BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MTCT PHẦN V SỐ THẬP PHÂN VHTH

DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
PHẦN V: BIỂU DIỄN SỐ THÂP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
TÌM CHỮ SỐ THẬP PHÂN THỨ K.
1. Công thức đổi STPVHTH (số thập phân vô hạn tuần hoàn) ra phân số:

( ) ( )
( )
{
{
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2

, ,
99 900 0
n
m n m n
n m
c c c
A b b b c c c A b b b c c c= +
Ví dụ 1:
Đổi các số TPVHTH sau ra phân số:
+)
( )
6 2
0, 6
9 3
= =
+)
( )
231 77
0, 231

999 333
= =
+)
( )
18 7
0,3 18 0,3
990 22
= + =
+)
( )
345
6,12 345 6,12
99900
= +
Ví dụ 2:
Nếu F = 0,4818181 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 81.
Khi F được viết lại dưới dạng phân số thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?
Giải:
Ta có: F = 0,4818181 =
( )
81 53
0,4 81 0,4
990 110
= + =
Vậy khi đó mẫu số lớn hơn tử là: 110 - 53 = 57
Ví dụ 3: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).
ĐS :
16650
52501
Giải:

Ta đặt 3,15(321) = a
Hay : 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có : 99900 a = 315006
Vậy
315006 52501
99900 16650
a
= =
Đáp số:
52501
16650

Khi thực hành ta chỉ thực hiện phép tính như sau cho nhanh:
315321 315 315006 52501
99900 99900 16650
−
= =
Chú ý: Khi thực hiện tính toán ta cần chú ý các phân số nào đổi ra được số thập phân
ta nên nhập số thập phân cho nhanh.
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Nhận xét :
);0001(,0
9999
1
);001(,0
999
1
);01(,0

99
1
);1(,0
9
1
====
Ví dụ 4 : Đổi số thập phân 1,5( 42) ra hỗn số .
Giải : Ta biến đổi như sau :
1,5(42) = 1,5 + 0,1 . 0,(42)=
330
179
1
99
42
.
10
1
10
15
=+
000 999
abcklm abc −
* Công thức quy đổi :
0, abc … (klm) =
( Số thập phân tuần hoàn tạp )
15
113
90
678
=

90
75753 −
trong đó abc …có x chữ số klm … có y chữ số
* Áp dụng : 7, 5 ( 3 ) = =
990
212132 −
990
2111
2,1 (32) = =
450
107
900
214
=
900
23237 −
0,23 (7) = =
* Chú ý : Để khỏi tràn máy , khi đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số
(hoặc hỗn số ) , ta chỉ cần đổi phần phân ra phân số , sau đó ghi thêm phần
nguyên .
2. Tìm chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy :
Khi ta chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên , kết quả thu được là một số
thập phân hữu hạn hay một số thập phân vô hạn tuần hoàn . Do màn hình chỉ hiện
được 10 chữ số cho nên có lúc ta không thể xác định được tất cả các chữ số thập
phân của số thập phân hữu hạn hoặc chu kỳ của các số thập phân vô hạn tuần
hoàn . Vì thế ta cần thực hiện các phép biến đổi toán học kết hợp với máy tính để
tìm kết quả của bài toán .
Ví dụ 5: Chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy là số nào khi ta chia 1 cho 23 .
Giải :
Ta có :

n8
n21
8
n21
10
a aa
10
4347826
a aa04347826,0
23
1
+
+==
( lần 1 )
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
⇒
n8
n21
8
8
10
a aa
10.23
23.434782610
+
=
−
⇒
8

n21
8
10.23
a aa,0.23
10.23
2
=
⇒
n1211n21
a aa08956521,0
.23
2
a aa,0 ==
( lần 2 )
Lần 1 ta xác định được 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy , lần hai ta tiếp tục
xác định được 8 số thập phân kế tiếp , sau vài lần ta sẽ xác định được chu kỳ của
số thập phân vô hạn tuần hoàn . Ta không ghi chữ số thập phân cuối cùng để tránh
trường hợp máy làm tròn .
Từ đó ta suy ra được : 1 : 23 = 0.(0434782608695652173913)
Từ đó suy ra số thập phân thứ 22k là số 3 , số thập phân thứ 22k+1 là số 0,
số thập phân thứ 22k+2 là số 4, số thập phân thứ 22k+3 là số 3, số thập phân thứ
22k+4 là số 4; . . .
Mà 2003 = 22 . 91 + 1
Vì vậy khi ta chia 1 cho 23 thì chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy là
chữ số 0 .
Ví dụ 6 : Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Bước 1:
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép
tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)

Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923
+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999
17 - 16,9999999 = 0,0000001
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001
(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể
đã làm tròn. Không lấy số không vì
17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001
Bước 2:
+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692
Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:
307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.
Ta có 105 = 6.17 + 3 (
105 3(mod6)≡
)
Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính
là số 7
Ví dụ 7: Tìm chữ số thập phân thứ 13
2007
sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho
19
Giải:
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Ta có
250000 17
13157
19 19
= +

. Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 13
2007
sau dấu
phẩy trong phép chia 17 : 19
Bước 1:
Ấn 17 : 19 = 0,8947368421.
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10
-9
Bước 2:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10
-8
= 17 . 10
-9
Bước 3:
Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10
-9
Bước 4:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157

Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157
= 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.
Ví dụ 7: ( phát triển ví dụ 6)
a) Tìm chữ số thập phân thứ
2007

13
sau dấu phẩy trong phép chia
250000 19÷
b) Khi ta chia 1 cho 49. Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số
nào?
c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy trong phép chia 5 cho 61
d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17
Giải
a) Ta có
250000 17
13157
19 19
= +

Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ
2007
13
sau dấu phẩy trong phép chia 17 ÷ 19
Ấn 17 ÷ 19 = 0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là:
89473684 (không lấy số thập phân cuối cùng vì có thể máy đã làm tròn )
Ta tính tiếp 17 – 19 × 89473684 EXP – 8 = 4 ×
Tính tiếp 4 × ÷ 19 = 2.105263158 ×
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
8
10
−
8
10
−
9

10
−
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Ta được 9 số tiếp theo là : 210526315
4 × – 19 × 210526315 × = 1.5 ×
1,5 × ÷ 19 = 7.894736842 ×
Suy ra 9 số tiếp theo nữa là : 789473684
Vậy :
18
17
0,89473684210526315789473684
19
=
1 4 4 442 4 4 4 43

Kết luận
17
19
là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 18 chữ số .
Để thỏa đề bài , ta cần tìm số dư khi chia
2007
13
cho 18
Số dư khi chia
2007
13
cho 18 chính là số có thứ tự trong chu kì gồm 18 chữ số
thập phân.
Ta coù :
Kết quả số dư là 1 , suy ra số cần tìm là số đứng ở vị trí đầu tiên trong chu

kì gồm 18 chữ số thập phân .
Kết quả : số 8
b) Khi ta chia 1 cho 49. Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào?
Giải:
1 chia cho 49 ta được số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ gồm 42 chữ số 0,
(020408163265306122448979591836734693877551) vậy chữ số 2005 ứng với
chữ số dư khi chia 2005 cho 42; 2005 = 47.42+31 do đó chữ số 2005 ứng với
chữ số thứ 31 là chữ số 7
Câu c, d làm tương tự
Ví dụ 8: : Tính chứ số lẻ thập phân thứ 105 của
13
17
Ta có : 17 : 13 = 1,307592308
Thực ra là 1,307692307692…. Là số có chu kì (307692)
mặt khác 105
3
≡
( mod 6 )
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
8
10
−
17
10
− 16
10
−
16
10
− 18

10
−
)18(mod11)13(13
)18(mod113
66966932007
3
=≡=
≡
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
⇒
chữ số thứ 105 trong phần thập phân của phép chia 17 : 13 là số 2
Ví dụ 9:
Nn
∈
nhỏ nhất sao cho n có ba chữ số, biết
121
n
có 5 chữ số đầu đều là
chữ số 3
Ta không thể dùng máy tính bỏ túi để tính
121
n
với n có 3 chữ số
Nhưng ta có : 123
121
, 12
×
3
121
, 1

×
23
121
có các chữ số giống nhau
⇒
ta tính
1
×
00
121
= 1
1
×
01
121
= 3,333309764
⇒
n= 101
3. Tính giá trị biểu thức có chứa chu kỳ.
Ví dụ 10: : Tính
2 2 2
0,19981998 0,019981998 0,0019981998
A = + +
Giải
Cách 1:
Đặt a= 0,0019981998

1998
9999
a =

Ta có:
1 1 1
2.
100 10
2.111
100
A
a a a
A
a
 
= + +
 ÷
 
=
Trong khi đó : 100a = 0,19981998 = 0,(0001) . 1998 =
1998
9999
Vậy A =

2.111.9999
1111
1998
=
Viết quy trình cho máy tính fx500ms
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
1
mod 1

1998 9999
( 222 ) 100
e
b
a shift sto A
c
x
−
× ÷ =

Kết quả: A=1111
Cách 2 :
a= 0,19981998
10000a=1998+0,19981998…
10000a=1998+a
9999a=1998
1998
9999
a =
1 10 100
2.
222
A
a a a
A
a
 
= + +
 ÷
 

=
Viết quy trình cho máy tính fx500ms
1
mod 1
1998 9999
222
e
b
a shift sto A
c
x
−
× =
Kết quả: A=1111
Ví dụ 11: Cho .
Chứng tỏ rằng A là một số tự nhiên. Tìm A.
Giải
Đặt A
1
=0,(2007) = 0,20072007…
⇒
10000A
1
= 2007,(2007) = 2007 + A
1
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
223 223 23
0,(2007) 0,0(2007) 0,00(2007)
A = + +
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS

⇒
9999A
1
= 2007.
⇒
1
2007
9999
A
=
Đặt A
2
= 0,0(2007) =
1
1 1
.0,(2007)
10 10
A=
A
3
= 0,00(2007) =
1
1 1
.0,(2007)
100 100
A=
1 2 3
1 1 1
223.
9999 99990 999900

