Giáo trình toán học cao cấp chương 4 chuỗi số

CHƯƠNG 4: CHUỖI
CHUỖI SỐ
I. KHÁI NIỆM:
- Chuỗi số: Cho dãy số thực


1 2 3 4
, , , ,
u u u u
. Biểu thức
1
n
n
u



= u
1
+u
2
+…+u
n
+… gọi là chuỗi
số . Và u
1
, u
2
, … u
n
,… : số hạng của chuỗi; u

n
: goi là số hạng tổng quát.
- Tổng riêng thứ n của chuỗi: S
n
=
1
n
k
k
u


= u
1
+u
2
+…+u
n

- Tổng của chuỗi:



 

1
lim
n k
n
k

S S u
( nếu tồn tại giới hạn)
- Chuỗi hội tụ: S hữu hạn.
- Chuỗi phân kì:
 
S
hoặc không tồn tại giới hạn.

II/ TÍNH CHẤT
1/
1
n
n
u



hội tụ khi và chỉ khi phần dư

 

1
n
n k
u
hội tụ

( 1)
k
.

2/ Nếu chuỗi
 
 
 
 
1 1
;
n n
n n
u A v B
cùng hội tụ thì




1
. ;
n
n
cu c A



  

1
( )
n n
n
u v A B

hội tụ với
hằng số c  R.
3/ Nếu chuỗi số
1
n
n
u



hội tụ thì
lim 0
n
n
u


(Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
Hệ quả (đảo): Nếu
lim 0


n
n
u
hoặc không tồn tại thì chuỗi
1




n
n
u
là phân kỳ
4/ Tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1) không thay đổi nếu ta bỏ đi (hoặc thêm vào) một
số hữu hạn các số hạng.

III/ CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ:
A. Chuỗi số dương:
Chuỗi số
1
n
n
u



được gọi là chuỗi số dương nếu các số hạng của nó là các số dương.
Nhận xét: Nếu chuỗi
1
n
n
u



là chuỗi số dương thì dãy tổng riêng S
n
là một dãy tăng
nên nó sẽ có giới hạn nếu bò chặn trên.

TCSS1: Cho hai chuỗi số dương
1 1
;
n n
n n
u v
 
 
 
.
Giả sử  n
0
sao cho  n  n
0
thì
n n
u v

.
 Nếu
1
n
n
u




phân kỳ thì
1
n
n
v



phân kỳ.
 Nếu
1
n
n
v



hội tụ thì
1
n
n
u



hội tụ.
TCSS2:

Cho hai chuỗi số dương
1 1
;
n n
n n
u v
 
 
 
và giả sử
lim
n
n
n
u
K
v


.
 K=0 :
1
n
n
v



hội tụ thì

1
n
n
u



hội tụ
 0< K <+ thì hai chuỗi cùng hội tụ
hoặc phân kỳ.
 K=+
1
n
n
u



hội tụ thì
1
n
n
v



hội tụ.

B. Chuỗi có dấu bất kì:
1. Chuỗi đan dấu: là chuỗi có dạng
1
( 1)
n
n
n
u




với u
n
>0 ,
 
1
n
.
Ví dụ: Các chuỗi
1 1
( 1)

( 1) ;
2
n
n
n
n n
 
 


 
là các chuỗi đan dấu







Chuỗi thỏa điều kiện của đònh lý Leibnitz được gọi là chuỗi Leibnitz.
2. Chuỗi có dấu bất kì:
Đònh lý: Nếu chuỗi số
1
n
n
u



hội tụ thì chuỗi

1
n
n
u



hội tụ.
Đònh nghóa: Nếu chuỗi số
1
n
n
u



hội tụ thì chuỗi
1
n
n
u



gọi là hội tụ tuyệt đối.
Nếu chuỗi
1
n
n
u




hội tụ mà chuỗi
1
n
n
u



phân kỳ thì
1
n
n
u



được gọi là bán hội tụ.
Đặc biệt: Nếu chỉ sử dụng tiêu chuẩn D’alembert hay tiêu chuẩn Cauchy mà biết chuỗi
1
n
n
u



hội tụ (hay phân kỳ) thì chuỗi
1

n
n
u



cũng hội tụ (hay phân kỳ).

