Giải tích lớp 12 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

G
iải

tích

12
Phần III : Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số
July 15 ,2009
/>Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro
http:my.opera.com/vinhbinhpro
Phần III
Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số
/>
TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Biên tập PPS : vinhbinhpro
1. Định nghĩa :
a) Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu :
0 0
: ( ) : ( )M Mx D f x x D f x• ∀ ∈ ≤ •∃ ∈ =
Kí hiệu :
max ( )
D
M f x=
b) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu :
0 0
: ( ) : ( )m mx D f x x D f x•∀ ∈ ≥ •∃ ∈ =
Kí hiệu :
min ( )

D
m f x=
2.GTLN ,GTNN trên một khoảng
( , ) ,( ; ) ,( ; )a b a b−∞ +∞
B1: Tìm các điểm
( )
1 2
, , ;
m
x x x a b∈
tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0
hoặc không có đạo hàm .Xác định điểm Cực trị của hàm số
B2 : Tính
1 2
li( ), ( ), ( ), m ( ), lim ( )
x
m
a x b
f x ff f x f x xx
+ −
→ →
B3 : So sánh các giá trị vừa tìm được tìm ra GTLN ,GTNN của hàm số f trên
một khoảng
TÓM TẮT LÝ THUYẾT

/>3. GTLN & GTNN của hàm số trên một đoạn [a , b ]
B1: Tìm các điểm cực trị :
1 2
, , ,
n

x x x
trên đoạn [ a , b ]
B2: Tính
1 2
( ), ( ), , ( ), ( ), ( )
n
f x f ax f fx bf
B3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên để tìm ra GTLN ,GTNN của hs trên [a,b]
Chú ý :1. Nếu không cho trước khoảng hay đoạn thì phải hiểu là tìm GTLN ,GTNN
trên tập xác định của hàm số
2. Giá trị cực đại ,giá trị cực tiểu chưa hẳn là GTLN,GTNN của hàm số.
a
b
f(a)
f(b)
gtCĐ
gtCT
gt CĐ đồng thời là GTLN trên
[a,b]
gt CT không phải là GTNN trên
[a,b]
f(a) mới là GTNN trên [a,b]
a
b
f(b)
f(a)
gtCĐ
gtCT
f(b) là GTLN trên [a,b]
f(a) là GTNN trên [a,b]

B
ài tập
Phần III : Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài tập áp dụng

/>Bài tập 1: Tìm GTLN , GTNN ,nếu có, của hàm số sau :
2
1
0( )y x x
x
= + >
Hướng dẫn
3
2 2
1 2 1
0 2( ; ) '
x
D y x
x x
−
• = +∞ = − =
3
1
0
2
'y x= ⇔ =
33
0
3
4

1
2
, lim , lim
x
x
y y y
+
→+∞
→
 
• = = =


+∞
÷

+∞
Tính :
So sánh các kết quả trên ta có :
( )
0,
Max y
+∞
không có
( )
3 3
0
1 3
2 4
;

min y y
+∞
 
= =
 ÷
 
Bài tập áp dụng
vinhbinhpro
Bài tập 2: Tìm GTLN , GTNN ,nếu có, của hàm số sau:
( )
2
6 4y x x= − +
trên [ 0 ; 3 ]
Hướng dẫn
( )
2
2
2 2
2 6 4
1 4 6
4 4
'
x x x
B y x x
x x
− +
• = + + − =
+ +
2
0 2 6 4 0 1 2' x hay xy x x= ⇔ − + = ⇔ = =

5 5 8 2
12 1
1
3 30 3
B2 ( ) y( )
(
2
) ( )
y
y y
• ∗ = − ∗ = −
∗ = − ∗ = −
B3 So sánh 4 giá trị trên ta có kết quả :
[ ]
[ ]
3
0
0
3
12
;
;
3 13 minMax y y = −= −
Bài tập áp dụng

