A
O
y

x
z
A
A
3
A
1
P
1
P
2
P
3
y
A
3
A
2
z
x
A
1
B
1
B
2
A
2
d
1

d
2
d
2
d
1
A
1
B
1
A
2
B
2
B
A
d
x
P
1
P
2
7
A
A
1
Ax
Az
Ay
O

x
Z
A
a. Định nghĩa
Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng hình chiếu.
- Vết đứng (N): là giao điểm của đường thẳng với mp hình chiếu đứng P
1
, ký hiệu là N = d ∩ P
1
.
- Vết bằng (M): là giao điểm của đường thẳng với mp hình chiếu bằng P
2
, ký hiệu là M = d ∩ P
2
.
- Vết cạnh (P): là giao điểm của đường thẳng với mp hình chiếu cạnh P
3
, ký hiệu là P = d ∩ P
3
.
Hình 1.7. Vết của đường thẳng.
b. Cách xác định các hình chiếu của các vết
Cách xác định các hình chiếu của các vết khi biết hai hình chiếu d
1
và d
2
(hình 1.7).
1.3.3. Các đường thẳng đặc biệt
a. Các đường đồng mức
Đường đồng mức là đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu: đường bằng,

đường mặt, đường cạnh.
* Đường bằng:
- Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng (A
1
B
1
) song song với trục x (tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu bằng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường bằng cũng có độ dài bằng chính nó:
A
2
B
2
= AB.
+ Góc của hình chiếu bằng của đường bằng với trục x chính là góc giữa đường bằng đó với mặt
phẳng hình chiếu đứng P
1
{∠(h
2
, x) = ∠(h, P
1
)}.
Hình 1.8. Đường bằng.
* Đường mặt:
d
d
1

M≡M
2
N
2
M
1
d
2
x
d
1
d
2
N
1
M
2
M
1
N
2
N≡N
1
x
P1
P2
A
1 B
1
B

A
B
2
A
2
x
P
1
P
2
x
A
1
B
1
A
2
B
2
8
- Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu bằng A
2
B
2
song song với trục x (tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu đứng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường mặt cũng có độ dài bằng chính nó:

A
1
B
1
= AB.
+ Góc của hình chiếu đứng của đường mặt với trục x bằng góc giữa đường thẳng đó với mặt
phẳng hình chiếu bằng P
2
{∠(h
1
, x) = ∠(h, P
2
)}.
Hình 1.9. Đường mặt.
* Đường cạnh:
- Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P
3
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng (A
1
B
1
, A
2
B
2
) cùng nằm trên đường dóng vuông góc với
trục x (tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu cạnh của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường cạnh cũng có độ dài bằng chính nó:

A
3
B
3
= AB.
+ Góc giữa hình chiếu cạnh của đường cạnh với trục z bằng góc giữa đường thẳng đó với mặt
phẳng hình chiếu đứng P
1
{∠(A
3
B
3
, z) = ∠(d, P
1
)}.
+ Góc giữa hình chiếu cạnh của đường cạnh với trục y bằng góc giữa đường thẳng đó với mặt
phẳng hình chiếu bằng P
2
{∠(A
3
B
3
, y) = ∠(d, P
2
)}.
Hình 1.10. Đường cạnh.
b. Các đường thẳng chiếu
Đường thẳng chiếu là đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu: đường
thẳng chiếu bằng, đường thẳng chiếu đứng, đường thẳng chiếu cạnh.
A

B
A
1
B
1
A
2
B
2
P
2
P
1
x
x
A
1
B
1
A
2
B
2
P
2
P
3
z
x
P

1
A
3
B
3
B
A
x
A
1
B
1
B
3
A
3
z
A
2
y
B
2
y
9
d
* Đường thẳng chiếu bằng:
- Định nghĩa: Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chiếu bằng P
2
(AB
⊥

P
2
).
- Tính chất:
+ Hình chiếu bằng suy biến thành một điểm: A
2
≡ B
2
(tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với trục x: A
1
B
1
⊥
x.
+ Hình chiếu đứng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường thẳng chiếu bằng cũng có độ dài bằng
độ dài thật của nó: A
1
B
1
= A
3
B
3
= AB.
x
A
1
P
2

B
1
B
A
A
2
=B
2
P
1
Hình 1.11. Đường thẳng chiếu bằng.
* Đường thẳng chiếu đứng:
- Định nghĩa: Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
đứng P
1
(AB
⊥
P
1
).
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng suy biến thành một điểm: A
1
≡ B
1
(tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với trục x: A
2
B
2