IV. CHÚ Ý:
- Tổng cấp số nhân:
1
1
1
1
1
n
n
x
S x x u
x


    


- Cho chuỗi





1
1
n
n
thì




1:
1:
chuỗi hội tụ
chuỗi phân kì
.
TC D’ALEMBERT:
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u



và giả sử
1
lim
n
n
n
u

D
u



.
 Nếu D<1 thì chuỗi hội tụ
 Nếu D>1 thì chuỗi phân kỳ
Chú ý: Nếu D=1 thì chưa kết luận được
TC CAUCHY:

Cho chuỗi số dương
1
n
n
u



và giả sử
lim
n
n
n
u C


. Khi đó
 Nếu C<1 thì chuỗi là hội tụ
 Nếu C>1 thì chuỗi là phân kỳ

Chú ý: Nếu C=1 thì chưa kết luận được.
TC TÍCH PHÂN:
Cho hàm f liên tục, không âm, giảm trên miền

[1; )
thì:

“Chuỗi



1
( )
n
f n
hội tụ (pk)

tích phân suy rộng
1
( )
f x dx


hội tụ (pk)”

TC LEIBNITZ: Cho chuỗi đan dấu
1
( 1)
n
n

n
u





Nếu dãy {u
n
}đơn điệu giảm (
   
1 2

n
u u u ) và


lim 0
n
n
u

thì chuỗi đan dấu hội tu và tổng
 
1
0 S u
.
- Cho chuỗi




0
n
n
q
thì


1:
1:
q chuỗi hội tụ
q chuỗi phân kì
.

 
 
 
 
1
1
n
e
n
khi

n
(tăng về e) ;
 
 
 

 
1 1
1
n
n e
khi

n
(tăng về e).
1
1
1
n
e
n

 
 
 
 
khi

n
(giảm về e)

1: ln
3: 1 ln
x x x
x x
  

  
;
1: ln( 1)
2 : 1 ln( 1)
x x x
x x
   
   

lim 1
n
n
n


,
lim !
n
n
n

 
.
lim 0, 0
k
n
n
n
a
a


 
;
lim 0, 0
!
n
n
a
a
n

 
hay
ln !
  
k n
n n a n
khi
n
 
.
V. MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1. Chuỗi
1
3
4
n
n



 
 
 

là hội tụ vì
 
3
1,1
4
q    .
Chuỗi
1
( 1)
n
n




phân kỳ vì q=-1
Chuỗi
1
5
3
n
n


 
 

 

phân kỳ vì
5
1
3
q
 

Ví dụ 2. Tính tổng của chuỗi
1
1
( 1)
n
n n





Vì
1 1 1
( 1) 1
n n n n
 
 
nên
1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) 1
2 2 3 1 1

n
S
n n n
        
 
.
lim 1
n
n
S S

  
. Vậy
1
1
( 1)
n
n n




=1
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của chuỗi
1
1
n
n





Ta có
1 1 1 1
1
2 3
      
n
S n n
n n
,
lim
n
n
S

 
. Vậy
1
1
n
n



phân kỳ.
Ví dụ 4. Xét sự hội tụ của chuỗi
1
1
ln(1 )

n
n




.
Do
1
ln(1 ) ln( 1) ln( )
n n
n
    nên




ln 1 ln1 ln 1
n
S n n
    
,
lim
n
n
S

 
.
Vậy chuỗi

1
1
ln(1 )
n
n





phân kỳ.
Ví dụ 5. (TCSS1): Xét sự hội tụ của chuỗi:
1
ln
n
n
n



.
Ta có
ln 1 , 3
n n
  
nên
ln 1
, 3
n
n

n n
  

Mà
3
1
n
n



phân kì nên
3
ln
n
n
n



theo tcss1, do đó
1
ln
n
n
n



phân kì.