/>Bài tập 3: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau :
2
2 1sin cosy x x= − +
Hướng dẫn
( )

4 4 1B1: ' sin cos sin sin cosy x x x x x= + = +
4 1
0
0
2
1
cos ( )
sin ( )
'
x
y
x
=

= ⇔
= −


Nghiệm của pt (2) gây nhiều khó khăn
trong việc tính giá trị cực trị .
Đến đây học sinh phải đổi phương pháp - Dùng một biến số phụ.
Đặt
1 1 )cos (t x t− ≤ ≤=
: miền giá trị của biến t . Thay
2
1
2
sin tx = −
( )
2 2

2 1 1 2 3t tt ty −= + = −− +−
4 1
1
1 1
4
0B1: [ ; ]'y tt= − − = ⇔ = − ∈ −
25
2 0
8
1
1
4
B2 : ( ) y( )1y y
 
∗ = ∗ = ∗− =
 ÷
 
−
B3 : So sánh 3 giá trị trên ta có kết quả:
1 1 1 1
25
0
8
[ ; ] [ ; ]
; min
t t
Max y y
∈ − ∈ −
= =
25

8
0mi; n
xx R R
Max y y
∈ ∈
==
Bài tập áp dụng

/>Bài tập 4: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau :
3 3
9
4
sin cos sin cosy x x x x= + +
Hướng dẫn
( )
( )
2 2
9
4
sin cos sin cos sin cos sin cosy x x x x x x x x= + + − +
( ) ( )
9
1
4
sin cos sin cos sin cosy x x x x x x= + − +
Đặt :
2
1
2 2
2

[ ; ] sisin cos n cos,
t
t xt x x x= +
−
− =⇒ ∈
( )
2
3 2
2
1 9 1
1
2 4
1
4 9 12 9
2 8
( )
t t
t tt yy t
   
− −
∗ ⇔ = − + ⇔

= − + +
÷
 
  
−

( )
2

3
1 2 3 2
4
: 'B y t t= − + −
2
2 0
1
2
: '
t
B y
t
=


= ⇔

= −

(loại )
( ) ( )
49 9 4 2 9 4 2
32
1
3 2
8 8
2
2
:B y y y
+

 
∗ − = ∗ = ∗ −− =

−
 ÷

Kết quả :
9 49
32
4 2
8
min
x Rx R
a yM x y
∈ ∈
= −
+
=
(Đại số lớp 11)

Bài tập áp dụng

Biên tập pps: vinhbinhpro
Bài tập 5: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau :
2
2
2 1
1 2
x x
y

x x
−
=
+ − +
Hướng dẫn
Đặt :
[ ]
2
1 1 1, ;t x x x= + − ∈ −
* Tìm miền giá trị của t
2
2 2
1
1
1 1
'
x x x
t
x x
− −
• = − =
− −
2
2 2
0
2
0 1
1
2
'

x
t x x x
x x

≥

• = ⇔ − = ⇔ ⇔ =

− =


x
y’
y
-1
1
2
2
0
+
̶
-1 1
1 2;t
 
⇒ ∈ −
 
2
2 2 2
2
2

1 2 1 2 1 1
1
2
t
t x x yt
t
∗ = + − ⇒ − =
−
=⇒
+
−
( )
2
2
4 1
2
'
t t
y
t
+ +
• =
+
2
0 4 1 0 2 3 2 3
( )( )
'
loa n ni ha
y t t t hay t∗ = ⇔ + + = − +⇔ == − −
2 2

2 3 2 0
2
3 2 1 2( ) , ( , ( )) )(y y y−= − = =
−
∗ −
11
2 2
2
[ ; ]x
Max y
∈ −
−
=
( )
11
2 3 2
[ ; ]
min
x
y
∈ −
= −
Bài tập áp dụng

/>Bài tập 6: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau :
3
2 2sin cos siny x x x= − + +
Hướng dẫn
( )
33 2