⊥
x.
+ Hình chiếu bằng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường thẳng chiếu đứng cũng có độ dài bằng
độ dài thật của nó: A
2
B
2
= A
3
B
3
= AB.
x
A
1
B
1
A
2 ≡
B
2
10
x
P
2
B
A
A
1
=B

1
P
1
A
2
B
2

Hình 1.12. Đường thẳng chiếu đứng.
* Đường thẳng chiếu cạnh:
- Định nghĩa: Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
P
3
(AB
⊥
P
3
).
- Tính chất:
+ Hình chiếu cạnh suy biến thành một điểm: A
3
≡ B
3
(tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng cùng song song với trục x: A
1
B
1
//A
2

B
2
// x.
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường thẳng chiếu cạnh
cũng có độ dài bằng độ dài thật của nó: A
1
B
1
= A
2
B
2
= AB.
Hình 1.13. Đường thẳng chiếu cạnh.
1.3.4. Điểm thuộc đường thẳng
a. Trường hợp đường thẳng không phải là đường cạnh
Định lý: Điều kiện cần và đủ để 1 điểm thuộc 1 đường thẳng là hình chiếu đứng của điểm
phải thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, hình chiếu bằng của điểm phải thuộc hình chiếu
bằng của đường thẳng.
b. Trường hợp đường thẳng là đường cạnh
Để một điểm thuộc đường cạnh thì hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của
đường cạnh và hình chiếu cạnh của điểm thuộc hình chiếu cạnh của đường cạnh: C
1
⊂
A
1
B
1
, C
3

⊂
A
3
B
3
; hoặc (biết hình chiếu đứng và hình chiếu bằng) dựa vào tính chất không đổi của tỷ số đơn
của 3 điểm thẳng hàng trong phép chiếu song song: C
⊂
AB thì tỷ lệ (A
1
B
1
C
1
)= (A
2
B
2
C
2
).
x
B
2
A
2
A
1 ≡
B
1

A
3≡
B
3
A
1
B
1
A
2
B
2
A
B
x
z
A
1
B
1
A
3≡
B
3
A
2
Hì
nh
2.1
4

B
2
11
z
x
P
2
P
1
P
3
x
P
2
P
1
A
1
A
C'
1
C
1
B
1
B
C
C'
B
3

A
3
C
3
C'
3
P
3
B
2
A
2
C'
2
=C
2
x
y
z
y
A
1
C'
1
C
1
B
1
B
2

A
2
C'
2
=C
2
A
3
B
3
C
3
C'
3
Hình 1.14. Điểm thuộc đường cạnh.
1.3.5. Độ lớn thật của đoạn thẳng và góc nghiêng của nó với các mặt phẳng hình chiếu
- Giả thiết: cho các hình chiếu A
1
B
1
và A
2
B
2
của đoạn thẳng AB. Ta cần tìm độ dài thật của AB
và góc nghiêng của nó với các mặt phẳng hình chiếu P
1
và P
2
.

x
P
2
P
1
B
1
A
2
α
B
2
A
1
A
B
Ax
Bx
B
0
M
x
A
1
A
2
B
2
B'
B

1
B''
AB∩P
2
AB∩P
1
ÐLT-AB
ÐLT-AB
a) b)
Hình 1.15. Độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng.
- Lấy A
2
B
2
làm một cạnh của góc vuông, vẽ cạnh góc vuông B
2
B' = Z
A
- Z
B
. Ta được tam giác
vuông A
2
B
2
B' bằng tam giác AB
0
B, vậy cạnh huyền A
2
B' = AB và góc ∠B

2
A
2
B'= ∠BAB
0
= α, là
góc nghiêng của AB với P
2
.
- Tương tự, vẽ tam giác vuông có cạnh là hình chiếu đứng, cạnh còn lại là hiệu độ xa của hai đầu
đoạn thẳng, thì cạnh huyền của tam giác là độ dài thật của nó, góc đối diện với cạnh hiệu độ xa là
góc nghiêng giữa đoạng thẳng với mặt phẳng P
1
.
1.3.6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a. Hai đường thẳng cắt nhau
* Trường hợp hai đường thẳng không phải là đường cạnh:
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là hai hình chiếu đứng của chúng cắt
nhau, hai hình chiếu bằng của chúng cắt nhau và các giao điểm phải nằm trên đường dóng thẳng
đứng.
* Trường hợp có đường thẳng là đường cạnh:
- Có 2 phương pháp để xác định d có cắt AB (tại giao điểm M) hay không:
+ Dựa vào hình chiếu cạnh (xem M
3
thuộc A
3
B
3
không).
+ Dựa vào tỷ số đơn của ba điểm (A