Ví dụ 5. (TCSS2): Xét sự hội tụ của chuỗi:
a/ . Ta có
  

1 1
ln(1 ) , n
n n
vì
1
ln(1 )
lim 1
1
n
n
n



,
mặt khác chuỗi
1
1
n
n



phân kỳ nên
1

1
ln(1 )
n
n




phân kỳ.
b/
2
1
1
sin
n
n
n



. Ta có
2
1 1
sin ,n n
n
n
 

vì
2 2

2
1 1
sin sin
lim lim 1
1 1
n n
n
n n
n n
 
 
,
mặt khác chuỗi
1
1
n
n



phân kỳ nên
2
1
1
sin
n
n
n




phân kỳ.
c*/




1
( 1)
n
n
n . Ta có
  
1
ln
1 1
n
n
n
n e
vì
1
ln
1 1
lim lim 1
1 1
ln ln
n
n
n

n n
n e
n n
n n
 
 
 

d/



1
1
ln
n
n
n
. Vì
1 1
ln ; 3
n n
n n
  
,
3
1
n
n




phân kỳ nên theo TCSS1
3
1
ln
n
n
n



phân kỳ. Kết luận:



1
1
ln
n
n
n
phân kỳ
Ví dụ 6. (Tiêu chuẩn D’alembert) Xét sự hội tụ chuỗi.
a/
1
1
1
4 (1 )
n n

n
n




. Ta có
1
1
1
4 (1 )
1
lim lim 1
1
4 4
4.4 (1 )
1
n n
n
n n
n n
n
u e
n
u e
n

 



   


nên chuỗi hội tụ.
b/
2
1
3 ( !)
(2 )!
n
n
n
n



. Ta có
2
1
3( 1) 3
lim lim 1
(2 2)(2 1) 4
n
n n
n
u
n
u n n

 


  
 
nên chuỗi là hội tụ.
c/
2
1
5 ( !)
(2 )!
n
n
n
n



. Ta có
2
1
5( 1) 5
lim lim 1
(2 2)(2 1) 4
n
n n
n
u
n
u n n

 


  
 
nên chuỗi là phân kỳ.
d/
1
1
n
n



là chuỗi có tính chất
1
lim lim 1
1
n
n n
n
u
n
u n

 
 

nên tiêu chuẩn D’alembert không có
kết luận, nhưng ta đã biết đây là chuỗi điều hòa này phân kỳ.
1
1

ln(1 )
n
n




e/ Tương tự
1
1
( 1)
n
n n




,
1
lim
n
n
n
u
u


=1 nhưng theo TCSS2 chuỗi này hội tụ.
f*/
1

!
n
n
n
e n
n



. Ta có
1
1
1
( 1)! 1
lim lim lim ( ) lim 1
( 1) ! 1
1
1
n n
n
n
n
n n
n n n n
n
u e n n n
e e
u n e n n
n




   

   
 
 

 
 
.
Vậy không cho kết luận. Nhưng ta có nhận xét là
1
1
n
n
 

 
 
là tăng và hội tụ về e
 
 
 
 
1
1
n
e
n

nên ta suy ra
1
n
n
u
u

> 1. Do đó

   
1 1

n n
u u u e
. Nên giới hạn của
chuỗi khác không. Kết luận chuỗi là phân kỳ.
Ví dụ 7. (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) Xét sự hội tụ của chuỗi.
a/
1
3
n
n
n



. Ta có
1
lim lim 1
3 3

n
n
n
n n
n
u
 
  
nên chuỗi là hội tụ.
b/
2
1
1 1
2
n
n
n
n
n


 

 
 

. Ta có
2
1 1 1 1 1 1
lim lim lim 1

2 2 2
n n n
n
n
n n n
n n
n n n
  
     
 
  
     
     
.
Ví dụ 8. (Tiêu chuẩn hội tụ tích phân) Xét sự hội tụ của chuỗi
2
1
ln
n
n n



.
Ta xét hàm
1
( )
ln
f x
x x

  x  2, hàm này là hàm khơng âm và giảm với mọi
1
x

,

 
1
f n
n ln n

. Mặt khác
2
2 2
ln
ln(ln )
ln ln
dx d x
x
x x x
 

   
 
là phân kỳ nên chuỗi đã
cho là phân kỳ
Ví dụ 1. (Tiêu chuẩn Leibnitz) Khảo sát tính hội tụ chuỗi
3
ln
( 1)

n
n
n
n




.
Đặt
     
2
ln 1 ln
3 0
x x
f x x f x
x x


    
, vậy dãy
n
ln n
u
n
 đơn điệu giảm, hội tụ
về 0. Do đó chuỗi đan dấu
3
ln
( 1)

n
n
n
n




hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
Ví dụ 2 .(Chuỗi có dấu bất kì)
a/ Chuỗi
1
( 1)
n
n
n




bán hội tụ.
b/ Chuỗi
2
n 1
sin n
n



thỏa điều kiện

2 2
sin n 1
n n
 với mọi n  1, mặt khác chuỗi
2
n 1
1
n




hội tụ nên
2
n 1
sin n
n



hội tụ hay
2
n 1
sin n
n



hội tụ tuyệt đối,
c/ Chuỗi

 
n
n
n 1
3n 1
1
2n 10


  






 



Xét chuỗi
 
n n
n
n 1 n 1
3n 1 3n 1
1
2n 10 2n 10
 
 

     
 
 
 
 
 
 
   
 
 
thỏa điều kiện
n
n
n n
3n 1 3
lim u lim 1
2n 10 2
 

  

nên phân kỳ theo tiêu chuẩn Caychy, do đó
 
n
n
n 1
3n 1
1
2n 10



 











 

phân kỳ.
d/ Xét chuỗi
 
n
n
n 1
3n 1
1
2n 10


  







 



, ta có
 
n
n
n
3n 1
lim 1 0
2n 10

 




 






 
nên chuỗi

 
n
n
n 1
3n 1
1
2n 10


  






 


phân kỳ.


CHUỖI HÀM

I. CHUỖI HÀM:
1. Chuỗi hàm: Cho dãy các hàm số u
1
(x), u
2
(x) , … , u

n
(x), … xác đònh trên D. Tổng hình
thức


    

1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
u x u x u x u x gọi là chuỗi hàm trên D.
2. Điểm hội tụ:
0
x
là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu



0
1
( )
n
n
u x
hội tụ.
Điểm phân kì:
3. Miền hội tụ:
0 0

{ / }
X x x là điểm hội tụ



II.CHUỖI LŨY THỪA:
1. Đònh nghóa: Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng




0
0
( )
n
n
n
a x x
với x
0
=const và a
n
R
gọi là các hệ số của chuỗi luỹ thừa.
Đặc biệt với x
0
=0 ta có chuỗi dạng
0
n
n

n
a x



.
2. Tính chất:
a/ Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi lũy thừa. Chuỗi mới có cùng bán kính hội tụ
với chuỗi ban đầu.
Tức nếu:




0
( )
n
n
n
f x a x
có khoảng hội tụ

( , )
R R

Thì






/ 1
1
( )
n
n
n
f x na x
cũng có có khoảng hội tụ

( , )
R R
.
b/ Nếu




0
( )
n
n
n
f x a x
có bán kính hội tụ R thì với
  
( , )
x R R
ta có








1
0
0
( )
1
x
n
n
n
a
f t dt x
n
và có bán kính hội tụ là R.
( hay là lấy tích phân từng số hạng của một chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ)
3. Đònh lý Abel:
Nếu chuỗi
0
n
n
n
a x




hội tụ tại x
0
 0 thì nó cũng hội tụ tuyệt đối tại mọi
0 0
( , )
x x x
  .
4. Bán kính hội tụ:
ĐN: R là bán kính hội tụ tại của
0
n
n
n
a x



nếu chuỗi hội tụ khi
x R

; chuỗi phân kì khi
x R

.

