Các công thức về chuỗi hàm

A. Lưu ý xét sự hội tụ của chuỗi số:
a/
3 2
2
ln
2
n
n
n n


 

.
Dùng tính chất này:
1: ln
3: 1 ln
x x x
x x
  
  

Ta có
ln , 1
n n n
  
nên
3 2 3 2 3 2
ln 1
, 1
2 2

n n n
n
n n n n n n
   
   


Mà
2
3
1
n
n



hội tụ nên
3 2
3
2
n
n
n n


 

theo tcss2,
Nên
3 2

3
ln
2
n
n
n n


 

hội tụ theo tcss1
b)

2
2
2
( 1)
!
n
n
n
n





Xét chuỗi trò tuyệt đối
2
2

2
!
n
n
n




Ta có
2
2
( 1) 2 1
'
(2 1)
1
2 2
lim lim lim lim 2.2 .ln2 1
1
2
( 1)! .
!
n n
L
n
n
n
n n n n
n
a

a n
n
n
 


   
     


.
Nên chuỗi
2
2
2
!
n
n
n



phân kì theo tiêu chuẩn D’alembert.
Nên chuỗi
2
2
2
( 1)
!
n

n
n
n




phân kì
(Nếu chỉ sử dụng tiêu chuẩn D’alembert hay tiêu chuẩn Cauchy mà biết chuỗi
1
n
n
u



hội tụ
(hay phân kỳ) thì chuỗi
1
n
n
u



cũng hội tụ (hay phân kỳ).)

Lưu ý:
3/ Nếu chuỗi số
1

n
n
u



hội tụ thì
lim 0
n
n
u


(Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
Hệ quả( Đảo): Nếu
lim 0


n
n
u
hoặc không tồn tại thì chuỗi
1



n
n
u
là phân kỳ

Do đó nếu
lim 0
n
n
u


thì không kết luận gì cho
1
n
n
u



, các bạn mà kết luận hội tụ là SAI!

** Nếu dùng Leibnitz cho chuỗi đan dấu thì phải đủ 2 điều kiện:





B. Lưu ý khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm:( tham khảo thêm sách Đỗ Công Khanh)
a/
2
( 1)
n
n

x
n n




.
Xét
1
1
( 1)( 2)
lim lim 1
1
( 1)
n
n n
n
a
n n
a
n n

 
 
 

suy ra
1
R


. Nên khoảng hội tụ là (-1,1)
- Tại x=1: ta có chuỗi
1
1
( 1)
n
n n




mà
2
1 1
:
( 1)
n
n n
n
 


và
2
2
1
n
n




hội tụ
nên chuỗi
1
1
( 1)
n
n n




hội tụ (tcss2)
- Tại x=-1: ta có chuỗi
1
( 1)
( 1)
n
n
n n






là chuỗi Leibnitz nên hội tụ
- Vậy miền hội tụ của chuỗi
2
( 1)

n
n
x
n n




là [-1,1]
________________________________________________________________

TC LEIBNITZ: Cho chuỗi đan dấu
1
( 1)
n
n
n
u





Nếu dãy {u
n
}đơn điệu giảm (
   
1 2

n

u u u ) và


lim 0
n
n
u


thì chuỗi đan dấu hội tu .
Chú ý: Tại x=-1: ta có chuỗi
1
( 1)
( 1)
n
n
n n






là chuỗi có dấu bất kì nên dùng
Leibnitz hoặc trò tuyệt đối để kiểm tra, chú ý phần này làm tương tự chuỗi số.
_______________________________________________________________
b/


 


2
1
( 2 3)
n
n
n n x

- Xét
1
lim 1 1
n
n
n
a
R
a


  
nên
1 1 1
x x
    
.
Do đđó khoảng hội tụ là
( 1;1)


*Tại

1
x

: chuỗi trở thành


 

2
1
( 2 3)
n
n n lại có
2
lim( 2 3) 0
n
n n

    

nên chuỗi phân kì.
*Tại
1
x
 
: chuỗi trở thành


  


2
1
( 1) ( 2 3)
n
n
n n
Do
2
lim( 2 3) 0
n
n n

  
nên
2
lim( 1) ( 2 3) 0
n
n
n n

   
(nếu có) . (***)
Nên chuỗi phân kì.
- Vậy miền hội tụ là
( 1;1)