1
M
1
B
1
) và (A
2
M
2
B
2
).
12
Nếu M thuộc AB thì đường thẳng d cắt đường cạnh AB (hình 1.16a, điểm M∈AB). Nếu
M không thuộc AB, thì d và AB chéo nhau (hình 1.16b).
x
M
1
B
1
B
2
A
1
d
1
M*
B*
M
2

A
2
d
2
x
M
1
B
1
B
2
A
1
d
1
M*
B*
M
2
A
2
d
2
M'
2
a) b)
Hình 1.16. Hai đường thẳng cắt nhau.
b. Hai đường thẳng song song
* Trường hợp cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh:
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song với nhau là các hình chiếu đứng song

song với nhau và các hình chiếu bằng cũng song song với nhau.
* Trường hợp cả hai đường thẳng là đường cạnh:
- Cách 1: Xét hình chiếu cạnh.
- Cách 2: Áp dụng tính chất về hình chiếu của hai đoạn thẳng song song.
- Cách 3: Xét điều kiện đồng phẳng của hai đường thẳng song song.
c. Hai đường thẳng chéo nhau
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cắt nhau, cũng không song song
với nhau. Vậy hai đường thẳng chéo nhau thì đồ thức của chúng không thỏa mãn các điều kiện
của hai đường thẳng cắt nhau và song song.
d. Hai đường thẳng vuông góc
* Định lý: Hình chiếu của một góc vuông nói chung là một góc vuông.
- Điều kiện để một góc vuông chiếu thẳng góc vẫn là góc vuông là: ít nhất một cạnh của góc
vuông song song với mặt phẳng hình chiếu, còn cạnh kia không vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu.
* Đồ thức hai đường thẳng vuông góc.
- Hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau hoặc chéo nhau) trong không gian, nếu có một đường là
đường mặt, còn đường kia không phải là đường chiếu đứng thì các hình chiếu đứng của chúng
vuông góc với nhau.
- Hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau hoặc chéo nhau) trong không gian, nếu có một đường là
đường bằng, còn đường kia không phải là đường chiếu bằng thì các hình chiếu bằng của chúng
vuông góc với nhau.
1.4. Mặt phẳng
1.4.1. Đồ thức của mặt phẳng
Trong không gian, mặt phẳng được xác định bởi: ba điểm không thẳng hàng; một điểm
và một đường thẳng; hai đường thẳng cắt nhau hoặc hai đường thẳng song song. Vì vậy đồ thức
của mặt phẳng cũng được xác định bởi đồ thức của các yếu tố xác định các mặt phẳng đó.
13
Hình 1.17. Đồ thức của mặt phẳng.
1.4.2. Vết của mặt phẳng
a. Định nghĩa

Vết của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng hình chiếu.
- Vết đứng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
(nếu mặt phẳng là α,
vết đứng ký hiệu là nα).
- Vết bằng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
(nếu mặt phẳng là α,
vết đứng ký hiệu là mα).
- Vết cạnh là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu cạnh P
3
(nếu mặt phẳng là α,
thì vết đứng ký hiệu là pα).
n
α≡
n
α
1
n
α
2
≡
m
α
1
m
α≡
m
α
2

p
α≡
p
α
3
P
2
P
1
P
3
α
x
y
z
m
α≡
m
α
2
n
α≡
n
α
1
p
α≡
p
α
3

x
y
z
y
0
Hình 1.18. Vết của mặt phẳng.
b. Hình chiếu của các vết mặt phẳng
- Vết đứng nα:
+ Hình chiếu đứng của vết đứng là: nα
1
≡ nα.
+ Hình chiếu bằng của vết đứng là: nα
2
≡ x.
Quy ước, trên đồ thức chỉ biểu diễn hình chiếu đứng của vết đứng là nα.
- Vết bằng mα:
+ Hình chiếu bằng của vết bằng là: mα
2
≡ mα.
+ Hình chiếu đứng của vết bằng là: mα
1
≡ x.
Quy ước, trên đồ thức chỉ biểu diễn hình chiếu bằng của vết bằng là mα.
- Vết cạnh pα:
α ( A,B,C)
A
1
A
2
B

2
B
1
C
1
C
2
x x
A
1
A
2
d
1
d
2
α (A,d)
x
a
1
b
1
b
2
a
2
α (a x b)
x
m
1

n
1
n
2
m
2
α (m // n )
14
+ Hình chiếu cạnh của vết cạnh là: pα
3
≡ pα.
+ Hình chiếu đứng là pα
1
≡ z và hình chiếu bằng là: pα
2
≡ y.
Quy ước, trên đồ thức chỉ biểu diễn hình chiếu cạnh của vết cạnh là pα.
1.4.3. Các mặt phẳng đặc biệt
a. Các mặt phẳng chiếu
* Mặt phẳng chiếu bằng: là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng trùng với vết bằng
của nó (tính chất đặc trưng).
+ Vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuôn góc với trục x (nα
⊥
x).
+ Góc giữa hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng với trục x bằng góc giữa mặt phẳng đó
với mặt phẳng hình chiếu đứng: φ = ∠(α, P

1
).
* Mặt phẳng chiếu đứng: là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng P
1
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành đường thẳng trùng với vết đứng
của nó (tính chất đặc trưng).
+ Vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x (mQ
⊥
x).
+ Góc giữa hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng với trục x chính là góc giữa mặt phẳng đó
với mặt phẳng hình chiếu bằng: ψ = ∠(Q, P
2
).
* Mặt phẳng chiếu cạnh: là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chiếu cạnh P
3
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành đường thẳng trùng với vết cạnh của
nó: pQ≡Q
3
(tính chất đặc trưng).
+ Mặt phẳng chiếu cạnh có vết đứng và vết bằng song song với trục x (nQ // mQ// x).
+ Góc giữa hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh với trục z chính là góc giữa mặt phẳng đó
với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
: θ = ∠(Q, P
1
), và góc của nó với trục y (≡x) chính là góc giữa

mặt phẳng đó với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
: β = ∠(Q, P
2
).
b. Các mặt phẳng đồng mức
Mặt phẳng đồng mức là mặt phẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu: mặt phẳng
bằng, mặt phẳng mặt, mặt phẳng cạnh.
* Mặt phẳng bằng:
- Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng của mặt phẳng suy biến thành một đường thẳng trùng với vết đứng và song
song với trục x: (nα≡α
1
)//x.
+ Hình chiếu bằng của bất kỳ hình phẳng nào thuộc mặt phẳng bằng cũng có độ lớn bằng hình
thật của nó: A
2
B
2
C
2
=ABC.
* Mặt phẳng mặt:
- Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
.
- Tính chất:

+ Hình chiếu bằng của mặt phẳng suy biến thành một đường thẳng trùng với vết bằng và song
song với trục x: (mα≡α
2
)//x.
15
+ Hình chiếu đứng của bất kỳ hình phẳng nào thuộc mặt phẳng mặt cũng có độ lớn bằng độ lớn
thật của nó: A
1
B
1
C
1
=ABC.
* Mặt phẳng cạnh:
- Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P
3
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt phẳng cạnh suy biến thành một đường thẳng
vuông góc với trục x.
+ Hình chiếu cạnh của bất kỳ hình phẳng nào thuộc mặt phẳng cạnh cũng có độ lớn bằng độ lớn
thật của nó: A
3
B
3
C
3
=ABC.
1.4.4. Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng
a. Đường thẳng thuộc mặt phẳng

Điều kiện để 1 đường thẳng thuộc 1 mặt phẳng là: Đường thẳng đó phải có 2 điểm thuộc
mặt phẳng; Hoặc đường thẳng có 1 điểm thuộc mặt phẳng và song song với 1 đường thẳng của
mặt phẳng.
b. Điểm thuộc mặt phẳng.
Điểm A thuộc mặt phẳng α nếu điểm A thuộc một đường thẳng nào đó của mặt phẳng.
1.4.5. Các đường thẳng đặc biệt của mặt phẳng
a. Đường bằng của mặt phẳng
- Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mặt
phẳng hình chiếu bằng P
2
- Tính chất: cho b là đường bằng thuộc mặt phẳng
α
, thì:
+ Hình chiếu đứng song song với trục x: b
1
// x.
+ Hình chiếu bằng song song với vết bằng của mặt phẳng: b
2
//m
α
.
b. Đường mặt của mặt phẳng
- Định nghĩa: Đường mặt của MP là đường thẳng thuộc MP và song song với mặt phẳng hình
chiếu đứng P
1
.
- Tính chất: cho b là đường mặt của mặt phẳng
α
, thì:
+ Hình chiếu bằng song song với trục x: b

2
//x.
+ Hình chiếu đứng song song với vết đứng của mặt phẳng: b
1
//n
α
.
1.4.6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
a. Hai mặt phẳng song song
- Điều kiện: Để hai mặt phẳng song song với nhau là trong mặt phẳng này có hai đường thẳng
cắt nhau tương ứng song song với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia.
- Trường hợp mặt phẳng cho bằng vết: hai mặt phẳng song song thì các vết tương ứng của chúng
cũng song song với nhau.
x
nα
nβ
mα
mβ
x
z
nB
nV
pB
pV
16
Hình 1.19. Hai mặt phẳng song song.
b. Hai mặt phẳng cắt nhau
* Trường hợp đặc biệt:
- Hai mặt phẳng đều là mặt phẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng: Giao tuyến của chúng sẽ là
đường thẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng.

Hình 1.20. Hai mặt phẳng đều là mặt phẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng.
- Một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu đứng, một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu bằng:
Dựa vào tính chất đặc trưng của các mặt phẳng chiếu ta xác định được giao tuyến của hai
mặt phẳng này có hình chiếu đứng trùng với hình chiếu đứng suy biến của mặt phẳng chiếu
đứng, hình chiếu bằng trùng với hình chiếu bằng suy biến của mặt phẳng chiếu bằng (hình
1.21a).
a) b)
Hình 1.21. Hai mặt phẳng cắt nhau.
- Một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu, một mặt phẳng là bất kỳ (hình 1.21b):
+ Giao tuyến của hai mặt phẳng có một hình chiếu hình chiếu trùng với hình chiếu suy biến của
mặt phẳng chiếu.
+ Hình chiếu còn lại của giao tuyến được xác định theo bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳng.
* Trường hợp bất kỳ:
- Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng bất kỳ, ta phải tìm được ít nhất hai điểm chung của hai
mặt phẳng đó (nếu trên đồ thức đã cho chưa có điểm nào chung).
- Phương pháp chung là: Dùng “mặt phẳng phụ trợ”.
Nội dung phương pháp:
g
2
g
1
x
nP
nR
mP
mR
g
1
g
2

x
nV nR
mR
mV

x
mR
nR
g
1 ≡
g
2 ≡
nP
mP
nP
mP
mR
nR
g
1
N
1
M
1
N
2
M
2
g
2

x
17
Hình 1.22. Phương pháp dùng mặt phẳng phụ trợ.
+ Bước 1: Dựng một mặt phẳng δ (gọi là mặt phẳng phụ trợ).
+ Bước 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng δ với (P) & (R), được a & b (gọi là các giao tuyến phụ).
+ Bước 3: Tìm giao điểm của các giao tuyến phụ, được một điểm chung thứ nhất (muốn tìm
điểm chung thứ hai ta làm tương tự như trên).
Nối hai điểm chung ta có giao tuyến của hai mặt phẳng.
1.4.7. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
a. Đường thẳng song song với mặt phẳng
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng đó phải
song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Hình 1.23. Đường thẳng song song với mặt phẳng.
Từ điều kiện trên, ta thấy: Qua một điểm, có thể kẻ được vô số đường thẳng song song với
một mặt phẳng cho trước .
Muốn cho đường thẳng được xác định duy nhất, cần gán thêm cho nó một điều kiện nào đó
nữa.
b. Đường thẳng cắt mặt phẳng
* Trường hợp đặc biệt:
- Đường thẳng hoặc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu, trường hợp này theo tính
chất của đường thẳng và mặt phẳng chiếu, ta đã biết một hình chiếu của giao điểm (áp dụng tính
liên thuộc sẽ tìm được hình chiếu thứ hai của giao điểm).
- Đường thẳng là đường thẳng chiếu, mặt phẳng là bất kỳ:
Hình chiếu của giao điểm đã biết trùng với hình chiếu suy biến của đường thẳng chiếu.
Dựa theo tính liên thuộc của điểm và mặt phẳng đề tìm hình chiếu còn lại (hình 1.24a).
a b
b’
a’
1
2

R
δ
δ’
P
P
d
a
18
a) b)
Hình 1.24. Trường hợp đặc biệt.
- Mặt phẳng là mặt phẳng chiếu, đường thẳng là bất kỳ:
Biết một hình chiếu của giao điểm là giao giữa hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu
với hình chiếu cùng chỉ số của đường thẳng. Áp dụng tính liên thuộc của điểm và đường thẳng
để tìm hình chiếu còn lại (hình 1.24b).
* Trường hợp bất kì:
Đường thẳng và mặt phẳng đều có vị trí bất kì đối với các mặt phẳng hình chiếu, trường
hợp này cả 2 hình chiếu của giao điểm đều chưa biết. Vậy để tìm giao điểm ta phải dùng phương
pháp mặt phẳng phụ trợ.
c. Quy ước thấy khuất.
* Quy ước chung:
- Khi xét thấy khuất, người quan sát đứng ở đằng trước của mặt phẳng P
1
và phía trên của mặt
phẳng P
2
để quan sát; các tia quan sát vuông góc với các mặt phẳng hình chiếu. Như vậy, xem
như người quan sát đứng ở xa vô cùng để quan sát.
- Các mặt phẳng biểu diễn là các mặt phẳng “đục”, không nhìn xuyên qua được. Như vậy, những
điểm nằm ở góc tư I mới thấy trên đồ thức.
- Xét thấy khuất trên đồ thức dựa vào hai điểm cùng tia chiếu.