223.
2007 2007 2007
111
223.9999. 123321
2007
A
A A A
 
⇒ = + +
 ÷
 
 
= + +
 ÷
 
= =
Vậy A = 123321 nên A là một số tự nhiên
4. Thay số
Ví dụ 12 :

Thay các chữ cái bởi các chữ số thích hợp
1 :
0,abc
= a + b + c
Giải
1 :
0,abc
= a + b + c
⇒

1000
a b c
abc
= + +

⇒
1000 =
abc
.(a+b+c)
a + b + c là ước của 1000 không vượt quá 27
⇒
1 :
0,125
= 1+ 2 + 5
a) 1 :
0,0abc
= a + b + c + d
⇒

10000
a b c d
abc
= + + +

⇒
10 000 =
abc
. (a + b + c + d)
a + b + c + d là ước của 10 000 và 10 < a + b + c + d
≤

36

⇒
1 :
0,06235
= 6 + 2 + 3 + 5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TỐN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Bài 1 : Tìm số hữu tỷ biểu diễn số A=12.(24) ; B=1+2.(01) C=1.237(008)+
23
37

D=4.(324)+65.09(481) ; E= 0,2(7) + 0,3(5) ;
F= 1,(54) – 0,(81) – 0,(75)
G= 1:10,2(6) : 0,41(6) . 0,42(7)
Bài 2 : Đổi các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau đây ra hỗn số ( hoặc phân số ) :
2,(7) ; 1,(23) ; 3,(69 ) ; 3,(459) ; 0,(12582)
0,123123123123…………… (là phân số
999
123
)
4,3535353535………………( là 4 +
99
35
)
2,45736736736…………. = 2,45(736) = 2 +
99900
245491
99900

736
100
45
=+
Bài 3 :
1). Tìm chữ số thập phân thứ 15 sau dấu phẩy của
2003
.
2). Tìm chữ số thập phân thứ 2004 sau dấu phẩy trong kết quả của phép chia 1 cho 53.
3). Tìm chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy của phép chia 2 cho 29
4). Tìm chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy của phép chia 3 cho 53
5). Tìm chữ số thập phân thứ 2003 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61
6). Tìm chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy của phép chia 1 cho 49
7). Tìm chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy của phép chia 10 cho 23
Bài 4: Xét các số thập phân vơ hạn tuần hồn :
E
1
= 0,29972997 với chu kì là (2997) ; E
2
= 0,029972997 với chu kì là (2997)
E
3
= 0,0029972997 với chu kì là (2997).
.1) Chứng minh rằng số T =
1
3
E
+
2
3

E
+
3
3
E
là số tự nhiên.
2) Số các ước ngun tố của số T là:
B i 5à : . Rút gọn chính xác đến 0,0001:
495
113
)61(5,0
450
43
)7(23,0
)32(1,2
)3(5,7
−
+
== BA
B i 6: à
Tìm x biết : a).
10
)6(1,1)3(,0
)3(,0)6(1,0
=⋅
+
+
x
;
Vũ Xn Tú trường THCS Võ Lao

DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
b).
10
)6(1,1)3(,0
)3(,0)6(1,0
=+
+
+
x
; c).
10:
)6(1,1)3(,0
)3(,0)6(1,0
=
+
+
x
Bài 7
4. a) Tính

2 2 2
0,20102010 0,020102010 0,0020102010
A = + +
b) Tìm tất cả các ước nguyên tố của A
Bài 8: Tính
S =
5 5 5
0,(20082009) 0,0(20082009) 0,00(20082009)
+ +

Bài 10: Tính
D =
( )
11
90
:
)5(8,0
3
1
2
1
11
7
14:)62(,143,0
+
−+
4. a) Tính
2 2 2
0,20142015 0,020142018 0,0020142015
A = + +
b) Tìm tất cả các ước nguyên tố của A
Bài 11: Tính
51 51 51
0,(997) 0,0(997) 0,00(997)
B = + +
Bài 12:Tính
3 3 3
2.0,(237) 2.0,0(237) 2.0,00(237)
B = + +
Bài 13: Tính

1 1 1
0,(1999) 0,0(1999) 0,00(1999)
B = + +
1 1 1
2.0,(1999) 2.0,0(1999) 2.0,00(1999)
C = + +
1 1 1
0,(2013) 0,0(2013) 0,00(2013)
D = + +
Bài 14:
a) viết phân số 57 dưới dạng số thập phân, hỏi chữ số thứ 2012 sau dấu phẩy là
chữ số nào?
b) Tìm chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của phân số 17900 (viết dưới
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
dạng số thập phân).
c) Tìm chữ số thập phân thứ 210 sau dấu phẩy của phân số 2417 (viết dưới
dạng số thập phân).
Bài 15: Tính
0020072008,0
2008
020072008,0
2007
20072008,0
2006
++=
D
A =
0020072007,0
223

020072007,0
223
20072007,0
223
++
lµ mét sè tù nhiªn vµ tÝnh gi¸ trÞ
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao