Nghiên cứu số học - Ôn thi Casio Quốc gia

Nguyễn Xuân Sơn - Lớp 10 Chuyên Lý – THPT Chuyên Quảng Bình
I. Những cặp số kì lạ:
Các bạn hãy tính:
9 + 9 = 18 và 9 x 9 = 81; 24 + 3 = 27 và 24 x 3 = 72 ;
47 + 2 = 49 và 47 x 2 = 94; 263 + 2 = 265 và 263 x 2 = 562.
Điều thú vị ở đây là: Tổng và tích các số trong mỗi cặp chỉ khác nhau
về vị trí các chữ số.
Các bạn hãy tìm thử xem còn có cặp số nào nữa không?
Gợi ý: 497 + 2 = 499 và 497 x 2 = 994.
II. Số khắc trong kim tự tháp Ai Cập:
Trong kim tự tháp Ai Cập người ta tìm thấy một ngôi mộ có khắc con
số 2520. Đây là một con số rất đặc biệt và nó chia hết cho tất cả các số từ 1
đến 10. Hơn nữa nó là BCNN của các số từ 1 đến 10 và đồng thời nó cũng là
BCNN của các số từ 6 đến 10.
III. Sự kì lạ của lập phương:
Lấy 37 nhân với tổng các chữ số của nó, đồng thời tìm tổng lập
phương của các chữ số đó, ta sẽ được: 3
3
+ 7
3
= 37(3+7).
Tương tự, bạn hãy tìm các số khác?
Gợi ý:
48(4+8) = 4
3
+ 8
3
; 147(14+7) = 14
3
+ 7
3

.
111(11+1) = 11
3
+ 1
3
.
IV. Sự kì lạ của bình phương:
Bạn hãy lấy 9801 chia làm hai thành phần rồi cộng lại, sau đó bình
phương tổng đó ta được: 9801 = (98 + 01)
2
.
Bạn hãy tìm thử xem có cặp số nào nữa không?
Gợi ý: Số 3025 cũng vậy : 3025 = 55
2
= (30 + 25)
2
.
V. Tổng của nhóm các số đối xứng:
Có những nhóm số có hai chữ số mà tổng, tổng bình phương, tổng lập
phương của chúng đều bằng nhau.
Ví dụ:
12+32+43+56+67+87 = 78+76+65+34+23+21.
12
2
+32
2
+43
2
+56
2

+67
2
+87
2
= 78
2
+76
2
+65
2
+34
2
+23
2
+21
2
.
12
3
+32
3
+43
3
+56
3
+67
3
+87
3
= 78

3
+76
3
+65
3
+34
3
+23
3
+21
3
.
Bạn hãy tìm một cặp số khác thử xem?
Gợi ý:
Cặp sau: 13+42+53+57+68+97 = 79+86+75+24+31.
1
Nguyễn Xuân Sơn - Lớp 10 Chuyên Lý – THPT Chuyên Quảng Bình
Bạn hãy dùng máy tính để kiểm tra xem tổng bình phương và tổng lập
phương của chúng có bằng nhau hay không.
VI. Những tính chất thú vị của dãy số lẻ:
1. Tính chất thứ nhất:
Bạn hãy tính: 1 + 3 = ; 1 + 3 + 5 = ; 1 + 3 + 5 + 7 =;
Bạn đã tìm ra quy luật chưa vậy ?
Nếu chưa tìm ra được quy luật thì hãy cộng tiếp:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ;
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =;
Bây giờ hy vọng bạn đã tìm ra quy luật.
Giải:
1 + 3 = 4 = 2
2

.
1 + 3 + 5 = 9 = 3
2
.
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4
2
.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5
2
.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6
2
.
Quy luật: Tổng của n số lẻ đầu tiên bằng bình phương của số số hạng:
1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n
2
.
2. Tính chất thứ 2:
Bạn hãy tính các phép tính sau và tìm ra quy luật của nó nhé:
1 = ?
3 + 5 = ?
7 + 9 +11 = ?
13 + 15 + 17 + 19 = ?
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = ?
Giải:
Ta tính được:
1 = 1
3
.
3 + 5 = 2