a) b)
Hình 1.25. Quy ước thấy khuất trên hình chiếu.
* Qui ước thấy khuất trên hình chiếu đứng:
Xét hai điểm cùng tia chiếu đứng, điểm nào ở xa hơn sẽ thấy trên hình chiếu đứng
Trên đồ thức, điểm A
1
che khuất điểm B
1
vì điểm A xa hơn điểm B (hình 1.25a).
* Qui ước thấy khuất trên hình chiếu bằng:
Xét hai điểm cùng tia chiếu bằng, điểm nào ở cao hơn sẽ thấy trên hình chiếu bằng .
Trên đồ thức, điểm C
2
che khuất điểm D
2
vì điểm C cao hơn điểm D (hình 1.25b).
K
2
≡
K
1
d
1
d
2
n
α
m
α
x

d
1
d
2
nα
m
α
x
K
2
K
1
x
A
T
1 ≡
B
K
1
A
2
B
2
x
C
1
D
1
C
T

2
≡ D
K
2
19
d. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
* Định lý: Trong không gian điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là nó
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng đó.
- Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong
mặt phẳng đó.
- Điều kiện trên đồ thức: Từ định lý: “Điều kiện để góc vuông chiếu thẳng góc thành một góc
vuông là: ít nhất có một cạnh góc vuông song song với mặt phẳng hình chiếu, còn cạnh kia
không thẳng góc với mặt phẳng hình chiếu. Vậy điều kiện cần và đủ để một đường thẳng (không
phải là đường cạnh) vuông góc với một mặt phẳng bất kỳ là:
+ Hình chiếu đứng của đường thẳng phải vuông góc với hình chiếu đứng của đường mặt thuộc
mặt phẳng, hay vuông góc với vết đứng của mặt phẳng.
+ Hình chiếu bằng của đường thẳng phải vuông góc với hình chiếu bằng của đường bằng thuộc
mặt phẳng, hay vuông góc với vết bằng của mặt phẳng.
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:
1. Nguyễn Đình Điện (2003), Hình học họa hình tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.
2. Nguyễn Đình Điện (2003), Bài tập hình học họa hình tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG:
1. Hãy vẽ đồ thức của các điểm sau:
- Điểm A thuộc mặt phẳng P
1
- Điểm B thuộc mặt phẳng P
2
- Điểm C thuộc mặt phân giác 1
- Điểm D thuộc mặt phân giác 2
- Điểm E thuộc trục hình chiếu x

2. Cho đồ thức của các điểm F, G, H (hình 1.26). Hãy vẽ hình chiếu cạnh của chúng và cho biết
chúng thuộc góc phần tư thứ mấy?

x
y
z
F
1
F
2
H
1
H
2
G
1
G
2
y

x
B
2
A
2
A
1
B
1
Hình 1.26 Hình 1.27

3. Cho đường thẳng AB (Hình 1.27). Hãy xác định:
a) Vết bằng, vết đứng của đường thẳng AB.
b) Điểm C trên đường thẳng AB có độ cao gấp đôi độ xa.
4. Vẽ nốt các hình chiếu của hình chữ nhật ABCD. Biết hai hình chiếu của cạnh AB (có A
1
B
1
//
x) và cho AD
∈
d (biết A
1
và d
1
) (hình 1.28).
20
x
A
1
B
1
D
1
d
1
B
2
A
2

x
A
1
B
1
d
1
B
2
A
2
Hình 1.28 Hình 1.29
5. Vẽ hoàn chỉnh các hình chiếu của hình vuông ABCD. Biết các hình chiếu của cạnh AB (có
A
1
B
1
// x), còn đỉnh D
∈
d (cho d
1
) (hình 1.29).

x
A
2
A
1
f
1

f
2

x
b
2
a
1
b
1
a
2
Hình 1.30 Hình 1.31
6. Cho đồ thức của điểm A và đường mặt f (hình 1.30). Xác định khoảng cách từ A tới đường f.
7. Xác định các vết đứng và bằng của mặt phẳng
α
(a x b) (hình 1.31).
8. Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng
α
(n
α
, m
α
) và
β
(n
β
, m
β
) (hình 1.32).