.
__________________________________________________________
Chú ý:
1. (***): Ta có mệnh đề “



lim 0
n
n
a
thì


lim 0
n
n
a
”
Đảo lại: “


lim 0
n
n
a thì


lim 0
n
n
a
”

2. Giải cách khác:

*Tại
1
x
 
: chuỗi trở thành


  

2
1
( 1) ( 2 3)
n
n
n n
Xét
2
lim( 1) ( 2 3)
n
n
n n

  

Nếu n chẵn thì
2 2
lim( 1) ( 2 3) lim( 2 3)
n
n n
n n n n

 
       

Nếu n lẻ thì
2 2
lim( 1) ( 2 3) lim( 2 3)
n
n n
n n n n
 
        

Suy ra
2
lim( 1) ( 2 3)
n
n
n n

  

không tồn tại. Nên chuỗi phân kì
___________________________________________________________

c/
1
1
(2 1)
4
n

n
n
n
x






- Đặt
2 1
X x
 
thì chuỗi trở thành
1
1
4
n
n
n
n
X





Xét
1

1
lim 4
4
n
n
n
a
R
a


  
nên
3 5
4
2 2
X x

   
.
Do đđó khoảng hội tụ là
3 5
( ; )
2 2


*Tại
5
2
x 

:
1
1 1
(4)
4 4
n
n
n n
n n
 

 

 
lại có
lim 0
4
n
n

  
nên chuỗi phân
kì.
*Tại
3
2
x


:

1
1 1
( 1)
( 4)
4 4
n
n
n
n n
n n
 

 

 
 

Do
lim 0
4
n
n


nên
( 1) .
lim 0
4
n
n

n



(nếu có) . (***)
Nên chuỗi phân kì.
- Vậy miền hội tụ là
3 5
( ; )
2 2

.
___________________________________________________________
Giải cách khác:
*Tại
3
2
x


:
1
1 1
( 1)
( 4)
4 4
n
n
n
n n

n n
 

 

 
 

Xét
( 1)
lim
4
n
n
n



Nếu n chẵn thì
( 1)
lim lim
4 4
n
n n
n n
 

  

Nếu n lẻ thì

( 1)
lim lim
4 4
n
n n
n n
 

   

Suy ra
( 1)
lim
4
n
n
n



không tồn tại. Nên chuỗi phân kì
___________________________________________________________
d/




1
7 . !
. ( )

n
n
n
n
n
x e
n

- Đặt
X x e
 
thì chuỗi trở thành



1
7 . !
.
n
n
n
n
n
X
n

Xét
1
7
lim

7
n
n
n
a
e
R
a e


  
nên
7 7 7
e e e
X x
    
.
Do đđó khoảng hội tụ là
( ; )
7 7
e e


*Tại
7
e
x 
: chuỗi trở thành
1 1
7 . ! . !

.
7
n
n n
n n n
n n
n e e n
n n
 
 

 

Ta có
1
1
1
.( 1)!
( 1)
1
. !
1
1
n
n
n
n n
n
n
e n

a e
n
e n
a
n
n





  
 

 
 
do là tăng và hội tụ về e ,
Suy ra

   
1 1

n n
a a a e

hay
 
 
. !
lim lim 0

n
n
n
n n
e n
a
n
(nếu có).
Kết luận chuỗi là phân kỳ.

* Tại
7
e
x
 
: chuỗi trở thành
1 1
7 . ! ( ) ( 1) . !
.
7
n
n n n
n n n
n n
n e e n
n n
 
 
 


 

lại có


. !
lim 0
n
n
n
e n
n
( cm trên) suy ra



( 1) . !
lim 0
n n
n
n
e n
n
(nếu có) (***)
nên chuỗi phân kì.
1
1
n
n
 


 
 
- Vậy miền hội tụ là
( ; )
7 7
e e

.
________________________________________________________
Giải cách khác:
- Tại
7
e
x
 
: chuỗi trở thành
1 1
7 . ! ( ) ( 1) . !
.
7
n
n n n
n n n
n n
n e e n
n n
 
 
 


 

Xét


( 1) . !
lim
n n
n
n
e n
n

Nếu n chẵn thì:
 

 
( 1) . ! . !
lim lim 0
n n n
n n
n n
e n e n
n n
(do cm trên)
Nếu n lẻ thì:
 

  

( 1) . ! . !
lim lim 0
n n n
n n
n n
e n e n
n n
(do cm trên)

suy ra



( 1) . !
lim 0
n n
n
n
e n
n
nên chuỗi phân kì.
_______________________________________