3
.
7 + 9 + 11 = 3
3
.
13 + 15 + 17 + 19 = 4
3
.
21 + 23 +25 + 27 + 29 = 5
3
.
Lúc này ta có được quy luật:
[n(n-1)+1] + [n(n-1)+3] + + [n(n-1)+(2n-1)] = n
3
.
VII. Chuyện lạ trong thế giới số tự nhiên:
Bằng máy tính ta dễ dàng có được:
1 + 2 = 3 ; 4 + 5 + 6 = 7 + 8 ; 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 +15.
Từ quan sát này , có thể rút ra:
16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24.
Từ đây ta có thể rút ra quy luật tổng quát:
2
Nguyễn Xuân Sơn - Lớp 10 Chuyên Lý – THPT Chuyên Quảng Bình
Số số hạng ở vế phải đem bình phương lên sẽ được số hạng đầu tiên ở
vế trái.
Tổng của n+1 số tự nhiên liên tiếp kể từ n
2
bằng n số tự nhiên tiếp
theo.
Sử dụng quy luật trên các bạn hãy viết 1 đẳng thức mà vế trái gồm 9

số hạng liên tiếp?
Trả lời:
Đó là đẳng thức sau:
64+65+66+67+68+69+70+71+72 = 73+74+75+76+77+78+79+80.
VIII. Số 365 có gì lạ:
Theo bạn, số 365 có gì lạ? Tất nhiên đây là số ngày trong một năm.
Nếu chỉ thế thôi thì chưa đủ đâu. Về mặt Toán học, ns có những tính chất
thú vị sau đây.
Trước tiên bạn hãy tính phép tính sau:
365
1413121111
22222
++++
Tất nhiên bạn sẽ dễ dàng tính được kết quả là 2.
Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở đáp án là 2 thì câu hỏi lúc đầu của tôi:
“Số 365 có gì lạ ?” xem như vô nghĩa.
Nhưng kết quả trên gợi cho ta một điều lạ:
Bạn hãy tính:
11
2
+ 12
2
+ 13
2
= ? và 14
2
+ 15
2
= ?
Bạn dễ dàng tính được: 11

2
+ 12
2
+ 13
2
= 14
2
+ 15
2
= 365.
Lời bình: Giáo sư người Nga Magnhixki là một người say mê toán.
Ông đã từ bỏ giảng đường Đại học để về nông thôn dạy học. Một hoạ sĩ đã
vẻ cảnh ông đang đau đầu với bài toán trên. Bài toán này quả là thú vị. Tuy
nhiên ta có cảm giác các số trên đã được chọn một cách khá đặc biệt. Liệu
có còn số nào thoã mãn tính chất trên nữa không?
Ngay lập tức chúng ta nghĩ đến bộ ba Pytago: 3
2
+ 4
2
= 5
2
.
Liệu có còn bộ ba số nguyên liên tiếp nào thoã mãn tính chất trên nữa
hay không?
Tất nhiên là có:
Đó là bộ ba tầm thường: (-1)
2
+ 0
2
= 1

2
.
Tiến thêm một bước, liệu có bộ năm số nguên liên tiếp nào thoã mãn
tính chất trên hay không?
Ta giả sử bộ năm số nguyên liên tiếp là: n-2; n-1; n; n+1; n+2.
Bộ này phải thoã mãn: (n-2)
2
+ (n-1)
2
+ n
2
= (n+1)
2
+ (n+2)
2
.
⇒
n
2
– 12n = 0
⇒
n = 12 hoặc n = 0.
Với n = 12 ta được bộ số: 10
2
+ 11
2
+ 12
2
= 13
2

+ 14
2
.
Với n = 0 ta được bộ số: (-2)
2
+ (-1)
2
+ 0
2
= 1
2
+ 2
2
.
3
Nguyễn Xuân Sơn - Lớp 10 Chuyên Lý – THPT Chuyên Quảng Bình
Bây giờ ta có thể tò mò xem có bộ 7 số nguyên liên tiếp nào thõa mãn
tính chất trên hay không?
Làm tương tự như trên ta được: n
2
– 24n = 0.
⇒
n = 24 hoặc n = 0.
Với n = 24 ta được đẳng thức:
21
2
+ 22
2
+ 23
2

+ 24
2
= 25
2
+ 26
2
.
Với n = 0 ta được đẳng thức sau:
(-3)
2
+ (-2)
2
+ (-1)
2
+ 0
2
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
.
Bây giờ, ta tự hỏi: Tìm 2k+1 số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng bình
phương của k+1 số đầu bằng tổng bình phương của k số hạng tiếp theo?
Tương tự như trên ta có đẳng thức sau:
(n - k)
2
+ [n – (k+1)]
2

+ + n
2
= (n+1)
2
+ + (n+k)
2
.
⇒
n
2
-
n
kk
2
)1(
4
+
= 0
⇒
n = 2k(k+1) hoặc n = 0.
Như vậy: Nếu chỉ xét k > 0. thì thay k lần lượt các giá trị từ 1 ta sẽ
được các bộ số.



4