Hình 1.32
x
H
ì
n
h
3
.
1
8
nα
mα
nβ≡mβ
21
CHƯƠNG 2
Đường cong, đa diện và mặt cong
Số tiết: 02 (Lý thuyết: 02 tiết; bài tập, thảo luận: 0 tiết)
A) MỤC TIÊU:
- Hiểu được những tính chất cơ bản về hình chiếu của đường cong, từ đó biết cách biểu diễn
chúng trên đồ thức.
- Biết cách biểu diễn đa diện và mặt cong từ đó vận dụng xác định được điểm thuộc đa diện và
điểm thuộc mặt cong.
B) NỘI DUNG:
2.1. Đường cong
2.1.1. Định nghĩa
- Đường cong là quỹ đạo của điểm chuyển động theo một quy luật nào đó. Ngoài ra đường cong
có thể là giao của hai mặt.
- Đường cong có thể là đường cong phẳng hay đường cong ghềnh.
- Bậc của đường cong là số giao điểm tối đa của đường cong với mặt phẳng hoặc là số mũ cao
nhất của đối số trong phương trình đại số biểu diễn đường cong. Ví dụ: đường elip, đường thân

khai, đường tròn là đường cong bậc 2.
2.1.2. Các tính chất về hình chiếu của đường cong
- Tính chất 1: Hình chiếu của tiếp tuyến đường cong phẳng ở một điểm nói chung là tiếp tuyến
của hình chiếu đường cong tại hình chiếu của điểm đó.
P
S
t'
t
M'
M
c
c'
N'
N
Hình 2.1. Đường cong.
- Tính chất 2: Hình chiếu của đường cong đại số bậc n là đường cong đại số bậc n (hình chiếu
của elip, parabol, hypebol, đường bậc 3 là elip, parabol, hypebol, đường bậc 3 ).
2.1.3. Hình chiếu song song của đường tròn
* Tính chất:
- Hình chiếu song song của đường tròn nói chung là elip.
+ Nếu mặt phẳng của đường tròn song song với mặt phẳng hình chiếu, thì hình chiếu của nó vẫn
là đường tròn.
+ Nếu mặt phẳng của đường tròn vuông góc với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của nó suy
biến thành đoạn thẳng dài bằng đường kính của đường tròn.
- Tâm của elip hình chiếu là hình chiếu của tâm đường tròn.
- Hình chiếu của hai đường kính vuông góc của đường tròn là hai đường kính liên hiệp của elip
hình chiếu. Nói chung các đường kính liên hiệp của elip không vuông góc với nhau. Hai đường
kính liên hiệp vuông góc với nhau ta gọi là trục ngắn và trục dài của elip.
22
* Biểu diễn đường cong:

- Đường cong cũng được biểu diễn bằng các hình chiếu của nó.
- Khi hình chiếu của đường cong là cung tròn thì ta vẽ cung tròn bằng compa.
- Khi đường cong trên hình chiếu không phải là đường tròn thì phải tìm hình chiếu của một số
điểm cần thiết trên đường cong và nối các điểm đó lại thì ta được hình chiếu của đường cong, số
điểm tìm được phải đủ để thể hiện dạng của đường cong.
2.2. Đa diện và mặt cong
2.2.1. Đa diện
a. Khái niệm
Đa diện là 1 mặt kín được giới hạn bởi các đa giác phẳng ghép kín với nhau.
- Các đa giác phẳng giới hạn đa diện gọi là các mặt của đa diện.
- Giao tuyến giữa các mặt của đa diện gọi là các cạnh.
- Giao điểm của các cạnh gọi là các đỉnh.
* Các loại đa diện:
- Nếu các cạnh bên của đa diện cắt nhau thì đa diện đó gọi là
mặt tháp hay mặt chóp.
- Nếu các cạnh bên của đa diện song song nhau thì đa diện đó
gọi là mặt lăng trụ.
+ Nếu các cạnh bên của lăng trụ là đường thẳng chiếu thì đó là
lăng trụ chiếu.
+ Nếu các cạnh bên của lăng trụ không phải là đường thẳng
chiếu (đường thẳng bất kỳ) thì đó là lăng trụ xiên.
- Đa diện bất kỳ.
b. Biểu diễn đa diện
Đa diện được biểu diễn bằng hình chiếu của các cạnh,
các đỉnh và các mặt của nó. Trên mỗi hình chiếu cần phân biệt
được các mặt bên thấy và khuất.
c. Điểm thuộc đa diện
Điểm thuộc đa diện nghĩa là điểm thuộc các mặt bên, hoặc thuộc các cạnh của đa diện
C
M

E
E
1
M
2
D
1
E
2
M
1
23
S
2
S
1
A
1
B
1
C
1
C
2
A
2
B
2
x
Hình 2.2. Đa diện.