Tìm bán kính hội tụ:
0
n
n
n

a x




Nếu 
1
lim
n
n
n
a
r
a



hay
lim
n
n
n
a r


thì bán kính hội tụ của chuỗi là



 






   




 




0
1
0
0
r
R r
r
r


- Cách tìm miền hội tụ. Cho chuỗi luỹ thừa
0
1
( )
n

n
n
a x x





 Đặt
0
X x x
 
ta tìm bán kính hội tụ
R
của chuỗi
1
n
n
n
a X



.
 Khi đó khoảng hội tụ của
0
1
( )
n
n

n
a x x




chính là


0 0
,
x R x R
 
.
 Sau đó khảo sát tiếp 2 đầu mút
5. Chuỗi Taylor:
Giả sử hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận của x
0
 0
và f(x) biểu diễn dưới dạng luỹ thừa f(x) = a
0
+ a
1
(x-x
0
) + a
2
(x-x
0
)

2
+…+a
n
(x-x
0
)
n
+…
với khoảng hội tụ (x
0
-R, x
0
+R) (R là bán kính hội tụ của



1
n
n
n
a x
).
Thì
( )
0
0
0
( )
( ) ( )
!

k
k
k
f x
f x x x
k


 

gọi là chuỗi Taylor của hàm
( )
f x
trong lân cận
0
x
và hệ số
( )
0
( )
; 0,1,
!
n
n
f x
a n
n
 

- Điều kiện khai triển về chuỗi Taylor:

( )
f x
khả vi vô hạn lần và
:
C


sao cho

( )
( )
n n
f x C
,  x  (x
0
-R,x
0
+R).
6. Chuỗi Maclaurin:
Cho x
0
=0 ta được




( )
0
(0)
( )

!
k
n
k
f
f x x
k

Chú ý: Khai triển chuỗi Maclaurin một số hàm cơ bản:
1/ Do
( )
x
f x e

là khả vi vô hạn lần  x  (-R,R) và trên khoảng đó
x R
e e

nên thỏa mọi
điều kiện đònh lý, do đó nó có khai triển Maclaurin:
2
0
1 ,
2! ! !
n n
x
n
x x x
e x x
n n



        



2/ Do f(x)=sinx khả vi vô hạn lần và thỏa
( )
( ) sin( ) 1
2
n
f x x n

  
nên nó có khai triển
Maclaurin:
3 5 7 2 1 2 1
1
0
sin ( 1) ( 1)
3! 5! 7 ! (2 1)! (2 1)!
m m
m m
m
x x x x x
x x
m m
 




         
 


x
 

.
3/


           


2 4 6 2 2
0
cos 1 ( 1) ( 1) ,
2! 4! 6! (2 )! (2 )!
m m
m m
m
x x x x x
x x
m m

4/

 


            

2 3
1 1
1
ln(1 ) ( 1) ( 1) , ( 1;1)
2 3
n n
n n
n
x x x x
x x x
n n

5/

  


      

1
0
(1 ) 1
n n n n
n
x C x C x C x

trong đó


   
   

( 1)( 2) ( 1)
!
k
k
C
k
,


0
1
C ( x  (-1,1),   R)
Đặc biệt
0
1
( 1)
1
n n
n
x
x


 


; x  (-1,1)

0
1
1
n
n
x
x





; x  (-1,1)

III. MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
a/ Chuỗi
2
( 1)
n
n
x
n n




.
Ta xét

1
1
( 1)( 2)
lim lim 1
1
( 1)
n
n n
n
a
n n
a
n n

 
 