1 2 12 1 ssin cos sin ,in sin sin ( )y x xx x Rx x x= +∗ + − + + = ∈+ +
Đặt :
[ ]
3 2
1 1 2 1sin , ;t x t y t t t= ∈ − ⇒ = + + +
Bài toán trở thành tìm GTLN ,GTNN của y(t) trên [-1 , 1]
2 2
3 4 1 0 3 4 1 0'( ) , '( )y t t t y t t t∗ = + + = ⇔ + + =
1
1
3
t hay t⇔ = − = −
( )
1 5
1
1
3
1
23
27
( )y y y
 
∗ − = ∗ − = ∗ =
 ÷
 
[ ]
11
5
;t
Max y

∈ −
∗ =
[ ]
1 1
23
27
;
min
t
y
∈ −
∗ =
5
x R
Max y
∈
• =
23
27
min
x R
y
∈
• =
Bài tập 7
/>Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
9
( )f x x
x
= +

trên [ 2 ; 4 ]
(trích đề thi TNPT -năm 2008)
Hướng dẫn: Xét trên đoạn [ 2 ; 4 ]
2
2
2 2
9 9
'( ) 1 ; '( ) 0 9 0 3
x
f x f x x x
x x
−
∗ = − = = ⇔ − = ⇔ = +
(loại x = -3 )
2 3
13 25
( ) * ( ) 6 ; (4)
2 4
f f f∗ = = =
* Kết luận :
[2;4]
[2;4]
13
max ( ) ; min ( ) 6
2
f x f x= =
Bài tập 8
/>Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
( )
2

( ) ln 1 2f x x x= − −
trên [ -2 ; 0 ]
(trích đề thi TNPT -năm 2009)
Hướng dẫn: Xét trên khoảng ( -2 ; 0 )
( )
2
2
2 2 1
2 1
'( ) 2 ; '( ) 0 2 1 0
1 2 1 2 2
x x
f x x f x x x x
x x
− + +
∗ = + = = ⇔ − + + = ⇔ = −
− −
(loại bỏ x = 1 )
1
( ) 0 * ( ) 4 ln5
1
0 2 l 2
42
; nf f f
 
∗ = = − =− −
 ÷
 
−
* Kết luận :

[ 2;0]
[ 2;0]
1
max ( ) 4 ln5 ; min ( ) ln2
4
x
x
f x f x
∈ −
∈ −
= − = −
4
4
4 4
1
4 ln5 ln ( 5) ; * ln 2 ln ( 2 )
5 4
0 0
2
e e
do e do e∗ − = > − <<=>
Bài tập 9
vinhbinhpro
Cho x ,y ,z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   

 
= + + + + +
 ÷
 ÷  ÷
 
   
Hướng dẫn:
(trích Đề thi ĐH khối B- 2007)
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y z x y z
P
xyz
+ +
∗ = + + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y y z z x
x y z xy yz zx
+ + +
∗ + + = + + ≥ + +
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2
x y z xy yz zx x y z
P
xyz x y z
     
+ +

⇒ ≥ + + + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
Đặt :
2 3
2 2
1 1 1
( ) ( 0) ; '( ) ; '( ) 0 1
2
t t
f t t f t t f t t
t t t
−
= + > = − = = ⇔ =
0
+∞
t 1
0
+
-
f’
f
3/2
Vậy:
3
0 ; ( )
2
t f t∀ > ≥
+∞
9

2
P⇒ ≥
Dấu = xảy ra
1x y z⇔ = = =
Vậy : Giá trị nhỏ nhất của P là 9/2
Đón xem phần IV: Đồ thị hàm số - phép tịnh tiến hệ tọa độ
Biên tâp tập PPS này với hy vọng các bạn học sinh phần nào rèn luyện được
khả năng tự học và tự mở rộng vấn đề . Chúc các bạn thành công.
Phần góp ý và chỉnh sửa xin các bạn comment bên dưới chiếu hình trực tuyến.


vinhbinhpro