B
1
S
2
s
1
A
2
A
1
B
2
C
2
C
1
S
A
B
x
Hình 2.3. Điểm thuộc đa diện.
Ví dụ: Điểm M thuộc đa diện SABC (hình 2.3).
- Muốn biểu diễn 1 điểm thuộc mặt tháp, ta gắn điểm vào đường thẳng đi qua đỉnh tháp, hoặc
gắn vào đường thẳng song song với cạnh đáy của tháp.
2.2.2. Mặt cong
a. Khái niệm
Mặt cong là quỹ tích các vị trí của một đường (đường thẳng hoặc đường cong) chuyển
động theo một quy luật nào đó. Đường chuyển động này gọi là đường sinh của mặt cong, đường
có quy luật là đường chuẩn.
b. Các loại mặt cong

- Mặt nón: Là quỹ đạo của 1 đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định và tựa trên một đường
cong cho trước (hình 2.4).
S
d
Hình 2.4. Mặt nón. Hình 2.5. Mặt trụ.
- Mặt trụ: Là quỹ tích của một đường thẳng chuyển động luôn song song với 1 đường thẳng và
tựa trên một đường cong cho trước (hình 2.5).
- Mặt xuyến: Là quỹ tích một đường tròn bán kính r quay quanh trục đồng phẳng với nó và cách
tâm một khoảng bằng R.
- Mặt cầu: Là mặt tròn xoay khi quay một đường tròn quanh đường kính của nó tạo ra.
c. Biểu diễn mặt cong
Trên đồ thức, mặt cong được biểu diễn bằng hình chiếu của đường tiếp xúc giữa mặt
cong với mặt trụ chiếu, thường là đường sinh và đường chuẩn nằm ngoài cùng, gọi là đường
biên.
Phần mặt cong nằm ở phía trước theo hướng chiếu thì thấy, phần ở phía sau theo hướng
chiếu thì khuất.
- Mặt nón: biểu diễn mặt nón bao gồm hình chiếu của đỉnh nón và đường chuẩn, vẽ đường bao
ngoài và xác định phần thấy và khuất trên từng hình chiếu đó.
- Mặt trụ
- Mặt cầu: hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt cầu là hai vòng tròn có đường kính bằng
đường kính mặt cầu đã cho. Đó chính là hình chiếu tương ứng của hai vòng tròn lớn thuộc mặt
phẳng mặt và mặt phẳng bằng đi qua tâm cầu.
- Mặt xuyến
d. Điểm thuộc mặt cong
Để xác định một điểm thuộc mặt cong, ta gắn điểm đó vào đường sinh hoặc đường chuẩn
của mặt cong.
- Điểm thuộc mặt cầu: được xác định bằng cách gắn điểm đó vào đường tròn nằm trên mặt phẳng
bằng hoặc mặt phẳng mặt của mặt cầu.
- Điểm thuộc mặt xuyến: được xác định bằng cách gắn điểm đó vào vòng tròn vĩ tuyến.
24

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:
1. Nguyễn Đình Điện (2003), Hình học họa hình tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.
2. Nguyễn Đình Điện (2003), Bài tập hình học họa hình tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG:
1. Tính chất hình chiếu song song của đường tròn. Hãy cho ví dụ minh họa cụ thể bằng hình vẽ
trong trường hợp tổng quát.
2. Cách biểu diễn đa diện? Xác định điểm thuộc đa diện như thế nào?
3. Cách biểu diễn mặt cong? Xác định điểm thuộc mặt cong như thế nào?
4. Cho đường tròn tâm O thuộc mặt phẳng α (n
α
, m
α
) vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng. Biết
O
1
, vẽ các hình chiếu của đường tròn đó. Cho bán kính đường tròn bằng R.
5. Cho điểm 1 và điểm 2 thuộc hình chóp có hình chiếu đứng
1 1
1 2≡
như hình 2.6. Hãy xác định
hình chiếu bằng của điểm 1 và điểm 2?
``
x
E
1
Hình 2.6 Hình 2.7
6. Cho điểm E thuộc mặt xuyến có hình chiếu đứng E
1
như hình 2.7. Hãy xác định hình chiếu
bằng của điểm E?

7. Cho điểm M thuộc mặt nón có hình chiếu đứng M
1
như hình 2.8. Hãy xác định hình chiếu
bằng của điểm M?
x
1
1≡
2
1
S
2
A
2
B
2
D
2
C
2
S
1
A
1
B
1
C
1
D
1
25