 

suy ra
1
R

. Nên khoảng hội tụ là (-1,1)
- Tại x=1: ta có chuỗi
1
1
( 1)
n
n n





mà
2
1 1
:
( 1)
n
n n
n
 

 và
2
2
1
n
n



hội tụ nên chuỗi
1
1
( 1)
n
n n





hội tụ (tcss2)
- Tại x=-1: ta có chuỗi
1
( 1)
( 1)
n
n
n n





là chuỗi Leibnitz nên hội tụ
- Vậy miền hội tụ của chuỗi
2
( 1)
n
n
x
n n




là [-1,1]
b/
1

1
(2 1)
4
n
n
n
n
x






Đặt
2 1
X x
 
thì chuỗi trở thành
1
1
4
n
n
n
n
X






Xét
1
1
lim 4
4
n
n
n
a
R
a


  
nên
3 5
4
2 2
X x

   
. Do đđó khoảng hội tụ là
3 5
( ; )
2 2


- Tại

3
2
x


:
1
1 1
( 1)
( 4)
4 4
n
n
n
n n
n n
 

 

 
 
lại có
( 1)
lim
4
n
n
n



  
với n lẻ và
( 1)
lim
4
n
n
n


 
với n chẵn ( hoặc đảo của tiêu chuan Leibnitz) nên chuỗi phân kì.
- Tại
5
2
x 
:
1
1 1
(4)
4 4
n
n
n n
n n
 

 


 
lại có
lim 0
4
n
n

  
nên chuỗi phân kì.
- Vậy miền hội tụ là
3 5
( ; )
2 2


c/
1
( 1)
.3 ( 5)
n
n n
n
n x






Đặt

1
5


X
x
thì chuỗi trở thành
1
( 1)
.
.3
n
n n
n
n X





Xét
1
1
.3 1
lim lim 3
( 1).3 3
n
n
n
n n

n
a
n
R
a n


 
   


nên
1
3 3 3
5
X
x
    

. Và khoảng hội tụ là
14 16
, ,
3 3
x
   
   
   
   

- Tại

14
3
x 
:
1 1
( 1) .( 3) 1
.3
 
 
 

 
n n
n
n n
n n
chuỗi phân kì.
- Tại
16
3
x 
:
1 1
( 1) .3 ( 1)
.3
n n n
n
n n
n n
 

 
 

 
chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. (tự làm)
- Vậy miền hội tụ là
14 16
, ,
3 3
   
  
  

   


Ví dụ 2: Khai triển thành chuỗi lũy thừa:
a/ Khai triển Taylor
( ) ln
f x x

thành chuỗi lũy thừa
( 3)
x

. Tính tổng chuỗi
1
1
.3
n

n
S
n




.
Giải:
1 1
1 1
3 3
( ) ln ln( 3 3) ln3 1 ln3 ln 1
3 3
3 1 ( 3)
ln3 ( 1) . ln3 ( 1)
3 3 .
 
 
 
 
   
        
   
   
 
 
     
 
 

 
n
n
n n
n
n n
x x
f x x x
x x
n n

Tính tổng: trong khai triển trên cho
2
x

ta được:
1
1 1
( 1) 1
(2) ln 3 ( 1) ln 2 ln 3
3 . 3 .
n
n
n n
n n
f
n n
 

 


     
 
. Vậy
1
1
ln3 ln 2
3 .
n
n
n


 

.
b/ Khai triển
2
12
( )
6
x
f x
x x


 
thành chuỗi lũy thừa quanh điểm
0
x


, xác đònh bán kính
hội tụ của chuỗi. Tính
(2008)
(0)
f
.
Giải:
2
0 0 0 0
12 3 2 3 2 1 1
( )
6 3 2 3 2
1 1
3 2
1 ( 1) 2 ( 1) 3
( 1)
3 2 3 2 2. 3
   
   
 
       
     
 
   
    
   
      
   
   

   
   
   
n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n n
x
f x
x x
x x x x x x
x x
x x

 Tính
(2008)
(0)
f
=?
(2008) 2008
2008
2008 2008
(0). 1 1
.
2008! 3 2
f x
x
 
  

 
 
.
 Tìm bán kính hội tụ:
1 1 1
1
1 1
1
2 ( 1) .3 2. 3
lim lim .
2 .3 2 ( 1) 3
2
2. ( 1) .3
1
3
lim
2
2
2 .3 ( 1)
3
n n n n n
n
n n n n n
n n
n
n
n
n
n
n

a
a
  

 
 


  

  
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 

Vậy bán kính hội tụ là
2
R

.

Ví dụ 3: Tính tổng:
Lưu ý:
/ 1
1
0
( )
1
n n
x
n
n
x nx
x
x dx
n







a /Tính tổng
3 5 7
2 4 6 8 ,( 1 1)
x x x x x
       

Giải:

3 5 7
/ 2 / 4 / 6 /
2 4 6 /
/
/
2
2 2 2
2 4 6 8 ,( 1 1)
(1) ( ) ( ) ( )
(1 ) , 1
1 ( ) 1 2
lim
1 ( ) 1 1
n
n
x x x x x
x x x
x x x x
x x
x x x

       
      
     
 
  
 
  
 

 
   
 
 

b /Tính tổng
2 3
2
0 0 0 0
2
0
0 0
0
,( 1 1)
2 3
1.
(1 )
1 1
lim , 1
1 1
ln(1 ) ln(1 )
x x x x
n
x
x x
n
n
x
x x
x x

dx x dx x dx x dx
x x dx
x
dx dx x
x x
x x

     
     
   
 

 
  
 
 
 
 
 
     
   

 

c/
1
( 2)
( 1)
n
n

x
n n






Đặt
2
t x
 
.
Chuỗi có miền hội tụ [1,3] (tự làm)
Nên t có miền hội tụ [-1,1]
1
1
1 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 1 1
( 1) ( 1)
1 1 1
ln( 1)
1

x x x
n n n
n
n n n n

x x x
t t t
dx t dx
n n t n n t n t
dx t dx
t t t

   

   
 
 
  
 
 
 
 
 
 
   
 

 

   
 
 

Dùng tích phân từng phần giải ra và thế
2

t x
 
ta được kết quả.

Bài tập chuỗi hàm:
1. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:
1.
1
cos
n
nx
n n



2.
1
1
ln
n
n
x




2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau: (đề thi)
























1
1
1
1
1
( 2)
1.
1
1 3
2. ( 1)

( 1)
3.
3 1
( 2)
4.
.3
( 3)
5.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n n
x
n
x
n
x

n n


















 







1
1
1

1
1
1
1
( 3)
6. ( 1)
( 1)2
1
7. (2 1)
8.
( 1)
( 1) ( 1)
9.
.5
(2 1)
10.
9 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n

n
x
n
x
n
x
n n
x
n
x
n

















 







1
1
3
1
2
1
1
1
(2 1)
11. ( 1)
.3
( 1)
12.
1
13. ( 2 3)
4
14. .
!
7 . !
15 * . . ( )
n
n
n
n
n

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
n n x
x
n
n
x e
n


3. Tìm tổng của các chuỗi luỹ thừa sau:
1.


3 5 7
2 4 6 8 1 1
x x x x x
       

2.


  

3
2
. 1 1
n
n
n x x
3.



 

1
0
( 1) ; 0
n
n
n
x
n a
a


4 . Khai triển chuỗi:

a. Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-1) của hàm


1
( )
2
f x
x
. Tính đạo hàm
(2006)
(1)
f
.
b. Khai triển


1
3
y
x
thành chuỗi lũy thừa của (x-1), xác đònh miền hội tụ của chuỗi
được lập.
c. Khai triển

( ) ln
f x x
thành chuỗi lũy thừa của (x-5), và dựa vào đó tính tổng





1
1
.5
n
n
S
n
.
d. Khai triển
 
2
( ) ln(5 )
f x x
thành chuỗi Maclaurin, và dựa vào đó tính tổng






1
1
( 1)
.5
n
n
n
S
n